Elettrotecnica T Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione 1 4. Circuiti elettrici in regime sinusoidale Grandezze sinusoidali Una grandezza sinusoidale nel tempo è descritta dalla se- guente espressione: a(t) = A cos(wt+ q) dove: A - ampiezza (amplitude), valore massimo di a(t), numero reale positivo. w - pulsazione o frequenza angolare (radian frequency) [1/s], numero reale positivo. q - fase (phase) [1], numero reale. Per una grandezza sinusoidale nel tempo si individuano le seguenti quantità: f = ! "# frequenza (frequency, ciclic frequency, or natural frequency) [Hz] T= $ % = "# ! periodo (period) [s] Ae = ! $ & ∫ A " cos " (ωt + θ)dt ’(& ’ = ! √# valore efficace, valore quadratico medio (root mean square value, rms value) Grandezze isofrequenziali L’analisi dei circuiti in corrente alternata - CA (alternate current– AC current) generalmen- te consiste nella ricerca delle correnti di regime, che si istaurano al termine di un transitorio, in un circuito alimentato da generatori le cui tensioni abbiano andamento sinusoidale e siano alla medesima frequenza, cioè il sistema sia isofrequenziale (isofrequential). Solitamente i generatori di potenza sono macchine elet- triche rotanti che generano tensioni periodiche. Nella de- composizione in serie di Fourier di tali tensioni, l’armonica principale di solito è molto maggiore delle ar- moniche di ordine superiore. Quindi risulta trascurabile l’errore commesso nel considerare rigorosamente sinu- soidale le tensioni generate. Si può comunque tener conto anche delle armoniche di ordine superiore sovrapponen- do gli effetti da queste prodotte. Anche per l’analisi dei segnali elettrici che solitamente sono a potenza bassa (ICT) è possibile utilizzare il metodo indicato. Si considerino due grandezze isofrequenziali: a(t) = A cos (wt+ qa), b(t) = B cos (wt+ qb) Esse hanno stessa frequenza, quindi stessa pulsazione e
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GrandezzeisofrequenzialiL’analisideicircuitiincorrentealternata-CA(alternatecurrent–ACcurrent)generalmen-teconsistenellaricercadellecorrentidiregime,chesiistauranoalterminediuntransitorio,inuncircuitoalimentatodageneratorilecuitensioniabbianoandamentosinusoidaleesianoallamedesimafrequenza,cioèilsistemasiaisofrequenziale(isofrequential).Solitamente i generatori di potenza sonomacchine elet-tricherotantichegeneranotensioniperiodiche.Nellade-composizione in serie di Fourier di tali tensioni,l’armonicaprincipaledisolitoèmoltomaggioredellear-moniche di ordine superiore. Quindi risulta trascurabilel’errore commesso nel considerare rigorosamente sinu-soidaleletensionigenerate.Sipuòcomunquetenercontoanchedellearmonichediordinesuperioresovrapponen-do gli effetti da queste prodotte. Anche per l’analisi deisegnali elettrici che solitamente sono a potenza bassa(ICT)èpossibileutilizzareilmetodoindicato.
Siconsiderinoduegrandezzeisofrequenziali:
a(t)=Acos(wt+qa),b(t)=Bcos(wt+qb)
Esse hanno stessa frequenza, quindi stessa pulsazione e
a(t)«Ainfattia(t)èdefinitodaduequanti-tà, ampiezza e fase, così come ilnumero complessoAè definito dadue numeri: parte reale e parteimmaginaria. Due grandezze sinu-soidali isofrequenziali sono ugualise e solo se i fasori che le rappre-sentano hanno parte reale e parteimmaginariauguale.Datelaparterealeelaparteimmaginariadiunfasoresideterminapermezzodelleuguaglianzesoprariportatel’ampiezzaelafasedellagrandezzasinusoidale.Dallafigurasipuòriscontrarecheun’infinitàdifasoriadunadatafrequenzacondifferentifasihan-no lastessapartereale.Equindiperdefinireampiezzae fasedellagrandezzasinusoidaleènecessarioconosceresialaparterealechelapareimmaginariadelfasore.Quandocorrentietensionisinusoidalisonorappresentatedafunzionisinusoidalineltemposidicechesonorappresentateneldominiodeltempo(timedomain).Qualorasiusinoifasorisidicechesonorappresentateneldominiodellefrequenzeodominiodeifasori(frequencydomainorphasordomain).Unfasorepuòessereespressopermezzoditreforme:
Risultaverificataanchelarelazioneinversa: ��=��Þa(t)=b(t) Lemmadilinearità(Linearitylemma):Ilfasoreottenutodallacombinazionelinearediduefasori con coefficienti costanti e reali, rappresenta la grandezza sinusoidale ottenuta dallamedesimacombinazionelinearedellegrandezzesinusoidalicheiduefasorirappresentano.
