3MAT-Ecuaciones diferenciales

7/30/2019 3MAT-Ecuaciones diferenciales

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TECSUP PFR Matemtica Aplicada

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Unidad III

EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS

1. DEFINICIONES1.1. ECUACIN DIFERENCIAL

Una ecuacin diferenciales aquella en que la incgnita es una funcin yen la cual aparece una o ms de las derivadas de la funcin.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de las siguientes maneras:Tipo (Ordinarias o Derivadas parciales)Orden (El de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin)Grado (El exponente de la mxima potencia de la derivada de mayororden, despus de transformada la ecuacin de modo que no contengaradicales o denominadores donde figuren la variable dependiente o susderivadas)

Ejemplos:Las siguientes son ecuaciones diferenciales:

1. x2ydx

dy

dx

yd2

2

2. 21x

y)

dx

dy(x2 2

3. yyxyx 2 Donde y es una funcin de x.

4. x2

5

2

22

3

3

e1x

y)

dx

yd()

dx

yd(

5. 2

22

2

2

x

y

at

y


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Matemtica Aplicada TECSUP PFR

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Las ecuaciones diferenciales 1,2 y 3 que se dan en el ejemplo se dice queson ORDINARIAS porque dependen de solo una variable independiente.Las ecuaciones 1 y 3 son de SEGUNDO ORDEN porque la derivada de

orden mayor que aparece es2

2

dx

ydo y .

La segunda ecuacin es de PRIMER ORDENporque la derivada de mayor

orden que se muestra esdx

dy

La cuarta ecuacin diferencial es ORDINARIA de TERCER ORDEN y deSEGUNDO GRADO. (El grado de la derivada de mayor orden es 2)La quinta ecuacin muestra y en funcin de dos variables independientes:x y t figurando derivadas parciales. Esta es una ecuacin de derivadasparciales de SEGUNDO ORDEN y de PRIMER GRADO.

1.2. SOLUCIN A ECUACIONES DIFERENCIALESUna funcin f(x) es solucin de una ecuacin diferencial si al sersustituida en la ecuacin la satisface.

EJEMPLO 1

Verificar que la funcin: x2e)x(f es solucin de la siguiente ecuacindiferencial:

0y2y3y

Solucin

Sabemos:)x(fy

x2ey x2e2y x2e4y

Reemplazando estos valores en la ecuacin diferencial:

0)e(2)e2(3e4 x2x2x2

Dado que el resultado es 0, podemos decir que, f (x) s es solucin de la

ecuacin diferencial.


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EJEMPLO 2

Verificar que la funcin x3e)x(g no es solucin de la siguiente

ecuacin diferencial:

0y2y3y

SolucinTomando ahora en vez de y la funcin g (x).Tenemos que:

)x(gy x3

ey x3e3y x3e9y

Reemplazando estos valores en la ecuacin diferencial:x3x3x3x3 e2)e(2)e3(3e9

El resultado NO es 0, por lo tanto, g(x) no es solucin de la ecuacindiferencial.

EJEMPLO 3

Pruebe que xe)x(h si es solucin de la ecuacin diferencial del

ejemplo anterior.

Solucin

Tomamos en el lugar de y la funcin h (x).

Tenemos que:)x(hy

xey xey xey

Reemplazando estos valores en la ecuacin diferencial:

0)e(2)e(3e xxx


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Probar que una funcin dada es solucin de una ecuacin diferencial esun proceso relativamente sencillo, sin embargo, encontrar las soluciones(esto es, resolver la ecuacin) no es en general un problema tan fcil.

Cabe advertir que existen muchsimas familias de ecuacionesdiferenciales, que se resuelven por mtodos particulares. Por otra parte,el uso del clculo integral en la resolucin de ecuaciones diferenciales esfundamental.

