4 Clasificación de los modelos de investigación de operaciones

Clasificacin de los modelos de investigacin de operaciones.Los modelos utilizados en la IO son eminentemente matemticos y se pueden clasificar de acuerdo a los valores y caractersticas de sus variables, en: deterministas y estocsticos, y cada uno de ellos a su vez, en estticos y dinmicos. Modelos deterministas.En los modelos deterministas, ni las variables exgenas, ni las endgenas, se obtienen por medio del azar, debido a que se suponen relaciones exactas para las caractersticas de operacin, en lugar de funciones de densidad de probabilidad. Son variables con valores preestablecidos. Modelos estocsticos.Son aquellos modelos en los que, por lo menos una de las caractersticas de operacin est dada por una funcin de probabilidad. Los valores de sta o stas variables, se obtienen al azar. Modelos estticos.Son aquellos modelos que no toman en cuenta, explcitamente, a la variable tiempo. Modelos dinmicos.Los modelos matemticos que tratan de las interacciones que varan con el tiempo, se denominan modelos dinmicos. Los modelos que se han considerado como propios de la IO, por ser los que en escencia se aplican con mayor frecuencia y por lo mismo se les han dedicado ms horas de estudio son: Programacin lineal Programacin no lineal Programacin entera Programacin binaria Programacin de metas mltiples Redes de optimizacin Modelos de inventarios Lneas de espera Teora de juegos Anlisis de decisiones Cadenas de Markov Programacin dinmica Simulacin de sistemas

La mayora de estos modelos dan soluciones analticas y por tanto exactas mientras que la tcnica de la simulacin proporciona soluciones numricas lo que les da un carcter de aproximacin en los resultados.En otro orden de ideas, un enfoque diferente a la representacin por medio de modelos de sistemas complejos consiste en utilizar la simulacin. La tcnica de simulacin involucra tanto a modelos matemticos como lgicos. Un modelo de simulacin divide el sistema representado en mdulos bsicos o elementales a los que les corresponde, generalmente un modelo matemtico y que despus se enlazan entre si va relaciones lgicas bien definidas; utilizando la estructura SI...... , .....ENTONCES..... Por lo tanto, partiendo del mdulo de entrada, las operaciones de clculo pasarn de un mdulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.Los modelos de simulacin, en comparacin con los modelos matemticos, ofrecen una mayor flexibilidad en la representacin de sistemas complejos, la razn principal es que la simulacin enfoca el sistema desde un nivel bsico elemental. Por otra parte, la modelacin matemtica tiende a considerar el sistema desde un nivel menos detallado.

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEALEs un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin. Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre a travs de los lados del modelo (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin. Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: Ejemplo:

Maximizar o de forma equivalente (funcin objetivo)Sujeto a las siguientes restricciones:

Convertir las desigualdades en igualdades e introducir sus variables de holgura (u, v).Nota: Las variables de holgura son positivas y nicamente sern para las ecuaciones.

Igualar a cero la funcin objetivo.

Paso uno: Plantear la tabla smplex inicial. (Utilizando los coeficientes del sistema).

x y u v P Constante 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300____ - 1 -6/5 0 0 1 0 Funcin objetivo

Paso dos: Determinar si ha alcanzado la solucin ptima. Primero se consulta la tabla smplex inicial.

x y u v P Constante 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300____ - 1 - 6/5 0 0 1 0 Funcin objetivo

Como existen entradas negativas en el ltimo rengln o fila de dicha tabla la solucin inicial no es ptima. Se contina en el paso tres. Nota: En la funcin objetivo no debemos tener entradas negativas.

Paso tres: Realizar las siguientes iteraciones. Primero, se localiza el elemento pivote.a) Como la entrada - 6/5 es la ms negativa a la izquierda de la recta numrica en el ltimo rengln o fila de la tabla smplex inicial, la segunda columna de la tabla ser la columna pivote.

x y u v P Constante 2 1 1 0 0 180 (180/1) = 180 1 3 0 1 0 300____ (300/3) = 100 - 1 - 6/5 0 0 1 0 b) Se divide cada nmero positivo en la columna pivote entre la entrada correspondiente en la columna de constantes y se comparan las razones as obtenidas. Se ve que la razn 300/3 es menor que la razn 180/1, de modo que el segundo rengln o fila de la tabla es el rengln pivote.Nota: La razn que resulte menor, indicara cual es el rengln pivote.

x y u v P Constante 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300____ - 1 - 6/5 0 0 1 0

c) La entrada 3, que esta en el cruce de la columna pivote y el rengln o fila pivote es el elemento pivote (3). x y u v P Constante 2 1 1 0 0 180 1 3 0 1 0 300____ - 1 - 6/5 0 0 1 0 A continuacin, se convierte este elemento pivote en un 1, multiplicando todas las entradas del rengln o fila pivote por 1/3. Entonces, al utilizar operaciones elementales por rengln o fila, se concluye la conversin de la columna pivote en una columna unitaria.

