1 | Matematika Ekonomi aswhat.wordpress.com 4 D E R E T Konsep deret merupakan konsep matematika yang cukup populer dan aplikatif khusunya dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan suatu gejala tertentu. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevant diterapkan untuk menganalisisnya. Namun demikian, sebelum membahas lebih jauh tentang konsep deret, terlebih dahulu akan dibahas tentang konsep notasi sigma. Notasi sigma merupakan sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma ditulis dengan lambang “ Ʃ ”. lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata “sum” yang artinya jumlah. Secara umum, sigma didefenisikan sebagai berikut: 1 2 3 1 ... n n i i U U U U U (4.1) 1 n i i U dibaca penjumlahan suku U i , untuk i = 1 sampai dengan i = n. i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas. Contoh 1 Tuliskan bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 ke dalam bentuk notasi sigma. Penyelesaian U 1 = 1 = 2(1) – 1 U 2 = 3 = 2(2) – 1 U 3 = 5 = 2(3) – 1 U 4 = 7 = 2(4) – 1
13
Embed
4 D E R E T - · PDF fileModel Perkembangan Usaha ... berpola seperti deret hitung, ... Model bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
4 D E R E T
Konsep deret merupakan konsep matematika yang cukup populer dan
aplikatif khusunya dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan
pertumbuhan suatu gejala tertentu. Apabila perkembangan atau pertumbuhan
suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik
deret hitung maupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan relevant
diterapkan untuk menganalisisnya. Namun demikian, sebelum membahas lebih
jauh tentang konsep deret, terlebih dahulu akan dibahas tentang konsep notasi
sigma.
Notasi sigma merupakan sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan
suatu penjumlahan secara singkat. Notasi sigma ditulis dengan lambang “ Ʃ ”.
lambang tersebut merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata “sum”
yang artinya jumlah.
Secara umum, sigma didefenisikan sebagai berikut:
1 2 3
1
...n
n i
i
U U U U U
(4.1)
1
n
i
i
U
dibaca penjumlahan suku Ui, untuk i = 1 sampai dengan i = n.
i adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
Contoh 1
Tuliskan bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 ke dalam bentuk notasi sigma.
Penyelesaian
U1 = 1 = 2(1) – 1
U2 = 3 = 2(2) – 1
U3 = 5 = 2(3) – 1
U4 = 7 = 2(4) – 1
2 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
U5 = 11 = 2(5) – 1
sehingga, notasi sigma dari bentuk 1 + 3 + 5 + 7 + 11 adalah 5
1
2 1i
i
. ■
Contoh 2
Tuliskan bentuk 2 3 4 5 6
13 5 7 9 11
ke dalam bentuk notasi sigma.
Penyelesaian
1
1 11
1 2 1 1U
4
4 4
7 2 4 1U
2
2 2
3 2 2 1U
5
5 5
9 2 5 1U
3
3 3
5 2 3 1U
6
6 6
11 2 6 1U
sehingga, notasi sigma dari bentuk 2 3 4 5 6
13 5 7 9 11
adalah 6
1 2( ) 1i
i
i . ■
4.1.Deret Hitung (Deret Aritmetika)
Deret hitung adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan
penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. Bilangan yang membedakan
suku-suku dari deret hitung ini dinamakan pembeda dinotasikan dengan b, yang
tak lain merupakan selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un-1 (4.2)
Misalnya: deret 1 + 3 + 5 + 7 + 9, memiliki beda 2, b = 2.
Misalkan suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum dari deret
hitung adalah sebagai berikut:
a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) (4.3)
4.1.1. Suku ke-n dari Deret Hitung (Un)
Besarnya nilai suku ke-n (Un) dari sebuah deret hitung dapat diketahui dengan
menggunakan rumus berikut:
3 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Un = a + (n – 1)b (4.4)
Contoh 3
Tentukan suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Penyelesaian:
Diketahui U1 = a = 1; U2 = 3. Jadi b = U2 – U1 = 3 – 1 = 2.
Dengan menggunakan rumus Un, perhatikan bahwa:
U2 = 1 + (2 – 1) x 2 = 3
U3 = 1 + (3 – 1) x 2 = 5
U4 = 1 + (4 – 1) x 2 = 7
U5 = 1 + (5 – 1) x 2 = 9
Dari sini, maka dengan mudah dapat diketahui suku ke-10 dari deret hitung
tersebut, yaitu:
U10 = 1 + (10 – 1) x 2 = 1 + 18 = 19.
Jadi, suku ke-10 dari deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + 9 adalah 19. ■
4.1.2. Jumlah n Suku Pertama (Sn)
Jumlah sebuah deret hitung sampai dengan suku tertentu tak lain adalah
jumlah nilai suku-sukunya, mulai dari suku pertama sampai dengan suku ke-n dari
deret yang dimaksud.
1 2 3
1
...n
n i n
i
S U U U U U
(4.5)
Untuk n = 4, maka jumlah 4 suku pertama adalah
4
4 1 2 3 4
1
i
i
S U U U U U
Untuk n = 5, maka jumlah 5 suku pertama adalah
5
5 1 2 3 4 5
1
i
i
S U U U U U U
Untuk n = 6, maka jumlah 6 suku pertama adalah
6
6 1 2 3 4 5 6
1
i
i
S U U U U U U U
4 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Dengan menggunakan bentuk umum Un = a + (n – 1)b, makas masing-masing S4,
S5, dan S6, dapat ditulis kembali menjadi:
S4 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) = 4a + 6b
S5 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) = 5a + 10b
S6 = a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b)= 6a + 15b
Dengan memperhatikan pola dari masing-masing S4, S5, dan S6, maka bentuknya
dapat ditulis kembali menjadi:
4
44 6 4 4 1
2S a b a b
5
55 10 5 5 1
2S a b a b
6
66 15 6 6 1
2S a b a b
Sehingga secara umum dapat ditulis menjadi
1 2 12 2
n
n nS na n b a n b (4.6)
Persamaan (4.6) masih bisa disederhanakan menjadi:
2 12
12
2
n
n
nS a n b
na a n b
na U
Sehingga, jumlah n suku pertama dari deret hitung adalah
2
n n
nS a U atau (4.7)
2 12
n
nS a n b (4.8)
Contoh 4
Jumlah 10 suku pertama pada contoh 1 sebesar
10 10
105 1 19 5(20) 100
2S a U ■
5 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Catatan:
Perhatikan bahwa contoh 2 cuman menhasilkan jumlah 10 suku pertama dari deret
hitung sebagaimana yang terlihat pada contoh 1. Cara ini tidak memperlihatkan
secara jelas berapa nilai dari masing-masing suku pertama sampai dengan suku
kesepuluh. Untuk mengetahui berapa besar suku ke-6 sampai dengan suku ke-10,
maka kita bisa menggunakan rumus sebagaiamana yang diperlihatkan pada
contoh 1.
4.2. Deret Ukur (Deret Geometri)
Deret ukur adalah deret yang perubahan suku-sukunya berdasarkan perkalian
terhadap sebuah bilangan tertentu. Perbandingan antara dua suku yang berurutan
selalu tetap. Perbandingan tersebut disebut dengan rasio yang dilambangkan
dengan “ r ”.
1
n
n
Ur
U
(4.9)
Jika suku pertama dimisalkan dengan a, maka bentuk umum deret ukur
adalah:
a + ar + ar2 + ar
3 + ... + ar
n-1 (4.10)
4.2.1. Suku ke-n dari Deret Ukur
Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku dan r
sebagai rasio, maka suku ke-n dari deret ukur adalah:
Un = arn-1
(4.11)
4.2.2. Jumlah n Suku
Seperti halnya dalam deret hitung, jumlah sebuah deret ukur sampai dengan
suku tertentu adalah jumlah nilai suku-sukunya sejak suku pertama sampai dengan
suku ke-n.