1.3. EJEMPLOS NUMRICOSEJEMPLO 1

Identificar y resolver:

2Q8d t

d Q

Solucin

Ecuacin diferencial: Ordinaria De primer orden De primer grado

Q82dt

dQ

tdQ82

Qd

Integrando:

ctd)Q82(Qd

c = Constante

Hacemos un cambio de variable: X)Q82(

Derivando:

dXdQ8


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79

8

dXdQ

Reemplazando:

ctdX8Xd

ctdXXd

8

1

Luego:

ctXln8

1

ct)Q82ln(8

1 )ct(8)Q82ln(

(Recordar: aXln a

eX )

)ct(8

eQ82

8

2

8

eQ

)ct(8

4

1

8

eQ

c8t8

4

1

8

eeQ

c8t8

Sea:8

eC

c8

Respuesta: 41t8eCQ

EJEMPLO 2

Identificar y resolver: dt100

x13dx

Solucin

Reordenando la ecuacin:


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80

3100

x3

dt

dx

Solucin:Ecuacin diferencial: Ordinaria De primer orden De primer grado

Nuevamente ordenando la ecuacin:

dt

)

100

x33(

xd

Integrando:

ctd

)100

x33(

xd

c = Constante

Hacemos un cambio de variable: )U100

x33(

Derivando:

dU3

100xd

Reemplazando:

cdtU

Ud3

100

cdt

U

Ud

3

100

(Recordar: ulnu

ud , y que ttd )

ctUln3

100

Reemplazando:

ct100

x33ln

3

100


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81

)ct(100

3

100

x33ln

(Recordar: aevavln )

)ct(100

3

e100

x33

)ct(100

3

e3100

x3

)ct(100

3

e3

100100x

t100

3c

100

3

ee3

100100x

Hagamos:c

100

3

e3

100C

t100

3

e.C100x

1.4. MTODOS DE SOLUCIN DE ECUACIONES DIFERENCIALES1.4.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADA

Si por medio de operaciones algebraicas puede expresarse laecuacin diferencial en la forma:

)y(

)x(f

dx

dy)x('f

Se separan las variables, quedando:

dx)x(fdy)y(

De donde:

Cdx)x(fdy)y(


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82

1.4.2. ECUACIONES HOMOGNEASSi la ecuacin diferencial puede escribirse en la forma:

xyf)x('f

Se sustituye )x

y( por z, quedando:

)z(fdx

dy

Al cambiar la variable se tiene )xz(ddy que vale:

zdxxdzdy

Luego:

zfzdx

dzx

dx

zdxxdz

dx

dy

De donde se deduce:

z)x(f

dz

x

dx

E integrado queda:

Cz)z(f

dzxln

x

dx

Una vez resuelta la integral, se sustituye z por y quedando unaecuacin con las primitivas variables x e y , que resuelve el

problema.

1.4.3. ECUACIONES LINEALESSon las ecuaciones de primer grado respecto a la funcin ypresentan la forma:

)x(Fy)x(fdx

dy


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83

Se efecta el cambio de variable uzy de donde

zduudzdy , con lo que la ecuacin se transforma en:

)x(Fuz)x(fdx

duz

dx

dzu

Separando u factor comn, queda:

)x(Fdx

duzz)x(f

dx

dzu

Y poniendo como condicin que:

0z)x(fdx

dz

Quedar:

)x(Fdx

duz

De donde:

dxz

)x(Fu

El valor de z se obtiene de la condicin puesta, haciendo:

dx)x(fz

dz

De donde:

dx)x(fzlnz

dz

Y despejando z queda:

dx)x(f

ez

Que sustituida en la frmula de la u da:


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84

Cdxe)x(Fdx

e

)x(Fu

dx)x(f

dx)x(f

Y volviendo a las variables primitivas, se tiene:

Cdxe)x(Feuzy

dx)x(fdx)x(f

O bien:

dx)x(f

dx)x(f

e

Cdxe)x(Fy

1.4.4. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN, DE LA FORMA

2

2

dx

ydCONSTANTE

Multiplicando los dos miembros por dx se tiene:

