北数教 第 91 回数学教育実践研究会 平成 26 年 11 月 29 日(土) アスティ45 -1- 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 m 2 n 4 ベータ関数とガンマ関数を視覚化する 自然数から正の実数そして複素数へ拡張する 松本睦郎(札幌北高等学校) センター試験で良く利用される「ロクブンのイチ」と呼ばれる公式 න ( ݔെ ߙ)( ߚെ ݔ) ݔൌ 1 6 ( ߚെ ߙ) ଷ ఉ ఈ は、ベータ関数の仲間である。ベータ関数とガンマ関数と呼ばれる特殊関数を視覚化してみる。 Episode1ベータ関数の定義 ǡ 自然数 ܤ( ǡ ) ൌ න (ͳെ ݐ) ଵ ݐଵ ݐଵ とするとき、 ܤ( ǡ )= (െͳ )! (െͳ )! (െͳ )! Proof 部分積分法により ܤ( ǡ )= (ͳെ ݐ) ଵ × ݐ ൨ ଵ + െͳ න (ͳെ ݐ) ଶ ݐ ݐଵ B( ǡ )= െͳ B( െ ͳǡ ͳ ) 以下同様にして、この操作を繰り返す。 B( ǡ ) = (െͳ )(െʹ )(െ͵ ) ⋯1 (ͳ )(ʹ ) ⋯ (െʹ ) ܤ(ͳǡ െ ͳ ) B(ͳǡ െ ͳ ) ൌ න ݐ ାଶ ݐൌ 1 െͳ ଵ ܤ( ǡ ) = (െͳ )! (െͳ )(െʹ ) ⋯1 (െͳ )(െʹ ) ⋯ ( )(െͳ )! = (െͳ )! (െͳ )! (െͳ )! ■ ǡ を正の実数に拡張すると、 ǡ を2変数関数 とする曲面が見られる。(↓)