แรงไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าสถิต

ฟสกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/

1

หนวยท 1 แรงไฟฟาและสนามไฟฟาสถต

1.1 ประจไฟฟา และกฎคลอมบ

ชาวกรกรจกแรงไฟฟาสถตตงแต 600 ปกอนครสตศกราช โดย ธาลส (Thales) นกปราชญชาวกรก

พบวาเมอถแทงอาพนกบผาขนสตวแทงอาพนจะสามารถดงดดของทมนาหนก เบาได เชน ขนนก เศษฟางชน

เลกๆ คาวา electricity จงมาจากคาวา elektron หมายถงแทงอาพนในภาษากรก การศกษาแรง

แมเหลกไฟฟาอยางจรงจงเรมราว ๆ ปลายครสตศตวรรษท 17

ค.ศ. 1771 คาเวนดช (Cavendish) ไดทดลองแรงไฟฟาสถต

ค.ศ. 1752 เบนจามน แฟรงคลน เปนผกาหนดประจบวกประจลบ โดยใหประจทเกดบนแทงแกว

เมอถกบผาไหมเปนประจบวก ประจบนแทงยางแขงเมอถกบผาขนสตวเปนประจลบ

ค.ศ. 1785 คลอมบ (Coulomb) เรมเสนองานวจยเกยวกบไฟฟาสถต และเสนอกฎการหาแรงไฟฟา

เรยกวากฎคลอมบ

ค.ศ. 1913 นล บอร (Neil Bohr) ไดศกษาโครงสรางของอะตอมพบวาประจไฟฟาทเกดขนเมอนา

แทงแกวถกบผาไหม หรอแทงยางถกบผาขนสตวนนเปนสวนประกอบอยางหนงของอะตอม

อะตอมประกอบดวยอนภาคมลฐานทสาคญ คอ โปรตอน นวตรอนและอเลกตรอน โปรตอนและ

นวตรอนอยดวยกนในนวเคลยส มอเลกตรอนวนรอบนวเคลยส อเลกตรอนอาจมเพยง 1 ตว หรอหลายตว

ขนอยกบวาเปนอะตอมของธาตใด นวเคลยสมเสนผาศนยกลางประมาณ 10-15 เมตร สวนรศมของวงโคจร

ของอเลกตรอน (Bohr radius) ประมาณ 0.529 × 10-10 เมตร ในทางวทยาศาสตรกาหนดใหอเลกตรอน

เปนประจไฟฟาลบ นวตรอนไมแสดงอานาจประจไฟฟา โปรตอนมประจไฟฟาบวก ในสภาพปกตอะตอมของ

ธาตหนง ๆ จะมจานวนอเลกตรอนและโปรตอนเทากน อะตอมจงมสภาพเปนกลางทางไฟฟา

ตาราง 1.1 แสดงขนาดของประจและมวลของอนภาคในอะตอม

อนภาค สญลกษณ ประจ มวล

โปรตอน p + 1.6021×10-19 คลอมบ 1.67252 × 10-27 กโลกรม

นวตรอน n 0 1.67482 × 10-27 กโลกรม

อเลกตรอน e - 1.6021×10-19 คลอมบ 9.109 1 × 10-31 กโลกรม

จานวนโปรตอนหรออเลกตรอนของแตละธาตดไดจากเลขอะตอมของธาต (atomic number)

อเลกตรอนทงหมดของธาตตาง ๆ ไมไดอยรวมกนเปนวงเดยว แตจะโคจรรอบนวเคลยสเปนชน ๆ อเลกตรอน


2

จะอยในแตละวงดวยจานวนทเปนตามกฎเกณฑทแนนอน แตจานวน อเลกตรอนในวงนอกสดจะมไดไมเกน

8 ตว เรยกอเลกตรอนทอยวงนอกสดนวา วาเลนซ อเลกตรอน (valence electron)

เมอใหพลงงานแกอะตอม วาเลนซอเลกตรอนเปนวงทไดรบพลงงานกอนวงอน วาเลนซอเลกตรอน

จงหลดจากวงโคจรเปนอเลกตรอนอสระไดงาย ๆ วธทจะทาใหอเลกตรอนหลดเปนอสระ เชน การขดส การให

รงสตกกระทบบนอะตอมดงเชนในกรณโฟโตเซล การใหพลงงานความรอนแกอะตอม เชน การเผาไหมหลอด

วทย อะตอมใดทสญเสยอเลกตรอนอะตอมนนจะแสดงอานาจประจไฟฟาบวก อะตอมใดเปนฝายไดรบ

อเลกตรอนอะตอมนนจะแสดงอานาจประจไฟฟาลบ

สมบตของประจไฟฟาทสาคญประการหนงคอประจทเลกทสดจะมขนาดเทากบ 1.6021 × 10-19 ค

ลอมบ ไมพบประจทมขนาดเลกกวาน และขนาดประจจะมคาเปนจานวนเตมคณกบขนาดประจทเลกทสดน

เสมอ ขนาดของประจไฟฟาจงมคาไมตอเนอง เราเรยกวาประจเปนปรมาณทถกควอนไทซ (quantized)

จานวนประจในระบบหนงซงแยกเปนเอกเทศจากระบบอนจะมคาคงทเสมอ ไมสามารถทาใหเกด

ประจเพมขนใหมหรอสญหายไปได หรอกลาวเปนกฎวา ผลรวมแบบพชคณตของประจบวกและลบของระบบ

ทเวลาใด ๆ ยอมไมเปลยนแปลง เราเรยกกฎนวา กฎการอนรกษของประจ (charge conservative law)

หลกการนนาไปใชในปฎกรยาเคม ปฏกรยานวเคลยร แมแตในกระบวนการทเกยวกบพลงงานสง ๆ เชน โฟ

ตอน ทมพลงงานมากกวา 1 MeV ทาใหเกดอนภาคคคอ อเลกตรอน และ โปสตรอน กยงคงเปนไปตาม

หลกการอนรกษประจ

1.1.1 กฎของคลอมบ คลอมบ ( Charles Coulomb, ค.ศ. 1736-1806 ) วศวกรชาวฝรงเศส ไดศกษาและทดลองหาอนตร

กรยาระหวางประจ 2 ประจทอยนง พบวา

1. ขนาดของแรงทเกดขนแปรผนตรงกบผลคณของประจทงสอง และแปรผกผนกบกาลงสองของ

ระยะทางระหวางประจทงสอง

2. ประจชนดเดยวกนจะเปนแรงผลก ถาเปนประจตางชนดกนแรงทไดจะเปนแรงดงดด

3. ทศของแรงอยในแนวเสนตรงทเชอมระหวางประจทงสอง

รป 1.1 แสดงเวกเตอรบอกตาแหนงของ q1 และ q2


3

จากรป ให q1 และ q2 เปนจดประจวางหางกนเปนระยะ |r| ตองการหาแรงกระทาบน q2

เนองมาจากถก q1 กระทา จากกฎของคลอมบ จะได

vF12 =

kq q

rr1 2

2 $ ...................(1.1)

ในทานองเดยวกน แรงทประจ q2 กระทาบน q1 จะมขนาดเทากน แตมทศตรงกนขาม

ให vr1 และ vr2 เปนเวกเตอรบอกตาแหนง (position vector) ของประจ q1 และ q2 ตามลาดบ

ความสมพนธระหวาง vr1 , vr2 และ vr เขยนไดดงน

vr = v vr r2 1−

ยนตเวกเตอร r� = r r r

r rr

r

r r

r r| | | |=

−−

2 1

2 1

สมการ (1.1) จงเขยนไดใหมดงน

vF12 =

kq q

rr1 2

3| |r

.................... (1.2)

k เปนคาคงทจะมคาเทาใดนนขนอยกบระบบทใชวด ระบบ SI แรงทวดมหนวยเปนนวตน (N)

ประจมหนวยเปนคลอมบ (C หรอ Coul) ระยะระหวางประจมหนวยเปนเมตร (m)

จากการทดลองพบวา คา k ในระบบ SI มคาเทากบ 1

4 0πε เมอ ε0 เปนสภาพยอมของ

สญญากาศ(permittivity) หรอคาคงทไดอเลกตรกของสญญากาศ = 8.854 × 10-12 ฟารด/เมตร

ดงนน คาคงท k ในสญญากาศจงเทากบ 8.9874×109 นวตน.เมตร2/(คลอมบ)2 กฎของค

ลอมบในสญญากาศจงเขยนไดเปน

vF12 = 1

4 0

1 23πε

q q

rr

| |r ...................(1.3)

1.1.2 คานวณโจทยเกยวกบกฎคลอมบ ตวอยาง1.1 จดประจวางอยในตาแหนงดงรป เมอ q1 = q3 = 5 ไมโครคลอมบ , q2 = -5 ไมโคร

คลอมบ และ a = 0.1 เมตร จงหาแรงลพธทกระทาบน q3

รป 1.2 แสดงประจในตวอยาง 1.1


4

วธทา ตองการหาแรงไฟฟาทเกดขนท q3 ใหคดวา q3 เปนฝายถกประจ q1 และ q2 สงแรงมากระทา

แผนภาพของแรงแสดงไวในรป 1.2

ให F31 เปนแรงทเกดจากประจ q1 กระทาบนประจ q3

F31 = 231

0 r

qq

4

1

πε

แทนคา q1 q3 และ r = 22 aa + m ลงไปในสมการ จะได

ให F32 เปนแรงทเกดจากประจ q2 กระทาบนประจ q3

F32 = 232

0 a

qq

4

1

πε

แทนคา q2 q3 และ a = 0.1 m ลงไปในสมการ จะได

F31 = 2

662

29

)m1.0(

)C105)(C102)(C

m.N109( −− ××−×

N

= -9 N ( เครองหมายลบแสดงใหรวาเปนแรงดงดด)

มมระหวาง F31 กบ F32 คอ 135 องศา แรงลพธ F3 หาไดจาก

F3 = 0

3231232

231 135cosFF2FF ++

= 022 135cos)9)(25.11(2925.11 ++

= 8.023 N

ทศของแรงลพธ F3 ทามมกบแนวแรง F32 หาไดจาก

= )135cosFF

135sinF(tan 0

3132

0311

+−

= tan-1 (10.75)

= 84.70 องศา


5

ตวอยาง 1.2 ทรงกลมเลก ๆ 2 ลก มประจชนดเดยวกนขนาดเทากน แตละลกมมวล 3 x 10−2 kgแขวนดงรป

เชอกยาว L = 0.15 m และทามม θ= 50 จงหาขนาดของประจในแตละลกทรงกลม

รป 1.3 แสดงแผนภาพของแรงในตวอยาง 1.2

วธทา แรงผลกทางไฟฟา Fe ทเกดขนทลกทรงกลมแตละลกมขนาดเทากน จงคดการสมดลของแรงบนทรง

กลมลกใดลกหนงกเพยงพอ แผนผงของแรงทงหลายทกระทาบนลกทรงกลมแสดงไวในรป 1.3 (b)

เมอทรงกลมอยนง

Fe = T sin θ (1)

Mg = T cos θ (2)

นาสมการ (1) และ (2) หารกน จะได

Fe = mg tan θ

แทนคา Fe = 2

2

0 )a2(

q

4

1

πε และ a = Lsin θ = Lsin 50

จะได

q = 022

0 5tan)mg)(5sinL4(4πε

แทนคาตามทโจทยกาหนดให


6

จากทงสองตวอยางจะเหนวาไมไดคดถงมวลของประจไฟฟา อนทจรงแลวมวลยอมทาใหเกดแรง

โนมถวงดวย เมอเปรยบเทยบแรงไฟฟา (FE) กบแรงโนมถวง (FG) โดยพจารณาอะตอมไฮโดรเจนซงม

อเลกตรอนและโปรตอนอยางละหนงตวอยหางกน ( r ) 0. 53×10-10 เมตร จะได

F

FE

G

= ke r

Gm m rp e

2 2

2

/

/ = 2.27 × 1039

G คอ คาคงทของแรงโนมถวง 6.67 x 10 -11 นวตน.ตารางเมตร/กโลกรม2

mp, me คอ มวลของโปรตอนและอเลกตรอนตามลาดบ ดจากตาราง 1.1

แรงโนมถวงมคานอยมากเมอเทยบกบแรงไฟฟา ในการคานวณจงตดแรงโนมถวงระหวางมวล

ของประจทงได

ตวอยางตอไปนเปนการนาวธวเคราะหเวกเตอร มาประยกตหาแรงคลอมบ* ตวอยาง 1.3 กาหนดให q1 = 470 ไมโครคลอมบ อยทตาแหนง (1,2,4) เมตร q2 = 250 ไมโครคลอมบ

