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ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS
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Ecuaciones Diferenciales
Modelos de Sistemas Dinmicos
1. DINMICA POBLACIONAL: Uno de los primeros intento modelar el
crecimiento de la
poblacin humana por medio de las matemticas fue realizado en
1708 por el
economista ingls Thomas Malthus. Bsicamente la idea detrs de
modelo de Malthus
es la suposicin de que la poblacin total del paso en ese tiempo.
En otras palabras,
entre ms personas estn presentes en el tiempo t, habr ms en el
futuro. En
trminos matemticos, si P(t) denota la poblacin al tiempo t;
entonces esta
suposicin se puede expresar por.
O
Donde es una constante de proporcionalidad. Este modelo simple
falla se
consideran muchos otros factores que puedan influir en el
crecimiento o
decrecimiento, result, sin embargo bastante til y exacto entre
los aos 1790-1860.
2. DECAIMIENTO RADIACTIVO: El ncleo de un tomo est formado por
combinaciones
de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son
inestables, esto significa
que los tomos se desintegran o se convierten en tomos de otras
sustancias, se dice
que estos ncleos son radiactivos, Por ejemplo, con el tiempo, el
Radio ,
intensamente radiactivo, se convierte en el radiactivo gas radn
. Para modelar
el fenmeno del decaimiento radiactivo, se supone que la razn con
la que los
ncleos de una sustancia se desintegran es proporcional a la
cantidad (ms
precisamente, el numero de ncleos) Q(t) de la sustancia que
queda al tiempo t.
O
2.1. Velocidad de desintegracin: la velocidad con que se
desintegra un radioelemento
vara mucho unos a otros, Se llama periodo de vida media o
simplemente vida
media al tiempo en que cierta cantidad de sustancia radiactiva
se reduce a la
mitad. Ejemplos de valores de vida media que muestran la
variabilidad de las
velocidades de semidesintegracin
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2.1.1. Lista de istopos conocidos: Los periodos de
semidesintegracin de cada nclido
se indican segn el color de cada celda. Los bordes coloreados
indican los
periodos de semidesintegracin de los ismeros nucleares ms
estables.
Periodo de semidesintegracin Ejemplo Gadolinio
145Gd < 1 da
146Gd 110 das
149Gd 10100 das
153Gd 100d10 aos
148Gd 1010,000 aos
150Gd 10k103m aos
152Gd > 700m aos
158Gd Estable
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3. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON: Esta ley establece que la taza
de cambio de la
temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo en un instante t
den un medio
de temperatura constante A es proporcional a la diferencia entre
la temperatura del
medio y la del cuerpo, la ecuacin diferencial que nos da la
variacin de temperatura
de un cuerpo viene dada por:
Con K > 0 que es la constante de transferencia de calor.
4. DINAMICA POBLACIONAL II: Un modelo de poblacin mas realista
es el modelo
logstico donde se supone que existe una tasa de mortalidad
debida a factores
externos.
En general. La constante b es muy pequea comparada con a de modo
que si x
no es muy grande, entonces el trmino es insignificante comparado
con
sin embargo si x es grande debe tomarse en cuenta ya que
disminuye la
tasa de crecimiento.
5. PROPAGACION DE UNA ENFERMEDAD: Una enfermedad contagiosa, por
ejemplo un
virus de gripe, se propaga a travs de una comunidad por personas
que han estado en
contacto con otra persona enferma. Sea que x(t) denote el nmero
de personas que
han contrado la enfermedad y sea y(t) denote el nmero de
personas que an no han
sido expuestas al contagio. Es lgico suponer que la razn dx/dt
con la que se propaga
la enfermedad es proporcional al nmero de encuentros, o
interacciones, entre estos
dos grupos de personas, Si suponemos que el nmero de
interacciones es
conjuntamente proporcional a x(t) y y(t), esto es, producto x*y,
entonces.
Donde k es la constante usual de proporcionalidad. Suponga que
una pequea
comunidad tiene una poblacin fija de n personas. Si se introduce
una persona
infectada dentro de esta comunidad, entonces se podra argumentar
que x(t) y y(t)
estn relacionadas por x + y = n + 1. Utilizando esta ltima
ecuacin para eliminar y
en la ecuacin diferencial se obtiene el modelo.
Una condicin inicial que presenta este modelo es X(0) = 1.