Cdxdxdx

yd2

2

e integrando queda:

Cdxdxdx

yd2

2

De donde:

1CCxdxdy

Puesto que la integral de la segunda derivada es la primeraderivada. Repitiendo el proceso anterior con esta ltimaexpresin, se obtiene:

dxCCxdxdy 1

E integrando:


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85

21

2

1 CxC2

xCdxCCxdxy

1.4.5. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN, DE LA FORMA)x(f

dx

yd2

2

Procedimiento del mismo modo que en el caso anterior seconsigue:

dx)x(fdxdx

yd2

2

De donde:

Cdx)x(fdx

dy

Luego:

Cdxdx)x(fdy 2

Y, finalmente:

122 CCxdx)x(fCdxdx)x(fy

1.4.6. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN, DE LA FORMA)y(f

dx

yd2

2

Si se efecta el cambio variabledxdyz , se tiene:

)y(fdy

dzz

dy

dzx

dx

dy

dx

dz

dx

yd2

2

De la ltima igualdad se deduce:

dy)y(fzdz


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86

Y, de aqu:

C)y(Fdy)y(f2

zzdz

2

Despejando z queda:

dx

dyC)y(F2z

De donde:

C)y(F2

dydx

Y, finalmente:

'C

C)y(F2

dyxdx

1.4.7. ECUACIONES DE LA FORMA 0dx

dy,

dx

ydf

2

2

Se efecta el mismo cambio de variable del caso anterior

dx

dyz , con lo que se obtiene una ecuacin de la forma

0z,dx

dzf

y despejando

dx

dzqueda:

)z(Fdx

dz

De donde:

)z(F

dzdx

Que integrando da:

C)z()z(F

dxxdx

Cambiando z por su valor queda la ecuacin:


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87

Cdx

dyx

De la cual se despeja dy , resultando:

dx)x(dy

Y, finalmente, se integra y queda:

'Cdx)x(ydy .

22.. APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES2.1. APLICACIONES: CRECIMIENTO POBLACIONAL

Sea )t(N la poblacin en el instante t (puede ser que t sea segundos,

horas, das, aos, etc., dependiendo de la poblacin de que se trate).Entonces, la razn instantnea de cambio es )t(N .

El modelo dice que esta razn de cambio es proporcional a la poblacin:

(t)NN(t)

Es decir:

)t(kN)t(N

Lo que es lo mismo:0)t(kN)t(N

Que es una ecuacin diferencial: Ordinaria De Primer orden De Primer grado

Para determinar la solucin (es decir hallar N(t)) de esta ecuacindiferencial procedemos a integrar:

dtkdt)t(N

)t('N

Mkt)t(Nln


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88

Siendo M constante.Si aplicamos la exponencial a ambos lados tenemos:

Mkte)t(N

Que por las propiedades de la exponencial, se puede escribir como:

ktCe)t(N Donde: C = e M.

Se puede comprobar que C es la poblacin inicial.

Por la forma de la solucin este modelo se llama de crecimientoexponencial.

EJEMPLO 1

El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de habitantesque hay en un instante cualquiera. Si la poblacin inicial es de 400 000; yal cabo de 3 aos es de 450000.

Cunto tardar en duplicarse?

Qu poblacin habr en 10 aos?

Solucin

Datos:Inicialmente para t = 0 aos C = 400 000 habitantes

Para t = 3 aos N(3) = 450 000 habitantes

La funcin es: ktCe)t(N

Sabemos que C es la poblacin inicial, en este caso 400 000;

kte40000)t(N

Para tener la funcin completa debemos encontrar el valor de kEste valor de k lo determinamos a partir de t = 3 aos,

450000)3(N

450000e40000)t(Nkt


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89

8

9

40

45

400000

450000e k3

Es decir: 8

9e

k3

Aplicando ln a ambos lados de la igualdad:

)8

9ln(k3

03926,0)8

9ln(

3

1k

Por lo tanto, la funcin es:t03926,0e40000)t(N

Para saber el tiempo en que la poblacin se duplica tenemos:

t03926,0e40000800000 Por lo tanto:

2e t03926,0 Aplicando ln a ambos lados de la igualdad:

2lnt03926,0

65,1703926,0

2lnt aos

t = 17 aos, 7 meses, 24 das

Para saber el nmero de habitantes al cabo de 10 aos evaluamos lafuncin en 10 aos:

10*03926,0e40000)10(N

592330)10(N Podemos decir que al cabo de 10 aos habr alrededor de 592 330habitantes.