อยทตาแหนง (3,3,0) เมตร จงหาแรงทประจ q1 กระทาบนประจ q2

รป 1.4 แสดงเวกเตอรตาแหนงของจดประจในตวอยาง1.3

วธทา q2 เปนประจทถก q1 สงแรงมากระทา ระยะหางระหวางประจทงสอง คอ | |r rr r2 1−

แรงทเกดขนบน q2

r

r rr r

Fkq q

r rr r12

1 2

2 13 2 1=

−−

| |( )

ในทน

r rr r2 1− = 2 4$ $ $i j k+ − เมตร

| |r rr r2 1− = 2 1 42 2 2+ + = 4.583 เมตร

แทนคา

F = ( )( )( )( $ $ $ )

( . )

9 10 470 10 250 10 2 4

4 583

9 6 6

3

× × × + −− − i j k นวตน

= kji ˆ944.43ˆ986.10ˆ972.21 −+ นวตน


7

1.2 สนามไฟฟา (Electric Field) ถาวางประจ q ไวอยางโดดเดยวจะไมมแรงไฟฟาปรากฏขน แตถานาประจ q0 มาวางไวใกล ๆ

ประจ q พบวาจะมแรงไฟฟากระทาบน q0 ขนาดของแรงจะมากหรอนอยขนอยกบขนาดของ q0 และระยะหาง

ระหวางประจทงสอง กลาวไดวา q0 อยในบรเวณสนามของแรงไฟฟาของ q ถานาประจอน ๆ มาวางในสนาม

ของ q บาง ขนาดของแรงไฟฟาทเกดขนบนประจนนยอมไมเทากบแรงไฟฟาทเกดขนบน q0 ขนาดของแรง

ขนอยกบขนาดของประจทนามาวาง การอธบายแรงทเกดขนเพราะอทธพลของ q จะสะดวกขนถามปรมาณ

สกปรมาณหนงทไมขนอยกบขนาดของประจทนามาวาง ปรมาณ "สนามไฟฟา" จงมขนเพราะเหตน

1.2.1 นยามของสนามไฟฟา นยามของสนามไฟฟาทจดหนง ๆ คอแรงทกระทาตอประจขนาดหนงหนวยทจดนน

ให E เปนสญลกษณทใชเขยนแทนสนามไฟฟา

vE =

rF

q0

vE = 1

4

1

0

02

0πεqq

rr

q| |$( )

vE =

1

4 02πε

q

rr

| |$ ...................(1.4)

หนวยของสนามไฟฟามหนวยเปน นวตน/คลอมบ ( N/C) หรอ โวลต/เมตร ( V/m) นยามของ E

ในสมการ (1.4) นน มเงอนไขอยวา q จะตองเปนประจทอยนง q0 ตองมคานอยทสดเทาทจะทาได มฉะนน

สนามไฟฟาของ q0 จะทาใหเกดแรงบน q ทาใหประจ q มการเคลอนท หรอไมกจะทาใหเกดการเหนยวนา

ประจในสาร (ในกรณท q อยในสารใด ๆ) สมการ (1.4) เขยนใหมไดเปน

vE = lim

q

F

q0 00

→

v

นวตน/คลอมบ ...................(1.5)

เราเรยก q0วาเปนประจทดสอบ (test charge) และไมมทางทาให q0 มคานอยกวา 1.6 × 10-19 C

1.2.2 สนามไฟฟาของจดประจ ถามประจอย n ตว คอ q1,q2,..qn ประจ q0วางอยในสนามไฟฟาของประจเหลาน แรงไฟฟาท

กระทาบน q0 เนองจากประจ n ตว หาไดโดยหาสนามของประจ q1 เพยงตวเดยว (vE1) หา

สนามของประจ q2 (vE 2) เพยงตวเดยว ทาอยางนเรอย ๆ ไป จนถง qnแลวหาสนามรวมโดยอาศยการรวมแบบ

เวกเตอร ถงแมวาจะมประจเรยงรายอยหลายตวกตาม อนตรกรยาระหวางประจใด ๆ กบประจ qn จะไมม

การเปลยนแปลง ในการหาสนามไฟฟาของประจตวใดตวหนง สนามไฟฟาของประจตวอนทมไดนามาคดจะ

ไมมผลรบกวนตอคาสนามน จงสามารถหาสนามของประจแตละตวได วธการเชนนเรยกวา principle of

superposition


8

ตวอยาง 1.4 โปรตอนตวหนงวางอยในสนามไฟฟา 2.0 x 104 N/c มทศในแนวแกน +x จงหาแรงไฟฟาท

เกดขนบนโปรตอนน

วธทา ขนาดประจของโปรตอนคอ 1.6 x 10-19 C แรงไฟฟาทเกดขนทประจคอ

เมอ i คอ เวกเตอรหนวย มทศชไปในแนว +x

ตวอยาง 1.5 ประจ q1 = 7 ไมโครคลอมบ วางอยทจดกาเนดและประจ q2 = -5 ไมโครคลอมบ วางอยบน

แกน x หางจากจดกาเนด 0.3 m จงหาสนามไฟฟาทจด P ซงอยทตาแหนง (0,0.40) m

รป 1.5 แสดงการหาสนามไฟฟาในตวอยาง 1.6 สนามไฟฟาลพธทจด P เกดจากผลรวมแบบ

เวกเตอรของสนาม E1 และ E2

วธทา ขนแรก หาขนาดของสนามไฟฟาทเกดจากจดประจแตละตว E1 เปนสนามไฟฟาทเกดจากประจ 7.0

ไมโครคลอมบ E2 เปนสนามไฟฟาทเกดจากประจ -5.0 ไมโครคลอมบ


9

เวกเตอร E1 มทศในแนวแกน y สวน เวกเตอร E2 สามารถแตกเปนเวกเตอรยอยในแนวแกน x จะ

ได E2 cos θ = 3 E2 / 5 และเวกเตอรยอยในแนวแกน – y จะได E2 sin θ = - 4 E2 / 5 สามารถเขยนเปน

เวกเตอรไดเปน

ตวอยาง 1.6 ประจไฟฟาแบบขวค (dipole) ประกอบดวยประจบวกและลบ ขนาด q เทากน วางหางกน

เปนระยะ 2a ดงรป จงหาสนามไฟฟาทเกดจากขวคไฟฟาน ทตาแหนง P ซงอยบนแกน y ให คดวา y >> a

รป 1.6 สนามไฟฟาทเกดจากขวคไฟฟา

วธทา ประจบวกและลบอยหางจากจดกาเนดเปนระยะ a เทากน จด P ซงอยบนแกน y จงอยหางจากประจ

ทงสองเปนระยะเทากน สนามไฟฟา E1 และ E2 ซงเปนเกดจากประจบวกและลบตามลาดบจะมขนาดเทากน

ดวย สนามไฟฟาลพธ E หาไดจาก 21 EEErsr

+= โดยท


10

เมอพจารณาจากรป 1.6 จะเหนวาสนามไฟฟายอยของ E1 และ E2ในแนวแกน y จะหกลางกน

หมดไป เหลอแตสนามไฟฟายอยในแนวแกน x เทานน สนามไฟฟาลพธจงมแตสนามในแนวเกน x หรอมทศ

ขนานกบแกน x ขนาดเทากบ 2E1 cos θ

E = 2E1 cos θ = 22220 ay

a

ay

q2

4

1

++πε

= 2

3220

)ay(

qa2

4

1

+πε

เมอ y >> a สามารถใชการประมาณคาโดยตดเทอม a2 ทงได สมการจะกลายเปน

= 30 y

qa2

4

1

πε N/C

จะเหนวาขนาดของสนามไฟฟาทเกดจากประจขวคไฟฟาจะแปรผนกบ 1 / y3 ซงตางจากกรณ

ของจดประจซงจะแปรผนตาม 1 / y2 สนามไฟฟาทเกดจากขวคไฟฟาจะลดคาลงอยางรวดเรวกวาทงนเพราะ

มการหกลางกนระหวางสนามไฟฟาของประจตางชนดกน โมเลกลของสารบางชนดมลกษณะเหมอนขวค

ไฟฟา เชน HCl

ตวอยาง 1.7 ระยะหางระหวางนวเคลยสของโมเลกลไฮโดรเจนเปน b ทระยะใดความเขมของสนามไฟฟาท

เกดจากประจบวกจะมคามากทสด ใหถอวานวเคลยสทงสองของไฮโดรเจนไมมการเคลอนท ไมคานงถง

สนามไฟฟาจากอเลกตรอน

วธทา ตองการหาระยะ x ซงทาใหเกดสนามไฟฟาคามากทสด สนามไฟฟาทจด x ใด ๆ เกดจากผลรวมของ

สนามไฟฟา E1 และ E2

E1 = 21r

kq =

)4

bx(

kq2

2 +N /C

รป 1.7 หาสนามไฟฟาทเกดจากนวเคลยสของโมเลกลไฮโดรเจน


11

E2 = 22r

kq =

)4

bx(

kq2

2 + N/C

สนามไฟฟาลพธทจด x ใด ๆ v v vE E E= +1 2 จากรปจะเหนวาสนามไฟฟายอยในแนวแกน y

จะหกลางกนหมดไปเหลอเฉพาะสนามไฟฟาในแนวแกน x เทานน

E = Ex = 2E1 cos θ

E = 2/3

22 )

2

bx(

kqx2

+ N/C ทศในแนวแกน +x

หาตาแหนงทสนามไฟฟามคามากทสด นนคอ

d E

dx

| |v

= 0

d

dx

kqx

xb

2

42

23 2( ) /+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟ = 0

x = ±b

2 2

สนามไฟฟาทเกดจากนวเคลยสของโมเลกลไฮโดรเจนมคามากทสดทระยะ x = ± b/ 2 2

123 สนามไฟฟาของประจซงกระจายอยางตอเนอง กรณทประจกระจายอยางตอเนอง การหาสนามไฟฟาทาไดโดยแบงประจเปนสวนเลก ๆ ขนาด

dq ประจขนาด dq จะทาใหเกดสนามไฟฟาทระยะ |r| มคาเทากบ dEv

dq

A dE

รป 1.9 การหาสนามไฟฟาทจด A เมอประจกระจายอยางตอเนอง


12

dEv

= kdq

rr

| |$r 2

หาสนามไฟฟาของประจทงหมดทาไดโดยการอนทเกรต

vE = r

r

kdq

qall

ˆ|| 2r∫ ..........................(1.8)

