4.Teoria Das Filas

Teoria das Filas

Estrutura de Apresentao

Introduo Aspectos Histricos Estrutura Bsica Elementos de uma Fila

Caractersticas de uma Fila Varveis Fundamentais Relaes entre as variveis Exemplos Notao de Kendall Modelo M/M/1 Exemplo Bibliografia

O que so Filas?Filas, filas,...

As filas so a praga do mundo atual! Espera-se em fila no banco, na portaria,ponto de nibus, no trnsito, no restaurante... (TEIXEIRA 2008). As formaes de filas ocorrem porque a procura pelo servio maior do que acapacidade do sistema de atender a esta procura;

Os motivos para no se aumentar a capacidade de atendimento dos serviosso: inviabilidade econmica e limitao de espao;

A Teoria das Filas tenta atravs de anlises matemticas detalhadas encontrarum ponto de equilbrio que satisfaa o cliente e seja vivel economicamente para oprovedor do servio (evitar desperdcios e minimizar gargalos).

Introduo

O que so Filas?

Introduo

As filas no nosso dia--dia

As filas no so simpticasLei de Murphy

a fila que anda a outra, mas no adianta trocar de fila pois a fila que anda a outra

Aspectos Histricos

Teoria das Filas

Sculo XX (1908) na Dinamarca, A. K. Erlang estudava oredimensionamento de centrais telefnicas.

Simulao Surgimento do computador; Dcada de 60; Segundo FREITAS FILHO (2001), simulao a utilizao de tcnicasmatemticas, empregadas em computadores digitais, que permitemrepresentar o funcionamento de processos reais.

Estrutura Bsica

Processo de Chegada

Atendimento

Servidores

Fila

Clientes

Populao

Caractersticas de uma Fila

Antes de observar o funcionamento de uma fila, necessrio conceituarmelhor alguns termos da Teoria das Filas.

Processo de ChegadasO processo de chegada determina o padro de chegada dos clientes no sistema. Aschegadas ocorrem de acordo com as leis da probabilidade; assim, precisoconhecer qual a distribuio de probabilidade que descreve os tempos entre aschegadas dos clientes.

Parmetros:

- (ritmo mdio de chegada);- IC (intervalo mdio entre chegadas).

Clientes e Tamanho da PopulaoNmero potencial de clientes que podem chegar ao sistema.

Um cliente proveniente de uma populao (finita ou infinita).

Caractersticas de uma Fila

Postos de Atendimento/ Servidores o recurso que processa os clientes. Podem ser fsicos ou no.

Processo de Atendimento - ServidoresO processo de atendimento especificado pelo comportamento do fluxo deusurios atendidos.

muito provvel que exista uma variao no tempo de atendimento de cadacliente no servidor e por este motivo, o tempo de atendimento assim como otempo de chegada descrito por uma distribuio de probabilidade.

Parmetros:

- (ritmo mdio de atendimento);- TA (tempo ou durao mdia do servio ou atendimento).

Caractersticas de uma Fila

Disciplina das Filas o critrio estabelecido pela gerncia do sistema, segundo o qual os usuriosque se encontram na fila so atendidos quando um posto fica disponvel. Dentreas disciplinas mais utilizadas, podem-se citar:

- FIFO (first in first out): os usurios so atendidos na ordem das chegadas.Ex: Compra de ingressos no cinema

- LIFO (last in first out): o primeiro usurio a ser atendido o que chegou por ltimo.Ex: Peas em estoques verticais

-PRI (priority service): o atendimento aos usurios segue uma ou mais prioridadespreestabelecidas pela gerncia do sistema.Ex: Cirurgias Hospitalares

-SIRO (Service in random order): o atendimento aos usurios segue uma ordem aleatria.Ex: Consrcios

Capacidade do Sistema

o nmero mximo de usurios que o sistema comporta e pode ser finita ouinfinita. Na capacidade finita, quando esta atingida, os usurios que chegamat o instante da prxima liberao so rejeitados.

Variveis referentes ao sistema:TS = tempo mdio de permanncia no sistema;NS = nmero mdio de clientes no sistema;

Variveis referentes ao processo de chegada: = ritmo mdio de chegada;IC = intervalo entre chegadas;Por definio: IC = 1/ ;

Variveis referentes fila:TF = tempo mdio de permanncia na fila;NF = nmero mdio de clientes na fila;

Variveis referentes ao processo de atendimento:TA = tempo mdio de atendimento ou servio;c = quantidade de atendentes ou servidores;NA = nmero mdio de clientes que esto sendo atendidos; = ritmo mdio de atendimento de cada atendente;por definio: TA = 1/ ;

Variveis Fundamentais

Variveis Fundamentais

Localizao das Variveis:

Relaes entre as variveis

* Little - demonstrou que, para um sistema estvel de filas, aplica-se sempre que onmero de chegadas igual ao nmero de sadas (denominado sistema emequilbrio)

Em uma minerao, cada caminho efetua um ciclo em que carregado deminrio por uma das carregadeiras, desloca-se para o britador para odescarregamento e retorna s carregadeiras. Verificou-se que o tempo mdio (TS)dos caminhes junto ao britador de 12 minutos e que, em mdia, existem 6caminhes (NS) no setor. Qual a taxa de chegada de caminhes?

