/ 52 Sistemas dinamicos Realimentacion de estado 1
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Sistemas dinamicos
Realimentacion de estado
1
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Contenido
1. La definicion del problema
2. Resultados fundamentales
3. Calculo de la ganancia de realimentación
4. Regulacion y seguimiento
2
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LA DEFINICION DEL PROBLEMA
3
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El proposito del control en terminos de la salida
La mayoria de los sistemas de control pueden ser formulados como se muestra en la figura
El problema es diseñar un sistema tal que la salida de la planta y(t) siga tan cerca como sea posible la señal de referencia r(t)
4
Plant)(tr )(tu )(ty
y(t): señal controlada (salida)r(t): señal de
referencia
u(t): señal de control
y(t)
tr(t)
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El proposito del control en termino de los estados
En ocasiones los sistemas de control se formulan en terminos de los estados
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Estabilidad (regulacion): estabilizar el sistema alrrededor de un punto de equilibrio Dado el punto de equilibrio xe n, hallar
la ley de control u=(x) tal quelim ( ) for all (0) n
et
x t x x
Control: llevar el sistema entre dos puntos Dados x0, xf n, hallar una entrada u(t) tal
que0 0( ) ( ) fx t x x T x
x0
xf
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Dos tipos de control
Control en lazo abierto: » la “ley” de control u(t) depende solamente de la señal de
referencia r(t) y es independiente de la salida de la planta y(t)
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No hay informacion de si el control se esta realizando correctamente
Plant)(tr )(tu )(ty
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Dos tipos de control
Control en lazo cerrado (realimentado): » la “ley” de control u(t) depende de la señal de referencia
r(t) y de la salida de la planta y(t)
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Reduce el efecto de la variación de los parámetros y suprime el ruido y los disturbios
Plant)(tr )(tu )(ty
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La realimentacion del estado
La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante
8
:Bu
y C
x Ax
x
( ):f
BK Br
y C
x A x
x
u r K x
Ganancia de realimentacion
)(tr)(tu
)(ty
bs
1
A
k
c
)(tz
x x
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La realimentacion del estado
La idea: realimentacion negativa del estado con ganancia constante, con precompensacion
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Ganancia de realimentacion
Ganancia de precompensacion
:Bu
y C
x Ax
x
( ):f
BK BNr
y C
x A x
x
u Nr K x
Para lograr seguimiento
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Funciones de transferencia
Funcion de transferencia de la planta en lazo abierto
Funcion de transferencia de malla abierta (sistema de realimentacion)
10
1x s sI A Bu s
tu tcu tx 1s
I A B K
1cu s K sI A Bu s
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Funciones de transferencia
Funciones de transferencia de lazo cerrado
11
1y s C sI A BK Br s
1x s sI A BK Br s
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Ejemplo
12
Sea el sistema Newtoniano con posicion p(t), La entrada es la fuerza u(t), La salida y(t) es la suma de la posicion y la velocidad
2
2d
m p t u tdt
dy t p t p t
dt
2
2d
m p t u tdt
dy t p t p t
dt
21s
g sms
La funcion de transferencia
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Ejemplo
13
Construimos una realizacion del sistema definiendo,
1
2
posicion
velocidad
x t
x t
1
2
x tx t
x t
Con m = 1 el sistema en variables de estado es
0 1 0
0 0 1
BA
x t x t u t
1 1
C
y t x t
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Ejemplo
14
Aplicando realimentacion de estado
El sistema en lazo cerrado queda
1 1 2 2u t k x t k x t r t
1
1 22
x tk k r t
x t
K
Kx t r t
1 2
0 1 0
1
A BK
x t x t r tk k
B
1 1y t x tC
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Ejemplo
15
Finalmente, la funcion de transferencia en lazo cerrado es
Observaciones:Se puede afectar la ubicación de los polos arbitrariamente
No puede afectar la ubicación de los ceros
Se puede cancelar un cero con un polo:
implica que el modelo en variables de estado en lazo cerrado puede no ser mínimo
22 1
1cl
sg s
s k s k
2
1sg s
ms
La planta original
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Preguntas
Preguntas
» ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la controlabilidad y la observabilidad?
» ¿Cómo afecta la realimentación de estado a la estabilidad?
» ¿Qué podemos hacer con la realimentación de estado?–Ubicación de los polos
» Qué pasa si los estados no estan disponibles?–Observadores
16
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RESULTADOS FUNDAMENTALES
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Invariancia de la controlabilidad
Teorema: (Invariancia de la controlabilidad respecto a la realimentacion de los estados para sistemas SISO). El par (ABK, B), para cualquier vector real constante K, es controlable si y solo si (A, B) is controllable.
