4. RESOLUCIÓN DE LOS CASOS PLANTEADOS 4.1. INTRODUCCIÓN Los desarrollos y revisiones teóricas introducidos en capítulos anteriores se encaminaban a dotar al lector de este documento de las herramientas necesarias para la fácil comprensión de los conceptos que se manejarán a continuación. En este tema se aborda la resolución práctica de varios casos sencillos escogidos por su capacidad ilustrativa, habiéndose buscado además una posible implementación experimental. Dicha resolución se llevará a cabo aplicando cada una de las técnicas introducidas en capítulos anteriores (teorías clásicas o fórmulas empíricas según corresponda, normativa, etc.), además de la vía experimental en los casos en los que los recursos a nuestra disposición así lo permitan, realizándose posteriormente la comparación de los resultados obtenidos. Se ha intentado que los casos planteados, que fueron descritos brevemente en el apartado introductorio (Página ix), coincidan en lo posible con los problemas ensayados durante la realización de las prácticas de laboratorio de la asignatura “Estructuras Metálicas” perteneciente al 4º curso de la titulación de Ingeniería Industrial, pudiendo resultar un posible objetivo secundario de este proyecto servir de referencia para futuras mejoras en la planificación de los mismos. En lo que sigue, se desarrollarán en detalle cada una de las situaciones planteadas estructurando cada apartado de la forma: Descripción detallada del modelo empleado en cada caso. Cálculos teóricos y de aplicación de la normativa (CTE y Eurocódigo) en base a la información recogida en el Capítulo 2. Cálculos mediante ANSYS por aplicación de los conceptos introducidos en el Capítulo 3. Resultados experimentales (si los hubiera). Comparación de resultados. Las conclusiones se remitirán a un apartado posterior, en el que se podrán estudiar distintas variaciones sobre los casos estudiados tales como la sensibilidad de la carga crítica ante el empleo de rigidizadores en problemas de abolladura, sensibilidad de los resultados frente al empleo de unos elementos u otros, efectos del refinamiento de la malla, etc.
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4. RESOLUCIÓN DE LOS CASOS PLANTEADOS
4.1. INTRODUCCIÓN
Los desarrollos y revisiones teóricas introducidos en capítulos anteriores se
encaminaban a dotar al lector de este documento de las herramientas necesarias para
la fácil comprensión de los conceptos que se manejarán a continuación.
En este tema se aborda la resolución práctica de varios casos sencillos
escogidos por su capacidad ilustrativa, habiéndose buscado además una posible
implementación experimental. Dicha resolución se llevará a cabo aplicando cada una
de las técnicas introducidas en capítulos anteriores (teorías clásicas o fórmulas
empíricas según corresponda, normativa, etc.), además de la vía experimental en los
casos en los que los recursos a nuestra disposición así lo permitan, realizándose
posteriormente la comparación de los resultados obtenidos.
Se ha intentado que los casos planteados, que fueron descritos brevemente en
el apartado introductorio (Página ix), coincidan en lo posible con los problemas
ensayados durante la realización de las prácticas de laboratorio de la asignatura
“Estructuras Metálicas” perteneciente al 4º curso de la titulación de Ingeniería
Industrial, pudiendo resultar un posible objetivo secundario de este proyecto servir de
referencia para futuras mejoras en la planificación de los mismos.
En lo que sigue, se desarrollarán en detalle cada una de las situaciones
planteadas estructurando cada apartado de la forma:
Descripción detallada del modelo empleado en cada caso.
Cálculos teóricos y de aplicación de la normativa (CTE y Eurocódigo) en
base a la información recogida en el Capítulo 2.
Cálculos mediante ANSYS por aplicación de los conceptos introducidos en
el Capítulo 3.
Resultados experimentales (si los hubiera).
Comparación de resultados.
Las conclusiones se remitirán a un apartado posterior, en el que se podrán
estudiar distintas variaciones sobre los casos estudiados tales como la sensibilidad de
la carga crítica ante el empleo de rigidizadores en problemas de abolladura,
sensibilidad de los resultados frente al empleo de unos elementos u otros, efectos del
refinamiento de la malla, etc.
80 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
4.2. CASO 1: PANDEO DE EULER
4.2.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO
En este primer análisis someteremos a una pieza de sección maciza rectangular y
constante a una carga de compresión que incrementaremos hasta alcanzar la
inestabilidad, que en este caso se manifestará en la forma del pandeo de Euler
estudiado en el Apartado 2.1 de este documento.
Las características geométricas de la sección se muestran a continuación:
Figura 4.1. Sección y longitud de la barra analizada
Como se comprobó en el Capítulo 2, uno de los aspectos más influyentes sobre
el valor final de la carga crítica serán las condiciones de contorno, referidas a las
restricciones de desplazamientos y giros en los apoyos. En este caso se modelarán
condiciones de empotramiento en ambos apoyos (ver Apartado 2.1.1.2) tal y como
se recoge en la Figura 4.2.
Para el caso que nos ocupa, será posible comparar
los resultados analíticos y numéricos con los de un
ensayo realizado en laboratorio. En dicho ensayo, la
aplicación de las cargas y de las condiciones de contorno
se realizó con la ayuda de una máquina de ensayos
Instron, la cual posibilita un control de cargas o de
desplazamientos, según se desee, durante el proceso de
compresión.
La dificultad de conseguir reproducir idealmente las
condiciones buscadas supone un primer posible factor de
discrepancias entre los diferentes resultados a extraer.
La máquina aplica sobre la muestra objeto de
ensayo una deformación con velocidad constante. Una
célula de carga mide la fuerza ejercida en cada momento.
