§5.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité Définition. On dit qu’une application linéaire f : R n → R m est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée R m . bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f est inversible. Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions est satisfaite : 1. Un vecteur ~ b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 2. Le vecteur ~ 0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent 3. Ker (f )= ~ 0. 4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt. 5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
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§5.4 Injectivité, surjectivité, bijectivitéDéfinition. On dit qu’une application linéaire f : Rn → Rm est
injective si deux vecteurs différents ont des images différents
surjective Si Im(f ) atteint tout l’espace d’arrivée Rm.
bijective (ou bien un automorphisme) si n = m et que f estinversible.
Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :
1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent
2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent
3. Ker(f ) = ~0.
4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :
1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent
2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.
3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.
4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.
5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
Soit f : Rn → Rm une application linéaire.Théorème d’injectivité. f est injective ssi l’une des conditions estsatisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au plus unantécédent2. Le vecteur ~0 de l’espace d’arrivé a au plus un antécédent3. Ker(f ) = ~0.4. Toute colonne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famille libre.
Théorème d’surjectivité. f est surjective ssi l’une des conditionsest satisfaite :1. Un vecteur ~b quelconque de l’espace d’arrivé a au moins unantécédent2. Le rang de f est m.3. Im(f ) = Rm.4. Toute ligne de la matrice de f contient un pivôt.5. Les vecteurs colonnes de la matrice de f forment une famillegénératrice.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
f (~u2) = · · · , f (~u3) = · · · , · · · , f (~un) = · · · .
En les assemblant, on obtient :
(f (~u1), · · · , f (~um)) = V
a11 · · · a1m...
...an1 · · · anm
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
ou bien f (U) = VMU ,V(f ) .Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :
Cette matrice est appelée la matrice de f dans les bases U ,V.
§5.5 Matrice dans d’autres bases, application linéaire sur sevSoit f : E → F une application linéaire, avec E ,F des sev des Rk .
Soit U = (~u1, · · · , ~un) une base de E , et V = (~v1, · · · ,~vm) unebase de F (elles ne sont pas nécessairement les bases canoniquess’il y en a). Donc E = 〈~u1, · · · , ~un〉, F = 〈~v1, · · · ,~vm〉.
Alors l’application f est déterminée par son effet sur les ~ui . On lesexprime dans les coordonnées de V :