5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań (dla równań pierwszego i drugiego stopnia ustalono je już w starożytności). Badaniem równań wyższych stopni zaczęto zajmować się intensywnie w XVI-XIX w. Przyczyniło się to do powstania dużej części algebry współczesnej m.in. teorii grup i ciał. Inne działy algebry wywodzą się natomiast z badań nad różnymi dziedzinami matematyki i tak np. teoria pierścieni z teorii liczb, algebra liniowa z geometrii.
31
Embed
5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji ...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
5. Algebra – działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała,
pierścień wielomianów.
Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym
początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań (dla równań pierwszego
i drugiego stopnia ustalono je już w starożytności). Badaniem równań
wyższych stopni zaczęto zajmować się intensywnie w XVI-XIX w.
Przyczyniło się to do powstania dużej części algebry współczesnej m.in. teorii
grup i ciał. Inne działy algebry wywodzą się natomiast z badań nad różnymi
dziedzinami matematyki i tak np. teoria pierścieni z teorii liczb, algebra
liniowa z geometrii.
Algebra ma więc szerokie zastosowania w teorii liczb, analizie funkcjonalnej,
teorii równań różniczkowych, geometrii, programowaniu liniowym, a także
w fizyce, ekonometrii i informatyce.
Przedmiotem badań algebry współczesnej są zbiory z określonymi w nich
operacjami (zwanych działaniami), czyli grupy, pierścienie, moduły,
przestrzenie liniowe, kraty.
Działania (operacje)
Działaniem (operacją) n-argumentowym (n∈N) w zbiorze A nazywamy każdą
funkcję O: An → A, która uporządkowanemu n-elementowemu ciągowi z An
przyporządkowuje pewien element zbioru A.
O zbiorze A mówimy, że jest zamknięty ze względu na n-argumentowe
działanie O wtedy i tylko wtedy, gdy wynik działania O dla dowolnego
n-elementowego ciągu z An należy do A, czyli
∀ (a1, a2, …, an) ∈ An O (a1, a2, …, an) ∈ A.
Przypadek dla n=0 jest również dopuszczalny, mówi się wtedy o działaniu O
zeroargumentowym w zbiorze A, które jest dowolnym elementem tego zbioru
(O∈A) i zwane jest stałą.
Szczególnie ważny przypadek stanowi funkcja O: A2 → A, czyli dla n=2,
które nazywa się działaniem dwuargumentowym (operacją binarną) lub krócej
działaniem (operacją). Zamiast pisać O (a,b) zapisujemy a O b.
Często działania oznaczamy symbolami +,-, ⋅, *, ⊕, ⊗.
Własności działań
1. Przemienność
Działanie O nazywamy przemiennym w A, jeżeli
∀ a, b∈A a O b = b O a.
2. Łączność
Działanie O nazywamy łącznym w A, jeżeli
∀ a, b, c∈A (a O b) O c= a O (b O c).
Element e∈A nazywamy elementem neutralnym (jednością), jeżeli
∀a∈A a O e = e O a = a.
Element a-1∈A nazywamy elementem odwrotnym do elementu a, jeżeli
a O a-1 = a-1 O a = e.
Twierdzenie
W zbiorze A, w którym określone jest działanie O, istnieje co najwyżej jeden
element neutralny.
Dowód: Załóżmy, że w A istnieją dwa elementy neutralne działania O : e
oraz e’. Z definicji elementu neutralnego wynika, że
e' = e' O e = e,
czyli są one sobie równe.
Mówimy, że w zbiorze A, w którym określone jest działanie O, zachodzi
prawo skracania, jeśli
∀ a, b, c ∈ A zachodzi
(a O b = a O c ⇒ b=c) ∧ (b O a = c O a ⇒ b=c).
Jeżeli działanie O jest przemienne w A, to w powyższej definicji wystarczy
tylko jeden człon koniunkcji.
Działania zewnętrzne
Działaniem zewnętrznym nazywamy odwzorowanie
O : A×K → A, gdzie A≠K, które każdej parze (a, k), gdzie a∈A i k∈K
przyporządkowuje element zbioru A.
Struktury algebraiczne
Algebrą abstrakcyjną (algebrą) nazywamy każdy układ Q postaci
Q = (A, O1, O2,…, Om),
gdzie A jest niepustym zbiorem i Oi, dla i=1,2,…,m jest działaniem w A oraz
zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania.
Podalgebra
Niech Q = (A, O1, O2,…, Om) będzie dowolną algebrą i podzbiór B≠∅ zbioru
A. Układ Q’ postaci
Q’ = (B, O1, O2,…, Om),
nazywamy podalgebrą algebry Q, jeżeli zbiór B jest zamknięty ze względu na
działania O1, O2,…, Om.
Niepusty podzbiór A0 zbioru A nazywamy zbiorem generatorów
(generatorem) algebry Q = (A, O1, O2,…, Om) wtedy i tylko wtedy, gdy
najmniejszą podalgebrą zawierającą A0 jest sama algebra Q. O zbiorze A0
mówimy, że generuje zbiór A.
Systemem algebraicznym (relacyjnym) nazywamy układ S postaci
S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),
gdzie A jest niepustym zbiorem zwanym uniwersum systemu, Oi, dla i=1,2,…
,m jest działaniem w A oraz zbiór A jest zamknięty ze względu na te działania
i ℜj dla j=1,2,…,k są relacjami w A.
Jeśli uniwersum systemu składa się z obiektów różnych typów, to system
nazywamy wielosortowym.
System algebraiczny S’ = (B, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk) nazywamy
podsystemem systemu algebraicznego S = (A, O1, O2,…, Om, ℜ1, ℜ2,…, ℜk),
jeżeli gdy B⊂A.
Półgrupa
Zbiór A wraz z działaniem łącznym *, przy czym A jest zamknięty ze względu
na działanie * nazywamy półgrupą i oznaczamy (A, *).
Grupa
Zbiór G wraz działaniem * nazywamy grupą i oznaczamy (G, *), jeśli
1. * jest działaniem łącznym,
2. istnieje element neutralny działania *,
3. ∀g∈G istnieje element odwrotny.
Warunki 1- 3 nazywają się aksjomatami grupy, element neutralny w grupie
nazywa się jednością grupy.
Twierdzenie
W dowolnej grupie G, ∀g∈G istnieje dokładnie jeden element odwrotny.
Dowód:
Niech g∈G i niech każdy z elementów g’∈G i g”∈G jest elementem
odwrotnym do g. Jeśli e jest jednością grupy, wówczas:
g"=e*g”=(g’*g)*g”=g’*(g*g”)=g’*e=g’,
czyli są one sobie równe.
Jeżeli dodatkowo działanie * jest przemienne, to grupę nazywamy przemienną
lub abelową.
Jeżeli mamy do czynienia z grupami nieabelowymi oraz z grupami w ogóle,
działanie * oznacza się ⋅ i nazywa mnożeniem, wówczas zamiast pisać a⋅b
piszemy ab. Element neutralny oznacza się wtedy przez e, a element odwrotny
przez a-1. Wyrażenie aa…a (n razy) oznaczamy an i nazywamy n-tą potęgą
elementu a. Taki sposób zapisu nazywa się multiplikatywny.
W grupach abelowych przyjmuje się oznaczenie działania * przez + i nazywa
je dodawaniem. Element neutralny oznacza się wtedy przez 0, a element
odwrotny przez –a, wtedy zamiast pisać a+(-b) piszemy a-b. Wyrażenie
a+a+…+a (n razy) oznaczamy n⋅a i nazywamy n-tą wielokrotnością elementu a
Taki sposób zapisu nazywa się addytywny.
Niech (G, *) będzie grupą i niech a, b∈G, wtedy zachodzą następujące
twierdzenia:
1. e-1=e,
2. (a-1)-1=a,
3. (a*b)-1=b-1*a-1,
4. Działanie * spełnia prawo skracania,
5. Każde z równań a*x=b oraz y*a=b posiada jednoznaczne rozwiązanie w G.
Jeśli (G,*) jest grupą, to moc zbioru G nazywamy rzędem grupy G. Grupy
nazywamy skończonymi (przeliczalnymi, nieprzeliczalnymi), jeżeli moc
zbioru G jest skończona (przeliczalna, nieprzeliczalna).
Grupa (G, *), w której istnieje element a o tej właściwości, że każdy element
grupy jest jego potęgą (wielokrotnością) nazywa się grupą cykliczną. Element
a nazywa się generatorem grupy cyklicznej, co zapisujemy G=<a>.
Korzystając z logiki predykatów można zapisać:
G=<a> ⇔ ∃a∈G ∀g∈G ∃n∈Ζ g = an (g = n⋅a).
Każda grupa cykliczna jest abelowa, ale nie na odwrót.
Podgrupa
Podzbiór H grupy (G, *), będący grupą względem działania * nazywamy
podgrupą grupy G.
Każda grupa zawiera jako podgrupy siebie samą i grupę zawierająca tylko
jedność, są to tak zwane podgrupy niewłaściwe, pozostałe podgrupy
nazywamy właściwymi.
Grupy permutacji
Wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru X≠∅ na siebie nazywamy
permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy
S(X) lub SX.
Jeżeli zbiór X jest skończony o mocy n, to !n)X(S = . Wtedy przyjmujemy
oznaczenie S(X) = Sn.
Permutację σ∈Sn zapisuje się w postaci tabelarycznej (dwuwierszowej):
σσσ=σ
)n()2()1(n21
,
gdzie w górnym wierszu znajdują się elementy zbioru X, a w dolnym wierszu
napisane pod nimi ich obrazy.
Jeśli wprowadzimy oznaczenie σ(i)=ai dla i=1,2,…,n wtedy zapisujemy
permutacje w postaci:
=σ
n21 aaan21
.
W zapisie dwuwierszowym
permutacja I tożsamościowa (identycznościowa) ma postać
=
n21n21
I
,
Natomiast permutacja σ-1 odwrotna do permutacji σ ma postać
=σ
n21aaa n21
.
W zbiorze S(X) określone jest działanie złożenia (superpozycji) permutacji,
które można zapisać w postaci tabelarycznej:
.))n(r())2(r())1(r(
n21)n(r)2(r)1(r
n21)n()2()1(
n21r
σσσ=
=
σσσ=σ
Twierdzenie
Zbiór wszystkich permutacji zbioru X z działaniem złożenia przekształceń,
czyli (S(X), °) jest grupą.
Jeżeli zbiór X jest skończony i jego moc wynosi n, to grupa (S(X), °)=(Sn, °)
jest grupą rzędu n! i oznaczamy ją krótko Sn.
Niech a1, a2,…,ak będzie układem k różnych liczb ze zbioru {1,2,…,n} przy
czym (2≤ k ≤ n). Permutację σ∈Sn spełniającą warunki:
● σ(aj)=aj+1 dla j=1,2,…,k-1,
● σ(ak)=a1,
● σ(i)=i dla i ∈{1,2,…,n}\{ a1, a2,…,ak}
Nazywamy cyklem k-wyrazowym lub cyklem długości k i zapisujemy jako
σ=(a1, a2,…,ak) pomijając w zapisie wyrazy, które przechodzą na siebie.
Każdy cykl długości k można zapisać na k sposobów.