Derivati i funksionit 6.1. Derivati i rendit të parë D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë f funksion i përkufizuar në intervalin ) , ( b a dhe 0 ( , ). x ab ∈ Shënojmë me x Δ një shtesë të çfardoshme të 0 x të tillë që 0 ( , ). x x ab +Δ ∈ Shtesa përkatëse e funksionit f që i përgjigjet shtesës x Δ është 0 0 ( ) ( ). y f x x f x Δ = +Δ − Formojmë raportin 0 0 ( ) ( ) . fx x f x y x x +Δ − Δ = Δ Δ Vlera kufitare 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim , x x f x x f x y x x Δ→ Δ→ +Δ − Δ = Δ Δ nëse ekziston dhe është e fundme quhet derivat i parë derivat i parë derivat i parë derivat i parë ose shkurt derivat derivat derivat derivat i funksionit f në pikën 0 x dhe e shënojmë me ' 0 ( ). f x Pra: ' 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim . x x f x x f x y f x x x Δ→ Δ→ +Δ − Δ = = Δ Δ Derivati i majtë Derivati i majtë Derivati i majtë Derivati i majtë ) ( 0 ' x f − dhe i djathtë i djathtë i djathtë i djathtë ) ( 0 ' x f + i funksionit funksionit f në pikën 0 x përkufizohen me barazimet : x x f x x f x f x Δ − Δ + = − → Δ − ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 ' ' 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim . x f x x f x f x x + + Δ→ +Δ − = Δ Funksioni i cili ka derivat në secilën pikë të intervalit ) , ( b a quhet funksion i derivueshëm në intervalin ). , ( b a Nëse nuk veçohet pika e intervalit në të cilën gjendet derivati, shkruajmë x x f x x f x f x Δ − Δ + = → Δ ) ( ) ( lim ) ( 0 ' ose ' ' () . dy y f x dx = = D e t y r a t ë z g j i d h u r a 6.1.1. Nëse ndryshorja 0 x merrë shtesën 0.002, x Δ = funksioni 1 ) ( 2 − + = x x x f merrë shtesën . 006004 . 0 = Δy Caktoni vlerën fillestare të ndryshores së pavarur. Zgjidhje : Nga barazimi 0 0 ( ) ( ), y f x x f x Δ = +Δ − kemi:
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Derivati i funksionit
6.1. Derivati i rendit të parë
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë f funksion i përkufizuar në intervalin
),( ba dhe 0 ( , ).x a b∈ Shënojmë me x∆ një shtesë të çfardoshme të 0x të tillë që
0 ( , ).x x a b+ ∆ ∈ Shtesa përkatëse e funksionit f që i përgjigjet shtesës x∆ është
0 0( ) ( ).y f x x f x∆ = + ∆ − Formojmë raportin
0 0( ) ( ).
f x x f xy
x x
+ ∆ −∆=
∆ ∆
Vlera kufitare
0 0
0 0
( ) ( )lim lim ,x x
f x x f xy
x x∆ → ∆ →
+ ∆ −∆=
∆ ∆
nëse ekziston dhe është e fundme quhet derivat i parëderivat i parëderivat i parëderivat i parë ose shkurt derivatderivatderivatderivat i
funksionit f në pikën 0x dhe e shënojmë me '
0( ).f x Pra:
' 0 00
0 0
( ) ( )( ) lim lim .
x x
f x x f xyf x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ −∆= =
∆ ∆
Derivati i majtëDerivati i majtëDerivati i majtëDerivati i majtë )( 0
' xf− dhe i djathtëi djathtëi djathtëi djathtë )( 0
' xf+ i funksionit funksionit f në pikën 0x
përkufizohen me barazimet :
x
xfxxfxf
x ∆−∆+
=−→∆
−
)()(lim)( 00
00
'
' 0 00
0
( ) ( )( ) lim .
