5 Predavanje_5

1

Операциони истражувања

доц. д-р Александар Крстев

ПРИМЕНА НА ЛИНЕАРНОТО ПРОГРАМИРАЊЕ

2

Кога е во прашање примената на оптимизационите техники, во пракса најчесто се поставува прашањето: како да се формулират математичките модели и подготват конкретните податоци од разни области на примената на ЛП, за да може да дојде до израз употребата на компјутерите и готовите рутини (програми) кои се развиени за решавање на овие задачи.

Oвде ќе биде дадена формулација на некои задачи односно проблеми кај кои примената на ЛП игра значајна улога од аспект на подготвување и донесување на оптимални управувачки одлуки. Пред се, треба да се укаже на некои елементи на кои треба да се обрне посебно внимание

Математичкиот модел, со кој се дефинира еден проблем а кој се сведува на ЛП, никогаш не може да ги опфати сите природни појави и да претставува верна слика на состојбата која, со него, сакаме да ја претставиме, бидејќи тој најчесто ги опфаќа само поважните појави. Поради тоа, најквалификуваниот и најодговорен дел од работата лежи на оние кои го формулираат проблемот (задачата). Од нив зависи изборот на карактеристичните појави кои се најважни за дадениот проблем и кои како такви се вклучуваат во соодветниот математички модел.

1. Примена на линеарното програмирање во исхраната

3

Проблемите од областа на исхраната даваат широки можности за примена на ЛП. Покрај решавањето на прашања од областа на диеталната исхрана, која претставува подрачје на прва практична примена на ЛП, постојат низа други интересни прашања како што се: минимизација на трошоците на исхраната, избор на оптимален состав на исхраната и др.

Различните прехрамбени производи содржат одредени состојки и витамини во различни соодноси. Минималните потреби од овие или оние состојки во исхраната се добро познати. Познавајќи ја количината на прехрамбени производи, која ни е на располагање, и цената по единична мера за секој производ, може да се постави прашањето: како можат да се задоволат потребите на исхраната, а при тоа трошоците да бидат минимални?

4

Математичката формулација на оваа задача се состои во следното. Познати се n- различни прехрамбени производи P1, P2, . . . ,Pj, . . ,Pn. Да ги означиме со xj- непознатите количини, кои претставуваат дневни потреби од j- тиот прехрамбен производ. Во секој прехрамбен производ постојат одредени количини на прехрамбени состојки: белковини, шеќер, јаглени хидрати, калциум, железо, витамини и др. за нормален живот неопходни компоненти. Да ги означиме со K1, K2, . . . ,Ki, . . ,Km. Нека големината aij ја карактеризира содржината на i-тата прехрамбена состојка во j- тиот прехрамбен производ. (i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . ,n). Тогаш вкупната количина од i-тата прехрамбена состојка, во исхраната, ќе биде

ai1x1 + ai2x2 + . . . . + ainxn

Ако секојдневните минимални потреби на организмот од i-тат прехрамбена состојка ги означиме со bi, тогаш можеме да го формираме множеството од ограничувања

σ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖𝑛𝑗=1 , (i = 1, 2, . . . ,m) (1)

Од друга страна, дневната потреба од секој прехрамбен производ може да биде ограничена од расположливите резерви и можностите за нивно надополнување. Затоа постојат дополнителни услови за непознатите x j, кои можат да се напишат во облик

0 ≤ x j ≤ aj, ( j = 1, 2, . . . ,n) (2)

каде што ај- се големини кои се одредуваат врз основа на расположливите количини од прехрамбени производи Pj во одреден временски период. Ако со cj се означи цената по единична мера од j-тиот прехрамбен производ, цената на целокупната исхрана може да се претстави со следната функција на цел

(3)

Според тоа, оптималната исхрана ќе биде таков состав од секојдневно употребувани прехрамбени производи X = (x1, x2, . . . ,xn), за кој функцијата на целта (3) добива минимална вредност, при множество од ограничувања зададени со изразите (1) и (2).

