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4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”DensidadeFSejameduasvariáveisaleatóriasindependentes.EntãoavariávelaleatóriaapresentaumaDensidade“F“comv1grausdeliberdadenonumeradorev2grausdeliberdadeno
denominadordadapor:Onde.Parâmetros:v1,v2sãointeirosposiKvos.
( )211 v~Y χ ( )
222 v~Y χ
22
11
v/Yv/Y
F =
( )( ) ( )
( )2111
21
2
112
2
2
1
21
21
21 122
2vvv
v
vxv
xvv
/v/v
vv
v,v;xf+−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ΓΓ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +Γ
=
∞<< x0
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4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
MédiaeVariância:Exercíciosparacasa:i)Mostrequeamodadeédadapor
( ) 22 2
2
2 >−
= vparavv
XE
( ) ( )( ) ( )
44222
22
221
21222 >
−−
−+== vpara
vvvvvv
XVar σ
( )21 v,v;xf ( ) ( )22 2112 +−= vv/vvF*
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4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”ii)Com,mostrequeémonotönicamentedecrescente.Observaçõesa) Comoumavariávelaleatóriacomdistribuiçãotcomvgraudeliberdade
éobKdacom
,então.b)AstabelascomresultadosparaadistribuiçãoF,emgeral,informamo
valorde“c”talque
21 =v ( )21 v,v;xf
( ) 210 v~Ye,N~Zonde,v/Y
Zχ ( )n,F~Tv 12
( ) ( ) α==≥ ∫∞
cFv,v dxv,v;xfcFP 2121
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4.3Convergência,MédiaeVariânciaAmostraiseasDensidades“t”e“F”
paradiferentesvaloresdosparâmetrosevaloresdeα(porexemplo,0.01,0.025,0.05).
Aplicação:
( ) 323050 11510 ,c,cFP ,; =⇒=≥
( ) 635010 22510 ,c,cFP ,; =⇒=≥
Page 5
5.EsKmaçãoPontual
(M.caps.6,7e8;B.eC.cap.7)
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5.EsKmaçãoPontual
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores5.2MétodosdeEsKmação-MínimosQuadrados-Máxima-Verossimilhança-MétodosdosMomentos
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5.1DefiniçõeseCaracterísKcasdeEsKmadores
ComcaracterísKcapopulacionalapresentandodensidade,ondeΘrefere-seaumparâmetroouconjuntodeparâmetros,entãoaspropriedadesestabsKcasdestacaracterísKcadeinteressedependedeinformaçõessobre.Aobtençãodestasinformações,porsuavez,podeserlevadaaefeitobasicamentededuasformas.
Deformanão-paramétrica:ConhecimentodesemconsiderardiretamenteesKmaKvasparaΘ.Ex.:esKmaçãodeumafunçãoKernel.Deformaparamétrica:AparKrdaesKmaçãodosparâmetrosdeΘde.
( )Θ;xf
( )Θ;xf
( )Θ;xf
( )Θ;xf
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5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
IdéiageraldaesKmaçãoparamétrica:ObterumaesKmaKvadeΘoudeumafunçãot(Θ)doparâmetroaparKr
doconhecimentodeumarealizaçãoouresultadodeumaamostraaleatória,.
EsKmadorPontualSejaumaamostragemaleatóriadeumapopulaçãoquegera
umaamostradetamanhon.AestabsKcaouvetordeestabsKcas,cujosvaloressãousadosparaesKmarparâmetrosoufunçõesde
parâmetros(Θ)oufunçãodeparâmetros(q(Θ))échamadoumesKmadorpontual.
Notação::esKmadorΘouq(Θ):esKmando:esKmaKva
( )nX,...XX 1=
( ),X,...X,X n1
nx,...x1( )XtT =
( )XtT =
( )xt
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5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Ex.5.1:Amostragemaleatóriadetamanho10deumapopulaçãocommédiaµe
variânciagerouaseguinteamostra:(1,3,0.5,2,3,1.5,2,2,1,3).Então,nestecaso,podeserumesKmadorparaµ(=Θ)::es1madorµ(=Θ):es1mando:es1ma1vaQuestão:comoescolherentreestabsKcasumesKmadorparaΘΘout(Θ)?
2σ
10X
∑=
−=n
iin XnX
1
1
( )31225132503110 1 +++++++++− ..
( )XtT =
Page 10
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Comotambéméumavariávelaleatória,aavaliaçãodesuaspropriedadeséfeitaconsiderandosuadistribuiçãoamostralparaocasodeamostrasfinitasoubaseando-seemdistribuiçõesassintóKcas(propriedadesparaamostrasfinitasintratáveisouinexistênciademomentos)
a)AmostrasFinitasErroQuadradoMédio(EQM):OErroQuadradoMédiodeumesKmadorTdeΘédefinidocomo:,ondeindicaqueovaloresperadoéobKdousandoovalorparKcularΘparao(s)parâmetro(s).
( )XtT =
( )2Θ−= Θ TEEQM
ΘE
Page 11
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
ÉpossívelperceberqueoEQMinformatantoarespeitodadispersãonadistribuiçãoamostraldeT,comoarespeitododesviodovaloresperadodeTemrelaçãoaΘ.Antesdemostraresteresultado,estaúlKmaidéiadeveserpostamaisformalmente.
ViésdoEsKmador:OviésdeumesKmadorTdeΘédefinidocomo:Assim,dadefiniçãodeEQM(etomandoTcomoescalar):
( ).TEViés Θ−= Θ
( ) ( ) ( )[ ] =Θ−+−=Θ−= ΘΘΘΘ22 TETETETEEQM
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]=Θ−+Θ−−+−= ΘΘΘΘΘ22 2 TETETETTETE
( )( ) ( )( )[ ]=Θ−+−= ΘΘΘ22 TETETE
Page 12
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
=,ouseja,amedidaEQMpenalizaoesKmadorcommaiorvariânciaeou
commaiorviés.Ex.5.2(M.c.7):esKmadoresde.ConsidereosesKmadoresdedeumapopulaçãocomdistribuição
Normal:eObtenhaosEQM.Sabemosque,assim:
( )( ) ( )( )[ ]22 Θ−+−= ΘΘΘ TETETEEQM ( ) ( )TViésTVar 2ΘΘ +
2σ2σ
( )2
1
12 ∑=
− −=n
iin XXnS ( ) ( ) 2
2
1
12
11 n
n
ii S
nnXXnˆ−
=−−= ∑=
−σ
( ) 22 1σ
nnSE n−
=
( ) ( ) 2222 111
σσσ =−
−=
−=
nn
nnSE
nnˆE n
Page 13
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Alémdisto,,oquepermiteobter:.Comtaisresultados,eLogo:
( ) ( ) 42
2 12σ
nnSVar n−
=
( )( )
( ) 4422
222
1212
11σσσ
−=
−
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=nn
nnnS
nnVarVar n
( ) ( ) ( ):SViésSVarSEQM nnn2222
ΘΘ +=
( ) ( )( )2
2222222 1⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=−= σσσ
nnSESViés nn
( ) ( ) 42
2 12σ
nnSVar n−
=
( ) ( )=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−+
−=
2224
22 112
σσσnn
nnSEQM n
( ) ( ) ( ) 422
424424
2
1212112σ
σσσσ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−−−+
−=
nn
nnnnn
nn
Page 14
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
,jáque.Finalmente,épossívelnotarque:Note-sequetemmenorEQM,emboratenhamaiorviés:hátrade-off
aquientreviésevariância.Noexemploacima,foipossíveluKlizaroEQMcomocritériodeescolha
entredoisesKmadoresindependentementedosvaloresdoparâmetrooudotamanhodaamostra,oquenemsempreéocaso.
( ) ( ) ( )=+= 2222 σσσ ˆViésˆVarˆEQM
( ) ( )1
21
2 4222
42
−=−+
−=
nnˆEQM σ
σσσ
σ ( ) 22 σσ =ˆE
( ) ( )2442
2
1212
σσσ ˆEQMnn
nSEQM n =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
2nS
Page 15
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Ex.5.3(M.c.7):Considereumaamostra,derivadadeumapopulaçãoaocom
densidadedeBernoulli.Assim,osvaloresdaamostraserãotaisque.ConsideretambémdoisesKmadoresparaoparâmetrodesconhecidop:ObtenhaoEQMparaestesesKmadoresaparKrdesuasvariânciaseviés.i)Tjáquepois
( )nX,...X,X 1
( ) ( ) ( ) ( )xIppp;xfexoux ,xx
ii 101101 −−===
( ) ∑∑=
−
=
− +===n
ii
n
iin Xn*TeXnXT
1
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) 01
1
1
1
1 =−=−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=−= −
=
−
=
− ∑∑ pnp.npEXnpXnpXETViésn
ii
n
iin
( ) pXE i =
( )( ) ( ) ( )
npp
npnp
n
XVarXnVarTVar
n
iin
ii
−=
−==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=∑
∑ =
=
− 1122
1
1
1
( ) ( )ppXVar i −= 1
Page 16
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Assim,ii)T*
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ppppTViésTVarTEQM2510
251 22 −
=−−
=+=
( ) ( ) ( ) =−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+= −
=
−
=
− ∑∑ pp.nnnnpEXn
nnpX
nnpXnE*TViés
n
ii
n
ii
1
1
1
1
1
1111
!
261ppp.
nn −
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
( ) ( )( )
( ) ( )( )21
21 1
111
11 +
−=
+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
= ∑∑== n
pnpXVarn
n/XnnVarX
nnVar*TVar
n
ii
n
ii
!
( )( )
( )0427
1261252 ,
pppp −=
−=
( ) ( ) ( ) ( )2
22
2604271 p,ppTViésTVar*TEQM +
−=+=⇒
Page 17
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Finalmente,teremoseAcomparaçãoentreosdoistermosilustraumadificuldadedocritériodo
EQM:emgeral,comodependedosparâmetros,ocritérionãopermiteobterum“melhor”esKmador.
FazendoNota-sequeRcrescemonotônicamentecomp,éiguala0,9246parap=0e
divergeparainfinitoquandoptendea1
( ) ( )251 ppTEQM −
= ( ) ( )2
2
2604271 p,pp*TEQM +
−=
( )( )
( )
( ) ( ) ( )p/p,,p/p,pp
p,pp
TEQM*TEQMR −+=−+=
−
+−
== 137009246012625
042725
251
2604271
2
2
2
Page 18
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
ComoocritériodoEQMnãopermitesempreselecionarummelhoresKmador,faz-seusoderestriçõesadicionaisassociadasàsnoçõesdeesKmadornão-viesadoelinearidadedoesKmador.
EsKmadorNão-ViesadoUmesKmadorTéditoumesKmadornão-viesadodeΘ(oudeq(Θ))se.Caso,TéditoesKmadorviesado
deΘ.Ex.5.3:MédiaamostralevariânciaamostralSejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocommédiaµe
variância.Mostre:a)éesKmadornão-viesadodeµb)éesKmadorviesadode
( ) ( ) ( )( )Θ=Θ= ΘΘ qTEouTE ( ) Θ≠Θ TE
( )nX,...X,X 1
∞<2σ∑=
−=n
iin XnX
1
1
( )2
1
12 ∑=
− −=n
iin XXnS ∞<2σ
Page 19
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
c)éesKmadornão-viesadodePeloTeorema4.6,foimostradoque,logo
( )2
1
2
1∑=−
−=
n
iin XX
nnS ∞<2σ
( ) ( ) 22 1σµ
nnSEeXE nn−
==
( ) viesadonãoéXXE nn −⇒=− 0µ
( ) viesadoéSnn
nnnnSE nn
22222
2222 01⇒≠
−=
−−=−
−=−
σσσσσσσ
( ) ( ) 0111
222222 =−−
−=−
−=− σσσσ
nn
nnSE
nnSE nn
( ) ( )
2
1
2
1
2
22
111σdeviesadonãoestimadorén
XX
n
XX
nnS
nnS
n
ii
n
ii
nn
−
−
−=
−
−=
−=⇒
∑∑==
Page 20
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Deveserevidentequeaqualidadedenão-viesadonadainformaarespeitodoquãodispersoemtornodoparâmetroestãoospossíveisvaloresdoesKmador.
EsKmadorNão-ViesadodeVariânciaMínima(MVUE)UmesKmadorTéditoesKmadornão-viesadodevariânciamínimado
parâmetroΘseTénão-viesadoeparatodovalordeΘequalqueresKmadornão-viesadoT*.
Ex.5.4(baseadoemB.eC.c.7):Sejaumaamostraaleatória,deumapopulaçãocomdistribuição
dePoisson(λ),econsiderecomoesKmadoresdoparâmetroλ.QualdestesesKmadoresdeveseropreferido?