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6. REACCIONES QUMICAS: La desintegracin de una sustancia
radiactiva, caracterizada
por la ecuacin diferencial del decaimiento radiactivo, se dice
que es una reaccin de
primer orden. En qumica hay algunas reacciones que siguen esta
misma ley emprica:
si las molculas de la sustancia A de descomponen y forman
molculas ms pequeas,
es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esta
descomposicin es
proporcional a la cantidad de la primera sustancia que no ha
experimentado la
conversin: esto es, si X(t) es la cantidad de la sustancia A que
permanece en
cualquier momento, entonces dX/dt = kX, donde k es una constante
negativa ya que
X es decreciente.
7. UN CASO PARTICULAR DE UNA REACCION QUMICA: Un ejemplo de una
reaccin
qumica de primer orden es la conversin del cloruro de terbutilo,
en
alcohol t-butlico :
Slo la concentracin del cloruro de terbutilo controla la rapidez
de la reaccin. Pero
en la reaccin.
Se consume una molcula de hidrxido de sodio , por cada molcula
de cloruro
de metilo , por lo que de forma una molcula de alcohol metlico,
y una
molcula de cloruro de sodio . En este caso, la razn con que
avanza la reaccin
es proporcional al producto de las concentraciones de y que
quedan.
Para describir en general esta segunda reaccin, supongamos una
molcula de una
sustancia A que se combina con una molcula de sustancia B para
formar una
molcula de una sustancia C. Si X denota la cantidad de un qumico
C formado al
tiempo t y si y son, respectivamente, las cantidades de los dos
qumicos A y B en
t=0 (cantidades iniciales), entonces las cantidades instantneas
no convertidas de A y B
al qumico C son y , respectivamente. Por lo que la razn de
formacin de
C est dada por:
Donde k es una constante de proporcionalidad. Una reaccin cuyo
modelo es la
ecuacin dada arriba se dice que es una reaccin de segundo
orden.
8. MEZCLAS: Al mezclares dos soluciones salinas de distintas
concentraciones surge una
ecuacin diferencial de primer orden, que define la cantidad de
sal contenida en la
mezcla.
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8.1 Ejemplo: Supongamos que un tanque mezclador grande
inicialmente contiene
300 galones de salmuera (es decir; agua en la que sea disuelto
una cantidad de
sal). Otra solucin de salmuera entra al taque con razn de 3
galones por minuto:
la concentracin de sal que entra es 2 libras/galn. Cuando la
solucin en el
tanque est bien mezclada, sale con la misma rapidez con que
entra. Si A(t) denota
la cantidad de sal (medida en libras) en el tanque al tiempo t,
entonces la razn
con la que A(t) cambia es una razn neta.
La razn de entrada con la que entra la sal en el tanque es
el producto de concentracin de entrada de la sal por la razn
de
entrada del fluido. Observe que est medida en libras por
minuto:
Ahora; puesto que la solucin sale del tanque con la misma razn
con la que entra el nmero
de galones de la salmuera en el tanque al tiempo t es una
constante de 300 galones. Por lo
que la concentracin del tanque as como en el flujo de salida es
c(t) = A(t)/300lb/gal, `pr lo
que la razn de salida de sal es.
Entonces en la razn neta, ser:
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Si y ( y no es lo mismo que ) denotan las razones
generales de entrada y salida de las soluciones de salmuera,
entonces existen tres probabilidades = , > y < . En el
anlisis que conduce a la
ecuacin de arriba suponemos que = . En los dos ltimos casos el
nmero de
galones de salmuera est ya sea aumentando ( > ) o
disminuyendo ( < ) a
la razn neta - .
9. DRENADO DE UN TANQUE: En hidrodinmica, la ley de Torricelly
establece que la rapidez v de salida del agua a travs de un agujero
de bordes afilados en el fondo de un tanque lleno de agua hasta una
profundidad h es igual a la velocidad de un cuerpo (en este caso
una gota de agua), que est cayendo libremente desde una
altura h esto es, , donde g es la aceleracin de la gravedad.
Esta ltima
expresin surge al igualar la energa cintica, con la energa
potencial, mgh, y
despejar v. Suponga que un tanque lleno de agua se vaca a travs
de un agujero, bajo la influencia de la gravedad. Considere
encontrar la profundidad, h, del agua en el tanque al tiempo t.