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90

Figura 1. Grfica que nos indica el comportamiento de la poblacin. Observe losvalores a los 10 aos y el tiempo en la cual se duplica la poblacin.

2.2. APLICACIONES: CIRCUITOS ELCTRICOS CON IMPEDANCIASEJEMPLO 1

Una fuerza electromotriz de 20 voltios se aplica en un tiempo, t = 0, a un

circuito formado por un inductor (bobina) de 2 Henrios, conectado enserie con un resistor de 40 Ohmios. Si la intensidad de la corriente esnula para t = 0. Calcular:

El valor de la intensidad de corriente en cualquier instante de t > 0 El valor lmite de la intensidad de corriente.

Solucin

Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito elctrico;

indicando:

E I

R

L

t = 0

Figura 2.


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91

E = Fuerza electromotriz = 20 VoltiosL = Inductor = 2 HenriosR = Resistor = 40 Ohmios

I = Intensidad (Amperios)

De cuerdo a la ley de Kirchoff, se cumple que: La fuerza electromotriz esigual a la suma de la cada de voltaje en el inductor y a la cada de voltajeen la resistencia

dt

dIL = Cada de voltaje en el inductor

RI= Cada de voltaje en la resistencia

Luego:

IRtd

IdLE

Aplicando a nuestro problema, tenemos:

I40td

Id220

Vemos que es una Ecuacin Diferencial:

Ordinaria De Primer orden De Primer grado

La solucin se plantea de la siguiente manera:

10I20td

Id

tdI2010

Id

Integrando (2):

ctdI2010Id

Donde: c = constante, ya que las integrales son indefinidas (no tienen lmites)

Cambio de variable: (10 20 I = U) Derivando:

20

UdId

Reemplazando (5) y (4) en (3):


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ctdU20Ud

ctdUUd

20

1

Recordar: XlnX

Xd , y que XXd

ctUln20

1

Reemplazando en (4)

ct)I2010ln(20

1

)ct(20)I2010ln(

Recordar:a

eXaXln

)ct(20eI2010

)ct(20e10I20

20

e

20

10I

)ct(20

2

1

20

eI

)c20t20

2

1

20

eeI

c20t20

2

1t.20e.cI Donde:20

ec

c20

De acuerdo al enunciado del problema, cuando: t = 0, la corriente:I =0, con lo que se determina el valor de la constante c :

2

10*20e.c0 2

11.c0

21c


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93

Por lo tanto:

La intensidad de corriente en cualquier instante est dada por la siguiente

ecuacin:

2

1e

2

1I t20

)e1(2

1I t20 Amperios Respuesta (a)

Para resolver la pregunta (b), hacemos que t , lo que resulta:

2

1I Amperios Respuesta (b)

EJEMPLO 2

Un condensador de 5 x 10-3 Faradios est conectado en serie con unresistor de 25 Ohmios y una fuerza electromotriz de 50 Voltios. Se cierrael interruptor cuando t = 0. Suponiendo que para t = 0 la carga delcondensador y la intensidad de corriente son nulas, determinar:

La carga en cualquier instante (Coulomb) La intensidad de corriente en cualquier instante (Amperios) La carga mxima que puede alcanzar el condensador (Coulomb)

Solucin

Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito elctrico;indicando:

E I

R

C

t = 0

Figura 3.

