Μαθηματικά

2007-13\.. &\.. 1-2-3 ( 21 ) , MIS: 295450 (. . .)

( 21 ) , 1,2,3, - , MIS 295450 1: . :

. .... . : : . : . . . .. .. . .. ( - - - ) . .. .. ... 1 1 3 4 6 6 10 10 12 26 27 28 29 31 34 34 51 68 82 111

/ . , , . . . , . , , . . , . ( ) , ( ) . , , . . , . . :

; ; ; , , , . . . , , , . , , . , , , , , . , , , , ; , , . - . , , , , , . . , , , , , , , , , , .. , , ,

. , , . , , . . Winter (1975) ( Wittmann, 2005) , : : , . , , . .

, . ) , , ) . , : , , (Freudenthal, 1983), , , - - , (Niss, 1996, 2003)) , , . , , . ,

, . , . , : , , . : , , , . , , , , , , , : , - (, , ) . . . , , , , . . , , , , , ().

, . , . , , , , , , . , . , ,

( , ), ( ) ( ). , , , , (, , ) . , , . , , , . , . . (.., ). , () . . , , . (Wenger et al., 2002). , . , , , . , . , , , , . , , , , .

: , / / . , , , , , . , : : ( , , , ), ( ). : ( ) : ( , , , ), / ( ) ( , /, ).

: , . , , , . . , , , . : , , , . , , , , ... . , , .

. , , , . , . , ) ) , . , , , . , , , , . , , . , , . , , . , , . , , , , , (.., , , ..). . , , , , , : , .

: ) , ) / , ) , , , , ) . . : , ( ). , , . . . (.. , ). : , , . , , . . : (, , ), (, , ). , . , , .. , , , , . : (artifacts), , : , , ..

, / . (.., ) , ( , ), . , ( , ). , (. , , ...), . : , , , , . , (Borkowski, 1992; Brown, Bransford, Ferrara & Campione, 1983). .(Share & Dover 1987). O Schoenfeld (1987) : (: ;), ( ;) ( , ;). , , , . , . , .

:

. , . . . .

. . (5-6 ), (6-7 ) (7-8 ). 8 12 , , . (12 15 ). . , (Clements & Sarama, 2009). , , , , , , . () (Heuvel Panhuizen, 2001). , :

( ) - .

: ( , ), (, ), , , . , , , -- , . , : , (, , ), . , , , . , , , . , . , , ( ), . , . , . , : - , ( ). , .

: , .. 1, 2 3 . -

-

-

1.

-

2. -

3.

- . , . . , , , . , , , , / . , , (numerate), (number sense): , . . , . , , , , , . : , . . , , , , .. .

.

, , , , , , , , , -: ,

/ , .

, - , ( , , ) ( , , ...). , (, /, , , , ), ( , , (2001), Millett et al. (2004), de Walle (2005), (2008) & (2009) ). () : , , . : , , . . : , ,

. 6 . , 9 . . , . ( ): . . . , , , , , , . , , . ( ): 12 15 . , , , . , . () : , , , . : ( , , ), , . . : . , ,

, . . : , . , . , . () : , . , . : . , , , . : , . : 0,35 3 5 35 7 5 . 0 . , , , . : , , , , . , 5,23 0,3 . , , , , , , .

() : . , . , : . . , , , . (.. () () ). (.. , ...) , , . , . , . , , . . : () () , , ( , , , & (2006), Kieran (2007) (2010)). , , , . , , .

. , , . , . , . . . ( ) . . , . , , , . : (, , , ) (, , , ) , , , , ,

, , , ( ) , , . . .

: . , . , 5+14=89 5+14=89 . 1980 , , . , . , . 12 15 , . : . , = , . , . , . , . , . , ( ). , . . ,

. , 5+ = 12 , , . , , , . , , . , , , , , . , . . , , . : . . , , -, . : , , . . . , . , , . , , , , . . , : / , , / . ,

/ , , : , , , , . , , .

- M . . ( , , ). : , , , , , (, , , .). , , , (Clements, & Battista, 1992),. . . , , . , , (Clements, Sarama, 2000).

, , . , , , . . , , (-) , (). , (Owens, & Outhred, L., 2006, Duval, 1998). : , , , / . , , . . , . ( , Gutierez, 1996) , , ( ) ( . ). . , . (, , , ) . , , (Mammana et al., 1998). , ,

(, .) . . ( ) . . , , . ( , , .) . ( ) , ( Bragg, &Outhred, 2000). (, , ). . . , , ( ). , . , , , (Bragg, &Outhred, 2004).