6

Заради подобра илустрација да наведеме еден броен пример. Наиме, потребно е да се пресметаат минималните трошоци за исхрана со три производи P1, P2 и P3, кои содржат одредени проценти од петте компоненти K1, K2, K3, K4 и K5. Бројните податоци се дадени во Табела 1. Да се состави соодветен математички модел.

Табела 1

Компоненти Производи K1 K2 K3 K4 K5

Цена на произ. den/kg

P1 0,05 0,10 0,00 0,15 0,20 6 P2 0,13 0,18 0,10 0,00 0,25 4 P3 0,10 0,00 0,15 0,07 0,00 9

Пропишан минимум од компонентата 0,05 0,10 0,20 0,14 0,17

7

Според тоа, за дадениот пример функцијата на целта има облик

F(x1,x2,x3) = 6x1 + 4x2 + 9x3

додека ограничувањата се зададени со системот од неравенки

0.05 x1 + 0.13 x2 + 0.10 x3 ≥ 0.05

0.10 x1 + 0.18 x2 ≥ 0.10

0.10 x2 + 0.15 x3 ≥ 0.20

0.15 x1 + 0.07 x3 ≥ 0.14

0.20 x1 + 0.25 x2 ≥ 0.17

x1, x2, x3 ≥ 0

2. Примена на линеарното програмирање во земјоделието2.1Поделба на обработливата површина на култури

8

Да претпоставиме дека на обработливата површина треба да засадиме n- култури, поради остварување на максимална добивка. Во правец на формулирање на соодветен математички модел ги воведуваме следните ознаки:

xj – непозната површина која треба да се засее со j-та култура (j=1, 2, . . . ,n), a – вкупна обработлива површина, aj – планирана површина под j-та култура (некои големини aj можат да се земат дека се еднакви на нула, ако тоа го бара планот на производството), bi – бројот на работници со кои располага земјоделскиот комбинат во i-тиот период (секоја година се дели на m –нееднакви периоди; на пример, месец април може да биде поделен на три периода, а целата зима на само еден период), di – бројот на работници кои можат да бидат запослени во i-тиот период, aij – број на работници кои треба да бидат запослени во i-тиот период на j-тата култура, cj – добивка од j-тата култура по единица обработена површина.

9

Користејќи се со воведените ознаки, каде се дадени само ограничувањата во однос на работната снага, а не и за механизацијата, може да се формулира еден од наједноставните модели за оптимална распределба на обработливите површина на пооделни култури. При тоа, функцијата на цел го има следниот облик

,

кој треба да се максимизира, т.е. да се најдат оние вредности x1, x2, . . . ,xn кои го задоволуваат збирот на ограничувања

(i = 1, 2, . . . ,m)

,

x j ≥ 0, (j = 1, 2, . . . ,n)

а да при тоа функцијата F(X) добие максимална вредност.

2.2 Оптимизација на производството на месо и сточна храна

10

Оптимизацијата на количината и видот на стоката, со цел на остварување на максимална добивка, во зависност од специфичните услови на одредено стопанство, може да се реализира со помош на ЛП. Математичката формулација на овој проблем бара воведување на следните ознаки: xj – број на стоката од j-ти вид која треба да се одгледува за да се постигне оптимален резултат изразен преку остварување на максимална добивка (j = 1, 2, . . . ,n) aij – норма на употребена храна од i-ти вид по парче стока од j-ти вид (i = 1, 2, . . . ,m), ai – резерва од сточна храна од i-ти вид, cj – доход по парче стока од j-ти вид.

