練習問題解答例 <第4章 強制対流熱伝達> 4.1 式 (4.9) を導出せよ。 3 3 2 2 2 y y x y x y ν (4.6) を変換する。最初に ν x u x y の微分値を整理しておく。 y x u y x u x x u x y x x 2 3 2 1 2 1 ν ν ν (4.A1) 2 1 2 1 x u y x u y x u x y y y ν ν ν (4.A2) これを用いて、 f x u ν の微分値を求める。 x d df x u f x u x x f x u f x u x f x u x x ν ν ν ν ν 2 1 y x u d df x u f x u 2 3 2 1 2 1 2 1 ν ν ν d df y x u f x u 1 2 1 2 1 2 1 ν (4.A3) d df u x u d df x u y d df x u y f x u f x u y y 2 1 ν ν ν ν ν (4.A4)
36
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<第4章 強制対流熱伝達>home.hiroshima-u.ac.jp/.../heat_transfer/ex_chapter4.pdf2649W よって求める伝熱量は Q l Q t 674 .7 2649 3324 W 3 .32 kW 4.4 式(4.20)を導出せよ。
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練習問題解答例
<第4章 強制対流熱伝達>
4.1 式 (4.9) を導出せよ。
3
3
2
22
yyxyxy
ν
(4.6)
を変換する。最初に ν
xu
x
y の微分値を整理しておく。
yxu
yxu
x
xu
x
y
xx2
3
2
1
2
1
ννν
(4.A1)
2
1
2
1
x
uyx
u
y
xu
x
y
yy ννν
(4.A2)
これを用いて、 fxu νの微分値を求める。
xd
dfxufxu
xx
fxufxu
xfxu
xx
ννννν 2
1
yxu
d
dfxufxu 2
3
2
1
2
1
2
1
ννν
d
dfyxufxu 12
1
2
1
2
1
ν (4.A3)
d
dfux
u
d
dfxu
yd
dfxu
y
fxufxu
yy
2
1
ννννν
(4.A4)
yxu
d
fdu
xd
fdu
d
df
xu
d
dfu
xyx2
3
2
2
2
22
2
1
ν
2
2
2
33
2
1
d
fdyx
u ν (4.A5)
2
2
2
13
2
1
2
2
2
2
2
2
d
fdx
ux
u
d
fdu
yd
fdu
d
df
yu
d
dfu
yy
νν
(4.A6)
yd
fdx
u
d
fd
yx
u
d
fdx
u
yy
3
3
2
13
2
2
2
13
2
2
2
13
3
3
ννν
3
31
2
2
1
3
3
2
13
d
fdx
ux
u
d
fdx
u
ννν (4.A7)
これらの微分値を式(4.6)に代入する。
2
2
2
1312
1
2
2
2
33
2
1
2
1
2
1
d
fdx
u
d
dfyxufxu
d
fdyx
u
d
dfu
νν
ν
3
31
2
d
fdx
u ν
ν (4.A8)
2
2
2
13
2
1
2
2
2
33
2
1
2
1
d
fdx
ufxu
d
fdyx
u
d
dfu
νν
ν
3
31
2
2
2
2
131
2
1
d
fdx
u
d
fdx
u
d
dfyxu
νν
ν (4.A9)
2
212
2
2
2
35
2
1
2
1
d
fdfxu
d
fd
d
dfyx
u
ν
3
312
2
2
2
35
2
1
d
fdxu
d
fd
d
dfyx
u
ν (4.A10)
3
312
2
212
2
1
d
fdxu
d
fdfxu
(4.A11)
3
3
2
2
2
1
d
fd
d
fdf
(4.A12)
02
12
2
3
3
d
fdf
d
fd
(4.9)
4.2 薄い平板が温度 20℃で常圧の水の一様な流れの中に平行に置かれている。流速は
0.5 m/s であり、平板の寸法は流れ方向、直角方向ともに 50 cm である。このときの板の中
心における速度境界層の厚さと、板全面に働く摩擦力を求めよ。
解)式(4.13)を用いる。関係する数値をSI単位の基本単位とその組み立て単位で表してお
く。
バルク流速 m/s.50u
平板の流れ方向の寸法 m.50xL
平板の流れに直角な方向の寸法 m.50yL
境界層の厚みを計算する位置 m.
