4.-Faraday

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Ley de Inducción de Faraday

EE-521 Propagación y Radiación

Electromagnética I

Miguel Delgado León

MSc. Ing. Miguel Delgado León

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Introducción


Hasta ahora conocemos para los

campos electromagnéticos estáticos

las siguientes ecuaciones:

0

( )( ) ( ) 0

r E r E r

Electrostática

Magnetoestática

0( ) 0 ( ) ( ) B r B r J r

Se observa que la electrostática y la

magnetostática no tienen relación.

Además conocemos también lafuerza electromagnética sobre una

carga puntual q:

F q E v B

Faraday sospechaba que los campos

E y B tenían alguna relación directa.

Luego de muchas vicisitudes ymuchos experimentos, en 1831

encontró una relación aunque no en

situación estática. El siguiente

experimento puede probar la ley de

Faraday.

El circuito C1 y C están aislados

eléctricamente más no magnéticamente

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Ley de Faraday


Cuando se cierra el interruptor S del

circuito 1, el amperímetro A1 registra

una corriente I1 y cuando se abre Sregistra una corriente cero. El

amperímetro del circuito C registra

una corriente inducida cuando se

abre S y cuando se cierra S.

Cuando se cierra S hay un cambio de flujo

magnético de cero a un valor establecido.

Cuando se abre S también hay un cambio

de flujo de un valor establecido a cero.

Del experimento se observa que:

Cuando hay un cambio de flujo magnético

aparece una corriente inducida en el

circuito C. Matemáticamente expresamos:

0d

d t

Aparece una corriente(inducida) en el

circuito C

0d

d t

No aparece corriente

(inducida) en el

circuito C

La corriente es producido por una

tensión (inducida) . La ley de Faraday

establece que:

.ind I I

.ind

. (1)ind d

d t

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Ley de Lenz y Ley de Faraday para circuitos

estacionarios


El signo menos se explica con la ley de

Lenz que dice “Cuando se produce uncambio en un sistema, el sistema

responde oponiéndose”. Supongamos

que el flujo magnético es creciente sobre

una espira conductora del circuito C

ˆ

S

B n d S

0 0ind

d d

d t d t

Si el flujo magnético crece, entonces:

Si la tensión inducida es negativa

entonces (al igual que la corriente) es

contrario al recorrido C

Los circuitos estacionarios son circuitos

que no se mueven. Sabemos que elflujo magnético es:

ˆ( , )S

B r t n d S y la tensión en un conductor filamental

( , )ind C

E r t d r Reemplazando en (1) tenemos:

ˆ( , ) ( , ) (2)C S

d E r t d r B r t n d S

d t

Es la ley de Faraday en función de los

campo E y B en su forma integral.

Para obtener está ley en su forma

diferencial manipulamos (2) de la

siguiente manera:

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Forma diferencial de la ley de Faraday para

circuitos estacionarios


( , )ˆ( , )

C S

B r t

E r t d r n d S t

Aplicamos el teorema de Stokes al

primer lado:

( , )ˆ ˆ

( , )S S

B r t

E r t n d S n d S t

El integrando del lado izquierdo

debe ser igual al del lado derecho

( , )( , ) (3)

B r t E r t

t

Es la ley de Faraday puntual o en su

forma diferencial.

Una propiedad interesante es que el

campo E depende de un potencial

escalar y de un potencial vectorial

En efecto, como sabemos

que reemplazando en (3) queda: B A

( , ) ( , )( , )

A r t A r t E r t

t t

o

( , )

( , ) 0

A r t E r t

t

Como ya sabemos “El rotacional de un

gradiente es cero”, entonces, el término

entre corchetes es un gradiente

( , )( , ) ( , ) A r t E r t V r t t

Despejando el valor de E

( , )( , ) ( , ) (4)

A r t E r t V r t

t

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Ley de inducción de Faraday para circuitos en

movimiento


Podemos deducir la expresión mediante

un ejemplo simple.

Ejemplo: Una varilla conductora delongitud l se desplaza con una

velocidad constante v como se muestra

en la figura, en medio de un campo

uniforme (espacial y temporal) B.Determine la tensión inducida.

En el estado transitorio (cuando se

inicia el movimiento) no hay campo

eléctrico como se observa de la figura.

F q E v B q v B

La fuerza magnética sobre las cargas

del conductor es:

La fuerza es hacia abajo, empuja las

cargas positivas hacia abajo y a las

cargas negativas hacia arriba. Este

proceso continua hasta el estado

estacionario.

