Page 1
ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ
3η Σειρά Ασκήσεων
Διδάσκοντες: Β. Χρηστάρας Καθηγητής
Β. Μαρίνος, Λέκτορας
Εργαστήριο Τεχνικής Γεωλογίας
και Υδρογεωλογίας ΑΠΘ
1. Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους • Συνοχή (c)
• Γωνία τριβής (φο)
2. Γεωστατικές τάσεις • Ολικές τάσεις
• Ενεργές τάσεις
• Πιέσεις πόρων
Page 2
Γιατί μελετάμε τις τάσεις;
• Ανάλογα με το πώς κατανέμονται οι τάσεις στο
έδαφος ή στο βράχο, όπου κατασκευάζονται τα
τεχνικά έργα, εξαρτώνται οι παραμορφώσεις και
οι αστοχίες που μπορεί να προκληθούν στα
γεωυλικά. Υπολογίζονται είτε αναλυτικά είτε με
αριθμητικές μεθόδους (π.χ. πεπερασμένα
στοιχεία).
Page 3
Γιατί μελετάμε τις τάσεις;
• Κατά την κατασκευή τεχνικών έργων οι τάσεις
μεταβάλλονται δραματικά. Ο βράχος ή έδαφος ο
οποίος εκσκάπτεται, περιείχε πριν τάσεις και
αυτές οι τάσεις πρέπει να παραληφθούν αλλού.
• Τα περισσότερα κριτήρια αστοχίας σχετίζονται
με τη παραμορφωσιμότητα και την αντοχή του
γεωυλικού και η ανάλυση αυτών περιλαμβάνει
τις τάσεις.
Page 4
Τύποι τάσεων
• Υδροστατική τάση:
Οι τάσεις είναι ίδιες σε
όλες τις διευθύνσεις
• Θλιπτική
(συμπιεστική)
τάση
• Εφελκυστική τάση
• Διατμητική τάση
Page 5
Διατμητικές τάσεις
• Διατμητική τάση (τ): Η
τάση που ασκείται
εφαπτομενικά σε ένα
επίπεδο
• Ορθή τάση (σn): Η τάση
που ασκείται κάθετα σε
ένα επίπεδο
Page 6
Διατμητικές τάσεις
Από Δημόπουλος Γ.,
Σημειώσεις Τεχνικής Γεωλογίας από το διαδίκτυο
Page 7
Διατμητικές τάσεις τxy στην οριακή κατάσταση αστοχίας
Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και
παραμόρφωσης γεωυλικού σε πρανές
Page 8
Σημεία αστοχίας γεωυλικού στην οριακή κατάσταση αστοχίας
Σημεία διατμητικής αστοχίας
Σημεία αστοχίας σε
εφελκυσμό
Παράδειγμα διατμητικής αστοχίας και
παραμόρφωσης γεωυλικού
Page 9
Ασκήσεις
2ο Μάθημα
1η Ενότητα
Κύκλος Mohr
Υπολογισμός Διατμητικής Αντοχής Εδάφους
•Συνοχή (c)
•Γωνία τριβής (φο)
Page 11
Ποιο είναι το πρόβλημα ? ? ?
Μπορούμε να υπολογίσουμε σε ένα
εδαφικό στοιχείο τα φορτία που δέχεται
(μέγεθος και φορά).
Θέλουμε να ξέρουμε εάν αστοχεί.
Δεν γνωρίζουμε, όμως, ποιο είναι το
κρίσιμο επίπεδο.
Γιατί η εντατική κατάσταση είναι
διαφορετική σε κάθε επίπεδο.
Επομένως, χρειάζεται να ξέρουμε, ΜΕ
ΚΑΠΟΙΟ ΤΡΟΠΟ, τους συνδυασμούς των
τάσεων που ασκούνται σε κάθε επίπεδο
Page 12
σxx
σzz
τzx
τxz
x
z
τ σ
θ
σ
τ
Page 13
Ψάχνω τις ακραίες σ
σ
τ
Ασκούνται σε επίπεδα, όπου τ = 0
Ονομάζονται κύριες τάσεις και τα
αντίστοιχα επίπεδα κύρια επίπεδα
σ3 = Ελάχιστη κύρια τάση
σ1 = Μέγιστη κύρια τάση
σ3 σ1
Page 14
Ψάχνω τις ακραίες τ
σ
τ
Ασκούνται σε επίπεδα, όπου σ = (σ1 + σ3)/2
τmin = - (σ1 - σ3)/2
τmax = (σ1- σ3)/2
Άρα για τα άπειρα επίπεδα
τmin
τmax
σ3 σ1
Page 15
σxx
σzz
τzx
τxz
x
z
τ σ
θ
Έστω ότι τα επίπεδα Α και Β
είναι τα κύρια επίπεδα
Α
B
Page 16
σ
τ
Επομένως .......