x
f x x f xf x
x++∆ →
+ ∆ −=
∆
Funksioni i cili ka derivat në secilën pikë të intervalit ),( ba quhet funksion i
derivueshëm në intervalin ).,( ba Nëse nuk veçohet pika e intervalit në të cilën
6.1.6. Gjeni derivatin e funksionit 2( ) ( , , ).f x ax bx c a b c= + + ∈ℝ
Zgjidhje: Kemi:
cbxaxcxxbxxaxfxxfy −−−+∆++∆+=−∆+=∆ 22 )()()()(
2)(2 xaxbxax ∆+∆+∆=
2
'
0 0
2 ( )( ) lim lim
x x
y ax x b x a xf x
x x∆ → ∆ →
∆ ∆ + ∆ + ∆⇒ = =
∆ ∆
( ) .22lim0
baxxabaxx
+=∆++=→∆
■
63
6.1.7. Gjeni ' ( ),f a nëse )()()( xaxxf ϕ−= ku ϕ është funksion i
vazhdueshëm në pikën .x a= Zgjidhje: Sipas përkufizimit të derivatit, kemi
=∆
−∆+=
→∆ x
xfxxfxf
x
)()(lim)(
0
'
x
xaxxxaxx
x ∆ϕ−−∆+ϕ−∆+
→∆
)()()()(lim
0
⇒ =)(' af )()(lim)(
lim00
axxx
xxx
xxϕϕ
ϕ=∆+=
∆∆+∆
→∆→∆■.
6.1.8. Le të jetë f funksion i derivueshëm dhe periodik me periodë .p Tregoni se 'f është periodik me periodë .p
Zgjidhje: Kemi:
'
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) lim lim .
x x
f x x f x f x p x f x pf x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ − + + ∆ − += =
∆ ∆■
6.1.9. Caktoni shtesën x∆ të argumentit 0x në mënyrë që shtesa e funksionit
32)( 2 ++−= xxxf të jetë .0199.0=∆y
Rezultati: 01.0=∆x dhe .99.1=∆x
6.1.10. Caktoni shpejtësinë mesatare të ndryshimit të funksionit xxf sin)( =
nëse 0
0 5=x dhe .20'=∆x
Rezultati: .99485.0=∆∆
x
y
1.1.11. Të gjendet shtesa x∆ e argumentit x dhe shtesa y∆ e funksionit f për
vlerat e ndryshores së pavarur nga 1x në 2 ,x nëse :
xxfa log)()( = dhe .1000,1 21 == xx
xxfb 2log)()( = dhe .5,5.0 21 == xx
Rezultati: .1,5.4)(.3,999)( =∆=∆=∆=∆ yxbyxa
1.1.12. Është dhënë funksioni .1)( −= xxf Njehsoni ).5('f
Rezultati: .4
1)5(' =f
1.1.13. Është dhënë funksioni .)( 3 xxf = Njehsoni ( ).22'f
Rezultati: ( ) .6
122' =f
1.1.15. Gjeni derivatin e funksionit ( ) .mx n
f xpx q
+=
+
Rezultati: .)(
)(2
'
qpx
npmqxf
+−
=
64
6.2. Rregullat për gjetjen e derivatit
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e
Tabela e derivateveTabela e derivateveTabela e derivateveTabela e derivateve :
' 11 ( ) .v xαα −=�
'2 ( ) ln ( 0, 1).x xa a a a a= > ≠�
'3 ( ) .x xe e=�
' 14 (log ) ( 0, 1).
lna x a a
x a= > ≠�
' 15 (ln ) .x
x=�
'6 (sin ) cos .x x=�
'7 (cos ) sin .x x= −�
'
2
18 ( ) .
costgx
x=�
'
2
19 ( ) .
sinctgx
x= −�
'
2
110 (arcsin ) .
1x
x=
−
�
'
2
111 (arccos ) .
1x
x= −
−
�
'
2
112 ( ) .
1arctgx
x=
+�
'
2
113 ( ) .
