Page 1
11
430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถตยศาสตรวศวกรรมสถตยศาสตรวศวกรรม))
รศรศ..ดรดร.. สทธชยสทธชย แสงอาทตยแสงอาทตยสาขาวชาวศวกรรมโยธาสาขาวชาวศวกรรมโยธาสานกวชาวศวกรรมศาสตรสานกวชาวศวกรรมศาสตร
22
บททบทท 7: 7: แรงภายในแรงภายใน ( (internal forcesinternal forces))จดประสงคจดประสงค
เพอใหเขาใจถงเพอใหเขาใจถงวธตดหนาตดวธตดหนาตดในในการหาคาแรงภายในทเกดขนการหาคาแรงภายในทเกดขนในในชนสวนของชนสวนของโครงสรางโครงสรางเพอไดทราบและเขาใจถงวธการเพอไดทราบและเขาใจถงวธการเขยนเขยนแผนภาพแผนภาพ shear diagram shear diagram และและแผนภาพแผนภาพ moment diagrammoment diagram โดยใชโดยใชวธตดหนาตดและโดยใชวธตดหนาตดและโดยใชความสมพนธระหวางแรงแผความสมพนธระหวางแรงแผกระจายกระจาย แรงเฉอนแรงเฉอน และโมเมนตดดและโมเมนตดด
33
การประยกตใชงานแรงภายใน
ทาไมคานจงมหนาตดไมคงท?
คานถกใชรองรบหลงคาของปมนามน
ในกรณน อะไรทาใหเราตองออกแบบคานในลกษณะดงกลาว? และเราจะหาคาไดอยางไร?
44
SUT Engineer
ในกรณน หนาตดของเสาดงกลาวแคบทปลายเสาและกวางขนทโคนเสา ทาไมถงเปนเชนนน?
เสารองรบแผนปายโฆษณาจะตองถกยดแนนทฐานราก เพอความมเสถยรภาพ
เปนเพราะแรงและ moment ภายในใชหรอไม? เราจะหามนไดอยางไร?
การประยกตใชงานแรงภายใน
Page 2
55
7.1 แรงภายใน (internal forces) ของชนสวนโครงสรางในการออกแบบคาน เราจะตองหาคาแรงและ moment ภายในสงสดทเกดขนในคานกอน เพอใชหาขนาดของหนาตดคาน ททาใหวสดทใชทาคานมกาลงเพยงพอในการรบแรงกระทาขนตอนการหาคาแรงภายในทจด C
1. เขยน FBD ของคาน และใชสมการความสมดลหาแรงปฏกรยา
2. ทาการตดคานทจด C และเขยน FBD ของสวนทตด โดยระบแรงและ moment ภายใน ใหครบ
3. ใชสมการความสมดลหาแรงภายใน66
ใน 2 มต internal forces ทเกดขนทหนาตดของชนสวนโครงสรางประกอบดวย
Internal forces ทางดานซายมอและขวามอของจด C มคาเทากน แตทศทางตรงกนขาม
Shear forces (V, กระทาขนานกบหนาตด)Normal หรอ axial forces (N, กระทาตงฉากกบหนาตด)
Bending moment (M)
77
ตวอยางท 7-1จงหาแรงในแนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด D ของคาน
ชนสวน BC เปนชนสวนโครงสรางแบบใด?คาถาม:
88
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบจาก FBD เราควรเรมใชสมการสมดลของแรงหรอของโมเมนต?
0;AM+ =∑
0; 1060.7cos45 0ox xF A
+
→ = − =∑
0;yF+ ↑ =∑
Ay
Ax
45o
sin 45 (2)oBCF 500(3)(1) 0− =
1060.7 NBCF =
750 NxA =
1060.7sin 45oyA + 500(3) 0− =
750 NyA =
500(3) N
1.5 m 1.5 m
1060.7 NFBC
Page 3
99
2. หาคาแรงในชนสวนของคาน
0; 750 0x DF N+
→ = + =∑
0; 500(1) 750 0y DF V+ ↑ = − − + =∑
0; 500(1)(0.5) 750(0.5) 0D DM M+ = + − =∑
750 NDN = −
250 NDV =
125 N-mDM =
750 N750 N
1060.7 N
500(1)N
750 N
1010
ตวอยางท 7-2จงหาแรงปฏกรยาทจดรองรบและจดเชอมตอของ frame และแรงใน
แนวแกน แรงเฉอน และโมเมนตดดทเกดขนทจด E
เนองจากโครงเฟรมมแรงปฏกรยาทจด A และจด C รวมสคา เราจะตองทาอยางไร?
