This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
5. Energetik der Elektronen5.1 Elektrische Leitfähigkeit kondensierter Materie
FlüssigkeitenElektrolyte
Isolatoren
s
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
10-21
10+6
10+3
110-3
W-1cm-1
PVCBernstein,TeflonGlimmer, Diamant
LuftGlas
NaCl
GeSi
Graphit
CuBi
Salz-schmelzen
ReinesWasser
Metalle
FesteHalbleiter
Elektrische Leitfähigkeit verschiedener Stoffe bei Raumtemperatur
2
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
Ionenrümpfe
Leitungselektronen+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
+++
-
-
-
--
- - -
--
-
-
-
E
Valenzelektronen der Atome werden bei Metallen zu den Leitungselektronen· Bildung eines „Sees“ aus freien Elektronen· Elektronische Bindung, Elektronenleitung
Anteil der Ionenrümpfeam Kristallvolumen:Alkalimetalle: 10-20%Edelmetalle: 80-95%
Kraft F auf Leitungselektronen imElektrischen Feld E:
F = me·dv/dt = - eoE
dv = - eoE·dt/me
3
5.2 Streuung der Elektronen im Kristall
streuendes Elektron
Kaum Elektron-ElektronStreuung!!!Pauli-PrinzipOber-
fläche
Versetzung Isotopenschwankung
Elektron-Phonon-Streuung
Konzentrations-schwankung
Leerstelle Zwischen-gitteratom
Mittlere freie Weglänge:Stromdichte j im elektrischen Feld: j = s EIn der Zeit ∆t zurückgelegte Wegstrecke: l = vF ∆tDefinition der elektrischen Stromdichte: j = - eo (N/V)∆v ∆v = - eo E l / (mevF)
Elektrische Leitfähigkeit:
†
s =Neo
2 lV me vF
Cu:l = 4·10-8 m (T=300 K)l = 0,4 cm (T=4 K)
4
Bestimmung derLadungsträgerkonzentration N
Hall-Effekt in Metallen:
+ + + ++++
jx Ey
Bz
jx
Lorentz-Kraft:F = eo (v x B)
Hallfeld:Ey = Rh jx Bz
Hallkonstante:Rh = - (eo N / V)-1
+ 1,1351 Loch+ 1,136Al
+ 1,7801 Loch+ 1,774In
- 0,821 Elektron- 0,6Cu
- 2,6031 Elektron- 2,619Na
- 1,481 Elektron- 1,89Li
Rh(ber.) [10-24
CGS Einheiten]Ladungsträger/Atom
Rh(exp.) [10-24
CGS Einheiten]Metall
5
5.3 Fermiverteilung der Elektronen
Freie Energie F des Elektronensystems:
Zahl der Permutationen bei der Besetzung der Zustände durch die Elektronen:
Chemisches Potential µ:
:
Elektronen: halbzahliger SpinPauli-Prinzip: jeder Energiezustand ist einfach besetzt.
System mit Einteilchenenergieniveaus Ei, Entartungsgrad gi für jedes Niveauund Besetzungszahl ni (ni ≤ gi)
Große mittlere freie Weglänge l und hohe Fermi-Temperatur TF ≈ 50 000 Knur quantenphysikalisch erklärbar.
8
Zahl der Elektronen, die miteinander wechselwirken:
Fermi-Energie und -Geschwindigkeit des freien Elektronengases bei T = 0K.
WW nur mit jedem200 000 st Elektron!
de/EF ≈ eo|E| l /EF|E| = 1000 V/mEF = 10-18 Jl = 4·10-8 m
de/EF = 5·10-6
Beispiel: Cu
n = 8,5·1022 cm-3
kF = 1,36 ·108 cm-1
vF = 1,57 ·108 cm/sEF = 7,0 eVTF = 81 600 K
Ekin = p2/2 me
p = h k = me v
EF = h2
2 me
(3 #2 n)2/3
vF = h kF/me
9
5.5 Zustandsdichte freier Elektronen
Schrödinger-Gleichung für ein Elektron im 3-dimensionalen Raum:
Periodische Randbedingungen
Lösung der Schrödinger-Gleichung: laufende ebene Wellen
Hohe Fermi-Energie:1.) Fermiteilchen (Pauli-Prinzip)2.) kleine Elektronenmasse3.) Elektronenzahldichte
†
-h2
2me
⋅∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜ ⋅yk ( r ) = Ekyk ( r )
†
yk ( r + L, y, z ) =yk ( x, y , z )
yk = exp (i k·r) kx = 0; ±2π/L; ±4π/L
10
kx
ky
kz
kF
F
Fermi-Fläche beider Energie EF
Zustandsdichte der Elektronen:
Energieeigenwerte:
Zahl der Zustände E ≤ EF
D(E)
E
T=0K
T>0K
EF
†
Ek =h2
2me
k 2 =h2
2me
( kx2 + k y
2 + kz2 )
†
N = 2 ⋅4p kF
3
3( 2p / L )3=
V
3p 2⋅ kF
3
†
D( E ) =dNdE
=V
2p 2⋅
2me
h2
Ê
Ë Á
ˆ
¯ ˜
3 / 2
⋅ E1 / 2
11
5.6 Elektronenwellen
Periodisches Gitterpotential0
U
r
Vakuum
Austrittsarbeita
LVakuum
x
y-2
x
y+2
y+
xkonstruktiv
destruktivl = 2a
a
x
y- ~ cos(p x/a)
y+
x~ sin(p x/a)
Elektronen-Interferenz
Laufende Welle
Aufenthaltswahrscheinschlichkeit
Verschiedene Energien für |y+|2 und |y-|2
· Energielücke bei k = n#/a (n=0,1,2..) · erlaubte Zonen (Energiebänder)· verbotene Zonen (Bandlücken)
12
5.6 Brillouin-Zonen und Elektronenwellen
Brillouinzonen im dreidimensionalen Gitter:Streuung der Elektronenwellen am Rand der Brillouin-ZonenResonanz-Stellen l = 2 a/n oder |k| = n#/a
y+
2pa
pa
pa
2pa0
k1. Brillouin-Zone
2. Brillouin-Zone
3. Brillouin-Zone
E
∆E1 {
∆E2 { y-
y+
y-
a
E(k): Dispersionsrelation:Weit weg von ResonanzstellenE ~ k2 (freie Elektronen)In der Nähe der ResonanzstellenE(k) hängt vom GitterpotentialU(r) ab.Energielücke ∆E an den Resonanzstellen k = n#/a
13
Anisotropie der Elektronenwellen im dreidimensionalen Gitter
[111]
[110]
[100]
Kubisch raumzentriertes Gittermit drei markierten Richtungen
Bloch-Funktionen in den dreiausgezeichneten Richtungen
Die gestrichelten Kurven entsprechen denZuständen freier Elektronen yk
(f) , die rot
durchgezogenen Kurven den für einbestimmtes Gitterpotential berechnetenZuständen der Elektronen yk = yk
(f) uk.
Wellenfunktion eines Elektronsim Gitter yk setzt sich zusammenaus freiem Elektronen-Anteil yk