1arcctgx
x= −
+�
Rregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatitRregullat për gjetjen e derivatit : Le të jenë )(xu dhe )(xv funksione të
derivueshme, atëherë janë të vërteta këto formula :
( ) '''vuvu ±=±
( ) '''uvvuuv +=
2
''
v
uvvu
v
u −=
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
65
6.2.1. Gjeni derivatin e funksionit .2)( xxxf =
Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën 2
3
2)( xxf = e pastaj
zbatojmë formulën ,10 kemi:
.332
3222)( 2
11
2
3'
2
3'
2
3
' xxxxxxf ==⋅=
=
=
−■
6.2.2. Gjeni derivatin e funksionit .1
)(x
xf =
Zgjidhje: Funksionin e dhënë e shkruajmë në formën 2
1
)(−
= xxf e pastaj
zbatojmë formulën ,10 kemi:
.2
1
2
1
2
1)(
3
2
31
2
1'
2
1
'
xxxxxf −=−=−=
=
−−−−■
6.2.3. Njehsoni )1(' −f dhe )2('f , nëse .1
)(4x
xf =
Zgjidhje: Kemi:
( )5
514'4
'
4
' 544
1)(
xxxx
xxf −=−=−==
= −−−−
.8
1
2
4)2(4
)1(
4)1(
5
'
5
'
−=−=∧
=
−−=−⇒ ff ■
6.2.4. Gjeni derivatin e funksionit .7424)( 35 −+−= xxxxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën ,10
kemi: ' 5 3 ' 4 2 4 2( ) (4 2 4 7) 4 5 2 3 4 1 0 20 6 4.f x x x x x x x x= − + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − + ■
6.2.5. Gjeni derivatin e funksionit .45
132)(
32
3 +−+−=xxx
xxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të shumës dhe formulën ,10
kemi: '
3
2
22
1
3
1'
32
3' 45
13324
5
132)(
+−+−=
+−+−= −−−
xx
xxxxxx
xxf
1312
12
11
3
1
)3(5
1)2(3
2
12
3
1 −−−−−−−−−−+
−−= xxxx
66
2 3
3 43 23 43 2
1 3 1 1 6 36 .
3 5 53x x x x
x xx xx
− − − −= + − + = + − + ■
6.2.6. Gjeni derivatin e funksionit ).21)(51()( 23 xxxf −+=
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi: ' 3 2 ' 3 ' 2 3 2 '( ) ((1 5 )(1 2 )) (1 5 ) (1 2 ) (1 5 )(1 2 )f x x x x x x x= + − = + − + + −
442322 2043015)51(4)21(15 xxxxxxxx −−−=+−−=
xxx 41550 24 −+−= .■
6.2.7. Gjeni derivatin e funksionit ).1)(1()( 23 ++−= xxxxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të prodhimit, kemi: ' 3 2 ' 3 ' 2 3 2 '( ) (( 1)( 1)) ( 1) ( 1) ( 1)( 1)f x x x x x x x x x x= − + + = − + + + − + +
)15)(1()1()12()1(3 22322 −−++=−++++= xxxxxxxxx ■.
6.2.8. Gjeni derivatin e funksionit .1
1)(
2
2
−+
=x
xxf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:
22
'222'2'
2
2'
)1(
)1)(1()1()1(
1
1)(
−−+−−+
=
−+
=x
xxxx
x
xxf
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
)1(2)1(2
−−=
−−−−
=−
+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx.■
6.2.9. Gjeni derivatin e funksionit .sin1
sin1)(
x
xxf
+−
= Njehsoni pastaj .4
'
πf
Zgjidhje: Zbatojmë rregullën për gjetjen e derivatit të herësit, kemi:
2
'''
'
)sin1(
)sin1)(sin1()sin1()sin1(
sin1
sin1)(
x
xxxx
x
xxf
++−−+−
=
+−
=
2)sin1(
)sin1(cos)sin1(cos
x
xxxx
+−−+−
=
.)sin1(
cos2
)sin1(
sincoscossincoscos22
x
x
x
xxxxxx
+−=
++−−−
=
⇒ =
4
' πf .268
4sin1
4cos2
2−=
+
−π
π
■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
67
Njehsoni derivatet e funksioneve të mëposhtme :
6.2.10. 5 4 3 1( ) 3 15 2 2.f x x x x x− − − −= − + − + +
Rezultati: .66015 2456 −−−− −+− xxxx
6.2.11. 23 1
34 2( ) 4 4 3 .f x x x x x= + + + Rezultati: .3223 2
1
3
1
4
1
++−−−−
xxx
6.2.12. .8123
)(23
4 3 +++−=xxx
xxf
Rezultati: .43
4 234
3
4
1
−−−−−−+ xxxx
6.2.13. .112
2
32)(
3 2+−−+=
xxxxxf Rezultati: .22
3
3
5
2
1
−−−−−+− xxxx
6.2.14. .)( ctgxtgxxf −= Rezultati: .2sin
42 x
6.2.15. ).13)(12()( 2 −++= xxxxf Rezultati: .1146 2 ++ xx
6.2.16. ).32)(13()( 22 ++= xxxf Rezultati: .2224 3 xx +
6.2.28. .cos)2(sin2)( 2 xxxxxf −−= Rezultati: .sin2 xx
6.2.29. .sin)2(cos2)( 2 xxxxxf −+= Rezultati: .cos2 xx
6.2.30. .cos)6(sin)63()( 32 xxxxxxf −−−= Rezultati: .sin3 xx
68
6.2.31. .cos)2412(sin)244()( 243 xxxxxxxf +−−−= Rezultati: .sin4 xx
6.2.32. .sin)2412(cos)244()( 243 xxxxxxxf +−−−= Rezultati: .cos4 xx
6.2.33. .4
34)(
++
=x
xxf Rezultati: .