τmin
τmax
σ3 σ1
Κύκλος Mohr
Page 17
Συνεχίζοντας..... • Γνωρίζοντας τις τάσεις που ασκούνται σε δύο επίπεδα
μπορούμε να σχεδιάσουμε τον κύκλο του Mohr
• Αρκεί, όμως, αυτό ????
• ΟΧΙ.....Γιατί ξέρουμε τους συνδυασμούς των τάσεων, αλλά
δεν ξέρουμε σε ποιο επίπεδο εφαρμόζεται ο καθένας
• Επομένως, εκτός από τις τάσεις σε δύο επίπεδα
χρειαζόμαστε και τη διεύθυνση ενός εξ αυτών για να
βρούμε……
Τον πόλο των επιπέδων
Page 18
σ
τ
Άρα
σ3 σ1
τ θ
σ1
σ3
σn
σn
τ
Π
Π΄
Page 19
σ
τ
Άρα
σ3 σ1
σ3
σ1
τ σn
θ
σn
τ
Περιβάλλουσα
θραύσης
φ
c
Κέντρο κύκλου: (σ1 + σ3 ) / 2
r
Ακτίνα: (σ1 - σ3 ) / 2
τ = c + σn tanφ
Page 20
σ
τ
Άρα
σ3 σ1 σn
τ
φ
c
(σ1 + σ3 ) / 2
Περιβάλλουσα
θραύσης
θ
σ3
σ1
τ
σn
θ
ω
ω
Page 21
Υπολογισμός παραμέτρων
διατμητικής αντοχής
(Συνοχή c και γωνία τριβής φ)
Page 22
Άσκηση A1*
•Κατά τη στιγμή της θραύσης σε τριαξονική δοκιμή
αδιατάρακτου αργιλικού δείγματος μετρήθηκαν
σn=64Kg/cm2, τf=22Kg/cm2 και γωνία της επιφάνειας
θραύσης με τον άξονα σ1, θ=35ο .
•Να βρεθούν
• σ1 και σ3
• γωνία τριβής φ και συνοχή c του δείγματος.
* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
Page 23
Άσκηση A1
• Δεδομένα: σn=64Kg/cm2 και τ=22Kg/cm2
•Η επιφάνεια θραύσης σχηματίζει γωνία θ 35ο με την
κύρια τάση σ1
Page 24
•Κατά τη διεξαγωγή τριαξονικής δοκιμής σε δοκίμιο
βράχου με δύο κάθετες μεταξύ τους προχαραγμένες
επιφάνειες, η μία από τις οποίες σχηματίζει γωνία 60ο
με την κύρια τάση σ1, παρουσιάστηκε αστοχία του
δοκιμίου πάνω σε αυτές τις επιφάνειες όταν
εφαρμόστηκαν κύριες τάσεις σ1=80Kg/cm2 και
σ3=30Kg/cm2.
Άσκηση A2*
•Να προσδιοριστούν οι ορθές και διατμητικές τάσεις
σn και τα που αναπτύχθηκαν κατά τη διάρκεια της
δοκιμής πάνω στις δύο αυτές επιφάνειες, καθώς και
οι γωνίες τριβής τους φ1 και φ2.
* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
Page 25
Άσκηση A2 • Δεδομένα: σ1=80Kg/cm2 και σ3=30Kg/cm2
•Η μία επιφάνεια σχηματίζει γωνία 60ο με την κύρια
τάση σ1
Page 26
Ασκήσεις
2η Ενότητα
Άμεση Διάτμηση
Page 27
σ΄ τ
Δοκιμή άμεση διάτμησης
Συνοχή c=0
τ = c + σn tanφ tan
Page 28
Πειραματικός υπολογισμός διατμητικής
αντοχής ασυνεχειών
Page 29
Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) –
μετατόπισης (Δl)
• Σχεδιασμός διαγράμματος τ – Δl.
•Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία
αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τf)
•Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τr)
τf
τr
σn
τf
τr
Page 30
Διάγραμμα διατμητική τάσης (τ) –
μετατόπισης (Δl)
• Σχεδιασμός διαγράμματος τ – Δl.