1111
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
1.5(3)(1.5) (3) 0xB− =
0; CM+ =∑
2.25 kNxB =
0;AM+ =∑12.25(3) 3(2)1 (3) 02 yB− − =
1.25 kNyB =
1.5(3)
2.25kN
0.5(3)2
1 m
1.25kN
0.75kN
1.25kN
1.25kN
1.25kN
2.25kN
จากรป เราจะเรมโดยใช FBD ของชนสวนใด?
1212
2. หาคาแรงในชนสวนของโครงเฟรม
0; 1.25 0
1.25 kNy E
E
F NN
+ ↑ = − =
=∑
0; 2.25 1.5(1.5) 0 0
x
E
E
FV
V
+
→ =
+ − ==
∑
+ 0;EM =∑
1.5 m
2.25(1.5) 1.5(1.5)0.75 0EM − + =
1.6875 kN.m 1.69 kN.m
EM ==
1.5 m
1.5 m
1.25kN
2.25kN
1.5(1.5)
0.75 m
Page 4
1313
EXAMPLEจงหาแรงภายในทจด C
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
By
400 N
Ax
Ay
3 m 2 m
1.2 m
→+ Σ Fx = 0;Ax – 400 = 0Ax = 400 N
+ Σ MB = 0;Ay(5) – 400 (1.2) = 0
Ay = 96 N
↑+ Σ Fy = 0;By – 96 = 0By = 96N
1414
→+ Σ Fx = 0;NC – 400 = 0NC = 400 N
96 N VC
MCNC
1.5 m
A400 N
C
2. หาคาแรงในชนสวนของโครงเฟรม
96 N
400 N
400 N
96 N
3 m 2 m
1.2 m
↑+ Σ Fy = 0;– VC – 96 = 0VC = – 96 N
+ Σ MC = 0;96 (1.5) + MC = 0MC = – 144 N-m
1.5 m
96 N 96 N
144 N-m400 N1.5 m
A400 N
C
1515
7.2 Shear and Moment Equations and Diagramคาน (beam) เปนองคอาคารทมลกษณะตรง วางอยในแนวนอน และถกกระทาโดย loads ทตงฉากกบแนวแกนของคาน (transverse loads)
ประเภทของคานถกจดตามลกษณะการรองรบ
1616
ขนตอนทสาคญทสดในการออกแบบคานคอ การหาคาสงสดของแรงเฉอนและ bending moment ทเกดขนภายในตวคานและตาแหนงทเกด ซงจะทาไดโดยการเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
Page 5
1717
Beam Sign Convention
1818
ขนตอนในการวเคราะห 1. เขยน FBD ของคาน และหาคาแรงปฏกรยา2. เลอกพกด x โดยใหคาพกดแตละอนอยในชวงทอยระหวาง F, M, หรอ distributed loads w
3. ตดคานทพกด x1 หรอ x2 แลวเขยน FBD ของชนสวนของคาน
4. ใชสมการความสมดลหาสมการแรงเฉอน V(x) และ moment M(x)
5. เขยน shear diagram และ moment diagram โดยใหแกน x เปนแกนนอนและ function ของ V(x) และ M(x) เปนแกนตง
x1
x2x1
x2
1919
จดทตองใหความสนใจเปนพเศษจดทตองใหความสนใจเปนพเศษปลายคานปลายคานจดรองรบจดรองรบจดทจดท concentrated load concentrated load กระทากระทาจดทจดท couple moment couple moment กระทากระทาจดเรมตนของจดเรมตนของ distributed load distributed load
จดทมการเปลยนแปลงจดทมการเปลยนแปลง distributed load distributed loadจดสนสดของจดสนสดของ distributed load distributed load
2020
EXAMPLE
3 m 6 m6 kN
9 kN m
3 m 6 m6 kN
9 kN m
AyDy
Dx
จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0; 0x xF D+
← = =∑
0;
6 0y
y y
FA D
↑ + =
− + =∑
0;DM+ =∑9 6(6) (9) 0y- A+ =
5 kNyA =
1 kNyD =
Page 6
2121
3 m6 m
6 kN9 kN m
5 kN 1 kN
x1
x2
1
2
0 <33< 9
xx
≤≤
เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?