Considere el tanque que se muestra en la figura. S el rea del
agujero es , (en ) y la rapidez del agua que sale del tanque es
(en
pies/s), entonces el volumen de agua que sale del tanque, por
segundo es (en
As, si V (t) denota al volumen de agua en el tanque al tiempo t,
entonces.
Donde el signo menos indica que V est disminuyendo. Observe
que aqu estamos despreciando que aqu estamos despreciando la
posibilidad de friccin en el agujero, que podr causar una
reduccin de la razn del flujo. Si ahora el tanque es tal que
el
volumen del agua al tiempo t se expresa como donde
en ( es el rea constante de la superficie superior del
agua, entonces dV/dt = dh/dt. Sustituyendo esta ltima
expresin en la primera ecuacin diferencial que desebamos
para
expresar la altura del agua en el tiempo t:
10.INDUCTOR: Modelo matemtico.
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11.RESISTOR: Modelo matemtico.
12.CIRCUITOS EN SERIE: Consideremos el circuito en serie simple
que tiene un inductor,
un resistor y un capacitor que se muestra en la imagen.
En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se
denota por i(t) y la carga en el capacitor al tiempo t se
denota por q(t). Las letras L, R, C son conocidas como
inductancia, resistencia y capacitancia, respectivamente
y en general son constantes. Ahora de acuerdo con la
segunda ley de Kirchhoff, el voltaje aplicado E(t) en un
circuito cerrado debe ser igual a la suma de cadas de
voltaje en el circuito. Las dos anteriores modelos
matemticos son validos (el de inductancia y de
resistencia) y muestran la cada de voltaje respectiva a travs
del inductor y la
resistencia y la del capacitor es (1/C)q. Como la corriente i(t)
est relacionada con la
carga q(t) en el capacitor mediante i = dq/dt, sumamos los tres
voltajes.
Inductor Resistor Capacitor
, y
E igualando la suma de los voltajes con el voltaje aplicado se
obtiene la ecuacin diferencial de
segundo orden:
13.CRECIMIENTO DE BACTERIAS: Modelo matemtico.
El crecimiento es proporcional al nmero de bacterias P(t)
presentes en el tiempo t
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SISTEMAS MECNICOS DE TRASLACIN
14.MASA: Modelo matemtico.
15.RESORTE: Modelo matemtico.
16.AMORTIGUADOR CON FRICCIN VISCOSA: Modelo matemtico.
SISTEMAS MECNICOS DE ROTACIN
Todas las leyes vistas para el caso del movimiento de traslacin
tiene su equivalente en
el movimiento de rotacin, donde las masas M se sustituyen por
los momentos de
inercia J, las fuerzas f por los pares giro , la posicin x, por
el desplazamiento angular
, la velocidad v, por la angular , y la aceleracin lineal a, por
la angular .
17.MASA:
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18.RESORTE:
19.AMORTIGUADOR CON FRICCIN VISCOSA:
SISTEMAS ELECTRICOS:
20.CONDENSADOR.
SISTEMAS HIDRULICOS.
Hidrulica es la aplicacin de la mecnica de fluidos en ingeniera,
para construir
dispositivos que funcionan con lquidos, por lo general agua o
aceite.
Los sistemas hidrulicos trabajan con el flujo (caudal) y
acumulacin de lquidos:
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Q, caudal en
v, volumen en
h, altura en m
p, presin en
Presin manomtrica es la diferencia entre la presin absoluta y la
atmosfrica.
ELEMENTOS BSICOS.
21.CAPACITANCIA: Cuando un lquido est almacenado en un depsito
abierto por la
parte superior, aparece una relacin entre volumen del lquido
almacenado y la
presin ejercida sobre el fondo del depsito.
22.OTRA FORMA DE CAPACITANCIA:
23.INERTANCIA: Cuando un lquido est sometido a aceleraciones
dentro una tubera de
longitud L y seccin A, presenta una inercia que se traduce en
una prdida de presin.
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24.OTRA FORMA DE INERTANCIA:
25.RESISTENCIA: Cuando un liquido fluye a travs de una tubera,
aparece una cada de
presin a lo largo de la tubera. Tambin ocurre cuando el lquido
se encuentra con un
orificio pequeo o cuando fluye a travs de una vlvula. La prdida
de presin est
relacionada con la prdida de energa debida al rozamiento con las
paredes
generando una relacin entre caudal y la presin.