De esta forma se obtienen las curvas tensión/deformación
del material, que nos permitirán determinar la carga para
la cual la deformación crece indefinidamente.
Figura 4.2. Condiciones
de apoyo ensayadas
Caso 1: Pandeo de Euler Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 81
La aplicación de las mordazas reduce la longitud
efectiva de la barra ensayada, pasando a tener una longitud
neta Lneta=1m, que es la distancia entre las mordazas
(longitud de la barra susceptible de pandear) al comienzo
del ensayo. Esta reducción queda reflejada en la Figura 4.3.
Otro detalle a tener en cuenta es el hecho de que el
actuador móvil es el inferior tal y como puede observarse
en la Figura 4.2. Esta circunstancia no afectará a los
cálculos teóricos y “normativos”, pero será considerado a la
hora de modelar el sistema para su posterior análisis
numérico.
La calidad del acero empleado corresponde a la gama
S275 (cuyo límite elástico se sitúa en los 275 Mpa).
4.2.2. CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA
Antes de comenzar con la obtención de los resultados será necesario definir algunos
parámetros que caracterizan a la sección bajo estudio, tales como el momento de
inercia en una y otra dirección, los radios de giro, etc.
Para la sección descrita en la Figura 4.1 tendremos:
(4.1)
Además, para el acero tendremos E=210 Gpa = 210∙109 N/m2
Deberemos determinar también cual es la dirección predominante de pandeo, es
decir, el eje alrededor del cual se alcanzará la inestabilidad en primer lugar, que
corresponderá al de mayor esbeltez.
La esbeltez quedó definida en el Apartado 2.1.1.6 como la relación λj=Lk/ij
donde Lk=β∙L recibía el nombre de longitud de pandeo, y dependía de las condiciones
de contorno de la pieza analizada.
Para el caso que nos ocupa β=0.5, y por tanto Lk=β∙L=0.5∙L, resultando:
6.1731088.2
15.0
74.571066.8
15.0
3z
3y
λ
λ
con lo que finalmente λmax= max(57.74, 173.6) = 173.6=λz
Figura 4.3. Longitud
neta de la barra
Iy=12
1bh
3 = 8
3
1025.212
03.001.0
m4 ; iy=
3
4
8y
1066.8103
1025.2
A
I
m
Iz=12
1hb
3 =
93
1050.212
01.003.0
m4 ; iz=
3
4
9z 1088.2
103
1050.2
A
I
m
82 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
Una vez comprobado que el eje predominante de pandeo es el z (eje débil),
estamos en disposición de realizar los cálculos correspondientes.
4.2.2.1. TEORÍA DE EULER
La obtención de la carga crítica teórica para el caso ensayado es inmediata, sin más
que aplicar la expresión de la carga crítica obtenida en el Apartado 2.1.1.2, resultando:
Ncr = 2z
2
)L5.0(
EI
π= 20.727 KN (4.2)
4.2.2.2. APLICACIÓN DEL CTE
En el Apartado 2.1.2.1 se incluyeron todas las referencias necesarias de la norma
CTE. SE-A para afrontar el análisis de piezas afectadas por pandeo de Euler. Así,
según se recoge en el Artículo 6.3.2 (ver Anexo I), la resistencia de cálculo a pandeo
por flexión de una barra de sección constante viene dada por la expresión:
Nb,Rd=χ∙A∙fyd (4.3)
con
1M
yy d
ff
γ , siendo en este caso γM1=1,05
2
86
ydm
N1062.2
05.1
10275f
(4.4)
El coeficiente de pandeo (χ) puede determinarse en función de la esbeltez
reducida y de la curva de pandeo oportuna, de acuerdo a lo establecido en el Artículo
6.3.2.1. Así:
275Saceropara
8.86
N
fA 1
1cr
y
=1.995 (4.5)
en la que para el cálculo de Ncr se admite el uso de la expresión de Euler
Consultando la Tabla 6.1 incluida en el Anexo I, las secciones macizas son
remitidas a la curva de pandeo „c‟ (ver Tabla 6.3). Entrando en la tabla mencionada
para un valor de λ =1.995 tenemos el siguiente valor del coeficiente de pandeo
χ = 0.1965
Se obtiene así finalmente un valor de la carga crítica de cálculo
Resulta inmediata la apreciación de que los cálculos basados en normativas
resultan algo conservadores, lo cual es perfectamente lógico, ya que estas normas
incluyen importantes coeficientes de “incertidumbre” y de seguridad que buscan alejar
lo suficiente a la estructura de su punto de fallo durante la puesta en servicio de la
misma. No obstante, este valor conservador de la carga crítica de pandeo se obtiene
en base a un valor teórico que coincide con el ya conocido valor de pandeo de Euler,
lo cual valida los resultados obtenidos por ANSYS.
Por otra parte puede observarse como los cálculos realizados mediante ANSYS
predicen valores de la carga crítica mayores que el obtenido por vía experimental; es
decir, la barra pandea para una carga inferior a la establecida por las teorías clásicas
(como era de esperar) e incluso a la calculada mediante un proceso no lineal iterativo
que tiene en cuenta las imperfecciones iniciales y la deformación progresiva del
elemento. Estas discrepancias pueden deberse a posibles errores de colocación de la
barra durante la preparación del ensayo (si el empotramiento no es total, β aumenta,
con lo que la carga crítica disminuye), imperfecciones del material, imperfecciones
geométricas iniciales, etc.
De cualquier forma, los resultados obtenidos ponen de manifiesto que el valor
que más se aproxima al resultado experimental es el obtenido mediante el análisis no
lineal de ANSYS, con lo que queda demostrada su aplicabilidad para el análisis de
este tipo de problemas.