En el estado estacionario no hay

más desplazamiento de cargas

eléctricas: El campo eléctrico

producido por las cargaspolarizadas produce una fuerza

eléctrica sobre cada carga que

compensa a la fuerza magnética

0 (5) F q E v B E v B

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Ley de Faraday para circuitos en movimiento


El campo eléctrico es conservativo.

En efecto, de (3) tenemos:

( , ) 0 B

E r t t

La diferencia de potencial entre

los extremos de la varilla (punto 1

y 2) es:2

2 1

1

V V E d r

2

2 1

1

V V v B d r

Reemplazando (5)

La diferencia de potencial entre los

puntos 1 y 2 es la tensión inducida:2

1

(6)ind v B d r

Este resultado puede generalizarse para

cualquier circuito. En particular, el

resultado para el problema es:2 0

1

ˆ ˆˆind l

v B d r v x B z dy y vBl

Supongamos que la

varilla conductora(que se desplaza con

una velocidad) es

cerrada y el campo

magnético varia con

el tiempo.

( , )ind C

d v B r t d r

d t

Entonces la tensión inducida será debido

a la variación del flujo magnético y devido

al movimiento del circuito. Así:

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Sistema de referencia de Laboratorio y sistema

de referencia móvil


( , )ˆ ( , ) (7)

ind

S C

B r t n d S v B r t d r

t

El análisis hasta el

momento es para el

sistema de referencia

de laboratorio, es decir,

para el observador (sin

prima) que mira comoel circuito se mueve.

El observador (con prima) del sistema

móvil es aquel que se mueve paralelo

al circuito. Para el observador prima elcircuito está estático (no se mueve),

tiene velocidad cero. El observador del

sistema móvil mide un campo eléctrico

E’ mientras que el observador del

sistema de laboratorio mide un campo

E

La tensión inducida por el observador

del sistema móvil es:

.' '( , ) ' (8)ind

C

E r t d r

Debe ser igual a (7). Es decir:

( , ) ˆ'( , ) '

( , )

C S

C

B r t E r t d r n d S t

v B r t d r

La relación del campo eléctrico medido

por el observador del sistema móvil y elobservador de laboratorio es:

'( , ) ( , ) ( , ) (9) E r t E r t v B r t

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Problemas


Problema 1 Generador de Faraday.

Un disco metálico de radio a gira a

una velocidad angular w en medio deun campo magnético uniforme Bo

como se muestra en la figura.

Determine la tensión inducida entre

los puntos a y b.

Problema 2

Una espira rectangular conductora sedesplaza con una velocidadconstante Vo de una corriente recta I

(alejandose). Determine la tensión

inducida en la espira.

Problema 3

Un anillo conductor delgado de radio

medio a, conductividad g y sección

transversal S es afectado por un campo

magnético perpendicular al plano delanillo dado por B=Bo(1+kt). Calcular la

corriente inducida y la tensión inducida.

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Aplicación de la ley de Faraday en la

mitigación de Campos magnéticos cerca de

líneas de potencia

El autor ha desarrollado en estos días

un trabajo de investigación que

consiste en aplicar la ley de Faraday

para mitigar campos magnéticos en

una línea de transmisión de potencia.

Referencias:

A.R. Memari and W. Janischewskyj,

Mitigation of Magnetic Field near

Power Lines IEEE Trans PWD July

1996K. Yamazaki T Kawamoto and H

Fujinami Requirements for Power Line

Magnetic Field Mitigation Usin a

Passive Loop Conductor IEEE Trans

PWD April 2000

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Campos electromagnéticos casi estáticos

(CECE)


Cuando la variación temporal de los

campos electromagnéticos es lenta, sepuede aproximar a la electrostática y

magnetostática.

Ecuaciones Diferenciales de los CECE

(10) ( , ) ( , ) .(11) ( , ) 0 .

( , )(12) ( , )

(13) ( , ) ( , )

D r t r t L Gauss B r t Gauss Magn

B r t E r t Faraday

t

H r t J r t Ampere

Todos los materiales están

caracterizados por su permeabilidad

, permitividad y conductividad .