.250
2
50
2
Lx
20℃の水の動粘性係数 /sm./smm. 22 61000410041
20℃の水の粘性係数 sPa.smPa. 31000210021
よって、求める速度境界層の厚みは
mm.m..
..54310543
50
25010004155 3
6
u
x
また、剪断応力は式(4.16)を用いて
213
33203320 /.. xuxu
x
uw
板全体での摩擦力は剪断力を板の面積に関して積分すればよいので
xxx L
y
L
y
L
yw dxxLu
dxLxu
dxLF0
213
0
213
033203320 // ..
xy
L
y LLu
xLu x
3
021
3
664023320 .. /
mN.N....
... 083103085050
100041
501000216640 2
6
33
4.3 30℃の空気が、温度 100℃、長さ 2 m の平板に沿って流速 10 m/s で流れている。
層流から乱流への遷移レイノルズ数は 3.2×105とする。このとき、平板単位幅あたりの空
気へ伝わる熱量を求めよ。ただし、乱流部は以下の式を用いて計算せよ。
318.0PrRe0296.0 xxNu
解)バルク温度は、
℃30T
壁面温度は、
℃100wT
膜温度は
℃65
2
10030
mT
関連する物性値をSI単位の基本単位で示しておく。
バルク流速 m/s10u
板の長さ m2L
65℃の空気の動粘性係数
/sm10919.1/smm19.1950100
5065)6.179.22(6.17 252
65℃の空気のプラントル数
11008.7708.050100
5065)708.0708.0(708.0
Pr
65℃の空気の熱伝導率
K)W/(m10879.2K)mW/(m79.2850100
5065)8.271.31(8.27 2
乱流に遷移する位置を板の先端から x [m]とすれば、式(3.42)より
5
5102.3
10919.1
10
xxu
これを解いて
m10141.6 1x
層流部分の平均熱伝達率を求める。式(4.31)より、
312/1
PrRe332.0 xxNu
2/13/1
2/1
3/1
2/1
Pr332.0Pr332.0
x
uxu
xhx
x
xdxhx
h0
1
x
dxxu
x 0
2/13/1
2/1
Pr332.01
x
dxxx
u
0
2/13/1
2/11
Pr332.0
x
x
x
u
0
2/13/1
2/1
2/1
1Pr332.0
3/1
2/1
Pr664.0
x
u
よって層流部分の伝熱量は、
wl TTx
uxQ
3/1
2/1
Pr664.0
21 10879.2664.010141.6
100301008.710141.610919.1
10 3/11
2/1
15
W7.6 7 4
乱流部分の平均熱伝達率を求める。問題の与式より、
315/4
PrRe0296.0 xxNu
5/13/1
5/4
3/1
5/4
Pr0296.0Pr0296.0
x
uxu
xhx
L
xxdxh
xLh
1
L
xdxx
u
xL
5/13/1
5/4
Pr0296.01
L
xdxx
xL
u 5/13/1
5/41
Pr0296.0
L
x
x
xL
u
5/4
1Pr0296.0
5/43/1
5/4
5/45/43/1
5/41
Pr0370.0 xLxL
u
よって乱流部分の伝熱量は、
wt TTxLxL
uxLQ
5/45/43/1
5/41
Pr0370.0)(
wTTxLu
5/45/43/1
5/4
Pr0370.0
5/4
5
2
10919.1