Qualora il ramo sia sottoposto ad una tensionesinusoidale v(t)=V cos(wt +qv), anche la cor-rente indotta nel ramo è sinusoidale alla stessafrequenza:i(t)=Icos(wt+qi)macondifferentefase.Ifasoricherappresentanoquestegran-dezzesono:V=Veejqv,I=Ieejqi.Dallarelazionedifferenzialeottenutaprecedentementetrasformataneldominiodeifasoripermezzodeitrelemmiprecedentementeesposti,siottiene:
jwV=-w2LI+jwRI+$1IÞV=KR + j LωL − $
*1NO I
Þ V=ZILa relazione ottenuta riduce l’equazione caratteristica del ramo da integro-differenziale adequazionealgebricalinearenellospaziocomplesso.Lagrandezza:
Lo sfasamento fra tensione e corrente è dato da j = qv - qi. Dall’equazione caratteristicadell’elementocircuitalesiottienechel’angolodisfasamentojèdatodall’esponentedelnu-mero complesso dell’impedenzaθ#ed il rapporto fra tensione efficace e corrente efficace èdatodalmodulodell’impedenzaZ:
Z=36=3$7
%&' 6$7%&(
=3$6$𝑒8(9':9()=Z𝑒89) =Z𝑒8φ
Þ Uθ9 = θ5 − θ: = φZ = V,/I,
Ilmassimodiv(t)vieneraggiuntoper(wt+θ$)=0e quindi per t0V = -θ$/w. Il massimo di i(t) vieneraggiuntoper(wt+θ%)=0equindipert0I=-θ%/w.PerciòIlmassimodellacorrentevienedopoalmas-simodellatensionediunintervalloditempo:
Dt=t0I–t0V=-θI/+θV
/=θV:θI
/=;
/
Quandoqv>qi èanchej>0. Ilmassimodellacor-rentevienedopoalmassimodellatensionediunin-tervalloDt positivo.Quindi la correnteè in ritardorispettoalla tensione. Quandoqv<qiej<0, Dtènegativoedi(t)èinanticiporispettoav(t).Épossibilesceglierelozerotemporaleperunsistemacircuitale.Esisteperciòungradodilibertànelladefi-nizione delle fasi delle tensioni e delle correnti delcircuito.Vienedeterminatalafasediunaditaligran-dezzee sideterminaperognunadelle altre l’angolodisfasamentorispettoadessa.Perililramok-esimodel circuito lo stato del ramo è determinato dallacoppiaV&eI', fasori della tensione di ramo vk(t) edella corrente di ramo ik(t). Si consideri lo zero deltempotalepercui la fasedella tensionedelramok-esimosianulla:qvi=0.L’angolodisfasamentodivie-nejk=qvk-qik=-qik.Siottieneperciò:
AnalisicircuitaleneldominiodeifasoriIl ramo di figura, descritto dalla tensione di ramo e dalla corrente di ramo, contieneun’impedenzaedungeneratoreditensioneindipendente.L’equazionecaratteristicadelramoneldominiodellefrequenzeé:
V<=V>< + ZI=Naturalmenteperpoterutilizzare la rappresentazioneneldominiodellafrequenzaoltrealletensioniecorren-tidiramo,anchetuttiigeneratoriindipendentidelcir-cuitodevonoessereallastessafrequenza.
oveV&eI'sonoifasoridelletensioniedellecorrentidelramok-esimo.V(&sonoigeneratoriindipendentiditensionepresentinelramok-esimo.Latrasformazionedaldominiodeltempoaldominiodeifasori,prendeancheilnomeditra-sformata di Steinmetz (Steinmetz transform). Risolto il sistema di equazioni lineari nonomogeneonellospaziocomplessodeldominiodeifasori,sianti-trasformaesiottienelasolu-zionedelproblema,datodalletensioniedallecorrentidiramo,neldominiodeltempo.