( ) ( )*TVarTVar ΘΘ ≤
( )nX,...X,X 1
2
1 nn SnneX ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
Page 21
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Comoésabido,paraadensidadedePoisson,Comaamostraaleatória,seguetambémque
eOquesignificaquesãoesKmadoresnão-viesadosdeλ.Jávimosque.Alémdisto,com
2
1 nn SnneX ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
( ) ( ) λσλµ ==== 2XVareXE
( ) λµ ==XE! ( ) λσ =
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
222 1111 nn
nnSE
nnS
nnE nn
( ) ( ) n/XVarn/XVar λσ =⇒= 2
( ) preferidoestimadoréXSnnVarn/XVar nnn ⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−
<= 22
1σ
Page 22
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
EsKmadorLinearNão-ViesadodeVariânciaMínimaouMelhorEsKmadorLinearNão-Viesado(BLUE)
UmesKmadorTdeumaparâmetroΘéditomelhoresKmadorlinearnão-viesadodesteparâmetrose:
i)Téfunçãolinear:ii):Ténão-viesadoiii)Ttemvariânciamínima(oumenormatrizdecovariâncianocasodeT
servetor)entreosesKmadoresnão-viesadosquesãofunçõeslinearesdeX
Onde:A=vetor(Tescalar)oumatriz(Tvetor)b=escalar(Tescalar)ouvetor(Tvetor)
bAXT +=
( ) Θ∀Θ=Θ ,TE
[ ]'X,..........XX n,1=
Page 23
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
ComoumesKmadorBLUEtemmínimavariânciaentreosesKmadoreslinearesnão-viesados,eleéditoeficientedentrodestegrupodeesKmadores.
Ex.5.6(M.c.7)Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomdensidadeapresentandomédiaevariância.Qualo
esKmadorBLUEdamédia(µ)dadistribuiçãopopulacional?-Linearidade:-Não-viesado:
( )nX,...X1( )Θ;zf ( )Θ= 1qµ ( )Θ= 2
2 qσ
( ) bXaXt i
n
ii +=∑
=1
( )( ) ( ) babXEabXaEXtEn
iii
n
iii
n
ii +=+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⇒= ∑∑∑=== 111
µµ
Page 24
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Então,para,deve-seter:Ouseja,.-Variânciamínima:
Poisaamostraéaleatória(Xisãoiid).Paraobterosvaloresdeaideve-se,agora,minimizar
( )( ) µ=XtE 011
==∑=
bean
ii
( ) babXEabXaEn
iii
n
iii
n
ii +=+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ + ∑∑∑=== 111
µ
( ) i
n
ii XaXt ∑
=
==1
( )( ) ( )nni
n
ii Xa.........XaVarXaVarXtVar ++=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛= ∑=
111
( ) ( ) ∑=
=++=n
iinn aXVara.....XVara
1
2221
21 σ
∑=
n
iia
1
22σ
Page 25
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Ouseja,Taiscondiçõesindicamqueosaidevemseriguaiseque:Ouseja,.Destaforma,oBLUEdeµédadopor:
⇒=∑∑==
111
22
1
n
ii
n
ii
a,....aaasujeitoamin
n
σ
1
1021
1
2
11
22
=
==−⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=∑∑∑=
==
n
ii
in
ii
n
ii a
n,....,ia\aaL
λσλσ
n/anaan
ii 111
1=⇒=⇒=∑
=
n/a....aa n 121 ====
( ) ni
n
iXX
nXtT === ∑
=1
1
Page 26
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
PropriedadesAssintóKcasQuandoaspropriedadesparaamostrafinitassãodiqceisdeseremobKdas
oumesmoimpossíveisdevidoainexistênciademomentos,aescolhaentreesKmadoresdeveserbaseadanadistribuiçãoassintóKcadosesKmadores.
EsKmadorConsistente:UmesKmadorTnéditoumesKmadorconsistentedoparâmetroΘsee
somenteseparatodoΘ.Ouseja,consistênciadoesKmadorexigeconvergênciaemprobabilidade
paraovalordoparâmetro:
Θ=Θ nTlimp
( ) 1=<Θ−∞→ εnn TPlim
Page 27
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Ex.5.6:Consistênciade.Sejaumaamostraaleatóriadeumapopulaçãocomdensidade
com.MostrequeoesKmadordeµéconsistente.
