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4. Objetivos de aprendizajeInterés nominal y efectivo.Tasa de interés efectiva anual.Tasa de interés efectiva.Compare PP y CP (Periodo de pago – Periodo compuesto).Cantidades únicas: PP >= CP.Series: PP >= CP.Únicas y series: PP < CP.Compuesto continuo.Tasas variables.
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Repase el interés simple y el interés compuesto (del capítulo 1).Interés compuesto – Interés calculado sobre interés. Para un periodo de interés dado.La unidad de tiempo para cálculos de interés – Un año.
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Un año: se puede segmentar en: 365 días. 52 semanas. 12 meses. Un trimestre: 3 meses – 4 trimestres/año.El interés puede calcularse con más frecuencia que una vez al año.
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El interés puede calcularse (componerse): Anualmente – Una vez al año (al final). Cada 6 meses – 2 veces al año (semestral). Cada trimestre – 4 veces al año (trimestral). Cada mes – 12 veces al año (mensual). Diariamente – 365 veces al año (diariamente). … Continuamente – número infinito de periodos
compuestos al año.
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Las tasas de interés pueden cotizarse en más de una forma.Ejemplo: El interés equivale a “5% por 6 meses”. El interés es “12%” (12% ¿en qué tiempo?) El interés es 1% mensual. El interés es “12.5% anual, compuesto
mensualmente”.Así, se deben “descifrar” las diversas formas de enunciar y calcular el interés.
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Dos tipos de cotización de interés 1. La cotización con una tasa de interés nominal. 2. Cotizar una tasa de interés periódico efectivo.Las tasas de interés nominal y efectivo son comunes en negocios, finanzas e ingeniería económica.Es preciso entender cada tipo para resolver los distintos problemas en que se enuncia el interés de diversos modos.
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Las tasas de interés pueden cotizarse (declararse – comunicarse) en términos de una tasa nominal. Usted verá que hay dos formas de cotizar una tasa de interés: 1. Cotizar la tasa nominal. 2. Cotizar la tasa efectiva, real. Por ahora – estudiaremos la cotización nominal.
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Una tasa nominal (cotizada así) no hace referencia a la frecuencia de la capitaliza-ción per se.Las tasas nominales pueden ser engañosas.Necesitamos una forma alternativa para cotizar las tasas de interés…Por eso se aplica la tasa de interés efectiva…
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Cuando se cotiza así, una tasa de interés efectiva es una tasa de interés periódica real.Es una tasa que se aplica para un periodo declarado.Es convencional usar el año como la unidad de tiempo.Así, a menudo se hace referencia a la EIR como la tasa de interés anual efectiva (EAIR).
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La EAIR se añade a una tasa nominal informando al usuario la frecuencia del interés compuesto en un año.Notación:Es una convención usar la siguiente notación para la EAIR “ie” o, “i” La EAIR es una extensión de la tasa nominal – “r”.
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Algunos problemas pueden indicar solamente la tasa de interés nominal.Recuerde: Aplique siempre la tasa de interés efectiva al resolver problemas.Las tablas de interés publicadas, el valor tiempo en forma cerrada de la fórmula de dinero y la función hoja de cálculo suponen que en los cálculos se aplica únicamente la tasa de interés efectiva.
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Periodo de pago, Tp – Lapso en el cual los flujos de efectivo no se reconocen, excepto como flujos de efectivo al final de periodo.Periodo de capitalización, Tc – Lapso entre operaciones de interés compuesto.Periodo de tasa de interés, T – Las tasas de interés se enuncian como % por periodo.
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Suponga un periodo representado por “t”.Sea “m” el número de veces que el interés es calculado (compuesto) en el periodo “t”.Sea CP el “periodo de capitalización”. ¡Normalmente, CP es un año! El “año” es la unidad estándar para “t”.
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Tasa efectiva = 8.243% anual, compuesto trimestralmente: No se da la tasa nominal (debe calcularse). Periodos compuestos – m = 4.¡No es necesario calcular la tasa efectiva real! ¡Ya está dada: 8.243% anual!
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“8% anual”.Nota: No hay información sobre la frecuencia de
capitalización. ¡Se debe suponer que es por un año! “m” se supone igual a “1”. Suponga que el “8% anual” ¡es una tasa efectiva anual real! ¡No hay otra opción!
