243 Financijska matematika 5. Financijska matematika Financijska matematika se bavi rješavanjem gospodarskih i društvenih problema primjenom postotnog i složenog kamatnog računa. Prvo uvodimo osnovne pojmove, a potom objašnjavamo kako se rješavaju pojedini problemi pomoću financijske matematike, kao što su račun rente, otplate zajma, potrošačkog kredita, i sl. 5.1. Osnovni pojmovi i terminologija Definicija 5.1. Vjerovnik ili zajmodavac je bankarska institucija, pravna ili fizička osoba koja je posudila novac drugoj bankarskoj instituciji, pravnoj ili fizičkoj osobi. Dužnik je bankarska institucija, pravna ili fizička osoba koja je posudila novac od druge financijske institucije, pravne ili fizičke osobe. Vjerovnik na posuđeni novac obračunava i naplaćuje kamate od dužnika, dok dužnik na posuđeni novac plaća kamate vjerovniku. Definicija 5.2. Naknadu koju dužnik plaća za upotrebu posuđenog novca od vjerovnika na osnovi zakonskih propisa ili ugovora nazivamo kamatama. Definicija 5.3. Iznos kamata na 100 novčanih jedinica duga za neku vremensku jedinicu (obično kalendarsku godinu) nazivamo kamatnom stopom. 1 Vremensku jedinicu na koju se odnosi obračun kamata nazivamo obračunskom vremenskom jedinicom ili jediničnim periodom. U praksi se kao obračunska vremenska jedinica koristi kalendarska godina, polugodište, kvartal (tromjesečje), mjesec, a čak i dan. Kamatna stopa se ugovara između vjerovnika i dužnika za određenu vremensku jedinicu, a to je najčešće godina dana, a može se ugovoriti konstantna ili promjenljiva kamatna stopa. Postoje dva osnovna načina obračuna kamata: (1) obračun kamata na kraju jediničnog perioda u odnosu na glavnicu s početka tog obračunskog perioda, koji nazivamo dekurzivnim načinom obračuna kamata, i (2) obračun kamata na početku jediničnog perioda u odnosu na glavnicu s kraja obračunskog perioda, koji nazivamo anticipativnim načinom obračuna kamata. Kod nas se najčešće koristi dekurzivni način obračuna kamata. Kod anticipativnog načina obračuna kamata, kamate se obračunavaju na početku jediničnog perioda na glavnicu (iznos kredita) po anticipativnoj kamatnoj stopi q, pri čemu dužnik odmah plaća kamate, a na kraju jediničnog perioda dužan je vratiti glavnicu, dok se kod dekurzivnog načina obračuna kamata, kamate također 1 U literaturi se upotrebljava je i termin kamatnjak, ali se u praksi češće koristi termin kamatna stopa, pa ćemo ga i mi u daljnjem tekstu koristiti.
29
Embed
5. Financijska matematika. Financijska... · 243 Financijska matematika 5. Financijska matematika Financijska matematika se bavi rješavanjem gospodarskih i društvenih problema primjenom
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
243 Financijska matematika
5. Financijska matematika
Financijska matematika se bavi rješavanjem gospodarskih i društvenih problema
primjenom postotnog i složenog kamatnog računa. Prvo uvodimo osnovne pojmove,
a potom objašnjavamo kako se rješavaju pojedini problemi pomoću financijske
matematike, kao što su račun rente, otplate zajma, potrošačkog kredita, i sl.
5.1. Osnovni pojmovi i terminologija
Definicija 5.1. Vjerovnik ili zajmodavac je bankarska institucija, pravna ili fizička
osoba koja je posudila novac drugoj bankarskoj instituciji, pravnoj ili fizičkoj osobi.
Dužnik je bankarska institucija, pravna ili fizička osoba koja je posudila novac od
druge financijske institucije, pravne ili fizičke osobe. Vjerovnik na posuđeni novac
obračunava i naplaćuje kamate od dužnika, dok dužnik na posuđeni novac plaća
kamate vjerovniku.