Q = Carga CoulombE = Fuerza electromotriz = 50 Voltios

C = Condensador = 5 x 10

-3

FaradiosR = Resistor = 25 Ohmios


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94

La fuerza electromotriz es igual a la suma de la cada de voltaje en elcondensador y la cada de voltaje en la resistencia.

CQRIE

Adems:

td

QdI

Por lo tanto:

C

Q

td

QdRE

Reemplazando valores del problema tenemos:

105

Q

td

Qd2550

3

2Q8td

Qd

Podemos observar que es una Ecuacin Diferencia: Ordinaria De Primer orden De Primer grado (Lineal)

Para resolver la ecuacin:

Q82td

Qd

tdQ82

Qd

Integrando (2):

ctdQ82Qd

Donde: c= constante porque las integrales no tienen lmites

Cambio de variable: (2 8 Q) = X

Derivando (4):0 8 d Q = d X

8

Xd

Qd Reemplazando (5) y (4) en (3):


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95

ctdX8Xd

ctdXXd

8

1

Recordar:

UlnU

Ud , y que PPd

ctXln8

1

Reemplazando de (4):

ct)Q82ln(8

1

)(8)82ln( ctQ

Recordar:a

eXaXln

)ct(8eQ82

2eQ8)ct(8

8

2

8

eQ

)ct(8

4

1

8

eQ

)c8t8

4

1

8

eeQ

c8t8

4

1t8ecQ Donde:8

ec

c8

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0,la carga:Q = 0, con lo cual se puede calcular la constante c

De la ecuacin final tenemos que:4

1c

Por lo tanto, resulta que la carga en cualquier instante ser:


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96

e4

1-

4

1 8 tQ

)t8e-(141Q Coulomb Respuesta (a)

Para la intensidad de corriente en cualquier instante, se calculapreviamente:

)t8e(14

1

td

d

td

QdI

t8e4

1

4

1

td

dI

)t8(e48I

t8e2I Amperios Respuesta (b)

Haciendo t , en la ecuacin de la carga Q resulta:

0,25mximo

Q Coulomb

2.3. APLICACIONES: PROBLEMAS QUMICOS Y MEZCLASEJEMPLO 1

Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de25 kilogramos de sal. Esta mezcla se mantiene uniforme mediante unmecanismo de agitacin. Si a este depsito ha de ingresar salmuera quecontiene 0,25 kilogramos de sal por litro de salmuera a razn de 12 litrospor minuto y a la vez se evacuan 12 litros/minuto de la mezcla.Determinar:

La cantidad de sal que contendr en cualquier instante, si la mezclasale del recipiente con el mismo gasto que entra.

La sal que contendr al cabo de 30 minutos. Cundo contendr 75 kilogramos de sal?

Solucin

Sea x la cantidad de sal que existe en el recipiente en el tiempo t.La razn de cambio de la cantidad de sal x en el recipiente ser:


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97

Q=12 I/min

E=12*0,25 kg de sal/min

0,25 kg de sal/l

Q=12 I/min

S=12*(x/400) kg de sal/min

x kg de sal/l

t = 0

400 l de agua (salmuera)

25 kg de sal

Figura 4.

SEdt

dx

Donde E representa la cantidad de sal que entra y S la cantidad de salque sale.

25,0.12E

.x.100

3

400

x12S

Por lo tanto tenemos:

xdt100

3dt3dx

Vemos que es una Ecuacin Diferencial Lineal, Ordinaria De Primer orden

De Primer grado (Lineal)Resolvindola se tiene:

xdt100

3dt3dx

dt100

x13dx

dt

100

x3

3

xd


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Integrando (1):

ctd

100

x3

3

xd

Donde: c = constante

Cambio de variable: U)100

x33(

Derivando (3):

dUdx100

30

dU3

100xd

Reemplazando (4) y (3) en (2):

cdtU

Ud3

100

cdtUUd

3

100

Recordar: vlnv

vd , y que vvd

ctUln3

100

Reemplazando de (3):

ct100

x3

3ln3

100

)ct(100

3

100

x33ln

Recordar:a

evavln

)ct(100

3

e100

x33


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99

)ct(100

3

e3100

x3

)ct(100

3

e3

100100x

t100

3c

100

3

ee3

100100x

t100

3

Ce100x

Donde:c

100

3

e3

100C

De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0,el contenido de sal es de 25 kg, con lo cual se puede calcular la constanteC