, , ( ) ( ) (Outhred, & Mitchelmore, 2000). , . , , , , (van den HeuvelPanhuizen, & Buys, 2005). (Outhred, Mitchelmore, Mcphail, &Gould, 2003). (, , , ..), , . (, ) - - , , . , (.. , ) (Garfield & Ben-Zvi, 2007, 2008). , , , , . , , , , , . . .

. (Franklin et al., 2005; Jones, 2005; Shaughnessy, 2007), . , , ( NCTM, , 2000, Common Curriculum Framework for K9 Mathematics, , 2006, K-10 Scope & Sequence, , 2007, Department for Education and Skills, , 2010). . . , , , . , , , , . , , , . , . ( ) , , . , , , (, ). , . . , , .

. , . (.. , , ..) . ( .. ), . , , , . , , . , , (.. ), , , . , , , . ) , ) , ) , , ) . . . , , . . , , , , . , . . .

. ' ' '' . : ,

, (.. ) ( ) . , . - , (.. x2). . , (Leontev,1978). . , , . , ,

, , , . ( Henningsen & Stein, 1997) . . . , , (Serpinska, 1994). (Ball et al, 2008). . . . . , (.. , , ) . ( ) , . , , .

, , , . , , , . , , , . - , . 10 . , . . , , . (Romberg, 2004, . 16): 1. . 2. . 3. () . 4. ( ""). , , . 5. , , . 6. . 7. .

8. , , , , , . , , . . . ( ) ( ). H () , , , () , () , () , () . (.. Broadfoot, 1996). , , , (.. Black & William, 1998; Harlen & Deakin-Crick, 2003). . . , . , , . . ,

. . . , . . . . , , , , , . , , . , , . , . :

- . . . . .

- (), , ( ) .

. , . : # # # # # # -

. . , , . : -A1-To =2 , 1 . . , 1 1 2 2 . . . , , . , . . . . 110 10 .

.

_

34

: - : 55 1. : , , , , . 2. . 3. . 4. . 5. , , , . 6. , (6 ) , , , . ( 1, 2) ( , .., , 2010) . 1.4 1.5.

_

35

( , , , , , , ) . 7. ( ) . (2 ) ( 10, ) () . ( 3) 8. . 9. , . 10. ( , , ). 11. 0. , , (14 ) , /. , ( ) ( , "" ). ( 4, 5, 6, 7, 8) ( , .., , 2010) , . 7 : http://www.eyliko.gr/resource/resourc e.aspx?id=665 ( ) http://nlvm.usu.edu/en/ nav/frames_asid_161_g_ 1_t_1.html?from=topic_t _1.html :-5 - .doc http://nlvm.usu.edu/en/ nav/frames_asid_162_g_ 2_t_1.html?from=topic_t http://www.schools.ac.c y/eyliko/mesi/Themata/ mathimatika/gymnasio/0 9_09_2010_ekpaideftiko _yliko_a_gymnasiou_eno tita1.pdf 3942.

_

36

0. 12. . 13. 0. 14. - . . 15. - . 16. . 17. .

_1.html :-7 - .doc

_

37

18. . 19. . 20. , . 21. . . 22. , . 23. 0. 24. . 25. 1 , (16 ) (.. ). . , . , . ( 9) ( , ., , 2010) , . 2.2 2.3 ( , ), . 7 ( ).

_

38

. 26. (-), (-=+(-)) ( : = 1 ). 27. . 28. . 29. ( ) . 30. . 1. . (4 ) . ( , .., , 2010) . 74 ( 15), . 6.1 ( ) :

2.

_

39

( ) . 3. , . ( , , ) . (.. 3, 2+3). . ( ). (.. 2x+3 , 2x ). (6 )

. ( 1)

http://nlvm.usu.edu/en/ nav/frames_asid_328_g_ 3_t_2.html?open=activiti es&from=category_g_3_t _2.html

4.

5.

6.

, , , . , / . ( 2)

( , .., , 2010) 16, 72, 74 ( , .., , 2010) . 1.1. http://www.schools.ac.c y/eyliko/mesi/Themata/ mathimatika/gymnasio/1 1_03_2011_ekpaideftiko _yliko_enotita_4.pdf 111.

7.

8.

9.

_

40

10. . 11. =x /=/x. 12. . 13. x+= , .

(x+=) . . (7 )

. / (, ) , . ( , ), . ( 3, 4)

( , .., , 2010) . 1.2 ( ) http://www.schools.ac.c y/eyliko/mesi/Themata/ mathimatika/gymnasio/1 1_03_2011_ekpaideftiko _yliko_enotita_4.pdf . 12-19 ( ).

: : 32 1.

,

/ .

, .., , 1& 3 - 3- : -- 3

.2.

.3. ,

_

41

( , , ).4.

. (26 )

. . 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

- 4- . : --4 -5-

. ( ) ( , , ).5.

.6. ,

. .7.