1010879.20370.0
1003010141.621008.75/415/43/11
W2 6 4 9
よって求める伝熱量は
kW32.3W332426497.674 tl QQ
4.4 式(4.20)を導出せよ。
解)無次元温度の定義は次の通り。
w
w
TT
TT
-
(4.19)
ここで、 ものみの関数であることを仮定する。
T についての微分値を整理する。式(4.19)より、
ww TTTT - (4.1.A28)
なので、
yxu
d
dTT
xd
dTT
xTT
x
Twww
2
3
2
1
ν---
(4.1.A29)
2
1
xu
d
dTT
yd
dTT
yTT
y
Twww
ν---
(4.1.A30)
d
d
yx
uTTx
u
d
dTT
yy
Tww
2
1
2
1
2
2
ν-
ν-
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
xu
d
dx
uTT
yd
dx
uTT ww
νν-
ν-
2
2
d
duTT w
νx-
(4.1.A31)
これらと式(4.11), (4.12)を式(4.3)に代入して
2
1
2
3
2
1
2
1x
u
d
dTTf
d
df
x
uyx
u
d
dTT
d
dfu ww
ν-
ν
ν-
2
2
d
duTT w
νx-
(4.1.A32)
d
df
d
dfxTTu
d
d
d
dfTTyx
uww
12
33
2
1
2
1--
ν
2
2
d
duTT w
νx-
(4.1.A33)
両辺を
νx-
uTT w
で割って
2
2
2
1
2
1
2
1
d
d
d
df
d
df
d
d
d
dfyxu
νν (4.1.A34)
2
2
2
1
2
1
2
1
d
d
d
df
d
d
d
df
d
d
d
df
x
yxu νν
νν
(4.1.A35)
ここで式(4.7)を第1項に代入。
2
2
2
1
2
1
2
1
d
d
d
df
d
d
d
df
d
d
d
df ννν
(4.1.A36)
2
2
2
1
d
d
d
df ν
(4.1.A37)
2
2
2
1
d
d
d
df
ν
(4.1.A38)
02
12
2
d
df
d
d ν
(4.1.A39)
022
2
d
df
Pr
d
d
(4.20)
ここで
νPr
(4.21)
4.5 式(4.33)を導出せよ。
解) Lx までの平均熱伝達率は平均の定義から
L
xdxhL
h0
1
(4.32)
これに式(4.28)を代入して
LL
dxxPru
LdxPr
x
u
Lh
0
2131
0
31 33201
33201 /// ..
νν
31
21
21310
2131 66401
233201
233201 /
/
//// ... Pru
LLPr
u
LxPr
u
L
L
ννν
316 6 40 /. Pru
νL
(4.33a)
式(4.29)で Lx とおけば
313320 /. Pr
L
uh
Lxxν
(4.1.A55)
なので、式(4.33a)と比較して
LxxhPrL
uPr
L
uh
2332026640 3131 // ..
νν
(4.33b)
4.6 式(4.54)を導出せよ。
解)
21
1644
1644640954
13
280/
...
xx ReRexuxux
(4.53)
xux
644.
これを式(4.51)に代入
3
6442
1
6442
3
xux
y
xux
y
u
u
..
ここで式(4.7)xu
x
yxu
x
y
を導入して
33
3
10005153232706442
1
6442
3
..