L’angolo di sfasamento è positivo. Ilmassimodi i(t) viene rag-giuntoper(wt-π 2⁄ )=0equindidopountempot=p/(2w).i(t)èinritardorispettoav(t)dell’angolodisfasamentop/2.Tensio-neecorrentesonoinquadratura.
L’angolodisfasamentoènegativoedugualea-p/2.Ilmassimodii(t)vieneraggiuntoper(wt+π 2⁄ )=0equindiaduntem-pot=-p/(2w). i(t)è inanticiporispettoav(t)dell’angolodisfasamento - p/2. Tensione e corrente sono anche in questocasoinquadratura.
V=RI+jXCI+jX1IPerw<w0siottieneXL<-XCej<0:lacorren-te è in anticipo rispettoallatensione.Perw=w0risultaXL= -XC ej=0:lacorrenteelatensionesono in fase.Perw>w0siottieneXL>-XCej>0: la correnteè in ritar-dorispettoallatensione.Un’impedenzadominatadallacapacitàprovocaunanticipodellacorrente.Un’impedenzado-minatadall’induttanzaprovocaunritardodellacorrente.
AntirisonanzaIl fenomeno dell’antirisonanza (parallel resonance) ri-guardailparallelodiuninduttoreeduncondensatoreallafrequenza di risonanza. In tal caso la reattanza del ramoinduttivo e quella del ramo capacitivo sono in modulouguali e l’impedenza equivalente del parallelo è infinita.Dallafigurasiha:
Z<=jωL; Z.=-j!-+
ÞZ7E =-j* +⁄
-*/ %&'=-jXLC=-j¥perωD = !√*+
I(w0)=$(
0 ) '⁄
&+),%
&+'1=0
Alla frequenzadi risonanza l’impedenzaequivalenteè infi-nita, la corrente totale passante per il parallelo è nulla, lacorrente per il ramo induttivoICe la corrente per quellocapacitivoI1sonotalipercui:
IC=−I1=-j,.<V
Lacorrentedell’induttorehaampiezzaugualeeversooppostoallacorrentedelcondensatore.Quando la corrente del condensatore è positiva e quella dell’induttore è negativa l’energiamagneticaimmagazzinatadall’induttoreètrasferitaalcondensatoreedaessoimmagazzinatasottoformadienergiaelettrostatica.Quandolacorrentedelcondensatoreènegativaelacor-rentedell’induttore èpositiva l’energia compie il percorso inverso.Quindi nell’intervalloditempodiunperiododel regimesinusoidale l’energiapassadaunelementoall’altroe tornaindietro. Questo scambio energetico con andamento periodico, avviene senza apporto dienergiadall’esterno. Ciò è compatibile con il principiodi conservazionedell’energia solo inquanto ramo induttivoe ramocapacitivo si sono supposti ideali (ossiaprividi resistenzaequindidifenomenidissipativi).
ir(t)=IsenwtsenjDall’espressione della potenza istantanea è possibile scom-porreanch’essainduecomponenti:potenzaistantaneaatti-va(inphaseistantaneouspower)–pa(t)epotenzaistanta-neareattiva(istantaneousreactivepower)–pr(t):
p(t)=v(t)i(t)=v(t)ia(t)+v(t)ir(t)=
Þp(t)=pa(t)+pr(t)dove
pa(t)=VIcosjcos2wt
pr(t)=VIsenjcoswtsenwt=
=-#VIsenjsen2wt
Lapotenzaistantaneaattivapa(t)èsemprepositivaneltempo.Perciòrisultasempreentrantenell’elementocircuitale.Essaquindivieneassorbitadallacomponenteresistivadell’elementoedutilizzatadaesso.Infattilapotenzaattivaèdovutaallacomponenteattivadellacorrente,infaseconlatensioneequindidovutaallaresistenzadell’elemento.La potenza istantanea reattiva ha pulsazione doppiadella pulsazione della tensione e dellacorrente(equindidelsistemaisofrequenziale),edhavaloremedionullo.Essacorrispondeadun’energiaentrantenell’elementoperunquartodiperiodoT=2π/weduscentedaessoperilquartodiperiodosuccessivo.Lapotenzareattivaèdovutaallacomponentereattivadellacor-rente, in quadratura con la tensione, e quindi è determinata dalla reattanza dell’elemento.L’energia corrispondente al flussodi potenza reattiva viene immagazzinatadai componenticonmemoria(induttoriecondensatori)peresserepoirestituita.