11

12

Задачата (2.4) – (2.5) може да се формулира и во обратна смисла. Имено, количината на пооделните видови на стока може да биде фиксирана, кога се работи за планско производство на месо. Во ваков случај, структурата на сточна храна се прилагодува на таквата ситуација. Со други зборови, треба да се одредат земјоделските површини на кои ќе се одгледуваат пооделните видови на сточна храна, така да, исхраната на фиксно структурираната стока биде обезбедена со минимални трошоци. При дефинирањето на соодветниот математички модел мораат да се имаат предвид сите фактори кои го условуваат производството на одредените количества на сточна храна. Во тој правец ги воведуваме следните ознаки:

13

14

2.3 Избор на механизација

15

Имајќи ги предвид сите земјоделски активности, нивниот обем и времето на изведување, со примена на ЛП може да се решава едно значајно прашање, кое се однесува на изборот на различни типови на земјоделски машини и одредување на нивниот број, се со цел планираните ативности да се извршат во зададените временски рокови. Јасно е дека за земјоделските работи (активности) во целина можат да бидат употребени повеќе типови на земјоделски машини. Под претпоставка дека за сите нив се дадени појдовните податоци (на пример, учинокот на тракторите при изведување на различни операции), потребно е да се избере минималниот и најрационален состав на машини, кои ќе обезбедат успешно извршување на работите во предвидените временски рокови.

16

Табела 2

Тип на машина

Активност Потребно количество на машини 1 2

1 a11 c11

a12 c12

x1

2 a21 c21

a22 c22

x2

3 a11 c31

a32 c32

x3

Време во кое треба да се изврши работата

t1 t2

17

За определување на оптималните вредности xi ≥ 0 потрбно е функцијата на целта

F(X) = x1 + x2 + x3

да добие минимална вредност, а при тоа да бидат задоволени ограничувањата:

18

Исто така, може врз основа на добиените решенија за x1, x2, x3 и податоците за трошоците, кои настануваат при работитата на пооделните типови на машини, при пооделните активности дадени во табелата 2, да се пресметаат вкупните трошоци, за кои можат да се изведат двете активности во зададените временски рокови.Трошоците ќе бидат еднакви на вредноста:

C = (c11 t1 + c12 t2) x1 + (c21 t1 + c22 t2) x2 + (c31 t1 + c32 t2) x3

19

Целата оваа постапка може да се воопшти на n- видови активности (работи) и m- типови на машини. За таа цел да ги воведеме за машините следните ознаки:

M1, M2, . . . ,Mi, . . . ,Mm

а за видовите активности

R1, R2, . . . ,Ri, . . . ,Rn

Нека работите (активностите) треба да се извршат редоследно, прво една, па втора, па трета и т.н. за времиња

t1, t2, . . . ,tj, . . . ,tn

изразени во денови, при што е потребно време од aij- денови за да се изврши j- тата активност, само со користење на i-тиот тип на машина. Освен тоа, нека се познати трошоците cij кои настануваат поради работата на i-тиот тип на машина на j- тата активност во текот на еден ден.

20

Табела 3

Активност Тип на машина

R1 R2 . . . Rj . . . Rn Потребна количина

на машини

M1 а11 c11

а12 c12

. . . а1j c1j

. . . а1n c1n

x1

M2 а21 c21

а22 c22

. . . а2j c2j

. . . а2n c2n

x2

Mi аi1 ci1

аi2 ci2

. . . аij cij

. . . аin cin

x i

Mm аm1 cm1

аm2 cm2

. . . аmj cmj

. . . аmn cmn

xm

Време во кое треба да се изврши активноста

t1 t2 . . . tj . . . tn

21

Аналогно на претходниот случај и овде е потребно да се одреди множеството од вредности x1, x2, . . . ,xm, за кои функцијата на целта

,

ќе добие минимална вредност, под услов да се задоволени следните ограничувања:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x i ≥ 0, i = 1, 2, . . . ,m

22

Вкупните трошоци, кои настануваат при работата на сите машини x1, x2, . . . ,xm, на сите активности (работи) кои мораат да се извршат во предвидените временски рокови, изнесуваат:

C = (c11 t1 + c12 t2 + . . . + c1j tj + . . . + c1n tn) x1 +

+ (c21 t1 + c22 t2 + . . . + c2j tj + . . . + c2n tn) x2 +

- - - - - - - - - - - - - - -

+ (ci1 t1 + ci2 t2 + . . . + cij tj + . . . + cin tn) x i +

- - - - - - - - - - - - - - -

+ (cm1 t1 + cm2 t2 + . . . + cmj tj + . . . + cmn tn) xm =

=

23

Табела 4

Активност Тип машина

R1 R2 Потребно количество на машини

M1 a11=24 c11=3

a12=12 c12=7 x1

M2 a21=12 c21=4

a22=24 c22=2 x2

M3 a11=12 c31=2

a32=24 c32=3 x3

Време во кое треба да се изврши работата

t1=4 t2=2

24

Соодветниот математички модел се состои во изнаоѓање на ненегативни вредности за x1, x2, x3, за кои функцијата на целта

F(X) = x1 + x2 + x3

добива минимална вредност, а при тоа да се задоволени ограничувањата

Лесно можеме да се увериме дека траженото оптимелно решение е:

x1 = 8, x2 = 8, x3 = 0

Според тоа, вкупните трошоци за таков избор на машини изнесуваат

C = (3 · 4 + 7 · 2)· 8 + (4 · 4 + 2 ·2)· 8 + (2 · 4 + 3 · 2)· 0 = 368

2.4 Транспорт на производството

25

Овде ќе се објасни математичкиот модел на организација на транспортот на земјоделското производство, под претпоставка да постои m- пунктови на производство (економии) A1, A2, . . . ,Am и n- пунктови на потрошувачка B1, B2, . . . ,Bn.

Нека земјоделскиот комбинат располага со дk- транспортни средства од k- ти тип (k = 1, 2, . . . ,s). Типовите на транспортните средства се разликуваат по носивоста, брзината на движење, експлоатационите карактеристики и трошоците на превоз по единица мерка на товар.

Во правец на формулација на соодветен математички модел ги воведуваме следните ознаки:

26

ai – количество на производи изразено со единица мера кое се произведува на пунктот Ai (i = 1, 2, . . . ,m),

bj – количество на производи изразено со иста единична мера кое е потребно на пунктот Bj (j = 1, 2, . . . ,n)

dk – количина на товар кој може да се превезе со превозно средство од k- ти тип (k = 1, 2, . . . ,s)

cik – трошоци кои настануваат поради доаѓањето на празно превозно средство од k- ти тип од местото на неговото стационирање до местото на производството Ai заради утовар.

– трошоци кои настануваат поради враќањето на празно превозно средство од k- ти тип од пунктот Bj во местото на неговото постојано стационирање.

– трошоци кои настануваат заради превозот на производите од пунктот Ai до пунктот Bj на една машина од k- ти тип.

x ijk – број на превозни средства од k- ти тип упатени во пунктот Ai за превоз на терет во пунктот Bj.

27

Да претпоставиме дека поради должината на транспортот не е можна употреба на ниту едно превозно средство повеќе од еден пат (тоа значи дека секое превозно средство остварува цела тура: место на стационирање – место на производство – место на потрошувачка).

Користејќи ги уведените ознаки, формулираната задача се сведува на изнаоѓање на променливите xijk преку барање на минимумот на функцијата на целта

при услови на ограничување од облик:

(i = 1, 2, . . . ,m),

(j = 1, 2, . . . ,n),

(k = 1, 2, . . . ,s),

xijk ≥ 0, (i = 1, 2, . . . ,m), (j = 1, 2, . . . ,n), (k = 1, 2, . . . ,s).

Првото множество на ограничувања дадено е врз основа на расположливите количини на производи, второто врз основа на потребите во пунктовите на потрошувачка, а третото врз основа на ограничувањата на транспортните средства од k-ти тип (k = 1, 2, . . . ,s).