..u
u
(4.54)
4.7 式(4.63)から式(4.71)までを導出せよ。
解)境界条件(式(4.64))を満たし得る最も簡単な多項式である3次式を用いて
32 ydycybaT (4.63)
と置く。
0y に関する境界条件は、壁面温度が wT より
wTT (4.64a)
式(4.3)に壁面上での速度ゼロである条件 0u , 0v を代入して
02
2
y
T
(4.64b)
ty に関する境界条件は、バルク温度が T より
TT (4.64c)
境界の外では温度一定より
0
y
T
(4.64d)
式(4.63)より、
232 ydycby
T
ydcy
T
62
2
2
これらを境界条件に代入して
adcbaTw
32000
cdc 20620
32
ttt dcbaT
2
320 tt dcb
上2式より
wTa
0c
これを下2式に代入して
3
ttw dbTT
2
30 tdb
下側の式を t 倍して上式から引くと
3
2 tw dTT
dTT
t
w
32
これを下式に代入
2
32
30 t
t
wTTb
t
wTTb
23
これより温度分布は、
3
3
2
20
23 y
TTyy
TTTT
t
w
t
ww
3
322
3 yTT
yTT
TT
t
w
t
ww
よって、温度境界層の厚み t がわかれば温度分布がわかる。
また、これを変形して
3
322
3 yTT
yTT
TT
t
w
t
ww
3
3
22
3
ttw
w yy
TT
TT
3
2
1
2
3
ttw
w yy
TT
TT
(4.65)
なお、教科書ではここで無次元温度 を導入しているが、実際には何にも使っておらず、不
要。
式(4.62)に、式(4.51)と式(4.65)を代入する。式(4.51)より
3
2
1
2
3
yyuu
今、 w
w
TT
TT
より、
ww TTTT
ww TTTT
3
2
1
2
3
tt
ww
yyTTTT
3
2
1
2
3
tt
ww
yyTTTTTT
3
2
1
2
3
tt
ww
yyTTTT
3
2
1
2
31
tt
w
yyTT
3
2
1
2
31
tt
w
yyTT
3
2
1
2
3
tt
ww
yyTTT
yy
T
3
2
1
2
3
tt
w
yyTT
y
y
yyyTT
y
t
tt
w
t
3
2
1
2
3
tt
w
yTT
1
2
3
2
32
tt
w
yTT
11
2
32
よって
t
dyyy
uyy
TTdx
d
tt
w
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
0
21
12
3
ytt
w
yTT
t
dyyyyy
dx
dTTu
tt
w
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
0
21
12
3
ytt
w
yTT
t
dyyyyy
dx
dTTu
tt
w
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
t
wTT
1
2
3
t
dyyyyy
dx
du
tt
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
t
2
3
ここで
t
(4.66)
を導入する。
t
を代入して
t
dyyyyy
dx
du
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
2
3
積分の中を整理する。
33
2
1
2
3
2
1
2
31
yyyy
333
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
yyyyyy
33333
2
1
2
1
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
1
2
3
yyyyyyyyyy
6
3
44
3
23
4
1
4
3
4
3
4
9
2
1
2
3
yyyyyy
6
3
44
3
23
4
1
4
3
4
3
4
9
2
1
2
3
yyyyyy
よって、積分の部分は
t
dyyyyy
0
33
2
1
2
3
2
1
2
31
t
dyyyyyyy
0
6
3
44
3
23
4
1
4
3
4
3
4
9
2
1
2
3
t
yyyyyy
0
7
3
55
3
342
28
1
20
3
20
3
4
3
8
1
4
3
7
3
55
3
342
28
1
20
3
20
3
4
3
8
1
4
3
tttttt
7
3
55
3
342
28
1
20
3
20
3
4
3
8
1
4
3
442242
28
1
20
3
20
3
4
3
8
1
4
3
42
280
3
20
3
ここで
t
を用いている。
最終的に式(4.67)は
2
3
280
3
20
3 42
dx
du
となる。ここで、 1 を仮定すれば、24 より
2
3
20
3 2
dx
du
とおけ、
2
3
20
3 2 dx
du
(4.68)
が得られる。
速度境界層の厚み と xとの関係は式(4.53)で求められている。式(4.53)を変形して
u
x
13
280
としてから代入して