2222
5 kN
x1 V
M 10 <3=0; =5 kNy
xF V≤
∑
3 m6 kN
V
M
5 kN
x2
3 m 6 m6 kN
5 kN 1 kN
23< 9=0 =5 kN-6 kN=-1 kNy
xF V
≤
∑
9 kN m
( ) 1 1=0; = 5 kN =5 kN-mM M x x∑
( ) ( )( )2 2=0 = 5 kN - 6 kN -3M M x x∑( )2= 18- kN-mx
2323
V (kN)
M (kN-m)
V = -1 kN
V = 5 kN
M = 5x1 kN-m
M = (18-x2) kN-m
1
1
0 <3; =5 kN =5 kN-m
x VM x
≤
( )2
2
3< 9; =-1 kN = 18- kN-m
x VM x
≤
15 kN-m
9 kN-m
2424
1
1
0 <3; =5 kN =5 kN-m
x VM x
≤
( )2
2
3< 9; =-1 kN = 18- kN-m
x VM x
≤
ขอสงเกต
2. ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว
1. dM Vdx
=
3. ตรงจดท moment ทวนเขมฯ กระทา moment diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ moment ดงกลาว
V (kN)
M (kN-m)
V = -1 kN
V = 5 kN
M = 5x1 kN-mM = (18-x2) kN-m
Page 7
2525
EXAMPLE
4 m 4 m
50 kN/m
A C
4 m 4 m
50 kN/m
จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0;yF↑ + =∑
Ay
Cx
Cy
0; = 0x xF C+
→ =∑
0;AM+ =∑-50(8)(4)+ (8)=0yC
=200 kNyC
= 200 kNyA
+200-50(8) = 0yA
50(8) kN
2626
x50 kN/m
200 kN V
M
= 0; = 200 -50( )2xM M x x ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠∑
4 m 4 m50 kN/m
200 kN 200 kN
0; 200 kN -50yF V x= =∑0 8x≤ ≤
2= 200 - 25 kN-mx x
50x
2727
V (kN)
M (kN-m)
200 50V x= −
2200 25M x x= −
200 kN
-200 kN
4 m200(4)-25(42)= 400 kN-m
2828
ขอสงเกต
3. ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกมคาสงสด (หรอตาสด)
1. ( )dV w xdx
= −
2. dM Vdx
=
200 50V x= −2200 25M x x= −
V (kN)
M (kN-m)
4 m
Page 8
2929
ตวอยางท 7-3จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0; 0x xF A+
→ = =∑0;CM =∑
0;
2.5 2(5) 0y
y
FC
↑ + =
+ − =∑
5(10) 2(5) 5 50 02yA ⎛ ⎞− + + − =⎜ ⎟
⎝ ⎠2.5 kNyA =
7.5 kNyC =
2(5) kN2.5 m
7.5 kN
0 kN
2.5 kN3030
2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต
7.5 kN
0 kN
2.5 kN
10 5 mx≤ <
0;yF+ ↑ =∑12.5 2 0x V− − =
12.5 2V x= −
0;M =∑1 1 1
12 2.5 02
M x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
21 12.5M x x= −
2x1
3131
0;yF+ ↑ =∑2.5 2(5) 0V− − =
7.5V = −
( )2 22(5) 2.5 2.5 50 0M x x+ − − − =
0;M =∑
27.5 75M x= − +
25 m 10 mx≤ <2(5) kN
2.5 m
3232
10 5 mx≤ <
12.5 2V x= −2
1 12.5M x x= −
25 m 10 mx≤ <
7.5V = −
27.5 75M x= − +
0-7.5107.5-7.5915-7.58
22.5-7.5730-7.56
37.5-7.55-12.5-7.55
-6-5.54-1.5-3.53
1-1.521.50.5102.50MVx
Page 9
3333
10 5 mx≤ <
12.5 2V x= −2
1 12.5M x x= −
25 m 10 mx≤ <
7.5V = −
27.5 75M x= − +
3434
ขอสงเกต1. ตรงจดท moment ทศตามเขมฯ กระทา
moment diagram จะมคาเพมขนเทากบคาของ couple moment ดงกลาว
2. ( )dV w xdx
= −
3. dM Vdx
=
10 5 mx≤ < 12.5 2V x= −2
1 12.5M x x= −