Definicija 5.2. Naknadu koju dužnik plaća za upotrebu posuđenog novca od
vjerovnika na osnovi zakonskih propisa ili ugovora nazivamo kamatama.
Definicija 5.3. Iznos kamata na 100 novčanih jedinica duga za neku vremensku
a ukupne kamate dobivamo primjenom relacije (5.13):
150361,68 100000 50361,68I .
Propozicija 5.5. Neka se kamate obračunavaju po složenom kamatnom računu uz
fiksnu kamatnu stopu p u svakom jediničnom periodu i neka je način obračuna kamata
dekurzivan te neka je poznata vrijednost uplate nakon n godina. Tada vrijednost
iznosa Cn na početku prvog jediničnog perioda iznosi:
250 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
0
11 .
100
n
n
n n n n
pC C C r C
r
(5.14)
Dokaz: Iz relacije
0 1 ,100
n
n
pC C
dobivamo
0 1 ,100
n
n nn n n
p CC C C r
r
a to je i trebalo pokazati.
Veličinu 1nr
nazivamo diskontnim kamatnim faktorom.
Primjer 5.5. Neka osoba želi danas uložiti u banku određeni iznos da bi nakon 10
godina raspolagala iznosom od 100000 kuna. Odredimo iznos koji ta osoba treba
uložiti u banku, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a kamatna stopa
je fiksna i iznosi 3.
Rješenje. Imamo C10 = 100000, n = 10, p = 3, C0 = ?
Primjenom formule (5.14) dobivamo
0 10 10
1 100000 100000100000 74409,39.
1,03 1,34391637931
100
C
Dakle, dana osoba uz zadane uvjete danas treba uložiti u banku iznos od 74409,39
kuna da bi nakon 10 godina raspolagala s iznosom od 100000 kuna.
5.3. Relativna i konformna kamatna stopa
Kamatna stopa se najčešće zadaje kao godišnja kamatna stopa, a obračun kamata je
često zadan kao polugodišnji, kvartalni ili mjesečni.
Ako zadanu godišnju kamatnu stopu p podijelimo s brojem obračunskih perioda u
tijeku jedne godine m dobivamo relativnu kamatnu stopu
.r
pp
m (5.15)
Međutim, ako su kamate na određeni iznos obračunane po složenom kamatnom
računu po stopi p jedanput godišnje jednake kamatama obračunanim m puta godišnje
251 Financijska matematika
na isti iznos, tada kažemo da se koristi konformna kamatna stopa, koja je kod
dekurzivnog načina obračuna kamata jednaka
' 100 1 1 .100
mp
p
(5.16)
Izvedimo izraz (5.16). Ako nam je zadana godišnja kamatna stopa p, onda je
dekurzivni godišnji kamatni faktor r dan sa 1 .100
pr Neka je broj obračuna
kamata tijekom godine jednak m. Tada je odgovarajući kamatni faktor '
1 ,100
m
pr
pri čemu je p' dekurzivna konformna kamatna stopa. Dekurzivni konformni kamatni
faktor rm računamo iz relacije
0 0 1 .100
m m mm m m
pC r C r r r r
Prema tome, imamo
'1 1 ,
100 100m
p p
odakle se lako dobije
' 100 1 1 .100
mp
p
Primjer 5.6. Izračunajmo relativnu i konformnu kamatnu stopu ako je godišnja
kamatna stopa p = 4,8, a obračun kamata je mjesečni.
Rješenje. Relativnu kamatnu stopu dobivamo primjenom relacije (5.15), tj.
4,80,4,
12r
pp
m
dok konformnu kamatnu stopu dobivamo primjenom relacije (5.16), tj.