Los detalles de la iteracin se registran como sigue:

x y u v P Constante Razn 2 1 1 0 0 180 180/1Rengln pivote 1 3 0 1 0 300____ 300/3 - 1 - 6/5 0 0 1 0

Columna pivote

Desarrollando x y u v P Constante Razn 2 1 1 0 0 180 180/1 1/3 3/3 0/3 1/3 0/3 300/3____ 300/3 - 1 - 6/5 0 0 1 0

x y u v P Constante RaznRengln 1 2 1 1 0 0 180 180/1 = 180Rengln 2 (Pivote) 1/3 1 0 1/3 0 100____ 300/3 = 100Rengln 3 - 1 - 6/5 0 0 1 0

Restarle al Rengln 1 el Rengln 2 (Pivote), ().

Para x = Para y = Para u = Para v =

Para P = Para la constante = 180 100 = 80

Los nuevos valores encontrados para las variables formaran la siguiente iteracin.

Para x = Para y = Para u = Para v =

Para P = Para la constante = 80

x y u v P Constante Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 Rengln 2 (Pivote) 1/3 1 0 1/3 0 100____ Rengln 3 - 1 - 6/5 0 0 1 0

Sumarle al numero - 6/5 de la columna pivote, del rengln 3 (Objetivo), la cantidad de (6/5), para que al sumarlos se elimine el numero negativo - 6/5, y quede cero y as poder eliminar el primer numero negativo en nuestro objetivo. - 6/5 + 6/5 = 0

A cada una de las variables del rengln 3 le sumamos el producto que resulte de multiplicar 6/5, por el valor que tenga cada una de las variables del rengln 2.

:

Para x =

Para y =

Para u =

Para v =

Para P =

Para la constante =

x y u v P Constante Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 Rengln 2 (Pivote) 1/3 1 0 1/3 0 100____

Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

Esto completa una iteracin. El ltimo rengln de la tabla simplex contiene un nmero negativo, de modo que no se ha alcanzado la solucin ptima; por lo tanto, se repite el paso iteractivo una vez ms.

Paso uno: Plantear la tabla smplex inicial.

x y u v P Constante Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

Paso dos: Determinar si ha alcanzado la solucin ptima. Primero se consulta la tabla smplex inicial. Como existen entradas negativas en el ultimo rengln o fila de dicha tabla la solucin inicial no es ptima. Se contina en el paso tres.

x y u v P Constante Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120Paso tres: Realizar las siguientes iteraciones. Primero, se localiza el elemento pivote.a) Como la entrada - 3/5 es la ms negativa a la izquierda de la recta numrica en el ultimo rengln o fila de la tabla smplex inicial, la primera columna de la tabla ser la columna pivote.

x y u v P Constante Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 (80/(5/3)) = 48 Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ (100/(1/3)) = 300 Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

b) Se divide cada nmero positivo en la columna pivote entre la entrada correspondiente en la columna de constantes y se comparan las razones as obtenidas. Se ve que la razn (80) / (5/3) es menor que la razn (100) / (1/3), de modo que el primer rengln o fila de la tabla es el rengln pivote.

x y u v P Constante Razn para rengln pivote.Rengln 1 5/3 0 1 -1/3 0 80 (80) / (5/3) = 48Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ (100) / (1/3) = 300Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

c) La entrada 5/3, que esta en el cruce de la columna pivote y el rengln o fila pivote es el elemento pivote. x y u v P Constante Rengln 1 (Pivote) 5/3 0 1 -1/3 0 48 Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

Columna pivoteA continuacin, se convierte este elemento pivote en un 1 y multiplicando todas las entradas del rengln o fila pivote por 3/5. Entonces, al utilizar operaciones elementales por rengln o fila, se concluye la conversin de la columna pivote en una columna unitaria. Los detalles de la iteracin se registran como sigue: (3/5) ( cada una de las entradas del rengln )

Para x = Para y = Para u =

Para v = Para P =

Desarrollando x y u v P Constante Rengln 1 (Pivote) 1 0 3/5 -1/5 0 48Rengln 2 1/3 1 0 1/3 0 100____ Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120

Restarle al Rengln 2, la cantidad de (1/3) que multiplica al (Rengln 1 (Pivote)), en este caso se utiliza (1/3) por estar en la columna pivote y ayudara en convertir ese elemento en cero.