.M1.

, . (..

, / / (6 )

M2.

, (

, .., , 1.

_

42

).M3.

. ( ).

, ). ( 1)

M4.

: : 14 1. . 2. . 3. . 4. . 5. , . , , (5 ) . . (.. 4 6 12) . 1 4 : (, , ..)

_

43

6. / , . 7. , .

(3 )

, . 2.

4 : (, , ..) http://illuminations.nct m.org/activitydetail.asp x?ID=160 :--2_

8. : , , , . 9. ( ) .

(1 )

, , ( ). , . . (, , ..) 167-172 www.math.uah.edu/stat /applets/DiceSampleExp eriment.xhtml

1. (..) . 2. . 3.

(2 )

www.shodor.org/interac tivate/activities/Adjusta

_

44

. 4. , ( ).

(3 )

, , . . 1, 2.

bleSpinner

/ 1 . . . 5

2

4 , 5 8 . , . . ; , . . , 5 (+5) (+2), 7 , +7 . : (+5)+(+2)=+7. ) 1 3 . ;

6

3 4

7 12, 13

_

45

1

2

) 2. ; ) : (+3)+(+4) (2)+(5) (8)+(3) (7)+(5) , ; ) : (+3)+(5) (2)+(+3) (5)+(+3) (+7)+(4) , ; 5 , 12, 13

: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_161_g_1_t_1.html?from=topic_t_1.html :-5- - .doc 6 , , . , , 5 10, 5, (+10)(+5)=+5. ) ( ) 5 3 ; ; ) +25. +28; +20; ) 5 ; 3 ; ) 14, 15

_

46

: (+3)(5) (2)(+3) (5)(+3) (+7)(4) (7)(5) ) , ; 7 , . ( : http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_162_g_2_t_1.html?from=topic_t_1.html :-7- - .doc 8 . +5 "5 ", 5 "5 ". 0, , : ) +3 ) 5 ) +3+5 ) +53 2+61 ) 47 ) 5+8 ) +3+54 ) 2+35 ) 4 12, 13, 15 13, 14

5 2 ; , ; 9 2 10 3 (2) 1 (3 + 7 2) . 1 (1 ) (2 ), (3 ), 5 2

27, 30

1, 2, 3

) 4 , 10 , 57 ) ( , ) .

_

47

2 3

1,19 0,68 . () 7 , () x . 50 g. . . , . ; ( x ). x ; , . ( ) . , , . ( ). , , . . . , .

5 12, 13

4

12, 13

1

1

2

1

_

48

3

. , , . . , . (: -3- : --3- ).

3, 4, 6, 4, 5

4

. , , (: -4- . : --4- ) . ( ) 5- .

3, 4, 6, 4, 5

5

4

_

49

6

. 4, 5, 6, 7 8 , , . . , : ) ) . : , ( ) 5,1cm 3,2cm 52. ( ) = 6cm, = 3,5cm 66.

4, 5

7

6, 7

1

1

(, , , , , , , ) ( , ) , , , , : . , , / ,

1

5

2

6, 7

_

50

. http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?ID=160 :-&- _ 1 6 6 5; : 7 7; www.shodor.org/interactivate/activities/AdjustableSpinner 2 , , . 3

2

4

5, 10 50, 100, 500, 1000, 2000, 5000 . .

_

51

: : 46 1. . 2. , , , . 3. . 4. . 5. . , , , . 6. . 7. . , , (8 ) , , : ) , ) , . ( 1) ( , , , 2010) . 2.

_

52

8. . 9. . 1. () . 2. ( ) . . 3. . 4. ( ) . 5. , , . 6. , ( ), ( ) ( ). 7. , (7 ) . (). ( ) . ( 1) ( , , , 2010) . 3.1 3.2. http://www.schools.ac. cy/eyliko/mesi/Themat a/mathimatika/gymnasi o/11_03_2011_ekpaide ftiko_yliko_enotita_4.p df 20-34 ( ).

_

53

. 8. . ( , , ) ( ). 9. . 10. y=x. . . 11. y x y=x. y ( ) 12. ( ) y=x. 13. ( ) y=x+. y=x+ (4 ) y=x+ (, ) ( , , , 2010) . 3.4. , y=x. (4 ) y=x . . ( 2, 3, 4) ( , , , 2010) . 3.3. -3- =-1 , -3- =-2 - 3- = -4- =

_

54

14. y=x+. ( y x) ( y). 15. y=x+ . 16. x+=. 17. . 18. y = /x . 19. y=/x. 20. , . 21. , . 22. . 23. , (8 ) , y=/x (2 )

(, ). 5.

. ( 6, 7) , , . .

( , , , 2010) . 3.5. B-7-H

( , , , 2010), . 7.8, 7.9, 7.10.