•Υπολογισμός μέγιστης διατμητικής τάσης η οποία
αντιστοιχεί στη διατμητική αντοχή (τf)
•Υπολογισμός παραμένουσας διατμητικής αντοχής (τr)
τf
τr
σn
τf
τr
Page 31
• Σχεδιασμός δεκαδικού διαγράμματος σn– τ από ζεύγη τιμών
(επανάληψη της δοκιμής για διαφορετικό σn)
•Σχεδιασμός της ευθείας – περιβάλλουσας θραύσης (Γραμμική
εξίσωση Mohr-Coulomb)
•Υπολογισμός φ (εκτός αν έχει συνοχή λόγω συγκόλλησης και c)
Page 32
Άσκηση B1*
•Σε δείγμα αμμώδους ιλύος χωρίς συνοχή εκτελέστηκε
δοκιμή άμεσης διάτμησης. Η ορθή τάση ήταν
σn=65KPa και η διατμητική τάση που μετρήθηκε κατά
την αστοχία τ=41KPa. Να σχεδιαστεί ο κύκλος του
Mohr κατά την αστοχία και να προσδιοριστούν:
Ζητούμενα:
• Οι κύριες τάσεις σ1 και σ3, η γωνία τριβής φ και η τmax
• Η κλίση του επιπέδου αστοχίας
• Η κλίση των κυρίων επιπέδων (επιπέδων πάνω στα
οποία δρουν οι κύριες τάσεις σ1 και σ3) καθώς και του
επιπέδου της μέγιστης διατμητικής τάσης τmax
* Άσκηση από «Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας», Γ. Δημόπουλος & Θ. Μακεδών, 2008
Page 33
1. Από το σημείο τ-σn (A) φέρνω κάθετη στη ευθεία - περιβάλλουσα θραύσης. Το σημείο Κ
που τέμνει τον άξονα σn είναι το κέντρο του Κύκλου Mohr. 2. Η απόσταση ΑΚ είναι και η ακτίνα του κύκλου
3. Πάνω στον άξονα των ορθών τάσεων σn μετρώ ΑΚ προς τα αριστερά και βρίσκω την σ3
και δεξιά και βρίσκω την σ1
4. Από το Α φέρνω παράλληλη προς την επιφάνεια θραύσης και βρίσκω τον πόλο (Π)
5. Ενώνω το σ3 με το Π και η γωνία ισούται με θ(ο)
6. Ενώνω το σ1 με το Π και η γωνία ισούται με 90-θ(ο)
7. Ενώνω το σ3 με το Α και η γωνία ισούται με 45ο+ φ/2
8. Ενώνω το σ1 με το Α και η γωνία ισούται με 45ο- φ/2
Συνοχή c=0 σ1 σ3
Π Α
θ Κ
ΑΚ ΑΚ
Page 35
Γεωστατικές τάσεις
Page 36
Γεωστατικές τάσεις
Είναι οι τάσεις που αναπτύσσονται στο εσωτερικό του εδάφους
λόγω του ιδίου βάρους του υπό στατικές συνθήκες
Η διαδικασία που θα μάθουμε ισχύει μόνο για οριζόντια επιφάνεια
εδάφους
Page 37
Γεωστατικές τάσεις
Έστω οριζόντια εδαφική επιφάνεια
ρ = Πυκνότητα εδάφους
g = Επιτάχυνση της βαρύτητας
γ = Ειδικό βάρος εδάφους
γ = ρg
h
Page 38
Γεωστατικές τάσεις
1. Η ολική τάση (σ): Η δύναμη η οποία ασκείται επί
επιπέδου στην μάζα του εδάφους, αν θεωρήσουμε το
έδαφος ένα εννιαίο στέρεο υλικό.
2. Η πίεση πόρων (u): Αποτελεί την πίεση του νερού που
βρίσκεται μέσα στα κενά, ανάμεσα στα σωματίδια το
εδάφους.
3. Η ενεργή τάση (σ΄): Αποτελεί τη τάση που μεταδίδεται
μόνο στον «σκελετό» - επιφάνεια επαφής των
σωματιδίων.
Page 39
Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις)
s =s '+u
s ' =SN '
A
s =P
A
P= SN '+uAP
A=
SN '
A+u
s =s '+u
Όπου P η φόρτιση που ασκείται στην
επιφάνεια Α, κατά μήκος επιπέδου Χ-Χ.
Η δύναμη που ασκείται ανάμεσα στους
κόκκους αναλύεται σε ορθή (Ν΄) και
διατμητική (Τ).