En los análisis no lineales se ha detectado una mejor convergencia de la
solución mediante la utilización del método ARCLEN frente al algoritmo clásico de
Newton-Raphson que se aplica por defecto en este tipo de análisis (comando
AUTOTS,ON).
En la búsqueda de un compromiso óptimo entre el tiempo de ejecución, la
convergencia y el grado de exactitud del análisis se han elegido los parámetros
mostrados en el Archivo de comandos II incluido en el Anexo III.
Caso 2: Pandeo Lateral Descripción del modelo empleado 89
4.2.5.2. EFECTO DEL TIPO DE ELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA
Como vimos en el apartado 3.4.4., la familia de elementos más idónea para estudiar el
comportamiento de piezas tipo barra es la de elementos “BEAM”. En concreto se han
realizado pruebas para modelos mallados mediante elementos de los tipos BEAM3 Y
BEAM189 con diferentes tamaños de malla, obteniéndose los siguientes resultados
referentes al valor de la carga crítica:
BEAM3 BEAM189
15 ELEMENTOS 30 ELEMENTOS 15 ELEMENTOS 30 ELEMENTOS
Ncr (KN) 20.727 20.726 20.707 20.705
Tabla 4.5. Resumen de resultados frente a cambios de malla
Los análisis realizados para mallas de más de 30 elementos no han presentado
cambios en el valor del primer modo de pandeo, aunque sí se aprecian leves
reducciones en los valores de las cargas correspondientes al resto de modos de
pandeo extraídos.
4.3. CASO 2: PANDEO LATERAL
4.3.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO
El fenómeno que tratamos de reproducir en este segundo problema es el de pandeo
lateral definido en el Apartado 2.2. Con este fin se ha modelado un perfil IPE100 con
condiciones de contorno de empotramiento en uno de los extremos y libertad en el
otro. Al modelo descrito se le va a imponer una carga P vertical y hacia arriba en el
extremo libre, con punto de aplicación en el centro del borde inferior del perfil, la cual
provocará la aparición de unos esfuerzos de flexión alrededor del eje fuerte de la
barra, estableciéndose así las condiciones necesarias para el pandeo lateral descritas
en la Página 29 de este documento.
Las características geométricas de la sección se muestran a continuación:
h=100mm; b=55mm;
tw=4,1mm; tf=5,7mm; r =7mm
hi=88,6mm; d=74,6mm A=10,3∙102mm2
Iy=171∙104mm4; Iz=15,92∙104mm4
IT=1,2∙104mm4; Iw=0,35∙106mm6
G=81∙103N/mm2 E=210∙103 N/mm2
Figura 4.11. Sección del perfil IPE100 Siendo la longitud L=5700 mm
90 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
Este problema es análogo al descrito en el Apartado 2.2.1.2.2 para una carga
puntual vertical y hacia abajo colocada en el borde superior del extremo libre de una
viga en voladizo, incorporando además los efectos del peso propio del perfil ensayado.
Realizaremos los cálculos teóricos
en base a las expresiones empíricas
desarrolladas en el citado apartado e
intentaremos analizar la influencia del
peso propio en el valor de la carga crítica
comparando el resultado obtenido con el
derivado del resto de análisis (normativa,
ANSYS (lineal y no lineal, con y sin
consideración del peso propio, etc.))
Por último, la calidad del acero
corresponde a la serie S275.
4.3.2. CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA
4.3.2.1. CÁLCULO MEDIANTE LA „EXPRESIÓN DE ZHANG Y SHU‟
Recordemos en primer lugar la expresión introducida en la Página 40 para el cálculo
del momento crítico (Mcr) de una viga en voladizo con sección bisimétrica y carga
puntual aplicada sobre el extremo libre, en algún punto del eje vertical de la sección (a
una distancia „a‟ del centro de esfuerzos cortantes (CEC)), y adaptémosla al sistema
de ejes de nuestro perfil:
EI
)L2(GI1
I
I)aC(aC
)L2(
EICM
2
2T
z
2222
z2
1cr (4.11)
para a≥ 0 (0≤ m ≤2) 2
2 )4.2K(28.0165.2C (4.12)
siendo m=2ª/h, 2
1
K4
)K1(9.4C
y
2T
w2
LGI
EIK
(4.13)
En el apartado anterior se han descrito todas las características físicas y
geométricas de la sección bajo estudio, por los que disponemos de todos los datos
necesarios para obtener el valor del Mcr, y a partir de éste, el de la carga crítica.
Sustituyendo de acuerdo a los valores y expresiones dados tenemos:
K=4.79∙10-3, C1=2.460 y C2=0.559
dando lugar a un valor del momento crítico
Mcr=3.694 KN∙m=Pcr∙L Pcr=648.05 N (4.14)
Figura 4.12. Vista isométrica del
problema ensayado
Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 91
4.3.2.2. APLICACIÓN DEL CTE
Para el desarrollo de esta sección debemos trasladarnos al Apartado 2.2.2.1 de este
documento, en el cual se recogen todos los artículos y fórmulas que el CTE propone
para el análisis de piezas susceptibles de pandear lateralmente.