124,8
' 100 1 1 100 1 1 100 0,0039146 0,3915100 100
mp
p
Kamatna stopa p’ ima svojstvo da su uz njenu primjenu m puta tijekom godine ukupne
složene kamate jednake kamatama dobivenim primjenom nominalne kamatne stope p
jedanput godišnje.
252 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
U slučaju kad se primjenjuje relativna kamatna stopa kažemo da se primjenjuje
proporcionalna metoda obračuna kamata, dok kad se primjenjuje konformna
kamatna stopa kažemo da se primjenjuje konformna metoda obračuna kamata.
Ako je poznata konformna kamatna stopa, iz relacije (5.16) jednostavno računamo
nominalnu kamatnu stopu p, tj.
'100 1 1 .
100
mp
p
(5.17)
5.4. Neprekidno ukamaćivanje
Ako se obračun kamata obavlja neprekidno, to jest ako između dva obračuna kamata
i njihovog pribrajanja kapitalu nema vremenskog diskontinuiteta, kažemo da se radi
o neprekidnom ukamaćivanju.
Neprekidnim ukamaćivanjem možemo izračunati prirodni prirast, jer je rast u stvari
ukamaćivanje u beskonačno malim vremenskim jedinicama.
Propozicija 5.6. Neka se radi o prirodnom rastu, a početna vrijednost C0 se ukamaćuje
po složenom kamatnom računu uz nominalnu kamatnu stopu p za jedinični period
ukamaćivanja. Tada se vrijednost kapitala na kraju n-tog jediničnog perioda računa
formulom:
1000 .
np
nC C e (5.18)
Dokaz. Konačnu vrijednost iznosa C0 na kraju n-tog jediničnog perioda računamo
formulom
0 1 .100
n
n
pC C
Ukoliko koristimo jedinični period kraći od jedne godine i pri tome upotrebljavamo
relativnu kamatnu stopu, onda je
0 1 .100
nm
nm
pC C
m
Ako pretpostavimo da se broj jediničnih perioda m povećava prema beskonačnosti,
tada je
253 Financijska matematika
0 0
100100
0 0
1000
lim 1 lim 1100 100
1
1 11001 lim 1 lim 1
,100
,
nm nm
nm m
nptnp
t
t t
np
p pC C C
m m
p
m tC C
tp t tt m
C e
(5.19)
pošto je
1lim 1 .
t
te
t
Primjer 5.7. Izračunajmo na koliko će narasti drvna masa u nekoj šumi za narednih
10 godina, ako trenutna drvna masa iznosi 100000 m3, a predviđa se godišnji prirast
po stopi p = 5.
Rješenje. Imamo: neprekidno ukamaćivanje, C0 = 100000, p = 5, n = 10, C10 = ?
Primjenom relacije (5.18) dobivamo
10 5 1
100 210 100000 100000 100000 1,648721271 164872,13C e e
.
Dakle, postojeća drvna masa od 100000 m3 za 10 godina narast će na 164872,13 m3.
5.5. Konačna i sadašnja vrijednost više uplata
Periodične uplate odnosno isplate nazivamo rentama i označavamo s R. Uplate
odnosno isplate mogu biti na početku ili na kraju jediničnih razdoblja4, koja mogu, ali
ne moraju odgovarati obračunskim razdobljima. Obračun kamata može biti
anticipativan ili dekurzivan, a kamatna stopa može biti konstantna tijekom perioda
uplata odnosno isplata, a može biti i promjenljiva. Uplate također mogu biti
konstantne tijekom perioda uplaćivanja, a mogu biti i promjenljive.
Mi ćemo se ovdje baviti izračunavanjem konačne i sadašnje vrijednosti više uplata uz
sljedeće uvjete:
1. uplate su konstantne u svim jediničnim periodima uplaćivanja,
2. kamatna stopa je konstantna za sve jedinične periode uplaćivanja,
3. identični su jedinični period uplaćivanja i jedinični period obračuna kamata,
4 Uplate na početku jediničnog perioda nazivamo prenumerando ili anticipativnim uplatama, a uplate na kraju jediničnog perioda nazivamo postnumerando ili dekurzivnim uplatama.
