50005 JELFELDOLGOZÁS DISZKRÉT FOURIER … · 1· matematikai dokumentÁciÓ l type 50005 jelfeldolgozÁs diszkrÉt fourier· , , transz formac ·•· lova l

1· MATEMATIKAI DOKUMENTÁCIÓ l

TYPE 50005

JELFELDOLGOZÁS DISZKRÉT FOURIER·

, , TRANSZ FORMAC lOVA L

·•·

TYPE 50005

J E LFE LDOLGO~ÁS DISZKR~T FOURIER·

TRANSZFORMÁCIÓVAL

•••

- ---~---- -;>::""'J'

ELEKTRONIKUS M~RŐKÉSZÜL~KEK GYÁRA

1163, Budapest, Cziróky u. 26-32.

Telefon: 837-950 Telex: 22-45-35

1979. F. k.: Kiss jovák józsef

MATEMATIKAI DOKl.ll<TENTÁCIÓ

JELFELDOLGOZÁS DISZKRÉT FOURIER-TRANSZFO~CIÓVAL

/PROORAMllliNDSZElV

T Y P E 5 o o o 5

A 71666 programozható asztúli számológJpb-51, a 71668 tárbővitő kártyából, a 79831 plotter illesz­

tó egy~égből és a 79811 vagy 79812 XY-rajzolóból

álló rendszer diszl~ét Fourier-transzformációs

szubrntincsomagja

Készitette a Hal'X Károly Közgazdaságtudományi

Egyetem Matematikai és SzáMitástechnikai Intézete

Témafelelós: dr. Hegedlis Milclós

ELEKTRONIKUS MÉRÓKÉSZÜLÉKEK GYÁRA

3

-·

l

TARTALOMJEGYZÉK

1. Az N=lOO alappontban adott fügGvény diszkrét Fourier-transz-

formációja • • • • • • • . . . . • • • • • • . . . . . • • • . . • . • • • . . . . • • . . . • • • • • • • • • . • 7

2o Az N•lOO alappontban adott függvány diszkrét Fourier-transz­

formációjának kiszámitása halmozott hiba nélkül, tárolt

konstansokkal •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••·• :1

2.1 A transzforreáció valós része ••·••••••••••••••••••••••••••• 22 2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.1.5

A gyorsitás kérdése e~y A(n) kiszámitása esatén ••••• ~4 Gyorsitás páratlan sorindexek esetén ••••••••••••••• 28

Gyorsitás páros sorindexek esetán ••••••••••••••••oo 31

Gyorsitás néegyel osztható sorindexek esetén ••o•••• 11 ..... Gyorsitás néggyel nem osztható páros sorindexek

esetén ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• )6

2.1.6 Összefoglalás ••••••••••••'"••••••••••••••••••••••••• 38 Az A(n) együtthaták &lapvetó szimmetriatulajdonsága 39

Speciális t(n) -ek •••••••••••••••••••••••••••••••• 40

2 .1.9 J... páratlan n indexü A (n) együtthaték további fel-

bontása •.•.......••.•....•...... • •. • • • • • • • • • • • • • · • • 41

2.1.10 Az "A" eset real.izációja •••••••••••••••••••••••••• 4~ 2ololl

2.1.12

A "B" eset realizációja

A páros indexü, 50 alatti

........................... A (n) együtthaték kizzá-

.~6

Z'á tás a •••.•......•......••............. · • • · . • · . · · • ~·7

2.2 A transzformáció képzetes része ••••••·•·•·•••••••••••••••• ~l

2.2.8

A gyorsitás kérdése ogy B(n) kiszálDitása esetén u 52

Gyo.rsi tás páros sor:i.ndexek eset én •• o •••••••••••••• 53

Gyo.rsitás kérdése páratlan sorindexek esetén ••o••• 54

Gyorsitás kérdése 4-el osztható sorindexek esetén •• 55

Gyorsitás páros, de néggyel nem osztható sorindexek

esetén ..•.•... • ..............•.... • • • • .. • · .. · • · • • • 56

Összefoglalás I. •••••••••••••••••••••••••••••••••• 57 Alapvető szimmetriatulajdonságok a B(n) együttha-

ték között •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 58

Speciális B(n) eg,ütthatók oo••••••••••••••••••••• 59

5

3.

2.2.9 Páratlan n indexU BÚl) együtthat6k felbontása •••• 59 20 2 ol O Összefoglalás II.. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 62

2.2.11 Az "A" eset realizációja ·••••••••••••••••••••••••• 64

A "B" eset realizációja ••••••••••••••••••••••••••• 65 A páros sorindexü 50 alatti B(n) egyUtthat6k kiszá-

mitása .................. t·~, .•••••••••••••••••••••••• 66

Az inverz Fourier-transzformáció ••••••••••••o•••••••••••••••• 69

Az inverz transzformáció valós esetban ••••••••••••••••••• 70

3.2 Az eredeti /mért/ adatok visszaállitása a Fourier-transz-

formáltból • • • • • . . . . • • • • . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 72

.3 • .3 Az inverztranszformáció visszavezetése az előre irányuló

transzforrnáci óra ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 79

3.4 Az inverztranszformáció realizálása •••••••••••••••••••••• 83

Fourier transzf0rmáci6 kiszámitása Horner-elrendezéssel •••••• 89

4.1 A Horner-elrendezés ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 89

4.2 A diszkrét Fourier-transzformáció és a Horner-elrendezés 92

4.3 Alapvető gyorsitási lehetőségek ••••••••••••••••••••••••• 93

6

!! N = lOO alappontban adott függvé~y diszkrét Fourier lransz­

formációja

f(O), f{l} ••••t f{99)

minta diszkrét Fourier traaszformációja az

(l) A(n) = l

100

99

[ -ink l.1t f(k) e

100

k=O

egyenletekkel van értelmezve.

Első lépésben azt mutatjuk meg, hogy a 100 alappontban adott

függvépy diszkrét Fourier transzfor.mációja hogyan vezethető visz­

sza 10 alappontban adott függvény Fourier transzformációjárat

Vezessük be a

jelölést. Ezzel a jelöléasel az (l) transzformáció az alábbi alak­

ba irható:

99

(2) A(n) = 1~0 L t(k) ~o k-0

7

Egyenlóre tekintsUnk el az l/lOo-as faktortól és tekintsUk

az

99 -(2' J .A{n) • 2 :f(k J W:o tn • 0,1, ••• , 99)

k.O

egyenleteket.

Irjuk át a {21) -t az alábbi alakbaa

Végezzük el az alábbi átalakitásta

...n (l O k+j) -in {10 k+j) ib'ó = .-ink i~ -iJQ ~~ "100 = e • 8 •

Vezessük be az

(o': ~. k~ 9)

ahonnan

8

,_L (·~ ) (4) A(n) • 2_ ~o L_ fj(k) ~ •

j=O k-0

vezessük be az

9 -Aj(n) = ~ fj(k) \~ ln • 0,1, ••• ,99 1 j=O,l, ••• ,9)

k•O

jelöléseketo Ezzel a jelöléasel (4) az alábbi alakÚ:

9

(5) A(n). = ) A3

(n) ~0 j•O

Tekintsük az Ajln) értékeket, Megmutatjuk, hogy

(n= o,t, ••• ,9; n. 0,1, ••• ,9)

Ugyanis 9

·L k=O

9 --= '> fj(k)~ L_ k•O

És mivel wigtk = l, ezért l6) valóban teljesül.

Ezt felhasználva az (5) -öt az alábbi alakba irhatjuk:

9

(7) A[ lOe + n) • L Aj (n) wgg t+n);J l e.o,l, ••• ,9.Jl>OO,l, ••• ,9)

j=O

Végezzük el a követkazó átalakitást:

'9

w Q.o e +n}~ 100

-ij (10 e +n) ~la -ij e ~; -ijn ~! ee ee .e •

Ezt helyettesitsUk a (7) -bea

9

(s) - 1

A(lO e+ n) • ,> Ajt n) wi~ . wi~ j•O

VezessUk be az

jelölésta ekkor a ts) az alábbi alakba irbatóa

9 ·-

(9) J "' • _:ie A ( lOt. + n) = L Aj (nJ Wj_0

j=O

Végül még vezessUk be az alábbi jelölésekata

Ezekkel a j elölésekkel (9) az alábbi - most már végleges - alak-

ba irhatóa

9

(10) ~(G)· \~(j) w{03 L j ..O

l O

.. ,

(e- o,1, ••• ,9. n-a,1, ••• ,9)

Ebből az összefüggésből most már világos, hogy az N = 100

pontos Fourier-transzformáeiét két egymást követő N = 10 pon-

tos Fourier-transzformációval kapjuk' nevezetesens

I/ Először kiszámítjuk a l4K\ alatti Aj(n) értékeketo

/Ez 10 db. 10 pontos transzformáció/

II/ Ezek után generáljuk az ~(j) értékeket.

III/ VégUl kiszámítjuk az ~(e\= A(.,lO l.+ n értékeket,

/amely ugyancsak 10 dbo 10 pontos transzformációo/

A számítások elrendezésére a következő "négyzetestt eljárás ja-

vasolt:

ll

o. AZ INDULO ALLAPOT

INPUT

f(o) ll A ) f(l) f< 3) {(t~) {(5) f(') f<~) f(t) f<') f~o) 4l-4A) {(A2.) {(43 ) {(4~) ft~s-) fl'') .f{ll) *') f<_,,)

f{2.o) 4(2.A) f(22.) J(23) fl2~) {(15) {(26) {(21) {~t) ~')

fbo) f(aA ) t(s1) {(33) f~~) f~s) f(s') .f{3;r) ft.#) .J{.s9)

f('io ~ {('l,f) f{ll.t) f(lf3) {(11'1) f('f.;) ~lf') fl~t;t) R• t) fl n)

f<so) f(so~) f(5l) f(5"3) {l.tlf) f(ss) ~(.56) ks~) ~(61) {(s,)

.ft'o) «'4) f('2) f('3) f(f>it) f('s) {l'') {(ef) ,{('• l «'•) ~(~o) f{1-4) f(~2) f(~J) 4l~lf) f~r) ~l~') f(~f) f(!t) {l' 9)

.fl1o) .f{t,f) f(11} f(r3) f(t't) f(kr) f(cr') {(li) fl'-') f(19)

fl'0 ) f{94) fl9~) {(CJJ) flCJtt) fltr) f('') {l'') {('') f(") t

. 12

A. L E PEs ( D FT OSZLOPOK SZERI NT, HEL'IBEN)

AJ•) AAlo) J\(o) A5(o) A"(o) A,(o) A,(o) A,{o) A,(e) A (o)

' A0{4) A,.(~) ~(A) A1{l) A"(A) A,.{') A,{.f) A,{_.) A,(A) ~,(1)

Aolt) A4(~) J\(2-) AJ{ 2.) A (~.) If

A,t~) A,{a.) A,( a.) A~(a) A,(t)

Aols) A.l3) Aal3) A1{3) A11(3) As-{.3) A,(!) A'" ls) A (3) l

A,(,)

A0

{&e) A..l Af) t\(~) A,( If) A" l~) A,.('t) A,(~) A,('~) A,(41) A,(~)

A0(s) J\ tr) A~. t~ j A, tr) A (.r)

." A,.(s) A,(".) A,(r) A,(r) A,(r-)

A.{') A l') .. Aa.{') AJ{') A" t,) ~(') A,(') A~(') A,(,) A,(t)

A. (:J) A4(-:,) A1.(1) AJ(~) A., l~) A,.(f) A,(~) A,{i-) A,(•) A,( :t)

A.(a_) A ta) ;f A~.{ a) AJ(B) A"(t) A,.(,) A,(l) A"flt) A,(r) A,(t)

A l') o A., t') A1l') AJ(') A" l') A,.(,) A, t,) A~t•) A,(9) A,(,)

lJ

2.LEPE5 (TÜKRÖZ.ES AFÖotAGONALISRA)

A0{o) A0(A) A

0(1) A.(3) Ao( 'i) Aotr) A.(') Ao(:,) A.(t) A<'> •

AA(o) A4t~) A,.{ 2.) A_.{3) A l li) ... A_.(5) A,. l') A1(~) A,.(l) A_,<'>

A~.( o} A~.l ~) Al2-) 2.

A1(3 ) A2.{Lf) AJ.(s) A2.(') A4

{1) A._{r) A~( CJ >

A,(o) A,(~ l AJ(1.) A3(3) AJl'l) A3

(r) A3t') AJ( "l) AJ(t) AJ<')

A 41( o) A"t -t ) A (2.) ., A"u l A.,('l) A.,(s) A.,t,) A"(~) A., ta) A..,(,)

AS'(o) As-(~) A \l.) S"

A.r-{3) As-l~) As-(s) As-l6) A~(':#) A,.ta) A~t' >

A,(o) A,t1) A ,t 2. l A,t3) A,('l) A,ts) A,(,) A,('f) A,ta) A,(,)

A~(o) A~l1) A~(1.) A~l3) A-1-(~) A=1-(s) A:f(') A~(~) A:J-(1) A~<'>

AB{o) A 8( 1) AR{l.) A"t3) A,( 'l) A, l .r) A,(,) A,(:,.) A.( a) A,( 9)

A9{o) A9 t 1) Ag(2.) A,(3) A,('f) A,{~) A,(,) A,(~) A,<t) A,(,)

14

AZ. ,.. ' ' l ' ' f~<J>-K GENERALASANAK TABLA2~íA

o wo wo wo wo wo wo wo wo w wo

wo ~.., ~ w 3 vr/' w 5' \Kl' wi w 8 w 9 w

wo 1. w'~ w' w 8 \K/to w n w'~ w'' w'' w

wo w l ' w' w u \(/ff vvl' w u wztt wz1 w

wo w" w' A 2 J( wl.o 1/f Z (l la. \t'l3' w w w w w

wo WG w"o WJr w&o w zs vvl o w lS' w·~ w 41 r

wo w'- w"L. '«118 w 2" w'o w'' w"2. w"' w~"

wo w =J. w .. " ~f w 2& wss- \Vf2 w"' $'' 'l w w

wo wa w/' w2• 32. w"o VI/'' S"6 w'' w"2 w w

w 9 41 Z. :J w 3' w"r S"lf ,,

.}2. w'4 wo w w w w w

['vJ:oo , W~00 ···LV.,~] vekf:or egyes komponenseivet rendre vegigszororruk a sorokat l majd. az

osr.lopokot.

15

9 t

(,1't (•)'t ( ')tt (r,)' t ( 6)st ({,)''t (')rt ( ,)tt ( ')•t (,)ot v v ..., v v v v v v v

(')'t ( r)•t (1)'} (a)' r (l).st (f)''± (8)fJ ( a)~t ( 1) •t (s)·t v v ~ v ..,

.;J v v v ~

(t:)'t (-t)'f (~)1:t (t:)' t ( t)~t {-t)"t ('t) 't ( f: )T t (~)·t (t)•t .., ~ v ..,

~ v v v v v

(,)'t (')'t (,)tt (')'t ( ,ys t (')"t (,)~t (,)~t ( ,)•t {,)ot v v .., v v v v ~ v v

(J)'t ( .s)' t (.s)tt (.s)'t ( s).s t ( s) "f (s)[f (.s)~t ( s)tf ( s)•t v v v v v v v .., .., ..,

(lr)'t (")'t (")t t (")'t (Ir ).st (")"± (k) 't (17\lt < hYt (hY't v .., .., .." .., ...,

~ .;;/ .., ~

{l)'t <•l't (()tt ~~)'t t ,).st (')"t (t)'} ( t)~i ( ~)~± <t rt v .." v v v v v ..., ..., ..,

(~)'t (~J' t (Y)tt (~)'t (~)~t (l)"t ("t)'} ( -e)~t (~)~± <~tt v v v v v v v ,y v

(~)'t (">'t ( ")tt (•)'t ( t)Jt (t)" 1 ( r)sJ ( t)~f ( ~)'t (~)·t v v ..., v v v v v v v

(~'t (o J'! ( o)tf (o)' f ( o)s t (o)"f ( o)ft ( o)'t {~)·t (o)'} v v v v v v v .., "

-- ......

(~t 9 ..L 1 z~ ~>107~ -L :1 a 1 ~o zr a oti::IH tt ) ~~d~, "E l , ,, l ' '

Ll. LE PE~ (A HASOD.SZORI D f:T 0.)ZL0POI<. SZERI NT)

OUTPUI

A to) A(_.) A( l.) A( 3) A<~) A(.>) A l') A ( -1) A(e) A C9l

A~o) A l_.•) Alu) A( n) A (1") A (.1r) A {It:) A(t~) A <u~) A&'>

A(a.o) A (2A) A(2z) At21) A(z~) A(zr) A(z') A(H) A~~ A~>

A(lo) A(.H) A(l~') A(JJ) A(n) A(lr) A(J,) A(z~) Al!J) A ~9)

Al~ro) A("_,) A(+z) A(trl) A (it~t) AC+ r) A(~) A&;~) A~cr) A (t,)

A{s-o) A lr.t) A(n ) A(r.J ) A (c") A(rr) A (r')- A (r1)- A<f1) A 61> l

A('o) A-(,.,) A('z) A('J) A (C'f) A(cr) A('') A(,~) A('r) A~'~) i

A (;to) A~~) A(-12) Al1-1) A(~" l A(~r) A~) A(~) ACfJ>) 1 A~)

A<!o) A(tl) A(tz) A (h) A (14-) A (J>r) A (1',) A(81) A {fr) A(ag)

A~o) A (CJA) A(92) A(9J) A('") A(9r) A {:16) A<?,) A (JI) A(99)

17

Az eddigiekből kiderJl, hogy kulcsfeladat egy olyan DFT el-

készitése, mely N = 10 alappontban adott függvény spektrumát

késziti el.

A 10 a 10 = 2 • 5, illetve 10 = 5 • 2 módon faktoriz~

tó, és mint az ismeretea mindkét eset egy-egy megvalósitási

utat jelent.

Mindkét út mellett és ellen lehet érveket felhozni. M1 a 10•5 • 2

utat választjuk, azaz az N = 10 alappontban adott fUggvány Pouri­

er-transzformációját visszavezetjük N = 5 alappontban adott fUgg-

vény transzformációjára.

. A visszavezetés a következő egyszerU meggondolásokon alapul.

9

tlO) A(n) • 2 f(J<)

k-0

2'\i -ink 10

e tn = 01 1, ••• ,9) •

Irjuk át ezt az alábbi alakbaa

9

(ll) A(n) = L f{k) ~ (n = 0,1, ••• ,9)

k=O

Csoportositsuk ezt az összeget az alábbi módona

4 4

(12) Aln) ~~ f{2k) ~á2k)+ 2 :r(2k+l) ~á2k+l) •

k=O k•O

4 4

=L f(2k) \~ + \~0 ~ f(2k+l) ~ •

k=O k::aO

18

•

4 4

• } fo(k) wf +~o L fl(k) wf = k•O

Összefoglalvas

(1.3) A~n} l ' n A1tn) =A' n'+ wlO O\ J

ahol 4

A0 (n) = \ folk) wf /__ k=O

4 -~(.n) = 2_ fl(k) wf •

k=O

Megmutatható, hogy

(n= 0,1,2,.3,4)

Ezt figyelembe véve a (lJ) az alábbi alakba irhatóa

A számitásokat az alábbi módon rendezhetjUk el:

19

ft o) 'MA( o}

fl 2.) DFT :MA t~)

ft'f) N=S A (2.)

ft') MA(1)

fta) NA('I)

ft .. ) ... AlS)

ft3> DFT a-At')

f(s) N-=5 a.. A·(:, )

f(:J} .a..Att)

fl') ..-A(9)

20

2,

Az N = 100 alappontban adott függvény diszkrét Fourier transz­

formációjának kiszámitása_halmozott hiba nélkül, tárolt konstansok-

Az alábbiakban az N • lOO pontban adott függvény egy olyan disz-

krét Fourier transzformációját ismertetjük, amely kikilszöböli az

lo pontban ismertetett eljárásnál elkerUlhetetlen halmazott hibá-

kat, és azzal összehasonlitható idejü futási idővel bir,

Ugyanitt megadnak egy eljárást, mely az inverz Fourier transzfer-

máoió realizálására szo1gál.

(l) f(O) 1 f(l) ,,,,, f(99)

alappontokban adott sorozat diszkrét /vagy véges/ Fourier transz­

formáltján a

(2) Z(O) 1 Z(l) 1 oeo 1 Z (99)

sorozatot értjük, ahol

99

Z(n) • 1~ L f(k)

k=O

Itt osak azzal a speoiális eset·tel foglalkozunk, amikor a minta

sorozat elemei valós számoko Tehát a fent definiált diszkrét transz­

formáció az (l) valós sorozatot /vagy vektort/ a (2) komplex so~o­

zatba /vagy vektorbal viszi áto

21

A (J' képlete t a Fourier /integrál-/ transzformáció elmélet é-

ból úgy kapjuk meg, hogy az integrál-transzformációban szerepló

integrált a közönséges ntéglányösszeg" módszerrel számitjuk ki

nwnerikusano

Felhasznál va, hogy·

ii' .1 'l

e = oos-r + i sin 1 a (.3) egyenletet a következő alakba irhatjuk át:

Z(n) = Atn) - i • Btn) ,

ahol 99

l\ A(n) = 1o0

1!._

99 -

f ( k \ 1 nk 2 ·u ) ' ' cos, 100

B(n) = 1~0 )_ f(k) sin (nk ~~ )

k=O

és n = O,l, ••• ,99o

Az alapfeladat a fenti egyenlőségekkel definiált egyUtthatók

gyors és halmazot·t hl.ba nélküli realizáoiója.

2 ol A trans.zf~rmáoió

A transzformáció valós rés.zét z

99

(l'; ALn) =L 2 f'k\ oosl-loo ' · \ ---:.._.

(n = 0,1, ••• ,99)

k=O

egyenlet definiálja.

22

,.

A szokásos mátrixmüvelettel kifejezvet

Í A(O) cos(O • o .d.) cos (o • l od..) ••• OOSlO • 99 o·~) f'(O)

A{l) cos(l o o .~) cos(l • l .~) o•o cos( l o 99 .,j.) fll)

A(2) cos(2 • o .-:l.) cos l 2 o l .~) OOO oos\2 o 99 .o() f(2)

AlJ) cos(J • o .d..) cos b • l .9() ... cos lJ o 99 . _,) f\3)

• •

• o

• o

,_Al 991 eos (99 o O or.j,) cos \99 .l.•)() • • • cos (99 .99 .d.. ) f (99)

ahol d..= 21\ 100 •

A fenti felirásból jól látszik, hogy egy "direkt" módszerrel

történő kiszámitás esetén főleg a nagy számú szorzás és oosi-

nus függvény számitás miatt, meglehetősen időigényes feladat-

tal állunk szemben, olyannyira, hogy egy ilyen "direkt" módszer

használata kis számitógépeken lehetetlenné válik.

Irjuk át a (7) egyenletet az alábbi alakba:

A=.flto:f.o

Ó , f ) , ,.. • , .a. , J l latszik a ~7 felirasbel V1SZont meg az is, hogy azv~mat-

rix redundanciája számitástechnikai szempontból igen nagy,. tehát

egy elfogadható időn belül futó eljárás kulosa az Jt mátrix tu­

lajdonságainak a közelebbi vizsgálatában rejlik~

K/ Könnyen belátható, hogy az .. Aimátrix 10.,.000 eleme mindössze 25 különbözó értékból származtatható.

23

2,l,lo A gyorsitás kérdése egy Aln) kiszámitása esetén-'

Tekintsük az

99

(2) l ~ . A(n) • ~ l f(k) cos (n • k o 21[ )

100 A-­

k•O

egyenletet, ahol n rHgzitett (O~ n; 99) •

A képlet illo az A(n) direkt kiszámitása esetán a következő

mUveletekre van szükség~

Az argumentum kiszámitására a 3 sz orzás

Az f~k) • cos (.n • k i~ ) -hoza l szorzás

összesenz 4 sz orzás

egyes k = 0,1, ••• ,99 -re összesen 1 400 szorzás

z összeg kiszámitásához 100 összeadás

A cosinus szubrutin használata 100 alkalom

Ez összesen kbo 22 másodpercet igényelo /Innen következik, hogy

a valós részhez 2200 másodperc, azaz kb. 37 perc szükaéses,

RJA továbbiakban a feladatunknak megfelelő N • 100 esetet tár­gyaljuk, bár azt lényegesen nem használjuk ki, igy az álli­tásaink általános érvényüek.

KKÓsak a minden n azerinti lépésben ismétlődő mUveleteket te­kintjük •

...;Ez az EMG 666 számitógépén /átlagot számitva/

szorzás 1 400 • 4 ms = 1600 ma összeadása 100 • 0,4 ms = 40 ms cos x 1 100 • 200 ma = 20000 ms

összesen : 21640 ma~ 22 seo

24

ha a járulékos utasitásokhoz illo számitásokhoz szükséges

időt nem számitjuk. Tehát a teljes Fourier-transzformáció­

hoz t<Sbb mint egy óra szükséges/

ltindenek előtt azt mutatjuk meg, hogy a (2) érték kiszámitá­

sa jóval kevesebb müveletet igényelo

Vezessük be a

/] 2'ir ) p (n1k) = oos,nk 100

jel<Slést, ahol n = 0,1, ••• ,99 és k = 01 l,ooo 199o

Megmutatjuk1 hogy

p (n,k) • p(n, 100-k) /•

ahol n • o,l,2,oooa99 és k • 1,2, •••• 50.

Ugyanis

2ft p (n, lOO-k) = oos (n l}oo-kJ 100 ) •

l 2rn" ) l. 2'ir J = oos ,n • 21T- nk 100 = cos\nk 100 = p(n,k)

Ennek alapj án a l 2} a k<Svetkezóképpen a zámi tha tós

{4) A(p.) • l 100 t

25

ahol

~(n) • f{O) • p (n.o) + f(50) o p (n1 50)

fllk) = f(k) + f (100 - k) •

Ez az összefüggés a (3) alapján az loábráb6l k<Szvetleni.tl be­

látható, de a (2) -ből formális úton is levezethető z·

A(n) = 1~0 (tto) • p (n,o) + f(50)o p(n,50J +

49 99

+ 2 f(k) , p (n,k) + ) f[k} , p(n,k)) •

k=l k=5l

= l~O (f(O) o P(.ntO) + !(50) , p(n,50) +

49 49

+ L f[k) , p(n,k) + 2 t(lClO-k) , p [n,lClO-k~· k=l . k=l

= 1~ \f(O) p(n,OJ + f(50) p (n,50) +

49

+ >- (f(k) + f(lOO-k),)P (n,k)J •

k•l

l = lOO

26

49

( "J.[n) + L t 1(k)

k=l

ffi ~------, ~4-----------,

['...," O) 4------.,

~ • . ~:

Le)

"t! •

0')

C"\1

~

8 -c:

27

Világos, hogy a (4) egyenletet összehasonli tva a t 2) -vel, as

előbbi j6val kevesebb müveletet igényel.-'

2.1.2. Gyorsitás páratlan sorindexek esetán

~eki~tsUk egyenlőre osak azt az esetet, amikor n a O éa 99 közöt-

ti páratlan szám, és tekintsUk ezek után a {4) egyenletben szerep-

ló

p (n,O) , p(n,l) ,eo., p(n,50)

értékeket o

Hasonlitsuk össze a

és a

p(n,50-k)

értékeket.

2 \r P( n, 5<1-k) = cos tn [.?o-k J 1~0 ) •

= cos (Jiil- nk

Tehát páratlan n értékek esetén

Ebből egyrészt következik,-hogy p(n,25) = o, másrészt páratlan n

indexek esetán a (4) egyenletet átirhatjuk az alábbi módona

;}Az eredményt részeredménynek tekintjük, ezért időbecsléssel itt nem foglalkozunleo Időbecslésekkel majd C9ak a végeredméDJD8k te­kintett formuláknál foglalkozunk.

28

l 6) l A\n) l {a2 = t 100

' \ • \ i ..._ ___

ahol

{7)

-----------

és

24

+ \ / / ·-k=l

.L ik; .::.·

\

p '.r ... k; l'

(8) lf2(k) = f{k) - f~50-k) - f~50+k) + f(lOO-k)

Ezeket rendre a következőképpen láthat~uk be,

A (7) a {4) alapján nyilvánvaló. A :6.' közvetlenül leolvasható

a 21 ábrából, vagy formálisan a következő levezetéssal kaphat-

juk; figyelembe véve, hogy p(n1 25) = Oo

k=l k=l

49 24 .- 2 flck\ + \ fl lk' Pln1 k) = p (n,k) + ' , __ k=26 kal

24

+) f 1{50-k) p ( n,5ü-k) = ,. -k=l

kal k=l

29

c::

30

• • •

• • •

_g -o C\i

24

= > (t1lk) - t1 (50·k~ p (n,k)

kal

24

~ / ·-k=l

A (8) állitást pedig a következőképpen kaphatjuka

f2(k\ = fllk) - fl(50-k) =

= [r(k) + f(lOo-k)J-l f(5o-k; + r{loo-[50-~l] =

= f(k) - f\5D-k~ - f(50+k) + f(lOO-k)o

Páratlan n indexekre a (6) ,(7) ,(8) képleteket véglegesnek tekint­

jük.fl/

2olo3. Gyorsitás páros sorindexek esetán

Legyen n páros szám.

Ekkor

(9) p(n,k) = p(n,50-k) l ugyanis kihasznál va, hogy n páros z

p ln, 50-k) = cos(~ [5o-k J 21 100 ) =

;

•/Elvileg további felezés is lehetséges, de ez már nem fogalmazható ilyen zárt alakba és a programozást jelentősen megnehezitené.

Ezt felhasználva a (4) egyenlet a következő alakbairható áta

ahol z

Ezt a következőképpen láthatjuk beo Vagy a 2o ábráb61, vagy az

alábbi levezetéssel a következőt kapjuk&

49

k=l -k;&25

24 49 + 2.__f1(k" p·n,k\ +2__ f 1tk) p ln,k) •

k=l k=26

24

" =L f 1lk) p tn,k)

k=l

24

24

+) fl(5Q-k) --k=l

24 -

pln,50-k) •

= --, f 1(k\ Pln,k) + L-

2_ f 1 \50-k) p {_n,k) •

k•l

24 24

= Lt1(k) + t 1(50-k))P (n,k) =2:. t 3(k) p (n,k),

k=l k=l

Innen látszik, hogy egyrészt

a3(n) = f(O) p(n,o) + f 1 l25) p{n,25) + f~50) Pln1 50) =

= f(O) + f(50) + [f(25) + f(75~ cos n l , tovább'

= f{k) + f(lOO·k) + !(50-kJ -+ ftlOo- (50-k)) a

= f(k) + f(5o-k) + f(50+k) + flloo-k) •

Ezt az eredményt részeredménynek tekintjUko

2.1.4. Gyorsitás nég&yel osztható sorindexek esetén

Legyen ezek után n néggyel osztható szám.

Megmutatjuk, hogy

Ugyanis, mivel n néggyel osztható&

p ln, 25-k) = oos \n [25-k] i& ) • = cos (nJf-- nk

2~0 ) =cos lnk iJ&) =P (n,k)

Ezt felhasználva a tlO) egyenlet a következő alakba irható át:

33

f 12) \. . l

A{nj' • -lOO

ll3) l. a4 a f(O) + f(25) + f{50) + f(75)

f4tk) = f{k) + f(25-k) + f(25+k) + f 50-k + (14)

+ f(50 + k) + f(75-k) + f(75+k) + f llOo-k) ,

Ezt vagy a 3, ábrából, vagy az alábbi levezetésból láthatjuk

be,

k=l 24

+ .\ f3

tkJ p(n1 k) = k=l3

k=l

12

~ f 3(k) p tn1k) +

k•l

12 12 - ·-+ ~ f 3(25-k) p (n1 25-k) • ~ f3[k) p (n,k) +

k=l k=l

12

+ > f3l25-k) ~

k=l

12

12

p ln1 k) = ) (f3lk) + f 3l25-k)) p (n,k) •

le= l

= L_ f 4(k) p(n0 k)e

k=l

Innen

Kl.------~~---

Rl ~4---

l:Q

~

~J e

-'§

~ t'<)

~ ~

R

c::> .-----_j

35

= f~k) + f(50-k) + f'.50+k) + f(lOo-k) +

+ f(25-k) + f·~5o-t25-ku + fGo+t25-kil +

= f(k) + fl5o-k) + f(50+k) + f~lOO.k) +

+ f(25-k) + f(25+k) + f\75-k) + fl75+k) t

továbbá az a4 kiszámitása a (ll) -ból közvetlenUl történt. Est

az eredményt véglegesnek tekintjük.

2olo5o Gyorsitás négsyel nem osztható páros sorindexet esetép

Legyen n néggyel nem osztható, páros sorindex1 ~ = 21 61 101 •••)•

~,tegmutatjuk 1 hogy

Ugyanis, kihasználva, hogy n • 21 61 10, ••• :

:·- - ~-= ( ..IL. nk ~\ l· 2 ll \ l. ) cos 1 ~ 2 - 100 ./ = - cos\ nk 100 ) • - p n,k •

Ekkor a (10) egyenlet a következő alakba irható át:

36

ll6)

ahol

ll7) [ a5

= f(O)• f(25)+ f(50)• f\75)

f 5tk) = f(k)- f(25-k) - tt25+k) + ft5o-k) + l ll8)

+ f{50+k)· f(75-k)- f(75+k) + f\lOo-k)

A (17) a {ll)-ből közvetlenül nyerhető.

A 10 -b~n szerepló összeget, hasonlóan mint korábban, két rész-

re osztjuk, és felhasználjuk a {15)-öto Végül:

= f(k) + fl50-k) + ft50+k) + t(loo-k) -

- [_f(25-k) + f[so -t25-kj] + f[5o +(25-k)J +

+ f ~00 -(25-k)1·

= f(k) - f(25-k) - f(25+k) + f{50-k) + f~50+k) -

- f(75-k) - f(75+k) + f(?.Oo-k).

Ezen eredményeket is véglegesnek tekintjük.

3 '7

w OJ

2 .1.6. Összefot;lalts.

24

A"n = ioo (a2 +L f2lk) P (n,k))

k•l

a2 = f(O) • f(50)

f2(k)• ftk)- f{5o-k)- !(50+k)+ f{loo-kJ

P(n,k) • coa(nk ~Jt" )

12

A( n)= fo:> {a 4 + L.f 4 {Ic) p (n,k)'

\ k-l l

a4 • flO)+ f(25)+ f(50j+ fl75)

f4(k)· f{k)+ f(25-k)

+ f(25+k)+ f(50-k)+

+ f(50+k)+ f(75-lr:J+

+ fl75+k)+ f(loo-k)

12

A(n)• 1~0 (a5+) f 5(k)p(n,t))

k-l

a5• flO)- f(25)+ f(50)- f(75)

f 5lk)· flk)- f(25-k) -

- f(25+k)+ f~50-kJ+

+ f(50+k)- f{7~k)­

- f(75+k}+ f(loo-lc}

•

2ol.7. Az A(n) együtthaték alapvető szimmetriatulajdonsága

Megmutatjuk, hogy

Ugyanis

- ...lJLj-P(,lOO..n,k) = cos l llOO..n) k 100 ·· =

r .- 2Tr . = cos Lk.2" - nk 100

Ebből pedig kapjuk, hogy

Ugyanis

l A llOO-n) = 'iöö

99 -'> /'

k=O

99

l 21L ) ' ) cos \nk 100 = p (n,k o

l = 1.00 ~- f(k) p(n,k' = A(n) •

.L_

k=O

Ez lehetévé teszi, hogy csak az

együtthatókkal foglalkozzunko

.39

2olo8o Speciális A(n)-ek

Néhány A(n) érték közvetlenül, könnyen szam1thatóa

99

Ato) = ioo )- f{k)

k-O

49

. l ' k Al25) • 'iö'O L t-l) f(2k) k-0

99

A(50) = ~ > (-l)k f(k) k•O

Ezek után tehát osak az

All) , Al2), ••• , A(24)

Al26) , A <.27) , o • • , A(49)

értékeket kell kiszámolnnnk.ll/

WI/ A speoiális indexli A(n) együtthatókat kUlön előre, a fenti képletek alapján fogjuk kiszámitani.

40

2olo9o A páratlan n indexü A(n) együtthatók'további felbontása

TekintsUk a páratlan indexü A(n)-ek előállitásában szereplő ösz-

szeg

24

(.19) ) f(k) o Pln,k) • A1tn) + A2(n)

k•l

felbontását, ahol

(20)

(21)

2.3

~tn) = 2 f 2 lk) p(n,k)

k=J. k páratlan

24 v = / f 2(k) Pln,k)

k-2

k páros

Mivel ~áratlan k esetén l

p~50-n,k) a oos [l50-n) ~J k lOO =

= oos(k'tl- nk 2 ~0 ) = - cos (nk 1gg ) =

• - p(n,k) ,

ezért

tn • 1,.3, ... ,49)

(n = 1,3, ••• , 49)

(n = 1,.3, ••• ,49)

41

23 23

{22) ~(50-n) • L k-l

f(k) Pl50-k) • • L f(k} p(.D1k) •

k-l k páratlan k_páratlan

Páros k indexekre viszonta ·

-L 2jt, p (50-n,k) = cos (50.n) k 100 j •

,, - 2íf) . _g)() = cos,k'll- nk 100 • cos \f•k· 100 • ptn,k) ,

ahorma.n 24

(23) A2(50-n) • > flk) p (50-n,k) •

k=2

k páros

24 -= + ~ f(k) p (5<>-n,k) • ~tn) •

k-2

k= páros

Összefoglalvas

viszont az ~tn) és A2tn) -re bizonyitott szimmetria-tuJ.aJdon­

ság mia tt e legendó csak az

~(l), ~\3), •••• ~(23)

mennyiségeket kiszámitani.

42

~ \...)

összefoglalás.

Összefoglalva a kiszámitandó n. sorin;e:--1 · · eket• ==---- Dáros 4

1 menny~seg • ~ -e nem osztható páratlan ~-====-=---===--- n.

B. 4-el. • , A. 1 •

12 ; 12

•n\ l {f- l \ ~ = Iöö\f-- f 2 lk)p(n,k)J

k-l páratlan

a2 = r(o)- f(50)

f2(k)= f(k)-f(50-k) -

-f(50+k)+f(l00-k)

n= 1,3,5,7,9,11,13,

17,19,21,23

24

A~(n) = k(a2+ L:.~{k) p(n0 k):

ugyanaz

ugyanaz

k=2 páros

l

•{•)· ioo(•4+ L<4i<)p(n,k~ l A(n)· ioo (•,• L t 5(<)p(•,•\) k=l k=l

a4=fl0)+ f(25)+f(50)+fl75) a 5= f{O)- f(25)+ f{50)- fl75)

f4(k)= f(k)+ f(25-k) + f5(k)= flk)- f(.25-k) -

+ f(25+k)+ f(50-k} + - f(25+k) + f(5o-k) +

+fl50+k) + f (75-k) +f l75+k)+ +f (50+k)- f (75-k) -

+ f(lOO-k) - f(75+k)+ f(lOO-k)

n = 4,8 012,16 0 20,24,28, n = 2,G,lO,l4 0 18,22 0 26,30,

32,36,40,44,48 34,38,42,46 ! l

2.1.10. Az .. A" eset realizá~

.,A" eset

A l(N) = F 2(N)• r(n,N)

A l(N) • A 1(11) + F 2 (K) • S

A llK) = A l (K) + F 2 lNJ• S

44-

~ V1

p {l, l)

p (.3,1)

p (5,lJ

p l7 ,l)

Pt9,l)

p(ll,l)

Pt13,l)

p (15,1)

p(l7,l)

p (19,1)

p (21,1)

p (2.3,1)

p tl,3)

! p(.3,.3)

p(5,.3)

p (7 ,3)

p (9,.3)

p lll, 3)

p ~13,.3)

p(l5,3)

p(l7 ,.3)

p (19,3)

p(21,3)

p l2.3,.3)

p !;1.,5) p{l,7) P(l,9)

P(.3,5) p (3, 7) p (3,9)

Ip (5,5) p(5, 7) P(5,9)

p (7 ,5) l p (7 t 7) p(7,9)

p{9,5) p(9,7) IP l 9,9)

p (J. l, 5) p {ll, 7) Plll,9)

p {13,5) p(l3, 7) p (1.3,9)

p(l5,5) p(l5,7) P(l5,9)

Ptl7,5) p(l7,7) p{l7,9)

P(l9,5) p(l9,7) p (19 ,9)

P(21,5) p (21, 7) p(21,9)

p(2.3,5) p(2.3,7) p (23,9)

p (l,ll) P(l,l3) p t_l,l5J p (1,17) p(l,l9) p(l,2l) p (1,2.3'}

Pl3,ll) p {.3,1.3) p {3,15) p (3,17) PlJ,l9} p (3,21) p (3,2.3)

p (?,ll) p(5,13) p (5,15) P(5,17) p l5,19) p (5,21) p ~5,23)

p (7 ,ll) p(7,13) P{7,15) P(7,17) p(7,19.) p t7 ,21) P(7,23)

p(9,ll) P(9,1.3) p (9,15) p(9 ,17) p (9 t 19) p(9,2l) Pl9,2.3)

Ip (n, ll) p~ll,13) p(ll,l5) p (11,17) p lll,l9) p (11,21) p (ll,2.3)

p(l3,ll) Ip (13,13) P(l3,15) p (13,17) p ( 13,19) p (13,21) p (13,2.3)

pll5,ll) p(l5,13)_ l p ll5,15} plJ.5,17) p(l5,19) p (15,21) p(l5,2.3) .

p(l7,ll) Ptl7,13) p(l7,15) l p (17 ,17) Pll7,19) p(l7,2l) p(l7,23) 1

p(_l9,ll) p(l9 ,13) p(l9,15) p(l9 ,17) l p(l9,19) p(l9,2l) p(l9,23) l

p (2l,ll} p(2l,l3) p (21,15) p(21,17) p(2l,l9) lp(21,2l) p (21,23) i

p (2.3 ,ll) p(23,l3) P(2.3,15) p (2.3,17) p (2.3,19) p ( 2.3,21) l P\23 0 2.3)'

-~-.

4-. ábra

2.l.llo A ":S" eset realizáoió~a

..B·

N = l

A •lN) = A 2.

N = l

K =2

.A 2(N) = A 2(N) + F 2 (K) 11 S

K=K+2

2.l.l2o A páros indexü, 50 alatti !(nl együtthaták kiszá­

mitása (A nC" és 11D" eset együttes realizáoiója)

A kiszámitásnál a következő tényekból indalunk ki

.. c" 4,8,12, •••• 40,44,48

12

.l.ln)• ~00 ~4+ > r4(k)p{n,kJ)

k=l

a4 = f{O) +f(25)+fl50)+ f(75)

f 4 (k)= f(k) + f (.25-k) +

+ f(25+k)+ f(5C>-k}+

+ f(50+k)+ f(75-k)+

+ f (75+k)+ f(lOC>-k)

D" " 2,6,10, ••• , 38,42,46

12 -.l.(n)~ ~O (a5+ Lr5tk) p(n,k))

k=l

a5 = f(OJ- f(25)+ f(50}- !(75)

f5(k)= f{k)- f(25-k) -

- f (25-lc) + f(5C>-k) +

+ f(5C>-k) - f (75-k) -

- f (. 75+k) + f (_J.OC>-k)

továbbá az alábbi értékek összehasonlitásábóla ._

. . il p (n,k) = oos (n•k• ~)

p (.50-n,k) = oos (k'ir- nok 2Jo) Ez újra osak módot nyújt a számitások felezésére, ugyanis hasonlóan

a korábbiakhoz

- páos k es etén p (n,k) = p (?o-n,k)

- páratlan k esetén p(n,k) = - p (50-n,k)o

Az összetartozó müveleteket az 5o ábrán tüntetjük fel. Igen lénye-

'

ges, hogy a párhuzamos müveleteket váltott 11C" és 11D" eljárással kell

s&ámolni, mert ha n 4-el osztható, akkor 5o-n már nem osztható 4-elo

/lsd. 5. ábra/

47

-ll indulás

c 2 4

c 6 8

10

D T indulás -

~

D ~

D c 12

14 ~

D c 16

18 ~

D c 20 l"-

22 c 24 c 26 D 28

D ~

~

30 D 32

34 D 36

38 D 40

42 D 44

46 D 48

c ~

c ~

c -c -c -

..... c

5 ábrd

48

I. indulás

AtN) • Al5)

A(N + 2) • A 4

S l " P~N 1 K)

S 2 = P(1'1 1 K+l)

A(N)• A(N)+ F 5(K) aS l + F 5(K+l) aS 2

A(50-N)• A(5Q-tl) - F 4LK) a S l + F 4 tK+l)K S2

K • K+2

N • 1'1+2

49

N • 4

K • l

S l = P(N,K)

Al_N)= A(N)+ F 4(K) BS l + F 4 lK+l) • S 2

A(50-N) = A(50-N) - F 5(KJ BS l+ F 5 (K+l} S 2

K = K+2

N • N+4

50

2.2. A transzformáció képzetes része

A transzformáció képzetes részét az

99

ll) 5 fi"' sin l nk 21'f00l ) B(n) • ~00 "-" X:

k-0

egyenlet definiálja, ahol n = 0,1,2, ••• , 99o

A szokásos mátrixmUveletekkel kifejezvea

..,. ..., B(O) i sin(O.Oooi.) sin (o.l.~) ••• sin(0.99.~)

i ' sin (l.o.~ l sin tJ..l.~) B(l) l • o o sin (l o 99 .o(.) '

B(2) l sin{2o0o~) sin (2.1.~) sin(2o99o')l..) í ••• t

B{.3) j. sinl.3o0o~) sin (.3olool) • •• sin (.3o 99o()(..)

• ' • o o

• o o

~

sin (99 .o .ct) sin [99 .l.o(.) • • • sin (99 o 99 • "-)J ahol CÁ.• 2

100 •

összevont alakban

B .\A. t - -

f(O)

f{l)

f(2)

l:()J L l l •

! i l .

lfl99) : L ~

Hasonlóan a valós részhez, a gyorsitás lehetóságeit elsósorban a

j3 mátrixban mutatkozó redundanciában kell keresnie

Legyen

51

Ekkor

~ = (q n,k) lOO:z:l.OOo

A továbbiakban a~ mátri% szimmetria tulaj donaágai t fogjuk meg­

vizsgálni.

2o2ol A g,yorsitás kérdése egy B(n) kiszáraitása esetép

Először azt mutatjuk meg, hogy

(2) l q (n,k) = - q (n, lDO-k) l

Ugyanis

2'ir 2í! = sin Ql• 2''{i - nk lOO ) = • sin( nk lOO ) •

Ezt felhasználva az {l) egyenlet a következő alakba irbat6 át&

49

t3) B(n) • ioo L~ (k) q (n,k) k=l

(4) f~tk) = f{k)- f(lOÓ•k)

/Kihasználtuk, hogy q(n,o) = q(n,50) = o./

52

..

2.2.2. gyorsitás páros sorindexek esetén

Tekintsük a (3) egyenletet, amikor n • 214, ••• ,98 1 és tekint­

sUk a

értékeket. Megmutatjuk 1 hogy

l6) r q(n,5o-k) • - q(n,k)

ahol n • 2141 ooo,98 és k • 1, ••• ,25

Ugyanis páros n eáetén

{;t J .. 100.

l· f:"J 2 ·ji (' 2 7I" ) = sin \n l t - nk 100 • sin -nk I'öO" =

2'"" = - sin (nk ~~) = - q (n,k) •

Ezt felhasználva a (3) egyenletet a következő alakba irhatjuk

át l figyelembe véve, hogy q tn1 25) ... o.

24

{7) l B{n)=roo .. > ~(k} q (n1k)

k-l

ahol n • 21 4, ••• , 98 és

f~lk) = f~(k) - ~(5o-k) azaz

53

(8) f~(k) = f(k) - f(5o-k) + tl50tk) - f{lOO.k)

2.2.3.. Gyorsitás kérdése páratlan sorinde:x:ek esetén

TekintsUk a (3) egyenletet az n == l,J,uo 199 esetekre.

Megmutatjuk, hogy

(9) ! q (n,50-k) • q(n,kJ ]

Ugyanis

q(!l,5ű-kJ = sin (n (50-k) ioo ) =

r- zii) 1. 2i1) = sin~ 11 -nk 100 = sin \.nk 100 =

= q(n,k)•

Ezt felhasználva a (3) egyenletet irjuk át a következőképpena

24

{10) B(n) = 1~ (~(25) ain (n1[) + ) t) lk) q (n,kJ)

k=l

(ll) f;(k) = f(k) + f{50-k) - f(50+k) - f(lOo-k)

Ezeket az egyenleteket még tovább bontjuk a későbbiek folYamán.

54

2.2.4. Gyorsitás kérdése 4-el oszthat6 sorindexek esetán

Legyen n = 4,8,12•••• • Megmutatjukt hogy

ll2) l q (111 25-k) = - q (.n1k) J

Ugyanis

r 21t] q tn,25-k) = sin Ln (25-k) 100 =

....IL- 2_.) . 211'") = sin (n • 2 - nk 1~0 = - sin \nk lOo =

...

= - q ln,k)

Ezt felhasználva irjuk át a (7) egyenletet a következő m6dona

12 ·-(13) B{n) = ioo L f: lk) q tn,k)

k-l . -ahol

azaz

(14) ~(k}= f\k) - f (25-k) + f\25+k) - f(5o-k) +

+ f(50+k) - fL75-k} + f (75+k) - f(.lOO-k)

55

2o2.5. Gyorsitás páros, de néggyel nem osztható soripd!l!k

eset én

Legyen n = 2 1 61101 uo ·~ !legmutatjuk1 hogy

Ugyanis

q (n125-k) = sin [n (25-k) iJo J =

r:t' 2'-) 2~ = sd.n ~ T - nk -Poó = sin l nk l8o ) =

= qln1k) o

Ezt felhasználva a l7) egyenletet a következő alakba irhatjuk áta

12

ll6) B(n) = 1~0 2 :r;lk) q (n1k)

k=l

ahol

azaz

tl7) f;lk) • f(k) + f(25-k) - f(25+k) - f(5o-k) +

+ f(50+k) + f(75-k) - fl75+k) - f(lOO.k)

56

"' ~

2.2.6. Összefoglalás I.

n sorindex

24

B (n)= 1~0 (a;~}+ l f;(k' q (n,k))

\ k=l

a~ln>=G(.25)- f l75)] sin (n-}-)

~lk\= flk)+ f(5o-k)- f{50+k)-fLlOO+k)

. l B ln)= !öö

12

2 f:(k') q (n,k)

k=l

~lk) = f(k)- f (25-k) +

+f (25+k)- f (50-leJ+

+f(50+k)- fl75-k)+

+f(75+k)- f(lOO+k)

l B(n)= loö

12

~ f;(k) q(n,k)

k=l

f;lk) = flk) + f(25-k) ~

- f(25 +k) - f(50-k} +

+ f(50+k) + f(75-k) -

- ft75+k) - f (1.00-k)

2.2.7. Alapvető szimmetriatulajdonságok a B(n) egyq~~ó§

Megmutatjukt hogy

( lB ) q (}.00-ntk) • - q (ntk)

Ugyanis

[ 2'jj 1 q {lOo-n,k) = sin (l.oo-n) • k 100 •

Ebből következik, hogy

(19)

Mivel

l B(lOO-n) a - B (n)

B{lOO-n) l = loö

99 .-l__ flk) q (loo-ntk) ..

k-0

99 .--= - ioo L_ flk) q (ntk) = -B(n) •

k=O

Elegendő tehát csak a

l 20) B(O) t B Q.) t •••t Bl50)

együtthatókkal foglalkoznunk.

58

2o2o8o Speoiális B(n) együtthat6k

49

(22) B(25) = l~ >- ~l)k f(2k+l)

k•O

2J l Bl50} • O l

2o2o9o Páratlan n indexü B(n) eg,yUtthat6k felbontása

Tekintsük a {10) egyenletet és irjuk át a következő alakba:

'

ahol

23 -(25) B1 tn} = L f;(k) q (n1 k)

k=l k páratlan

59

24 ,_ (26) B2{n) =~-~L f; (k) q (n,k)

k=2 k páros

Tehát a (24) -et visszavezettük a (25) és {26) kiszámitására.

Legyen k páratlan, ekkor

Ugyanis

Ít 2ji" 1 ql5<>-n,k) = sin~5<>-n) k 100 =

2l ' = sin lk \i' -nk 100 ) = sin l nk

Ebből pedig az követltezik, hogy elegendő osak a

(28) l ~ll) , B1l3) , ••• , ~(23)

együtthatókat kiszúmitani, mert

Mivel-páros k értékekre

60

ezért elegendő csak a

együ+.tbatoka~ kiszámitani, mert

(32) (n • 1131 51 ••• ,23)

G l

O' N

2o2ol0. Összefoglalás Ilo

A

r n sori.ndex páratl.Em

J;/7_, s B -

23

Biln) = f~ (25) sin (n ·~) + ~ k=l

f;(k) q(n,k)

k p4ratlan

tiC25)= f(25)- fl75)

t;tk) = f(k) + f(50-k) - f(50+k) -

- f(lOo-k)

n • l, 3, 5, ••• , 23

24 -B2(n) = L_ t;(k) qtn1kJ

k-2 k páros

ugyanaz

UQ8D&Z

(J'. l...)

"

l

i n sorindex páros l -tA D 1 ~, ---=~--12----------~,

' B(n) = -& / t; tk) q ( n 1k) "-

c

12

D(n) = 1~0 L f:lk) q ~n1k) k•1 k•l

f lk'- f (25-k) + f(k\ + f;__25-k'-

!ll + f(25+k)- f (?0-k)+ f \k)= 4 " + f(50+kJ- fl75-k)+

-f{25+k) - f(50-k) + r;(k) •

+ f{50+k)+ fl75-k:) - l + fL75+k)- :f(l.OO..k' - ff75+k)- f/10~k) l ' . . l .

n = 4, a, 12, 16, 20, 24, 28, 32, n = 2, 6, 10, 14, 18 1 22, 26, 30, l 36, 40, 44, 48 34, 38 11 42 1 46

B l(H) = F(25) - F (75) + l .3 CS (.N) K QlN,N)

N = N+4

B l{N) = B llN) + P 3 CS (K) • S

B l (.K) = B l (K) + P 3 CS \N) • S

K = K+2

N .. N+2

2.2.12. A uB" eset realizáeiója

N=N+2

K = K+2

N= N+2

2o2,l3. A páros sorindexü 50 alatti Bln) együtthaiéi

kiszámi tásao l A "C" i!! 11 D11 e set realizációja l

Hasonlóan a valós részhez, ezek kiszámitásához szükséges mUve-

letek mennyisége /durván számitva/ megfelezhet6.

Hasonlitsuk össze az alábbi kót mennyiségeta

2 u q \n,k) = sin (nk 100 )

q (.50-n,k) = sin ( k'ir- nk 2~ tJ ) 100

Ebből azonnal látszik, hogy

- páros k-ra q(5o-n,k) = - q (n,k)

- páratlanokra q (50-n,k) = q(n,k) ·

Az összehasonlitás az 5o ábrán újra áttekinthetőo

Hasonlóan a valós részhez, itt is lényeges, hogy a párhuzamos

müveleteket váltott nC" és 11D11 eljárással kell ssámolnio

66

B N = B(N)+ F 5 CS(K) H S l + F5 CS~1-l) K 32

67

N • 4

K =l

S l = Q(N,K)

S 2 = Q(N,K+l)

B(N) = BtN)+ ! 4 CS(K)H S l + F 4 CS(K+l) H S2

B(5o-N) = B (50-N)+ F5 CS{K) • S l- F5 CS(K+l)• 82

K = K+2

N • N+4

A végén valamennyi B(n) értéket l-l) •el kell szoroznil

68

A inverz Fourier t~anszformáci6

Az

{l) f{O) , f(l) , ... , f{N-l)

alappontokban adott /valós vagy komplex/ függvény diszkrét

Fourier transzformáltján a

(2) Z(O) t Z(l) ••••• Z{N-l)

sorozatot értettük, ahol

N-1 l~

Z(n) =u-- .:.:.__ f(k) ink 2r

- N e

k•O

és n • O,l,ooo, N-l.

Ismert, hogy a transzformáció megforditható, azaz létezik az

inverze.

A transzformáció inverzét a

f(k)= Z(n) e i

n=O J ~---------------

69

egyenlet szolgáltatja {k = o,l,ooo, ll-l) t

A továbbiakban mi részletesebben osak azzal az esettel foglaL­

kozunk, amikor az (l) sorozat elemei valós számoko

3.1. Az inverz transzformáció valós esetben

Láttuk, hogy a diszkrét Fourier transzformáció az {l) valós so­

rozatot egy olyan t2) komplex sorozatba vitte át, melyre

l 3) Z {n) = Z (N-n)

és Z(O) , Z ( ~) valós számok voltak.

Ha a {2) -t felbontjuk a

A(O) , A(l)

B(O) , B(l)

módon, ahol

(5)

•••••

A (N-l}

B {N-l)

akkor ez azt jelentette /kihasználva a már bizonyitott szimmetria­

tulajdonságokat/, hogy a (2) sorozatot egyértelmllen meghatározza

az alábbi két, valós t~okból álló soro~ata

A(O) , Atl) , ••• 1 A ( ~ )

B(l) 1 B(2) , ••• t B (~- l) t

mivel B ~O) = B (~) • O.

70

Azaz N tagból álló valós sorozat diszkrét Fourier transzfor­

máltja ugyancsak N tagból álló sorozattal jellemezhető.

Megmutatjuk, hogy ez megforditva is igaz. Az inverz transzfor­

máció az olyan komplex sorozatot, amely a {3) -nak eleget tesz,

valós sorozatba visz áto

Ugyanis

N-l ink 2T 2_ Z{n) e N = Z(O) + (-l)k Z ( ~ ) +

n= O

N/2-l ink 2'7i"

N-l 21j

+~ +L ink: N Z(n) e N Z (n) e •

N n-l n=~l

. ._ ink~

N/2-l N/2-l

+~ .l

Z(n) e N + ~ i(N-n)k

2:

ZlN-n) e =

n= l

= z (o ) + (-l )le z (: ~ ) +

N/2-l

+) ink 2fi

Z (n) e N +

n= l

k N ) = Z(O) + (-l) Z (~ +

n= l

N/2-l

L Z \n) e

n • l

ll.. ink: N =

71

Il/2,.1 2 r.- N/2·1 2~ - ink-U.. I_ ink~

+2_ Z tn) e N + Z tn) e N :;:

n = l n= l

= Z (O) + (-1 )k Z ( ~ ) +

N/2-l ink 211 ink n] + 2 [Z (n) e N + Z(n) e N •

n= l

N/2-l

)le ·N \ = Z\0) +(-l Z t~, + 2oRe L

ink 2lr Z(n) e N •

n= l

Ebből az állitásunk már leolvasható, figyelembe véve, hogy Z t-1-) valós, és Z(O) is valóso

Ezek szerint az inverztranszformációhoz /valós esetben/ ugyanosak

N számú adat szUkségeso

30 2o __ Az eredeti /mért/ adatok visszaállitása a Fourier lranszfor­

máltból

Tekintsük az (l) mért adatokat és azok (2) Fourier transzformált•

j áto

Megmutatjuk1 hogy teljesül az alábbi egyenlőség&

l7) f(k) = Z lO} + (-l)k Z ~ ~ )+

+ 20 Re [ ~ Z(n) eink

2

~ J ' n = l

72

ahol a Z(n) (n = o,l,ooo, N~l) mennyiségeket a (3) egyenlet de-

finiálja és k • O,l, ••• ,N-1.

TekintsUk evégből a (3) -nak az (5) felbontását, ahol

N• l

(8) A{n) • + o L f(~) • p(n,-t)

~-o

N-l

L9) B{n) = + , I. t(-8)• q(n,t) ,

~-o

és n • 0,1, ••• , N-l o

Legyen z-c. n) = z (n) t ha n ... 1,2, OOOJ 1!/2-l és legyen z•( n)•

= Z(n) /2 ha n • O és n • ~ • ..v Irjuk át a (7) egyenletet az alábbi összevont alakbaz

(10)

Ez az egyenlet, figyelembe véve a (8) és (9) egyenleteket, valamint

azt, hogy

(ll) ink i"·

e == p ln,k) + ioq ( n1k)

a következő alakba irh*tóz

N/2

(12) f(k) • 2 • 2 [A•(n) P(n,k) + Íl•(n) q (n,k)J

n-O

;Kl Ezt az irásmódot az egyszerUség /rövidebb irás/ helyett vezet­tük beo Ezt a továbbiakban úgy kell f~elembe venni, hogy ha n ezerint összegzUnk, akkor n-O és n--r esetben az összeadandó fele értendóo

7 J

Bontsuk fel a (12) egyenletet az alábbi m6don

(13} f(k) = fl{k) + f2 (k)

ahol

N/2 -(.14) fllk) = 2 L A•(n) p(n1k)

n-O

N/2

(15) f2(k) = 2 2 B•ln) q (n1k) o

n• O

HelyettesitsUk be a (8) és (9) egyenleteket a (14) és (15) egyen.

letekbe:

N/2 N-l

(16) t 1(k) ~ i 2 (2 f(tl p(n,B))P (n0k)

n=o -e-o N/2

(17) L N-l

() t(f.J q ln,t))q (n,k)

t-o CseréljUk fel az összegzés sorrendjét a (16) és (17) •ben, vala­

mint emeljük ki az t(t)értékeket, akkor a következőket kapjuka

N-l N/2

(18) ~ f{t)) p(n,e) Ptn,kJ 2 =-N

e.o n=O

N-l N/2

(19) t 2tk) = i ~ ttt) ) q(ne). q (n,k) ,

~-o n•O

74

VezessUk be az alábbi jelölésekata

N/2 -l 20) s1(.( ,k) = : 2_ p(n,e) p(n,k)

n-O

N/2 -(21) s2(t,k) • i 2_ q(n,e) q (n,k)

n-O

Ezekkel a jelölésekkel a (lB) és a (19) a következő alakba ir­

hatóa

N-l

(22) t 1 (k) • L :f(l)s1 (l ,k)

~=0

N-l

(23) f 2(k) • L t(f,) s 2 (-l,k) ...t .. o

A továbbiakban azt fogjuk megmutatni, hogy

.! ha t lll k 2

(24) sl(e ,k) =

o ba tt~k

.! ha e. k 2

l 25) s2(t,k) •

o ha e" k

Induljunk ki az sl(e,k) vizsgálatábólo

75

N/2

(26) "l( e.k) • i r cos ( n8) 2J ) cos (nt 21 ) n= O

Mivel

(27) 2 COS XoCOS y = COS (x+y) + COS (X•Y) t

ezért a (26) egyenletet átöhatjuk a kéSvetkező m6dona

(28) sl-l ,t) = sll( t ,t) + sl2te ,k)

ahol N/2

l 29} sll(-t,t) l L_ cos [n(l+k) if J =-N

n-O

N/2

(30} s12(l 1k) l > 008 [n(t-k) 2r J =y n= O

Tekintsük ezek után egy rögzitett e és k értékre az

~31} y • cos (ax}

függvényt, aho l

A függvény menetét a 6. ábrán vizsgálhatjuk meg.

A számitásokat nem részletezzük, de a 6. ábrából is Tilágosan ki­

derUl, hogy a (29) összegben ugyanannyi érték szerepel /és U8J&n

olyan abszolut értékU/ pozitiv, mint negativ előjellel, igy a

(29) összeg minden e és k értékre eltünik.-'

HJ Ugyanerre az eredményre juthatunk akkor is, ha a (29) CSsasaget integrálközelitó összegnek tekintjUk és a (31)-et ~egrálJuko Sőt, tudva a coszinusz rendszer ortogonalitását ez már a (26) -b6l is kiderül. Nyilván ugyanez érvényes a szinusz-rendszer.re ise

76

Ugyanezt mondhatjuk el a (30) összegról is, kivéve azt az ese­

tet, amikor e= ko Ekkor viszont a (.30) összeg éppen ~ -et

ado

Ezek után, figyelembe véve a (22) és (2.3) -at kapjuk, hogy

(.32) l --2 f{k)

ez pedig val6ban a (1.3) egyenlőség teljesUlését jelenti. ·

Ezzel megmutattuk, hogy az inverztranszformáció valóban vissza-

állitja a bemenő adatokat.

77

78

3o3o Az inverztranszformáció vissza vezetése az előre irá-

pYUló transzformációra

Az inverztranszformációnál tehát a

N/2

(34) f(k) =2 • Re[>

n=O

egyenletból indulunk kio

Legyen tehát adott a (3) tulajdonságnak eleget tevő

(35) R(O) t R (l) t•••t R (N-l)

komplex sorozat.

Feladat a l35) sorozatot inverz-Fourier transzformálnil azaz

megkeresni azt a tg(k}}sorozatot• amelyet az előre irányuló transz­

formáció (35) -be visz.

Irjuk át a {34) -et a (35) behelyettesitésével:

Irjuk át a (36) -ot a következő alakba:

ahol N/2

(38) g1~k) = 2 • 2_ CH(n) p (n,k)

n=O 79

N/2 -(39) g2(k) = 2 • }__r!( n) q(n,k)

n• O

és

Válasszuk le a speciális indexeket a (38) és (39) összegekbólf

/vegyük figyelembe, hogy a ppeciális indexeknél nincs 2-es azor­

zál/

l4l) g1(k) • l. [ C(O) + (-l)k C ( ~ )J+ N/2•1

+ 2 o L C(n) p(n,k)

n= l

N/2-l -("42) g2(k) = 2 • 2__ D(n) q (n1k) o

n= l

Vezessük be a következő jelölésekata

(43) hlk) = C(k} + D(k) (k = 0,1, ••• , N/2)

h(N-k)= C(k) • D lk) (k = 0,1, ••• , N/2)

Oldjuk meg ezt az egyenletrendszert C(k) és Dlk) -raa

l 45) C(k) = t- (h (k) + h(N•k))

t46) D(.k) = t (h (k) - hlN·k})

80

HelyettesitsUk ezeket először vissza a (41) egyenletbe:

f47 \ ' )

N/2-l

p(n1 k) =

N/2-l

k N '-.... = hlO) + (-1) h fT)+ h(n) p (n,k) +

n = l N/2-l

+ ~ hlN-n) p (n1 k\ = h(O) + (-l)k h\ ~ ) +

n= l

N/2-l -\ N/2-l

+2_ hln) p (n,k) + ~ h(N-n) p (N-n1k) = ,/

n = l n= l

I'l/2-l N-1

+ ~ htn~ L_ ~·

', p ,,n1k) + L h(n) p (?,k) =

n = l n=N/2+1

N-l

= > htn) p (n1 k)

n=O

Hasonló levezetés érvényes akkor is, ha a {42) egyenletból in-

dulunk ki:

B l

N/2·1

(48) q2(k) = 2_ [h(n) - h(N•n)J q (n1kJ =

n = l N/2-1 N/2-1

= L h(n) q (n,k) • L h(N-n) q {n,k).

n = l n= l

N/2-l N/2•1 ~ -

= L h(n) q (n,k) + L h(N-n) q (N-n,k) •

n=l n=l

N/2-1 N-l

= 2__ h tn) q (n1.k) + L htn) q (n,k) =

n = l n=N/2+1

N-l

= ~ hln) q (n1k) •

n= O

összefoglalva:

h(n) = Ctn} + Dln)

~49) hl.N-n) = C (.n) - D (.n)

N-l

g1tk) = ~ h(n) p ln1k)

(51) n=O

N-l -g2\k) = 2_ h(n) q (n1k)

n-O

82

A g(k) értékeket pedig - ami az (51)-ból kitunik - az előre

irányuló Fourier transzformáltból kell kiszámítani.

3o4o Az inverztranszformáció realizálása

Legyen adott az

(52) R(n) = C(n) + i D (n) (n = o,l, ••• , 99)

komplex sorozat. Ennek akarjuk megkeresni az ósétoK/

o

l

50 51

99

REALR

C(O)

C(l)

o

o

..

c {50)

C{51)

• •

"

p ~99)

o

l

50 51

99

DllliA GR

l D\0)

l D~l) l o i l ~

D(50)

D \51)

o

o

•

l ID( 99)

lf./A két tömb lehet 11összefésUlt" iso

D(OJ , D (50) zérus

R(n) = R(lOO-n)

8 J

B 4

Legyen továbbá adott egy olyan előre irányuló Fourier transz-

formáció, amely az alábbi rajz szarint végzi a transzfor.máci-

ó"!i:

o

l

50

51

52

99

;-

F D'iPUT

f(O) ~-·-

f 1 l\ ' l

•

•

<

ft50)

f (51)

f ('52\ . )

•

o

.. l l

f'_,99\ ..____ ____

· f{Oi, f\1) , .... ,

(('-~

-"'-l'

o

l

50

51

52

99

F OUTPUT

A(O) --A(l)

• \'

A(50)

B (l)

B (2)

•

•

"

B: .. 49~-

r,.... [ A(O) 0 A(l)

f(99JJ4 ...• t :3( l) Bt O)

, .... A(99) l i , ... , B(99) j

49

50

51

99

o

l .,. , ,

o .1.1epes:

F INPUT

hl O)

h(49)

b(50)

hl5l)

hl99}

Generáljuk a bln) értékeket

F IN?UT l O) = REALR (O)

N = l

F Dl PUT ~ N) = HEALR ( N ) + llli.1AG :. N \

85

20 Lépés; Behivjuk a Fourier transzformátort és a g1(k) ill.

g2(k) értékeket visszatesszük a REALR és IIIAGR

86

tömbökbe.

CALL FOUR{_F INPUT)

REALR ~O) = F OUTPUT (O)

REALR ( 50) = F OUTPUT l50)

IMMAG (O) = OoO

IMMAG t50) = OoO

N = l

REALR (N) = F OUTPUT (N)

REALR llOű-ll) = F OUTPtJT {N)

N = N+l

IMM.AGR (N) = F OUTPUT t50 + N)

IMMAGR \ lOO-~t) = - F OUTPUT (50 + N)

81

88

.3. Léués: Plo az F INPUT helyén generáljuk a kivánt g(n)

értékeket.

N a O

F lllPUT (N) = (REALR {N) + IMMAG t N)) • lOO

it_ --Fourier transzformáció kiszámitása Hornar-elrendezéssal

Az alábbiakban egy olyan egyszerU módszert mutatunk be a disz-

krét Fourier transzformáció kiszámitására, amely a transzfor­

máoiót ~ég elfogadható" időn belül végzi el, ugyanakkor rend-

kivUl röviden és egyszerUen programozható.

A számitásaink alapjául a közönséges polinomok helyettesitési

értékének kiszámitásakor használatos Uono Horner-elrendezés SZ•>l-

gál.

4.1. A Homer-elrendezés

Tekintsük a követkazó egyszerU példát&

Ki akarjuk számitani a P(x0

) helyettesitési értéket.

A számitásainkat a "hagyományos" sorrend helyett az alábbi sor­

reniben végezzük el:

Ilyen módon l nbelülról kifelé haladva"/ három "lépésben" J:iszámi·t;­

batjuk a P(XQ~ értéket, ahol egy nlépés" alatt egy szorzás és egy

összeadás egymásutánját értjük.

89

TekintsUk ezek után a problémát általánosan:

Legyen adott egy

polinom és számitsuk ki egy x0 helyen a helyettesitési értéket,

a prx..,.' -t. \,U'

A számitásokat a következő rekurziv módon végezzüks

bo = a o

b l = bo xo + al

b 2 = b l xo + a 2

b 3 = b2 xo + a 3 o c;

t.

h = b , x0

+a n n-... n

Visszahelyettesitésekkel lrekurziv módon) könnyü arról meggyó-

z5dni, hogy

Ezek szerint a PlXo) -t n egymásutáni lépésben ki tudjuk szá­

molni, ami egy 11hagyományos" számitási sorrenddel szemben ;Jóval

kevesebb mUveletet igényelo /KönnyU a két módszer .müveletigényét

összehasonlitani; ebből ~iderül, hogy csak fele annyi szorzás szük-

séges, mig összeadás ugyanannyi. Ez lényeges, hiszen éppen a azor-

zás az, aminek hosszabb a végrehajtási idejeo/

Számitástecluaikai szempontból azonban van a Harner-elrendezésnek

90

•

egy másik, legalább ilyen fontos előnye is.

Ez pedig a lépések uniformizáltsága.

Ez azt jelenti, hogy szemben a "hagyományos" számolási mód-

dal a feladat egyetlen ciklusban szervezhető.

Az alábbi folyamatábra jól mutatja a kiszámitás egyszerüségét1

o

• o

t

B : = A(O)

B : = B K X O + A l I)

.. '

nem ~ I : ". I+ l l

Ezzel a helyettesitési értéket kiszámoltuko

Megjegyezzük még, hogy a Herner-elrendezésnek van egy másik előnye is, ami számi tástechnikai szempontból egyál­talán nem lebecsUlendőo Ez a következő:

Tekintettel arra, hogy általában magas fokszámú polinomo­kat kell kiszámolni, ezért nagy az együtthaték száma. Ez azt jelenti, hogy viszonylag nagJ' az input ami sok hiba­lehetőséget rajt magában. Másrészt hardware-hibák is előfordulhatnak.

A Homer-elrendezésset alkalom nyilik arra, hogy a számi­tási eredményeket ellenőrizzük! ami általában az input és a hardware-hibák ellen nyújt vedelmet.

91

A módszer a következóo

~dnnyen megmutathatjuk /az azonos fokszámú x hatvá­nyok együtthatóinak az összehasonlitásával/, hogy

n n-l -t· n-l n.-2 v. a0x +a1x +,,.+an-lx+an•\bOx +b1x +ooo+bn-ll\.x-Xo)+ bn

Vegyük speciálisan az x = l helyettesitést. Akkor azt kaP­juk, hogy

Ez az összefüggés véd a hardware-hibák elleno Ugya: is ugyanabban a ciklusban, amellyel a Homer-elrende­zést számoljuk, lehetőség van a fenti képlet jobb és bal ol­dalának a kiszámitására / 11gyüjtésére"/• A végén ellenőrizzük, hogy teljesül-e az egyenlőség. Ha nem, akkor hardware-hiba volt.

4o2o A diszkrét Fourier-transzformáció és a Homer-elrendezés

A diszkrét Fourier-transzformáeiét az alábbi egyenlőség definiál-

ja:

N-l -At n) = 2_ f (k) wnk

i 211"' JJ/ (n= o,l, ••• ,N•l f W a e- N )

k=O

Irjuk át ezt a következő alakba:

N-l _ k

Atn) • L flk) .~,n J (n = o,l, ••• ,N-1)

k=O

Ebből a felirásból azonnal kiderül, hogy A(n) ~ z a wn fkAiplez/

változónak egy N-l-ad fokÚ polinopQa.

Ez pedig azt jelenti, kogy az A(n) értékek Horner-elrendezéssel

számolhatók ll

R/ Az N-l faktortól egyenlőre eltekintünk,

92

40 30 Alapvető gyorsitási lehetőségek

Az alábbiakban megvizsgáljuk azon wgyszerü gyorsitási lehető-

ségeket, melyek egyszerU szimmetria okokból következnek, de

osak azokat vesszük figyelembe, melyek mallett még az egYszerU

Homer-elrendezéssal számolhatunk,

Az N = 100 esetet tekintjük0

Az input valós természetéból egyszerUen következik, hogy

A(n) = A{lOO•n) (n = 1,2, ••• ,50)

Ez azt jelenti, hogy elegendő osak az

99

A(n) =2_ f(k) vF . k-O

(n = o, l, ••• , 50 )

értékeket kiszámolnunk.

Másrészt tetszőleges n-re

. wnk ha n páros

wD(50+k).

ha n páratlan

Ezt figyelembe véve a következőt kapjuk&

49

A~n) = ~ :rl'(k) wDk (!'tk) = f(,k)- f(50+k) f n = 1,3, ••• ,49) ,

k=O

49 Aln) = ~ f'B(k)vruc

k•O

A speoiális együtthat6kat célszerü külön számolnit mivel

93

AtO} = f{O) + f(l) + ooe + f(99)

' A(50) = fl O) - f(l) + f(2) - f{3) + OOO + f(98} - f(99)

ezért a

49

At50)• > ',:rl'(k)(-l' k

k=O

(n • 214,6, ••• ,48)

49 [ k

A(n) • ) : f'\k) Yl'-J (n. 1,3,5, ••• ,49)

k-0

94

ALAPSPECIFIKÁCIÓ INPUT ~~~ OUTPUT /meg fog egyezni az inputtali

Í\0~ A (o) AA l BA l H tiszta valós

2

3 4 5

5o

l

AB 2

3 4 5

5o

ftl) fi 2) fl3)

fl 4'

f(49)

f(5o)

fl5l)

f (52J fl53) f (54)

ft99)

2

3 4

5

5o

l BB 2

3 4 5

5o

Az e~yes tömbök deklaráoióia

AA l50)

AB (50)

BA (50)

BB (50)

Atl) ['""'' A( 2) lr(J)

At 4)

~

• Q valós részek

l

A(49\ lJ

A(5o> l~ Al ll

• tiszta valóa

Al21 A(3) At 4)

}l képzetes részek

Al49} _)

95

BA

BB

lo J.ÉPÉS, /Az t• és f"1' kiszálnitása és az A{Oj, Al50) kiszámitása./

:fa

f' (49)+ f' {_99) AA

f (48)+ f (98)

ft 47)+ :f(97)

f (46)+ f'(96)

o

o

o

f(.l) + f(?l)

f (O) + f' l50)

ft 49) - f' (.9~) AB

f(48) - f~8)

f (4 7) - f' t97)

f(46) - f(96)

o

o

"

f(l} - f (?l)

flO) • f'l50}

2, LÉPES.

A(O) =i: :tiBI

o

o

o

A(50)=L~

o

o

o

~

\

"

'J

/a második Urea lépésben

tCSltjük ki/

/a második lépésben

Ures tCSltjük ld/

Az 11alapspecifikáció" szarinti végleges állapot létnhozása.

96

A DFT fo1Yamatábrái

,, !fOPR06R.A M

,---- ·--------~~ l II::. -1 l : . .

\Sh o.o l

\Sl-:SHsswj

~

l l l z.. lil pes

.ZOésZ.f= c). P(- i.•ALF.A) ·~

lN-: '-

CA LL *;~to HOR~IöR; f'A1

ROS

CALL* f.IOR~,;R j PLI\U

z.~PCZ$

l HQA.ijf:R j PARATUHI l'l'L- tC

"*

97

}

Magyar Hirdetó -Szabadsóg MGTSZ Nyomda, Gyól

.. · -·