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Notas de Clase Teora Electromagntica

Neil Anais Torres Lpez, MSc. Facultad de Ciencias Bsicas Departamento de Fsica Barranquilla 2005

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ndice generalPrlogo 1. Ecuaciones de Maxwell 1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Carga Elctrica . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . 1.5. Polarizacin y Desplazamiento Elctrico 1.6. Ley de Ampre . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Magnetizacin y Campo Magntico . . . 1.8. Ley de Induccin de Faraday . . . . . . . 1.9. Corriente de Desplazamiento . . . . . . . 1.10. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . 1.11. Condiciones de Frontera . . . . . . . . . 1.11.1. Caso Electrosttico . . . . . . . . 1.11.2. Caso Magnetosttico . . . . . . . 1.12. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . .VII

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3 3 3 5 7 10 16 23 26 27 28 29 29 30 31 35 35 37 39 39 40 44 55 57

2. Electrosttica en el Vaco 2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Potencial Elctrico . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . 2.3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Solucin de la Ecuacin de Poisson 2.3.3. Solucin de la Ecuacin de Laplace 2.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Problemas Varios de los Captulos 1 y 2 . iii

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iv 3. Electrosttica en la Materia 3.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Dielctricos Lineales . . . . . . . . . . . . . 3.3. Dielctricos Lineales Isotrpicos . . . . . . . 3.4. Dielctricos Lineales Isotrpicos Homogneos 3.4.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Cavidad. Deniciones de E y D. . . . . . 3.6. Energa Electrosttica . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Problemas Varios Captulo 3 . . . . . . . . . 4. Campos y Corrientes Estacionarios 4.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Condiciones de Frontera . . . . . . . 4.3. Magnetosttica . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . 4.4. Potencial Escalar Magntico . . . . . 4.5. Problemas con Valores en la Frontera 4.5.1. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . 4.5.2. Ejemplo 3 . . . . . . . . . . . 4.6. Potencial Vectorial Magntico . . . . 4.7. Inductancia y Energa Magntica . . 4.7.1. Ejemplo 4 . . . . . . . . . . . 4.8. Energa Magnetosttica. . . . . . . . 4.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Problemas Varios Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NDICE GENERAL 61 61 62 62 63 64 67 72 75 78 79 81 83 83 83 88 88 90 90 90 93 96 99 101 101 103 105 107 107 107 109 110 114 117 119 121

. . . . . . . . . . . . (l, i, h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. Ondas Electromagnticas 5.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Ecuacin de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Ondas E.M. Planas en un Dilctrico (l, i, h) . 5.3.1. Solucin de la Ecuacin de Onda . . . 5.4. Ondas E.M. Planas en un Conductor (l, i, h) . 5.5. Potenciales Retardados . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Solucin de Ecuaciones de Onda . . . . 5.6. Flujo de Potencia E.M. y Vector de Poynting .

NDICE GENERAL

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5.7. Uso de los Campos Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.8. Flujo de Energa en una Onda E.M. Plana . . . . . . . . . . . 125 5.9. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6. Propagacin de Ondas E.M. 6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Condiciones en la Frontera . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. R. y R. en la Frontera de dos Medios no Conductores. 6.4. R. y R. en la Frontera de dos Medios no Conductores. 6.5. Reexin en un Plano Conductor. I.N. . . . . . . . . A. Expresiones Matemticas Importantes A.1. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Teorema de la Divergencia . . . . . . . A.6. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.N. I.O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 . 129 . 129 . 134 . 138 . 142 . . . . . . 147 147 148 148 149 150 150 153

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NDICE GENERAL

PrlogoLos tiempos han cambiado, y hoy el inters principal se centra en los orgenes, propiedades y naturaleza de los campos electromagnticos, es decir, de las cantidades elctricas y magnticas vectoriales que se denen en funcin del tiempo y de la posicin en el espacio. Las fuerzas y sus conceptos relacionados, tales como la energa, no ha dejado desde luego de tener importancia y es conveniente iniciar el estudio con las fuerzas y denir los vectores de campo en funcin de ellas. Sin embargo, la intensin principal consiste en expresar las discrepancias de los fenmenos en funcin de los campos de una manera tan completa como sea posible. Este nfasis sobre los campos ha demostrado ser de gran utilidad, y resulta ahora difcil de imaginar cmo se hubiera podido desarrollar la teora electromagntica hasta su actual nivel sin el uso de los campos. Estas Notas constituyen el contenido del curso de Teora Electromagntica que se imparte en la Especializacin en Fsica General y en el pregrado en Fsica de la Universidad del Atlntico. El curso comienza con la presentacin de las ecuaciones de de Maxwell, luego se aplican para el espacio libre y para medios con propiedades elctricas y magnticas bien denidas, se culmina resolviendo las ecuaciones para llegar las ondas electromagnticas y su propoagacin en diferentes medios. Para una mejor compresin del desarrolo de este curso es necesario tener muy claro los conocimientos bsicos del analisis vectorial, un resumen de lo que necesita se presenta en el apndice A. Se supone adems que el estudiante est familiarizado con los aspectos y los fenmenos elementales de la Electricidad y del Magnetismo: Ley de Coulomb, Induccin electromagntica, campos magnticos creados por corriente elctricas, fuerza de Lorenz, etc. Sin embargo se revisaran algunos conceptos bsicos. Es necesario aclarar que temas muy importantes como el Mtodo de Imagenes para la solucin de problemas electrostticos y la Propagacin de Ondas vii

viii

PREFACE

Electromagnticas en guas de onda y lneas de trasmisin seran desarrollados como trabajo independiente de los estudiantes. Estas notas estn diseadas tomado como fuente varios autores y as facilitar el trabajo para los estudiantes, pero el autor agradece cualquier sugerencia por parte de colegas y estudiantes para mejorarlas. NEIL TORRES LPEZ [email protected] [email protected] Barranquilla, junio de 2005

PREFACE

1

...Faraday visualizaba lneas de fuerza que atravesaban todo el espacio donde los matemticos slo vean centros de fuerza que actuaban a distancia; Faraday vea un medio donde ellos nicamente vean distancia; Faraday busc la fuente de los fenmenos a partir de acciones reales que se llevaban a cabo en el medio, mientras aqullos quedaron satisfechos con haberla encontrado en el poder de accin a distancia de los uidos elctricos. - J. C. Maxwell, Tratado de Electricidad y Magnetismo

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PREFACE

Captulo 1 Ecuaciones de Maxwell1.1. Introduccin

Las cuatro ecuaciones que se van estudiar, denominadas ecuaciones de Maxwell, representan una generalizacin de algunas observaciones experimentales. Sin embargo, la aplicabilidad a cualquier situacin puede ser vericada. Como resultado del extenso trabajo experimental, se sabe ahora que las ecuaciones de Maxwell se aplican a casi todas las situaciones macroscpicas y se usan generalmente, como la conservacin del momentum, como principio gua.

1.2.

Carga Elctrica

La carga elctrica es una propiedad fundamental y caracterstica de las partculas elementales que forman la materia. Todo material est compuesto fundamentalmente por protones, neutrones y electrones, y dos de estas partculas tienen carga. Existen dos y slo dos tipos de carga, la positiva que reside en los protones y la negativa que reside en los electrones; los neutrones no tienen carga. Cada electrn y protn, en valor absoluto, la carga elemental e = 1,60217733 1019 C. La carga elctrica est cuantizada, es decir toda carga existente en la naturaleza es un mltiplo entero de la carga elemental. Es una observacin experimental que la carga no puede crearse ni destruirse; la carga total en un sistema cerrado no puede cambiar, desde un punto de vista macroscpico las cargas pueden reagruparse y combinarse en distintas formas; sin embargo, se puede establecer que la carga neta se conserva en 3

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CAPTULO 1. ECUACIONES DE MAXWELL

un sistema cerrado; esto se conoce como el Principio de Conservacin de la Carga y est determinado por la Ecuacin de Continuidad que se deduce a continuacin. Se sabe que la densidad de corriente est relacionada con la densidad volumtrica de carga por: J = v (1.1) donde v es la velocidad de desplazamiento de los portadores de carga. Por otro lado se tiene que la corriente que atravieza una supercie S es ZZ n (1.2) I= Jb daS

Considerando una supercie cerrada S arbitraria que limita a un volumen V , la corriente ser ZZ I= Jb da n (1.3)S, cerrada

b el signo menos se debe a que n es la normal hacia afuera y se desea considerar que I es positiva cuando el ujo neto de carga es del exterior al interior de V . Utilizando el teorema de la divergencia se tiene ZZ ZZZ I= Jb da = n J dv (1.4)S, cerrada V

adems

d dQ = I= dt dt

ZZZV

dv

(1.5)

de la dos ltimas ecuaciones se llega a ZZZV

J dv =

d dt

ZZZV

ZZZ J+ dv = 0. dv = dvV

Como V es un volumen arbitrario, entonces J+ = (v) + = 0 Ecuacin de Continiudad dv dv (1.6)

1.3. LEY DE COULOMB

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Figura 1.1: Sistema de dos cargas puntuales q y q 0

1.3.

Ley de Coulomb

Hacia nes del siglo XVIII las tnicas experiementales de la ciencia lograron suciente perfeccionamiento para hacer posible observaciones renadas de las fuerzas entre cargas elctricas. Los resultados de estas observaciones, que eran extremadamente discutidas en aquella epoca, pueden resumirse en tres expresiones: Hay dos y slo dos tipos de carga, conocidas ahora como positiva y negativa. Dos cargas puntuales ejercen entre s fuerzas que actan sobre la lnea que las une y que son inversamente proporcionales del cuadrado de su distancia de separacin. Estas fuerzas son tambin proporcionales al producto de las cargas, son repulsivas para cargas del mismo tipo, y actractivas para cargas de tipos contrarias. Las dos ltimas expresiones, con la primera como prembulo, se conocen como Ley de Coulomb en honor a Charles Augustin Coulomb, quien fue uno de los destacados estudiantes de electricidad del siglo XVIII. Esto se puede expresar, utilizando la gura 1.1, como Fq0 = k qq 0 r qq 0 b=k 3 r r2 r (1.7)

La constante de proporcinalidad k es k = 8,98755 109 N m2 C2 , tambin 1 puede expresarse como, k = 4 0 ; donde 0 es la permitividad elctrica del

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Figura 1.2: Sitema de n cargas puntuales que interaccionan con la carga q 0 .

espacio libre, 0 = 8,854187817 1012 C 2 N 1 m2 . Ahora sepuede escribir la ley de Coulomb de la siguiente manera Fq0 = 1 qq0 r 4 0 r3 (1.8)

Cuando se tiene un sistema de cargas puntuales q1 , q2 , , qi , , qn , como el que se muestra en gura 1.2, se puede hallar la fuerza sobre la carga q 0 superponiendo la n fuerzasn n X 1 qi q0 ri X 1 qi ri 0 Fq0 = =q 3 3 4 0 ri 4 0 ri i=1 i=1

(1.9)

Se dene el campo elctrico E como la fuerza por unidad de carga Fq0 = q0 E comparando con la ecuacin 1.9 se llega an n r 1 X qi ri 1 X qibi E= = 3 2 4 0 i=1 ri 4 0 i=1 ri

(1.10)

(1.11)

1.4. TEOREMA DE GAUSS

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Figura 1.3: Distribucin continua de carga en un volumen V0 , donde t es la densidad volumtrica de carga elctrica, tambin se puede dar el caso de estar distribuida en una supercie o un hilo.