254 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
3. obračun kamata je dekurzivan.
5.5.1. Konačna vrijednost više uplata početkom svakog jediničnog
perioda
Vrijednost n nominalno jednakih iznosa R, uplaćenih početkom svakog jediničnog
perioda, na kraju n-tog razdoblja jednaka je (vidi sliku 5.1)
1 2 1 2
2 1
... ( ... 1)
(1 ... ).
n n n n
n
n n
S Rr Rr Rr Rr Rr r r r
Rr r r r
(5.20)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.20) čine geometrijski niz on n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza
1
1,
1
n
n
qS a
q
(5.21)
nalazimo da je tražena konačna vrijednost
1.
1
n
n
rS R r
r
(5.22)
Slika 5.1. Konačna vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Primjer 5.8. Neka osoba ulagat će u banku početkom svake godine u idućih 5 godina
iznose po 12000 kn. Izračunajmo iznos s kojim će osoba raspolagati na kraju pete
godine, ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a banka obračunava
2,85% godišnjih kamata?
Rješenje: R = 12000, n = 5, p = 2,85, S5 = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.22) dobivamo
R
R
1 2 3
R
R
R
n-1 n …
Rrn
Rrn-1
Rrn-2
Rr2
Rr
255 Financijska matematika
5
5
1,0285 112000 1.0285 65329,15
1,0285 1S
.
Dakle, osoba će nakon 5 godina raspolagati s iznosom od 65 329,15 kuna.
5.5.2. Sadašnja vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Sadašnja vrijednost (vrijednost na početku prvog razdoblja) n nominalno jednakih
iznosa R uplaćenih početkom svakog jediničnog perioda jednaka je (vidi sliku 5.2)
' 1 2
2 1 1... ... 1 .n n
n n n n
R R R RA R r r r
r r r r
(5.23)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.23) čine geometrijski niz od n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza nalazimo da je tražena sadašnja vrijednost
'
1
1.
1n
n
n
R rA
r r
(5.24)
Slika 5.2. Sadašnja vrijednost više uplata početkom jediničnog perioda
Primjer 5.25. Izračunajmo koliki iznos treba uložiti u banku da bi na osnovi tog uloga
u idućih 5 godina početkom svake godine mogli podizati po 12000 kuna? Obračun
kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a banka primjenjuje fiksnu godišnju kamatnu
stopu p = 2,85.
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, '
5A = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.24) dobivamo
5
5'
5 1
12000 1,0285 156765,64.
1,0285 1,0285 1A
R
R
R
R
1 2 3 n-1 n …
R
Rr-1
Rr-2
Rrn-2
Rrn-1
R
256 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Dakle, danas je potrebno uložiti u banku iznos od 56765,64 kn, da bi se u idućih 5
godina početkom svake godine moglo podizati iz banke iznos od 12000 kn.
5.6. Konačna i sadašnja vrijednost više uplata krajem
jediničnog perioda
5.6.1. Konačna vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Vrijednost n nominalno jednakih iznosa R, uplaćenih krajem svakog jediničnog
perioda, na kraju n-tog razdoblja jednaka je (vidi sliku 5.3)
' 1 2 1 2... ... 1 .n n n n
nS Rr Rr Rr R R r r r
(5.25)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.25) čine geometrijski niz on n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza
nalazimo da je tražena konačna vrijednost
' 1.
1n
nrS R
r
(5.26)
Slika 5.3. Konačna vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Primjer 5.26. Neka osoba ulagat će u poslovnu banku krajem svake godine u idućih
5 godina po 12000 kn. Izračunajmo s kolikim iznosom će osoba raspolagati na kraju
pete godine ako je obračun kamata složen, godišnji i dekurzivan, a banka obračunava
2,85% godišnjih kamata?
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, ' ?nS Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.26) dobivamo
1 2 3
R
R
R
n-1 n …
Rrn-1
Rrn-2
Rr2
Rr
R
R
R
257 Financijska matematika
5
5' 1,0285 1
12000 63518,87.1,0285 1
S
Dakle, uz dane uvjete osoba će nakon 5 godina raspolagati s iznosom od 63518,87
kuna.
5.6.2. Sadašnja vrijednost više uplata krajem svakog jediničnog perioda
Sadašnja vrijednost n nominalno jednakih iznosa R uplaćenih krajem svakog
jediničnog perioda jednaka je (vidi sliku 5.4)
1 2 2
2 2 1... ... 1 .n n
n n n n n
R R R R R RA r r r r
r r r r r r
(5.27)
Članovi izraza u zagradi relacije (5.27) čine geometrijski niz od n članova kod kojeg
je prvi član a1 = 1, a kvocijent q = r. Koristeći formulu (5.21) za zbroj prvih n članova
geometrijskog niza nalazimo da je tražena sadašnja vrijednost
1.
( 1)
n
n n
rA R
r r
(5.28)
Slika 5.4. Sadašnja vrijednost više uplata krajem jediničnog perioda
Primjer 5.27. Izračunajmo koliki iznos treba danas uložiti u banku da bi na osnovi
tog uloga u idućih 5 godina krajem svake godine mogli podizati po 12000 kn?
Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan, a banka primjenjuje fiksnu godišnju
kamatnu stopu p = 2,85.
Rješenje. R = 12000, n = 5, p = 2,85, A5 = ? Budući da je 2,85
1 1,0285100
r ,
primjenom formule (5.28) dobivamo
5
5 5
1,0285 112000 55192,65.
1,0285 (1,0285 1)A
R
R
R
R
1 2 3 n-1 n …
R
Rr-2
Rr-n+2
Rr-n+1
Rr-n
Rr-1
258 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Dakle, uz dane uvjete, da bi neka osoba primala krajem svakog jediničnog perioda od
5 godina po 12000 kuna, ona danas mora uplatiti iznos od 55192,65 kuna.
5.7 Otplata zajma
Odobravanjem zajmova bave se banke i ostale financijske institucije, a odobravaju ga
na temelju ugovora o zajmu.
U ugovoru o zajmu definirani su sljedeći uvjeti:
- iznos zajma,
- vrijeme (rokovi) i način otplate zajma,
- kamatna stopa za redovne i zatezne kamate,
- poček (grace period), odnosno period nakon kojeg počinje otplaćivanje
zajma,
Otplata odnosno amortizacija zajma vodi se pregledno prema rokovima otplate, pri
čemu se za svaki rok računa nominalni iznos anuiteta, kamate, otplatna kvota i ostatak
duga.
Objasnimo pojmove otplatna kvota i anuitet.
Otplatna kvota je dio zajma kojim se otplaćuje osnovni dug. Anuitet je iznos koji
periodično plaća korisnik zajma, a sastoji se od otplatne kvote i složenih kamata.
Postoji više različitih modela otplate zajma, a možemo ih svrstati u dvije skupine:
- modeli s primarno danim anuitetima i
- modeli s primarno danim otplatnim kvotama.
5.7.1. Otplata zajma jednakim anuitetima
Otplata zajma jednakim anuitetima je najčešće primjenjivani model otplate zajma.
Postoji više varijanti ovog modela otplate zajma. Ovdje ćemo izložiti model zasnovan
na sljedećim pretpostavkama:
- obračun kamata je složen i dekurzivan,
- anuiteti su nominalno jednaki i dospijevaju krajem svakog jediničnog perioda
otplate zajma,
- duljina jediničnog perioda ukamaćivanja jednaka je duljini jediničnog perioda
otplate zajma,
- kamatna stopa je stalna u cijelom periodu amortizacije zajma.