0100

3

Ce10025

75C)1(C10025 Por lo tanto, resulta que la cantidad de sal en cualquier instante est dadapor la siguiente ecuacin:

t100

3

e75100x

Respuesta (a)

Para resolver esta pregunta, hacemos que t = 30 minutos, por lo queresulta que:

x = 69,5 kg Respuesta (b)

Contendr 75 kg de sal en:

t100

3

e7510075

75

75100e

t100

3

3

1lnt

100

3

6,36t minutos Respuesta (c)


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100

PROBLEMAS PROPUESTOS 7

1. El nmero de bacterias de un cultivo era en cierto instante de 1000 y

dos horas despus 8000; suponiendo que el nmero de bacteriascrecen en forma proporcional a la cantidad presente; Cuntasbacterias quedan al cabo de 3 horas?Sol:

A = 1000)

2

9(

2

2. Un tanque se llena con 320 litros de salmuera que contiene 8kilogramos de sal disuelta. Luego se introduce en el tanque un gasto(caudal) de 16 litros por minuto el cual contiene 0,3 kilogramos de salpor litro y la mezcla bien agitada sale del tanque con el mismo gasto.

o 2.1 Establecer la ecuacin diferencial para la cantidad de sal encualquier instante.

o 2.2 Hallar la cantidad de sal (kg) en cualquier instante.o 2.3 Determinar la concentracin de sal (kg/l) despus de 10

minutoso 2.4 Cunta sal (kg) contendr el tanque, cuando haya

transcurrido mucho tiempo?

Sol:

o 2.1 dt20

xdt8,4dx

o 2.2 20

t

e8896x

o 2.3 0,13 kg/lo 2.4 x = 96 kg

3. La ley de enfriamiento de Newton enuncia que la rapidez con que un

cuerpo cambia de temperatura es propia a la diferencia entre sutemperatura y la del medio ambiente. Si un cuerpo esta en el aire auna temperatura de 35 C y el cuerpo se enfria de 120 a 60 C en 40minutos. Hallar la temperatura del cuerpo despus de 100 minutos.

4. En una reaccin qumica la rapidez de conversin de una sustancia enun instante t es proporcional a la cantidad de sustancia que queda sintransformar en ese instante. Si se ha convertido la tercera parte de lacantidad original cuando t = 4 minutos y se ha convertido una

cantidad A cuando t = 8 minutos. Hallar la cantidad original de lasustancia en funcin del valor A.


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101

3. VIBRACIONES MECNICAS3.1. DEFINICIONES

Se llama VIBRACIN MECNICA de un sistema que posee masa yelasticidad, al movimiento que se repite en un intervalo de tiempodefinido.

El PERIODO es el tiempo que tarda en repetirse la vibracin. Un CICLO es cada repeticin del movimiento completo, realizada

durante el periodo. La FRECUENCIA es el nmero de ciclos por unidad de tiempo. Las VIBRACIONES LIBRES aparecen en un sistema sobre el que actan

sus fuerzas interiores- tales como los pesos de los elementoscomponentes, muelles y otros componentes elsticos.

La FRECUENCIA NATURAL es la frecuencia de un sistema sometido avibraciones libres. Las VIBRACIONES FORZADAS aparecen en un sistema sobre el que

actan fuerzas exteriores peridicas. La RESONANCIA aparece cuando la frecuencia de las vibraciones

forzadas coincide o, por lo menos, se aproxima a la frecuencia naturaldel sistema.

Las VIBRACIONES TRANSITORIAS desaparecen con el tiempo. Lasvibraciones libres son de carcter transitorios.