การกระจายของประจ dq จะอยในรปความหนาแนนประจตอความยาว หรอตอหนงหนวยพนท

หรอตอหนงหนวยปรมาตร ขนอยกบการเรยงตวของประจมลกษณะอยางไร ดงทจะไดเหนจากตวอยางตอไปน

ตวอยาง 1.8 แทงโลหะยาวอนนต มประจบวกกระจายอยางสมาเสมอ ความหนาแนนประจเชงเสน

= λ จงหาสนามไฟฟาทจด P ดงรป

รป 1.10 สนามไฟฟาทเกดจากประจตอเนองเปนรปเสนตรงยาวอนนต

วธทา สนามไฟฟาทจด P อนเนองมาจากประจ dq ตามรปคอ

20 r

dq

4

1dE

πε=

ตามรป 1.10 dq = λ dx r = y cosec θ แทนคาจะได

θλ

= 22 cscy

dxKdE

เมอ K = 1 / 4 πε0

แต x = y cot θ ดงนน θθ−= dcscydx 2 แทนคาในสมการจะได


13

y

dK

cscy

dcscyKdE 22

2 θλ=

θθθλ

=

ดงนนสนามไฟฟารวมทงหมดทเกดจากแทงโลหะยาวอนนตคอ

∫θλ

=y

dKE

ในแนวแกน x ∫θθλ

=θ=y

dcosKcosEE x ทาการอนทเกรตจะไดและแทนคาเงอนไขจะได

∫∫π

θθλ

=θθλ

=0

x dcosy

K

y

dcosKE

)0sin(siny

K)sin(

y

K

0−π

λ=θ

λ=

π

0Ex =

ในแนวแกน y ∫θθλ

=θ=y

dsinKsinEE y ทาการอนทเกรตจะไดและแทนคาเงอนไขจะได

∫∫π

θθλ

=θθλ

=0

y dsiny

K

y

dsinKE

)cos0(cosy

K)cos(

y

K

0π−

λ=θ−

λ=

π

y

K2E y

λ=

นนคอสนามไฟฟาจากเสนลวดจะมเฉพาะตามแนวรศมเทานนและมขนาดเปน y

K2E

λ=

ตวอยาง 1.9 จงหาสนามไฟฟาจากประจไฟฟาบวกทกระจายตวสมาเสมอทงหมด Q อยบนวงแหวนรศม a ท

จดหางจากศนยกลางวงแหวนไปเปนระยะ x ดงรป 1.11

รป 1.11 ประจกระจายอยางสมาเสมอเปนรปวงแหวน


14

วธทา สนามไฟฟาทจด P อนเนองมาจากประจ dq ตามรปคอ

2r

KdqdE =

ตามรป 2/122222

)xa(

x

r

xcos,xar

+==θ+= แทนคาจะได

2/322 )ax(

KxdqdE

+=

เนองจากลกษณะสมมาตรจะทาใหสนามไฟฟามเฉพาะในแนวแกน x ดรป 1.11 ข ประกอบ ดงนน

สนามไฟฟาทงหมดทเกดจากวงแหวนคอ

∫∫ +=

+= dq

)ax(

Kx

)ax(

KxdqE 2/3222/322x

หรอ

2/322x)ax(

KQxE

+=

จะเหนวา ท จดศนยกลางของวงแหวน x = 0 สนามไฟฟามคาเปนศนย

ตวอยาง 1.10 ประจบวกกระจายบนจานกลมรศม R ความหนาแนนประจเชงพนท เทากบ σ ตองการ

หาสนามไฟฟาทจด P ซงเปนจดใด ๆ บนแนวแกน z ดงรป 1.12

รป 1.12 ประจบนแผนจานกลมรศม R


15

วธทา เพอหลกเลยงการอนทเกรตแบบสองชน จงแบงพนทจานกลมออกเปนวงแหวนเลก ๆ จานวนมาก

ตงแต r = 0 จนถง r = R พจารณาวงแหวนเลก ๆ วงหนงซงอยหางจากจดศนยกลางของจานกลมเทากบ r

ใด ๆ ความกวางของวงแหวนเทากบ dr

ประจทกระจายอยบนวงแหวนเลก ๆ ทพจารณานคอ dq

dq = σdA = σ(2πr dr)

เมอ dA คอพนทวงแหวนเลก ๆ

ประจ dq ทอยบนวงแหวนนจะทาใหเกดสนามไฟฟาทจด P สนามไฟฟาทเกดจากวงแหวนน เราเคย

หาไวแลวในตวอยางท 1.10 จะนาผลทไดมาใชในตวอยางน จะได

2/322 )rz(

)rdr2(KzdE

+π=

ตองการหาสนามไฟฟาทเกดจากจานกลมทงแผน ซงจานกลมนเกดจากวงแหวนเลก ๆ เรยงเปนวงตงแต

r = 0 ถง r = R นนคอจะตองอนทเกรตตงแต r = 0 ถง r = R จงจะไดสนามไฟฟารวมทงหมดของจานกลมน

∫= +ε

σ=

R

0r2/322

0 )rz(

rdr2

4

zE

))rz(

z1(

2E 2/122

0 +−

εσ

=

ผลลพธทไดคอขนาดของสนามไฟฟาทเกดจากประจรปจานกลม และคอวา z > 0 ถาแผนประจรป

จานกลมนมขนาดใหญมาก ๆ ( R -> ∞ ) ขนาดของสนามจะไดเปน

02

Eεσ

= N/C

1.3 กฎของเกาส สนามไฟฟาของประจแบบตาง ๆ จากตวอยางทผานมาจะเหนวามคาตาง ๆ กน ขนอยกบลกษณะ

ของประจทเปนแหลงกาเนดสนาม สมการทไดอยในรปสมการเวกเตอร การอธบายขนาดและทศทางของ

สนามไฟฟาโดยอาศยสมการเหลาน ทาใหมองภาพของสนามไฟฟาไดลาบาก เพอทจะไดมองเหน

สนามไฟฟาใหมลกษณะเปนรปธรรมมากขน ไมเคล ฟาราเดย ไดเสนอใหใชเสนแรงแสดงลกษณะของ

สนามไฟฟา โดยใหเสนแรงกบสนามไฟฟามความสมพนธกนดงน

1. เสนสมผสของเสนแรงทจดใด ๆ จะบอกทศทางของสนามไฟฟาทจดนน


16

2. จานวนเสนแรงทผานพนทหนาตดจะแปรผนตรงกบความเขมของสนามไฟฟา

รป 1.13 ก. เสนแรงไฟฟาทเกดจากจดประจบวก

ข. เสนแรงทเกดจากจดประจลบ

ค. เสนแรงทเกดจากประจตรงขามทมขนาดเทากน

ง. เสนแรงทเกดจากประจชนดเดยวกนมขนาดเทากน

1.3.1 ฟลกซไฟฟา กฎของเกาสใชหาสนามไฟฟาของประจทมการกระจายเปนรปเสนตรง พนท หรอ ปรมาตร โดยท

ไมตองใชคณตศาสตรทยงยาก

ฟลกซ (flux) ของสนามไฟฟา หมายถง จานวนเสนแรงไฟฟาทพงผานพนททกาหนดให สมมตวา

พนท A วางอยในสนามไฟฟาดงรป ฟลกซทงหมดทผานพนท A หาไดดงน แบงพนทออกเปนสวนเลก ๆ ขนาด

∆s เพราะพนทไมไดเปนแผนเรยบ ทศของ E กบทศของ ∆s ทตาแหนงตาง ๆ มคาไมเทากน เรยก ∆s วา

เปนเวกเตอรพนท มทศตงไดฉากกบพนทสวนเลก ๆ เสมอ

รป 1.14 แสดงเสนแรงไฟฟาผานพนทผว ทศของ E ทามม θ กบทศของ ∆s


17

ฟลกซทผานพนทเลกๆ = E∆s cos θ = v rE s.∆

ตองการหาฟลกซทงหมดทผานพนท A ทาไดโดยรวมพนทเลกๆ ∆s ทก ๆ คา

ฟลกซทงหมด(Φ ) = v rE si

i

n

.∆=∑

1

ถาเราแบง ∆s ใหมคานอยมาก ( ∆s→ 0)

∫∑ =∆→∆

s

ii

SsdEsErrrr

..lim0

หนวยของฟลกซคอ นวตน-เมตร2/คลอมบ ถา E มทศพงเขาสภายในผวปดฟลกซจะเปนลบ แตถา E

มทศพงออกจากผวปด คาฟลกซ เปนบวก

ถาพนทผวทเสนแรงพงผานไมมชองวางตดตอระหวางภายในกบภายนอก เรยกพนทนวาเปนผว

ปด (closed surface) ฟลกซทงหมดทผานผวปดคอ

Φ= ∫ r rE ds

s

. ..........................(1.10)

เครองหมายวงกลมรอบอนทเกรตเปนการบอกวาอนทเกรตน คอ การอนทเกรตรอบผวปด (closed

surface integral)

ตวอยาง 1.11 ผวปดทรงกระบอกรศม R วางอยในสนามไฟฟาขนาดคงท E จงหาฟลกซทงหมดทผานพนท

ผวปดน

รป 1.15 ผวปดรปทรงกระบอกในสนามไฟฟาคาคงทมทศขนานกบแกนของทรงกระบอก

วธทา ฟลกซจะผานผวปด 3 ดานคอ ผานผวราบดานซาย ผวดานขาง และผานผวราบดานขวา

Φ= ∫r rE ds

cylinder

.

Φ= + +∫ ∫ ∫v v v v v vE ds E ds E dsA B C

. . .

Φ= + + ∫∫∫Eds Eds Eds

CBA

cos cos cos180 90 0


18

E มคาคงท และ ds R=∫ π 2

Φ= − + +E R E Rπ π2 20

ฟลกซทผานผวปดรปทรงกระบอกมคาเปนศนย เสนแรงพงผานผวปดดาน A แลวทะลผาน

ผวปดทดาน C

ซง เกาส ไดหาความสมพนธระหวางฟลกซทผานผวปดกบประจภายในผวปดดงน

Φ=q

ε 0

หรอ r rE ds

q

S

. =∫ ε 0

........................(1.11)

เมอ q คอประจสทธภายในผวปด ถา φ = 0 แสดงวาภายในผวปดนนไมมประจไฟฟา

อยเลย

1.3.2 การนากฎของเกาสไปหาสนามไฟฟา หลกการนากฎของเกาสไปหาสนามไฟฟามดงน

1. ตองรทศทางของสนามไฟฟามากอน กฎของเกาสใชหาเฉพาะขนาดของสนามไฟฟาเทานน

2. ตองใหตาแหนงทตองการหาสนามเปนจด ๆ หนงบนผวปดนน

3. ผวปดควรมรปทรงเปนแบบเรขาคณต และเสนแรงทผานผวปดควรตงไดฉากหรอขนานกบผว

ปด และขนาดของ E ควรมคาคงท

4. ผวปดควรมลกษณะสมมาตรเมอมองเทยบกบประจ ตวอยาง 1.13 จงหาสนามไฟฟาของจดประจทระยะ r ใดๆ

วธทา สนามไฟฟาของจดประจมทศพงออกจากประจบวกทกทศทกทาง ผวปดทเหมาะสม คอผวปด

รปทรงกลมรศม r โดยใหจดประจอยทจดศนยกลางของทรงกลม

รป 1.16 ผวปดของเกาสรปทรงกลมรศม r ปดลอมจดประจ q


19

เสนแรงของสนามไฟฟาจะมทศตงไดฉากกบเสนสมผสของผวทรงกลมทจดใดๆ (หรอมทศ

เดยวกบทศ dS) ขนาดของสนามไฟฟาบนผวทรงกลมจะมคาเทากนทกจด

จากกฎของเกาสจะได r rE ds

q

S

. =∫ ε 0

เพราะ E มคาคงททก ๆ จดบนผวปด จะได

E dsq

=∫ε0

ds∫ คอ พนทผวทรงกลมทงหมด = 2rπ4

E( 2rπ4 ) = 0ε

q

Eq

r=

4 02πε

ซงเปนคาสนามไฟฟาของจดประจ สมการทไดเหมอนกบทหาไดจากกฎของคลอมบ

ตวอยาง 1.14 เสนประจยาวอนนต ความหนาแนนประจเชงเสน = λ คลอมบ/เมตร ตองการหา

สนามไฟฟาทอยหางจากเสนประจเปนระยะ r

วธทา เลอกผวปดรปทรงกระบอกยาว L รศม r ใหเสนประจผานแกนของทรงกระบอก

ประจสทธในผวปด = λL คลอมบ

จากกฎของเกาส r rE ds

q

S

. =∫ ε 0

Eds Eds EdsL

LeftArea RightAreaSideArea

cos cos cos90 0 900

∫ ∫∫+ + =λε

rLπ2E = 0ε

Lλ

E = r02πε

λ นวตน/คลอมบ

ผลลพธเหมอนกบการใชวธอนทเกรตในตวอยาง 1.8

รป 1.17 ผวปดทรงกระบอกยาว L ปดลอมเสนประจยาวอนนต


20

ตวอยาง 1.15 จงหาสนามไฟฟาของประจทกระจายเปนแผนขนาดอนนต มความหนาแนนประจตอพนท

เทากบ σ คลอมบ/ตารางเมตร

วธทา ให E เปนสนามไฟฟาทจดซงอยหางจากแผนประจในแนวตงฉากเปนระยะ r

เพราะประจกระจายเปนแผนขนาดอนนต สนามในแนวราบทขนานกบแผนจะหกลางกน หมดไป

เหลอแตสนามไฟฟาในแนวตงฉากกบแผนซงมอย 2 ทางคอ ซายมอ และขวามอ เพอทจะใหมลกษณะ

สมมาตรและครอบคลมเสนแรงทงสองดานจงเลอกผวปดรปทรงกระบอกพนทหนาตด A ยาว 2r

∫ ∫∫ =++S RL

AEdsEdsEds

0

0cos90cos0cosεσ

EA + EA = 0εAσ

E = 0ε2

σ นวตน/คลอมบ

ขนาดของสนามไฟฟาขนอยกบ σ ไมขนอยกบ r

ตวอยาง 1.16 จงหาขนาดของสนามไฟฟาทเกดจากประจขนาด q0 กระจายเปนรปทรงกลมตนรศม R ความ

หนาแนนประจ/ปรมาตร เทากบ ρ ให r เปนระยะใด ๆ วดจากจดศนยกลางไปยงจดทตองการหาสนามไฟฟา

ก. r > R ข. r < R

วธทา ก. เมอ r > R สรางผวปดเปนทรงกลมรศม r ประจสทธมคา = q0

r rE ds

q

S

. =∫ε0

Eq

r= 0

024πε

รป 1.18 ผวปดทรงกระบอกยาว 2r ปด ลอมแผนประจขนาดอนนต

รป 1.19 สรางผวปดปดลอมประจ เมอ r > R


21

ประจทกระจายบนผวทรงกลมจะประพฤตตวเสมอนกบวาประจทงหมดรวมตวกนอยทจด

ศนยกลางของวงกลม

ข. เมอ 0 < r < R กรณนตองสรางผวปดทรงกลมรศม r เชนกนแตประจสทธภายในผวปดจะไม

เทากบ q0 ดงนน 3

0

Rπ3

4q

ρ =

ประจภายในรศม r = 3rπ3

4ρ

= qor3 /R3

v vE ds.∫ =

30

30

Rεrq

E 2rπ4 = 3

0

30

Rεrq

E = 3

0

0

Rπε4

rq

สนามไฟฟาภายในทรงกลมประจจะแปรผนตรงกบ r สวนสนามภายนอกแปรผนกบ 1/r2

รป 1.21 สนามไฟฟาเปนฟงกชนกบ r

รป 1.20 สรางผวปดรปทรงกลมรศม r

ในกรณ 0 < r < R


22

14 ศกยไฟฟา (Electric Potential) 1.4.1 นยามของศกยไฟฟา การนยามศกยไฟฟาจะเรมตนจาก "งาน" โดยใหประจขนาด q0 วางอยในสนามไฟฟา