25 m 10 mx≤ < 7.5V = −
27.5 75M x= − −
3535
ตวอยางท 7-4จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
0; 0x xF B+
→ = =∑0;BM =∑
0;
B 0.75 0.5(3)(1.5) 0y
y
F↑ + =
+ − =∑
1 1(3) (3)(1.5) (3) 02 3yA ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠0.75 kNyA =
0.5(3)1.5 kN
1 m
kN 5.1=yB3636
2. หาสมการของแรงเฉอนและสมการของโมเมนต
0 kN1.5 kN0.5 kN
โดยการใชสามเหลยมคลาย( ) 1.5
3w x
x=
( ) 0.5 kN/mw x x=
0;yF+ ↑ =∑10.75 (0.5 ) 02
x x V− − =
20.75 0.25V x= −0;M =∑
1 1(0.5 )( ) 0.75 02 3
M x x x x⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
30.75 0.08333M x x= −
0.5(x)0.5x
x/3
Page 10
3737
20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −
0-1.530.384757-1.07252.70.648005-0.692.40.803253-0.35252.10.864002-0.061.80.8437510.18751.50.7560010.391.20.614250.54750.90.4320.660.6
0.222750.72750.300.750
M(x)V(x)x
3838
20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −
20 0.75 0.25V x= = −1.732 mx =
max3
0.75(1.732)
0.08333(1.732) 0.866 kN-m
M =
−=
( )dV w xdx
= −dM Vdx
=
ตรงจดท shear มคาเทากบศนย moment ทจดดงกลาวมกจะมคาสงสด (หรอตาสด)
3939
ตวอยาง
Pw
aL
b
จงเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
= 100 kN/m = 15 m = 5 m = 10 m = 1000 kN
wLabP
4040
1000 kN100 kN/m
5 m
15 m
10 m
Ay
Ax
Cy
0; -100(5) -1000 0y y yF A C↑ + = + =∑
0; 0x xF A+
→ = =∑= 0;AM+∑
1. หาคาแรงปฏกรยาทจดรองรบ100(5) kN
=750 kNyC
( )-100(5)(2.5)-1000(10)+ 15 =0yC
=750 kNyA
Page 11
4141
Pw
aL
b
x1
x2
x3
เราควรแบงพกดของคานออกเปนกชวง?
4242
750 kN
100 kN/m
V
M
x1
0;M =∑
1
1
0 50; 750 kN -100y
xF V x≤ ≤
= =∑
1
1
at 0, 750 kN 0at 5, 250 kN 2500 kN-m
x V Mx V M
= = == = =
11 1750 -100( )
2xM x x ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠2
1 1750 -50 kN-mx x=
100x1
4343
750 kN
100 kN/m
V
M
5 m
x2
25 100; 750 kN -100(5) 250 kNy
xF V
≤ <
= = =∑
2-
2
at 5, 250 kN 2500 kN-m
at 10 , 250 kN 3750 kN-m
x V Mx V M
= = =
= = =
100(5) kN
( )2 2750 -100(5) - 2.5M x x=0;M =∑( )2 2750 -500 1250 kN-mx x= +
4444
1000 kN
750 kN
100 kN/m
V
M
10 m
5 m
310 150; 750 kN -100(5) -1000 -750 kNy
xF V< ≤
= = =∑
at 10 ; -750 kN 3750 kN-mat 15; -750 kN 0 kN-m
x V Mx V M
+= = == = =
x3
0;M =∑
100(5) kN2.5 m
( )3 3 3750 -100(5) - 2.5 -1000 ( -10)M x x x=
( )3 3-750 -500 11250 kN-mx x= +
Page 12
4545
( )
2
2
5 10 m 250 kN 250 1250 kN-m
xVM x
< <=
= +
1
12
1 1
0 5 m 750 kN -100
750 -50 kN-m
xV xM x x
≤ <=
=
( )
3
3
10 15 m -750 kN -750 11250 kN-m
xVM x
< ≤
=
= +
4646
V (kN)
M (kN-m)
1750 kN-100V x=
-750 kNV =
21 1750 -50 kN-mM x x=
250 kNV =
( )2250 1250 kN-mM x= +
5 m
5 m
10 m
10 m
2500
250
3750
( )3-750 11250 kN-mM x= +
750
750
4747
V
-1000
-500
0
500
1000
0.0 5.0 10.0 15.0V
M
0500
1000150020002500300035004000
0.0 5.0 10.0 15.0
M
4848
V (kN)
M (kN-m)
1750 kN-100V x=
-750 kNV =
21 1750 - 50 kN-mM x x=
250 kNV =
( )2250 1250 kN-mM x= +
5 m
5 m
10 m
10 m
2500
250
3750
( )3-750 11250 kN-mM x= +
750
750
1000 kN100 kN/m
aL
b
( )dV w xdx
= −
dM Vdx
=
ตรงจดท point load พงลงกระทา shear diagram จะมคาลดลงเทากบคาของ point load ดงกลาว
Page 13
4949
EXAMPLE
5050
7.3 ความสมพนธระหวางแรงแผกระจาย แรงเฉอน และโมเมนตดดชวยทาใหเขยน shear diagram และ moment diagram ไดงายขน
5151
ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงแผกระจาย
5252
ชวงของคานทถกกระทาโดยแรงกระทาเปนจดและโมเมนตแรงคควบ
Page 14
5353
สรป:1.
2..
3.
4.
5.
6. เมอโมเมนตแรงคควบมทศทางตามเขมนาฬกาแลว moment diagram จะมคาเพมขน = คาโมเมนตแรงคควบ
เมอแรงกระทาเปนจดมทศทางพงลง แลว shear diagram จะมคาลดลง = คาแรงดงกลาว
การเปลยนแปลงของโมเมนตระหวางจดมคา =พนทภายใต shear diagram ระหวางจดดงกลาว
slope ของ moment diagram ทจดใดๆ มคา = คาของแรงเฉอนทจดนน
slope ของ shear diagram ทจดใดๆ มคา = คาลบของแรง w ทจดนน
การเปลยนแปลงของแรงเฉอนระหวางจดมคา = คาลบของพนทภายใตแรง w ระหวางจดดงกลาว
5454
ขอสงเกต:
ถาแรงถาแรง ww((xx) ) อยในรปอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n degree n แลวแลว VV((xx) ) จะจะอยในรปอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n degree n+1 +1 และและ MM((xx) ) จะอยในรปจะอยในรป polynomial polynomial ทมทม degree n+2degree n+2
ww((xx) = 0) = 0 V=constantV=constant M=linearM=linear
3 m 6 m6 kN
9 kN m 1
1
0 <3; =5 kN =5 kN-m
x VM x
≤
( )2
2
3< 9; =-1 kN = 18- kN-m
x VM x
≤
5555
ww((xx) =constant) =constant V=linearV=linear M=quadraticM=quadratic
ww((xx) =linear) =linear V=quadraticV=quadratic M=cubicM=cubic
4 m 4 m
50 kN/m
A C
200 50V x= −2200 25M x x= −
20.75 0.25V x= −30.75 0.08333M x x= −
5656
ตวอยาง
x (m)
1000Slope = - 500
Slope = - 500
V(N)
x (m)Slope = 0
Slope = 1000-1000
M (N-m)
0
0
Page 15
5757
ตวอยาง
x (m)
V(N)1080
Slope = - 400Slope = 0
600 600
x (m)M (N-m)
-1588 Slope = 600Slope = 1080
Slope = 600-100
-580
5858
ตวอยาง
x (m)
V (N) Slope = 03.5
M (N-m)
1.5
-1.5-3.5
x (m)
Slope = 3.57
Slope = 1.5 10Slope = -1.5
7 Slope = -3.5
5959
ตวอยาง
x (m)
V (N) Slope = 0100
-500 Slope = 0
x (m)
M (N-m) Slope = 1001000
Slope = -500-1500
Slope = -5002500
6060
ตวอยางท 7-6
Page 16
6161 6262
ตวอยางท 7-7
6363
4.4 kN 15.2 kN 1.4 kN 6.0 kN
6464