§4.2 椭椭椭 椭椭椭椭 椭椭椭 、、 椭椭椭椭椭椭椭: 二二二二 椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭. 椭椭椭椭椭椭椭椭椭 椭椭椭 . 椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭: 椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭 椭椭椭椭椭椭 椭 ,( 椭椭 椭椭椭椭 椭椭椭椭椭椭椭 椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭 ),,. 椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭.
Dec 30, 2015
§4.2 椭球面、双曲面、抛物面
二次曲面的定义:
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面.
相应地平面被称为一次曲面.
讨论二次曲面形状的截痕法: 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌.
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面.
椭球面的方程
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax 椭球面
椭球面与三个坐标面的交线:
,
0
12
2
2
2
zby
ax
,
0
12
2
2
2
ycz
ax
.
0
12
2
2
2
xcz
by
o
z
yx
椭球面与平面 的交线为椭圆1zz
1
21
22
2
2
21
22
2
2
1)()(
zz
zccb
y
zcca
x
同理与平面 和 的交线也是椭圆 .1xx 1yy
椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化 .
cz || 1
椭球面的几种特殊情况:
,)1( ba 12
2
2
2
2
2
cz
ay
ax
0
12
2
2
2
yc
z
a
x由椭圆 绕 轴旋转而成.z
旋转椭球面与椭球面的区别:
12
2
2
22
cz
ayx
方程可写为
与平面 的交线为圆 .1zz )||( 1 cz
旋转椭球面
与平面 的交线为椭圆 .1zz
1
2
21
2
2
2
2
1
zzcz
by
ax
( 2 )用坐标面 与曲面相截)0( yxoz
截得中心在原点的双曲线 .
0
12
2
2
2
ycz
ax 实轴与 轴相合,
虚轴与 轴相合 .xz
当 变动时,这种椭圆的中心都在 轴上 .
1zz
一、椭圆抛物面的概念 ( 解析定义法 )• 定义定义 4.6.14.6.1 在直角坐标系下,由方程 在直角坐标系下,由方程
• (4.6-1)(4.6-1)
• • 所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做椭圆抛物面椭圆抛物面
2 2
2 22 , 0
x yz a b
a b
方程方程 (1)(1) 叫做椭圆抛物面的叫做椭圆抛物面的标准方程标准方程 ..
2 2
2 22 2 2, 2 2 ,x
x ya b y az z
a b 当 时取
二、椭圆抛物面的性质
3 3 范围范围
为椭圆抛物面的顶点为椭圆抛物面的顶点 ..
关于关于 z z 轴,轴, xOz xOz 、、 yOz yOz 坐标平面对称坐标平面对称 ;;
0,0,0
2 2 顶点顶点
1 1 对称性对称性
方程方程(( 4.6-14.6-1 )表示的)表示的曲面全部在曲面全部在 xOy xOy 平面的一侧平面的一侧 ..
② 用 y = 0 截曲面
③ 用 x = 0 截曲面
① 用 z = 0 截曲面 0 0,0,0zC 顶点:
2 2
0
2
0.y
x a zC
y
抛 线
,: 物
Cx = 0
Cy = 0
三、椭圆抛物面的图形 (平行截割法 )
ⅰ) 用坐标面截割 两条主抛物线具有相同的顶点 ,对称轴和开口方向
x
z
yO
① 用 z = h (h>0) 截曲面
结论:椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动(大小位置都改变)而产生,该椭圆在变动中,保持所在平面与 xOy 面平行,且两对顶点分别在两主抛物线上滑动
ⅱ) 用平行于坐标面的平面截割
2 2
2 21,
2 2.
z h
x yC a h b h
z h
椭圆:
x
z
yO
ⅱ) 用平行于坐标面的平面截割
② 用 y = k 截曲面
22 2
22
2
.y k
yx a z
C b
y k
抛 线,
: 物
结论:取这样两个抛物线,它们所在的平面互相垂直,它们的顶点和轴都重合,且两抛物线有相同的开口方向,让其中一条抛物线平行于自己(即与抛物线所在的平面平行),且使其顶点在另一个抛物线上滑动,那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面 .
x
z
yO
例 已知椭圆抛物面 S 的顶点在原点,对称面为 xOz 面
与 yOz 面,且过点 和 ,求这个椭圆抛物面的方程。
1,2,6 1, 1,1
3
分析:对称面为 xOz 面与 yOz 面
2 2
2 22 , 0
x yz a b
a b
且 1(1,2,6), ( , 1,1)
3S
,a b
一、双曲抛物面的概念
定义定义44 .. 66 .. 22 在直角坐标系下,由方程 在直角坐标系下,由方程 (( 4.6-4.6- 2)2)
所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做双曲抛物面双曲抛物面
其中其中 aa ,, bb 为任意的正常数为任意的正常数 ..
2 2
2 22
x yz
a b
方程(方程( 4.6-4.6- 2)叫做2)叫做双曲抛物面的标准方程双曲抛物面的标准方程 ..