UNIVERSITÄT SIEGEN Baustatik III – SS 2017 4. Einführung in die Baudynamik 4.1 Allgemeine Vorbemerkungen 4.1.1 Bedeutungen der Baudynamik 4.1.2 Grundbegriffe und Klassifizierung 4.1.3 Modellierung der Bauwerksschwingungen 4.2 Freie Schwingungen 4.2.1 Freie ungedämpfte Schwingungen 4.2.2 Federzahlen und Federschaltungen 4.2.3 Freie gedämpfte Schwingungen 4.3 Erzwungene Schwingungen 4.3.1 Erzwungene ungedämpfte Schwingungen 4.3.2 Erzwungene gedämpfte Schwingungen LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 1
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UNIVERSITÄT SIEGEN
Baustatik III – SS 2017
4. Einführung in die Baudynamik
4.1 Allgemeine Vorbemerkungen4.1.1 Bedeutungen der Baudynamik4.1.2 Grundbegriffe und Klassifizierung4.1.3 Modellierung der Bauwerksschwingungen
Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.
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Baustatik III – SS 2017
4. Einführung in die Baudynamik
4.1 Allgemeine Vorbemerkungen
4.1.1 Bedeutungen der Baudynamik
4.1.2 Grundbegriffe und Klassifizierung
4.1.3 Modellierung der Bauwerksschwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Literatur:Gross, D., Hauger, W., Schröder, J., Wall, W.: Technische Mechanik 3. Springer-Verlag, 2015.
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Bedeutungen der Baudynamik
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK 4
Baudynamik befasst sich mit der Berechnung und Beurteilung dynamischbelasteter Bauwerke.
Schwingungen von Bauwerken spielen in der Baudynamik eine besonderswichtige Rolle.
Definition: Als Schwingungen bezeichnet man die Hin- und Her-Bewegungeneines Systems oder Bauwerks.
Der Schwingungsvorgang eines Systems kann durch eine zeitabhängigeFunktion x(t) beschrieben werden. Der Verlauf von x(t) wird häufig auch alsWeg-Zeit-Diagramm bezeichnet.
( )x t
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Können Schwingungen nützlich sein?
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Nützliche Schwingungen im Bauwesen:
Betonrüttler zum Verdichten von Beton.
Stemmhammer.
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Wann sind Schwingungen unerwünscht?
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Unerwünschte Schwingungen im Bauwesen:
Bauwerksschwingungen infolge von Erdbeben
Bauwerksschwingungen infolge von Wind
Bauwerksschwingungen infolge von Erschütterungen• Bahnerschütterungen• Erschütterungen aus Baubetrieb (z. B. Spundbohlen-Einrütteln)• Industrielle Erschütterungen (KFZ- und Schwerindustrie)
Bauwerksschwingungen infolge von Stoßbelastungen Bauwerksschwingungen infolge von Verkehrslasten (z. B. Brücken unter
LKW- und PKW-lasten)In der Praxis muss der Baudynamiker neben den analytischen und numerischenLösungsstrategien sich auf dem Gebiet der Schwingungsmessungen auskennen.Dynamische Messungen sind für die Erhebung von Eingangsdaten und für dasSystemverständnis unerlässlich (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Baudynamik).
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Beispiel: Einsturz der Tacoma Narrows Bridge
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Die Tacoma Narrows Bridge im US-Bundesstaat Washington (eröffnet am 01.07.1940 undeingestürzt am 07.11.1940) versagte durch selbstinduzierte Schwingungen verursacht durchbestimmte Windbedingungen. Nach ihrem Versagen wurden neue Brücken nicht mehr nurstatisch, sondern auch dynamisch ausgelegt.
Freie Schwingung wird häufig auch als Eigenschwingung bezeichnet. Diedynamischen Eigenschaften eines Systems werden durch die freie Schwingungdes Systems beschrieben.
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Freie ungedämpfte Schwingungen
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Lösung der Differentialgleichung:
Die unbekannten Integrationskonstanten A und B können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
( ) cos sin( )x t A t B t
0 0
00
(0)
(0)
x x A xvx v B
Anfangsbedingungen:
00( ) cos sin( )vx t x t t
Lösung der Differentialgleichung:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Alternative Darstellung der Lösung:
( ) cosx t C t Die unbekannten Integrationskonstanten C und können aus den Anfangs-bedingungen (AB) bestimmt werden.