vE ขนาด

และทศทางไมจาเปนตองคงท จะเกดแรงทางไฟฟา vF กระทาบนประจ q0 ขนาดของแรงคอ

vF = q0E ผล

ของแรงทาให q0 เคลอนทดวยความเรงในทศทางของสนามไฟฟา

ถาตองการใหประจ q0 เคลอนทในทศทางสวนกบสนามตองใสแรงภายนอกมขนาดอยางนอย

ทสดเทากบ −vF = -q0

vE จงทาให q0 พอดเคลอนในสนามไฟฟาได

ตองการหางานทใชในการเคลอนทประจจาก A ไปยง B แบงเสนทางการเคลอนท

ออกเปนสวนเลก ๆ ขนาด dl งานปรมาณเลกทเกดขนบนเสนทางน คอ dW จะได

dW = แรงคณกบการขจดในแนวแรง

= -Fcos θ dl

= -q0 E.dl

งานทงหมดทใชในการเคลอนทประจจาก A ไปยง B คอ W = -q E dlA

B

0

v v.∫

นยามความตางศกยไฟฟาทจด B เทยบกบจด A คองานททาในการเคลอนประจบวก

1 หนวยจาก A ไปยง B

V = w

qE dl

A

B

0

= − ∫ rr

. จล/คลอมบ หรอ โวลต

....................(1.12)

เราเรยกจด A วาจดอางอง ถาเลอน A ไปไวไกล ๆ (A → ∞)สมการจะกลายเปน

V = −∞

∫ rr

E dlB

. ....................(1.13)

รป 1.22 เคลอนประจ q0 ฝาสนามไฟฟาจากจด A ไปยงจด B


23

จงนยามความหมายของศกยไฟฟา คอ "งานททาในการเคลอนประจบวกขนาดหนงหนวยจากระยะ

อนนตถงจด B หรอคอความตางศกยทจด B เทยบกบตาแหนงทมศกยไฟฟาเปนศนย" ในทางปฏบตจะถอวา

พนโลกมศกยไฟฟาเปนศนย

หนวยของความตางศกยไฟฟามหนวยเปน โวลต หรอ จล ตอ คลอมบ ซงเปนหนวยวดพลงงานตอ

ประจหนงหนวย หรออาจกลาวไดวา เมอเคลอนประจ 1 คลอมบ ผานบรเวณทมความตางศกยไฟฟา 1 โวลต

จะไดงานในการกระทาเชนน เทากบ 1 จล

หนวยวดพลงงานในวชาฟสกสอะตอมหรอฟสกสนวเคลยร จะมหนวยวดเปน electron volt (eV)

พลงงาน 1 eV หมายถงพลงงานของอเลกตรอน (หรอ โปรตอน) 1 ตวทมคาเพมขนหรอลดลงเมออเลกตรอนน

เคลอนทผานบรเวณทมความตางศกยไฟฟา 1 โวลต เนองจากประจ 1 ตวมคา 1.60 ×10-19 คลอมบ

ความสมพนธระหวาง อเลกตรอนโวลต และจลจงหาไดดงน

1 eV = (1.60 ×10-19 C)( 1 V) = 1.60 ×10-19 J

ลาอเลกตรอนในหลอดโทรทศนมความเรวประมาณ 5.0 × 107 เมตร/วนาท อเลกตรอนมพลงงาน

จลน 1.1 × 10-15 จล หรอเทากบ 7.1 × 103 eV อเลกตรอนเคลอนทจากหยดนงจนมความเรวคาดงกลาว

จะตองผานบรเวณทมความตางศกยสงถง 7.1 kV

1.4.2 ความตางศกยไฟฟาในสนามไฟฟาทมคาสมาเสมอ กลาวถงความตางศกยไฟฟาระหวางจดสองจดในสนามไฟฟาทมคาคงท คาความตางศกยทไดจะไม

ขนอยกบเสนทางการเคลอนประจระหวางจดสองจด นนคองานทไดจากการเคลอนประจระหวางจด A ไปยง

จด B ในสนามไฟฟาทมคาสมาเสมอจะมคาเทากนเสมอทก ๆ เสนทาง จงเรยกสนามไฟฟาทมคาสมาเสมอน

วาเปนสนามอนรกษ (Conservative field)

เรมตนดวยการพจารณาสนามไฟฟาทมทศพงในแนว –y ดงรป 1.23 ก. จด A และ จด B อยหางกน

เปนระยะ d (โดยวดในแนวเสนตรงขนานกบทศของ E)

รป 1.23 เปรยบเทยบการเคลอนทของประจในสนามไฟฟากบมวลในสนามโนมถวง


24

ความตางศกยไฟฟาทจด B เทยบกบจด A หาไดจาก

VB - VA = ∆V = ∫−B

A

ld.Err

= ∫−B

A

dl.0cosE

= ∫−B

A

dl.E

เพราะวา E มคาคงท สามารถนา E ออกจากเครองหมายอนทเกรตได

∆V = ∫−B

A

dlE = -Ed โวลต

เครองหมายลบแสดงวาจด B อยตากวา จด A หรอ VB < VA สนามไฟฟาจะมทศชไปในแนวทคา

ความตางศกยมคานอยลงเสมอ

ใหประจทดสอบทใชในการเคลอนทจากจด A ไปยงจด B เปนประจบวกมคา q0 พลงงานศกยทาง

ไฟฟาทเปลยนไปคอ

∆W = q0∆V = -q0Ed โวลต

จากสมการนจะเหนวาเมอ q0 เปนประจบวก พลงงานศกยทเปลยนไป (∆W) จะมคาตดลบ นนคอ

สนามไฟฟาเปนฝายทาใหเกดงานเมอเคลอนประจบวกไปในทศเดยวกนกบทศของสนามไฟฟา (ซงคลายกบ

งานซงทาโดยสนามโนมถวงของโลกเมอมวล m ตกอยางอสระ ในรป 1.23 ข.)

ถา q0 เปนประจลบ คา ∆W จะมคาเปนบวก นนคอประจลบทเคลอนทในทศเดยวกบทศของ

สนามไฟฟาจะไดรบพลงงานศกยเพมขน ถาประจลบนเคลอนทอยางอสระจากจดหยดนง ประจจะมความเรง

ในทศตรงขามกบทศของสนามไฟฟา

รป 1.24 ประจบวกเคลอนทจากจด A ไปยงจด B ทศการเคลอนทไมขนานกบทศของ E

เมอพจารณากรณทประจเคลอนทระหวางจด 2 จดดงรปท 1.22 ให s เปนระยะกระจดระหวางจด A

และ จด B ความตางศกยไฟฟาทจด B เทยบกบจด A คอ


25

∆V = ∫ ⋅−B

A

ldEvv

= ∫⋅−B

A

ldEvv

= sEvv ⋅− โวลต

พลงงานศกยของประจทเปลยนแปลงไปคอ

∆W = q0∆V = -q0 sEvv ⋅

จะเหนวาทก ๆ จด ทอยในแนวเสน BC จะมคาความตางศกยไฟฟาเทยบกบจด A เทากนเสมอ หรอ

ระนาบทตงฉากกบทศของสนามไฟฟาทมคาคงทจะมคาศกยไฟฟาเทากนทกจดบนระนาบน ระนาบทมคา

ศกยไฟฟาเทากนทกจดจะเรยกพนทผวนวาเปน ผวสมศกย (Equipotential surface)

ตวอยาง 1.17 แบตเตอรขนาด 12 V ตอกบแผนตวนาทวางขนานกน ระยะหาง 0.3 cm. ใหถอวาสนามไฟฟาท

เกดขนทระหวางแผนขนานมความสมาเสมอ (โดยคดวาแผนขนานมขนาดใหญมากเมอเทยบกบระยะหาง

ระหวางแผน และไมคดถงสนามตรงบรเวณขอบของแผนซงมคาไมตอเนอง)จงหาคาสนามไฟฟาระหวางแผน

ขนานน

วธทา สนามไฟฟามทศจากแผนบวกสแผนลบ ศกยไฟฟาทแผนบวกจงมคามากกวาทแผนลบ ความตางศกย

ทเกดขนทแผนขนานจะตองเทากบความตางศกยทตกครอมแบตเตอร และทก ๆ จดบนแผนตวนาจะมคา

ความตางศกยเทากนดวย (ไมคานงถงความตางศกยทอาจตกครอมทสายไฟ) จะไดสนามไฟฟาระหวางแผน

คอ

รป 1.25 แบตเตอรเชอมตอกบแผนขนานทมขนาดใหญเมอเทยบกบระยะหาง

E = d

|VV| BB − =

m1030.0

V122−×

= 4.0 × 103 V/m

การจดวางแผนขนานในลกษณะนเรยกวาตวเกบประจแบบแผนขนาน ซงจะกลาวตอไปในบทเรองตวเกบ

ประจ


26

1.4.3 ความตางศกยไฟฟาของจดประจ การหาความตางศกยไฟฟาทจด B เทยบกบจด A ในสนามไฟฟา

vE ซงเกดจากการเคลอนทประจ

ขนาด q สวนกบทศสนามไฟฟา หาไดจาก

V V V E dlBA B AA

B

= − = −∫ cosθ

ในทน E = kq/r2 เมอแตก dl ไปในทศทางของสนามคอ dl cosθ พบวา dl cos θ = dr

แทนคาลงไปในสมการจะได

VB - VA = − ∫ kq

rdr

r

r

A

B

2

= kqr rB A

( )1 1− โวลต

ถา rA อยหางเปนระยะ ∞ VA = 0

ดงนน VB = kq

rB โวลต

เขยนอยในรปทวไป V = kq

r โวลต ....................(1.14)

ถาตาแหนงทตองการคานวณหาศกยไฟฟานนอยในสนามไฟฟาทเกดจากประจหลายตว ให

คานวณหาศกยไฟฟาทเกดจากประจแตละตวแลวหาผลรวมของศกยไฟฟาแบบพชคณตโดยไมตองคานงถง

ทศทาง

รป 1.26 ความตางศกยทจด B เทยบกบ Aซงเกดจากสนามของจดประจ


27

ตวอยาง 1.18 ประจ q1 , q2 , q3 และ q4 วางอยทมมทงสของสเหลยมจตรสมดานแตละดานยาว d จง

ศกยไฟฟาทจด P ซงเปนจดกงกลางของสเหลยมจตรสน ให q1 = +12 nC, q2 = -24 nC ,

q3 = +31 nC และ q4 = +17 nC d = 1.3 m

รป 1.27 ประจอยทมมสเหลยมจตรส

วธทา

เพราะวาประจทกตวอยหางจากจด P เปนระยะเทากนคอ r = 2

d2 = 0.919 m

ศกยไฟฟารวมทจด P คอ V = r

qqqq

4

1 3321

0

+++πε

= 919.0

)C10)17312412)((C/m.N109( 9229 −×++−×

= 350 V

เสนประทเสดงไวในรปทางขวามอนน แสดงใหเหนระนาบของผวสมศกย ทก ๆ จดบนระนาบนจะมคา

ศกยไฟฟาเทากบจด P

ตวอยาง 1.19 จงหาศกยไฟฟาทเกดจากขวคไฟฟาวางหางกนเปนระยะ 2a ทระยะ r ใด ๆ

ดงภาพ ให r >> 2a

รป 1.28 ศกยไฟฟาทเกดจาก ขวคไฟฟา


28

วธทา ให V+ เปนศกยไฟฟาทเกดจากประจ +q

10 r

q

4

1V

πε=+

ให V- เปนศกยไฟฟาทเกดจากประจ -q

Vq

r− =−1

4 0 2πε

ศกยไฟฟารวมทจด P เทากบ V = V+ + V-

Vq

r r= +

4

1 1

0 1 2πε( )