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Aquí mostramos cómo calcular las tasas de interés anuales, efectivas, reales. Suponemos que un año es la unidad de medida para el tiempo.El año puede estar formado por diversos números de periodos de capitalización (dentro del año).
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Dado que un año es la unidad: m = 1: compuesto anualmente (al final
del año); m = 2: compuesto semestralmente (cada
6 meses); m = 4: compuesto trimestralmente; m = 12: compuesto mensualmente; m = 52: compuesto semanalmente; m = 365: compuesto diariamente.Se podría subdividir el año en periodos cada vez más pequeños.
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EAIR – “la tasa de interés efectiva anual”.La EAIR es la tasa anual real con una frecuencia de capitalización dada durante el año.Necesitamos la siguiente notación…
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r = la tasa de interés nominal anual. m = el número de periodos de capitalización durante el año. i = la tasa de interés efectiva por periodo de capitalización (i/m). ia or ie = la tasa anual efectiva real, dado el valor de m.
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Suponga $1 de principal en el tiempot = 0.Realice un cálculo de valor futuro periodo por periodo.Problema de “notación”. A veces, “i” se usa para reemplazar “ie” o
“ia”. ¡Así, “i” puede representar también la
tasa de interés efectiva anual real!
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F = P + P(ia).Ahora la tasa i por CP tiene que ser compuesta en todos los “m” periodos para obtener F1.Reescriba como: F = P + P(ia) = P(1 + ia). F = P( 1 + i )m.
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m = 365 (compuesto diariamente). EAIR = ( 1 + 0.18/365)365 – 1 = 19.714% m = 365(24) (compuesto por hora). EAIR = (1 + 0.18/8760)8760 – 1 = 19.72%Se podría subdividir el año en periodos más pequeños.Nota: Hay un límite aparente cuando “m” se hace cada vez más grande… llamado compuesto continuo.
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Recuerde: CP es el “periodo de capitalización”.PP se introduce ahora: PP es el “periodo de pago”. ¿Por qué “CP” y “PP”? A menudo la frecuencia con que se
depositan fondos o se hacen pagos no coincide con la frecuencia de capitalización.
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¡De nuevo el interés debe ser consistente con el periodo de pago!Necesitamos una tasa efectiva de 6 meses y luego calcular la tasa efectiva real a 1 año! Para comparar los 3 planes: Calcule la tasa efectiva a 6 meses, real, o Calcule la tasa efectiva real a 1 año. ¡Así se pueden comparar los 3 planes!
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3% por trimestre, c.t.3%/trimestre.Encuentre la EIR para 6 meses.Calcule: Para una tasa de interés efectiva por 6 meses. (1.03)2 – 1 = 0.0609 = 6.09% por 6 meses. O para una tasa de interés efectiva durante 1
año - (1.03)4 – 1 = 12.55%/año.
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“r” = 8.8%. “m” = 12.Pagos dos veces al año.Tasa nominal de 6 meses = 0.088/2 =4.4%/6 meses (“r” = 0.044).EIR6-meses = (1 + 0.044/6)6 – 1. Igual a (1.0073)6 – 1= 4.48%/ 6 meses. Igual a (1 + 0.088/12)12 – 1 =
9.16%/año.
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4.3 ¿Puede ser confuso?Los 3 planes declaran el interés en forma diferente.Es difícil determinar cuál es el mejor plan con una simple inspección.Cada plan debe evaluarse por medio de: Cálculo de la tasa efectiva mensual, real por 6
meses.O Cálculo de la tasa efectiva anual real por 12
meses (1 año). Luego se pueden comparar los 3 planes usando
la EIR o la EAIR.
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Realidad: PP y CP no siempre coinciden; Puede haber flujos de fectivo mensuales, pero… El periodo de capitalización es diferente del mensual.Cuentas de ahorros – por ejemplo; Depósitos mensuales con, Interés trimestral ganado o pagado; ¡Éstos no coinciden! ¡Hacerlos coincidir! (ajustando el periodo de interés para que coincida con el periodo de pago.)