Uvedimo sljedeće oznake:
C – nominalni iznos odobrenog zajma,
a – iznos nominalno jednakih anuiteta,
n – broj jediničnih perioda amortizacije zajma,
Ii – iznos kamata za i-ti jedinični period (i {1, 2, …, n},
259 Financijska matematika
Ri – iznos otplatne kvote za i-ti jedinični period otplate zajma,
Ci – ostatak duga na kraju i-tog jediničnog perioda amortizacije zajma,
p – fiksna dekurzivna kamatna stopa za jedinični period otplate zajma.
Pretpostavimo da se zajam u iznosu C otplaćuje nominalno jednakim anuitetima na
kraju svakog od n jediničnih perioda otplate zajma uz stalnu kamatnu stopu p. Dakle,
iznos zajma je jednak zbroju sadašnjih vrijednosti svih periodičnih uplata (anuiteta)
krajem svakog otplatnog razdoblja (vidi sliku 5.5), tj.
2 1
1... ,
1
n
n n n
a a a a a rC
r r r r r r
(5.29)
odakle računamo anuitet kao
( 1).
1
n
n
r ra C
r
(5.30)
Slika 5.5. Otplata zajma jednakim anuitetima
Primjer 5.28. Zajam je odobren poduzeću na 5 godina uz 5% godišnjih dekurzivnih
kamata i otplaćuje se nominalno jednakim anuitetima krajem godine u iznosu od po
12000a kn. Odredimo iznos zajma.
Rješenje. a = 12000, n = 5, p = 5, C = ? Pošto je 5
1 1,05100
r primjenom formule
(5.29) dobivamo
5
5
1,05 112000 51953,72.
1,05 (1,05 1)C
Dakle, uz dane uvjete zajam iznosi 51953,72 kuna.
C
a
3 1 2
a
a
a a
a
3 n-1 n …
ar-2
ar-1
a
ar-n+2
ar-n+1
aR-n
260 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Primjer 5.29. Zajam od 100000 kn odobren je poduzeću na 5 godina uz 5% godišnjih
dekurzivnih kamata i plaćanjem nominalno jednakih anuiteta krajem godine.
Odredimo iznos nominalno jednakog godišnjeg anuiteta i sastavimo otplatnu tablicu.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 5, a = ?. Pošto je 5
1 1,05100
r , primjenom
formule (5.30) dobivamo
5
5
1.05 (1.05 1)100000 23097,48.
1.05 1a
Tablica 5.1. Plan otplate zajma iz primjera 5.29
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 23097,48 5000,00 18097,48 81902,52
2 23097,48 4095,13 19002,35 62900,17
3 23097,48 3145,01 19952,47 42947,70
4 23097,48 2147,39 20950,09 21997,61
5 23097,48 1099,87 21997,61 0,00
Ukupno 115487,40 15487,40 100000,00 -
Objasnimo sada način na koji smo izračunali elemente tablice 5.1.
Kamate za i-ti period računamo primjenom jednostavnog kamatnog računa na osnovi
formule
1 ,100
ii
C pI i {1, 2, …, n}. (5.31)
Dakle, kamate za period 1 iznose
01
100000 55000,00.
100 100
C pI
Otplatnu kvotu za i-ti period dobivamo iz formule
,i iR a I i {1, 2, …, n} (5.32)
pa, prema tome, za period 1 otplatna kvota će biti
R1 = a – I1 = 23097,45 – 5000,00 = 18097,45.
Ostatak duga na kraju i-tog perioda dobivamo iz formule
Ci = Ci-1 – Ri, i {1, 2, …, n}. (5.33)
261 Financijska matematika
Dakle, ostatak duga na kraju perioda 1 iznosi
C1 = C0 – R1 = 100000,00 – 18097,45 = 81902,55.
Analogno izračunavamo kamate, otplatnu kvotu i ostatak duga za period 2, tj.
