คณิตศาสตร์ในธรรมชาติ

⌫

จากความหมายทจะอธบายถงสงทเกดตามธรรมชาตในรปของคณตศาสตร นกคณตศาสตรพยายามคนสตร รปแบบ จำนวน ซงอาจจะชวยในการบอกถงสงทเกดขนตามธรรมชาต ตามทเรารกนอยธรรมชาตไมไดเกดขนเปนคณตศาสตรเสมอแตคณตศาสตรจะเกดอยเสมอตามธรรมชาต เชน เรองของ Triple Functionซงเปนจดพเศษทเกดขนตามธรรมชาต จดทเสนมาตดกน 3 เสนเกดมมตรงฐานทตดกนนนเปน 120 องศา พอด

รปแบบทเหนเปน Triple Function จะมในกลวย สบปะรด ขาวโพด รงผง แมแตในลายของ ยราฟปลา และ ขนนกกระจอกเทศ

รปขาวโพด

⌫

รงผง

กลวยหอม

ปลา

⌫

ถาศกษาในสงทอยในธรรมชาต จะเหนวามสงเลก ๆ ทแปลกประหลาดอยในใบไมและในตนไมมากมายสงทแปลก กคอ สงทแตกแยกเปนรองรอยมลกษณะเปนเรขาคณตทมสมมาตร (Symmetry) เจรญออกไปเปนแบบรป (Pattern) เชนทกงกานตนไม ซงแตกแยกเปนแบบรปไมมทสนสด แบบรปจะอยในฟอรมเดยวกนแตจะเลกลง ลองพจารณาด การเจรญของเฟรน

จากทกลาวมาแลวเรามองเหนความสมพนธตาง ๆ เหลานไดอกในธรรมชาตซงแตกแยกและสมมาตรกน เชนการเจรญเตบโตของตนไมมลกษณะเปน โครงสรางภายในธรรมชาตมการเรมตน ของ แนวทางเรขาคณตทไมมท สนสด

เฟรน

โครงสรางตนไม

⌫

ในธรรมชาตทวไปลกษณะการสมมาตรจะมอยในตวของมนเองเปนเอกลกษณ ไมไดเปนรปงดงาม ถาสงเกตแลวการสมมาตรจะมอย ในพช ในสตว ในหนแรธาตตาง ๆ และการสะทอนของนำกมรปทรงทสมมาตรกน

ผเสอ

รปหนาสตว

แมลงเตาทอง

⌫

ในงานทเปนการประดษฐ เชน ในกระดาษตดฝาผนงจะมลกษณะเปนการสมมาตร เชนกน

กระดาษตดฝาผนง

รปแรธาต รปการสะทอน

⌫

การสมมาตรสามารถมองเหนไดในสงตาง ๆ สมมาตรทเปนทรงกลมหมายถง ทกสงเทากนในทกทศทาง ไมมรปแบบทแตกตางกน สงทอยในสวนบนของทรงกลมจะไหลไปในทศทางเดยวกนโดยมลกษณะทเทากน

รปสมมาตรในทรงกลม

⌫

ลำดบฟโบนกซในธรรมชาตเชน รปดอกไมตาง ๆ จะมลกษณะตามรป จำนวนของกลบดอกไมจะเปน 3 , 5 , 8 ,...

ซงเปนจำนวนในลำดบในฟโบนกซ

ดอกลำดวน

ดอกกลวยไม ดอกจำป

ดอกชบา

⌫

รปฟโปนกช

2351113

ผลบวกของสองจำนวนในลำดบฟโปนกชจะเปนฟโปนกช ดงตวอยางตอไปน

จำนวน ผลบวก 1 + 1

1 + 2 2 + 3 5 + 6 8 + 5

ฟโปนกช

ลโอนาโด ฟโบนกซ (Leonado Fibonacci) อยในประเทศอตาลชวง ค.ศ. 1170 – 1240 เปนผคดคนลำดบฟโปนกช ซงเปนลำดบทกำหนดใหเทอมท 1 คอ a1 = 1 เทอมท 2 คอ a2 = 1 เทอมท 3คอ a3 = 2 เทอมท n = an โดยท an = an + an n จะเปนจำนวนนบและ n ³ 3 จะไดลำดบ 1 ,1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 ,…

