1 MOV I MI E NT O OND U LAT ORI O 1. Introducción. Propagación de perturbaciones Analicemos el movimiento ocasionado en la superficie del agua de un estanque cuando es arrojada una piedra sobre él. La perturbaciónocasionada por la piedra en la superficie del agua sepropagasobre ella, de tal forma que un barquito de papel que esté flotando realizará un movimiento vertical cuando la perturbación alcanza la posición que ocupa, sin embargo no se producirá un avance ni un retroceso del barquito. La observación de este fenómeno tan familiar para todos pone de relieve la esencia del movimiento ondulatorio: se produce un transporte de cantidad de movimiento y de energía, pero no de materia. En términos más generales, supongamos que una magnitud física está definida en una región del espacio. Si se produce una variación con el tiempo o perturbación de dicha magnitud física en un lugar del espacio y dicha perturbación se propaga, ocasionará cambios en las condiciones físicas en otros puntos del espacio. Entonces diremos que existe una onda asociada a dicha magnitud física. Por esta razón hablamos de ondas electromagnéticas, ondas en un resorte, ondas sonoras, ondas de gravedad…, cuando la magnitud física que experimenta una perturbación que se propaga es un campo electromagnético, la posición de un punto del resorte, la presión en un gas y el campo gravitatorio, respectivamente. Estamos rodeados de movimientos ondulatorios. Es necesario hacer una clasificación. Atendiendo al criterio de la necesidad de un medio material que sirva de soporte para la onda o no, distinguiremos entre ondas mecánicasy ondas electromagnéticas. En este capítulo centraremos nuestra atención en el estudio de las ondas mecánicas. Para que una onda mecánica pueda existir deben cumplirse tres cosas: •Que exista una fuente de perturbación, •Que exista un medio susceptible de ser perturbado y •Que exista algún mecanismo físico que permita que las partículas del medio puedan interaccionar entre sí. Atendiendo al criterio de la dirección en la que se mueven las partículas del medio con relación a la direc ción en la que avanza la onda, distinguiremos entre ondas transversalescuando son perpendiculares dichas direcciones, y ondas longitudinales cuando coinciden. Atendiendo, finalmente, al criterio de que exista o no un desplazamiento de la perturbación en todo el espacio o que, por el contrario, esté confinado a una determinada región, haremos la distinción entre ondas viajeras y ondas transversales. Una onda es la propagación en el espacio de una perturbación sin que vaya acompañada de transferencia de materia. Dicho de otro modo, podemos afirmar que una onda es un mecanismo de transferencia de energía sin transferencia de materia (la figura 1 muestra cómo un punto del medio es obligado a moverse cuando la onda transversal que se propaga por la cuerda lo alcanza). Figura 1
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1. Introducción. Propagación de pert urbaciones Analicemos el movimiento ocasionado en la superficie del agua de un estanque cuando es
arrojada una piedra sobre él. La perturbación ocasionada por la piedra en la superficie delagua se propaga sobre ella, de tal forma que un barquito de papel que esté flotando realizará
un movimiento vertical cuando la perturbación alcanza la posición que ocupa, sin embargo
no se producirá un avance ni un retroceso del barquito. La observación de este fenómeno tan
familiar para todos pone de relieve la esencia del movimiento ondulatorio: se produce un
transporte de cantidad de movimiento y de energía, pero no de materia.
En términos más generales, supongamos que una magnitud física está definida en una región
del espacio. Si se produce una variación con el tiempo o perturbación de dicha magnitud
física en un lugar del espacio y dicha perturbación se propaga, ocasionará cambios en las
condiciones físicas en otros puntos del espacio. Entonces diremos que existe una onda
asociada a dicha magnitud física. Por esta razón hablamos de ondas electromagnéticas, ondasen un resorte, ondas sonoras, ondas de gravedad…, cuando la magnitud física que
experimenta una perturbación que se propaga es un campo electromagnético, la posición de
un punto del resorte, la presión en un gas y el campo gravitatorio, respectivamente.
Estamos rodeados de movimientos ondulatorios. Es necesario hacer una clasificación.
Atendiendo al criterio de la necesidad de un medio material que sirva de soporte para la onda
o no, distinguiremos entre ondas mecánicas y ondas electromagnéticas. En este capítulo
centraremos nuestra atención en el estudio de las ondas mecánicas. Para que una onda
mecánica pueda existir deben cumplirse tres cosas:
• Que exista una fuente de perturbación,
• Que exista un medio susceptible de ser perturbado y
• Que exista algún mecanismo físico que permita que las
partículas del medio puedan interaccionar entre sí.