LEYES QUE GOBIERNANA A LOS SISTEMAS HIDRAULICOS.
Permite obtener las tasas de variacin de volumen, nivel o presin
en un
sistema a lo largo del tiempo.
26.LEY I:
27.LEY II:
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28.LEY III:
SISTEMAS ELECTROMECNICOS
Circuito equivalente de un motor CC controlado por armadura.
Condiciones.
29.DEFINICN DE LAS CONDICIONES APLICADAS A UNA E.D.
30.DEFINICN DE LAS CONDICIONES APLICADAS A UNA E.D.
32. MODELO MATEMTICO:
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33. MODELO MATEMTICO:
34. MODELO LOGSTICO DE VERHULST.
El modelo logstico fue propuesto por Pierre Franois Verhulst en
1838 para describir la evolucin de una poblacin cuyo crecimiento es
exponencial al principio (como en el caso del modelo de Malthus),
pero que al cabo de un tiempo aparece la competicin entre los
miembros de la poblacin por los recursos existentes, frenando el
crecimiento y alcanzando una cota en el nmero de efectivos. Este
modelo describe bien poblaciones confinadas en un entorno en el
cual el alimento disponible est limitado. Tambin sirve para
describir, por ejemplo, el crecimiento en el nmero de clulas de un
embrin, que inicialmente es exponencial, pero posteriormente dicho
crecimiento se va frenando y alcanza un mximo determinado por el
hecho de que el feto est confinado en un espacio fsico limitado.
Otro ejemplo al cual se puede aplicar el modelo de Verhulst es en
el estudio de una poblacin confinada en un espacio limitado, ya que
si bien inicialmente el crecimiento es exponencial, despus se va
frenando y alcanza una cota en el nmero de individuos cuando se
llega a una densidad mxima permitida por la limitacin fsica del
espacio disponible.
Ecuacin logstica Teniendo en cuenta todo lo anterior, la tasa de
crecimiento instantnea de este tipo de poblaciones tendr un trmino
constante que describir el crecimiento inicial de la poblacin, al
igual que sucede en los sistemas malthusianos, y otro trmino
negativo que frenar el crecimiento de la poblacin de forma
proporcional al nmero de individuos existentes en la poblacin. Por
lo tanto, la tasa instantnea de crecimiento se podr escribir de la
siguiente forma
As pues, la ecuacin diferencial que describe el modelo de
Verhulst, tambin denominada ecuacin logstica ser.
La tasa de crecimiento, r: describe el crecimiento en la fase
exponencial. Podemos ver que el primer trmino de la ecuacin
diferencial, r*y, define un crecimiento proporcional al nmero de
individuos (al igual que sucede en el modelo de Malthus). 2. La
capacidad de carga o de persistencia, K: representa el nmero de
individuos que puede soportar un entorno sin sufrir un impacto
negativo. Se puede ver en la ecuacin que su
segundo trmino , frena el crecimiento y cuando se alcanza un
nmero de individuos tal
que y(t) = K, el crecimiento se anula ( ).
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35. MODELO DE GOMPERTZ:
El modelo que vamos a tratar a continuacin fue propuesto por
Benjamn Gompertz en 1825 para describir la mortalidad humana en
edades adultas y es usado actualmente por muchas compaas de seguros
para el clculo de los costes de los seguros de vida. Tambin
describe con bastante buena aproximacin el crecimiento de los
tumores, que representa un problema de desarrollo de una poblacin
en un espacio confinado. La idea fundamental de este modelo se basa
en que la tasa instantnea de crecimiento de la poblacin disminuye
de forma exponencial con el tiempo, o lo que es lo mismo, la
mortalidad crece de forma exponencial con la edad. Teniendo en
cuenta lo expuesto en el apartado anterior, dado que la tasa
instantnea de crecimiento debe disminuir de forma exponencial con
el tiempo, propondremos una ecuacin diferencial de la forma
36. Modelo de von Bertalanffy: El siguiente modelo de inters en
Biologa fue desarrollado por Ludwig von Bertalanffy a principios de
la segunda mitad del siglo XX para describir el tamao de los
individuos de una poblacin de peces en funcin de su edad. En
general, describe bastante bien la evolucin de la talla de una
poblacin con la edad (a partir de lo cual se puede describir tambin
la evolucin de la masa corporal con la edad), de modo que el
crecimiento es rpido al principio y posteriormente va disminuyendo
dicho crecimiento hasta que cuando
es nulo.