- 2 - 1

⌫

A

ฟโปนกชและอตราสวนทองอตราสวนทอง

ถา c แบงสวนของเสนตรง AB เปนสองสวนคอ AC และ BC

ทำใหเกด

เรยก อตราสวน วาอตราสวนทองคำ

นยาม ถา a , b เปนจำนวนจรง จะเปนอตราสวนทองคำกตอเมอ

ทฤษฏบท ให เปนอตราสวนทองคำกตอเมอ

B C

A C

A C

A B =

ab

ab

a + b= aab

พสจน จะเปนอตราสวนทองคำab

C B...618.1

2

51

B C

A C

A C

A B =+==

จรงbเปนจานวนและababa

ba

ba

babababa

aba

ba

,,2

512

411

01

0

2

2

22

22

+=

++=

=−−

=−−

+=

+=

251+

=ba

⌫

การสรางเสนตรงใหมอตราสวนทองคำ

1. จาก AB สรางสเหลยมจตรส ABCD2. ลากเสนทะแยงมมบนสเหลยมจตรส3. ตรงจดตดของเสนทะแยงมมจะแบงครง AB ทจด E4. ลาก CF5. กางวงเวยนรศมเทากบ CE ตด AB ทตอไปทจด F

F

C

A B

D

1

C

A B

D

E

จะได ...618.1251 === +

ABAF

BFAB

⌫

พสจน ใหสเหลยมจตรส ABCD มความยาวดานละ 1 หนวย

จากรป

AF = AE + EF

=

จะได AF =

AB = 1

=

และ BF = - =

=

=

=

=

=

12

5+ 21 + 5

2

AFAB

1 + 521 = 1 + 5

212

52

5 - 12

ABBF 5 - 1

2

1

5 - 12

2 ( 5 + 1)5 - 12

2 ( 5 + 1) 4

5 + 1 2

1

2

⌫

เรารวา 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,… เปนลำดบฟโปนกช ถาทำจำนวนทตดกนใหเปนอตราสวนอยางตำ โดยใชจำนวนนอยเปนตวหารจะเหนวาอตราสวนอยางตำทอยตดกนในลำดบฟโปนกชจะมคาประมาณ 1 : 1.6 ถาเปนสวนของจำนวนทอยหลง 3 แลวจะมคาใกลเคยงกบ 2 คอ ประมาณ 1:1618…

อตราสวน1:1.6666661:1.6000001:1.6250001:1.61538461:1.61904761:1.617647 . . .

อตราสวนของจำนวนทอยตดกน 5 : 3 8 : 513 : 821 : 1334 : 2155 : 34 . . .

⌫

สเหลยมทองคำ (Golden Rectangular)

ในการสรางรปสเหลยมผนผาแลวหารความยาวดวยความกวางจะไดอตราสวนทองคำ ดงรป

ตามรปสเหลยมผนผาซงมลกษณะเปนสเหลยมทองคำจะมคณสมบตทวา y / x = 1.618...หรอดานยาวหารดวย ดานกวาง = 1.618... รป a จะเปนสเหลยมจตรสทอยในสเหลยมผนผาดวยอตราสวน x / x และสวนทเปนรป b จะเปนรปสเหลยมทองคำอกรปดวยอตราสวน x / (y – x ) หรอจะพดอกอยางวาอตราสวนของ ดานยาวของรป b กบความสงซงเปนดานอกดานหนงของรปสเหลยมจะเปนอตราสวนทองคำ นนคอบนดานทมอตราสวนทองคำถาสรางรปสเหลยมจตรสดานยาวดานทเหลอจะเปนรปสเหลยมผนผาซงมอตราสวน เทากบรปเดม

ฟโปนกชและเกลยวทองคำ (Fibonacci and Spiral Golden)ถาหาอตราสวนของสองจำนวนในลำดบฟโปบกชโดยหารแตละเทอมดวยจำนวนทมากอนดวยจำนวนนนเสมอแลวเขยนกราฟแสดงอตราสวน ดงน

111 = , 21

2 = , 123= , ...66.1

35= , 6.15

8 = , 62.1813 = , 615.123

21 =

⌫

อตราสวนของเทอมของฟโปนกชทอยตดกน

อตราสวนทไดเขาใกลอตราสวนทองคำคอประมาณ 1.6 นนคอ ถาให เทอมท n ของลำดบฟโปนกชทเขาใกล infinity จะได

เราสามารถสรางรปทแสดงจำนวนในลำดบฟโปนกช (1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 ,… )โดยเรมทจำนวนสองจำนวนทมขนาด 1 และจำนวนตอไปจะสรางสเหลยมรปจตรสทมพนท 2(1 + 1) ดงรป