1 2 3
1
...n
n i n
i
S U U U U U
(4.12)
Untuk Un = arn-1
, maka
6 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
2 2 1... n n
nS a ar ar ar ar
Jika kedua ruas dikalikan dengan r maka diperoleh:
2 3 1... n n
nrS ar ar ar ar ar
Sehingga,
n
n nS rS a ar
1 1 n
nS p a r
Dari sini, maka jumlah n suku pertama deret ukur adalah:
1
1
n
n
a rS
r
, untuk r < 1, dan (4.13)
1
1
n
n
a rS
r
, untuk r > 1. (4.14)
Contoh 5
Diketahui sebuah deret berikut:
5 + 10 + 20 + 40 + 80
Tentukan suku ke 8, kemudian tentukan berapa jumlah 8 suku pertama dari deret
tersebut.
Penyelesaian
Diketahui: U1 = a = 5; U2 = 10; U3 = 10; U4 = 10; U5 = 10.
Sehingga
2
1 1
102
5
n
n
U Ur
U U
Untuk n = 8, a = 5, dan r = 2, maka
U8 = (5)(2)8-1
= 5 x 27 = 5 x 128 = 640.
Jadi, suku ke-8 dari deret tersebut adalah 640.
Selanjutnya, karena r = 2 > 1, maka jumlah 8 suku pertama dari deret yang
dimaksud adalah:
8
8
5 2 15(256 1) 1275
2 1S
7 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 1275. ■
4.3. Penerapan Ekonomi
Dibidang bisnis dan ekonomi, prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam
kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila
perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan
nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori
deret yang bersangkutan relevant diterapkan untuk menganalisanya.
4.3.1. Model Perkembangan Usaha
Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya
produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal
berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prinsip deret hitung dapat digunakan
untuk menganalisa perkembangan variabel yang dimaksud. Berpola seperti deret
hitung maksudnya adalah bahwa variabel yang bersangkutan bertambah secara
konstan dari satu periode ke periode berikutnya.
Kasus 1
Perusahaan genteng “Sokajaya” menghasilkan 3.000 buah genteng pada bulan
pertama produksinya. Dengan pertambahan tenaga kerja dan peningkatan
produktivitasnya, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah
setiap bulan. Jika perkembangan produksinya konstan,
a. Berapa buah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5?
b. Berapa buah genteng yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?
Penyelesaian:
Dari kasus tersebut, diketahui a = 3.000; b = 500; dan n = 5.
a. Genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 adalah
U5 = 3.000 + (5 – 1)500 = 3.000 + 2.000 = 5.000
Jadi, genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 sebanyak 5.000 buah genteng
b. Banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 adalah:
8 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
5 5
5 5 53.000 3.000 5.000 (8.000) 20.000
2 2 2S U
Jadi, banyaknya genteng yang dihasilkan sampai dengan bulan ke-5 sebanyak
20.000 buah genteng. ■
Kasus 2
Besarnya penerimaan “PT. Cemerlang” dari hasil penjualan barangnya adalah 720
juta rupiah pada tahun kelima dan 980 juta rupiah pada tahun ketujuh. Apabila
perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola seperti deret hitung
tentukanlah:
a. Berapa perkembangan penerimaannya per tahun?
b. Berapa besar penerimaan pada tahun pertama?
c. Pada tahun keberapakah penerimaannya bisa mencapai 460 juta rupiah?
Penyelesaian:
a. Misalkan, besarnya penerimaan PT cemerlang pada tahun ke-n = Un.
Sehingga,
U5 = 720 (dalam juta rupiah), dan U7 = 980. (dalam juta rupiah).
Sehingga:
U5 = a + 4b → 720 = a + 4b
U7 = a + 6b → 980 = a + 6b
Untuk U7 – U5, maka diperoleh
2b = 260, sehingga nilai b = 130.
Jadi, perkembangan penerimaan PT Cemerlang per tahun sebesar 130 juta