Ludwig von Bertalanffy constat empricamente que si denominamos
y(t) a talla de un individuo en funcin de la edad t y k es la talla
mxima que alcanzan los individuos de dicha poblacin, se puede ver
qu.
Donde t0 es un hipottico tiempo negativo en el cual la talla
sera cero. Dicho t0 no tiene ningn significado real. Si denominamos
por y (0) - y0 la talla de los individuos al nacer, podemos ver que
y, por tanto, reescribir la ecuacin como.
Anlisis del modelo de von Bertalanffy: Con la ecuacin descrita
en el modelo anterior, podemos comprobar que la evolucin de la
talla en funcin del tiempo se puede describir con la ecuacin
diferencial
Lo que nos muestra que el crecimiento, y(t), es grande cuando la
talla, y(t), es pequea y que dicho crecimiento se anula cuando se
alcanza la talla mxima de los individuos de la poblacin. K. Por lo
tanto, la tasa instantnea de crecimiento ser.
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37. Desarrollo de epidemias: Supongamos un modelo sencillo en el
que una poblacin de N individuos est sometida a un agente
infeccioso (por ejemplo, un virus) con una tasa especfica de
contagios . Suponiendo que la poblacin no queda inmunizada, podemos
dividirla
entre personas infectadas, I, y personas sanas, S (y, por tanto,
susceptibles de enfermar). La ecuacin que rige la propagacin del
agente infeccioso ser.
Ya que cuanto mayor sea el nmero de enfermos mayor ser el ritmo
de contagio y cuanto mayor sea el nmero de gente sana tambin ser
mayor el ritmo de contagio. Como adems se cumple que N=I+S, podemos
escribir
As que vemos que el desarrollo de un modelo de epidemia sencillo
se puede describir con un modelo logstico en el cual la tasa de
crecimiento es r = N y la capacidad de carga o tope
poblacional es K=N. Este modelo se puede complicar aadiendo
otras opciones como un nmero de individuos no constante en el
tiempo, la existencia de inmunidad, etc., dando lugar a sistemas de
ecuaciones diferenciales.
38. FUSIN:
Se considera una esfera de hielo que se derrite a razn
proporcional al rea de su superficie. Hallar una expresin para el
volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables:
La incgnita del problema: volumen (es funcin del tiempo). Notacin
matemtica: V: volumen, t: tiempo, V = V (t): el volumen depende del
tiempo, es decir, es funcin del tiempo. 2. Leyes empricas que se
pueden aplicar: En los datos: _La esfera se derrite a razn
proporcional al rea de su superficie, es decir, el volumen de la
esfera vara a razn proporcional al rea de su superficie. La
variacin de volumen es la derivada de V con respecto al tiempo:
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39. REACCIONES QUIMICAS II.
En cintica de las reacciones, en lo que se est interesado es en
la evolucin de stas con el transcurso del tiempo. Como las
velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de extraar
que la cintica de las reacciones se modele mediante ecuaciones
diferenciales. Un ejemplo de tales reacciones son las reacciones
bimoleculares. Sea la reaccin bimolecular elemental.
En la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una
tercera (producto). Hallar una expresin para las distintas
concentraciones en cualquier unidad de tiempo. 1. Variables. Las
incgnitas son las concentraciones de los reactantes y el producto
(son funciones del tiempo): [A]; [B], [P]. 2. Leyes empricas que se
pueden aplicar: La velocidad de reaccin depende de la concentracin
de los reactantes y quizs del producto. La ley de la velocidad de
reaccin es la formulacin de esa dependencia:
Para las reacciones elementales existe un principio bsico, la
ley de accin de masas: la velocidad de una reaccin elemental es
proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:
Velocidad = k[A][B] La ley de accin de masas est basada en la
suposicin de que reacciones elementales ocurren cuando las molculas
de los reactantes estn en contacto simultneamente. Por tanto, a
mayor concentracin, mayor velocidad. El coeficiente k es la
constante de la reaccin y se toma siempre positiva. Por ltimo la
ley de conservacin: la suma de las concentraciones de los productos
y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de
la reaccin.