VIBRACIONES PERMANENTES son las que se repiten continuamente enfuncin del tiempo. Las vibraciones forzadas son ejemplo de

vibraciones permanentes.

3.2. MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLEEl movimiento armnico simple puede representarse mediante unafuncin seno o coseno del tiempo.

As, tXSenx es la ecuacin de un movimiento armnico simple.Equivale a la proyeccin sobre un dimetro de un vector X de largo amedida que el extremo del vector x gira sobre una circunferencia con

una velocidad angular constante angular constante rad/seg. Para estemovimiento.

x Longitud de la proyeccin sobre un dimetro, en metros ocentmetros,

X Longitud del vector giratorio, en metros o centmetros, Frecuencia circular o angular, en radiantes/segundo,

/2T Periodo, en segundos,

T

12/f Frecuencia en ciclos/segundo.


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102

3.3. VIBRACIONES LIBRES-LINEALESEJEMPLO 1

Un peso W cuelga de un muelle vertical cuya constante o mdulo deelasticidad es k (kg/cm). Suponiendo que el peso del muelle puededespreciarse, analizar el movimiento del peso si se el suelta a una

distancia 0x por debajo de la posicin de equilibrio con una velocidad

inicial 0v dirigida hacia abajo.

x

x0

X

Posicin de equilibrio sin W

Posicin de equilibrio con W

Posicin en un instante cualquiera

durante el movimiento

Posicin de libertad inicial

Posicin del desplazamiento mximo

Figura 5.

SOLUCIN

La tensin en el muelle se determina por la Ley de Hooke: kxF kT En la condicin de equilibrio de T con el peso W se tiene:

T=

W=mg

k

Figura 6.

En equilibrio: .WkT


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A continuacin se analizara la ecuacin del cuerpo a una distancia x apartir de la posicin de equilibrio descrita anteriormente.

T=

W

)x(k

a

Figura 7.Posicin por debajo del equilibrio

Como no se conoce el sentido de la aceleracin a se asumir que espositivo hacia abajo (Un signo menos en el resultado de esta aceleracinindicar que realmente est dirigida hacia arriba).Aplicando la segunda Ley de Newton se obtiene:

maFv

a)g/W(TW

Sustituyendo: kW y )x(kT

a)g/W()x(kk 0kxa)g

W( 0x

W

kga

Adems:

2

2

dt

xda

Reemplazando:

0xW

kg

dt

xd2

2

.. )(

La cual es una ECUACION DIFERENCIAL: Ordinaria De segundo orden De primer grado

Supongamos que la solucin de la ecuacin diferencial de segundo orden

tiene la forma


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)t(BCos)t(ASenx

= frecuencia circular en rad/s.Para saber si es o no una solucin hallemos la segunda derivada de x

respecto al tiempo )dt

xd(

2

2

y sustituymosla en la ecuacin diferencial

)( .

Luego:

tsenBtcosAdt

dx

x-tcosBtsenAdt

xd 2222

2

Reemplazando:

.0x)W/kg(x2

Por tanto:

m

k

W

kg2

m

k

Por lo tanto la solucin a la ecuacin diferencial ser:

)t*m

k(BCos)t*

m

k(ASenx

Observar que un ciclo del movimiento se complementar a intervalos de2 radiantes, es decir, cuando

2Tm

ken donde T es el perodo.

Por consiguiente:

k

m2T

La frecuencia es la inversa del perodo, luego:

m

k

2

1

T

1f


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Las constantes A y B deben calcularse a partir de las condiciones decontorno dadas en el problema. Aqu se ha supuesto:

0t

0xx

ovv

Al sustituir estos valores en la solucin de la ecuacin diferencial en elmomento t=0

)0*m

k(BCos)0*

m

k(ASenx0

0xB

En la ecuacin de la velocidad:

)tm

k(Sen

m

kB)t

m

k(Cos

m

kA

dt

dxv

)0(SenB)0(CosAv0

0v

A

Por tanto, la solucin es:

.tCosxtSenv

x 0o

EJEMPLO 2

Un motor que pesa 50 kg est montado sobre cuatro muelles, cada unocon una constante kgf/cm.4k Hallar la frecuencia (ciclos/s) (Hz) y

perodo (s) de la vibracin del motor.

