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5. スペクトル解析 (Spectrum analysis)
• 5.1 フーリエ級数
Fourier series
• 5.2 フーリエ変換
Fourier
Transform
• 5.3 パワースペクトル
Power spectrum
• 5.4 離散データのフーリエ展開
For discrete time series
– ナイキスト周波数とエイリアジング
Nyquist
frequency and aliasing
• 5.5 スペクトルと相関関数
Spectrum and correlation function
• 5.6 スペクトルの推定法と推定誤差
• 5.6 クロススペクトルとコヒーレンシー
• 5.7 スペクトル解析の例
applications
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5.1 フーリエ級数
Fourier series• 周期性を持った波は、どんなに複雑なもので
も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。
→
単純な波に分解できる。
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/katati/katati_5.htm
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周波数1
周波数2
周波数3Sin 3
1
2
Cos
1
2
3
フーリエ級数による表現は、、、
各周波数ごとの波の振幅
周波数1 2 3
S
C
スペクトル
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http://jc.maxwell.jp/physicalmath/fourier/index.html
例題)矩形波をフーリエ級数で表せ
-π π
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n項目
1項目まで
3項目(n=5)まで
6項目(n=11)まで
緑が再現波形
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GibbsGibbs現象現象関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる
第1項から第10項までの和
11項から100項までの和
塵も積もれば山(崖)となる、、、
Contribution from high-frequency termsとびだし
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5.2 フーリエ変換・積分
C(f)
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周期信号
非周期信号
連続 フーリエ級数展開
フーリエ変換
信号離散スペクトル
連続スペクトル
周期無限大
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5.3 パワースペクトルpower spectrum
フーリエ変換フーリエ変換の強度
フーリエ逆変換
スペクトル!波に分解→それぞれの振幅
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パワースペクトルpower spectrum
Power spectrum density
エネルギースペクトル
単位時間当たり
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5.4 離散データのフーリエ級数展開Fourier transform for discrete data series
この間は関数が一定であるとして積分を置き換える
繰り返すものとして考える(端を「そろえる」必要)
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⊿t
2⊿t
エイリアジング
aliasing
⊿tのサンプリングで表現できる最も短い波長は2⊿tナイキスト振動数(Nyquist
frequency)
fn = 1/ 2⊿tωn
=2πfn
=π/ ⊿t
t 0
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エイリアジング
Nyquist
frequency
実際にはこのようなスペクトルが得られてしまう
1.5
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エイリアジング周期
例題) T0=1.2の波をdT=1 でサンプルしたら?
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潮汐成分の残ったデータを⊿t=24hで読み取る場合、
2⊿t=48h以下の周期
の信号はエイリアジングを起こす。
エイリアジング
aliasing
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自己共分散関数
スペクトル
フーリエ変換
フーリエ逆変換
ウィーナーヒンチンの関係Wiener-Khinchin
relation
Auto-correlationfunction
spectrum
Fourier transform
5.5 スペクトルと相関関数
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例題)白色雑音の相関関数とパワースペクトルは?
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生データ
Raw data
自己相関correlation
複素フーリエ成分Fourier component
スペクトルspectrum
Fast Fourier Transform : FFT(Cooley-Tukey法)
Blackman-Tukey法
Maximum Entropy Method : MEM「情報エントロピーを最大にするようにスペクトルを決定する」方法。ラグの大きいところでの自己相関関数の推定を、情報エントロピーを増加させないように逐次的に選ぶ。
スペクトルの推定法 Estimation of spectrum
相関法
直接法
直接法相関法MEM
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自己共分散関数
スペクトル
フーリエ変換
スペクトルとクロススペクトルspectrum and cross-spectrum
相互相関関数
クロス・スペクトル
Auto-correlation spectrum
Cross-correlation cross-spectrum
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スペクトル解析の実例
スペクトルの傾き
-5/3乗則
3次元乱流-3乗則
2次元乱流
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スペクトル解析の実例
風に流れがどのように応答するか?
風
流れ
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7日
流れcurrent
風wind
Current lagsthe wind by1-1.5 days
High coherence
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まとめ
• 時系列は幾つかの波に分解できる。パワース ペクトルを計算することにより周期帯(周波 数帯)での変動の強弱を調べることができる。
• 不連続な変動を近似する場合、短波長成分が 顕著に現れる(Gibbs Effect)
• ナイキスト周波数より高周波の信号は折りた たみ効果により低周波スペクトルを汚染する。
(エイリアジング)
• 相関関数とパワースペクトルは等価である。