0
0
(0)(0)x xx v
Anfangsbedingungen:
220 0
0
0
/
arctan
C x v
vx
: Schwingungsamplitude: Phasenwinkel
C
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Einfluss des Eigengewichtes:
2 0x+ x=Schwingungsgleichung:
cm
Das Gewicht der Masse hat also keinen Einfluss auf die Schwingung, wenn dieAuslenkung von der statischen Ruhelage xst aus gezählt wird.
Eigenfrequenz:
stmgxc
Statische Ruhelage:
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Andere Beispiele:
1.) Mathematisches Pendel
sin bei 1
sin 0g+ =l
0g+ =l
2 0+ =
gl
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Freie ungedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
2.) Physikalisches Pendel
sin bei 1
sin 0A +mgl =
0A +mgl =
2 0+ = A
mgl
Trägheitsmoment: A
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4.2.2 Federzahlen und Federschaltungen
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4.2 Freie Schwingungen
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Federkonstanten
FF c l cl
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Beispiel: Stab
Federzahl bzw. Federkonstante:
KraftFederzahlVerschiebung
l l
Fl F EAl cEA l l
F
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Federkonstanten
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Beispiel: Balken
3
3
48 48 BFl F EIw cEI w l
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Federkonstanten
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Verschiebung in den Federn!
1.) Parallelschaltung
1 2F c x c x c x
xx
1 2c c c
Verallgemeinerung: 1 21
...N
N ii
c c c c c
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Charakteristik: Gleiche Kraft in den Federn!
2.) Reihenschaltung
1 1 2 2
1 2
F c x c x c xx x x
2x x
1 2
F F Fxc c c
Verallgemeinerung:
1x
1 2
1 1 1c c c
11 2
1 1 1 1 1...N
iN ic c c c c
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Federschaltungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
3.) Kombination von Parallel- und Reihenschaltung
12 1 2c c c
12 3 1 2 3
1 1 1 1 1c c c c c c
12c 3c
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4.2.3 Freie gedämpfte Schwingungen
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4.2 Freie Schwingungen
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Freie gedämpfte Schwingungen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Dämpfungskraft: dF dx
Diese Dämpfungsart nennt man „viskose Dämpfung“ (z.B. Stoßdämpfer im Fahrzeug).
Die Dämpfungskraft Fd wirkt immer entgegengesetzt zu der Geschwindigkeit.
cos( ) : (- cos 2 sin cos )sin( ) : - sin 2 cos sin 0
t D V Et D
Durch Einsetzen der Partikularlösung in die Differentialgleichung und dann Koeffizienten-Vergleich können die Vergrößerungs-funktion und die Phasenverschiebung bestimmt werden.
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
...tan ...V
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2
2tan1D
Vergrößerungsfunktion bzw. Amplituden-Frequenzgang:
Phasenverschiebung bzw. Phasen-Frequenzgang:
2 2 2 2(1 ) 4
EVD
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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Fall 1.) & 2.): V1
Fall 3.): V2
Fall 4.) & 5.): V3
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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(0)V (1)V ( )V m ( )m mV
Fall 1.) und 2.) 1 12D
0 21 2D 2
1
2 1D D
Fall 3.) 0 1 0 1 1
Fall 4.) und 5.) 0 1
2D 1 2
1
1 D
2
1
2 1D D
(0) (1) ( )
Fall 1.) – 5.) 0 2
Charakteristische Werte von V() und ():
Erzwungene gedämpfte Schwingungen
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V1: Fall 1.) & 2.)
1
2 2 21
21
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1 2 .
# 0,5 : 1 bei 0, Kurven fallen monoton gegen 0.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Eigenschaften von V2: Fall 3.)
2Maximum 1 ist unabhängig von und immer bei 1!m mV D
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Erzwungene gedämpfte Schwingungen
Eigenschaften von V3: Fall 4.) & 5.)
3
2 2 23
23
# 0 : Ungedämpfte Schwingungen, Resonanz bei 1.# 1: 1/ 2 , Resonanz bei 1.
# 0,5 : 1/ (2 1 ) bei 1/ 1 .
# 0,5 : 1 bei , Kurven wachsen monoton gegen 1.
m m
m m
m m
DD V D
D V D D D
D V
Phasenverschiebung für alle 5 Fälle:# 0 : Sprung von 0 nach bei 1 (Resonanz).# 1: Niederige Erregerfrequenz, 0, Ausschlag und Erregung in Phase.# 1: Hohe Erregerfrequenz, , Ausschlag und Erregung in Gegenphase.
D
Die Phasenverschiebung gibt an, um wieviel der Ausschlag hinter der Erregung nacheilt!