Atendiendo al criterio de la dirección en la que se mueven las
partículas del medio con relación a la dirección en la que avanza
la onda, distinguiremos entre ondas transversales cuando son
perpendiculares dichas direcciones, y ondas longitudinales
cuando coinciden. Atendiendo, finalmente, al criterio de que
exista o no un desplazamiento de la perturbación en todo el
espacio o que, por el contrario, esté confinado a una determinada
región, haremos la distinción entre ondas viajeras y ondastransversales.
Una onda es la propagación en el espacio de una perturbación sin que vaya acompañada de
transferencia de materia. Dicho de otro modo, podemos afirmar que una onda es un
mecanismo de transferencia de energía sin transferencia de materia (la figura 1 muestra cómo
un punto del medio es obligado a moverse cuando la onda transversal que se propaga por la
Esto significa que los puntos separados una distancia,
k
π λ
2= [5]
estarán en el mismo estado de
vibración. A esta distancia lallamaremos longitud de onda y k
representa el número de veces que está
contenida la longitud de onda en una
distancia 2π y se denomina número deonda.
La función [3] representa una
perturbación de tipo armónico simple
que se propaga en el sentido positivo del eje X . Como vemos, en la posición inicial ( x=0) se
produce un MAS,
( ) ( ) ( )π +=−= kvt Akvt At y sensen,0 [6]
que se propaga a lo largo del medio, ocasionando que en cada punto se produzca este mismo
tipo de movimiento. Como vemos, la frecuencia angular del movimiento oscilatorio es,
λ
π ω
vkv
2== [7]
Como ω =2π f=2π /T , tendremos la interesante relación,
T f v
λ λ == [8]
Estas expresiones nos permiten dar otras formas para la ecuación [3],
( ) ( )t kx AT
t x At x y ω
λ π −=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= sen2sen, [9]
Ejemplo 1. La función de onda de cierta onda es y(x,t)=10 sen 2π (2x-100t) (m,s).
Determinar: a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia y d) la velocidad de propagación de la onda. Resolución: Comparando el dato suministrado con la expresión general de la función de
armónica es doblemente periódica, yaque posee un periodo espacial y un
periodo temporal.
Ejemplo 2. Un bote en movimiento produce ondas superficiales en un
lago tranquilo. El bote efectúa 12oscilaciones en 20 s; cada oscilación
produce una cresta de onda. La crestade la onda tarda 6 s en alcanzar la
orilla distante 12 m. Calcular la
longitud de onda de las ondas de superficie.
Resolución: La frecuencia de la onda generada es,
Hz f 6,020
12==
y su velocidad de propagación es,
smv 2
612 ==
luego, la longitud de onda será,
m f
v3,3
6,0
2 )===λ
4. Análisis de Fourier
De acuerdo con el teorema de Fourier,cualquier movimiento periódico puede
expresarse como una suma de
movimientos armónicos simples de frecuencias angulares ω , 2ω , …, nω ,…ó períodos T,T/2,…, T/n,…El mismo resultado se aplica al caso de movimientos ondulatorios periódicos en
general. Esto significa que la función de onda periódica general f(x-vt) se podrá expresar de
la forma,
( ) ( ) ( )∑ ∑∞
=
∞
=
−+−=−0 0
cossenn n
nn t kxnbt kxnavt x f ω ω [10]
Este resultado pone de manifiesto la importancia del estudio de las ondas armónicas.
5. Ecuación de ondas En este apartado vamos a obtener una ecuación que nos permitirá determinar si la
perturbación de una magnitud física en un lugar determinado del espacio se propaga en
forma de onda o no. La utilidad de esta ecuación será patente cuando nos permita predecir la
existencia de una onda. Este uso de la ecuación de ondas es análogo al que le damos a la
ecuación,
Cx x −=&& [11]
para determinar si un movimiento es armónico simple o no.
Consideremos la función de onda general descrita por la ecuación [2]. Llamaremos q=x-vt .