Primeiro,note-squeénão-viesado:Paraaconsistência,énecessárioque:PelaDesigualdadedeChebyshev,sabe-seque:ou,fazendo:
nX
( )nX,...X1 ( )Θ;zf( ) ( ) ∞<== 2σµ ZVareZE nX
nX
( ) ( ) µµµ === −
=
− ∑ n.nXEnXEn
iin
1
1
1
( ) .,XPlim nn 01 >=<−∞→ εεµ
( ) 21 k/kXPnXn ≤≥− σµ εσ =
nXk ( )
2
2
1ε
σεµ nX
nXP −≥<−
Page 28
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Com,E,assim,éumesKmadorconsistentedeµ.Observações:i)SãocondiçõessuficientesparaaconsistênciadeumesKmadorofato
delenãoserviesadoetersuavariânciaconvergindoparazero.Taiscondiçõessuficientesparaaconsistênciaestãoassociadasaofatode
queConvergênciaemQuadradoMédioImplicaemConvergênciaemProbabilidade(e,assim,consistência)
( )2
2
1ε
σεµ nX
nXP −≥<−
n/nX
22 σσ =
( ) oun/
limXPlim nnn 112
2
=−≥<− ∞→∞→ε
σεµ
( ) 1=<−∞→ εµnn XPlim
nX
Page 29
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
ConvergênciaemQuadradoMédio:UmasequênciadevariáveisaleatóriasconvergenoQuadradoMédio
paraumavariávelaleatóriaYse.Notação:Comofoivisto,oEQMpodeserexpressocomo:Oquepermitenotarqueasseguramque
{ }nY
[ ] 02 =−∞→ YYElim nn
.YY mn ⎯→⎯
[ ] ( ) ( )[ ]22 YYEYVarYYEEQM nnn −+=−=
( ) ( )[ ] 00 2 =−= ∞→∞→ YYElimeYVarlim nnnn
[ ] 02 =−= ∞→∞→ YYElimEQMlim nnn
Page 30
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Destaforma,seéumesKmadornão-viesadodeY,ouseoviésconvergeparazero,eavariânciadeconvergeparazeroquandon→∞,entãotalesKmadorconvergenoErroQuadradoMédio.
Paraseperceberqueimplica(convergênciaem
probabilidade)e,assim,demonstraravalidadedaobservaçãoanterior,éúKl,maisumavez,aDesigualdadedeMarkov.
NestesenKdo,lembre-se(pelaDesigualdadedeMarkov)que:,ondeg(x)éumafunçãoqueassumevaloresnão-negaKvos.Fazendo
nn YT =nT
Θ⎯→⎯mnT Θ=nTlimp
( )( ) ( )( ) 0>≤≥ a,a/xgEaxgP
( ) ( ) :aeYYxg n 022 >=−= ε
( )( ) ( ) 2222 εε /YYEYYP nn −≤≥−
Page 31
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Notandoque,épossívelfazer:ParaaConvergêncianoQuadradoMédio,oque,deacordocomoresultadoacima,implica:
( )( ) ( ) 2222 εε /YYEYYP nn −≤≥−
( )( ) ( )εε ≥−=≥− YYPYYP nn22
( ) ( ) ou/YYEYYP nn22 εε −≤≥−
( ) ( ) 221 εε /YYEYYP nn −−≥<−
( ) 02 =−∞→ YYElim nn
( ) ,sejaou,,YYPlim nn 01 >∀=<−∞→ εε YYlimp n =
Page 32
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
ii)EsKmadorpodeserconsistentemesmoquando:ou.Ouseja,consistênciaestáassociadaàconvergênciadadensidadeemtono
dovalordoparâmetroenãonecessariamenteàconvergênciadovaloresperado.
Ex.5.7:ConsidereadensidadedeumesKmadordadapor,ouseja,ovalordoesKmadortemdensidadediferentedezeropara.
( )( )0≠nTEviesadoÉnT
( ) Θ≠∞→ nn TElim
( ) { }( ) { }( )nnnn tIn
tIn
;tf 111 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Θ Θ
ntout nn =Θ=
Page 33
5.1DefiniçõesePropriedadesdeEsKmadores
Assim,e.Contudo,note-seque:.Então,,ouseja,éumesKmadorconsistentedeΘ.
( ) { }( ) { }( )nnnn tIn
tIn
;tf 111 +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Θ Θ
( ) Θ≠+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Θ=
n.n
nTE n
111
( ) Θ≠⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−Θ= ∞→∞→
n.n
nlimTElim nnn
111
( ) ( ) 1110 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Θ===Θ− ∞→∞→∞→n
limtPlimtPlim nnnnn
( ) 1=<Θ−∞→ εnn tPlimnT