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ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS
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A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de los
componentes. 3. Planteamiento de la ecuacin. Igualando
velocidades:
40. DINAMICA POBLACIONAL III:
41. PRINCIPALES MODELOS POBLACIONALES. Resumen de los
principales modelos poblacionales. Es la poblacin a en todos los
modelos. Es el tope poblacional en los modelos de Verhulst,
Gompertz y von Bertalanffy.
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42. MODELO LOGSTICO CON RETARDO:
43. SISTEMA DE MASA-RESORTE
El modelo que obtuvimos del sistema masaresorte constituye
Una Ecuacin Diferencial Ordinaria (EDO).
m - y (t) + b - y (t) + k y (t) = F(t)
y (t) es la variable de salida del modelo.
F (t) es la variable de entrada.
El modelo es de segundo orden.
Es un modelo lineal y estacionario.
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44. 2da LEY DE NEWTON:
45. MODELO DE MALTHUS CON RETARDO:
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46. MODELOS CON RETARDO:
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47. CAPACITANCIA DE CARGA PERIDICA:
Es interesante para algunas especies la consideracin, a partir
del modelo logstico, de que la capacidad de carga no sea constante
en el tiempo, sino que presente un comportamiento peridico debido a
las caractersticas del medio en el que est situada la especie en
cuestin. De esta manera, una posible ecuacin para describir estas
situaciones sera la siguiente:
48. Otros Modelos de Dinmica de Poblaciones La Bacteria Daphnia
Magna
En algunas poblaciones los modelos de Malthus y logstico no son
capaces de reproducir los resultados observados, incluso en
condiciones ptimas y a tiempos muy reducidos. Es el caso, por
ejemplo, de la bacteria Daphnia Magna, que aislada y en condiciones
favorables, no responde a ninguno de estos modelos. En un conocido
trabajo2 de 1963, F.E. Smith resolvi esta situacin proponiendo un
nuevo tipo de modelos de la forma siguiente: El razonamiento
utilizado consiste en asumir que la cantidad de alimento y el uso
del mismo constituyen un factor limitante en el crecimiento de la
poblacin. As Smith propuso la ecuacin general:
donde S representa el alimento consumido por la poblacin en el
momento de alcanzar su equilibrio y F la proporcin de alimento que
es consumido por la poblacin N sobre el alimento total disponible.
En una primera posibilidad, se analizo una expresin de F de la
forma:
es decir se supuso que la cantidad de alimento consumido es
proporcional a la poblacin (alimento destinado al mantenimiento de
los N ejemplares de la especie) y tambin proporcional a la
velocidad de crecimiento (alimento destinado al esfuerzo
reproductor). Tomando S constante y sustituyendo en la ecuacin
general se llega (tras simplificar redefinir las constantes3) a la
ecuacin:
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49. CLIMATIZACIN EN EDIFICIOS:
50. TASA DE CAPTURAS LINEAL DE N:
El modelo logstico con capturas puede mejorarse si tomamos en
cada instante de tiempo una tasa de capturas diferente en funcin
del nmero total de individuos, la situacin ms sencilla ser la de
considerar una tasa de capturas proporcional a N, tendremos as:
Para algn valor de la constante ". Es fcil observar que esta
ecuacin puede re-escribirse como una nueva ecuacin logstica, con
diferentes constantes, lgicamente:
51. ELIMINACIO DE DROGAS:
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En muchos casos la cantidad A(t) de cierta droga en el torrente
sanguneo, medida por el exceso sobre el nivel natural de la droga,
disminuye a una razn proporcional a la cantidad excedente. Es
decir:
52. CRECIMIENTO RESTRINGIDO:
La poblacin en general, o un organismo en particular, no crecen
indefinidamente. Hay limitaciones como la escasez de alimento,
vivienda, espacio, condiciones fsicas intolerables, etc. Supongamos
que existe un lmite superior fijo para el tamao de una poblacin,
individuo, tejido etc., donde el tamao puede ser: un nmero
(cantidad), el volumen, el peso, el dimetro, etc.. Llamamos B al
lmite superior de N (t) entonces podemos aproximar N(t)
asintticamente a B.