Qèilvaloremassimodellapotenzascambiatadall’elementocircuitaleodallaporzionedicircuitoacuiilbipoloèequiva-lente, con l’atra parte di circuito. Questa componente dellapotenzaèdovutaallacomponentedellacorrenteinquadra-turadifaseconlatensione.Essaquindièrichiestadaicom-ponenti conmemoriadel ramoecorrispondeall’energiadaessi immagazzinatasotto formadienergiaelettrostaticaneicondensatoriemagneticanegliinduttori.Qèpositivaonega-tivadipendentementealsegnodell’angolodisfasamento.PeruncaricoinduttivoQèpositiva,peruncaricocapacitivoessaènegativa.
AdditivitàdellepotenzeQuandodueimpedenzedicarico(loadimpedences)sonoinseriefraloroesonoalimentatedaungenera-tore(sivedafiguraafianco),lapotenzafornitadalge-neratore deve essere uguale alla potenza impegnatadalledueimpedenze.DallaLKTperilcircuitoinfigurasiha:
Qualoraledueimpedenzesianoinparallelofraloro(sive-danellafiguradellapaginaseguente),ancheinquestocasola potenza fornita dal generatore deve essere uguale allapotenza impegnata dalle due impedenze.Dalla LKCper ilcircuitoinfiguraè:
FattoredipotenzaComevistoprecedentemente il fattoredipotenzaèdefinitocomecosenodell’angolodi sfa-samentofratensioneecorrentediramoperunbipolocostituitodalbipolorealeodaunbipo-loequivalenteadunaporzionedicircuito.Sihaquindi:
Neisistemielettricidipotenzasolitamentesimantieneilfattoredipotenzailpiùaltopossibi-leinmodochelapotenzaapparentefornitadalgeneratoreescambiataconlareteelettricasiailpiùvicinopossibileallapotenzaattivaeffettivamenteutilizzatadallareteelacorrenteim-messanellaretesiailpiùbassapossibile.Inunsistemaelettricodipotenza tresono gli elementi che lo caratterizza-no:ungeneratorecheforniscepoten-za,unalineachetrasportatalepoten-zaeduncaricocheutilizzalapotenzaprodotta.Lalineapuòessereanchedirilevanti lunghezzee laresistenzaRlndeicavidilineasolitamentenonètrascurabile.Lariduzionedell’angolodisfasamentoportaaiseguentivantaggi:§ Lariduzionedellacorrente lungo la lineariduce leperditedovuteallaresistenzadi lineaR./I0+.
§ DettiV′eVla tensione ai capi del generatore G e quella ai capi dell’impedenza di caricodell’utilizzatore U, poiché V′=V +R./I, per avere una tensione all’utilizatore Vdi am-piezzacostanteedindipendentedalcarico,ènecessarioridurreilpiùpossibilelacorrentedilineaequindilosfasamento.
Q=VeIesenj,P=VeIecosjÞQ=PtanjPer ridurre l’angolo di sfasamento si ricorre al rifasamento.Solitamente l’impedenza di carico degli utilizzatori è di tipoinduttivo.Quindi lareattanzadelcaricoXèpositivaconXL>XC. Affinché si riduca questo disequilibrio si mette in paralleloall’impedenzadell’utilizzatoreuncondensatore.Intalmodoèpossi-bileportare lo sfasamentoda j a j’ ed il fattore di potenza dacosjacosj’.Solitamentesiriducel’angolodisfasamentoinmodochecosj’siaugualea0,9.Ilcal-colodellacapacitàCperottenerelosfasamentodesiderato,èottenutonelmodoseguente: