4. Seminarski Rad MATLAB

EVROPSKI UNIVERZITETPEDAGOŠKI FAKULTETINFORMATIKA

SEMINARSKI RAD

MATLAB: „KOMPARACIJA IZMEĐU DVIJE UPRAVLJAČKE ŠEME“

1

Prof. Dr Siniša Minić

(PROFESOR)

Senad Eminović

(Student)

Sadržaj :

1.Zadatak---------------------------------------------------------------------------------------------------------3 1.1 Komparacija izmedju dvije upravljačke šeme------------------------------------------------------32.Uvod-----------------------------------------------------------------------------------------------------------43.Rad------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 3.1 Zatvorena povratna petlja po poziciji.---------------------------------------------------------------6 3.2 Zatvorena povratna petlja po poziciji i brzini.----------------------------------------------------124. Zaključak--------------------------------------------------------------------------------------------------175. Literatura--------------------------------------------------------------------------------------------------18

2

1. Zadatak

1.1 Komparacija izmedju dvije upravljačke šeme

U cilju komparacije izmedju dvije upravljačke sheme (upravljanje sa zatvorenom pozicionom i zatvorenom poziciono-brzinskom povratnom spregom), razmatra se dvo-zglobna planarna ruka sa slijedećim parametrima (nacrtati dvozglobnu planarnu ruku):

a1 = a2 = 0.7ml1 = l2 = 0.5m ml1 = ml2 = 30kg (mase članka) Il1 = Il2 = 9kgm2 (momenti inercija u odnosu na centar mase članka)

Parametri aktuatora:

Ra1 = Ra2 = 10 Ω Im1 = Im2 = 0.04kgm2 (momenti inercija u odnosu na ose rotora)kv1 = kv2 = 3Vs/rad (momentna konst. motora)kt1 = kt2 = 2Nm/A (brzinska konst. motora)Fm1 = Fm2 = 0.04Nms/rad

Zglobna upravljačka shema sa povratnom spregom po poziciji ima slijedeće parametre:ktp = 1Zglobna upravljačka shema sa povratnom spregom po poziciji i brzini ima slijedeće parametre:ktp = ktv = 0.8

ζ = 0.8 i ωn = 4rad/s.

Uporediti odzive sistema u MATLAB/Simulinku za dvije upravljačke sheme. Uporediti ovako dobivene rezultate za preskok (PO) i Ts (vrijeme smirenja) sa analitičkim proračunom. Komentarisati. Odrediti redukcioni faktor, te vrijeme oporavka izlaza.

3

2. Uvod

Najjednostavnija upravljačka strategija koja se može razmatrati je ona koja se odnosi na manipulator koji se sastoji od n nezavisnih sistema (n zglobova) i upravljanje svakom od osa zglobova kao sistemom tipa jedan ulaz/jedan izlaz. Uticaj efekata pojedinih zglobova na druge zglobove usljed mijenjanja konfiguracije tokom kretanja prikazuje se kroz poremećaje ulaza.

Slika 2.1 Blok šema upravaljanja osnaženog zgloba

Sistem koji se upravlja je motor i-tog zgloba koji odgovara sistemu tipa jedan ulaz/jedan izlaz prikazan kao dio linearne šeme na Slici 2.1. Interakcija sa drugim zglobovima je opisana komponentom i vektora d.

Bez gubitka opštosti, aktuator je uzet kao rotacioni DC motor. Stoga se blok šema zgloba i može predstaviti u domenu kompleksne varijable s kao na Slici 6.4. Na ovoj šemi je ugaona

varijabla motora, I je prosječna vrijednost inercije na osovini motora , Ra je armaturni

otpor (samoinduktivnost se zanemaruje), kt i kv su momentna i naponska konstanta. Dalje, Gv

označava naponsko pojačanje pojačala snage, tako da referentni ulaz nije armaturni napon Va, nego ulazni napon Vc pojačala; uočiti da pretpostavljeni propusni opseg mnogo veći od propusnog opsega upravljanog sistema. Na šemi sa Slike 2.1, takođe je pretpostavljeno da je:

,

na primjer, koeficijent mehaničkog viskoznog trenja se zanemaruje uz uvažavanje koeficijenta električnog trenja.

Ulazno/izlazna prenosna funkcija motora se može pisati kao:

gdje su:

4

, ,

naponsko pojačanje i vremenska konstanta motora, respektivno.

Pri odabiru upravljačke strukture treba uočiti da se efektivno otklanjanje smetnje d na izlaz osigurava sa:

velikim faktorom pojačanja prije tačke djelovanja poremećaja, primjenom integralnog djelovanja u upravljačkoj jedinici da bi se poništili efekti

djelovanja gravitacijske komponente na izlazu u stacionarnom stanju (konstanta ).

Slika 2.2 Blok šema nezavisnog upravljanja zglobom

Ove potrebe nameću nužnost upotrebe proporcionalno-integralnog (PI) upravljačkog djelovanja u direktnoj stazi čija je prenosna funkcija data sa:

;

Pri djelovanju konstantnih poremećaja na sistem greška stacionarnog stanja postaje nula, a postojanje realne nule ukazuje na stabilizaciju procesa. Da bi se poboljšale dinamičke performanse, kontroler se predstavlja kao kaskada elementarnih djelovanja u lokalnim povratnim petljama zatvorenim u okolini poremaćaja.

Pored zatvaranja povratne petlje po poziciji, najopštije rješenje se postiže zatvaranjem unutrašnjih petlji i po brzini i po To dovodi do šeme koja je prikazana na Slici 2.2, gdje CP(s), CV(s) i CA(s), respektivno, predstavljaju prenosne funkcije PI regulatora za poziciju, brzinu i ubrzanje, da bi se postigla nulta greška u stacionarnom stanju pri konstantnoj smetnji. Dalje, kTP, kTV i kTA su, respektivno, konstante transduktora. Na šemi sa Slike 2.2 treba uočiti da je momentni poremećaj D pomoću faktora preveden u naponski oblik.

5

3. Rad

3.1 Zatvorena povratna petlja po poziciji.

Slika 3.1.1Blok šema upravljanja zglobom sa zatvorenom povratnom petljom po poziciji

U ovom slučaju, upravljačko djelovanje je okarakterisano sa:

,

,

,

.

Šema sa slike 3.1.1 pokazuje da je prenosna funkcija direktne staze data sa:

,

dok je prenosna funkcija povratne grane data sa:

6

.

Na temelju pojačanja pozicijske petlje koje je dato sa:

moguće je izvršiti analizu regulacijskog kruga primjenom metode geometrijskog mjesta korijena. Ilustrovane su tri situacije za polove sistema sa zatvorenom petljom koje se odnose na vezu između TP i Tm .Stabilnost sistema u zatvorenoj povratnoj petlji nameće neka ograničenja vezana za izbor parametara PI regulatora. Ako je , sistem je nestabilan (Slika 3.1.2a). Zbog toga mora biti (Slika 3.1.2b). Kako se TP povećava, povećava se i apsolutna vrijednost realnog dijela dva korijena, te sistem ima brže vrijeme odziva. Dakle, dobro je ostvariti da je (Slika 3.1.2c). U svakom slučaju, realni dio dominantnih polova ne može biti manji od .

Slika 3.1.2Geometrijsko mjesto korijena za pozicionu povratnu upravljačku šemu

Prenosna funkcija zatvorene petlje data kao odnos ulaz/izlaz:

7

,

može se predstaviti u obliku:

,

gdje su i prirodna frekvencija i faktor prigušenja para kompleksnih polova, respektivno i locira realne polove. Ove vrijednosti se dodjeljuju da bi se definisala dinamika osnaženog

zgloba kao funkcija od TP; ako je , tada je (Slika 3.1.2b); akje (Slika 3.1.2c), za velike vrijednosti pojačanja, tada je i nula u u prenosnoj funkciji W(s) teže ka poništenju efekta realnog pola.

Prenosna funkcija zatvorene petlje data kao odnos smetnja/izlaz:

pokazuje da vrijedi povećati KP da bi se reducirao efekat poremećaja na izlaz tokom trazijentnog

stanja.Predhodna funkcija u izrazu ima dva kompleksna pola , realni pol (

) i nulu u ishodištu koordinatnog sistema. Nula je posljedica PI regulatora i dozvoljava poništavanje efekata gravitacije u ugaonoj poziciji kada je konstantno.Veličina

XR=KPkTP

može biti interpretirana kao faktor potiskivanja smetnje,koji je određen pojačanjem KP. Kako god, nije preporučljivo mnogo povećavati KP zato što mali nivoi prigušenja mogu rezultirati neprihvatljive oscilacije na izlazu. Vrijeme oporavka izlaza TR koje je potrebno sistemu da eliminiše efekte smetnje može se proračunati analizom kretanja (6.11). Kako je τ ≈ TP to je TR

izraženo kao:

TR=max3{ TP ,1/ξωn}

Dakle za zadane podatke imamo slijedece:

8

kgm2

Kako je Tp>>Tm onda biramo da nam je Tp=5 i Kp=5.

Za ove vrijednosti prenosna funkcija sistema ima slijedeci oblik:

Odavdje slijedi da je:i

Preskok i vrijeme smirenja za ovako dobijen sistem 2 reda su:

=1.5

iTs=1.063 s

Faktor potiskivanja smetnje i vrijeme oporavka iznose:

XR=KPkTP=5*1=5

TR=3max{ TP ,1/ξωn}=15 s.

9

U nastavku je posmatrani sistem predstavljen i Simulinku .

Slika 3.1.3

Izlaz iz sistema je dat na slici ispod

Slika 3.1.4

Odziv sistema na step ulaz se moze dobiti i koristenjem matlab funkcije step.

Kp=5;Tp=5;

num=[Tp 1];den=[0.23/Kp 3/Kp Tp 1];A=tf(num,den);step(A)

Rezultat je prikazan na slici 3.1.5.

10

Slika 3.1.5.

Može se zaključiti da parametri odziva relativno malo odstupaju od izračunatih vrijednosti koristeći aproksimaciju sistemom drugog reda.

11

3.2 Zatvorena povratna petlja po poziciji i brzini.

Slika 3.2.1

U ovom slučaju, upravljačko dijelovanje je okarakterizovana kao:

CP(s)=KP CV(s)=KV(1+sTV)/s CA(s)=1

kTA=0Za izvođenje geometrijskog mjesta korijena kao funkcije pojačanja brzine povratne sprege

potrebno je reducirati brzinsku petlju paralelno pozicionoj petlji slijedeći uobičajena pravila pomjeranja blokova. Sa Slike 6.8 prenosna funkcija prethodnog dijela je:

dok je

Slika 3.2.2

12

Geometrijsko mjesto korjena pozicije i brzine regulatora sa povratnom petljom

Nula regulatora na može se izabrati tako da poništi efekt realnog pola motora na .

Zatim postavljanjem:,

polovi sistema sa zatvorenom petljom se pomijeraju na geometrijskom mjestu korijena kao funkcija porasta petlje kmKvkTV, kao što je prikazano na Slici 6.9. Povećavanjem koeficijenta priraštaja Kp, moguće je ograničiti polove zatvorene petlje na područje kompleksne ravni sa velikim apsolutnim vrijednostma realnog dijela. Zatim, stvarna lokacija može biti uspostavljena pogodnim izborom Kv.

Ulazno/izlazna prenosna funkcija zatvorene petlje je:

koja se može uporediti sa običnom prenosnom funkcijom sistema drugog reda.

Može se primijetiti da je pogodnim izborom pojačanja moguće postići bilo koju vrijednost prirodne frekvencije ωn i koeficijenta prigušenja ζ. Ukoliko su ωn i ζ poznate vrijednosti, moguće je odrediti slijedeće relacije:

Dakle za zadane podatke imamo slijedece:

kgm2

13

A iz Tm=Tv slijedi Tv = 0.076 sek.

vrijednosti za ktv, ktp, ζ i ωn su date i iznose: ktp = ktv = 0.8

ζ = 0.8 i ωn = 4rad/s.Pa vijedi slijedeće:

odavdje se dobiju vrijednosti za Kv i Kp:

Kv=24Kp=2.5

Preskog P.O. i vrijeme smirenja Ts iznose:

=1.5 %

iTs=1.25 s

faktor potiskivanja smetnje:

=2.5*0.8*24=48

koji je fiksan kada se koeficijenti Kp i Kv odrede jednačinama (6.16) i (6.17). Procjena vremena oporavka izlaza (regeneracije izlaza) data je vremenskom konstantom:

14

U nastavku je posmatrani sistem predstavljen i Simulinku .

Slika 3.2.3

Izlaz iz sistema je dat na slici ispod

Slika 3.2.4

Odziv sistema na step ulaz se moze dobiti i koristenjem matlab funkcije step.

Kp=2.5;Kv=24;ktp=0.8;ktv=0.8;Tv=0.07;Tm=0.07kv=3;km=1/3;num=[Tv*km*Kp*Kv km*Kp*Kv]den=[Tm (1+Tv*km*Kv*ktv) km*Kv*(ktv+Tv*Kp*ktp) km*Kp*Kv*ktp];A=tf(num,den);step(A)

Rezultat je prikazan na slici 3.2.5.

15

Slika 3.2.5.

Na osnovu dobijenih rezultata možemo zaključiti da kod upravljanja u poziciono – brzinskoj povratnoj vezi redukcije smetnje bolja i da je vrijeme oproravka izlaza znatno kraće pa je ovakav sistem značajno brži u odnosu na sistem sa pozicionom povratnom vezom.

16

4. Zaključak

Cilj seminarskog rada je bio poređenje dvije upravljačke šeme i to upravljanje sa zatvorenom pozicionom i zatvorenom poziciono-brzinskom povratnom spregom.Može se vidjeti da je upravljanje sa zatvorenom poziciono-brzinskom povratnom spregom mnogo brže i robusnije na vanjsku smetnju što se vidi iz vrijednosti za faktore redukcije i vrijeme oporavka sistema.

5. Literatura :

1. Računarski alati, Prof. dr. Siniša G. Minić. – Brčko : Evropski univerzitet Brčko Distrikta, 2012

Internet :

2. http://www.cet.rs/CETcitaliste/CitalisteTekstovi/761.pdf ( 16. 11. 2012 )

3. http://math.fon.rs/dragan/slike_za_web_stranu/matematika_i_matlab(2003).pdf (16.11.2012)

4. http://www.mi.sanu.ac.rs/~gvm/Teze/ZbirkaNumerickaAnaliza.pdf ( 19.11.2012)

5. http://www.mathos.unios.hr/~ntruhar/NLA.pdf ( 25.11.2012)

18