18
1 1, ( ) ( )n nfC B AB A B C B A BK B A BK B
21 ( ) ( )
0 1 ( )( ) ( )
0 0 1
0 0 0 1
f f
KB K A BK B K A BK B
KB K A BK BC C C C
KB
Prueba
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Invariancia de la controlabilidad
Sea x0 y x1 dos estados arbitrarios
Si es controlable, existe una entrada u1 que transfiere x0 a x1 en un tiempo finito
Si escogemos r1= u1+Kx, entonces la entrada r1 del sistema realimentado transferira x0 a x1.
19
Aunque la propiedad de la controlabilidad es invariante bajo cualquier realimentacion del estado, la propiedad de la observabilidad puede no preservarse
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Ejemplo 1
20
La ecuación de estado es controlable y observable.
x
xx
21
1
0
13
21
:
y
u
x
xx
21
1
0
00
21
:
y
uf
x13ru
0 2 1 2( ) 2, ( ) 1.
1 0 1 2f fC O
Por lo tanto, la ecuación de estado de f es controlable pero no observable
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Ejemplo 2
21
La observabilidad no se preserva. Por ejemplo:
Seleccionando 1 2 1 1 1k k k k k
1
1cls
g ss k s
1
s k
22 1
1cl
sg s
s k s k
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Ejemplo 2
22
De la prueba de observabilidad
1 2
0 1A BK
k k
1 1C
1 2
1 1
1rank rank
k k
C
CA
1 1
1 1rank
k k
1 11rank
k k
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La forma canonica controlable
Otra forma canonica de los sistemas controlables es la forma canonica controlable
23
1 2 3 4 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
A Bu u
x x x
Cuya funcion de transferencia es:
1 2 3 4y C x x
432
23
14
432
23
1)(ˆ
ssss
ssssg
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Teorema
Teorema: Considere la ecuacion de estado de con n = 4 y el polinomio caracteristico
24
.)det()( 41
32
23
14 ssssss AI
Si es controlable, entonces puede ser transformado a la forma canonica controlable por la transformacion x Px
1 2 3
1 21 2 3
1
1
0 1:
0 0 1
0 0 0 1
Q P B AB A B A B
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Prueba del teorema
25
Sean C y las matrices de controlabilidad de y . Si es controlable o C es no singular, entonces tambien lo es .
Por lo tanto tenemos o , de donde la matriz de la derecha de Q es
C
C
C PC 11: CCPQ
1000
100
10
1
1
21
321
1
C
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Prueba del teorema
26
la ecuacion de estado es una realizacion de .
Por lo tanto, la funcion de transferencia de y son iguales a
ˆ ( )g s
ˆ ( )g s
432
23
14
432
23
1)(ˆ
ssss
ssssg
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Teorema: Asignacion de los autovalores
Teorema: Si la ecuacion de estado SISO es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares
27
Prueba preliminar
Asumamos inicialmente que esta en la forma canonica controlable .
1 2 3 4 1
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0BA
x x u
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Prueba preliminar del teorema
28
El sistema en lazo cerrado (sin la referencia)
1 1 2 2 3 3 4 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0A BK
k k k k
x x
Br
Sistema en lazo cerrado deseado (sin la referencia)
1 2 3 4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
x x
Br
1 1 2 2 3 3 4 4k k k k
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Prueba preliminar del teorema
29
Comparando, la ganancia de realimentacion es
La ganancia de realimentacion ubica los polos del sistema SISO controlable, en la forma controlable estandar, en las localizaciones deseadas
det det dessI A BK sI A
1 1 2 2 3 3 4 4K
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Teorema: Asignacion de los autovalores
Teorema: Si la ecuacion de estado SISO es controlable, entonces por la realimentación de estado u = r Kx, los autovalores de ABK pueden ser asignados arbitrariamente, siempre que los autovalores complejos conjugados se asignen en pares
30
Prueba
Si es controlable, puede ser transformado a la forma canonica controlable . Substituyendoen la realimentacion de estado conduce a
Y ya que , entonces y tienen los mismos autovalores
Pxx
1 :u r Kx r KP x r Kx 1( : )K KP1( )A BK P A BK P A BK
A BK
/52
Prueba del teorema
31
Ahora, de cualquier conjunto de n autovalores deseados podemos formar el polinomio caracteristico deseado
Si elegimos
entonces la ecuacion de estado del sistema realimentado es
41
32
23
14)( sssssf
1 2 3 4y Cx x
1 2 3 4 1
1 0 0 0 0( )
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
x A BK x Br x u
1 1 2 2 3 3 4 4K
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Prueba del teorema
32
El polinomio caracteristico de ( ) y, consecuentemente, de ( ) es igual a . Por lo tanto, la ecuacion de estado del sistema realimentado tiene los autovalores deseados
Finalmente, la ganancia de realimentacion en las coordenadas originales es,
A BKA BK )(sf
1K KP KCC
LQQD
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Invarianza de los ceros
Considere la planta descrita por (A, B, C). Si (A, B) es controlable, (A, B, C) puede ser transformado a la forma controlable y su función de transferencia es
Despues de la realimentacion de estado, la ecuacion de estado es (ABK, B, C) permaneciendo en la forma canonica controlable. La funcion de transferencia de r a y es
33
3 21 1 2 3 4
4 3 21 2 3 4
ˆ ( ) ( )s s s
g s C sI A Bs s s s
3 21 1 2 3 4
4 3 21 2 3 4
ˆ ( ) ( )f
s s sg s C sI A BK B
s s s s
La realimentacion de estados puede mover los polos de una planta pero no tiene ningun efecto sobre los ceros
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Estabilizacion
Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma
» Como la matriz de estado es triangular a bloques, los autovalores de la matriz en las coordenadas originales son la union de los autovalores de y
La realimentacion de estados
34
12: CC C CC
CC C
xx A A Bu
xx A
0 0
C
Crrrux
xkkxkkx 21
CACA
lleva al sistema a lazo cerrado a
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Estabilizacion
Toda ecuacion de estado no controlable puede llevarse a la forma
La realimentacion de estados
lleva al sistema a lazo cerrado
35
12: CC C CC
CC C
xx A A Bu
xx A
0 0
C
Crrrux
xkkxkkx 21
1 12 2 CC C C C C
CC C
xx A B K A B K Br
xx A
0 0
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Estabilizacion
Ecuacion de estado del sistema realimentado
y sus autovalores no son afectados por la realimentacion de estado y por lo tanto no pueden modificarse
La condicion de controlabilidad de (A, B) no es solo suficiente sino tambien necesaria para asignar todos los autovalores de (A BK) a cualquier posicion deseada
36
1 12 2 CC C C C C
CC C
xx A B K A B K Br
xx A
0 0
CA
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Estabilizabilidad
Definicion: Si es stable, y si es controlable, entonces se dice que es estabilizable.
37
CA ( , )C CA B
C
La propiedad de estabilizabilidad es una condicion mas debil que la de controlabilidad para alcanzar estabilidad a lazo cerrado.
Es equivalente a pedir que los autovalores no controlables sean estables.
1 12 2 CC C C C C
CC C
xx A B K A B K Br
xx A
0 0
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CALCULO DE LA GANANCIA DE REALIMENTACIÓN
38
/52
Como encontrar la ganancia de realimentación
1. Hallar el polinomio característico de A:
2. Calcular el polinomio característico, , de los autovalores deseados.
39
.)( 41
32
23
14 sssss
)(sf
41
32
23
14)( sssssf
Objetivo: aplicar el teorema de la asignacion de los autovalores
Los autovalores deseados se escogen según el comportamiento deseado en lazo cerrado
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Como encontrar la ganancia de realimentación
40
3. Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable
4. Hallar la transformacion de coordenadas
hallar C y, y entonces calcular
5. Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales
44332211 k
1C 11 CCP
1 CCkPkk
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Ejemplo 2
41
Considere la planta descrita por
Esta planta es controlable, el polinomio característico es y, por consiguiente, los autovalores son 4 y 2. Es inestable.
1 3 1
3 1 0u
x x
Diseñe una ganancia de realimentación K tal que los autovalores del sistema realimentado se localizen en 1 j2.