แต r >> a

r1 = ( cos ) /r a ra2 2 1 22+ − θ

1

1r = ( cos ) /r a ra2 2 1 22+ − −θ

1

1r =

11

r

a

r( cos ...)+ +θ

ในทานองเดยวกน

1

2r =

11

r

a

r( cos ...)+ +θ

แทนคา r1 และ r2 จะได

V = q

r

a

r r

a

r4

1 1

02 2πε

θ θ( cos cos )+ − +

V = 2

4 02

aq

r

cosθπε

....................(1.15)

ศกยไฟฟาของขวคไฟฟาจะแปรผกผนกบ r2 ศกยไฟฟาของจดประจจะแปรผกผนกบ r

ศกยไฟฟาของขวคไฟฟายงขนอยกบมม θ ดวย ศกยไฟฟามคามากทสดเมอจด P อยในแนวแกนของขวค

ไฟฟา จะมคานอยทสดเมอจด P อยในแนวเสนทตงไดฉากกบแกนของขวคไฟฟาทจดแบงครง


29

ตวอยาง 1.20 ประจอยทมมของสามเหลยมดานเทามความยาวดานละ d กาหนดให q1 = +q

q2 = -4q, q3 = +2q d = 12 cm โดยท q = 150 nC จงหาพลงงานศกยทางไฟฟาของระบบประจน

รป 1.29 จดประจวางอยทมมของสามเหลยมดานเทา

วธทา การหาพลงงานศกยของระบบเรมตนดวย การคดวาใหประจ q1 วางอยทตาแหนงมมซายของ

สามเหลยม ประจ q2 ถกเคลอนทจากตาแหนงอนนต มาวางทตาแหนงมมบนของสามเหลยม

พลงงานทใชในการเคลอนประจ q2 มาวางไวตาแหนงนคอ

U12 = d

qq

4

1 21

0πε

จากนนนาประจ q3 เคลอนทจากระยะอนนตมาวางไวทตาแหนง มมลางซายของสามเหลยม โดยฝา

สนามไฟฟาทเกดจาก q1 และ q2 ศกยไฟฟา ทเกดจาก q1 ณท ตาแหนง q3 อย คอ V1 ศกยไฟฟา ทเกดจาก

q2 ณท ตาแหนง q3 อย คอ V2 พลงงานศกยทางไฟฟาทเกดขนบน q3 คอ

U13 = d

qq

4

1 31

0πε และ

U23 = d

qq

4

1 32

0πε

พลงงานศกยทงหมดของระบบ (U ) คอผลรวมของพลงงานศกยทเกดขนทประจแตละตว (ไมวาเรา

จะลาดบการวางประจอยางไร ผลรวมนจะเทากนเสมอ)

U = U12 + U13 + U23

= )d

qq

d

qq

d

qq(

4

1 323121

0

++πε


30

= )d

)q4)(q2(

d

)q2(q

d

)q4(q(

4

1

0

−++

−πε

= d

q10

4

1 2

0πε

แทนคา q , d จะได

U = -1.7 × 10-2 จล

พลงงานศกยมคาตดลบหมายถงเราตองใหงาน หรอใชแรงภายนอกในการเคลอนประจจากหยดนง

จากระยะอนนตมาวางไวทตาแหนงตาง ๆ ของสามเหลยม หรอถาจะใหประจกระจดกระจายจากรป

สามเหลยมน ระบบจะตองคายพลงงานออกมาเทากบ +1.7 × 10-2 จล

1.4.3 ศกยไฟฟาของกลมประจตอเนอง ถาการกระจายของประจมลกษณะตอเนองไมสามารถจาแนกเปนจดประจได การหาศกยไฟฟา

ในกรณนทาไดโดยแบงประจออกเปนสวนยอย ๆ ศกยไฟฟายอย ๆ (dV) อนเกดจากประจขนาดเลก ๆ (dq) ม

คาเปน

dVdq

r=

4 0πε

รป 1.30 ประจอยกนอยางตอเนอง

ตองการหาศกยไฟฟาทเกดจากประจทงกอนทาไดโดยอนทเกรต dV ทก ๆ คาของ q

Vdq

rall q= ∫1

4 0πε ....................(1.16)


31

ตวอยาง 1.21 ประจกระจายเปนรปวงแหวนรศม a มความหนาแนนประจเทากบ λ คลอมบตอเมตร วางอย

ในระนาบ xy มจดศนยกลางของวงแหวนอยทจดกาเนด จงหาศกยไฟฟาทจดใด ๆ บนแกน z

รป 1.31 การหาศกยไฟฟาจากประจรปวงแหวน

วธทา ให P เปนจดทตองการหาศกยอยในแนวแกน z

ประจบนวงแหวนอยหางจากจด P เปนระยะเทา ๆ กนคอ z a2 2+

จาก Vdq

rall q= ∫1

4 0πε

ในทน dq = λdl , r = z a2 2+

ดงนน V = 1

4 02 2πελdl

z a+∫

เพราะ dl คอเสนรอบวงกลมทมรศม a นนเอง

จะได V = 1

4

2

02 2πελπa

z a+

กาหนดให aλπ2 = q สมการจะกลายเปน

V = 1

4 02 2πεq

z a+ ...................(1.17)

ถาจด P อยหางจากวงแหวนมคามาก ๆ (z >> a) สมการขางบนสามารถเขยนใหมไดเปน

V = 1

41

02

2

πεq

za

z+

เพราะวา a2/ z 2 มคานอยมาก จนถอวามคาเปนศนยได

V = 1

4 0πεq

z


32

1.4.4 ความสมพนธระหวางสนามไฟฟากบศกยไฟฟา จากนยามของศกยไฟฟาทาใหไดสมการ V E dr= −∫

r r. จดรปใหมใหอยในรป

สมการดฟเฟอเรนเชยล จะได

dV = −r rE dr. = − − −E dx E dy E dzx y z

เพราะวา V เปนฟงกชนทขนอยกบการขจด ดงนนการเปลยนแปลงทงหมดของ V คอ

dV = ∂∂

∂∂

∂∂

V

xdx

V

ydy

V

zdz+ +

เมอเทยบสมประสทธ จะได

EV

x

EV

y

EV

z

x

y

z

= −

= −

= −

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

∂∂∂∂∂∂

...................(1.18)

หรอเขยนสน ๆวา E = −∇v

V

ในการคานวณหาสนามไฟฟาจงทาไดโดยหาศกยไฟฟาทจดนน การเปลยนแปลงศกยไฟฟาใน

แนวแกนแตละแกนจะเปนสนามไฟฟายอยในแนวแกนนน สนามไฟฟามหนวยอกแบบหนง คอ โวลต/เมตร

ตวอยาง 1.22 จงหาสนามไฟฟาทจดใด ๆ บนแกน z ซงเกดจากประจความหนาแนน σ คลอมบตอตาราง

เมตร กระจายเปนรปจานกลมรศม a วางอยในระนาบ xy

วธทา ให P เปนตาแหนงทตองการหาสนามไฟฟา กอนอนตองหาศกยไฟฟาเสยกอน โดยแบงจานกลม

ออกเปนวงแหวนเลก ๆ จานกลมเปนเสมอนวาเกดจากวงแหวนเลก ๆ เรยงซอนกนพจารณาวงแหวนอนหนง

(อนทแรเงาสดา) อยหางจดศนยกลางเปนระยะ r วงแหวนมความกวาง = dr

รป 1.32 ประจรปจานกลมรศม a


33

ให dq เปนขนาดประจบนวงแหวนนมคา = σrdrπ2

ประจ dq ทาใหเกดศกยไฟฟาขนาด dV ทจด P โดยท

dV = 1

4 0πεdq

R โวลต

ในทน R = (r2 + z2 )1/2 แทนคา dq และ dr จะได

dV = σε2 0

2 2

rdr

r z+ โวลต

ศกยไฟฟาทจด P เกดจากวงแหวนเลก ๆ หลายวงเรยงซอนกนตงแต r = 0 ถง r = a ดงนน

V = ∫=

= +

ar

r zr

rdr

02202ε

σ

V = )(2

22

0

zza −+εσ โวลต

ตองการหาสนามไฟฟาทจด P คอ vE = −∇

vV

จะได vE = k

az

z ˆ)1(2 220 +

−εσ โวลต/เมตร

1.5 ความจไฟฟาและสารไดอเลกตรก

1.5.1 นยามของความจไฟฟา เมอนาตวนาไฟฟารปทรงใด ๆ 2 ชนวางอยในสญญากาศ หรอตวกลางทเปนฉนวน ใสประจลงบน

ตวนาทงสอง โดยใหตวนาชนหนงเปนประจบวก อกชนหนงเปนประจลบ ขนาดประจเทากน ประจสทธบน

ตวนาทงสองมคาเปนศนย เราเรยกตวนาทงสองนวาเปน ตวเกบประจ (Capacitor) สนามไฟฟาและความ

ศกยไฟฟาระหวางตวนาทงสองจะขนอยกบขนาดประจทสะสมอยบนตวนา ถาใสประจบนตวนาเพมขน

ขนาดของความตางศกยไฟฟาของตวนาทงสองจะสงขนตามไปดวย นนคอ

รป 1.33 ตวนาในสนามไฟฟา


34

Q ∝ V

Q = CV .......................(1.19)

เมอ C คอความจไฟฟาของตวนาเปนอตราสวนระหวางประจไฟฟาทสะสมกบศกย

ไฟฟาของตวนานน เปนคาคงทขนอยกบรปทรงเรขาคณตของตวนาและชนดของตวกลางทตวนาวางอย ไมวา

จะใสประจเพมสกเทาใด คา C ของตวนานนกจะไมเปลยนแปลง หนวยของความ

จไฟฟา คอ คลอมบ/โวลต เรยกวา ฟารด (Farad)

1 F = V1

C1

ในทางปฏบตตวเกบประจประกอบดวยตวนาแบบแผน 2 ชน วางไวหาง ๆ กน ตรงชองวาง

ระหวางตวนาอาจเปนสญญากาศหรอสารไดอเลกตรก ตวนาแตละชนเรยกวาอเลกโตรด (electrode )

รป 1.34 ตวเกบประจแบบแผนขนาน

ให Q เปนขนาดของประจบนแตละแผน V เปนความตางศกยระหวางแผน a กบ b

จะได Q = CV

C = Q / V

ในวงจรไฟฟา จะใชสญลกษณ แทนตวเกบประจทมคาคงท และ สาหรบตวเกบ

ประจทสามารถปรบคาได เราใชตวเกบประจในวงจรกรองกระแส เพอใหกระแสตรงทไมสมาเสมอ เปน

กระแสตรงทเรยบ ใชในวงจรสงสญญาณวทย รวมกบคอลย ใชเปลยนคลนวทยใหมความถตามทตองการ ใช

สรางสนามไฟฟาทเกดขนระหวางแผนขนาน ใชในการศกษาการเบยงเบนของอเลกตรอน

1.5.2 ความจไฟฟาของตวเกบประจรปทรงตาง ๆ ขนตอนในการคานวณหาคาความจไฟฟามไดดงน

1. หาสนามไฟฟาทเกดจากประจมาสะสมกนทตวนา

2. คานวณหาศกยไฟฟาระหวางแผนตวนาทงสองโดยใชสตร Vab = − ⋅∫ v vE dl

b

a

3. คานวณหาคา C จาก สตร C = Q / V


35

ตวอยาง 1.23 จงหาคาความจไฟฟาของตวเกบประจแบบแผนขนาน แตละแผนมขนาด A มประจ Q วาง

หางกนเปนระยะ d

วธทา คดวาสนามไฟฟาทเกดจากแผนประจมคาสมาเสมอ โดยไมคดสนามตรงบรเวณขอบของแผน

สนามไฟฟาตรงบรเวณขอบจะมคาไมสมาเสมอ (fringing effect)

รป 1.35 แผนขนานแตละแผนมขนาด A วางหางกนเปนระยะ d

จากกฎของเกาส จะไดสนามจากแผนประจมคาเปน |E| = 0εσ =

0εA

Q

ความตางศกยระหวางแผน a และ b

V = - ∫ E.dl = -∫ Edl cos 180

= ∫ Edl = Ed

C = Q/V = Q/Ed

= d

A0ε ฟารด .....(1.20)

ตวเกบประจแบบแผนขนานจะมคาความจมากหรอนอยขนอยกบความกวางยาวของแผน และ

จะมคาผกผนกบระยะหางระหวางแผน

ตวอยาง 1.24 จงหาความจไฟฟาของทรงกลมตวนา 2 ลกซอนกน มจดศนยกลางรวมกน รศม a,bตามลาดบ

( b > a)

รป 1.36 ตวเกบประจแบบทรงกลม

d

b a

a b


36

วธทา สนามไฟฟาของตวนาทรงกลม =Q

r4 02πε

∫ ∫−=−=b

a

b

aba 180cosEdlld.EV

rr

เพราะ dl = -dr

]a

b

b

a

b

a 02

0ba

r4

Q

r

dr

4

QEdlV ∫ ∫ πε

=πε

==

)b

1

a

1(

4

QV

0ba −

πε=

ดงนนความจไฟฟา C = Q / V = 4 0πε ab

b a( )− ฟารด .....................(1.21)

ถาทรงกลม a วางอยอยางโดดเดยว หรอทรงกลม b มรศมทมความยาวอนนต จะไดความจไฟฟา

ของทรงกลมรศม a คอ C = lim( )

b

a b

a→∞

−=

41 1

400

πεπε

โลกมรศม 6.36 × 106 เมตร แทนคาในสตรขางบน จะไดวาโลกมความจไฟฟาเพยง 700 ไมโคร

ฟารด แสดงวาฟารดเปนหนวยทใหญมาก

ทรงกลมตวนารศม a ความจไฟฟาของทรงกลมคอ 4πε0a เราสามารถใสประจลงบนทรงกลมได

ไมมขดจากดไดหรอไม คาตอบขนอยกบวาทรงกลมนนวางอยในตวกลางอะไร ถาเปนอากาศ อากาศจะแตก

ตวกลายเปนอออนกลายเปนตวนาไฟฟาเมอสนามไฟฟามความเขม 3 × 10 6 นวตน/คลอมบ เมอใสประจบน

ทรงกลมจนทาใหศกยไฟฟาบนทรงกลมสงขน และคาสนามไฟฟามคาเกนขดจากดดงกลาว ประจบนทรงกลม

จะถกถายเทสอากาศ ประจไฟฟาสงสดบนตวนาทรงกลมหนง ๆ จงขนอยกบคาสนามไฟฟาสงสดของตวกลาง

ทประจวางอย

ถาทรงกลมรศม 1 เซนตเมตร เราสามารถใหประจทาใหเกดความตางศกยไฟฟาสงสดไดกโวลต

Vmax = q

aaE

4 0πε= max

ในทน a = 1 เซนตเมตร Emax = 3 × 106 นวตน/คลอมบ Vmax = 30,000 โวลต

ถาทรงกลมรศม 2 เมตร Vmax = 6 เมกกะโวลต


37

ตวอยาง 1.25 ตวเกบประจรปทรงกระบอกมรศมภายในของทรงกระบอกภายใน เปน a และมประจ +Q

และทรงกระบอกทลอมรอบภายนอกมรศม b มประจ −Q จงหาคาความจของตวเกบประจนถาทรงกระบอก

ยาว L

รป 1.37 ตวเกบประจรปทรงกระบอก รศมภายในและภายนอก = a และ b ยาว L

วธทา ใหความยาวของทรงกระบอก L มคามาก ๆ เมอเทยบกบ รศมของทรงกระบอก ในกรณเชนนเรา

สามารถตดคาความไมคงทของสนามไฟฟาตรงบรเวณปลายของทรงกระบอกได โดยคดวาเสนแรงไฟฟามทศ

พงตงไดฉากกบแกนของทรงกระบอกเสมอ ความตางศกยทผวของทรงกระบอกหาไดจาก

VB - VA = ∫−b

a

rd.Evv

เมอ E คอสนามไฟฟาระหวางผวทรงกระบอก (บรเวณ a < r < b) จากตวอยาง 1.14 แสดงให

เหนวาสนามไฟฟาทเกดจากแทงประจยาวมาก ๆ มความหนาแนนประจเชงเสน λ คอ E = 2kλ / r แทนคา E

ลงในสมการขางบน จะได

VB - VA = ∫λ−b

a r

rdk2

v

= )a

bln(k2 λ−

ความจไฟฟา C = Q / V

= )a

bln(

L2 0πε ฟารด

ตวอยางทสามารถเปนตวเกบประจแบบทรงกระบอกได ไดแกสายเคเบลแบบ Coaxial ซง

ประกอบดวยตวนาทเปนแกนกลาง และสวนทหอหมรอบนอก ระหวางตวนาถกกนดวยฉนวน ทศของกระแสท

ไหลในตวนาจะมทศตรงขามกน สวนทหอหมรอบนอกจะเปนตวปองกนสญญาณรบกวนจากภายนอกไมใหไป

มผลกระทบตอสญญาณทอยในตวนาทเปนแกนกลาง ความจไฟฟาของสายเคเบลนตอความยาวคอ

)ln(

2 0

a

bL

C πε=


38

1.5.3 การตอตวเกบประจ ถาตองการคาความจไฟฟาเฉพาะคาใดคาหนง ซงตวเกบประจไฟฟาคานนไมมขายในทองตลาด

ตองนาตวเกบประจตงแตสองตวขนไปมาตอเขาดวยกน เพอใหไดคาความจไฟฟาทตองการ ลกษณะการตอ

ตวเกบประจมอย 2 แบบ

1. การตอแบบขนาน การตอแบบนทาใหความตางศกยไฟฟาทขวของตวเกบประจแตละตวม

คาเทากน คอ ตางเทากบ V

รป 1.38 การตอ C แบบขนาน

ให q1 เปนประจบนตวเกบประจ C1 q1 = C1V



ให Q เปนประจทงหมดบนตวเกบประจทงสามตว

Q = q1 + q2 + q3

Q = Cรวม V

= V (C1 + C2 + C3)

จะได Cรวม = C1 + C2 + C3 ....................(1.22)

2. การตอแบบอนกรม การตอแบบนจะมผลใหประจบนตวเกบประจแตละตวมคา

เทากน

รป 1.39 การตอตวเกบประจแบบขนาน


39

Q = q1 = q2 = q3

q1 = C1V1

q2 = C2V2

q3 = C3V3

V1 , V2 และ V3 เปนศกยไฟฟาทตกครอมตวเกบประจแตละตว

V = V1 + V2 + V3

Q

C

q

C

q

C

q

C= + +1

1

2

2

3

3

จะไดความจไฟฟารวม 1 1 1 1

1 2 3C C C C= + + ....................(1.23)

1.5.4 พลงงานศกยไฟฟาทสะสมในตวเกบประจ เมอตอตวเกบประจเขากบเซลลไฟฟาพลงงานเคมในเซลลไฟฟาทาใหประจไปสะสมทแผนของตวเกบ

ประจ ลกษณะเชนนเราเรยกวาเปนการใหประจไฟฟา (charge) แกตวเกบประจ พลงงานเคมทเปลยนไปจะ

กลายเปนพลงงานศกยทางไฟฟาสะสมไวบนประจทตวเกบประจพลงงานนจะถกปลอยออกมาขณะทตวเกบ

ประจคายประจ (discharge)

ตองการหาวาพลงงานศกยทสะสมไวทตวเกบประจ เมอเวลา t = 0 ตวเกบประจมประจเปนศนย

เมอตอกบเซลลไฟฟาประจจากภายในเซลลจะถกเคลอนยายมคาเปน dq ขนาดของประจบนแผนตวเกบ

ประจจะแปรคาตามเวลา ประจจะหยดถายเทเมอศกยไฟฟาทขวของตวเกบประจมคาเทากบแรงเคลอนไฟฟา

ของขวเซลลไฟฟา จานวนประจทประจไดเตมทเปน q0

งานยอย ๆ ทใชในการเคลอนยายประจ (dw) = Vdq

= qdq/C

หางานทงหมด (W) ทใชในการเคลอนยายประจจากเรมตงแต 0 จนถง q0

W = ∫ dw = qdq

C

q

0

0

∫ = q0

2 /2C

= CV2/2 จล

รป 1.40 การหาพลงงานศกยทสะสมบนตวเกบประจ

q

V


40

ตวอยาง 1.26 จากรป 1.38 C1 ถกชารจดวยแหลงจายไฟขนาด 120 โวลต ให C1 = 8 ไมโครฟารด C2 =

4 ไมโครฟารด เมอสวตชตอกบตาแหนง AB. จงหา

ก. ประจทสะสมอยบน C1

ข. พลงงานทสะสมอยใน C1

ค. จากนนเปลยนตาแหนงสวตชมายงตาแหนง AC จงหาประจบน C1 และC2

ง. พลงงานสดทายทอยบน C1 และ C2

รป 1.41 คานวณพลงงานศกยทสะสมบนตวเกบประจ

วธทา เมอสวตชอยทตาแหนง AB

Q0 = C1V0 = 8 x 10-6 ×120

= 960 ไมโครคลอมบ

พลงงานทสะสมบน C1 = Q0V0/ 2 = 0.0576 จล

เมอเปลยนตาแหนงสวตชมาท AC ประจ Q0 บน C1 จะถกถายเทมายงตวเกบประจ C2 ประจจะหยด

ถายเทเมอความตางศกยทตกครอมตวเกบประจทงสองมคาเทากน

ให Q1 เปนประจ บน C1 Q1 = C1 V

ให Q2 เปนประจ บน C2 Q2 = C2V

โดยท Q1 + Q2 = Q0

ให V เปนความตางศกยทขวตวเกบประจ เมอประจหยดการถายเท

จะได V = ( )

( ) ( )

Q Q

C C

Q

C C1 2

1 2

0

1 2

++

=+

= 960 ไมโครคลอมบ / 12 ไมโครฟารด

= 80 โวลต

Q1 = 640 ไมโครคลอมบ

Q2 = 320 ไมโครคลอมบ

พลงงานศกยทสะสมอยทบน C1 และ C2 = Q V0

2 = 0.0384 จล


41

จะเหนวาพลงงานทไดในตอนหลงนมคานอยกวาตอนแรก พลงงานสวนทหายไปเปลยนรปไป

เปนพลงงานอน ถาความตานทานในวงจรมคามาก พลงงานสวนทหายไปจะอยในรปพลงงานความรอน ถา

ความตานทานในวงจรมคานอย พลงงานจะเปลยนเปนรปคลนแมเหลกไฟฟา ขบวนการในตวอยางน

เหมอนกบการชนกนแบบไมยดหยนในวชากลศาสตร อนภาคทกาลงเคลอนทดวยความเรวชนกบอนภาคทอย

นง โมเมนตมของระบบ p = mv มคาคงท ในทางไฟฟาQ = CV มคาคงท ขณะทพลงงานทางไฟฟา CV2

2

มการเปลยนแปลงคา ขณะทพลงงานจลนของอนภาค mv2

2มการแปรคาเชนกน

1.5.5 ตวเกบประจเมอมสารไดอเลกตรก ค.ศ. 1837 ไมเคล ฟาราเดยไดทาการทดลองใสสารไดอเลกตรกเขาไปในระหวางแผนขนานทง

สอง พบวาความตางศกยระหวางแผนมคาลดลง สนามไฟฟาระหวางแผนจะมคาลดลงตามไปดวย แตประจ

ทแผนไมมการรวไหล ประจทแผนกอนใสสารไดอเลกตรกและเมอใสแลวจงมคาเทากน

รป 1.42 เมอมสารไดอเลกตรกทแผนขนานของตวเกบประจ

ให V0 เปนความตางศกยระหวางแผน เมอเปนสญญากาศ

ให V เปนความตางศกยระหวางแผนเมอมสารไดอเลกตรก

ให C0 เปนความจไฟฟาของตวเกบประจแบบสญญากาศ

ให C เปนความจไฟฟาของตวเกบประจเมอมสารไดอเลกตรก

เพราะวา V นอยกวา V0 คา C จงมคามากกวา C0 ดวย นนคอ ตวเกบประจทมสารไดอเลกตรกอ

ยระหวางแผนจะมความจมากกวาตวเกบประจทเปนสญญากาศ

ให k เปนคาคงทไดอเลกตรก (dielectric constant)

k = C / C0 มคามากกวา 1 เสมอ


42

ตาราง 1.2 ตวอยางคาคงทของสารไดอเลกตรก ท 20 องศาเซลเชยส

สาร คาคงทไดอเลก

ตรก

สาร คาคงทไดอเลก

ตรก

สญญากาศ 1 เทฟลอน 2.1

แกว 5-10 เยอรมาเนยม 16

ไมกา 3-6 นาบรสทธ 80.4

ไมลาร 3.1 กลเซอรน 42.5

นโอพรน(Neoprene) 6.7 เบนซน 2.284

โพลเอธลน 2.25 แอมโมเนยเหลว(-78 C) 25

โพลวนลคลอไรด 3.18 อากาศ (1 บรรยากาศ) 1.0059

สารไดอเลกตรกเปนสารทยอมใหอานาจไฟฟาผานเนอสารได เมอสนามไฟฟาผานเนอสารจะทา

ใหเกดขวคไฟฟาหรอไดโพล (dipole) ในสารนน แตอะตอมของสารยดเหนยวกนอยางหนาแนน จงไมเกดประจ

อสระหรอกระแสไฟฟาในเนอสาร ยกเวนในกรณทสนามไฟฟามความเขมสงมาก จนทาใหเกดสภาพพงทะลาย

(dielectric breakdown) จะเกดประจอสระในสารทาใหสารนนกลายเปนตวนาไฟฟา

โดยปกตสารไดอเลกตรกเปนกลางทางไฟฟา เมอใสสารไดอเลกตรกเขาไปในระหวางแผนขนาน

ของตวเกบประจ สนามไฟฟาทผานในเนอสารจะทาใหเกดไดโพล ไดโพลพยายามจะเรยงตวในแนวเดยวกบ

ทศของสนาม แตการเรยงตวจะไมเปนระเบยบทงเนอสาร เพราะมผลของการสนสะเทอนของโมเลกลเขามา

รบกวน ทาใหสนามไฟฟาทเกดจากไดโพลมคานอยกวาสนามไฟฟาภายนอกเสมอ

รป 1.43 เมอสนามไฟฟาผานเนอสาร จะเกดไดโพลในเนอสารนน


43

ก. ข. ค.

รป 1.44 ก. แสดงสนามไฟฟาของตวเกบประจแบบแผนขนาน

ข. สนามไฟฟาของสารไดอเลกตรก

ค. สนามไฟฟาของแผนขนานจะหกลางกบสนามไฟฟาของสารไดอเลกตรก

ใหประจบนแผนขนานของตวเกบประจมความหนาแนน σ คลอมบ/เมตร2 ใหประจบนสารไดอ

เลกตรกมความหนาแนน σi คลอมบ/เมตร2 E เปนขนาดของสนามไฟฟาลพธระหวางแผนขนาน แผนขนานม

ขนาดใหญมากเมอเทยบกบระยะหางระหวางแผน

E = E0 - Ei = V / d = 0

i

0 εσ

−εσ

จาก k = C / C0 = V0 / V = E0 / E = )( iσ−σ

σ

หรอ Ek 0i ε=σ

=σ−σ

E = 0kεσ

ปรมาณ kε0 เรยกวา สภาพยอมของสารไดอเลกตรก (permittivity) ความจไฟฟาของตวเกบประจ

ทมสารไดอเลกตรกคอ

C = kC0 = dAk 0ε

= dAε

................(1.25)

เมอกาหนดให ε=ε0k

ในสญญากาศ k = 1 คา k ไมมหนวยเพราะวาเปนตวเลขทเกดจากอตราสวนของปรมาณ

เดยวกน หนวยของ ε0 และ ε มหนวยเดยวกนคอ คลอมบ2 / นวตน.เมตร2


44

ตวอยาง 1.27 ตวเกบประจแผนขนานมความจ Co เมอไมมไดอเลกตรก ถาใสไดอเลกตรกทหนา d/3 เขาไป

คาความจจะเปนเทาไร

วธทา

รป 1.45 ตวเกบประจแบบแผนขนาน เมอใสสารไดอเลกตรกหนา d /3

เมอใสสารไดอเลกตรกทระหวางแผนขนานของตวเกบประจ สารไดอเลกตรกจะทาใหตวเกบประจ

เสมอนกลายเปนตวเกบประจ 2 ตวตออนกรมกนดงรป 1.42 b

ความจไฟฟาของตวเกบประจตวท 1 C1 = 3/d

Ak 0ε

ความจไฟฟาของตวเกบประจตวท 2 C2 = 3/d2

A0ε

ความจไฟฟารวมของตวเกบประจ คอ

21 C

1

C

1

C

1+=

= A

3/d2

Ak

3/d

00 ε+

ε

C = d

A)

1k2

k3( 0ε

+ ฟารด


45

แบบฝกหดหนวยท 1 แรงไฟฟาและสนามไฟฟาสถต

กฎของคลอมบ

1.1 ถาตองการทาลายแรงดงดดระหวางโลกกบดวงจนทรโดยใชแรงผลกทางไฟฟา

ก. ตองใสประจบวกบนโลกและดวงจนทรจานวนเทากนขนาดเทาใด (5.72 x 1013 คลอมบ)

ข. ตองรระยะทางระหวางโลกกบดวงจนทรหรอไม

ค. ถาตองใชประจบวกจากแกสไฮโดรเจนจะตองใชไฮโดรเจนกกโลกรมจงจะไดประจบวกเทากบขอ ก.

( 5.935 x 105 กโลกรม )

(กาหนดใหมวลของโลก 6 x 1024 กโลกรม หนกเปน 81 เทาของดวงจนทร, G = 6.67 x 10-11 N.m2/kg2

ไฮโดรเจน 1 อะตอมหนก 1.66 x 10-27 กโลกรม)

1.2 นาแกวหนงมปรมาตร 250 ลกบาศกเซนตเมตร จงคานวณหาประจบวกในนาแกวน ใหนา 1 ลกบาศก

เซนตเมตร หนก 1 กรม ท 4 องศาเซลเซยส เลขอะโวกาโดร = 6.02 x 1023 โมเลกล/โมล (1.34 x 107 คลอมบ)

1.3 ประจ Q ถกแบงออกเปน 2 สวนคอ q และ Q-q จงหาความสมพนธระหวาง Q และ q ในเงอนไขททาให

เกดแรงผลกคามากทสดในชวงระยะทกาหนดใหคาหนง (q = Q/2)

1.4 อเลกโตรสโคปแบบหนงสามารถวดขนาดประจได โดยใชลกบอลขนาดเทากน 2 ลก แขวนไวดวยเชอก

เบาและเปนฉนวน มความยาว L ลกบอลแตละลกมมวล m ประจทงหมดบนลกบอลทงสองมขนาดเทากบ Q

อนโลมวาเปนจดประจได θ เปนมมทเชอกเบยงเบนไปจากแนวปกตจงแสดงวา tan θ sin2θ = คาคงท

และจงหาคาคงทน(tan θ sin2θ = )mgL4(πε4

Q2

0

2

)

1.5 วางจดประจไวทมมของสามเหลยมดานเทา ประจแตละมมมขนาด q เพอทจะใหประจอยใน สภาพ

สมดล ตองวางประจขนาดเทาใดไวทจดกงกลางของสามเหลยม ( −1

3q )

1.6 ตวนาทรงกลมสองลกมขนาดเทากนวางอยหางกน 3 ซม. ในอากาศ มแรงดงดดระหวางมวล 10-19 นวตนจะตองใสอเลกตรอนจานวนเทากนในทรงกลมทงสองอยางนอยทสดลกละกตวเพอตานแรงดงดดนไดพอด ( 625 )

รปสาหรบขอ 1.4


46

1.7 ไฮโดรเจนอะตอมมอเลกตรอนโคจรเปนวงกลมรศม 5.3 x 10-11 เมตร รอบโปรตอน จงคานวณหา

ก. อตราเรวของอเลกตรอนในวงโคจร ( 2.18 x 106 เมตร/วนาท)

ข. อตราเรวเชงมมของอเลกตรอน ( 4.1 x 1016 เรเดยน/วนาท)

ค. อตราเรงเขาสศนยกลางของอเลกตรอน ( 9.1 x 106 เมตร/วนาท2 )

1.8 ลกบาศกดานยาว a มประจ q ทแตละมม

ก. จงแสดงวาขนาดของแรงลพธบนประจอนใดอนหนงมคา Fq

a=

0 261 2

02

.

ε

ข. หาทศของ F เทยบกบขอบลกบาศก

1.9 ประจขนาด 10-3 คลอมบ วางไวทตาแหนง P(30, -10, 15) ในสญญากาศ จงหาแรงทเกดขน บน

ประจตวนเมอประจตวทสองมขนาด 6 ×10-4 คลอมบ วางอยทจด Q (20, 10, 25) (3.67($ $ $ )i j k− −2

นวตน)

1.10 จงหาขนาดของประจทงหมดบนเสนประจยาวอนนต วางอยบนแกน x เมอการกระจายของ

ประจมลกษณะดงน λλ

=+

02

21x

a

( a0πλ )

สนามไฟฟา 1.11 ความเขมสนามไฟฟาคาเทาใด จงจะพอดหกลางกบนาหนกของโปรตอนพอด

1.12 ถาเราสามารถสเกตเสนแรงของสนามไฟฟาบรเวณหนงได เมอนาประจขนาด q ไปวางไวในสนามไฟฟา

เสนแรงจะบอกอะไรใหเราทราบเกยวกบแรงทกระทาบนประจนน

1.13 เสนแรงไฟฟาสามารถตดกนไดหรอไม จงอธบาย

1.14 ประจไฟฟา q1 = 15 x 10-6 คลอมบ และ q2 = 10 x 10-6 คลอมบ วางหางกนเปนระยะ 1 เมตร ในแนว

ระดบ จงคานวณหาขนาดและทศทางของสนามไฟฟาลพธทตาแหนง P ซงอยหางจาก q1 และ q2

เปนระยะ 0.6 เมตร และ 0.8 เมตร ตามลาดบ

(1.87 x 10-5 N , θ = tan-1 0.892)

1.15 จดประจ 2 ตววางหางกน d ไมทราบชนดของประจ


47

ก. ถาตาแหนง A เปนตาแหนงทสนามไฟฟามคาเปนศนย q1 และ q2 ตองเปนประจชนดใด และ

ขนาดเปนอยางไร จงหาระยะ r ดวย

(q1 < q2 เปนประจชนดตรงขามกน, rd q

q q=

−1

1 2

)

ข. จงหาตาแหนงทสนามไฟฟามคาเปนศนยอกตาแหนงหนง (ไมม)

1.16 จากรปจงแสดงวา | |rE

kq

x=

22

เมอ x >> a

ก. จงหาทศของสนามไฟฟา

ข. เปรยบเทยบผลลพธทไดกบกรณของไดโพล

1.17 ประจ 2 ตว ขนาด 1.5 ไมโครคลอมบ และ 3 ไมโครคลอมบ หางกน 0.2 เมตร จงหาตาแหนงท

สนามไฟฟามคาเปนศนย (0.0828 เมตร.)

