4. nilai mutlak (tm 4) untk mhs

Indikator Keberhasilan:

1. Mendeskripsikan pengertian nilai mutlak.

2. Menggunakan konsep nilai mutlak dalammenyelesaikan masalah.

NILAI MUTLAK

Pengertian Nilai Mutlak

• Secara geometris, nilai mutlak atau nilaiabsolut dari bilangan real x didefinisikansebagai jarak dari x terhadap 0. sehingga nilaimutlak dari setiap bilangan selalu bernilaipositif.

• Notasi nilai mutlak x

x, jika x 0

x =

-x, jika x < 0

Bentuk Umum Nilai Mutlak

ax + b, jika ax+b0 atau x

ax + b = ; a0

-(ax + b), jika ax+b<0 atau x <

; a0

Contoh :

-2x + 4, jika -2x + 4 0

-2x + 4 = atau

-(-2x + 4), jika 2x-4 < 0

-2x + 4, jk x 2-2x + 4 =

2x – 4, jk x>2

b

a

b

a

Sifat-sifat nilai Mutlak

1. x = x2

2. x < a -a < x < a

3. x > a x < -a atau x > a

4. x+y x + y (ketidaksamaan segitiga)

5. xy = x y

7. x < y x2 < y2

6.xx

y y

Contoh:

Selesaikan pertidaksamaan berikutmenggunakan sifat-sifat dari nilai mutlak.

1. 2x - 5 < 1

2. -x + 2 > 3

3 13. 2

6

x

x

Penyelesaian

1. 2x - 5 < 1 -1 < 2x – 5 < 1 ………. Sifat 2

4 < 2x < 6 …….. Setiap ruas +5

2 < x < 3

Jadi HP = {x 2 < x < 3, xR}

2. -x + 2 > 3 (-x+2) <-3 atau (-x+2) > 3.. Sifat 3

-x < -5 atau –x > 1

x > 5 atau x < -1

a. Andaikan x>6, maka x-6>0, shg diperoleh

-2x+12 < 3x+1 < 2x-12 ..... Semua ruas dikalikan (x-6)

-2x+12 < 3x+1 dan 3x+1 < 2x-12

-5x < -11 dan x < -13

x > dan x < -13

Hal ini tidak mungkin, jadi x tdk dapat lebihdari 6.

3 1 3 13. 2 2 2

6 6

x x

x x

11

5

b. Andaikan x<6, maka x-6<0 shg diperoleh

-2x+12 > 3x+1 > 2x-12

-2x+12 > 3x+1 dan 3x+1 > 2x-12

-5x > -11 dan x > -13

x < dan x > -13 dan x < 6

Jadi HP = {x -13 < x < , x R}

11

511

5

Latihan

Selesaikan pertidaksamaan berikut.1. x + 1 < 42. x - 2 < 3 x + 7

5. Buktikan x-2 < 0,5 7-1,5 < 3x+1<7+1,56. Andaikan bilangan positif. Buktikan bahwa

x - 5 < 14- < 10x-36 < 14+

3. 𝑥

2𝑥 − 1 ≤ 1

4. 1

𝑥 − 4 <

1

𝑥 + 7

1. x + 1 < 4 -4 < x+1 < 4

-4 < x+1 dan x+1 < 4

-4 < x+1 -5 < x dan x+1 < 4 x < 3

Jadi HP = {x -5 < x < 3, xR}.

2. x - 2 < 3 x + 7

x-2 , x 2 x+7, x -7

x - 2 = x + 7 =

-x+2 , x < 2 -x-7, x <-7

Jadi diperoleh tiga interval, yaitu

(-, -7), [-7, 2), dan [2,)

a. Untuk interval (-, -7) pertdksamaan menjadi

-x+2 < 3(-x-7) 2x < -23

x <

Irisan (-, -7) dan (-, ) adalah ( , -7)

23

2

23

2

23

2

b. Untuk interval [-7,2) pertdksamaan menjadi

-x+2 < 3(x+7) -4x < 19

x >

Irisan [-7,2) dan [ , ) adalah [ , 2)

c. Untuk interval [2,) pertdksamaan menjadi

x-2 < 3(x+7) -2x < 23

x >

Irisan [2, ) dan ( , ) adalah ( , 2]

Jadi solusi dari pertidaksamaan tersebutadalah ( , 2]

19

4

23

2

19

4

19

4

23

2

23

2

23

2

Buktikanx-2 < 0,5 7-1,5 < 3x+1<7+1,5

Bukti:

x-2 < 0,5 -0,5 < x-2 < 0,5 ....... Sifat ke-2

2 – 0,5 < x < 2+0,5 .... Semua ruas +2

6 – 1,5 < 3x < 6+1,5 .. Semua ruas x3

7–1,5 < 3x+1 <7+1,5 .. Semua ruas +1

Buktikanx - 5 < 14- < 10x-36 < 14+

Bukti:

x - 5 < - < x-5< ....... Sifat ke 2

4. 1

𝑥−4 <

1

𝑥+7 /x+7/ < /x-4/