รปเกลยวจากลำดบฟโบนกซ

0

0.51

1.5

2

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

จำนวนฟโบนกซ

อตราสวน

lim = = 1.618033988749…n ∞ Fn

Fn+1

⌫

สรางรปสเหลยมจตรสใหมใหสวนทแตะกบขอบของทง 2 รปสเหลยมมคาเปน 3 หนวยและอกรปหนงจะแตะกบดานทง 2 ทมคาเทากบ 5 หนวย เราสามารถสรางรปสเหลยมไปรอบ ๆ รปโดยทดานของรปสเหลยมใหมมความยาวเทากบดานของรปสเหลยมเกา 2 รปบวกกน จะเหนวาสเหลยมผนผาทไดซงมดาน 2 ดานเปนจำนวนในลำดบฟโปนกช 2 จำนวนตดกน ซงเราอาจจะเรยกวาสเหลยมผนผาของฟโปนกช

จะเหนวาสเหลยมผนผาในรปเปนสเหลยมทองคำ เราสรางเกลยวไดโดยนำหนงในสของวงกลมมาตอกบสวนหนงจะเปนรปของสเหลยมจตรส รปเกลยวทองคำนเรยกอกอยางหนงวา Fibonacci Spiralจะมสวนของโคงทเหมอน ๆ กนทเกดในธรรมชาต เชนในรปของหอยทะเล ไดแก หอย ChamberedNautillus , หอย Ammouite

Chambered NautillusAmmouite

⌫

จำนวนฟโบนกซธรรมชาต

ถาดจากการจดการของเมลดทอยในดอกไม จะเหนจำนวนฟโบนกซในเมลด เชน ดอกทานตะวนมการจดการแบบเกลยวทองคำ

ดจากกลบดอกตามรป ถานบเกลยวทเกดขนทงทางซายและทางขวา จะเหนวาถานบตามเขมนาฬกาม 55กลบถานบทวนเขมนาฬกาจะม 34 กลบ จำนวนทงคจะเปนฟโบนกซทอยตดกน

⌫

ทำนองเดยวกน ลกสน (Pine Cone) ทแสดงเซตของเกลยว ฟโบนกซ มเซตของเกลยวเปนสองสวนสวนหนงทมทดทางทหมนตามเขมนาฬกา และอกสวนหนงจะหมนทางตรงขาม ถานบตามเกลยวทงสองเราจะพบวาจำนวนทไดจะเปนจำนวนฟโบนกซทตดกน

รปเซตของเกลยวแสดง 2 ทศทาง

⌫

ลองมองดทมอของเรา จะเหนวาเราม 2 มอ

แตละมอม 5 นว แตละนวม 3 สวน แตละสวนม 2 ขอ แตละขอมกระดก 1 ชน

เรานยมนำอตราสวนทองคำไปใชในเรองทวไปเพราะทำใหมสดสวนสวยงาม เชนการทำไวโอลน การทำเฟอรนเจอรตางๆ เชนการทำ เตยง โตะทำงาน เกาอ หรอแมแตเตยงสำหรบนวดตว

จำนวนฟโบนกซกบสดสวนของรางกาย

ถาเราวดระยะของกระดกในนวมอ จะเหนวา อตราสวนความยาวระหวางกระดกสวนทยาวทสดกบสวนทมขนาดกลางจะมคา 1.618... อตราสวนความยาวระหวางกระดกสวนทมขนาดกลางกบสวนทสนทสดจะมคา 1.618...ดวย

ถาดตามสดสวนของรางกายธรรมชาตจะใหมาเปนอตราสวนทองคำเชน อตราสวนของความสงจากระดบเอวถงเทา กบ หวถงเอว เปนอตราสวนทองคำ อตราสวนของระยะ ศอกถงปลายนว กบระยะ ตนแขนถงศอก กเปนอตราสวนทองคำ

⌫

จำนวนฟโบนกซในรปสามเหลยมปาสคาล

จำนวนในธรรมชาตเรมตนจากการนบจำนวนตางๆ การหาความยาวและ การหาพนทของสงตางๆจาก จำนวนนทางคณตศาสตรไดสรางหลกเกณฑทางคณตศาสตรมากมาย เชน การบวก การลบ การคณการหาร หรอลำดบของเลขคณต ลองมาดจำนวนทไดจากสมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจาย(a – b)n แลวนำมา เขยนแสดงในรปสามเหลยม เรยกวา สามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle)