Para una distribucin contnua de carga, como en la gura 1.3, se tiene que ZZZ r 1 tbdv E= (1.12) 4 0 r2V0

1.4.

Teorema de Gauss

En esta seccin se demostrar que ZZ Q 1 X E da = = qi0 0 S, cerrada i

(1.13)

donde Q =

por la supercie cerrada S, como se muestra en la gura 1.4 Se utiliza la ecuacin 1.11 para escribir ZZ ZZ bi da r 1 X E da = qi 2 4 0 i riS, cerrada S, cerrada

Xi

qi es igual a la carga total contenida en un volumen V limitado

(1.14)

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Figura 1.4: Una supercie cerrada S que limita un volumen V , donde reside una carga elctrica neta Q.

Figura 1.5: Evaluacin del teorema de Gauss en el caso en que la carga qi est dentro de la supercie cerrada S.

1.4. TEOREMA DE GAUSS

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Figura 1.6: Evaluacin del teorema de Gauss cuando la carga qi est en el exterior de la supere cerrada S.

Considerando el caso en que qi est dentro de la supercie cerrada S, ver gura 1.5bi da r 2 ri

=

da cos 2 ri

=

area a ri 2 ri

= d

Considerando el caso en que qi est en el exterior de la supercie cerrada S, como se observa en la gura 1.6 En este caso tenemos dos elementos de rea da1 y da2 cada uno de los cuales substiende el mismo ngulo slido d respecto a la carga qi . Sin embargo, para da2 el sentido es hacia qi , mientras que para da1 es alejarse de qi . Por consiguiente, las contribuciones de da1 y da2 son iguales y opuestas, o sea da2 bi da1 bi r r = d = 2 2 ri1 ri2 ZZ bi da r =0 2 ri (1.16)

este es elemento de ngulo slido substendido por da a partir de qi . Por lo tanto ZZ ZZ bi da r = d = 4 (1.15) 2 riS, cerrada S, cerrada

por lo que la integral total

(1.17)

S, cerrada

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tomando los resultados obtenidos en las ecuaciones 1.14, 1.15 y 1.17 escribimos ZZ ZZ bi da r 1 X 1 X Q Eda = qi = qi = (1.18) 2 4 0 Dentro ri 0 Dentro 0S, cerrada S, cerrada

pero se sabe que Q= ZZZV

t dv

donde V es el volumen limitado por la supercie cerrada S, entonces ZZZ ZZ 1 Eda = t dv (1.19)0 S, cerrada V

Utlizando el teorema de la divergencia, se llega a: ZZZ ZZ ZZZ 1 Eda = t dv = E dv.0 S, cerrada V V

Como V es un volumen arbitrario, se puede escribir E= t0

(1.20)

1.5.

Polarizacin y Desplazamiento Elctrico

Hasta ahora, no se ha considerado el caso en que intervienen dielctricos. Un material dielctrico ideal es el que no contiene cargas libres. Sin embargo, todos los medios materiales se componen de molculas, stas a su vez se componen de entes cargados ( ncleos y electrones atmicos), y las molculas de los dielctricos son de hecho afectadas por la presencia de un campo elctrico. El campo elctrico produce una fuerza sobre cada partcula cargada, siendo impulzadas las partculas de carga positiva en la direccin del campo, y las negativas en direccin opuesta, de modo que las partes positivas y negativas de cada molcula se desplazan en sus posiciones de equilibrio en direcciones

1.5. POLARIZACIN Y DESPLAZAMIENTO ELCTRICO

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Figura 1.7: El centro de la carga positiva sufre un desplazamiento d con respecto al centro de la carga negativa en la misma direccin del campo elctrico externo, una conguracin como esta constituye un dipolo elctrico.

opuestas, conformamdo as los dipolos elctricos, como el que se muestra en la gura 1.7, a los cuales se le dene el momento dipolar elctrico como p =qd (1.21)

No obstante, estos deplazamientos estn limitados (en la mayora de los casos a fracciones muy pequeas de un dimetro molecular) por intensas fuerzas restauradoras que se forman por el cambio de la conguracin de la carga de la molcula. El efecto total desde el punto de vista macrocpico se visualiza con mayor claridad como un desplazamiento de toda la carga positiva en el dielctrico con relacin a la carga negativa. Se dice que el dilctrico est polarizado. Se dene el vector polarizacin elctrica como el promedio de los dipolos por unidad de volumen. Por ejemplo si se tienen N molculas en un volumen V de momento dipolar p, entonces la polarizacin es P= Np V (1.22)

Cuando la polarizacin es uniforme, la densidad promedio de carga positiva es numricamente igual a la densidad de carga negativa y por lo tanto la densidad de carga es cero. Cuando P no es uniforme las densidades de carga positiva y negativa no se cancelan resultando as una densidad de carga neta, denominada p : densidad de carga ligada o de polarizacin.

12


Cuando en un material hay tanto la densidad de carga libre y la densidad de carga ligada p , la densidad de carga total es t = + p Por lo tanto la ecuacin 1.20 se puede escribir como ( 0 E) = + p (1.24) (1.23)

Se encontrar ahora la relacin entre p y la polarizacin P; se denen dos densidades de carga + y como las que representan la carga total positiva y la carga total negativa por unidad de volumen, respectivamente. Esto es + representa todos los ncleos atmicos en la unidad de volumen del material y, semejantemente, tine en cuenta todos los electrones. En el estado no polarizado, cada elemento de volumen del dielctrico es electricamente neutro, por tanto + + = 0 0 0 (1.25)

donde el subndice 0 representa las densidades en la conguracin no polarizada. Suponiendo, que como consecuencia de la polarizacin la carga positiva se de splaza + (x, y, z) y la negativa (x, y, z). La carga positiva que atraviesa un elemento de rea da es + + da y as el aumento de carga positiva en 0 el elemento de volumen v durante el proceso de polarizacin es ZZ + + da 0S, cerrada

donde S es la supercie cerrada que limita a v. Anlogamente, el desplazamiento de la carga negativa aumenta la carga (disminuye la carga negativa) ZZ 0 daS, cerrada

Por lo que el aumento total de la carga por el elemento de volumen v, teniendo en cuenta la ecuacin 1.23, es

1.5. POLARIZACIN Y DESPLAZAMIENTO ELCTRICO Qp = ZZS

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+ 0

ZZZ h + i da = + + dv = 0v h i + + v 0

y como podemos identicar a P como P =+ + 0 lo cual quiere decir que p =Qp , v

entonces (1.26)

p = P

Al remplazr en la ecuacin 1.24, se obtiene ( 0 E) = P o sea ( 0 E + P) = donde es la densidad de carga libre. Es conveniente denir el vector Desplazamiento Elctrico D = 0 E + P (1.27) de tal manera que D= (1.28) esta es la llamada Ley de Gauss en forma diferencial, es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell. A continuacin se analiza otra consecuencia de la ley de Coulomb, para lo cual se calcula la integral de lnea del campo elctrico producido por un sistema de cargas puntuales desde el punto 1 hasta el punto 2 de la gura 1.8 Z21

(1.29) Este resultado nos indica que la integral de lnea es independiente del camino, cuando ri2 = ri1 se tiene que I Edl =0

Z Z n n n bi dl 1 X 1 r dri 1 1 X 1 X Edl = qi = qi = qi 2 2 4 0 i=1 ri 4 0 i=1 ri 4 0 i=1 ri2 ri12 2 1 1

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Figura 1.8: Trayectoria arbitaria entre los puntos 1 y 2 para comprobar que el campo elctrico, producido por un sistema de cargas puntuales, es consevativo.

entonces aplicando el teorema de Stokes ZZ ( E) dl = 0S

y como S es una supere arbitraria, obtenemos E =0 (1.30)

o sea el campo elctrico dado por la ley de Coulomb es consevativo. Por consiguiente se puede escribir E = donde es la funcin potencial, adems se observa que Z21

(1.31)

Edl =

Z21

dl =

Z21

d = (2 1 )

1.5. POLARIZACIN Y DESPLAZAMIENTO ELCTRICO

15

Figura 1.9: Dipolo elctrico, el potencial se calcula para puntos que cuplen que r >> d.

comparando con la ecuacin 1.29 se llega a =n X i=1

qi 4 0 ri

(1.32)

expresin que representa el potencial para un sistema de cargas puntuales en un punto exterior P , ri representa la distancia de i esima carga qi al punto P . Similarmente como se procedi par el campo elctrico para extender la expresin anterior al caso de una distribucin contina de carga, con densidad de carga t ZZZ t dv 1 = (1.33) 4 0 rV0

Ejemplo: Potencial de un dipolo elctrico Se considera que el punto P de la gura 1.9 se encuentra alejado del dipolo es decir r >> d. El potencial viene expresado por q q r2 r1 1 1 = 4 0 r1 r2 = 4 0 r1 r2

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Figura 1.10: Diagrama para calcular las fuerzas entre corrientes.

De la gura 1.9 podemos aproximar: r2 r1 d cos y r1 r2 r2 ; entonces = como p = qd = = por lo tanto dipolo =p cos 4 0 r2 q 40

d cos r2

=

r pb ; 4 0 r2

pr 4 0 r3

(1.34)

1.6.

Ley de Ampre

Ampre estudi las fuerzas entre corrientes cerradas, atendiendo a ese resultado podemos escribir que la fuerza entre elementos innestecimales, ver gura 1.10, es d (dF1 ) = [dl1 (dl2 r)] 0 I1 I2 4 r3 (1.35)

1.6. LEY DE AMPRE

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Figura 1.11: Manera como se calcula la induccin magntica B en un punto P producido por circuito lamentario.

donde d (dF1 ) es la fuerza sobre el elemento de corriente I1 dl1 debido al elemento de corriente I2 dl2 , 0 = 4 107 N A2 . La fuerza total sobre el elmento I1 dl1 es I 0 Idl r dF1 = I1 dl1 (1.36) 4 r3c

Denimos la induccin magntica B como dF1 = I1 dl1 B entonces B= 0 4 I Idl r r3 (1.37)

(1.38)

c

donde la integral debe realizarse sobre un circuito completo y se obtiene la induccin magntica en un punto P , como se ilustra en la gura 1.11 Considerando que la corriente I est constituida por portadores de carga q con velocidad v que pasan por el rea A en un tiempo dt, como se ilustra en la gura1.12 (Av) dl = Idl = (Adl) v = qv por lo que se puede escribir Idl =qv (1.39)

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Figura 1.12: Portadores de carga q y velocidad v que atrviesan un rea A en el tiempo dt.