Para x = Para y =

Para u =

Para v =

Para P =

Para la constante =

x y u v P Constante Rengln 1 (Pivote) 1 0 3/5 -1/5 0 48Rengln 2 0 1 -1/5 2/5 0 84____ Rengln 3 -3/5 0 0 2/5 1 120 OBJETIVO

Sumarle al Rengln 3 (Objetivo), la cantidad de (3/5) que multiplica al (Rengln 1 (Pivote)), en este caso se utiliza 3/5 para que al sumarlo con - 3/5 estos se eliminen, quedando cero y as poder eliminar el numero negativo en nuestro objetivo.

Sumarle al rengln 3, 3/5 del rengln 1 :

Para x = Para y =

Para u =

Para v =

Para P =

Para la constante =

x y u v P Constante Rengln 1 (Pivote) 1 0 3/5 -1/5 0 48Rengln 2 0 1 -1/5 2/5 0 84____ Rengln 3 0 0 9/25 7/25 1 148 (4/5) OBJETIVO Por lo tanto el ltimo rengln de la tabla simplex ya no contiene nmeros negativos, por lo cual se concluye que se ha alcanzado la solucin ptima.

Paso 4: Determinar la solucin optima: Se localizan las variables bsicas en tabla final. En este caso, las variables bsicas ( las que encabezan columnas unitarias) son x, y, y P. El valor asignado a la variable bsica x es el nmero 48, que es la entrada que se encuentra en la columna de constantes y en el primer rengln ( el rengln que contiene al 1). El valor asignado a la variable bsica y es el numero 84, que es la entrada que se encuentra en la columna de constantes y en el segundo rengln ( el rengln que contiene al 1 ).

El valor encontrado para el objetivo P es

x y u v P Constante Rengln 1 (Pivote) 1 0 3/5 -1/5 0 48Rengln 2 0 1 -1/5 2/5 0 84____

Rengln 3 0 0 9/25 7/25 1 OBJETIVO

Se concluye que x = 48, y = 84 y P =

COMPROBACIN SUSTITUCIN DESARROLLO

COMPROBANDO EL SISTEMA:

Sustituyendo y en 1 o 2.

Para graficar tenemos que convertir las igualdades en funciones,

Ecuacin Funcin

Dar valores a la variable independiente x.

Punto de interseccin ( x, y ) 100200300x100200yC (48,84)A (0,0)B (0,90)D (0,100)

( 48, 84 )

ZONA OPTIMA

Mtro. Ren Bretn Salinas. PROBLEMA DE MINIMIZACINEn el siguiente ejemplo de problema de programacin lineal, hay que minimizar la funcin objetivo.

Un nutrilogo asesora a un individuo que sufre de una deficiencia de hierro y vitamina , y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100 mg de vitamina (tiamina) y 1500 de vitamina (riboflavina) durante cierto periodo. Existen dos pldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B.

Cada pldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina , 5 mg de vitamina y cuesta 6 centavos.

Cada pldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina y de vitamina , y cuesta 8 centavos.Cules combinaciones de pldora debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?Planteamiento del problema.Vitaminas

Marca A Marca BRequerimientos Mnimos

Hierro

40 mg10 mg2400 mg

Vitamina

10 mg15 mg

2100 mg

Vitamina

5 mg15 mg1500 mg

Costo de la pldora.

6 centavos8 centavos

Datos:

Sea el nmero de pldoras de la marca A

Sea el nmero de pldoras de la marca BEl costo C, medido en centavos, por lo tanto C = A + B

Planteamiento del problema:

Sustituyendo A por su valor en centavos que multiplica a la variable , por lo tanto

( A = ).

Sustituyendo B por su valor en centavos que multiplica a la variable , por lo tanto( B = 8y ).

Sustituyendo A y B con sus nuevos valores en la expresin algebraica C = A + B, obtendremos la funcin objetivo por minimizar.

C = A + B

C = + Funcin objetivo por minimizar.

La cantidad de hierro contenida en pldora de la marca A y pldora de la marca B esta dada por mg, y esto debe ser mayor o igual a 2400 mg, esto se traduce en la desigualdad.

Consideraciones similares con los requisitos mnimos de vitamina y conducen a las desigualdades respectivamente

As, el problema en este caso consiste en minimizar C = + sujeta a las restricciones siguientes.

Solucin por el Mtodo Grafico:

1.- Ecuacin , Funcin

2.- Ecuacin Funcin

3.- Ecuacin Funcin