Exemplos

Soluo: Queremos encontrar a taxa de chegada.A relao que temos a de Little: NS = .TSLogo: NS = .TS e = NS/TSPortanto: = 6/12 = 0,5 chegada/ minuto.

TS = tempo mdio de permanncia no sistema;NS = nmero mdio de clientes no sistema; = ritmo mdio de chegada;

Ainda no exemplo dos camines, existindo um total de 30 caminhes, em servio,qual a durao de um ciclo?

Exemplos

Soluo:

Queremos o ciclo, que o tempo gasto para que um caminho, partindo de umponto de referncia qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo ponto.

tambm o tempo necessrio para que todos os caminhes passem pelo mesmoponto.

Se considerarmos o britador como sendo o ponto de referncia e conhecendoagora a taxa de chegada a este ponto, podemos deduzir o tempo gasto para quetodos os caminhes passem por este ponto:

Durao do ciclo: (Quantidade de caminhes)/ Durao do ciclo = 30/ = 30/ 0,5 = 60 minutos.

No mesmo sistema ainda, qual o tempo mdio para o processo completo decarregamento (ou TFS: Tempo fora do sistema)?

Exemplos

Soluo:

Consideremos como o sistema em estudo o espao formado em torno do britador, no qual temos o caminho que est sendo descarregado e os outros em fila. Por excluso, um caminho est fora do sistema quando no ocupa o espao citado. Um ciclo corresponde soma do tempo dentro do sistema (TS = 12) mais o tempo fora do sistema (TFS). Logo:

TFS + TS = ciclo = 60 minutosTFS = 60 12 = 48 minutos.

Notao de Kendall

A notao de Kendall muito utilizada para descrever sistemas de fila, sua notao a seguinte: :

A/B/c/K/m/Z

- A a distribuio dos intervalos de tempo entre chegadas- B a distribuio dos tempos de servio

M = Exponencial (Markov, Memoryless) Em = Erlang de estgio m Hm = Hyperexponencial D = Determinstico G = Geral (para todas as distribuies)

- c a quantidade de servidores

- K a capacidade mxima do sistema

- m o tamanho da populao

- Z a disciplina da fila

M/D/2//FIFO Indica um processo de filas com tempos de chegadas exponenciais (M), tempos de servio determinsticos (D), dois servidores em paralelo (2), capacidade ilimitada e disciplina FIFO.

Em muitas situaes utilizamos apenas os trs primeiros smbolos, assumindo assim que o sistema tem capacidade ilimitada e possui uma disciplina FIFO.

Notao de Kendall - Exemplo

Os clientes chegam, recebem algum atendimento e, ento, desocupam o sistema.

Para esse modelo so vlidas as definies:

- = Ritmo mdio de chegadas;

- IC = Intervalo mdio entre chegadas (por definio: IC = 1/); - TA = Tempo mdio de atendimento ou de servio;

- = Ritmo mdio de Atendimentos de cada atendente (por definio: TA = 1/).

Modelo M/M/1

Para o modelo M/M/1 temos as seguintes relaes:

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

Suponhamos que as chegadas a uma cabine telefnica obedecem a lei dePoisson, com ritmo de 6 chegadas por hora. A durao mdia do telefonema de 3 minutos e suponhamos que segue a distribuio exponencial. Pede-se:

1) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar cabine e no ter que esperar?Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo:

Ento: P0 = 1-/ = 1- (6/20) = 0,7 = 70% de probabilidade.

Modelo M/M/1 - Exemplo

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter

mesnetTypewriter60 / 3 = 20

mesnetTypewriter1 h = 60 min logo 60/6=10

Exemplo: A Cabine telefnica

2) Qual o nmero mdio de pessoas na fila?

Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo: NF = (6)2/ (20(20-6)) = 0,128 pessoas na fila

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

3) Qual o tempo na fila?

Temos:

= 6 chegadas/ hora. Portanto IC = 10 minutos;

TA = 3 minutos. Portanto, = 20 atendimentos/ hora.

Logo: TF = 6/ (20(20-6)) = 0,021 hora ou 1,28 minutos.

Modelo M/M/1

Exemplo: A Cabine telefnica

4) Qual a frao do dia durante a qual o telefone est em uso?

A frao do dia durante a qual o telefone est em uso exatamente igual a (1-P0),isto , a probabilidade de que existam pessoas no sistema. Conformecalculado no item a, este valor 30%.

Modelo M/M/1

mesnetTypewriter

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Referncia Bibliogrfica