Por lo que la fuerza magntica ser Fm = qv B (1.40)

En una regin donde exista tanto campo magntico como campo elctrico, la fuerza total llamada fuerza de Lorentz. F =q (E + v B) Regresando a la ecuacin 1.38, se tiene I 0 dl r B= I 4 r3C

(1.41)

(1.42)

Si se utiliza la idntidad vectorial (F G) = G ( F) F ( G) para este caso se tiene

1.6. LEY DE AMPRE

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Figura 1.13: Circuito cerrado que produce una induccin magntica B en el punto P.

como dl no depende de las coordenadas dl = 0, por lo que la ecuacin 1.42 se convierte en I r 0 (1.43) Idl 3 B= 4 r pero se puede vericar que rr3 C

dl rr3 =

r r3

dldl

rr3

= 0, se obtiene (1.44)

B =0

conocida como la ley de Gauss para el megnetsmo, en su forma diferencial; esta es otra de las cuatro ecuaciones de Maxwell. Se procede ahora a la evaluacin del rotacional de B, considerando un circuito cerrado que produce una induccin magntica B en el punto P , como el mostrado en la gura 1.13 Sea el angulo slido substendido por el punto P y el circuito. Suponiendo que se produce un desplazamiento d del punto P ; el cambio de ngulo slido d debido a este desplazamiento, lo podemos considerar como la suma de los ngulos slidos substendidos por los rectangulos formados por dl y d, o sea

20 d =

CAPTULO 1. ECUACIONES DE MAXWELL X (ddl)( r )r

r2

d

I

dlr r3

= d

C

como se puede apreciar debe ser evaluado en el punto P y adems I = dlr r3C

introducciendo este resultado en la ecuacin 1.38, se llega a I B = 0 = 0 m 4

(1.45)

O sea que la induccin magntica se escribe como el negativo del gradiente de una cantidad escalar. La cantidad m = I se denomina potencial escalar 4 magntico. Para este caso B = 0, pero este resultado no es general, como se vera a continuacin. Utilizando la ecuacin 1.45 se tiene I I I 0 I 0 I Bdl = 4 d = 0 I dl = 4 4C C C

de donde se deduce que B = 0 Segundo Caso. Suponiendo que la trayectoria de integracin envuelve a la corriente, por simplicidad se supone que partimos de A y llegas a B, como se muestra en la gura 1.15 En el punto A : = 2 y en B, = 2. Lo cual conduce a que = (2) 2 = 4

donde es la varacin del ngulo slido al realizarse la integracin. Pueden suceder dos casos: Primer Caso. Suponiendo que el camino de integracin es el mostrado en la gura 1.14 En tal caso el ngulo inicial es el mismo nal, entonces = 0, de tal manera que utilizando el teorema de stokes I ZZ b Bdl =0 = ( B) ndaC S

1.6. LEY DE AMPRE

21

Figura 1.14: El camino C de integracin no enlaza la corriente I

Figura 1.15: El camino C de integracin enlaza la corriente I

22


Figura 1.16: Espira circular de corriente, se considra un dipolo magntico.

De al manera que se obtiene I Bdl = 0 I (1.46)

C

que

donde I Z Zla corriente encerrada por la trayectoria C. Por otro lado se sabe es b Jt nda, siendo Jt la densidad de corriente total, de tal manera que I =S

I

Bdl =

C

ZZS

Concluyendo entonces

b ( B) nda = 0 B = 0 Jt

ZZS

b Jt nda (1.47)

esta ecuacin se conoce como la Ley de Ampre, en su forma diferencial. Ejemplo. Dipolo magntico. El potencial escalar magtico debido a una espira de corriente, gura 1.16, se expresa como: I m = I = 4 S cos 4 r2

1.7. MAGNETIZACIN Y CAMPO MAGNTICO entonces

23

(IS) r 4r3 Denimos el momento dipolar magntico como m = m =IS de donde se llega a

(1.48)

(1.49)

mr (1.50) 4r3 similar a la expresin de la ecuacin 1.34 del dipolo elctrico, es por esto que en este caso se habla de dipolo magntico. m =

1.7.

Magnetizacin y Campo Magntico

Toda materia consiste fundamentalmente en tomos y cada tomo consite en electrones en movimiento. Estos cicuitos de electrones, cada uno de los cuales est connado a un slo tomo, son las que llamaremos corrientes atmicas. De tal manera que se tienen dos clases de corrientes: i. Una corriente verdadera que consiste en trasporte de carga, esto es, el movimiento de electrones libres o de iones cargados y ii. Corriente atmicas, que son corrientes puras que circulan sin dar origen a transporte de carga; sin embargo, ambas clases de corrientes pueden producir campo magntico. Una corriente I que circula alrededor de una trayectoria que encierra un rea vectorial diferencial dS, dene el momento dipolar magntico m =IdS (1.51)

Si hay n dipolos por unidad de volumen y se considera el volumen v, el momento dipolar magntico total es mtotal =nv X i=1

mi

(1.52)

Se dene la magnetizacin M como el momento dipolar megntico por unidad de volumen nv 1 X M = l m mi (1.53) v0 v i=1

24


Figura 1.17: Varios dipolos magnticos de momento m enlazados por ele lemento de trayectoria dl.

La gura 1.17 muestra varios dipolos magnticos m que forman un ngulo con el elemento de trayectoria dl, cada momento consta de una corriente I que circula alrededor del rea dS. Se est considerando por lo tanto un volumen pequeo dS cos dl o sea dSdl dentro del cual hay ndSdl dipolos magnticos. Al cambiar una orientacin arbitraria a este alineamiento parcial, la corriente ligada que cruza la supercie encerrada por la trayectoria (hacia b la izquierda cuando se recorre en la direccin ul ) se ha incrementado en I para cada uno de los ndSdl dipolos. Entonces dIm = nIdSdl = Mdl I por lo tanto Im = o tambin Im = entonces I Mdl = ZZS

Mdl

C

b Jm nda b Jm nda

C

ZZS

1.7. MAGNETIZACIN Y CAMPO MAGNTICO y aplicando el teorema de stokes ZZ ZZ b b ( M) nda = Jm ndaS S

25

de donde se llega a

Jm se denomina densidad de corriente de magnetizacin o ligada. Como se sabe de la ecuacin 1.47 B = 0 Jt y Jt = J + Jm pudiendose escribir que: o sea que B 0

Jm = M

(1.54)

= J + Jm = J + M B 0

denimos (para que se siga cumpliendo la ecuacin rotacional) el vector Intensidad del campo magntico como H= B M 0 (1.55)

M =J

Se puede escribir la ley de Ampre para caulquier medio de la siguiente manera H=J (1.56) en este caso J es la densidad de corriente libre o no ligada. De las ecuaciones 1.44 y 1. 55 se llega a B =0 = 0 ( H + M) entonces Haciendo una analogia con la ecuacin 1.26 se puede der la cantidad m como la densidad de polo magntico como: m = M y H =m (1.59) (1.58) H = M (1.57)

26


Figura 1.18: Diagrama que ilustra la ley de Faraday.

1.8.

Ley de Induccin de Faraday

Los resultados de un gran nmero de experiemntos pueden resumirse asociado una f.e.m. con el cambio de ujo magntico. Este resultado se conoce como la ley de Faraday que dice: Todo ujo magntico variable en el tiempo que atraviesa un circuito, induce en este una f.e.m. proporcional a la rapidez de variacin del ujo magntico. = teniendo como referencia la gura 1.18 m = ZZS

dm dt I

(1.60)

Bbda y = n

Edl

C

pudiendo escribir la ley de Faraday como ZZ I d Edl = Bbda n dtC S

(1.61)

donde C es la curva que limita la supercie S. Si se aplica el teorema de Stokes se escribe entonces

1.9. CORRIENTE DE DESPLAZAMIENTO I Edl = ZZS

27 b ( E) nda

B n b da = t

C

ZZS

de tal manera que E=

B (1.62) t esta ecuacin es la ley de Faraday en su forma diferencial, y es otra de las cuatro ecuaciones de Maxwell.

1.9.

Corriente de Desplazamiento

Maxwell encontr que exista una contradiccin entre la ley de Ampre (ecuacin 1.56) y la ecuacin de continuidad (ecuacin 1.6), lo que lo condujo a introducir un trmino llamado corriente de desplazamiento, esto lo hizo teoricamente sin ninguna experimentacin y fue comprobada muchos aos despus. Se vera a continuacin dicha contradiccin. Como se sabe la divergencia de un rotacional es cero y de las ecuaciones 1.56 y 1.6 se tiene: ( H) = 0 = J = 6= 0 t Maxwell resolvi esta contradiccin cuando introdujo un trmino adicional a la ley de Ampre (1.63) H = J + Jd Al calcular la divergencia a esta ecaucin ( H) = J + Jd = 0 ahora partiendo de la ecuacin de continuidad (ecuacin 1.6) Jd = J = t Usando la ecuacin 1.28 se escribe t

= D t

de tal manera

28

CAPTULO 1. ECUACIONES DE MAXWELL Jd = D t

o sea que se puede escribir que Jd = D t (1.64)

densidad de corriente de desplazamiento. Remplazando en la ecuacin 1.63 H = J+ D t (1.65)

es conocida como la ley de Ampre-Maxwell en su forma diferencial y es la ltima de las ecuaciones de Maxwell.

1.10.

Ecuaciones de Maxwell

Las ecauciones bsicas del electromagnetismo se pueden resumir en las llamadas ecuaciones de maxwell, deducidas en este captulo. TABLA 1.1 ECUACIONES DE MAXWELL N 1 2 3 4 Nombre Ley de Gauss- Caso elctrico Ley de Faraday Ley de Gauss- Caso magntico Ley de Ampre Maxwell Expresin D= E = B t B =0 H = J+ D t N de la Ec. 1. 28 1. 62 1. 44 1. 65

Existen otras expresiones complementarias TABLA 1.2 RELACIONES ENTRE LOS VECTORES DE CAMPO N 1 2 Expresin N de la Ec. D = 0 E + P 1. 27 B H = M 1. 550

1.11. CONDICIONES DE FRONTERA

29

Figura 1.19: Condiciones de frontera electrostticas para los medios 1 y 2, se ha b tomodo el vector normal n el que se dirige del medio 1 al medio 2.

1.11.

Condiciones de FronteraCaso Electrosttico

1.11.1.

Al aplicar la ley de Gauss para el pequeo cilindro, mostrado en la gura 1.19 ZZ n Db da = Qcilindro

La altura del cilindro es muy pequeo, lo suciente para que la base superior est en el medio 2 y la base superior est en el medio 1, de tal manera que no contribuye a la integral y adems Q = S + 1 (1 + 2 ) v 2 como v 0, se escribe que Q = S, carga en la supercie de separacin entre los medios intesectada por el cilindro; por lo que la integral queda: b b (D1 n1 + D2 n2 ) S = S b (D2 D1 ) n =

entonces

(1.66)

30


b donde n es el vector unitario normal que va del medio 1 al medio 2, como se seala en la fgura 1.19; pudiendose escribir entonces D2n D1n =

(1.67)

Esto quiere decir que, la dicontinuidad en la componente normal de D est determinada por la densidad supercial de carga libre en la supercie de separacin. Apliquemos ahora la condicin para campo electrosttico I Edl =0

C

a la trayectoria mostrada en la gura 1.19; se debe considerar que el ancho es muy pequeo y no contribuye a la integral, o sea I Edl = E2 l2 + E1 l1 = 0 = E2t l E1t l = 0

C

lo que conduce a E1t = E2t (1.68) la componente tangencial del campo elctrico es continua al atravesar una supercie de separacin, tambin se acostumbra a escribir en la forma b n (E2 E1 ) = 0 (1.69)

1.11.2.

Caso Magnetosttico

Aplicando la ley de Gauss, para el caso magntico, al pequeo cilindro de la gura 1. 20, en forma similar como se procedi para el caso elctrico: ZZ n Bb da = 0 = B2n S B1n S = 0,

S, cerrada

concluyendo que B2n = B1n (1.70)

1.12. PROBLEMAS

31

Figura 1.20: Condiciones de frontera magnetostticas para los medios 1 y 2, se ha b tomodo el vector normal n el que se dirige del medio 1 al medio 2.

La componente normal de la induccin magntica es continua cuando atraviesa una supercie de separacin. Tambin se puede escribir b n (B2 B1 ) = 0 (1.71)

Aplicando ahora la ley de Ampre a la trayectoria rectangular de la gura 1.20: I Hdl =I = H2t L H1t l = KlC

donde K es la componente de la corriente supercial normal al plano de la trayectoria, de donde H2t H1t = K (1.72) o tambin b n (H2 H1 ) = K (1.73)

La discontinuidad de la componente tangencial de H es igual a la densidad supercial de corriente.

1.12.

Problemas

1. Una partcula de masa m y carga positiva q se mueva en un plano perpendicular a una induccin magntica B uniforme. Demostrar que la partcula

32


se mueve en una circunferencia con mdulo de la velocidad constante y el radio de la circunferencia dado por r=mv qB

2. Una partcula de carga de carga q y masa m mueve con una velocidad v0 (segn el eje +X) entra en una regin donde hay un campo magntico (segn el eje +Y ). Mostrar que, si la velocidad v0 es sucietemente grande como para que el cambio de direccin sea despreciable y la fuerza magntica se pueda considerar constante y paralela al eje Z, la ecuacin de la trayectoria de la partcula es qB z = 2v0 m x2 3. En una cierta regin hay un campo elctrico (segn el eje +Y ) y uno magntico (segn el eje +X), ambos uniformes. Se inyecta una partcula, con carga q y masa m, con velocidad v0 paralela al campo magntico. a. Escribir la ecuacin de movimiento de la partcula en coordenadas rectangulares. b. Mostrar, por sustitucin directa, que las cmponentes de la velocidad al tiempo t son vx = E v0 qB vy = B sin m t E vz = B 1 cos qB t m

c. Del resultado precedente, obtener las coordenadas de la partcula al tiempo t, si parte del origen. d. Hacer un grco de la trayectoria. 4. Un dipolo elctrico de momento p est dentro de un campo elctrico E uniforme. Demostrar que el torque sobre el dipolo viene dado por = p E 5. Hallar las componentes rectangulares del campo elctrico producido por un dipolo elctrico. 6. Se da una lnea recta innitamente larga cargada con densidad de carga uniforme , por unidad de longitud. Por integracin directa, hallese el campo elctrico a una distancia r de la lnea.

1.12. PROBLEMAS

33

7. Una distribucin de carga esfrica tiene una densidad de carga volumtrica que es funcin nicamente de r, la distancia al centro de la distribucin. En otras palabras = (r). Si (r) es como se indica a continuacin, determinese el campo lctrico en funcin de r. A siendo A una costante, para 0 r R r a. (r) = 0, para r > R 0 , constante, para 0 r R b. (r) = 0, para r > R 8. Un alambre conductor recto lleva una corriente I, hallar por integracin directa el campo de induccin magntica B a una distancia R del alambre. 9. Una esprira circular de radio R lleva una corriente I, hallar la induccin magntica B en puntos sobre el eje de la espira. 10. Se d un circuito de corriente que tiene forma de un hexgono regular de lado a. Si el circuito conduce una corriente I, hllese la induccin magntica en el centro del hexgono. 11. Se d una franja delgada de metal de anchura y muy larga. La corriente en la franja es lo largo de su longitud; la corriente total es I. Hllese a. La induccin magntica en el plano de la franja a una distancia b del borde ms prximo. b. La induccin magntica a una distancia d por encima de la franja, perdedicular a la recta que pasa por centro de la franja a lo largo de ella. 12. Utilizando la ley de Ampre, hllese la induccin magntica a una distancia r del centro de un cilindro largo de radio R que conduce una corriente I. Hgase esto tanto para r > R, como para r < R, donde R es el radio del cilindro. 13. Un gran nmero de vueltas muy prximas a unas con otras, de un alambre no, se enrrollan en una sola capa sobre la supercie de una esfera de madera de radio R, con los planos de las vueltas perpendiculares al eje de la esfera y cubriendo completamente su supercie. Si la corriente en el enrrollado es I, determinese la induccin magntica en el centro de la esfera. 14. Un toroide se enrrolla uniformente, tiene N vueltas de alambre por las que pasa una corriente I. El radio interior del toroide es a, el exterior, b. a. Hllese la induccin magntica en puntos interiores al devanado toroidal. b b. Hllese la relacin a que permitir que B en el anillo no varie en ms del 25 %. 15. Una varilla metlica de longitud l gira respecto a un eje, que pasa y es perpendicular a la varilla, con una velocidad angular . El plano de rotacin

34


de la varilla es perpendicular a un campo magntico uniforme de induccin magntica B. Cul es la f.e.m. inducida entre los extremos de la varilla?.

Captulo 2 Electrosttica en el Vaco2.1. Introduccin

En la situacin esttica las derivadas con respecto al tiempo son nulas. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell 1.28 y 1.62 se tiene D = E=0 (2.1) (2.2)

adems en el vaco la polarizacin es cero, P = 0 y de la ecuacin 1.27 D = 0 E, la ecuacin 2.1 se convierte en E= 0

(2.3)

Las condiciones de frontera 1.66 y 1.69 toman la forma de b n (E2 E1 ) = 0

(2.4) (2.5)

A continuacin se dan algunos ejemplos que se pueden resolver facilmente utilizando algunos de las ecuaciones anteriores. Ejemplo: Campo de un plano cargado Considerando un plano innito cargado uniformente con densidad de carga por unidad de rea, gura 2.1. Por simetra E es normal al plano de igual 35

b n (E2 E1 ) = 0

36

CAPTULO 2. ELECTROSTTICA EN EL VACO

Figura 2.1: Plano innito cargado, divide el espacio en dos regiones la regin 1 y la regin 2.

b b magnitud en ambos lados del plano., por consiguiente n E2 = E y n E1 = E, ahora de la ecuacin 2.4 se tiene que 2E = , de tal manera que 0 E= 20

(2.6)

S, cerrada

Ejemplo: Campo fuera de una distribucin esfrica de carga Se supone que es independiente de los ngulos o sea = (r), donde r es la distancia medida desde el centro de la distribucin. Por simetra E est en la direccin radial mostrada el gura 2.2 y su magnitud E depende solamente de r. Si calculamos la integral de supercie sobre una esfera de radio r, E es b paralela al elemento de rea nda, entonces ZZ ZZZ ZZ ZZZ Q 1 2 Eb da = E n da = 4r E = dv = Edv =0 0 S, cerrada V V

Aqu hemos hecho uso del teorema de la divergencia y la ecuacin 2.3 Q es la carga total de la esfera. Por lo tanto E= Q 4 0 r2 (2.7)

2.2. POTENCIAL ELCTRICO

37

Figura 2.2: Distribucin de carga esfericamente simtrica con densidad volumtrica dependiente de r, = (r)

Este resultado es el mismo que el de una carga puntual Q ubicada en el centro de la distribucin; por lo que podemos inducir que el campo fuera de una distribucin de carga esfricamente simtrica es igual a que todo la carga se localizara en el centro de la distribucin.

2.2.

Potencial ElctricoE = (2.8)

Teniendo en cuenta la ecuacin 2.2, E = 0 entonces

cuando se conoce la distribucin de carga se puede escribir la expresin del potencial dada por la ecuacin 1.33 ZZZ 1 (r) dv (r) = (2.9) 4 0 rtodo el espacio

el potencial es medido en voltios y el campo E es medido en voltios/metro. Por otro lado, una supercie donde el potencial es constante (r) = cte. se denomina supercie equipotencial. Como E = y el gradiente siempre es perpendicualr a la supercie (r) = cte., entonces como el campo elctrrico

38


Figura 2.3: Lneas de campo y supercies equipotenciales, las lneas de campo son perpendiculares a las superes equipotenciales.

es tangente a las lneas de campo en cada punto, estas son perpendiculares a las supercies equipotenciales. Un ejemplo se muestra en la gura 2.3 Se dene un conductor como una regin donde las cargas se pueden mover bajo la accin de un campo elctrico externo. Considerando la situacin de equilibrio electrosttico, el campo en el interior de un conductor debe ser nulo, de no ser as habra movimiento de las cargas del conductor hacia la supercie. De aqu se deduce que el potencial en el interior de un conductor en equilibrio electrosttico es constante; por lo que la supercie conductora ser una supercie equipotencial y el campo debe ser entonces perpendicular a la supercie conductora. Al aplicar la ley de Gauss a la supercie punteada dentro del un conductor como en la gura 2.4 ZZ Q n Eb da = =0 (2.10)0 S

por lo tanto Q = 0 en el interior de S, como S es una supercie cualquiera en el interior del conductor, se puede concluir que en condiciones de equilibrio

2.3. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE

39

Figura 2.4: Conductor en equuilibrio electrosttico.

electrosttico, en el interior de un conductor, la carga neta es nula; por lo que de existir carga esta debe residir en la supercie. Aplicando la condicin de frontera, ecuacin 2.4, en una supercie conductora de la gura 2.5 b b E1 = 0 y E2 = E, el cual es paralelo a n o sea n E2 = E, entonces de la ecuacin 2.4 se obtiene0E

donde se ha hecho uso de la ecuacin 2.8. De la ecuacin 2.11 se aprecia que una vez conocida (r) se puede conocer la densidad supercial de carga en la supere conductora.

b = = 0 n

(2.11)

2.3.2.3.1.

Ecuaciones de Poisson y LaplaceIntroduccin

Se puede obtener una ecuacin diferencial para el potencial combinado las ecuaciones para el campo electrosttico: E = 0

(2.12) (2.13)

E =

40


Figura 2.5: El medio 1 es el conductor y medio 2 es el espacio libre.

donde es la densidad volumtrica de carga, es potencial y E es el campo elctrico. Al combinar las ecuaciones 2.12 y 2.13 se llega a: = 2 = 0

(2.14)

denominada la ecuacin de Poisson, cuya solucin se comprobar que es ZZZ 1 (2.15) dv (r) = 4 0 rT odo el espacio

Cuando en la regin la densidad de carga es nula, = 0, la ecuacin 2.14 se convierte el la ecuacin de Laplace: 2 = 0 (2.16)

2.3.2.

Solucin de la Ecuacin de Poisson

Se utiliza el denominado teorema de Green, el cual se obtiene partiedo de la siguiente expresin: () = 2 + (2.17)


41

Figura 2.6: Hueco esfrico en todo el espacio, de supercie y radio R, el vector unitario normal n va hacia el punto P , centro del hueco esfrico. b

donde y son funciones arbitrarias. Ahora por el teorema de la divergencia: ZZZ ZZZ ZZ b nda = 2 + dv () dv =S, cerrada V V

(2.18)

intercambiando y en la ecuacin 2.18 y restando se obtiene ZZZ ZZ b ( ) nda = 2 2 dvS, cerrada V

(2.19)

expresin conocida como el teorema de Green. Aplicado al caso que = 1 , donde se hace innito en el origen. Se escoge r un punto P en el que se est interesado como centro de un hueco esfrico de radio R (gura 2.6) y se aplicala ecuacin 2.19 excepto en la esfera Se aprecia que 2 = 2 1 = 0, puesto que 1 es una solucin de la r r ecuacin de Laplace (ecuacin 2.16) De la gura 2.6 se observa lo siguiente: b nda = d da da = 2 dr r (2.20)

42 y


remplazando en la ecuacin 2.19 ZZZ ZZ ZZ da 2 da = + r2 r r r Vesf era esf era

b nda =

da r

(2.21)

(2.22)

donde es la supercie del hueco esfrico y V es el volumen de todo el espacio excepto el del hueco esfrico. Como en la supercie de la esfera r = R, se puede escribir que ZZ ZZ da 1 1 = 2 da = 2 4R2 (2.23) r2 R Resf era esf era

donde es el valor medio de en la supercie del hueco esfrico. Similarmente. ZZ da = 4R (2.24) r r resf era

por lo que la ecuacin 2.22 se convierte en ZZZ 2 4 + 4R = dv r r V

(2.25)

Como se quiere obtener el valor de en cualquier punto P, se hace lo sigu iente: R 0; P y l 4R = 0; V T odo el espacio (T.E); m r R0 por lo que la ecuacin 2.25 se convierte en ZZZ 1 2 (r) = dv (2.26) 4 r T.E si el potencial satisface la ecuacin de Poisson , entonces la ecuacin 2.26 es idntica a la ecuacin 2.15 Solucin para una Regin Finita Se ha visto hasta ahora que se puede calcular , si conocemos la densidad volumtrica de carga en todos los puntos del espacio. En muchos problemas,


43

Figura 2.7: Se ilustra una supercie S 0 que encierra el volumen v del cual conocemos , mientras que en el exterior de S 0 se desconoce la distribucin de carga, conociendo el valor del potencial en S 0 .

sin embargo, es conocida solamente dentro de cierto volumen nito, que es rodeado por una supercie exterior de la cual se conoce la distribucin de carga, se mostrar ahora que, si el potencial es conocido en la supercie limitadora y la densidad volumtrica de carga en conocida dentro de la regin limitada, podemos an encontrar . Regresando a la ecuacin de Poisson, ecuacin 2.14, se observa que se puede escribir la solucin general como la suma de una solucin especial de la ecuacin inhomogenea (ecuacin 2.14) y la solucin general de la ecuacin homogenea (ecuacin 2.16). Hasta aqu las condiciones de limites arbitrarios puede ser satisfecha con la solucin general escogida apropiadamente de la ecuacin 2.16, mientras que la ecuacin 2.14 ser satisfecha por la inclusin de la solucin particular. Se puede demostrar utilizando el teorema de Grenn , ecuacin 2.19. La nueva situacin se observa en la gura 2.7, donde el pequeo hueco esfrico que rodea a P es temporalmente excluida de V. Ahora en S 0 = r d b= 3 r dr r (2.27)

y en la ecuacin 2.19, S consiste en ms S 0 , procediendo como antes, se

44 llega a ZZ ZZ da + r2


1 r

esf era

esf era

ZZ da+ r

S 0 , cerrada

ZZZ r 2 dv 3 b da = n r r r V0

Se puede obtener el resultado previo, ecuacin 2.15 a partir de ecuacin 2.30, permitiendo que V encierre todas las cargas. Una vez que se aleje lo suciente de todas las cargas encerradas, apareceran como cargas puntuales de modo que para r muy grande. 1 y || r12 . entonces en la integral de r supercie, el integrando r13 , mientras que el rea r2 , as que toda la integral 1 , que se acerca a cero cuando r . Por consiguiente la r contribucin de la integral de supercie desaparecer y se llega a la ecaucin 2.15 Aunque la ecuacin 2.30 nos facilita en principio calcular en cualquier punto dentro del volumen V , este no es siempre el camino conveniente para resolver un problema dado, en muchos problemas se exige encontrar el potencial dentro de una regin limitada cuando la carga no est presente en la regin. En esta ltima circustancia, especialmente, la ecuacin ms apropiada para resolver es la ecuacin 2.16, porque su solucin general es necesaria para resolver la ecuacin 2.14. En la siguiente item consideramos algunos mtodos para resolver la eccuacin 2.16

ahora como R 0, P = , V 0 V y S 0 S, donde S es la supercie total que rodea a V. Utlizando las ecuaciones 2.14 y 2.29 se convierte en: ZZ ZZZ dv r 1 1 b + = + nda (2.30) 4 0 4 r3 r V rS, cerrada

(2.28) donde V 0 es igual a V menos el volumen del hueco esfrico. Esto lleva a: ZZZ ZZ 2 dv r b 4 + 4R = + nda (2.29) + r r r3 r V0S 0 , cerrada

2.3.3.

Solucin de la Ecuacin de Laplace

Se utilizar el denominado mtodo de separacin de variables para resolver la ecuacin 2.16, en coordenadas rectangulares y esfricas, quedando como


45

ejercicio su solucin en coordenadas cilndricas, tambin aplicaremos cada una de estas soluciones a un problema especco de electrostticas con concondicones en la frontera.. Se har uso de las expresiones del laplaciano en cada uno de los sistemas de coordenadas y se encontraran algunas ecuaciones diferenciales especiales, de las cuales tomaremos sus soluciones ya vistas en cursos de matemticas. Coordenadas Rectangulares Como es sabido el laplaciano en coordenadas cartesianas viene dado por 2 (x, y, z) = entonces, la ecuacin a solucionar es 2 2 2 + 2 + 2 =0 x2 y z suponiendo una solucin de la forma (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) remplazando la ecuacin 2.33 en la ecuacin 2.32 se obtiene 1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z + + =0 X dx2 Y dy 2 Z dz 2 (2.34) (2.33) (2.32) 2 2 2 + 2 + 2 x2 y z (2.31)

para que se cumpla esta ecuacin es necesario que cada sumando sea igual a una constante, o sea 1 d2 X 1 d2 Y 1 d2 Z = 2 , = 2, = 2 X dx2 Y dy 2 Z dz 2 donde 2 + 2 + 2 = 0 (2.36) las soluciones para cada una de las ecuciones en la expresin 2.35 se pueden escribir como X (x) = a1 ex + a2 ex Y (y) = b1 ey + b2 ey Z (z) = c1 ez + c2 ez (2.37) (2.38) (2.39) (2.35)

46


Figura 2.8: Tira semi-innita, para un problema bidimensional de solucin de la ecuacin de Laplace.

De la ecuacin 2.36, las constantes , y todas no pueden ser reales, ni todas imaginarias; por consiguiente algunas de las funciones X, Y, Z varian sinusoidalmente con el argumento y otras varian exponencialmente. La solucin general de la ecuacin 2.32 es de la forma (x, y, z) = X a1i ei x + a2i ei x b1i e i y + b2i e i y c1i e i z + c2i e i zi

(2.40)

todas las constantes se obtienen con condiciones en la frontera

Ejemplo:Tira Semi-innita

Este es un problema de dos dimensiones donde = (x, y) ; de tal manera que se asume que = 0 y (2.6) se convierte en 2 + 2 = 0. As que = i, donde se asume que > 0, por lo que (2.10) se convierte en (x, y) = X A1n ei n x + A2n ei n x B1n e n y + B2n e n yn

(2.41)

2.3. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE Las condiciones de frontera para este problema son en x = en x = en y = en y 0 L 0 (0, y) = 0 (L, y) = 0 (x, 0) = f (x) (x, ) = 0

47

(2.42) (2.43) (2.44) (2.45)

Donde f (x) es alguna funcin dada, y puede ser producida por una distribucin apropiada de la carga exterior de la tira. Aplicando las condiciones en la frontera adecuadamente, primero en la ecuacin 2.45 se obtiene que B1n = 0, para cualquier n y haciendo A1n B2n = An y A2n B2n = Bn la solucin 2.45 toma la forma X (x, y) = An ei n x + Bn ei n x e n y (2.46)n

aplicando ahora la condicin 2.42 se llega a X (0, y) = (An + Bn ) e n y = 0n

(2.47)

entonces Bn = An , la solucin toma la forma X (x, y) = (2iAn ) sin ( n x) e n yn

(2.48)

aplicando la condicin de frontera 2.43 se llega a X (L, y) = (2iAn ) sin ( n L) e n yn

(2.49)

de donde sale que n L = n, osea n = n ; n = 1, 2, 3, ..., haciendo Cn = L 2jAn , lo que conduce a: nx ny X (x, y) = e L Cn sin (2.50) L n donde se ha replazado a 2iAn simplemente por An . Aplicando la ltima condicin de frontera 2.44 nx X (x, 0) = f (x) = (2.51) Cn sin L n

48


conocida f (x) se puede determinar An aprovechando la ortogonalidad de sin nx L RL0

f (x) sin

mx L

entonces

RL P dx = PCn 0 sin mx sin nx dx n L L = n Cn 1 L mn = 1 LAm 2 2 ZL

(2.52)

2 Cm = L

f (x) sin

0

conocida la constante Cm se introduce como Cn en la ecuacin 2.40 y podemos calcular (x, y) en cualquier punto de la tira. Coordenadas Esfricas Para este caso la ecuacin de Laplace viene expresada como 1 1 2 2 (r, , ) = 2 r sin + sin + =0 r sin r r sin (2.54) Utilizando nuevamente el mtodo de separacin de variables y tomando como solucin a (r, , ) = R (r) () () (2.55) introduciendo esta ecuacin 2.54 se tiene 1 d d2 1 d d 1 2 dR r + sin + =0 R dr dr sin d d sin2 d2

mx L

dx

(2.53)

(2.56)

como el primer sumando depende unicamente de r, podemos escribir 1 d d 1 1 d d2 2 dR r = sin = (2.57) R dr dr sin d d sin2 d2 donde es la constante de separacin, entonces r2 d2 R dR + 2r R = 0 2 dr dr (2.58)

esta ecuacin diferencial es de la forma: x2 y 00 + pxy 0 + qy = 0, donde p y q son constantes, denominada ecuacin de Euler. En este caso p = 2 y q = ; la ecuacin indicial es: m (m 1) + 2m = 0, o sea m2 + m = 0;

2.3. ECUACIONES DE POISSON Y LAPLACE entonces los exponentes son general de 2.58 es1 2

49

1 1 1 1 R (r) = Ar 2 + + 4 + Br 2 + 4

1 1 + 4 , por consiguiente la solucin (2.59)

r , entonces 1 + + 1 = n, n entero no negativo, entonces = 2 4 n (n + 1); por lo que la solucin 2.59 se escribe como R (r) = Arn + Brn1 De la ecuacin 2.57 deducimos que sin d 1 d2 2 2 = n (n + 1) sin d d pudiendose escribir entonces 1 d2 = , cte. d2 entonces d2 + = 0 d2 d sin d

para garantizar que R (r) q tenga un valor en r = 0 y tambin para cuando (2.60)

(2.61)

(2.62)

(2.63)

Suceden tres casos: 1. Si = 0 = () = C1 + C2 la cual no cumple que ( + 2) = () , condicin de univaluada. 2 () 2. Si < 0 = = 2 , Re = d d2 2 () = 0 = () = C1 e + C2 e que tampoco cumple con la condicin de univaluada. 2 () 3. Si > 0 = = m2 , m Re = d d2 + m2 () = 0 = () = A eim , para que cumpla la condicin de univaluada se tiene que ( + 2) = A eim(+2) = A eim ejm2 = A eiml = (), si eim2 = 1 = cos m2 + i sin m2 = 1 = m es un entero Por lo que la solucin toma la forma: () = A eim (2.64)

m es entero, porque nos garantiza que la solucin de 2.63 cumple la condicin de univaluada unicamente cuando se aumenta en 2.

50


De la ecuacin 2.61 se deduce que sin d m = n (n + 1) sin d2 2

d sin d

(2.65)

entonces d sin d d sin + n (n + 1) sin2 m2 = 0 d (2.66)

Pudiendose escribir como:

Haciendo el siguiente cambio de variable: u = cos , se llega a d 2 2 d 1u + 1 u2 n (n + 1) m2 = 0 1u du du 2 m2 d 2 d 1u + n (n + 1) =0 2u du2 du (1 u2 )

(2.67)

(2.68)

esta es la Ecuacin Asociada de Legendre cuya solucin son las Funciones Asociadas de Legendre: m dm Pn (u) m Pn (u) = 1 u2 2 du2 (2.69)

donde se toma m = 0, 1, 2, ..., n y los Pn (u) son los Polinomios de Legendre que vienen dados por: Pn (u) = n 1 dn 2 u 1 2n n! dun (2.70)

Para valores negativos de m, se puede aplicar la identidad:m Pn (u) = (1)m

(n m)! m P (u) (n + m)! n

(2.71)

Se acostumbra escribir la solucin de la parte angular de la ecuacin de Laplace () () , teniendo en cuenta las respectivas soluciones como:m m Yn (, ) = Ceim Pn (cos )

(2.72)


51

de donde se puede obtener el valor de C, dado por: 1 2 m (2n + 1) (n m)! C = (1) 4 (n + m)!

obtenidas a partir de dos conjuntos de funciones ortogonales, eim , 0 < 2 m y {Pn (cos ) , 0 < } , son ortogonales sobre la esfera unidad y se les llama Armnicos Esfricos . El coeciente C, real, se elige de tal manera que m los Yn , constituyan un sistema ortonormal de funciones: Z 2 Z m m0 d sin Yn (, ) Yn0 (, ) d = nn0 mm0 (2.73)0 0

(2.74)

de tal manera que los armnicos esfricos se escriben como: 1 2 m (2n + 1) (n m)! m m eim Pn (cos ) Yn (, ) = (1) 4 (n + m)! para valores negativos de m se usa la identidad:m m Yn (, ) = (1)m Yn (, )

(2.75)

(2.76)

Cuando el potencial es independiente de (simetra alrededor del eje Z), entonces m = 0 y la ecuacin 2.67 se convierte en d 2 2 d 1u 1u + 1 u2 n (n + 1) = 0 (2.77) du du entonces d 2 d 1u + n (n + 1) = 0 du du (2.78)

o sea

d2 d + n (n + 1) = 0 (2.79) 1 u2 2 2u du d que es la denominada Ecuacin de Legendre, cuya solucin son los denominados Polinomios de Legendre, vistos anteriormente.n

1 dn (u2 1) (2.80) 2n n! dun Ahora podemos decir que la solucin de la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas, con simetra alrededor del eje Z, es () = Pn (u) = (r, ) = X An rn + Bn rn1 Pn (cos ) n=0

(2.81)

52


Figura 2.9: Lneas de campo elctrico despus de introducir la esfera conductora b descargada. La direccin inicial del campio es E0 uz .

Ejemplo

Esfera slida conductora descargada dentro de un campo elctrico inicialmente uniforme E0 (gura 2.9) Las condiciones de frontera son las siguientes b E (r, ) |r = (r, ) |r = E0 = E0 uz (r, ) |r = E0 z + cte = E0 r cos + cte. (r, ) |r=R = 0 Desarrollando la ecuacin 2.81 se llega a B0 B1 1 B2 2 (r, ) = A0 + 3 cos2 1 + ... + A1 r cos + 2 cos + A2 r + 3 r r 2 r (2.85) Aplicando la condicin de frontera 2.83 se ve que: A1 = E0 y An = 0 para n 2. (2.82)

o sea

(2.83) (2.84)


53

Ahora el trmino B0 r1 produce un campo radial que es compatible con un conductor esfrico que tiene una carga total neta, en este problema la esfera est descargada por lo tanto B0 = 0 Al tener en cuenta la condicin de frontera 2.84, se observa que el potencial debe ser independiente de la coordenada , entonces los dos trminos en que interviene cos se eliminan, pero los trminos con potencias inversas mayores que r2 no pueden eliminarse entre s debido a que contienen funciones de Legendre diferentes, o sea que Bn = 0, para n 2. Por lo tanto la solucin queda: B1 (2.86) (r, ) = A0 E0 r cos + 2 cos ; r R r entonces (2.87) (R, ) = 0 = A0 = 0 y B1 = E0 R3 Por lo tanto la solucin denitiva para este problema es (r, ) = 0 E0 r cos + El campo elctrico correspondiente es E (r, ) = (r, ) = b r u r 1 b u r (2.89) E0 R3 cos r2 (2.88)

Evaluando el campo elctrico en la supercie de la esfera b E (R, ) = ur 3E0 cos 0E

una vez calculado el gradiente y organizando los trminos se llega a 2R3 R3 b b E (r, ) = ur E0 1 + 3 cos u E0 1 3 sin r r

(2.90)

(2.91)

o sea perpendicular a la supercie esfrica, como era de esperarse, por consiguiente la densidad supercial es () = (R, ) = 3 0 E0 cos (2.92)

y la carga total en la esfera conductora es ZZ Z 2 Z 2 Q= () da = 3 0 R E0 desf era 0

sin cos d = 0

(2.93)

0

como se habia dicho en el enunciado del problema.

54


Figura 2.10: Condesador esfrico de radio interior a y radio exterior b.

Ejemplo Problema con simetra esfrica. En este caso = (r), o sea que = = 0, la ecuacin de Laplace en coordenadas esfricas se convierte en 1 d r2 d = 0 = r2 dr dr r2 d = cte = A = dr d A = r2 = dr

(r) =

A +B r

(2.94)

A y B son constantes que se determinan con las condiciones de frontera. Ejemplo Condensador esfrico. Considerando dos conductores esfricos conctricos, y asumiendo que la esfera interior tien una carga q y que la exterior est a un potencial b , como se muestra en la gura 2.10

2.4. PROBLEMAS

55

Tomamdo como solucin la del ejemplo anterior, ecuacin 2.94, se tiene que = A d b b ur = E = 2 ur dr r (2.95)

Aplicando la ley de Gauss para la esfera de radio r = a, se tiene ZZ ZZ A A q q n Ebda = 2 da = 2 4a2 = 4A = = A = a a 4 0esf era Sa esf era Sa

0

Por lo que la solucin quedar como (r) = ahora en r = b, = b = se tieneq 4 0 b

q +B 4 0 r

(2.96)

El potencial en la esfera de radio r = a ser 1 1 q + b a = 4 0 a b

+ B = B = b 4q 0 b , remplazando en 2.96 q 1 1 + b (r) = (2.97) 4 0 r b (2.98)

La capacitancia se dene como la razn de la carga en la esfera interior y la diferencia de potencial, o sea de 2.98 C= 4 0 ab q = a b ba (2.99)

Si b entonces C 4 0 a que d la frmula de la capacitancia para F una esfera aislada. Las unidades de 0 es m y la de C Faradio (F ).

2.4.

Problemas

1. Demostrar la unicidad de la solucin de la ecuacin de Laplace 2. Un conductor cildrico de radio a innitamente largo y recto tiene una carga por unidad de longitud. Encuentre el potencial a una distancia R del eje del cilindro. 3. Un condensador est hecho de dos grandes placas conductoras paralelas cada una de rea A, las cuales estn separadas por una distancia pequea d.

56


Figura 2.11: Tubo de seccin rectangular del problema 7.

La diferencia de potencial entre las placas es . Encuentre la densidad de carga y en la supercie de las placas. Demuestre que la capacitancia es C = 0dA . No tenga en cuenta el efecto en los bordes de las placas. 4. .Una distribucin esfrica de carga se caracteriza por una densidad de carga constante para r R. Para radios mayores que R, la densidad de carga es nula. Hallese el potencial solucionando la ecuacin de Poisson. Verique este resultado evaluando la integral dada por la ecuacin 2.15. 5. Encuentre el potencial electrosttico, , dentro de un cubo de lado L, con un vertice en el origen y en el primer octante. No hay carga dentro del cubo. El potencial sobre la cara z = 0 tiene valor 0 y el potencial en todas las otras caras es cero. 6. Resolver la forma bidimensional de la ecuacin de Laplace expresada en coordenadas polares (R, ) (cilndricas para z = 0) por el mtodo de separacin de variables. Demostrar que la solucin general puede estar escrita como P Rn (An cos n + Bn sin n) (R, ) = A0 ln R + B0 +n= n6=0

7. Aplicar el resultado del problema anterior para encontrar el potencial de un conductor cilndrico innito descargado y puesto a tierra, en un campo elctrico inicialmente uniforme y perpendicular al eje del cilindro. Hallar adems

2.5. PROBLEMAS VARIOS DE LOS CAPTULOS 1 Y 2

57

el campo elctrico para puntos fuera del cilndro y la densidad superacial de carga. 8. Encontrar el potencial (x, y) en cualquier punto de un tubo de seccin rectangular que se muestra en la gura 2.11, con las condiciones de frontera dadas en la misma gura. Respuesta: (x, y) = donde An =2 a P

An sin

n=0

n sinh( n y) a x sinh n b a (a )

9. Una esfera conductora de radio R que tiene una carga total Q se coloca en un campo elctrico inicialmente uniforme E0 . Hllese el potencial y el campo elctrico en todos los puntos exteriores a la esfera. 10. Considere dos cilindros coaxiales. El cilindro interior de radio a y a un potencial a , el segundo cilindro de radio b > a y a un potencial b . Calcular el potencial y el campo elctrico en la regin entre los cilindros.

Ra0

sin

n x f (x) dx a

2.5.

Problemas Varios de los Captulos 1 y 2

1. Una esfera conductora de radio R tiene una carga Q uniformente distribuida. Calcule el campo elctrico y el potencial en puntos r > R y r < R. Haga un gco de cada una de estas funciones para 0 r < . 2. Tres cargas se disponen en forma lineal. La carga 2q se coloca en el origen, y dos cargas cada una de +q se colocan en (0, 0, l) y (0, 0, l), respectivamente. Hllese una expresin relativamente simple para el potencial (r) vlida para distancias |r| l. 3. Dado un cilindro circular recto de radio R y longitud L que tiene una densidad volumtrica de carga uniforme 0 . Calcular el potencial electrosttico en un punto sobre el eje del cilindro y externo a la distribucin de carga. 4. Dada un regin del espacio en que el campo elctrico es paralelo al eje X en todos los puntos. Demostrar que el campo elctrico es independiente de y y z en esta regin. Si no hay carga en esta regin, demostrar que el campo tambin es idependiente de x.

58


5. Dos cscaras conductoras esfricas de radios a y b se disponen concntricamente y se cargan a los potenciales a y b respectivamente. Si b > a, hllese el potencial en puntos entre las cscaras, y en los puntos r > b. 6. Dos cscaras cilndricas largas de radios a y b se disponen coaxialmente y se cargan a los potenciales a y b , respectivamente. Si b > a, hllese el potencial en puntos entre las cscaras cilndricas. 7. Hallar la solucin a la ecaucin de Laplace en el interior de una regin rectangular 0 x 2; 0 y 3, sujeta a las siguiente condiciones de frontera (x, 0) = (0, y) = 1 Voltio (2, y) = (x, 3) = 0 8. Un dipolo de momento p tiene la direccin del eje +Z y est situado en el origen de coordenadas. Un segundo dipolo de momento p est centrado en el punto (a, 0, a) y seala hacia el origen. Calcular la fuerza sobre el segundo dipolo. 9. Hllese el potencial de un cuadrupolo axial: cargas puntuales q, 2q, q estan colocadas en el eje Z a distancias l, 0, l del origen. Hllese el potencial slo a las distancias r l, y demustre que este potencial es proporcional a uno de los armnicos de zona [Pn (cos )]. 10. Un electrodo de forma hiperblica (xy = 4) est colocado por arriba de una esquina puesta a tierra de ngulos rectos como en la gura 2.12. Calcule y E en el punto (1, 2, 0) cuando el electrodo se conecta a una fuente de 20 V.

2.5. PROBLEMAS VARIOS DE LOS CAPTULOS 1 Y 2

59

Figura 2.12: Digrama para el problema 10.

60


Captulo 3 Electrosttica en la Materia3.1. Introduccin

Como an se sigue en electrosttica, las ecauciones de Maxwell que se utilizaran sern: D = y E = 0, y se puede continuar usando E = . El potencial sin embargo no necesariamente satisface la ecuacin de Poisson, porque se debe utilizar la ecuacin general D = 0 E + P, combinando estas ecuaciones queda que 0 2 + P = . en general P es una funcin de E y por lo tanto de . P = P (E) = P () . Existen materiales, denominados dielctricos, que se pueden polarizar por la accin de un campo elctrico externo y quedan con polarizacin permanente. 61

62

CAPTULO 3. ELECTROSTTICA EN LA MATERIA

3.2.

Dielctricos Lineales

Los materiales descritos por la ecuacin 3.1 se denominan dilctricos lineales. Como se puede observar P no es paralelo a E y por lo tanto D tampoco es paralelo a E. Los coecientes de proporcionalidad ij son conocidos como las componetes del tensor suceptibilidad elctrica.

En estos casos las componentes de P son directamente proporcionales a la primera potencia de las componentes de E. En general la relacin es Px = 0 xx Ex + xy Ey + xz Ez Py = 0 yx Ex + yy Ey + yz Ez (3.1) Pz = 0 zx Ex + zy Ey + zz Ez

3.3.

Dielctricos Lineales Isotrpicos

Se aumir que el dilctrico es lineal y en cada punto del dilctrico sus propiedades elctricas son independientes de la direccin de E, con esta nueva condicin el dielctrico es isotrpico. En este caso P es necesariamente paralelo a E, y la realcin ser: P =e 0 E donde e se denomina suceptibilidad elctrica. Combinando las ecuaciones 1.27 y 3.2 queda D = (1 + e ) 0 E =e 0 E = E donde e = 1 + e permitividad relativa = e0

(3.2)

(3.3) (3.4) (3.5)

Permitividad elctrica

De la ecuacin 3.3 se puede ver que D es paralelo a E. Puesto que D =, entonces se puede escribir, teniendo en cuenta la ecuacin 3.3, D = = ( E) = ( ), o sea En este caso varia de un punto a otro dentro del dielctrico, o sea = (x, y, z) Debe entonces asumirse otra condicin para simplicar la ecuacin 3.6 ( ) = (3.6)

3.4. DIELCTRICOS LINEALES ISOTRPICOS HOMOGNEOS (L, I, H)63

3.4.

Dielctricos Lineales Isotrpicos Homogneos (l, i, h)

Se asumir que las propiedades elctricas son independientes de la posicin, estos materiales elctricamente se denominan homogneos. Generalmente los gases, lquidos y algunos slidos caen en esta catergoria. En este caso es una constante caracterstica del material. Por lo que la ecuacin 3.6 se convierte en: (3.7) = 2 = obteniendose as la ecuacin de Poisson, cambiando la constante 0 por . Por lo que se puede utilizar la solucin de esta ecuacin en el vaco simplemente haciendo el cambio de la constante 0 por . Usando la ecuacin 3.3 y las condiciones de frontera dadas por las ecuaciones 1.66 y 1.69, se pueden expresar completamente en trminos de E. b n ( 2 E2 1 E1 ) = b n (E2 E1 ) = 0 (3.8) (3.9)

En la ecuacin 3.8, la componente normal de E no es continua en la supercie de separcin de los dos medios dilctricos, mientras que la componente tangencial si es continua en la supercie de separacin. La situacin se muestra en la gura 3.1, donde E2 no es paralelo a E1 y la direccin de E cambia en la frontera; se dice entonces que las lneas de campo elctrico se refractan al pasar la frontera. Un caso interesante es cuando en la supercie de separacin entre un medio dielctrico y el vaco, y adems = 0. Si se usa la condicin de frontera dada por la ecucin 1.66, tomando el medio 2 como el vaco, queda b b n ( 0 E2 D1 ) = n [ 0 E2 ( 0 E1 + P1 )] = 0, b b n (E2 E1 ) = n P10

o sea

(3.10)

Es necesario recalcar que E est determinado por todas las cargas; entonces por analoga en el caso de D en la ecaucin 1.66. se puede interpretar la ecuacin 3.10, diciendo que la discontinuidad en la componente normal de E proviene de la densidad de carga ligada, dada por

64


Figura 3.1: Comportamiento del campo elctrico cuando pasa de un medio a otro.p0

o sea

Pudiendose concluir que la densidad de carga ligada en la interface entre un dilctrico polarizado y el vaco es de magnitud igual a la componente normal de la polarizacin.

b p = n P =Pn

b =n

P0

,

(3.11)

3.4.1.

Ejemplo 1

Campo elctrico producido por de una carga puntual dentro de un dielctrico l, i, h. Considerando una carga puntual +q en un dielctrico l, i, h de extensin innita, caracterizado por una permitividad relativa o constante dielctrica e . Si la carga +q se situara en el vaco, el campo elctrico sera radial. Pero como E, D y P, en cada punto, son todos paralelos entre s, la naturaleza


Figura 3.2: Carga puntual +q dentro de un medio dielctrico l, i, h.

radial del campo no cambia por la presencia del dielctrico. Si se aplica la ley de Gauus, ecuacin 1.28, e integrando ambas partes Z Z la esfera de ZZZ Z sobre radio r de la gura 3.2, se tiene Ddv = dv = q;esf era esf era

aplicando el teorema de la divergencia se llega a ZZ Dbda = q, nS, cerrada

entonces 4r2 D = q, entonces D= Se puede escribira ahora D= comoq . 4r2

qr 4r3

(3.12)

66

CAPTULO 3. ELECTROSTTICA EN LA MATERIA D = E = 0 e E;

entonces E= y adems

qr 4 0 e r3

(3.13)

P = 0 (e 1) E, se tiene que P= qr (e 1) 4e r3 (3.14)

En la ecuacin 3.13 se puede apreciar que el campo elctrico es menor en un factor e de lo que sera si no existiera medio dielctrico. A continuacin se hara un anlisis ms detallado de la situacin; como el campo elctrico tiene su origen tanto en la carga libre como la ligada. La carga libre es solamente +q y la ligada viene dada por las ecuaciones 1.26 y 3.11 p = P y p = Pb n sobre la supercie del dielctrico en contacto con la carga puntual. Se puede apreciar en la ecuacin 3.14 que P =0, ya que rr3

= 0.

La carga puntual es un punto en el sentido macroscpico, realmente, es grande tomando como base una escala molecular, y se le puede asignar un radio b, que nalmente se har tender a cero. i h m n m Qp = l 4b2 (Pb )r=b = l 4b2b0 b0 qr(e 1) 4e r3

q carga total ser: Q = Qp + q = e . Puede verse ahora ms claramente por qu el campo elctrico es un factor e menor de lo que sera sin la existencia del medio dielctrico.

(br ) u

r=b

1)q = (ee ; ahora la


Figura 3.3: Un campo elctrico se distorciona por la presencia de una esfera dielctrica, aqu se muestran las lneas de campo elctrico.

3.4.2.

Ejemplo 2

Esfera slida dilctrica dentro de un campo elctrico inicialmente uniforme E0 (gura 3.3) b El campo elctrico se puede expresar como E = uz E0 ; se supondr que el dilctrico es l, i, h y que se caracteriza por una constante dilctrica e ; adems no tiene cargas libres; por lo tanto el potencial elctrico dentro y fuera de la esfera satisface la ecuacin de Laplace. 2 = 0 (3.15)

Adems por simetra se observa que = (r, ). Tomando la solucin general (2.42); para puntos fuera de la esfera 1 (r, ) = X An rn + Bn rn1 Pn (cos ) r a n=0

(3.16)

y para puntos dentro de la esfera X 0 0 2 (r, ) = An rn + Bn rn1 Pn (cos ) r an=0

(3.17)

entonces

68

CAPTULO 3. ELECTROSTTICA EN LA MATERIA 1 (r, ) = A0 + B0 r1 + A1 r cos + B1 r2 cos +

y 2 (r, ) = A0 + B0 r1 + A1 r cos + B1 r2 cos + Como en el caso de la esfera conductora solamente se necesitan los trminos escritos. No se necesita el trmino r1 ( en ambos casos) puesto que su presencia implicara carga neta en la esfera, o sea B0 = B0 = 0. Como aparecen las constantes A0 y A0 para los potenciales, que al calcular el campo se anulan, podemos hacerlos cero sin prdida de generalidad o sea A0 = A0 = 0. Una condicin de frontera ser: 1 (r, ) |r = E0 r cos = A1 r cos = A1 = E0 (3.18)0 0 0 0 0 0 0

Para 2 (r, ) el trmino que contiene r2 implicara que el potencial en el centro de la esfera fuera innito y sera posible si existe un dipolo elctrico en el centro de la esfera y en realidad este no es el caso; o sea B1 = 0. Por todo lo anterior los potenciales toman la forma: 1 (r, ) = E0 r cos + B1 r2 cos ; r a 0 2 (r, ) = A1 r cos ; ra Aplicando la condicin de frontera: E1t = E2t = E1 |r=a = E2 |r=a = 1 1 |r=a = 1 2 |r=a r r entonces E0 a sin + B1 a2 sin = A1 a sin ,0 0

(3.19) (3.20)

3.4. DIELCTRICOS LINEALES ISOTRPICOS HOMOGNEOS (L, I, H)69 al simplicar llegamos a B1 0 = A1 a (3.21) a2 Para el vector desplazamiento elctrico la condicin de frontera, al no existir carga libre en la supercie de la esfera, se convierte en: E0 a D1n = D2n = D1r |r=a = D2r |r=a = entonces0 E01 cos + 2 Ba3 0 cos = e 0 A1 cos , 0

1 0 r |r=a

= e

2 0 r |r=a

al simplicar queda E0 2B1 0 = e A1 3 a0

(3.22)

De las ecuaciones 3.21 y 3.22 se obtiene las constantes B1 y A1 : B1 = A10

(e 1) 3 a E0 (e + 2) 3E0 = e + 2

(3.23) (3.24)

de tal manera que las soluciones para los potenciales se pueden escribir de la forma: e 1 a3 1 (r, ) = E0 1 r cos ; r a (3.25) e + 2 r3 3E0 2 (r, ) = r cos ; ra (3.26) e + 2 Las componentes del los campo elctricos vienen dadas por: h 3i E1r = 1 = E0 1 + 2 e 1 a3 cos r h e +2 r 3 i r>a 1 2 E1 = r = E0 1 e 1 a3 sin e +2 r E2 = 1 2 r E2r = 2 = r cos 3E0 = e +2 sin 3E0 e +2

(3.27)

ra (3.32) D1 = 0 E1 = 0 E0 1 e 1 a3 sin e +2 r D2r = e 0 E2r = e 0 3E0 cos e +2 r a del eje del cilindro. 13. Un cilindro dielctrico largo de radio a y constante dielctrica e se coloca en un campo elctrico uniforme E0 . El eje del cilindro se orienta normalmente

3.8. PROBLEMAS VARIOS CAPTULO 3

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con la direccin de E0 . El cilindro no tiene cargas libres, determnese el campo elctrico en puntos interiores y exteriores al cilindro. 14. Dos placas conductoras paralelas estn separadas por una distancia d y se mantienen a la diferencia de potencial . Se pone entre las placas una plancha dielctrica, de constante e y de espesor t < d. determnese los vectores E y D en el dielctrico y tambin en el vaco entre el dielctrico y una placa. Despreciese los efectos de borde debido a la tamao nito de las placas. 15. Dos placas conductoras paralelas se encuentran separadas por una distancia d y se mantienen a la diferencia de potencial . Una plancha dielctrica, de constante dielctrica e y de espesor d, se ajusta entre las placas; sin embargo sta no llena completamente el volumen que hay entre dichas placas. Hllese el campo elctrico en el dielctrico y en la regi de vaco entre las placas. Hllese la densidad de carga en la parte de la placa en contacto con el dielctrico y en contacto con el vaco. Hllese p sobre la supercie de la plancha dielctrica. 16. Una esfera conductora de radio R ota sumergida a la mitad en un medio dielctrico lquido de permitividad 1 . La regin por encima del lquido es un gas de permitividad 2 . La carga libre total sobre la esfera es Q. Hllese un campo elctrico radial del inverso del cuadrado que saisfaga todas las condiciones de frontera y determnese las densidades de carga libre, ligada y total en todos los puntos sobre la supercie de la esfera. Formlese un argumento para demostrar que este campo elctrico es el existente. 17. Un campo elctrico uniforme E0 se forma en un medio de constante dielctrica e . Demustrese que el campo en una cavidad esfrica en el medio es:3e E0 E = 2e +1

18. Se d una distribucin esfrica de carga de radio R y densidad uniforme de carga 0 . Determnese la energa de la distribucin de dos formas (a) Por integracin directa de la ecuacin 3.41 (b) Por una integracin sobre el campo, ecuacin 3.44.

3.8.

Problemas Varios Captulo 3

1. La carga total de polarizacin contenida en un volumen de material dielctrico polarizado es nula. Demustre esta armacin a partir de integrales de

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supercie y de volumen de las expresiones correspondientes. compruebe este hecho en el caso de un aislador slido de radio b y longitud L, cuya base reposa sobre el plano XY . El dielctrico es (l, i, h), y est sometido a un b campo dado por: E =bR R2 cos + uz z 2 u 2. Una esfera dielctrica de radio R tiene una densidad uniforme de carga libre 0 . Demostrar que el potencial en el centro de la esfera es: (0) = (2e +1) 0 R2 ; e es la constante dielctrica. 2e 3 0 3. Una esfera dielctrica de radio R est polarizada de forma que P =b r d , u r b siendo ur el vector unitario radial. (a) Calcular la densidad volumtrica de carga ligada (b) Calcular la densidad volumtrica de carga libre (c) Calcualar el potencial dentro y fuera de la esfera (d) Hacer la graca de (r) desde r = 0 a r 4. Se d una cscara esfrica de dielctrico (radio interior a y radio exterior b) y una carga puntual q, innitamente separada, colquese la carga puntual en el centro de la cscara de dielctrico. Determnese el cambio en la energa del sistema. 5. Una concha cilndrica (innita en la direccin Z) de un material dielctrico de constante dielctrica e , y radios interior y exterior a y b (b > a) respectivamente. Se introduce en un campo elctrico uniforme E0 y perpendicular al eje del cilindro. El medio dentro y fuera de la concha es vaco (e = 1). (a) Determinar el potencial y el campo elctrico en cada uns de las tres regiones: r < a, a < r < b, r > b. (b) Discutir los casos lmites a 0 y luego b .

Captulo 4 Campos y Corrientes Estacionarios4.1. Introduccin

El caso estacionario que se tratar a continuacin est determinado por las siguientes condiciones J 6= 0, pero J = 0 y = 0, la ltima expresin t t implica que no hay acumulacin de carga en la regin Para la situacin que se estudiar ahora las ecuaciones de Maxwell a utilizar son las siguientes B=0 y H=J (4.1)

4.2.

Condiciones de Frontera

Partiendo de la primera de las ecuaciones de la expresin 4.1 ZZ ZZZ Bbda = n Bdv = 0cerrada S V

tomando como supercie el pequeo cilindro de la gura 4.1, similarmente como se procedi en el caso elctrico se tine que: B2n S B1n S = 0, entonces B2n = B1n (4.2) Esto quiere dedcir que la componente normal de la induccin magntica es continua cuando atraviesa una supercie de separacin. Tambin se puede 83

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CAPTULO 4. CAMPOS Y CORRIENTES ESTACIONARIOS

Figura 4.1: Condiciones de frontera para el caso magntico.

escribir como Tomando en cuenta la segunda ecuacin de la expresin 4.1 I ZZ ZZ Hdl = ( H) bda = n Jbda = I nC S S

b n (B2 B1 ) = 0

(4.3)

tomando como la trayectoria C el rectangulo mostrado en la gura 4.1 H2t l H1t l = Kl, donde K es la componente de la corriente supercial normal al plano de la trayectoria; de donde H2t H1t = K o tambin La discontinuidad de la componente tangencial de H es igual a la densidad supercial de corriente. Hasta ahora se habia considerado solamente la situacin esttica, en la cual todas las cargas estn en reposo relativo y en particular se encuentra que es imposible que dentro de un conductor exista un campo elctrico. Por otra b n (H2 H1 ) = K (4.5) (4.4)


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parte al aplicar una diferencia de potencial a un conductor y suministrarle energa continuamente produciendose un movimiento estable de carga elctrica, esto es, hay corriente elctrica en el conductor. Este movimiento de carga implica la existencia de un campo elctrico dentro del conductor. El campo elctrico consevativo no puede abastecer de energa a las cargas en el circuito cerrado; por consiguiente en alguna parte del circuito deben estar las fuentes de energa. Las ms familiares de estas fuentes son las baterias; ellas abastecen de energa a las cargas a travs de reacciones qumicas, si bien no es inmediatamente evidente, son efectos esencialmente electromagnticos. Por simplicidad se dar por sentado desde ahora, que no hay ninguno de estos campos elctricos no conservativos dentro de algunas regiones que estaran considerando, de modo que es vlida la ecuacin E = , tal regin ser el interior de un conductor con corriente. Por ahora, se va a considerar solamente el caso estacionario en el cual J 6= 0, pero J = 0 y = 0, como se indica en al introduccin no hay acumulacin t t de carga en la regin. Entonces, por la ecuacin de continuidad J =0 (4.6)

Si se recuerda, que las condiciones de frontera de la ecuacin 4.3 se obtienen a partir de la ecuacin B = 0; se puede escribir unas condiciones similares para J en la supercie de separacin de dos medios b n (J2 J1 ) = 0 (4.7)

Tambin se tiene la denicin de J, la corriente total a travs de una supercie S es ZZ I= Jb da n (4.8)S

La principal ley experimental en este campo es la ley de Ohm, la cual es vlida bastante bien para metales y soluciones electrolitas, pero no es una relacin universal. Tal ley se expresa como I= R (4.9)

Donde I es la corriente, la diferencia de potencial entre los puntos del conductor en cuestin, y R es una factor de proporcionalidad llamado la resistencia del conductor y est medida en ohmios () y puede depender

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Figura 4.2: Tramo de un conductor cilndrico de seccin A que lleva una coriente I a travs de su longitud.

de la temperatura, pero de otro modo puede considerarse constante y, en particualr es independiente del campo. Es conveniente convertir la ecuacin 4.9 en otra en trminos de J. Considerando el volumen cilndrico pequeo en el conductor mostrado en la gura 4.2. Experimentalmente se tien que R es proporcional a la longitud e inversamente proporcioanl a el rea de la seccin transversal, esto es R= l l = A gA (4.10)

El factor de proporcionalidad es el llamado resistividad del material, y g la conductividad del mismo. Sustituyendo la ecuacin 4.10 la ecuacin 4.9, utilizando la ecuacin 4.8 y el hecho que E = ; se tiene que: I = g = J = gE A l

donde E es el campo elctrico dentro del conductor, si se toma el caso de conductores isotrpicos, la ley de Ohm se expresa como J =gE (4.11)


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Con el uso de la ecuacin 4.11 se puede escribir ahora la ecuacin 4.7 como b n (g2 E2 g1 E1 ) (4.12)

Si comparamos la ecuacin 4.12 con las ecuaciones para las condiciones de frontera para el campo elctrico E dada por las siguientes expresiones: b b n ( 2 E2 1 E1 ) = 0 y n (E2 E1 ) = 0

Observamos que se tiene una situacin similar; de aqu que las lneas de campo estn refractadas cuando atraviesan el lmite entre dos medios. Tambin para un conductor homogneo, se encuentra que: J = 0 = (gE) = 0 = g = 0 = 2 = 0 lo que quiere decir que, para corriente estacionarias el potencial elctrico satisface la ecuacin de Laplace. Este hecho es la base de una forma experimental de resolver la ecuacin de Laplace que establece los valores de en el lmite de una regin conductora. Entonces si se mide la magnitud y direccin de la corriente, se puede determinar el campo elctrico en toda la regin por el uso de la ecuacin 4.11. El trabajo realizado por el campo elctrico cuando una carga q es movida entre dos puntos, cuya diferencai de potencial es , esta determinado por W = q. Para corrientes estacionarias, sta energa consumida aparece como calor, y la energa puede ser constantemente suministrada por las fuentes externas para mantener el estado estacionario. Se puede tambin tener sta realcin en trminos de cantidades microscpicas. Si el trabajo W es ejecutado en un tiempo t en el volumen de la gura 4.2, la produccin de calor por unidad de volumen y unidad de tiempo, w es: w=W tAl

= q = tAl

usando la ecuacin 4.11 se puede escribir

I l = JE A J2 g

w = J E = gE 2 =

(4.13)

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Figura 4.3: Campo magntico producido por una bobina toroidal.

4.3.

Magnetosttica

Cuando los campos son constantes en el tiempo, las ecuaciones de Maxwell que se utilizaran sern las determinadas porr la ecuacin 4.1. Si el problema posee suciente simetra, con frecuencia puede ser resuelto muy facilmente utilizando estas ecuaciones directamente.

4.3.1.

Ejemplo 1

Campo magntico de una bobina toroidal. Suponiendo una corriente I que uye a travs de un conductor el cual es devanado alrededor de un toro de seccin transversal pequea. En la gura 4.3 se muestra unas cuantas vueltas; el radio del circulo formado por el eje del toro es R. Por simetra, H est dirigido a lo largo de la circunferencia concntrica con el circulo axial y debe tener magnitud constante en esta circunferencia. Si calculamos la integral de lnea de H alrededor de la trayectoria llamada L y usando la ecuacin 4.1 encontramos I ZZ ZZ I Hdl =H dl = HL = H2R = ( H) bda = n Jbda = NI nL L S S

4.3. MAGNETOSTTICA Entonces

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NI (4.14) 2R Si el dimetro de la seccin transversal del toro es pequeo comparado con R, todas las trayectorias similares a travs del toro tienen aproximadamente la misma circunferencia por lo tanto H ser aproximadamente constante sobre la seccin transversal del toro. I Si calculamos Hdl, encontramos Hi Li = 0, puesto que no hay corriente H=Li

encerrada por la trayectoria, por consiguiente Hi = 0. Integrando sobre la trayectoria L0 , encontramos tambin que H0 L0 = 0 y H0 = 0, puesto que cada correinte que pasa en una direccin sale en la direccin contraria, dando una corriente total nula. As se observa que el campo producido por una bobina toroidal eat solamente dentro del toro, si hay vaco dentro del toro, se tiene que B = 0 H = 0 NI 2R (4.15)

De manera similar a lo visto en materiales dielctricos, se puede denir un material magntico lineal, isotrpico y homogneo por la ecuacin M = m H (4.16)

donde m es suceptibilidad magntica. En

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