Page 40
Γεωστατικές τάσεις (Ενεργές τάσεις)
s =s '+u
u=gwz
s 'v =s v -u= (gsat -gw)z=g 'z
s v =gsatz
Page 41
Γεωστατικές τάσεις
h
σv = γh τ = 0
σh= koσv
τ = 0
Άρα οι σv, σh είναι κύριες
τάσεις και μάλιστα αφού
συνήθως ko <1
σv σ1
σh σ3
σv = ? τ = ?
Page 42
Γεωστατικές τάσεις
h
σv = γh τ = 0
σh= koσv
τ = 0
ko = ν / (1-ν) Με βάση τη θεωρία
της ελαστικότητας
Page 43
Γεωστατικές τάσεις
Τι γίνεται, όμως, όταν υπάρχει και νερό ?
Δηλαδή, υπάρχει και υπόγειος υδροφόρος
ορίζοντας.....
Page 44
Γεωστατικές τάσεις
Έστω οριζόντια επιφάνεια υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα
Το τμήμα του εδάφους που βρίσκεται εντός του Υ.Υ.Ο. δέχεται άνωση
h
Για τη μελέτη του φαινομένου ορίζουμε το μέγεθος της ενεργού τάσης
hw
Page 46
As
Aw
Αtot = As +Aw
Page 47
ΣFw
ΣFs
σ΄=ΣFs/Atot
As
Αtot = As +Aw
Aw
Page 48
Γεωστατικές τάσεις
h
σv = γh
σv = σv΄+u
σh= σh΄ +u
τ = τ΄ = 0
σh΄= koσv΄
u = γwhw
τ = τ΄ = 0
hw
Σημείωση:
Σε ένα επίπεδο
ακόμη και αν η
συνολική τ δεν είναι
μηδέν ισχύει πάντα
τ = τ΄
Γιατι?
Γιατί, όπως ξέρετε και
από τη Μηχανική των
Ρευστών, τα ρευστά
δεν παραλαμβάνουν
διάτμηση.
Page 49
Γεωστατικές τάσεις
Διαδικασία υπολογισμού τάσεων
σv = γh u = γwhw σv΄ = σv-u
σh΄ = koσv σh΄ = σh-u
h hw
Page 50
Παράδειγμα υπολογισμού ολικών (σν) και ενεργών τάσεων (σ’ν) και πιέσεων πόρων (u)
Για την άργιλο: γκορ=19 kN/m3
Για την άμμο: γκορ=20kN/m3
Για την άμμο: γξηρ=17 kN/m3 (πάνω από τον υδροφόρο ορίζοντα
Άμμος
Άργιλος
Υ.Ο.
Γεωστατικές τάσεις
Page 51
Άσκηση Γ1* •Για τη γεωστατική εντατική κατάσταση της εδαφικής
τομής του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας:
* Άσκηση από μάθημα «Εδαφομηχανική Ι» της Σχολής Πολ. Μηχ/κων του Ε.Μ.Π
Page 52
Άσκηση Γ1 •Για τη γεω¬στατική εντατική κατάσταση της εδαφικής
τομής του σχήματος να συμπληρωθεί ο πίνακας:
Page 53
Άσκηση Γ2 •Για τη στρωματογραφία του σχήματος ζητούνται:
•Η ολική τάση στο σημείο Μ.
•Ο συντελεστής ωθήσεως γαιών Κο αν, με κατάλληλη διάταξη,
μετρήθηκε η ολική οριζόντια τάση σh = 167.5 kPa.
* Άσκηση από μάθημα «Εδαφομηχανική Ι» της Σχολής Πολ. Μηχ/κων του Ε.Μ.Π
Page 54
Βιβλιογραφία
1. Craig R.F. (2003). Craig’s Soil Mechanics. Spon Press.
2. Δημόπουλος Γ. (2008). Τεχνική Γεωλογία. Εκδόσεις Αφοί Κυριακίδη.
3. Δημόπουλος Γ & Μακεδών Θ., (2008). Προβλήματα Τεχνικής Γεωλογίας. Εκδόσεις Τζιόλα, Θεσσαλονίκη.
4. Καββαδάς Μ. Σημειώσεις μαθήματος Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π.
5. Φορτσάκης Π. Παρουσιάσεις ασκήσεων Εδαφομηχανική Ι, Σχολή Πολ. Μηχ/κων, Ε.Μ.Π.
6. Χρηστάρας Β. , Χατζηαγγέλου Μ. (2011). Απλά βήματα στην εδαφομηχανική. University Studio Press.