Entonces, haciendo uso de la regla de la cadena tendremos que,
2
2
2
2
q
f
x
q
q
f
qq
f
x x
f
q
f
x
q
q
f
x
f
∂
∂=
∂
∂⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂=
∂
∂⇒
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂[12]
2
22
2
2
q
f v
t
q
q
f v
qq
f v
t t
f
q
f v
t
q
q
f
t
f
∂
∂=
∂∂
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−∂∂
=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−∂∂
=∂
∂⇒
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
[13]
Si ahora sustituimos el resultado obtenido en [12] en la última igualdad de [13], tendremos,
finalmente, que,
2
2
22
2 1
t
f
v
f
∂
∂=
∂
∂[14]
que recibe el nombre de ecuación de onda. La perturbación en un lugar del espacio de toda
magnitud física que dependa de la posición y del tiempo en la forma indicada por esta
ecuación, se propagará en forma de onda.
Ejemplo 3. Compruebe que la función de onda armónica verifica la ecuación de onda. Resolución: Hemos de realizar las derivadas indicadas en la ecuación [14] y comprobar
que se verifica dicha relación. Tomaremos la expresión [3] de la función de onda armónica. Entonces,
6. Velocidad de propagación La velocidad de propagación de una onda depende de las propiedades del medio material en
el que se propaga la perturbación, pero es independiente del estado de movimiento de la
fuente emisora. Es comprensible que esto sea así. Consideremos el caso de las ondas
mecánicas. Las fuerzas intermoleculares mantienen unidas a las moléculas del medio con
mayor o menor intensidad, dependiendo de su estado de agregación. La perturbación sepropaga a través de dicho medio gracias a esta conexión entre moléculas. Si la fuerza que las
une es muy intensa es previsible que la onda se propague con mayor rapidez ya que una
molécula vecina se “enterará” más rápidamente del movimiento de la molécula vecina. Por el
contrario, si dicha fuerza es débil, existirá un retraso apreciable entre que una molécula se
mueve y la vecina le acompañe. La cantidad de moléculas con las que esté conectada una
molécula dada será otro factor determinante en la propagación de la onda. Cuanto mayor sea
este número es razonable pensar que la onda se propagará más lentamente, ya que debe
“informar” de su estado de movimiento a un número mayor de vecinas. Finalmente, cuando
una fuente se mueve emite un pulso que luego
queda abandonado a su suerte en el medio en
el que se propaga, lo cual hace pensar que lavelocidad de propagación será independiente
del estado de movimiento de la fuente. Como
ejemplo de cálculo de la velocidad de
propagación de una onda, obtendremos la velocidad de las ondas transversales en una cuerda
tensa. Consideremos el esquema mostrado en la figura. Un pulso de pequeña amplitud se
transmite por una cuerda. Si nos fijamos en un pequeño trozo de longitud
( ) ( )22dydxd +=l , veremos que aparecen sendas fuerzas de distinta dirección e igual
módulo en sus extremos. Estas fuerzas coinciden con la tensión de la cuerda, F . De acuerdo
con la segunda ley de Newton,
adm F F ·sensen 12 =− θ θ [15]
La masa de dicho trozo de cuerda es ld dm L ρ = , donde L ρ es la densidad lineal de la
cuerda. Por otra parte el trozo de cuerda señalado se mueve en la dirección Y , así que su
aceleración será 22 t ya ∂∂= . Si admitimos que la deformación en la cuerda es de muy
pequeña amplitud, el ángulo que está desviada respecto de la horizontal será muy pequeño.
Entonces se cumple que el seno de dicho ángulo coincide prácticamente con su tangente. Por
lo tanto podremos expresar la fuerza neta en la forma,
( ) ( ) ( )dx x
F Fd F θ θ θ θ tgtgtgtg 12 ∂∂==− [16]
Ahora bien, x y ∂∂=θ tg . Por lo tanto,
( ) dx y
F dx x
F 2
2
tg∂
∂=
∂∂
θ [17]
Haciendo uso del hecho de que la cuerda se desvía una distancia muy pequeña respecto de
su posición inicial de equilibrio, se cumplirá que 0→dy , luego dxd ≈l . Por lo tanto,
sustituyendo los resultados obtenidos en la ecuación [15] obtendremos, finalmente,
que demuestra que la perturbación se propaga como una onda, con una velocidad,
L
F v ρ = [19]
Efectivamente, esta velocidad depende de propiedades del medio (tensión y densidad de la
cuerda). Como vemos, cuanto más tensa se encuentre la cuerda mayor será la velocidad de
propagación de las ondas. Lo mismo puede afirmarse si la cuerda es de pequeña densidad.