En dichos artículos, más concretamente en el Artículo 6.3.3.2 se indica que la
distribución de momentos no debe superar en ninguna sección el valor del momento
límite dado por la expresión
1M
ydyLTRd,b
fWM
γχ (4.15)
Wy≡Wpl,y para secciones de tipo 1 y 2
2LT
2LTLT
LT
λ
1χ
(4.16)
con 2LTLTLTLT λ2,0λα15,0 y
cr
ypl,y
LTM
fWλ (4.17)
El CTE sugiere además la siguiente expresión para el momento crítico
2LTW
2LTVcr MMM con
)b(iCL
EWM
)a(EIGIL
CM
22,f12
C
2
y,elLTW
zTC
1LTV
(4.18)
A partir la Ecuación (4.18 (a)) podemos calcular el MLTV en cuanto conozcamos
el valor del coeficiente C1, el cual, para una distribución de momentos como la que nos
ocupa, toma el siguiente valor según la Tabla 6.7
C1=2.05 y LC=2L
y sustituyendo en (4.18 (a)),
MLTV=3.221 KN∙m
Para el cálculo de MLTW consultaremos
el apartado 4 del Artículo 6.3.3.3, que nos
dice que MLTW coincide con la carga de
pandeo del soporte formado por el ala
comprimida y la 3ª parte de la zona
comprimida del alma (es decir, 1/6 del alma
total en este caso).
Figura 4.13. Apoyos y distribución de esfuerzos
Figura 4.14. Sección del soporte
comprimido
92 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
WEL,y=
2h
I y=3,86∙104mm4 (4.19)
62.10753.2977.55553.29712
17.555
12
1I 33sop
z =2.026∙104mm4 (4.20)
21.520
10026.2
A
Ii
4
sop
zz,f 6.24mm (4.21)
Sustituyendo en 2(b) resulta MLTW=124.64 N∙m=0.125 KN∙m y por tanto:
Mcr=22 125.0221.3 =3.223 KN∙m Pcr=565.35 N (4.22)
Para cerrar los cálculos deberemos determinar a qué clase pertenece el perfil
sometido a los esfuerzos definidos en nuestro caso (flexión con el ala superior
comprimida), y utilizando para ello las tablas 5.3 y 5.4 del Anexo I.
La sección con carga puntual en el extremo y hacia arriba se encontrará
sometida a la distribución de tensiones mostrada en la Figura 4.13, la cual nos
permitirá clasificar el tipo de sección que estamos estudiando.
Por lo que podemos observar en la
figura, existirán elementos intermedios (alma)
sometidos a flexión simple y elementos con
borde libre (alas) sometidos a compresión y
tracción respectivamente.
Analizaremos pues la clase a la que
pertenecen las distintas partes del perfil en
base a los criterios tabulados.
El elemento de clase mayor determinará la clase general del perfil, de acuerdo a
lo establecido por la Norma.
Ala superior (comprimida):
Para las características geométricas del perfil se tiene
mm45.182
721.455c
26.89t
c
92.0275
235
24.3t
c
f
fε
ε
CLASE 1
-
+
Figura 4.15. Distribución de
tensiones en la sección
Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos teóricos y aplicación de la normativa 93
Alma (flexión simple):
mm45.18r2t2100d f
ε7266.107
6.74
t
d
w
CLASE 1
Por lo tanto, el perfil utilizado bajo las
hipótesis de cargas consideradas es de clase1, por lo que el módulo resistente a
utilizar en (4.15) es el plástico que para el IPE100 toma el valor Wy≡Wpl,y=39.41∙10-6 m3.
cr
ypl,y
LTM
fWλ = 1.83 curva a
Así, LT =0.245 y la resistencia de cálculo al pandeo lateral finalmente resulta
Mb,Rd=2.414 KN∙m Pcr,Rd=423.50 N
4.3.2.3. APLICACIÓN DEL EUROCÓDIGO 3
Nos centramos en este caso en el Apartado 5.5.2 del Eurocódigo 3 (ver Anexo II), que
nos orienta a lo largo del proceso de comprobación a pandeo de vigas no arriostradas
lateralmente y sometidas a flexión según su eje fuerte.
En este apartado se indica que la resistencia de cálculo al pandeo lateral de este
tipo de vigas vendrá dada por:
Rd,bM χLT
1M
y
y,plw
fW
γβ (4.23)
βw toma el valor βw=1 para secciones de clase 1 y 2 como en este caso
χLT es el coeficiente de reducción correspondiente al pandeo lateral
Tal y como se indica en el Epígrafe (4) del citado apartado, el coeficiente χLT se
obtendrá a partir de las tablas utilizados en el caso de pandeo de Euler, con LTλλ y
χ = χLT debiendo utilizarse la curva „a‟ para perfiles laminados como el nuestro.
11
2
LT2LTLT
LT
λ
χ (4.24)
con ])2,0(1[5,02
LTLTLTLT λλα ; crit
yy,plwLT
M
fW (4.25)
donde Mcr es el valor del momento crítico elástico de pandeo lateral, cuyo
procedimiento de cálculo se recoge en el Anexo F del Eurocódigo, también incluido en
este documento (ver Página 152).
tabla 6.6
perfil laminado h/b ≤ 2
94 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
j3g2
21
2
j3g2
z2
t2
z
w
2
w2
z2
1cr zCzCzCzCEI
GI)kL(
I
I
k
k
)kL(
EICM
π
π (4.26)
De acuerdo al Apartado F.1.2 de este Anexo F, kw=1. En dicho apartado
encontramos también la definición del parámetro „k‟ para una series de condiciones de
contorno en apoyos entre las cuales no se encuentra el caso que estamos analizando
(viga en ménsula con extremo libre), por lo que el valor de „k‟ para esta tipología se ha
extraído del libro de Monfort “Estructuras Metálicas para Edificación” [7]; además en el
Apartado F.1.3 se nos dice que zj=0 para secciones con doble simetría.