1.18 ก. จงหาความเรงของอเลกตรอนทวางอยในสนามไฟฟาขนาด 06 นวตน/คลอมบ (1.8 x 101 ม./วนาท2)

ข. อเลกตรอนจะมความเรว 1/10 เทาของความเรวแสง เมอเวลาผานไปนานเทาใด ให อเลกตรอน

เคลอนทจากจดหยดนง แสงมความเรว 3 x 108 เมตร/วนาท ในสญญากาศ (1.7 x 10-10 s)

ค. กลศาสตรของนวตนสามารถใชคานวณในระดบความเรวสงเชนนไดหรอไม

(กลศาสตรนวตนมขดจากดตรงทความเรวของอนภาคไมควรเกน 1/10 ของความเรวแสง เพราะท

ความเรวสงๆ มวลของอนภาคมคาไมคงท จะแปรคาไปตามความเรวดงสมการ mm

v

c

=

−

0

2

21

เมอ

m0 คอมวลนงของวตถ)

1.19 ประจบวกขนาด q, 2q และ 3q วางทมมของสามเหลยมดานเทายาวดานละ d จงหาทศและ ขนาด

ของสนามไฟฟา ทจดกงกลางของเสนตรงทลากเชอมระหวาง q และ 2q ( − +4

2

kq i j

d

($ $))

1.20 แทงประจรปโคงของวงกลมรศม a รองรบมม θ0 ทจดศนยกลางของวงกลม ประจมการ

กระจายสมาเสมอรวมทงสน q คลอมบ จงแสดงวาสนามทจดศนยกลางของความโคงมคาเปน

vE

q

aj= −

2 20 02

0

πε θθ

sin( )( $)

θ0



48

กฎของเกาส 1.21 จดประจขนาด Q วางอยทจดศนยกลางของทรงกลมรศม a ทผวของทรงกลมมประจขนาด Q' - Q

กระจายอยอยางสมาเสมอ จงหาฟลกซทผานผวทรงกลมรศม r เมอ r < a และ r > a (Q, Q')

1.22 จดประจอยทจดศนยกลางของผวปดรปทรงกลม ฟลกซทงหมดทผานผวปดจะเปลยนไป หรอไมอยางไร

ถา

ก. ผวนเปลยนเปนรปลกบาศกมปรมาตรเทากบทรงกลม

ข. ผวนเปนรปลกบาศกมปรมาตรเปน 1/10 ของปรมาตรเดม

ค. ประจอยทผวของทรงกลม

1.23 ประจมขนาด q วางอยทจดศนยกลางของลกบาศก จงหาฟลกซทผานผวแตละดานของลกบาศกน ถา

ประจเคลอนมาอยทมมใดมมหนงของลกบาศก จงหาฟลกซของสนามไฟฟาท ผานผวแตละดาน

( q/6) และ (q/24)

1.24 จดประจขนาด q วางทจดศนยกลางของทรงกลม จงหาฟลกซทพงผานผวสวนหนงของทรงกลมตรง

สวน βφα ≤≤ (π2

q)αβ( − )

1.25 จดประจขนาด 10-7 คลอมบ อยทจดศนยกลางของโพรงทรงกลม รศม 3 เซนตเมตร ในชนโลหะ จงใช

กฎของเกาสหาสนามไฟฟาทจด A เมอ A เปนจดแบงครงของรศมทรงกลม และจด B ซงอยในชนโลหะ

( 4 x 106 นวตน/คลอมบ, 0 )

z

y x





49

1.26 แผนโลหะบางขนาด 1 x 1 x 0.01 เมตร มประจขนาด 10 ไมโครคลอมบ กระจายอยอยางสมาเสมอ จง

ใชกฎของเกาสหาสนามทจดเหนอผวโลหะเพยงเลกนอย ตรงบรเวณกงกลางของแผนโลหะ

( 5.6 x 105 นวตน/คลอมบ)

1.27 ทอยาวบางรศม R มประจตอหนวยความยาวเทากบ λ ทผว จงหาคา E ทระยะ r เมอ r วดจาก

แกนกลางของทอในแนวตงฉาก

ก. เมอ r > R ( rπε2

λ

0

)

ข. เมอ r < R (0)

ค. ให λ = 2 x 10-8 คลอมบ/เมตร R = 3 เซนตเมตร จงเขยนกราฟของสนามไฟฟาในชวง r = 0

ถง r = 5 เซนตเมตร

1.28 ตวนาทรงกระบอกยาว l มประจ q ถกลอมรอบดวยทอตวนามประจ -2q จงใชกฎของเกาส คานวณหา

ก. สนามภายนอกทอกลวง

ข. สนามระหวางทรงกระบอกทงสอง

ค. การกระจายของประจในทอกลวง

ศกยไฟฟา 1.29 ประจ q มขนาด 1.5 x 10-8 คลอมบ

ก. จงหารศมของ Equipotential surface ทมศกยไฟฟา 30 โวลต ( 4.5 เมตร)

ข. ผวทมศกยไฟฟาตางกนเปนคาคงท (สมมตวาตางกน1.0 โวลต) จะหางเทา ๆ กน หรอไม

1.30 จากรป จงหาตาแหนงท

ก. V = 0 (ม 2 ท คออยระหวางประจทงสอง

โดยหางจาก q =25 เซนตเมตรอยนอกประจ

ทงสองหางจาก q = 50 เซนตเมตร)

ข. E = 0 ( 1.4 เมตร จาก q )

1.31 ตวนาทรงกลมรศม 10 เซนตเมตร วางอยในอากาศจะเกบประจ 4 x 10-6 คลอมบไวไดโดย ไมเกด

Breakdown ไดหรอไม ใหคาความเขมตาสดททาใหเกด Breakdown ของอากาศทความดนบรรยากาศ = 3

x 106 โวลต/เมตร (ไม)

1 ม q 3q



50

1.32 ทรงกลม 2 ลกมรศม R1= 1 เซนตเมตร, และR2 = 2 เซนตเมตร. กอนททรงกลมทงสองจะถกเชอมตอ

ดวยเสนลวดตวนา ทรงกลมลกเลกมประจ 2 x 10-7 คลอมบ ทรงกลมใหญไมมประจอยเลย จงคานวณ

ก. ปรมาณประจบนแตละลกหลงจากเชอมตอดวยลวด ( 0.7 x10-7 C, 1.3 x 10-7C )

ค. ศกยไฟฟาของทรงกลมแตละลก

1.33 จดประจขนาด 10-7 คลอมบ วางอยทจดกาเนด จงหาศกยไฟฟาทระยะ r = 6 เมตร เมอ

ก. ศกยไฟฟาทระยะอนนตมคาเปนศนย (150 V)

ข. ศกยไฟฟามคาเปนศนยท r = 10 เมตร (60 V)

ค. ศกยไฟฟามคา 50 V ท r = 9 เมตร ( 100 V)

1.34 ประจบวกและลบมขนาดเทากน เรยงสลบกนไปเรอย ๆ ระยะหางระหวางประจเทากบ a ทก ระยะ

จงแสดงวาศกยไฟฟาทประจลบตวใดตวหนงมคาเปน 1

4

2

0πεq

a

ln

1.35 สนามไฟฟาของเสนประจยาวอนนตทจดหางออกไปในแนวตงฉากกบเสนประจเปนระยะ r มขนาดเปน

Er

=λπε2 0

เมอ λ คอความหนาแนนประจตอหนงหนวยความยาว จงแสดงวาศกยไฟฟาทจดนมคาเปน − λπεlnr

2 0

1.36 ประจขนาด q กระจายอยางสมาเสมอบนแทงแกวยาว L จงหาศกยไฟฟาทจะหางจากปลายหนงของ

แทงแกวเปนระยะ d ( 1

4 0πε

qL d

dL

ln| |+

)

1.37 ประจ q กระจายอยางสมาเสมอเปนรปทรงกลมตนรศม a

ก. จงแสดงวาศกยไฟฟาทจดวดจากจดศนยกลางของทรงกลมเปนระยะ r ( r < a) มคาเปน

q a r

a8

3

0

2 2

3πε( )

−

ข. ศกยไฟฟาทจดศนยกลางของทรงกลมมคาเทาไร

1.38 ศกยไฟฟาเนองจากเสนประจทมความหนาแนน λ คลอมบ/เมตร วางอยในแนวแกน z ใน ชวง

-L ≤ Z ≤ Lจงหาศกยไฟฟาในระนาบ z = 0 ( λπε4 0

2 2

2 2ln| |

L L r

L L r

+ +

− + + )


51

1.39 ประจกระจายอยางสมาเสมอเปนรปวงแหวนรศม 2 เมตร ประจทงหมดมขนาด 40/3 nC จงหา

ศกยไฟฟาทจด P ซงอยในแนวแกนซงผานจดศนยกลางของวงแหวน หางจากจดกาเนด 5 เมตร (22.3 V)

ถาประจทงหมดบนวงแหวนมารวมกนอยทจดกาเนด จงหาศกยไฟฟาทจด P ในกรณน ( 24 V)

1.40 ประจขนาด 40/3 nC กระจายอยางสมาเสมอเปนจานกลมรศม 2 เมตร จงหาศกยไฟฟาท

ตาแหนงหางจากจดศนยกลางของจานกลมในแนวแกน 2 เมตร (49.7 V)

ถาประจทงหมดรวมกนอยทจดศนยกลางของจานกลม จงหาศกยไฟฟาในกรณน (60.0 V)

ตวเกบประจ 1.41 ใหความตางศกย 300 โวลตแกตวเกบประจ 2 ไมโครฟารด และ 8 ไมโครฟารด ถาตวเกบประจตอแบบ

อนกรม จงหาประจและความตางศกยทตวเกบประจแตละตว

(480 ไมโครคลอมบ 240 โวลต 60 โวลต)

ถาตอตวเกบประจแบบขนาน จงหาประจและความตางศกยทตวเกบประจแตละตว

(600, 2,400 ไมโครคลอมบ, 300 โวลต)

1.42 ตวเกบประจ (หนวยไมโครฟารด)

ตอกนดงรป

ก. จงหาความจไฟฟารวมทปลาย AB

ข. เมอ VAB = 900 Volt จงหา VCD

1.43 ตวเกบประจขนาด 100 pF ถกประจจนมความตางศกย 50 โวลต แลวนาแบตเตอรทใหประจออก

จากนนนาตวเกบประจทไมทราบคามาตอดงรป ถาความตางศกยลดลงเหลอ 35 โวลต ตวเกบประจตว

ท 2 มคาเทาใด ( 43 pF approximately)

1.44 จงหาความจไฟฟารวม C1 = 10

C2 = 5 ไมโครฟารด


52

C3 = 4 ไมโครฟารด

V = 100 โวลต

ถาตวเกบประจ C3 เกดความเสยหายกลายเปนตวนา จงหาประจและความตางศกยของ C1 ทเปลยนไป

1.45 มตวเกบประจขนาด 2 ไมโครฟารด อยหลายตว แตละตวทนแรงดนไฟฟาได 220 โวลต โดยไมชารด จะ

มวธตออยางไร เพอใหไดความจไฟฟาเปน

ก. 0.4 ไมโครฟารด ข. 1.2 ไมโครฟารด

1.46 ตวเกบประจขนาด 500 ไมโครฟารด สะสมประจจนมความตางศกยเปน 120 โวลต จงหา ปรมาณ

ความรอนขณะทตวเกบประจคายประจ ถาพลงงานทงหมดถกเปลยนเปนความรอนในเสนลวด (0.86

แคลอร)

1.47. แผนตวนาขนาดเทากน 2 แผน เปนกลางทางไฟฟามพนทแผนละ 10 ตารางเซนตเมตร อยหางกน 12

ตารางเซนตเมตร อยหางกน 12 เซนตเมตร ถานาแผนตวนาท 3 ซงมพนทเทากน แตมประจไฟฟา +200 นา

โนคลอมบ ไปไวระหวางแผนตวนาทงสองโดยหางจากแผนแรก 3 เซนตเมตร จงหา

ก) ประจไฟฟาทถกเหนยวนาทผวดานในของแผนตวนาทงสอง ข) ประจไฟฟารวมของระบบ (150 x 10-9, 50 x 10-9 )

1.48. นาแผนไดอเลกตรกสองชนดหนาเทากน 0.02 เมตร มคาคงตวของไดอเลกตรกเทากบ 2.00

และ 3.00 ตามลาดบ มาซอนทบกนแลวสอดเขาไปกนระหวางแผนตวนาคขนานทมพนท 2 ตารางเซนตเมตร

จงหาความจไฟฟาของตวเกบประจดงกลาว ( 5.31 x 10-10 )

1.49. ตวนาทรงกระบอกรศม a หมดวยทรงกระบอกกลวงรศม b และยาว L เมอใหประจ -q และ +q แก

ทรงกระบอกทงสองตามลาดบ

ก) จงหาความจไฟฟาของทรงกระบอกซอน ( ( )a/bln/Lπε2 0

ข) จงแสดงใหเหนวาพลงงานสะสมครงหนงอยระหวางทรงกระบอกทระยะ abr =

แรงไฟฟ้าและสนามไฟฟ้าสถิต

Documents

tan sin2

q1 q2

q2 q1

dq rall

f12 kq

q2

cos

dv