ปาสคาล (Blaise Pascal) อยในระหวาง ค.ศ. 1623 - 1662 เปนชาวฝรงเศสเปนนกคณตศาสตรทม ชอเสยง และเปนผคดคนสามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle) ดงรป

รปสามเหลยมปาสคาล (Pascal’s Triangle)

ปาสคาล (Blaise Pascal)

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

⌫

ลองพจารณาดผลบวกของจำนวนทอยบนสามเหลยมปาสคาล จะเหนวาสามเหลยมปาสคาลมขอบสองขางประกอบดวย 1 และแตจำนวนของสามเหลยมเกดจากการบวกของจำนวนทอยเหนอขนไป ดงรป

จำนวนในแถวแสดงถงสมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจาย (a – b)n ตามรป เมอn เปนจำนวนนบจากบนลงลาง n = 0, 1, 2, 3,... ถาไมนบแถว 0 (a + b)3 เปนแถวท 3 จะใหสมประสทธของ (a + b)3 = a3+ 3 , ab2 + 3ab + b3 สมประสทธของพจนตางๆ ทไดจากการกระจายคอ 1 3 3 1

ดงนนในแถวท 4 ท 5 และตอมาจะมสมประสทธอยางไร(a + b)0 1(a + b)1 1 1(a + b)2 1 2 1(a + b)3 1 3 3 1(a + b)4 1 4 6 4 1(a + b)5 1 5 10 10 5 1

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

⌫

ดรปสามเหลยมปาสคาล ถาเปนบวกตามแนวทะแยง (ตามแนวลกศร) จะไดผลลพธเปน 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,... ซงเปนลำดบฟโบนกซดวย

ลำด บฟ โ บน ก ซ

ลองหาจำนวนทเปนลำดบฟโบนกซตวตอไปอก 3 ตว

⌫

รปสเหลยมทองคำกบงานศลปะเราทราบแลววารปสเหลยมทองคำจะไดจากดานยาว ( L ) หารดวยดานกวาง ( W )

เมอ จะไดรปสเหลยมทองคำ LW = 1.618

รปสเหลยมทองคำมอตราสวนของดานเปนทชนชอบมาก นำมาใชในงานศลปะตงแตสมยกรก และโรมนในสมยศตวรรษท 20 เชน โครงสรางวหารพาทนอน ภาพคนชรา และ ภาพโมนา ลซา ของลโอนาโดดาวนซ ซง สรางใหมสวนตางๆในใบหนาทเปนอตราสวนทองคำ ดงรป

W

L

L/W = 1.618...

ภาพคนชราของ ลโอนาโด ดาวนซวหารพาทนอน

⌫

การสรางรปหาเหลยมถารปหาเหลยมทวไปถกวาดโดยลากเสนทะแยงมมจากมมหนงไปอกมมหนงโดยดานของหาเหลยมมระยะเทากบ 1 หนวย อตราสวนระหวางดานทะแยงและดานจะมคา 1.618…

ภาพโมนา ลซา ของ ลโอนาโด ดาวนซ

⌫

เราจะพบวารปหาเหลยมทมอตราสวนทองคำในสตวทะเลเชนใน ปลาดาว หรอ Starfish บางทเราเรยกวา Golden Starfish

หรอ ตามรป สรางรปหนาเหลยมดานเทา จะไดอตราสวนทองคำเมอ |AC| / |AB| = |AB| / |BC|

⌫

การสรางรปสามเหลยมทองคำนอกจากนเราสรางรปสามเหลยมทองคำได โดยสรางสามเหลยมหนาจวทมมมทฐานเทากบ 72o

และมมยอดเทากบ 36o ถาแบงฐานสามเหลยมเปนสองสวนจะใหสามเหลยมใหม 2 รป ขบวนการนเปนไปตอเนองกน ขนอยกบขาของรปสามเหลยม อตราสวนทองคำทนบจำนวนไมไดจะปรากฏ เมอไมไดพบรปสามเหลยมและจะไดรปทเปนอตราสวนทองคำดวยโดย |||||AB||||| / |||||BC||||| = 1.618...

ตามการสรางรปน แสดงใหเหนวา สามเหลยมซงสรางสวนโคงใหแตะรปสามเหลยมทมมทำใหเกดเกลยว

⌫

จากการสรางรปสามเหลยมทองคำ 1 รป จะสามารถสรางตอไปภายในอยางไมมทสนสดและเราสามารถสรางรปหาเหลยมไดอกโดยไมมทสนสดเชนกน ดตามรป จดทง 5 ของรปหาเหลยมจะเปนสามเหลยมทองคำดวย

⌫