12
81902,55 54095,13,
100 100
C pI
R2 = a – I2 = 23097,45 – 4095,13 = 19002,32, C2
= C1 – R2 = 81902,55 – 19002,32 = 62900,23. Na sličan način računamo kamate,
otplatnu kvotu i ostatak duga za periode 3, 4 i 5.
Nakon sastavljanja plana otplate zajma korisno je izvršiti provjeru točnosti
izračunanih podataka. Tako, zbroj otplatnih kvota mora biti jednak iznosu zajma, a
ukupan zbroj anuiteta treba biti jednak zbroju svih otplatnih kvota i svih kamata.
Također, ostatak duga iz perioda n – 1 treba biti jednak otplatnoj kvoti iz perioda n.
5.7.2. Otplata zajma jednakim otplatnim kvotama
Postoji više modela otplate zajma jednakim otplatnim kvotama. Mi ćemo ovdje
izložiti model zasnovan na sljedećim pretpostavkama:
- obračun kamata je složen i dekurzivan,
- otplatne kvote su nominalno jednake, a anuiteti dospijevaju krajem svakog
jediničnog perioda otplate zajma,
- duljina jediničnog perioda ukamaćivanja jednaka je duljini jediničnog perioda
otplate zajma,
- kamatna stopa je stalna u cijelom periodu amortizacije zajma.
Budući da je iznos otplatnih kvota jednak zajmu, uz navedene pretpostavke iznos
nominalno jednakih otplatnih kvota je
.C
Rn
(5.34)
Primjer 5.30. Zajam u iznosu 100000 kn odobren je poduzeću na 5 godina uz 5%
godišnjih dekurzivnih kamata i plaćanjem anuiteta krajem godine. Zajam se
amortizira nominalno jednakim otplatnim kvotama. Sastavimo plan otplate zajma.
Rješenje. C = 100000, n = 5, p = 5, R = ? Primjenom formule (5.34) računamo otplatnu
kvotu
10000020000,00.
5
CR
n
Plan otplate zajma prikazan je u tablici 5.2.
Tablica 5.2. Plan otplate zajma iz primjera 5.30
262 MATEMATIKA U EKONOMSKOJ ANALIZI
Kraj i-tog
perioda
Anuitet (ai) Kamate (Ii) Otplatne kvote
(Ri)
Ostatak duga
(Ci)
0 - - - 100000,00
1 25000,00 5000,00 20000,00 80000,00
2 24000,00 4000,00 20000,00 60000,00
3 23000,00 3000,00 20000,00 40000,00
4 22000,00 2000,00 20000,00 20000,00
5 21000,00 1000,00 20000,00 0,00
Ukupno 115000,00 15000,00 100000,00 -
Kamate za i-ti period računamo primjenom jednostavnog kamatnog računa na osnovi
formule (5.31)
Dakle, kamate za period 1 iznose
01
100000 55000,00.
100 100
C pI
Anuitet za i-ti period dobivamo iz formule
,i ia R I i {1, 2, …, n} (5.32)
pa, prema tome, za period 1 anuitet će biti
a1 = R + I1 = 20000,00 + 5000,00 = 25000,00.
Ostatak duga na kraju i-tog perioda dobivamo iz formule (5.33).
Dakle, ostatak duga na kraju perioda 1 iznosi
C1 = C0 – R1 = 100000,00 – 20000,00 = 80000,00.
Analogno izračunavamo kamate, otplatnu kvotu i ostatak duga za period 2, tj.
12
80000 54000,00,
100 100
C pI
a2 = R + I2 = 20000,00 + 4000,00 = 24000,00,
2 1 2– 80000,00 – 20000,00 60000,00.C C R Na sličan način računamo kamate,
otplatnu kvotu i ostatak duga za periode 3, 4 i 5.
Provjera točnosti izračuna je identična provjeri točnosti izračuna plana otplate zajma
jednakim anuitetima.
5.7.3. Konverzija zajma
Prilikom davanja zajma ugovorom između davatelja i primatelja (korisnika) zajma