)4(
132+x
6.2.34. .3
)(−
=x
xxf Rezultati: .
)3(
32−
−x
6.2.35. .1
1)(
−=
xxf Rezultati: .
)4(
1
−−
x
6.2.36. .1
1)(
x
xxf
+−
= Rezultati: .)1(
22x+
−
6.2.37. .1
1)(
2xxf
+= Rezultati: .
)1(
222x
x
+−
6.2.38. .1
1)(
2
2
+−
=x
xxf Rezultati: .
)1(
422 +x
x
6.2.39. .1
1)(
2 ++
=x
xxf Rezultati: .
)1(
1222
2
+−+
−x
xx
6.2.40. .)(dcx
baxxf
++
= Rezultati: .)( 2dcx
bcad
+−
6.2.41. .23
3)(
2
2
+−−
=xx
xxxf Rezultati: .
)23(
6422 +−
−xx
x
6.2.42. .4
132)(
2
2
−+−
=x
xxxf Rezultati: .
)4(
)46(322
2
−+−
x
xx
6.2.43. .23
1)(
2
3
−++
=xx
xxf Rezultati: .
)23(
326622
234
−+−−−+
xx
xxxx
6.2.44. .1
1)(
3
2
−+
=x
xxf Rezultati: .
)1(
)23(23
3
−++
−x
xxx
6.2.45. .cos
1)(
xxf = Rezultati: .
cos
sin2 x
x
6.2.46. .sincos
cossin)(
xxx
xxxxf
+−
= Rezultati: .)sin(cos 2
2
xxx
x
+
6.3. Derivatet e funksioneve të përbëra
69
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Zgjidhjen e detyrave në këtë paragraf do ta bazojmë në tabelën e derivateve të funksioneve të përbëra të cilën po e japim më poshtë :
' 1 '1 ( ( )) ( ) ( ).f x f x f xα αα −=�
( ) ' ( ) '2 ( ) ln ( ) ( 0, 1).f x f xa a a f x a a= > ≠�
( ) ' ( ) '3 ( ) ( ).f x f xe e f x=�
' '14 (log ( )) ( )( 0, 1).
( ) lna f x f x a a
f x a= > ≠�
' '15 (ln ( )) ( ).
( )f x f x
f x=�
' '6 (sin ( )) cos ( ) ( ).f x f x f x= ⋅�
' '7 (cos ( )) sin ( ) ( ).f x f x f x= − ⋅�
' '
2
18 ( ( )) ( ).
cos ( )tgf x f x
f x=�
' '
2
19 ( ( )) ( ).
sin ( )ctgf x f x
f x= −�
' '
2
110 (arcsin ( )) ( ).
1 ( )f x f x
f x=
−
�
' '
2
111 (arccos ( )) ( ).
1 ( )f x f x
f x= −
−
�
' '
2
112 ( ( )) ( ).
1 ( )arctgf x f x
f x=
+�
' '
2
113 ( ( )) ( ).
1 ( )arcctgf x f x
f x= −
+�
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.3.1. Të gjendet derivati i funksionit 2 3( ) ( 5 6) .f x x x= − +
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 1 ,� kem ' 2 3 ' 2 2 2 ' 2 2( ) (( 5 6) ) 3( 5 6) ( 5 6) 3(2 5)( 5 6) .f x x x x x x x x x x= − + = − + − + = − − + ■
6.3.2. Të gjendet derivati i funksionit .sinsin21)( 42 xxxf +−=
Zgjidhje: Zbatojmë formulen 1 ,� kemi: ' 2 4 ' 2 1 ' 4 1 '( ) (1 2sin sin ) 2 2sin (sin ) 4sin (sin )f x x x x x x x− −= − + = − ⋅ +
)sin1(cossin4cossin4cossin4 23 xxxxxxx −−=+−=
70
.cossin4 3 xx−= ■
6.3.3. Të gjendet derivati i funksionit .)sin()( dcbxaxf ++=
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 6 ,� kemi :
' ' '( ) ( sin( ) ) cos( )( ) cos( ).f x a bx c d a bx c bx c ab bx c= + + = + + = + ■
6.3.4. Të gjendet derivati i funksionit .22
)(2
−= xtgxfπ
Zgjidhje: Zbatojmë formulen 08 , kemi:
' '
' 2( ) 2 2 2 22 2 2
f x tg x tg x tg xπ π π = − = − −
'
'
32 3
sin 21 cos 22
2 2 2 4 4 .2 2 sin 2
cos 2 cos 22 2
xx
tg x xx
x x
ππ π
π π
− = − − = − = − − −
■
6.3.5. Të gjendet derivati i funksionit .)(a
xxxf =
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 5 ,� kemi:
' '( ) ln ( ) ln (ln ( )) ( ln )ax a af x x f x x x f x x x= ⇒ = ⇒ =
1 ' 1 1
'
( ) 1ln ( ) ( )( ln )
( )
a a a af xax x x f x f x ax x x
f x x
− − −⇒ = + ⇒ = +
' 1( ) ( ln 1).a
x af x x a x+ −⇒ = + ■
6.3.6. Të gjendet derivati i funksionit .)(sin)( cos xxxf =
Zgjidhje: Zbatojmë formulën 5 ,� kemi :
cos ' '( ) (sin ) ln ( ) cos ln sin (ln ( )) (cos ln sin )xf x x f x x x f x x x= ⇒ = ⇒ =
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë f funksion i derivueshëm në
intervalin ).,( ba
1� Prodhimi xxf ∆)(' quhet diferendial i funksionit f dhe shënohet me dy ose
.df Pra .)(' xxfdy ∆=
2� Për ,)( xxf = nga barazimi xxfdy ∆= )(' rrjedh se ,xdx ∆= d.m.th.
diferenciali i argumentit x është i barabartë më shtesën e argumentit. Prandaj ' ( ) .dy f x dx=
3� Duke ditur se ,)(' xxfdyy ∆=≈∆ nga )()( xfxxfy −∆+=∆ rrjedh se
'( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x+ ∆ − ≈ ∆ Pra '( ) ( ) ( ) .f x x f x f x x+ ∆ ≈ + ∆
4� Vlejnë barazimet : dvduvud ±=± )(
udvvduvud +=⋅ )(
2.
u vdu udvd
v v
− =
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
6.4.1. Njehsoni diferencialin e funksionit .)1ln( 510 xx arctgeey −+= Njehsoni
pastaj dy për 0=x dhe .2.0=dx
Zgjidhje: Kemi: 10 ' 5 ' 5 5
10 5
10 10 10
(1 ) ( ) 5 (2 1)(ln(1 ) )
1 1 1
x x x xx x
x x x
e e e edy e arctge dx dx dx
e e e
+ −= + − = − = + + +
.5.02.02
52.00
=⋅=⇒=∧= dxx
dy ■
6.4.2. Njehsoni vlerën e përafërt të funksionit xxf log)( = për .11=x
74
Zgjidhje: Zbatojmë formulen xxfxfxxf ∆+≈∆+ )()()( ', për 10=x dhe
,1=∆x kemi:
718281821.2log10
11log
10
1)10()110()11( +=+=+= efff
.0434294.14342944819.010
11 =⋅+≈ ■
6.4.3. Njehsoni vlerën e përafërt të .)01.1( 3
Zgjidhje: Marrim funksionin 3)( xxf = dhe kemi:
01.0)1()1()01.1()()()( '' ⋅+≈⇒∆≈−∆+ fffxxfxfxxf
.03.101.031)01.0( 3 =⋅+≈⇒ ■
6.4.4. Gjeni rritjen dhe diferencialin e funksionit 13 2 −+= xxy në pikën 1=x
për .1.0=∆x Gjeni gabimin apsolut dhe procentual që bëhet me zëvendësimin e shtesës së funksionit me diferencialin.
Zgjidhje: Kemi:
( ) )13(1)(3)()( 2 −+−−∆++∆+=−∆+=∆ xxxxxxxfxxfy
xxxxxx ∆+∆+∆+∆= 322 )()(99
xxdy ∆+=⇒ )19( 2
32 )(3)(9 xxxdyy ∆+∆=−∆⇒
Prej nga për 1=x dhe ,1.0=∆x ,093.0)1.0(3)1.0(19 32 =⋅+⋅⋅=−∆ dyy
1=dy dhe .093.1=∆y Në këtë rast gabimi apsolut është ,093.0|| =−∆ dyy
kure gabimi procentual %.5.8085.0093.1
093.0=≈=
∆−∆y
dyy■
6.4.5. Duke zbatuar vetitë e diferencialit njehsoni përafërsisht vlerën e funksionit
5
2
2)(
x
xxf
+−
= për .15.0=x
Zgjidhje: Meqenëse yxfxxfxfxxfy ∆+=∆+⇒−∆+=∆ )()()()( dhe
meqenëse ,dyy ≈∆ atëherë dyxfxxf +≈∆+ )()( . Në detyrën tonë marrim
1=x dhe ,15.0=∆x kemi:
.03.015.05
1
5
1)0(
)2(
4
2
2
5
1)( '
25
4
−=⋅−=∧
−=⇒+
−+
−= dyfxx
xxf
Rrjedhimisht .97.003.01)0()15.0( =−=+≈ dyff ■
75
6.4.6. Syprina e sipërfaqes së rrethit njehsohet me formulën 2rS π= . Nëse rrezja
cmr 2.5= është përcaktuar me gabim maksimal cmr 05.0±=∆ , caktoni gabimin apsolut dhe procentual që bëhet gjat njehsimit të syprinës së sipërfaqes së rrethit. Zgjidhje: Gabimi apsolut është:
,63.152.005.02.522 ≈=⋅⋅==≈∆ πππ rdrdSS
kurse gabimi procentual
%.252
1
2.5
05.022
22
≈=⋅====∆
r
dr
r
rdr
S
dS
S
S
ππ
■
6.4.7. Me anë të derivatit, njehsoni me afërsi .120
Zgjidhje: Le të jetë ,)( xxf = atëherë nga ,)()()( ' xxfxfxxf ∆+≈∆+ për
121=x dhe ,1−=∆x kemi:
)1)(121()121()1121( ' −+≈− fff
.95.1022
111
1212
1121120 ≈−=−≈⇒ ■
6.4.7. Njhehsoni me afërsi sin 46 .�
Zgjidhje: Le të jetë .sin)( xxf = Për 4
45π
== �x dhe 180
1π
==∆ �x , kemi:
xxfxfxxf ∆+≈∆+ )()()( '
180441804
46sin' πππππ
⋅
+
≈
+=⇒ fff�
.719.0180
12
1
4cos
1804sin ≈
+=+≈ππππ
■
6.4.9. Lartësia e konit është cm18 kurse rrezja është .5cm Lartësia është plotësisht e saktë, kurse rrezja është dhënë me gabim cm03.0 . Gjat njehsimit të përafërt të vëllimit të konit njehsoni gabimin relativ dhe procentual. Zgjidhje: Le të jetë V vëllimi i konit me lartësi cmh 18= dhe rreze
cmr 5= . Meqenëse 2 2 21 1
18 6 ,3 3
V r h r rπ π π= = ⋅ = atëherë
.1212 rrVrdr
dV∆=∆⇒= ππ
Prej nga gabimi relativ i bërë gjat njehsimit të vëllimit të konit është
2
12 2 0.032 0.012,
6 5
V r r r
V r r
ππ
∆ ∆ ∆ ⋅= = = =
kurse gabimi procentual
76
%.2.1%100012.0%100 =⋅=⋅∆V
V■
6.4.10. Të gjendet rritja procentuale e vëllimit të sferes nëse rrezja e saj është rritur për %.3
Zgjidhje: Nëse më r shenojmë rrezen e sferes, atëherë %.3=∆r
rMeqë
,3
4 3rV π= atëherë
%,93
3
4
444
3
222 =
∆=
∆=
∆⇒∆=∆⇒=
r
r
r
rr
V
VrrVr
dr
dV
π
πππ
d.m.th. vëllimi i sferes rritet për %.9 ■
D e t y r a m e r e z u l t a t e
6.4.11. Njehsoni përafërsisht rritjen e funksionit 87)( 23 +−= xxxf kur x