La Tabla F.1.1 nos da el valor de los coeficientes Cj según las condiciones de
contorno en los apoyos y la distribución de cargas. En nuestro caso tenemos una
distribución lineal con momento nulo en el extremo como la mostrada en el apartado
anterior, y condiciones de apoyo empotrado-libre (k=2); resultando:
C1=2.05 ; C2=0; C3=1.473 y sustituyendo todo en (4.26):
t2
w2
tz1zz2
wz22
1crIGL
IEπ1IIGE
kL
πCGIEI
L
IIE
kLCM
=3.220 KN∙m
Mcr=3220.08 N∙m=Pcr∙L Pcr=564.93 N (4.27)
cr
ypl,y
LTM
fWλ = 1.83 curva a LT =0.245
Con lo que según el Eurocódigo3, la resistencia de cálculo al pandeo lateral
toma el mismo valor que el ya calculado por aplicación del CTE:
Mb,Rd=2.414 KN∙m Pcr,Rd=423.50 N
4.3.3. CÁLCULOS CON ANSYS
4.3.3.1. ANÁLISIS LINEAL
Del mismo modo que para el primer caso planteado en el Apartado 4.2 se ha
ejecutado inicialmente un análisis lineal mediante ANSYS del que se han extraído de
nuevo 3 modos de pandeo y sus cargas críticas correspondientes, resultando:
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****
SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE
1 571.34 1 1 1
2 1490.6 1 2 2
3 2421.7 1 3 3
Tabla 4.6. Resultados del análisis lineal con 20 elementos BEAM189
Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos con ANSYS 95
Una vez más es el 1º de estos modos el de mayor relevancia, ya que en los
casos de interés el resto de modos no se alcanzarán de forma natural.
Se aprecia claramente como la carga que provoca la aparición del 1er modo de
pandeo se aproxima bastante a las cargas críticas (Pcr) calculadas a partir de las
expresiones de Mcr propuestas por ambas normativas.
Se muestran a continuación algunas capturas del modo de pandeo mencionado.
Como se observa en estas figuras, en el análisis lineal el pandeo lateral consiste en
un giro torsional de la sección acompañado de un desplazamiento lateral de la misma,
no recogiéndose el desplazamiento vertical que se produce en la práctica.
Figura 4.16. Vista isométrica del 1er modo de pandeo lateral
Figura 4.17. Vista frontal del 1er modo de pandeo lateral
4.3.3.2. ANÁLISIS NO LINEAL
De nuevo, y como corresponde a todo análisis no lineal, deberemos introducir una
imperfección inicial a modo de excentricidad de la carga o de deformación. Será esta
última alternativa la que utilicemos, actualizando la geometría del modelo definido a
partir de la deformada obtenida en el análisis lineal.
96 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
Una vez más, introduciremos una carga con un valor aproximado a la carga
crítica obtenida en el anterior análisis. Dicha carga será aplicada lentamente con la
intención de convergir a su valor final, y de que cuando se alcance dicha convergencia
ya se haya producido la aparición del fenómeno de pandeo lateral en la pieza.
En efecto, en la curva carga/desplazamiento extraída del análisis no lineal se
puede comprobar como algo antes de alcanzar la carga aplicada (1.044∙Pcrit en este
caso) ya se observa el típico comportamiento a pandeo en el que los incrementos de
desplazamiento se producen para a leves variaciones de la carga.
Figura 4.18. Desplazamiento lateral del extremo libre
Se incluye también una gráfica en la que se representa el desplazamiento
vertical (no registrado por el análisis lineal) del extremo libre frente a la carga
quedando reflejado claramente el comportamiento lineal de esta relación hasta la
región de manifestación del pandeo.
Figura 4.19. Desplazamiento vertical del extremo libre
Caso 2: Pandeo Lateral Cálculos con ANSYS 97
Se completa este apartado con un extracto del fichero de resultados en el que
observamos claramente la tendencia mencionada, no pudiendo establecerse un valor
concreto de la carga crítica, sino más bien un rango de valores de la carga para los
que empieza a manifestarse el pandeo. Los resultados de la Tabla 4.7, así como las
diferentes capturas, han sido obtenidos utilizando los comandos mostrados en el
Apartado II.a) del Anexo III, para una malla de 150 elementos BEAM189.
TIME 3 PROD 2 UZ 2 UY
CARGA UZ UY
0.72356 431.587 0.115506 77.8069
0.74356 443.517 0.128594 79.9585
... ... ... ...
0.99564 593.877 4.42866 107.118
0.99590 594.031 4.56978 107.147
0.99616 594.186 4.70612 107.176
Tabla 4.7. ΔUz a carga ≈ CTE
Se ha incluido finalmente una imagen de la deformada del elemento para una carga aplicada algo mayor que la carga crítica en la que pueden apreciarse grandes desplazamientos laterales.
Figura 4.20. Deformada para P>Pcr
4.3.3.3. COMPARATIVA LINEAL/NO LINEAL
En este caso se van a realizar 2 comparativas; una para los resultados obtenidos al
realizar un análisis no lineal con deformación inicial igual al 10% de la deformada
calculada en el análisis lineal (es decir, 0.1 mm en el extremo libre), y otra cuya
deformada inicial representa un 75% (0.75 mm en el extremo) de la deformada
obtenida linealmente.
Con ello se pretende poner de manifiesto el hecho de que cuanto menor es la
perturbación inicial introducida mayor es la adaptación del cálculo no lineal de ANSYS
al modelo teórico.
98 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
Figura 4.21. UY/Carga para diferentes deformaciones iniciales
Figura 4.22. UZ/Carga para diferentes deformaciones iniciales
En estas figuras se observa claramente que los análisis no lineales ejecutados
predicen un valor de carga crítica de pandeo lateral algo superior al establecido
mediante análisis lineal en contra de lo que suele ser habitual.