53. MODELO LOGSTICO CON CAPTURAS:
Tasa de capturas constante Una modificacin muy interesante del
modelo logstico, y con muchas aplicaciones prcticas, viene dada por
la consideracin de una \tasa de capturas" o \cosecha" (o de pesca,
caza, etc. segn cada caso). Desde el punto de vista de la ley de
conservacin expuesta en el tema anterior, la modificacin del modelo
se reduce a considerar una tasa de migraciones que en un principio,
como caso ms simple, podemos considerar constante:
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ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS
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Donde se asume que E > 0 (y tiene unidades de nmero de
individuos por unidad de tiempo). Esta ecuacin continua siendo de
variables separadas, si bien su integracin es ligeramente ms
complicada que la correspondiente al modelo logstico. La solucin
general viene dada por la realizacin de las cuadraturas
siguientes:
54. CRECIMIENTO DE UNA CELULA:
Comencemos suponiendo que una clula tiene una masa m0 y en un
medio ideal crece. De este modo vemos que su masa variar en funcin
del tiempo. Esto se expresa de la siguiente manera: m=m(t)
Supondremos adems, que los compuestos qumicos pasan rpidamente la
pared de la clula, en este caso su crecimiento slo est determinado
por la velocidad del metabolismo dentro de la clula. Como el
metabolismo depende de la masa de las molculas participantes,
podemos pensar que la velocidad de crecimiento es proporcional a la
masa en cada instante. Podemos expresar este hecho de la siguiente
manera:
a= cte. de proporcionalidad a>0 Esta ecuacin corresponde a la
ecuacin de crecimiento (1), sin embargo esta ecuacin tiene una
restriccin: m
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Por tanto, la asuncin bsica del modelo de crecimiento
exponencial (r constante) se traduce en que las tasas intrnsecas de
nacimiento y muertes tienen que permanecer constantes.
BIOGRAFA DE JOHN NAPIER:
John Napier (Neper), barn de Merchiston (Edimburgo, 1550 - 4 de
abril de 1617) fue un
matemtico escocs, reconocido por ser el primero en definir los
logaritmos. Tambin hizo
comn el uso del punto decimal en las operaciones aritmticas.
Naci en el ao 1550 en el castillo de Merchiston (Edimburgo). A
los trece aos, en 1563 comenz sus estudios en la Universidad de
Saint-Andrews, de la que sali aos ms tarde para viajar por el
continente europeo.
De regreso a Merchiston en 1571 contrajo matrimonio al ao
siguiente, administrando a partir de entonces los bienes de la
familia por encargo de su padre, al tiempo que continuaba sus
estudios de matemticas y teologa.
A pesar de haber pasado a la posteridad por sus contribuciones
en el campo de las matemticas, para Napier era sta una actividad de
distraccin siendo su preocupacin fundamental la exgesis del
Apocalipsis, a la que se consagr desde su estancia en el colegio.
Fruto de esta labor fue su publicacin Descubrimientos de todos los
secretos del Apocalipsis de San Juan, por dos tratados: uno que
busca y prueba la verdadera interpretacin, y otro que aplica al
texto esta interpretacin parafrsticamente e histricamente. La
originalidad de su estudio es la aplicacin del formalismo matemtico
en la argumentacin, de modo que admitiendo ciertos postulados,
llega a demostrar sus proposiciones. Entre ellas, Napier predijo el
fin del mundo para los aos 1668 a 1700. [cita requerida]
En 1614 Napier publica su obra Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio, ejusque usus in utroque Trigonometra; ut etiam in omni
logstica mathematica, amplissimi, facillimi, et expeditissimi
explicatio, en la que da a conocer los logaritmos que l llam nmeros
artificiales.
Merced a estos nmeros las multiplicaciones pueden sustituirse
por sumas, las divisiones por restas, las potencias por productos y
las races por divisiones, lo que no slo simplific enormemente la
realizacin manual de los clculos matemticos, sino que permiti
realizar otros que sin su invencin no hubieran sido posibles.
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ECUACIONES DIFERENCIALES COMO MODELOS MATEMTICOS
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En 1617 apareci su obra Rabdologi seu numerationis per virgulas
libri duo: cum appendice expeditissimo multiplicationis
promptuario, quibus accesit et arithmetic localis liber unus, en la
que describe el baco neperiano.
Una cita de Pierre-Simon Laplace hace mencin y honor al
descubrimiento y aplicacin de los logaritmos por Napier:
Con la reduccin del trabajo de varios meses de clculo a unos
pocos das, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la
vida de los astrnomos.