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Ejemplo:“r” = 15%, c.m. (compuesto mensualmente) . Sea P = $1 500.00.Determine F a t = 2 años.15% c.m. = 0.15/12 = 0.0125 = 1.25%/mes.n = 2 años O 24 meses. Trabaja en meses o en años.
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Encuentre el “i” efectivo por periodo de pago.Determine “n” como el número total de periodos de pago.“n” será equivalente al número de periodos de flujo de efectivo en la serie particular.Se ofrecen ejemplos a continuación…
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Ajustando el interés.r = 20%, c.t.i/trim. = 0.20/4 = 0.05 = 5%/trim.2-trim. En un periodo de 6-meses.i6-meses = (1.05)2 – 1 = 10.25%/6-meses.Ahora el interés coincide con los pagos.Faño 7 = Fperiodo 14 = $500(F/A,10.25%,14).F = $500(28.4891) = $14 244.50.
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La tasa de interés debe coincidir con la frecuencia de los pagos.En este ejemplo – necesitamos el interés efectivo por 6 meses: Los pagos se hacen cada 6 meses.La tasa efectiva a 6 meses se calculó para ser igual a 10.25% - tasa no tabulada.Calcule el factor F/A o interpole.¡O bien, use una hoja de cálculo que determine rápidamente el factor correcto!
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¡No intente ajustar los pagos para adaptarlos a la tasa de interés! ¡Hacerlo así es erróneo! Lo mejor que podría lograr es una burda aproximación – ¡no lo haga!Este tipo de problema casi siempre da por resultado una tasa de interés no tabulada. Tiene que usar su calculadora para
calcular el factor, o un modelo de hoja de cálculo para lograr un resultado exacto.
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Esta situación es diferente de la anterior.Aquí, PP es menor que el periodo de capitalización (CP).¿Surgen preguntas?La cuestión del interperiodo de capitalización.Se presenta un ejemplo a continuación.
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Los $200 se presentan 1 mes antes del final del periodo de capitalización 1.¿Se ganará o cargará interés sobre esos $200 por el mes uno?Si no es así, el diagrama de flujo de efectivo revisado para todos los flujos de efectivo debería verse así…
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Todos los CF negativos se mueven hacia el final de sus respectivos trimestres y todos los CF positivos se mueven hacia el principio de sus respectivos trimestres.
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Un inversionista requiere un retorno efectivo de 15% anual por lo menos.¿Cuál es la mínima tasa nominal anual aceptable si el interés sobre su inversión es compuesto continuamente?
Para empezar: er – 1 = 0.15Resuelva para “r” …
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Cuando se comparan diferentes expresiones de la tasa de interés, siempre se debe calcular la tasa efectiva anual real (EAIR) para cada cotización.¡Sólo las EAIR se pueden comparar!Las tasas nominales diversas no pueden compararse, ¡a menos que cada tasa nominal se convierta a su respectiva EAIR!
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En la práctica – las tasas de interés no permanecen iguales con el tiempo, a menos que sea por obligación contractual.Puede haber cierta “variación” de tasas de interés al cabo del tiempo – ¡es muy normal!Si hace falta, ¿cómo maneja usted esa situación?
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Un enfoque alternativo que aproxima el valor presente:Promedie las tasas de interés en el número apropiado de periodos.Ejemplo: {7% + 7% + 9% + 10%}/4 = 8.25%; Trabaje el problema con una tasa de
8.25%; Es sólo una aproximación.
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Casi nunca evaluamos modelos de problemas con tasas de interés que varían, excepto en casos especiales.Si es necesario, será mejor construir un modelo de hoja de cálculo. Es una tarea engorrosa de realizar.
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Muchas aplicaciones usan y aplican el interés compuesto efectivo y nominal.Dada una tasa nominal – debe hacer que la tasa de interés se ajuste a la frecuencia de los pagos.Aplique la tasa de interés efectiva por periodo de pago.Al comparar tasas de interés que varían, debe calcular la EAIR para que pueda comparar.
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Todos los factores de interés del valor del dinero en el tiempo requieren el uso de una tasa de interés efectiva periódica (real).La tasa de interés, i, y los periodos de pago o flujo de efectivo deben tener la misma unidad de tiempo.Podemos hallar tasas de interés que varían y una respuesta exacta requiere una secuencia de tasas de interés – ¡Una tarea engorrosa!
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