4.3.4. ANÁLISIS DEL MODELO NUMÉRICO
4.3.4.1. RESUMEN DE RESULTADOS: VALIDACIÓN DEL MODELO
En este punto, podemos proceder a la comparación de los resultados obtenidos
mediante los diversos métodos aplicados, habiéndose tomado para los resultados de
ANSYS los correspondientes a un análisis con 20 elementos BEAM189:
Zhang y
Shu CTE EUROCÓDIGO
Ansys lineal
Ansys no lineal
Pcr (N) 648.05 565.35 564.93 571.34 ≈ 594
Pcr,Rb (N) 648.05 423.50 423.50 571.34 ≈ 594
Tabla 4.8. Resumen de resultados
Caso 2: Pandeo Lateral Análisis del modelo numérico 99
Los valores anteriores concuerdan con lo mostrado por la Figura 2.32, en la cual
se contrastaban los resultados obtenidos por aplicación directa de la expresión
empírica utilizada para el cálculo con los derivados de otras expresiones. En dicha
figura podía observarse como la expresión de Zhang y Shu [15] arrojaba valores de la
carga crítica algo por encima de los extraídos a partir de otras expresiones empíricas,
mientras que encajaban con bastante exactitud con los resultados derivados de un
análisis por elementos finitos.
Este comportamiento coincide con el obtenido en nuestro análisis, aún
existiendo cierta discrepancia entre el resultado teórico y el dado por el análisis no
lineal de ANSYS, debida principalmente al bajo valor del parámetro K a causa de la
esbeltez de la viga (gran longitud y bajo módulo de alabeo (Iw)). Se demuestra por
tanto la idoneidad del cálculo no lineal del pandeo lateral mediante ANSYS.
4.3.4.2. EFECTO DEL TIPO DE ELEMENTO Y DEL CAMBIO DE MALLA
Al igual que en el primer caso analizado, por encontrarnos ante el análisis de piezas
tipo barra se ha procedido al modelado mediante elementos “BEAM”. En concreto se
han realizado pruebas para modelos mallados mediante elementos de los tipos
BEAM3, BEAM188 y BEAM189 con diferentes tamaños de malla, obteniéndose los
siguientes resultados referentes al valor de la carga crítica:
Nº DE ELEMENTOS
5 20 150
BEAM3 - - -
Ncr
(N) BEAM188 584.277 572.137 571.351
BEAM189 571.427 571.337 571.337
Tabla 4.9. Carga crítica para diferentes mallas y tipos de elementos
Como se aprecia en la tabla de resultados, no es posible la resolución del
problema de pandeo lateral utilizando elementos BEAM3 (así como con elementos
BEAM4, BEAM44, etc.), generando ANSYS el siguiente mensaje de error:
“Stress Stiffness matrix is all zero. No load factor solution is possible”
Los análisis realizados para mallas de más de 150 elementos no presentan
variaciones en lo que respecta al valor obtenido utilizando elementos BEAM189,
mientras que para el caso BEAM188, la carga se reduce aún ligeramente hasta
alcanzar el conocido valor de 571.337N.
Resulta evidente por tanto la conveniencia de cualquier elemento de la serie
BEAM18x para el estudio de los casos de inestabilidad lateral, principalmente del
elemento tipo BEAM189 que proporciona una solución exacta sin necesidad de un
100 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
mallado excesivamente denso, lo cual resulta ventajoso de cara a la reducción de los
tiempos de ejecución para un posible análisis no lineal.
4.3.4.3. EFECTO DEL PESO PROPIO
En el caso que nos ocupa resulta interesante analizar cómo afecta la consideración de
la carga repartida de peso propio al valor de la carga crítica de pandeo lateral. La
consideración del peso propio de la viga lleva asociada la aparición de un momento en
el empotramiento de signo contrario al introducido por la carga puntual. Para el caso
de carga distribuida dicho momento tomará un valor
Mpp=2
pL2
=
2
LA8.9 21287.22 Nm (4.28)
Así, aplicando el principio de superposición, se requerirán P=Mpp/L=225.83N
adicionales respecto de la carga crítica obtenida con anterioridad, para la
“compensación” de este momento que se opone al producido por la carga aplicada.
Para contrastar este razonamiento se ha realizado de nuevo un análisis lineal con 20
elementos BEAM189 (cuya validez se ha comprobado en el apartado anterior),
obteniéndose el siguiente resultado para los modos de pandeo solicitados:
***** INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****
SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE
1 5.0058 1 1 1
Tabla 4.10. Resultados para análisis lineal con peso propio
Este resultado se debe a la forma algo “ineficiente” que tiene ANSYS de
considerar la acción de la gravedad, que se incluye como una aceleración (fuerzas de
inercia) que también es escalada al resolver el problema de autovalores del análisis de
pandeo. Por lo tanto para averiguar el valor de la carga crítica en el extremo dejando
constante el peso propio ha sido necesario introducir manualmente y de forma iterativa
valores de la carga hasta obtener un factor de pandeo igual a 1. El nuevo resultado
obtenido mediante el proceso descrito ha sido recogido en la siguiente tabla junto con
el valor teórico de la carga crítica a partir de los resultados del análisis lineal,
resultando:
Ansys LINEAL Ansys LINEAL con
PESO PROPIO Ansys LINEAL + peso
propio “Superposición” ERROR
(%)
Ncr (N) 571.337 702.85 797.167 11.83
Tabla 4.11. Carga crítica con consideración del peso propio
Se concluye por tanto que la inclusión del efecto del peso propio es factible pero
“incómoda” en ANSYS, resultando muy recomendable la de por sí siempre
conveniente validación manual de los resultados a partir de los datos obtenidos en el
análisis lineal.
Caso 2: Pandeo Lateral Otros modelos analizados 101
4.3.5. OTROS MODELOS ANALIZADOS
Una vez validada la conveniencia del estudio del pandeo lateral mediante la
herramienta ANSYS con elementos tipo BEAM18x, se ha procedido a la resolución de
nuevos modelos en base al fichero de comandos elaborado, sin más que modificar las
condiciones de apoyo del modelo y el tipo de cargas aplicadas. Así, se ha planteado el
problema patrón definido en al Apartado 2.2.1.1 correspondiente al caso de la viga
biapoyada sometida a un momento uniforme, y se han extraído los datos
correspondientes al estudio lineal y al efecto del cambio de elemento. Los resultados
derivados de estos estudios se muestran a continuación, siendo los valores calculados
con ANSYS los correspondientes a una malla de 150 elementos BEAM189:
TEORÍA CTE EUROCÓDIGO Ansys lineal
Ansys no lineal
Mcr (KNm) 3.142 3.143 3.142 2.730 ≈ 2.550
Mcr,Rb (KNm) 3.142 2.403 2.394 2.730 ≈ 2.550
Tabla 4.12. Carga crítica de la viga biapoyada con M=cte.
Nº DE ELEMENTOS
5 20 150
BEAM188 2.832 2.736 2.730 Mcr
(KNm) BEAM189 2.731 2.730 2.730
Tabla 4.13. Efecto del cambio de malla y del tipo de elemento
Vuelve a comprobarse que el elemento BEAM188 es más sensible a la variación
de la densidad de la malla, aunque tanto uno como otro proporcionan resultados
bastante exactos para un nº de elementos no excesivamente alto.
Figura 4.23. Isocontornos UZ de la viga biapoyada
102 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
4.4. CASO 3: ABOLLADURA
La elección de un modelo ilustrativo para la representación de la abolladura no es tan
sencilla como en los casos anteriores, en los que la aplicación de un determinado
estado de cargas a cualquiera de los perfiles comúnmente utilizados en estructuras
metálicas daba lugar a la aparición del fenómeno deseado.
En el caso que nos ocupa, la sección bajo estudio deberá cumplir una serie de
requisitos geométricos que no poseen la mayoría de perfiles normalizados utilizados
habitualmente. Tanto es así, que sería muy difícil conseguir abollar cualquier perfil
laminado de entre los seleccionados de un catálogo, ya que con toda seguridad se
alcanzarían antes otros modos de fallo (plastificación o pandeo lateral principalmente).
Por otra parte, para perfiles cuyas características geométricas los convierten en
susceptibles de padecer abolladura, esta abolladura no tendrá un único modo de
manifestarse como ocurría en los casos anteriores, sino que la forma de la abolladura
dependerá del modo de aplicación de las cargas y del estado de esfuerzos que dichas
cargas induzcan sobre las “placas” (almas y alas) del perfil bajo estudio, como pudo
comprobarse en los desarrollos del Apartado 2.3.
Por todo esto, en este apartado comenzaremos por definir una sección
genérica con la que intentaremos reproducir la mayoría de casos posibles, y en base
a ésta modelaremos un “compartimento” patrón sobre el que aplicar tanto las
expresiones dadas por los desarrollos teóricos como las propuestas por la normativa
de aplicación. Dicho compartimento representará la parte del elemento metálico
comprendida entre 2 rigidizadores transversales y 2 alas (ó 1 ala y 1 rigidizador
longitudinal ó 2 rigidizadores longitudinales). En cada análisis podremos repetir dicho
patrón tantas veces como queramos para dar lugar al modelo deseado. Sobre el
elemento metálico resultante en cada caso aplicaremos las cargas, dependiendo la
forma de aplicación del fenómeno que deseemos reproducir.
4.4.1. ELECCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL PERFIL
En base a lo comentado anteriormente, para la selección del modelo se han
tomado como punto de partida las recomendaciones normativas para el estudio de la
abolladura a cortante en elementos metálicos. En concreto, tal y como se comentó en
la Página 54, el Eurocódigo3 indica que no será necesario comprobar la resistencia a
la abolladura de almas no rigidizadas (entre apoyos) con esbelteces (d/tw) menores o
iguales a 69ϵ (ϵ=[235/fy]1/2, d y tw son el canto y el espesor del alma respectivamente)
o, en caso de contar con rigidizadores intermedios, para esbelteces menores o iguales
a 30ϵ∙ 𝑘𝜏 , viniendo 𝑘𝜏 definido en el Apartado 5.4.6 (7) de dicha norma. (ver Anexo II).
En el catálogo de perfiles IPE consultado no se ha encontrado ningún perfil con
esbelteces mayores a las referenciadas por la norma para una calidad del acero S275
(ϵ=0.924 → 69ϵ=63.76). Así, para los perfiles con mayores esbelteces de entre los
disponibles (IPE600* e IPE750x137*) tenemos que d/tw toma valores 52.44 y 59.56
respectivamente.
Caso 3: Abolladura Elección de las características del perfil 103
Como consecuencia de lo anterior tendremos que modelar nuestra propia
sección mediante un perfil armado, en base a unos requisitos concretos:
1. El alma de la viga debe tener una esbeltez mayor a las esbelteces de referencia
de la Norma; por tanto, deberemos escoger un alma de pequeño espesor y de
canto suficiente.
2. No solo pretendemos conseguir la abolladura, si no que ésta se produzca para
valores de la carga suficientemente bajos, de cara a la posible reproducción del
modelo en el laboratorio. Por lo tanto, la reducción del espesor y el incremento
de la altura del alma antes mencionados no deben limitarse al mínimo necesario
para que la carga crítica de abolladura sea algo menor que la de pandeo lateral
o que la de plastificación, sino que serán sobreestimados.
3. Buscaremos un tipo de sección y una disposición que se adapte bien a la
comprobación mediante el método post-crítico simple (ver Apartado 5.3.6 del
Eurocódigo3), más sencilla de realizar y análoga a la comprobación del CTE.
4. El tamaño de las alas deberá ser suficiente, para resistir “por sí solas” los
esfuerzos de flexión y tracción/compresión en cada sección, pero no excesivo,
para evitar que la inercia de la sección aumente tanto que reduzca la tensión
equivalente por debajo de la de abolladura.
De acuerdo a estos criterios utilizaremos un perfil armado en I, para los cuales
el método post-crítico siempre es aplicable (ver Artículo 5.6.3 (2)).
Conviene recordar, que la comprobación de abolladura según el Eurocódigo 3 se
realiza sobre el rectángulo de altura igual a la distancia entre alas y/o rigidizadores
longitudinales, y de ancho igual a las distancia entre apoyos y/o rigidizadores
transversales. Dado que buscamos que el fenómeno de abolladura se manifieste antes
que el de pandeo lateral tomaremos una distancia entre apoyos de 1m con objeto
de evitar la aparición de momentos flectores importantes.
Como ya hemos comentado, es sabido en base a la experiencia que los perfiles
normalizados difícilmente abollarán, por lo que tomando como referencia el espesor
del perfil de mayor esbeltez de entre los mayores perfiles del catálogo (tw=11,5mm
para el IPE750x137*), y de acuerdo a los requisitos 1 y 2, tomaremos como alma de
nuestro modelo una chapa de 5mm de espesor.
Para el espesor elegido, el criterio introducido anteriormente para la necesidad
de comprobación de la abolladura establece que
d>30ϵ∙ 𝑘𝜏∙tw (4.29)
kτ se obtiene aplicando el Artículo 5.6.3 (3) del Eurocódigo 3, recogido en el
Anexo II de este documento y que plantea 3 posibilidades en función de la relación
a/d (a es la distancia entre rigidizadores transversales y d es el canto de la viga) y de
la existencia de rigidizadores intermedios. Así, suponiendo el caso más restrictivo en el
que dispondríamos de rigidizares transversales intermedios (a 0,5m de los apoyos)
podremos estimar un valor de d para forzar la comprobación de abolladura.
104 Proyecto Fin de Carrera Ensayos y contraste de resultados
Suponiendo que a/d<1 la Norma establece que 2)d/a(
34.54k (4.30)
Tomando el d más pequeño posible para el caso contemplado (a/d≈1 → d≈0.5m)
resulta que kτ=9.34, con lo que la condición para el canto mínimo resulta
d>423.58mm
Dado que no sólo buscamos que se produzca la abolladura, sino que lo haga a
una carga relativamente baja tomaremos un canto bastante mayor al mínimo.
Tomando como referencia de nuevo el mayor perfil del catálogo, elegimos un canto
d=750mm.
Finalmente nos fijamos de nuevo en el catálogo y en el 4º requisito de los
anteriormente enumerados para tomar un espesor de las alas tf=17mm.
Se presenta a continuación la sección armada resultante, así como el rectángulo
patrón que servirá de base a algunos de los siguientes análisis.
Figura 4.24. Alzado y perfil del rectángulo patrón
En base a los parámetros de referencia anteriores se elaborarán a continuación
modelos que permitan la reproducción de los modos de abolladura analizados en el
Apartado 2.3 (abolladura ante esfuerzos cortantes y abolladura ante cargas
puntuales), modificando el parámetro a (distancia entre rigidizadores transversales) y
el punto y modo de aplicación de las cargas para conseguir que la menor carga crítica
corresponda a uno u otro tipo de abolladura.
En lo que sigue, para cada caso analizado se mostrará inicialmente el modelo
empleado para los diferentes estudios, no resultando definitivas las configuraciones
mostradas en las figuras, ya que en los estudios numéricos se han realizado
modificaciones sobre las mismas con objeto de estudiar la influencia de alguno de los
parámetros de la sección (existencia de rigidizadores, espesor de los mismos, espesor
de las alas, etc.) sobre el valor final de la carga crítica y sobre el tipo de abolladura
resultante para un acero de calidad S275.
Se pretende modelar en este orden los casos de abolladura por cortante,
abolladura del alma, abolladura local del alma y aplastamiento del ala.
Caso 3: Abolladura Abolladura a cortante 105
4.4.2. ABOLLADURA A CORTANTE
4.4.2.1. DESCRIPCIÓN DEL MODELO EMPLEADO
En este primer caso se desea que el alma de la viga trabaje a cortante, para lo cual se
ha modelado un elemento formado por 2 rectángulos con carga aplicada sobre el
rigidizador intermedio, tal y como se muestra en la Figura 4.25.
Figura 4.25. Alzado y perfil de la viga analizada
4.4.2.2 CÁLCULOS TEÓRICOS Y APLICACIÓN DE LA NORMATIVA
4.4.2.2.1. CORTANTE TÉORICO
La aplicación directa de la expresión (2.110) ofrece el siguiente resultado:
Vcr=330.06∙1500 = 495.087N
4.4.2.2.2. APLICACIÓN DEL CTE
El Apartado 6.3.3.4 del CTE, incluido en el Anexo I, establece las bases de la
comprobación frente a abolladura de los elementos metálicos cuya sección presenta