Ejemplo 4. Una cuerda tiene una longitud L y una densidad lineal de masa ρ L. La cuerdacuelga verticalmente sujeta por uno de sus extremos. Demostrar que la velocidad de
propagación de una onda transversal en la cuerda es ( ) y L g v −= , donde y es la
distancia desde el extremo fijo al punto de la cuerda en que la velocidad es v. ¿Cuántotiempo tardará una perturbación en recorrer la cuerda completa?
Resolución. En un punto arbitrario de la cuerda, situado a una distancia y por debajo del
extremo fijo de la misma, la tensión de la cuerda es igual al peso del trozo de cuerda que
cuelga desde dicho punto, es decir,
( ) g y L L ρ F −=
Por lo tanto, la velocidad de propagación de una onda transversal en dicho punto será,
( ) g y L
L
F v −== ρ
Como la velocidad esdt
dyv = y tenemos v en función de y, tendremos que,
( )( ) ( )
( ) t
L
g y L g
t dt
L
g y L
dydt
g y L
dy g y L
dt
dy=−−⇒∫ =∫
−⇒=
−⇒−= ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
2
00
Por lo tanto,
g
Lt 2=
Las velocidades de propagación de otras ondas son,
• Ondas longitudinales en una barra. Siendo Y el módulo de Young y ρ la densidad del
medio,
ρ
Y v = [20]
•
Ondas transversales en una barra. Siendo G el módulo de cizalla y ρ la densidad delmedio,
• Ondas de presión en una columna de gas. Siendo Q el módulo de compresibilidad del
gas y ρ su densidad,
ρ Qv = [22]
Ejemplo 5. En un cierto material, cuyo módulo de Young vale 12700 kgf/mm2 , la velocidad
de propagación de las ondas transversales es de 2445 m/s y la de las ondas longitudinales
es de 3620 m/s. Calcular: a) la densidad del material, y b) su módulo de cizalla. Resolución: Simplemente se trata de aplicar las expresiones de ambas velocidades. En un
medio elástico, la velocidad de propagación de una onda transversal es ρ
GT v = y la de
una onda longitudinal es
ρ
Y Lv = , siendo G e Y los módulos de cizalla y de Young,
respectivamente.
Por lo tanto,
357,9497
2
22
3620
2
26108,9
212700
2 m
kg
s
m
m
mm
kgf
N
mm
kgf
Lv
Y === ρ
y,
254,579326
10
2
8,9225,95677671089
2
22
24453
57,94972
mm
kgf
mm
m
N
kgf
m
N
s
m
m
kg
T vG ==== ρ
7. Propagación de energía Si nos fijamos en cualquiera de los movimientos ondulatorios observaremos que en todos los
casos se produce un movimiento de átomos o moléculas el medio donde se propaga la onda.
Sin embargo, tanto los átomos como las moléculas permanecen, en promedio, en sus
respectivas posiciones de equilibrio. Podemos afirmar entonces que lo que se propaga no esla materia sino su estado de movimiento, es decir, cantidad de movimiento y energía.
Consideremos el caso de una onda transversal armónica propagándose por una cuerda. La
Se puede demostrar que la energía potencial de dicho trozo coincide con su energía cinética.
Por lo tanto, la energía mecánica total del trozo de cuerda será,
( )t kxdxAdE dE dE L pc ω ω ρ −=+= 222 cos [25]
El promedio en un ciclo de esta magnitud será,
22
2
1ω ρ dxA E d L= [26]
A partir de esta expresión, vemos que la energía transmitida por la cuerda en la unidad de
tiempo o potencia, será,
v A P L
22
2
1ω ρ = [27]
Es decir, tanto la energía como la potencia son proporcionales al cuadrado de la amplitud de
la onda. Si el frente de onda es esférico, a medida que dicho frente avanza, la energía que
transporta deberá repartirse entre un número cada vez mayor de partículas del medio. De
hecho, la energía que por unidad de tiempo alcanza cada punto del frente de onda estará
repartida en la superficie de una esfera de radio r igual a la distancia del frente de onda al
foco emisor de la misma. Definimos la magnitud intensidad de acuerdo con la expresión,
2
4 r
P
S
P I
π
== [28]
La onda irá atenuándose con la distancia al foco. A este efecto de atenuación que se produce
en un medio ideal, habría que añadir el efecto del rozamiento en un medio real, que haría que
la intensidad de la onda disminuyera más rápidamente con la distancia.
Ejemplo 6. Una barra de acero, de 4 mm de diámetro, transmite ondas longitudinales por
medio de un oscilador acoplado a uno de sus extremos. La amplitud de las oscilaciones es de0.1 mm, siendo su frecuencia de 10 Hz. Hallar: a) la función de onda de la onda que se
propaga a lo largo de la barra, b) la energía por unidad de volumen transportada, y c) el
flujo de energía por unidad de tiempo a través de una sección cualquiera de la barra.
DATOS: Y acero=2·1011 Pa, ρ acero= 7.8 g/cm3. Resolución. Con los datos del problema, identificando con la expresión general de una ondaarmónica, se resuelve fácilmente el apartado a). La amplitud es de 10-4m, el periodo es
T=1/f=0,1s y la longitud de onda es λ =vT. Como s
mY v 5064
310·8,7
1110·2
=== ρ
, tendremos
que m37,506=λ
( )t x 103
10·98,12sen4
10 −−−= π ψ
Sustituyendo en [26] ρ L dx= ρ dV, la densidad de energía será,
8. Efect o Doppler Este efecto lleva el nombre del físico austríaco que lo estudió. Consiste en el cambio de
frecuencia de la onda recibida respecto de la emitida como consecuencia del movimiento
relativo entre el emisor y el receptor de la misma. En el caso del sonido el efecto Doppler es
familiar para todos nosotros. Consiste en el cambio de tono del sonido percibido cuando la
fuente sonora se mueve respecto de nosotros, por ejemplo cuando un automóvil se acerca o
aleja del observador. En el caso de la luz se manifiesta por un desplazamiento del color del
emisor hacia tonos rojos si se aleja del receptor o hacia tonos azules si se acerca a él.
Vamos a considerar en este curso introductorio únicamente el caso en el que el emisor y el
receptor se mueve en la línea que los une en un medio en calma y a velocidades no
relativistas (pequeñas comparadas con la velocidad de la luz).
Supongamos que el observador y el receptor están en reposo
relativo. De acuerdo con la figura la frecuencia de la señal
percibida por el receptor coincide con la frecuencia de la
señal emitida. Es decir, el receptor recibirá dos frentes de
onda consecutivos en el mismo intervalo de tiempo con el que
son emitidos. Sin embargo, si el emisor está en reposo y el
receptor va a su encuentro, recibirá dos frentes de onda
consecutivos con un intervalo de tiempo menor del que sonemitidos. Por el contrario, si se aleja del emisor que está en
reposo, los frentes de onda serán percibidos con un intervalo de tiempo mayor. Es decir, al
acercarse al emisor percibirá una frecuencia mayor que la emitida. Al alejarse, la frecuencia
percibida será menor. Si es el receptor el que permanece en reposo y el emisor el que se
mueve la situación se muestra en la figura. En este caso cada frente de onda es emitido en
puntos diferentes del medio (todos se mueven con la misma velocidad ya que la velocidad de
la onda es independiente del estado de movimiento de la fuente). Si el observador (en reposo)
está situado a la derecha del emisor del esquema mostrado, percibirá una onda de mayor
frecuencia. Por el contrario, si el receptor se encuentra a su izquierda verá alejarse al emisor
y percibirá una onda de menor frecuencia. Aunque el resultado cualitativo es el mismo
cuando los movimientos relativos dan el mismo resultado, es decir, si el emisor y el receptorse acercan la frecuencia aumenta respecto de la emitida y si se alejan, disminuye respecto de
la misma, existe una diferencia cuantitativa. Sin necesidad de entrar en el detalle del cálculo,
la ecuación que representa el efecto Doppler aquí descrito es,
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
+
+=
E
R E R
vc
vc f f [29]
donde f R es la frecuencia recibida, f E es la frecuencia emitida, c es la velocidad de la onda, v R
es la velocidad del receptor y v E es la velocidad del emisor, ambas respecto del medio que se
considera en reposo. La ecuación [29] deberá aplicarse con el siguiente criterio de signos: csiempre es positiva y el sentido positivo que determina el signo de las velocidades del emisor
y del receptor es el que va desde el receptor hasta el emisor. Por ejemplo, si tanto el receptor
como el emisor se mueven hacia la derecha yendo por delante el receptor, siendo mayor la
velocidad del emisor, pondríamos ambas velocidades negativas, siendo la del emisor mayor
en valor absoluto. Al sustituir en la ecuación [29] con c positiva, resultaría una frecuencia
recibida mayor que la emitida ya que el numerador de dicha ecuación será mayor que el
denominador.
Ejemplo 7. El radar que emplea la policía de tráfico mide la velocidad de un vehículo a
partir de la desviación de la frecuencia Doppler que experimenta la onda que se refleja en
él. ¿Cuál es la desviación de la frecuencia de una onda electromagnética ( ∆ f=f recibida-f emitida ),de 12 cm de longitud de onda, reflejada por un coche que se acerca en línea recta, a 24 m/s,
hacia el radar situado en el interior del vehículo policial estacionario? Dato: la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas es de 3·108 m/s.
Solución. Separaremos el problema en dos pasos. En primer lugar, consideraremos al
vehículo policial como emisor estacionario de una onda electromagnética y al vehículo cuyavelocidad se pretende determinar, como el receptor móvil. La ecuación Doppler toma en este
caso la forma,
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=
c
Rvc
E f R f
De acuerdo con el criterio de signos señalado la velocidad del vehículo será positiva,
entonces resultará,
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ +=
c
vehículovc
EPOLICIA f RVEHICULO f
Un segundo paso consiste en considerar que ahora es el vehículo el emisor móvil de la onda(que se refleja en él) con una frecuencia f R , que será recibida por el vehículo policial, que
será el receptor en reposo. El criterio de signos nos permite afirmar que ahora la velocidad del vehículo, que es el emisor, será negativa, ya que dicho móvil se mueve en el sentido
interferencia de sendas ondas coherentesgeneradas en una cubeta de ondas. Se
observan claramente las posiciones donde se
produce interferencia destructiva.
Ejemplo 8. Dos fuentes síncronas emiten
vibraciones de igual amplitud (A=2 cm) y frecuencia (f=50 Hz) que se propagan con unavelocidad de 1 m/s. Determinar: a) la ecuación que describe el estado de vibración de un
punto P que dista 2,5 cm de la primera fuente y 4,5 cm de la segunda, y b) ¿en qué instantes
se anula el desplazamiento del punto P?
Resolución. Aplicando las ecuaciones λ f=c, k=2π / λ , ω =2π f y la relación trigonométrica,
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ +−
=+2
sen2
cos2sensen β α β α
β α
obtenemos,
( )( )
[ ] [ ]⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎭⎬⎫ −+−
=⇒−=
−=
2
20021100sen
2
21100cos04,0
1002
100sen02,02
1001100sen02,01t x x x x
yt x y
t x y π π π
π π
π π
Sustituyendo las distancias a las dos fuentes, tendremos finalmente,
( ) ( ) ( )⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−−=−= t t t y π π π π π π π 100sen2
7cos100cos
2
7sen04,0100
2
7sencos04,0
t y π 100cos04,0=
El desplazamiento del punto P es y, y se anulará en los instantes,
N n sn
t n
t t ∈+
=⇒+
=⇒= ;200
12
2
121000100cos π π π
9.2. Principio de Huygens El físico holandés C. Huygens, contemporáneo de Newton, defendía el carácter ondulatorio
de la luz. Desarrolló un método de construcción de los frentes de onda, basado en un
principio, que lleva su nombre, con el que
podemos entender fenómenos típicamente
ondulatorios como la difracción, la reflexión y la
refracción. De acuerdo con este principio, cada
punto de un frente de onda se comporta como
foco emisor de la onda, de tal forma que el frente
de onda real resulta de la envolvente de lospuntos de las ondas secundarias después de un
tiempo igual al periodo temporal. La figura ilustra el principio de Huygens.
9.3. Difracción Este característico fenómeno ondulatorio
corresponde al hecho de que una onda pueda ser
percibida detrás de un obstáculo y a ambos lados deun orificio practicado en una pantalla interpuesta en
el camino de propagación de una onda. En la figura
se representa el camino que seguiría un haz de
partículas que incidiera sobre una pantalla que
tuviese practicado un orificio. No esperaríamos que
las partículas que pasan por el orificio se desviasen
del haz, siendo imposible detectar su presencia en la
posición indicada. Sin embargo, si es una onda la
que incide en dicha pantalla el resultado es distinto.
Basándonos en el principio de Huygens, los puntos
del trozo del frente de ondas coincidente con elorificio se comportan como nuevos frentes de onda.
Por lo tanto, el resultado será el que se muestra en la
figura. Entonces la onda será detectada en toda la
región situada al otro lado de la pantalla.
La condición necesaria para que se produzca el efecto de difracción es que el tamaño del
orificio (o del obstáculo) sea del mismo orden de magnitud que la longitud de onda de la
onda incidente. Se entiende así que Newton pensara que la luz tenía una naturaleza
corpuscular, ya que observaba haces de luz propios de un chorro de partículas cuando
practicaba un orificio en una pantalla opaca que ponía en la ventana de su laboratorio. La
razón es que el orificio era de un tamaño mucho mayor que la longitud de onda típica de la
luz visible (unos 700·10-9 m). Con relación a este fenómeno es interesante destacar que G.
Thomson realizó en el primer cuarto del siglo XX un experimento que demostró el carácter
ondulatorio del electrón. Más concretamente, detectó la onda de materia asociada con esta
partícula, predicha por de Broglie, observando que un haz de electrones se difractaba. La
Ciencia también tiene sus casualidades. Precisamente el padre de G. Thomson, J.J. Thomson,
descubrió, a finales del siglo XIX, el electrón, con un experimento (tubo de rayos catódicos)
que ponía de manifiesto el carácter corpuscular de dicha entidad.
9.4. Reflexión y ref racción
Cuando una onda incide sobre una superficie que separa dos medios en los que su velocidadde propagación es diferente se separa en tres partes. Una parte se refleja volviendo hacia el
mismo medio por el que se propagaba la onda incidente,
otra parte pasa al segundo medio y una tercera parte que
resulta de la difusión en todas direcciones provocada por las
partículas de la superficie de separación de los dos medios.
Nos centraremos en las dos primeras. La construcción de
Huygens sirve para deducir las leyes de la reflexión y de la
refracción. Estas leyes son,
a) los rayos incidente, reflejado y refractado y la
b) los ángulos de incidencia y de reflexión, que los rayos incidente y reflejado forman,
respectivamente, con la normal, son iguales,
rfl i θ θ = [35]
c) los ángulos de incidencia y de refracción, que los rayos incidente y refractado forman,
respectivamente, con la normal, cumplen la siguiente relación,
rfr iirfr vv θ θ sensen = [36]
Como vemos cuando una onda pasa a un medio donde su velocidad de propagación es
mayor, el rayo refractado que indica el sentido de avance de la onda refractada se separará
de la normal un ángulo mayor que el ángulo que formaba el rayo incidente con esa misma
línea. Como ilustración de esta ley piense en el efecto óptico ocasionado por un palo que se
introduce, con cierta inclinación, en el agua.
10. Ondas est acionari as La interferencia de una onda confinada en una región del espacio con su onda reflejada da
lugar a una onda que no se propaga en el espacio sino que se mantiene limitada en dicha
región. Recibe el nombre de onda estacionaria. Las ondas estacionarias que se forman en una
cuerda tensa fija por ambos extremos tienen longitudes de onda que están relacionadas con la
longitud de la cuerda mediante una relación de números sencillos. Concretamente,
únicamente están permitidas las ondas estacionarias en una cuerda de longitud L, que está fija
por sus extremos, cuando su longitud de onda es,
N nn
2L
n ∈= ;λ [37]
que coincide con el caso de ondas estacionarias en un
tubo abierto por ambos extremos, de longitud L. Por
otra parte, si la cuerda está fija por uno de sus
extremos únicamente, las ondas estacionarias que en
ella se forman tendrán una longitud de onda,
( ) ( ) N n
12n
4L
12n∈
+=
+;λ [38]
que coincide con el caso de ondas sonoras estacionarias en un tubo cerrado por uno de sus
extremos.
Ejemplo 9. Una onda estacionaria tiene por ecuación t x
y π π
30cos6
sen6 ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ = (C.G.S.).
Calcular: a) la amplitud y velocidad de las ondas componentes, b) la distancia entre dos
nodos y c) la expresión en función del tiempo de la velocidad de una partícula de abscisa
x=2 cm.