_

55

. 24. . 25. . 26. ( ). 27. . . 28. ( x+4(x-3) x 4(x-3), 4 x-3 ). 29. x+=x+ ( ) ( =x+). . 30. x+=x+ ( / ), (x+=x+) . . (8 ) , . ( , , , 2010) . 1.2 1.4. , (5 ) , , , . ( 8) ( , , , 2010) . 1.1.

_

56

. 31. / . 32. .

. ( 9, 10)

: : 47 1. . 2. , . 3. ( ) . 4. , . , (3 ) (6 ) (.. , , , ) , , . .., , . 3. -2- -3- ( 1) , . .., , . 2 ( . 2.5).

_

57

. ( 1, 2) 5. . 6. . 7. . 8. . () (12 ) ( ) . . . ( 4, 5, 6) 1. , . (2 ) . ( , , , 2010) .3 ( 3.3, 3.4) , . .., , 2 ( . 2.5). http://www.eyliko.gr/Lists/List7/simm etria.aspx -4

2.

, . .., , .

_

58

. 3. . 4. . 5. ( ).

. (16 )

. ( 1, 2, 3, 4)

1& 3. -3- B-4-

6. () ( , ). 7. (, ) . 8. .

(8 )

( ) . ( 5)

, . .., , . 2.

_

59

: : 7 1. . 2. ( ). 3. . 4. . 5. / . 6. . 7. . (2 ) ( 2) 4 : (, ) http://illuminations.nc tm.org/activitydetail.a spx?ID=160 , , (4 ) ( 1) 4 : (, ) .

_

60

: - 2- _ 8. . (1 ) , .

/ 1 4 m. , . ; ( ) 24. 2, 3 4, 5, 8

1

) ; 24 ; ; ) 2 , 2 11 ; 6C; ) (20, 9) ; ) ; 2 60% . : Kg (x) Kg (y) 2 6 8 6 20 9, 10, 12

_

61

" " (x) " " (y) ; ; x; , ( , , ). 3 4, 5, 7, 8, A9, 10

(, , ) F-Probe, = (;-3- =-1, -3- =-2 : --3- =). 4 Geogebra =, . . (: -4- =). 11

5

. , : !. . ( ) : ( ) ( ) 0 2 1 3,5 2 5 3 6,5 4 5 6

13, 14, 16

1.

_

62

2. . . 3. . , . , . . . 29 ; . ' . 4. 20 1,4 . . . 6 240 m2, . 20m, ; ; . x x; . , ; 7 Geogebra =/, =/ =/, , , (: B-7-H ). 7, 18 17, 18, 19

8

"" ( 3x + 2 ), x 1 x 1 1. , 3x+2 1. "", x+3, 2.

26, 28

_

63

1

2

) : 2x+3x , 5x2x , 2x+5x+2, (2x+3)+(5x+3) ) , ; ) : 2x+5+6x=13x. ; . 9 () . . x . ( ) x; , . 30

10

. 30 0,20 . 6 0,50 . () x . () . () ; ; : () , .

29

1

: . . , .

1, 2

_

64

2

Geogebra (: (-2- ).

3

3

Geogebra , , , ( -- ).

4

4

Geogebra () (). ( ). (:4- ).

5, 6

_

65

5

( ). : .

7, 8

6

( ) ( ) : . . . ; . .

8

1

. . . :

2

2

(. ) . 3cm 4cm 5cm.

3

_

66

3

Geogebra , . (: 3- ).

2, 3

4

Sketchpad , . (: B-4- ).

4, 1

5

:, :, : , , . ,

6

_

67

(, ).

1

: 3, 4 , ; , , , , , . , . 7 , , , / , . : http://illuminations.nctm.org/activitydetail.aspx?ID=160 :- -2- _

2

_

68

: : 49 1. y=x2. 2. y x ( ) 3. y=x2 . 4. y=x2. 5. y=x2 y=x+. 6. = , =

y=x2 (4 )

, . . ( 1, 2)

( , .., , 2010) . 4.1. - A1-To =2

, (3 )

.

. ( 3)

( , , , 2010) . 1.1..

7. . 8.

_

69

, . 9. , () ( ). . 10. . 11. ( ) ()2=22+2, ()3=332+323, 2-2=(-)(+), 3 3=()(2+2) 12. . 13. ( , ) 14. ( ) , , . 15. ,

. (24 )

, , , , ( , ). ( 4, 5, 6)

( , , , 2010) 1 ( 1 ) http://nlvm.usu.edu/en /nav/frames_asid_189_ g_3_t_2.html?open=act ivities&from=category_ g_3_t_2.html ( ).

_

70

. 16. . 17. (, , , ). 18. . 19. ( ) . 20. x+