u
xu
x
dx
du
13
2802
3
13
280
20
3 2
xx
dx
d
uuu
2
13
280
3
2
13
280
20
3
xx
dx
d2
13
28
xx
dx
d 1
28
132
xPr
xdx
d 11
28
132
xPrdx
dxx
dx
d 11
28
1322
xPrdx
dx
x
11
28
13
2
1 22
Prdx
dxx
xx
1
28
13
2
1 22
Prdx
dx
1
28
13
2
1 23
Prdx
dx
1
14
132 23
Prdx
dx
1
14
134 23
ここで、
dx
d
dx
d 23 3
に注意して
Prdx
dx
1
14
13
3
4 33 (4.69)
これは線形微分方程式である。
境界条件は、 0xx から伝熱が始まるとして
0xx : 0 (4.70)
すなわち
0xx : 03
公式を用いるために微分方程式の両辺をx
3
4
で割って
xPrdx
d
x 4
31
14
13
4
3 33
xPrxdx
d 11
56
39
4
3 33
線形微分方程式 xQyxP
dx
dy
の一般解は CdxdxxPxQdxxPy expexp
ここで、3y 、
x
xP4
3
、
xPrxQ
11
56
39
とおいて
Cdxdx
xxPrdx
x 4
311
56
39
4
33 expexp
Cdxdx
xxPrdx
x
1
4
311
56
391
4
3expexp
Cdxx
xPrx lnexplnexp
4
311
56
39
4
3
Cdxx
xPrx 4343 11
56
39 // lnexplnexp
Cdxx
xPrx 4343 11
56
39 //
CdxxPr
x 4143 1
56
39 //
Cxx
Pr
4343
3
41
56
39 //
434343 1
56
391
56
39
3
4 /// xPr
CxPr
x
431
56
391
14
13 / xPr
CPr
境界条件を代入して
430
1
56
391
14
130
/ x
PrC
Pr
430
1
56
391
14
13 / x
PrC
Pr
430
3
4 /xC
よって
43430
3 1
56
39
3
41
14
13 // xPr
xPr
43430
1
14
131
14
13 // xPr
xPr
4301
14
131
14
13/
x
x
PrPr
4301
1
14
13/
x
x
Pr
3143
011
14
13/
/
x
x
Pr
3143
031
31
114
13/
//
/
x
xPr
3143
031
31
114
13/
//
/
x
xPr
3143
031 1025011
1/
//
.
x
xPr
(4.71)
4.8 壁温 50℃、内径 5 cm の円管内に入口温度 20℃の水をで 50 cm3/s で流す。入口か
ら 20 cm の部分でのバルク温度はいくらか。ただし、熱伝達率の計算にはハウゼンの式を
用いよ。
解)関係する数値をSI単位系の基本単位およびその組み合わせによる単位で表しておく。
壁温 K.K. 153231527350 wT
内径 m.050d
入口温度 K.K. 1529315273201 bT
温度測定位置 m.20L
体積流量 sv /m35105
20℃のプラントル数 9916.Pr
20℃の動粘性係数 16100041 sm. 2
20℃の熱伝導率 159950 KmW. -1
20℃の密度 3mkg. 2998
20℃の定圧比熱 11KkgJ. 3101854c
平均流速を求める。
s
d
vum /m.
/./02550
4050
105
4 2
5
2
グレッツ数を求める。
3
6
22
1022220100041
991605002550
.
..
...
// L
Prdu
dL
Prdu
dL
PrReGz m
m
dL
これより、
519102220401
1022206680653
0401
06680653323
3
32.
..
...
.
..//
L
Ld
Gz
GzNu
12233050
59950519 KmW.
..
d
Nuh d
伝わった熱が温度変化分に相当するので、
12
2
4bbm TTcu
dTdLh
21
2
4bwbwm TTTTcu
dTdLh
21
2
21
21
4TTcu
d
TT
TTdLh
lnln
212
4TT
cuddLh lnln
21
4TT
cdu
Lh lnln
cdu
LhTT
412 lnln
cdu
LhTT
412 lnexp
cdu
LhTTT bw
412 lnexp
cdu
LhTTT
cdu
LhTT
cdu
LhTTT wwwwb
4441112 expexplnexp
K.
....
.e x p... 2323
101854299802550050
233204152931532315323
3
なお、ここでは 20℃の物性値を用いて計算したが、出口温度が比較的高いので、20℃とこ
の温度の平均を用いて計算し直すことを繰り返す方が真の値に近づく。
4.9 内径 5 cm の円管内を 25℃の水が平均流速 2 cm/s で流れているとき、入口から 20