Resolución. En general, la amplitud de una onda estacionaria es kx Asen2 , siendo A la
amplitud de las ondas componentes y k el número de onda de cada onda componente. Por otra parte, el término armónico correspondiente a la oscilación armónica simple que
Observe que los resultados no son cuantitativamente simétricos (aunque lo son
cualitativamente hablando).
2. Dos movimientos ondulatorios que se propagan simultáneamente a través del mismo
medio, tienen por funciones ψ1=4cos(8t-x) y ψ2=4cos(7t-0.8x), en las que t se expresa en
segundos, x en metros y ψ en milímetros. Determinar: a) sus longitudes de onda y frecuencias
respectivas, b) la función del movimiento resultante de la superposición de ambos, c) las
velocidades de fase y de grupo del movimiento resultante. d) ¿Es dispersivo el medio de
propagación?
Resolución. Identificando las funciones de onda con la expresión general de la función de una
onda armónica, resultará,
mk
π π π
λ 21
2
1
2
1 ===
14
2
8
2
11
−=== s f π π π
ω
mk
π π π
λ 5,28,0
2
2
2
2 ===
15,3
2
7
2
22
−=== s f π π π
ω
Literalmente, se suman aplicando determinadas relaciones trigonométricas, resultando,
( ) ( )
( ) ( ) xt xt xt xt xt xt
xt xt
1,05,0cos9,05,7cos82
8,078cos
2
8,078cos8
8,07cos48cos421
−−=+−−−+−
=−+−=+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
ψ ψ ψ
La velocidad de fase es igual a la velocidad de propagación de la onda resultante, mientrasque la velocidad de grupo es igual a la velocidad de propagación de la onda de amplitud. Por
lo tanto,
sm
k fase
v 05,01,0
5,0===
ω
sm
grupov 33,89,0
5,7==
El medio es dispersivo porque ambas velocidades son distintas.
3. a) ¿Cómo varía la velocidad de propagación de una onda transversal a lo largo de una
cuerda si la tensión se duplica?, b) ¿y si se reduce a la mitad?, c) ¿en cuánto debe modificarse
la tensión de la cuerda para duplicar la velocidad de propagación?, d) ¿y para reducirla a la
mitad?
Resolución. Como la velocidad de propagación de una onda transversal en una cuerda es,
L
T F v
ρ =
donde FT es la tensión de la cuerda y ρL es la densidad lineal de masa de la misma, podremos
analizar la influencia de las modificaciones señaladas en el enunciado del problema.
a) si duplicamos la tensión, la velocidad aumenta en un factor 2 ,
b) si reducimos la tensión a la mitad, la velocidad disminuirá en un factor 2 ,
c)
si queremos que la velocidad se duplique, la tensión deberá aumentar en un factor 4,d) finalmente, si queremos que la velocidad se reduzca a la mitad, deberemos reducir la
tensión de la cuerda en un factor 4.
4. Una onda sinusoidal que viaja en una cuerda tensa, en la dirección positiva del eje X, tiene
una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 1 m y una velocidad de propagación de 5 m/s.
Inicialmente (t=0) en x=0 se sabe que y=0 y que 0 / <∂∂ t y . a) Encontrar la expresión de la
función de onda y b) calcular la velocidad de un punto de la cuerda situado en x=3 m cuando
pasa por su posición de equilibrio.
Resolución. Sustituyendo los datos proporcionados por el enunciado del problema en la
expresión general de una onda armónica, tendremos que,
( ) mt xt x y 52sen02,0),( −= π
La velocidad (valor absoluto) del punto de la cuerda situado en x=3 m es, en cualquier
instante,
( ) s
mt
m xt
y532cos2,0
3
−==∂
∂π π
Pasa por la posición de equilibrio (y=0) en el instante dado por,
( ) ( ) ( ) ( ) N nnt nt t t ∈=−⇒=−⇒=−⇒−= ;5325320532sen532sen02,00 π π π π
8. Un alambre homogéneo de acero de 2m de longitud y 0,5 mm de radio cuelga del techo.Si un cuerpo de 100 kg de masa se suspende del extremo libre, hallar: a) la elongación
del alambre, b) el desplazamiento del punto medio y el esfuerzo hacia abajo sobre él, c)
la velocidad de las ondas longitudinales y transversales que se propagan a lo largo del