( ) ( 4)( 2)s s s
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Calculo de la ganancia de realimentación
1. Hallar el polinomio característico de A:
2. Calcular el polinomio característico de los autovalores deseados.
42
2( ) ( 4)( 2) 2 8s s s s s
2( ) ( 1 2)( 1 2) 2 5f s s j s j s s
1 22, 8
1 22, 5
/52
Calculo de la ganancia de realimentación
43
3. Determinar la ganancia de realimentacion para la forma canonica controlable
4. Hallar la transformacion de coordenadas
1 1 2 2 4 13K
1 22, 8
1 22, 5
11 1 1 1 2,
0 3 0 1 0 1C B AB C
10
13
3
1
30
1111 PP CC
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Calculo de la ganancia de realimentación
44
5. Calcular la ganancia de realimentación en las coordenadas originales
13
3 14 13 4 17 3
0 1K K
P
EJERCICIO: Construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink
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Ejemplo 3
45
Considere el péndulo invertido dado por
Es controlable, por lo tanto, sus autovalores pueden ser asignados arbitrariamente. El polinomio característico correspondiente es
u
2
0
1
0
0500
1000
0100
0010
xx x0001y
.0050)5()( 23422 sssssss
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Ejemplo 3
46
Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j . Entonces tenemos
00
00
000
000
0002
0020
0301
3010
1000
0100
5010
0501
01002
10020
0201
2010
61
31
61
31
21
21
1
11
CC
CC
P
P
5115.105)( 234 sssssf
5 0 10.5 5 11 0 5 0
5 15.5 11 5
k 313
12102
311
35 Pkk
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Ejemplo 4
47
Considere el péndulo invertido del ejemplo 3
Sean los autovalores deseados 1.50.5j y 1j .
MATLAB tiene la funcion K = place(A,B,P) que calcula K para ubicar los autovalores en los valores dados en el
vector P.
EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo abierto y lazo cerrado en Simulink
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REGULACION Y SEGUIMIENTO
48
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Regulacion y seguimiento
El problema de la regulacion se da cuando la referencia es nula, es decir r = 0; » se pretende basicamente que el sistema sea asintoticamente
estable y que la respuesta a condiciones iniciales producidas por perturbaciones tienda a cero.
El problema del seguimiento se da cuando se pretende que la salida tienda a la referencia r(t), variable en el tiempo.» Es comun que las derivadas de la señal de referencia sean
continuas. El problema del servomecanismo es un caso particular del de seguimiento.
49
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El problema de la regulacion
Si el sistema es controlable, sabemos que podemos asignar los autovalores del lazo cerrado calculando K para obtener la matriz de estado A BK
La respuesta del sistema realimentado entonces, con la matriz directa D = 0
Asi, el problema de la regulacion (r(t) = 0) queda resuelto si K se calcula para que A BK sea Hurwitz
50
( )( ) (0)BK ty t Ce x A
La regulacion puede lograrse facilmente introduciendo realimentacion de estado
/52
El problema del seguimiento
Para el problema de seguimiento de referencia constante r(t) = a 0, ademas de que A BK sea Hurwitz, requerimos una condicion en la ganancia de precompensacion N, para que,
La funcion de transferencia en lazo cerrado del sistema precompensado es
51
t
y t a
3 21 2 3 4
4 3 21 2 3 4
ˆ ( )f
s s sg s N
s s s s
precompensacion
/52
El problema del seguimiento
A fin de que y(t) siga asintoticamente cualquier paso en la referencia, necesitamos
52
4
4
ˆ1 (0)fg N
0
ˆ ˆ0 1limf fs
g g s
44
4
0N
Si tiene uno o mas ceros en s = 0, no es posible el . seguimiento
)(ˆ sg f
/52
El problema del seguimiento
La condicion de controlabilidad del par (A, B) puede relajarse a la de estabilizabilidad.
» La restriccion estara en que entonces no habra control total de la velocidad de convergencia del error.
» Si hubiera modos no controlables muy cercanos al eje jw, la respuesta podria ser demasiado lenta u oscilatoria para considerar la regulacion y seguimiento de referencia constante satisfactorios.
53
/52
En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2.
Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes.
Ejemplo: Seguimiento de referencia constante
54
La funcion de transferencia del sistema en lazo cerrado es
2
1ˆ ( )
2 5f
sg s N
s s
1ˆ (0)
5fg N
5N
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En un ejemplo anterior calculamos la ganancia de realimentacion K = [4, 17/3] que asigna los autovalores en lazo cerrado del sistema en 1 j2.
Supongamos que el sistema tiene la salida y(t) = [1, 0]x(t), que se pretende que siga asintoticamente referencias constantes.
Ejemplo: Seguimiento de referencia constante
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EJERCICIO: Diseñar el controlador y construir y observar el comportamiento del sistema en lazo cerrado en Simulink
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Bibliografia
A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml
Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007
56
/52
FIN
57