Por ejemplo tenemos:

g

7

0 0

:

, 5.8 10 ./ .

cobre

y g S m

0 0

:

, 80 4 . / .

agua de mar

y g S m

Las ecuaciones constitutivas son:

, , (14) D E B H J g E

Donde J no es fuente. En el curso

vamos a considerar , y

constantes. Las cuatro primerasecuaciones se reducen a una

sola ecuación diferencial. Así,

aplicando rotacional a (13)

g

H J

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(CECE)


Al primer lado se aplica la conocida

identidad vectorial y al segundo ladola ley de Ohm (5), tenemos:

2 H H g E g E o

2 B

H g t

Llegamos a la E.D. para el campo

H:2 ( , )

( , ) (15) H r t

H r t g t

No es difícil demostrar quetambién se cumple para los

campos E, B, D y J. Por ejemplo:

2 ( , )( , ) (16) E r t

E r t g t

¿Cuándo se puede aplicar los campos

electromagnéticos casi estáticos paralos campos de variación temporal

armónica?

Si los campos varían con una

frecuencia angular w, la dimensión

máxima del circuito debe ser mucho

menor que la longitud de onda l.

(17)máx

d l

Donde: f cl c es la velocidad de

la luz

f es la frecuencia en Hz2

f w

Ejemplo:

Para una frecuencia de 10 kHz

estimar la dimensión máxima de un

circuito para aplicar los campos

electromagnéticos cuasi estáticos

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(CECE)


Solución: Calculamos primero la

longitud de onda con lf=c:3 810 10 3 10 30000 .ml l

La dimensión máxima del circuito

debe ser mucho menor que 30 km

Ejemplo:

Un campo eléctrico variable con el

tiempo existe en el semiespacio z0 se tiene un

material no magnético de

conductividad g. Si la frecuencia w

es baja, determine:

0ˆ cos 0( , )

0 0

x E t z E r t

z

w

a) La densidad de corriente J en el

material

b) La profundidad de penetración d

Solución a):

Solución b):

00.5

0 0ˆ( , ) cos 0.5

g z J z t x g E e t g z

w

w w

0

1.

0.5m

g d

w

Ejemplo

Calcular la profundidad de

penetración para el cobre a una

frecuencia de 1 kHz

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Inductancia


Se basa en los campos

electromagnéticos casi estáticos

(aproximación a la magnetostática).

En un circuito aislado que conduce una

corriente, produce un flujo magnético,

la ley de inducción de Faraday puede

expresarse como:

. (18)ind d d d I

d t d I d t

Para un circuito estacionario el flujo

magnético varia linealmente con la

corriente

En efecto, supongamos que =kI,

entonces d/dI=k. Se define la

inductancia L o auto inductancia como:

(19)d

L Henryd I I

Es decir, la inductancia propia o auto

inductancia es el flujo que produce la

corriente del circuito sobre el mismo

circuito entre la corriente.

La inductancia mutua del circuito j sobre

el circuito k Mjk se define como el flujo

magnético debido a la corriente del

circuito j sobre el circuito k jk entre la

corriente del circuito j. Así:

(20) j k

jk

j

M Henry I

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Problemas de inductancia


Problema 01

Encontrar la inductancia interna y

externa de una línea de transmisióncoaxial formada por dos

conductores. El conductor interno

tiene un radio a y el conductor externo

es una cascara de radio b (b>a).

Problema 02

Encontrar la inductancia interna y

externa de una línea de transmisión

bifilar (hilos paralelos).

Problema 03 (UC, Berkeley)Un circuito eléctrico (bobinado) rodea

uniformemente a un toroide de 20 cm

de radio, 5 cm2 de sección transversal

y 10000 vueltas. El toroide es un

material de r =1000. El circuito tiene

una resistencia de 10 W. Encontrar eltiempo para que la corriente decae a

un valor 1/e de su valor inicial cuando

el circuito es cortocircuitado

abruptamente.

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Formula de Neumman


Ejemplo.

Encontrar la inductancia mutua entre

un hilo recto y una circunferencia como

se muestra en la figura.

Como sabemos:

j k

jk

j

M Henry I

El flujo magnético debido a la corriente

del circuito j sobre la superficie del

circuito k puede expresarse como:

ˆ

k

j k j k k k

S

B n d S

El flujo magnético también puede

expresarse como:

k

j k j k k

C A d r

El potencial vectorial magnético es:

0

4 j

j j

j k

jk C

I d r A

R

Combinando las dos últimas ecuaciones

y la primera llegamos a la fórmula de

Neumman

0 (21)4

j k

j k

jk

jk C C

d r d r M Henry

R

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