Solucin

Cada muelle soporta 12,5 kgf si el peso est uniformemente repartido.Por tanto, la frecuencia en ciclos por segundo es

m

k

2

1

W

kg

2

1f

Donde el peso de 12,5 kgf tiene una masa de 12,5 kg masa.


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106

Demostracin: N5,122s

m*kg5,122

s

m8,9*kg5,12kgf5,12

22

s/ciclos82,2s

182,2

kg5,12

)m1cm100(

cm1)

sm*kg(8,9*4

2

1

kg5,12

kgf/cm)4(

2

1f

2

Hz82,2f

El perodo ser: s357,082,2

1

k

m2T

EJEMPLO 3

Un peso pequeo W est sujeto a un alambre vertical sometido a unatensin T , segn se indica en la Fig. Cul ser la frecuencia natural devibracin del peso si se le desplaza lateralmente una pequea distanciay se le suelta despus?

Solucin:

Figura 8.

Supongamos que el peso W en un instante cualquiera durante elmovimiento est en una distancia x hacia la derecha de su posicin deequilibrio.

Sobre este peso actan en direccin horizontal las componentes de lasdos tensiones T representadas en la figura. Para desplazamientospequeos1 estas componentes x de las tensiones sern )b/x(*T y

)c/x(*T actuando ambas hacia la izquierda, o sea, negativas, si

suponemos que el sentido positivo es hacia la derecha.


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(1. La suposicin de un desplazamiento pequeo significa que TgCos y TgCos

Por tanto, la ecuacin diferencial del movimiento es:

2

2

xdt

xd

g

Wa

g

W)

b

x(*T)

c

x(*T

0x)b

T

c

T(

W

g

dt

xd2

2

Obsrvese que esta ecuacin es enteramente semejante, excepto en elcoeficiente del trmino x , a la ecuacin del muelle.

Por tanto, segn se ha indicado en el problema anterior, la frecuencia es

g)bc

cb(

W

T

2

1f

ciclos/s

EJEMPLO 4

Un cilindro est lastrado de modo que flote segn se indica en la Figura.

Si la seccin del cilindro tiene A cm2

y su peso es W (kg), Cul ser lafrecuencia de oscilacin si se empuja el cilindro hacia abajo ligeramente yluego se suelta? La densidad del lquido es . Desprciense los efectosamortiguadores del lquido, as como los efectos de inercia del lquido enmovimiento.

Solucin

Cuando el cilindro est a una distancia x por debajo de su posicin de

equilibrio es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso dellquido desplazado. Esto equivale al muelle del Ejemplo 1. Empleando lasleyes de Newton, la fuerza sin equilibrar, que va hacia arriba cuando eldeslizamiento es hacia abajo, es igual al producto de la masa por suaceleracin. Consideremos positivo el desplazamiento hacia abajo. Laecuacin diferencial del movimiento es entonces:

Figura 9.


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2

2

dt

xd

g

WAx

0xW

Ag

dt

xd2

2

La Frecuencia es, por tanto:

W

Ag

2

1f

ciclos/s

EJEMPLO 5

Se emplea un lquido de densidad y longitud total l en el manmetrorepresentado en la figura. Un aumento repentino de presin en un ladofuerza al lquido hacia abajo. Cuando desaparece la presin el lquidooscila. Despreciando el amortiguamiento por rozamiento, cul ser lafrecuencia de la vibracin?

Figura 10.

Solucin

Supongamos que el lquido est a una distancia x por debajo de laposicin de equilibrio en la columna izquierda y, desde luego, a unadistancia x por encima de la posicin de equilibrio en la columnaderecha.

La fuerza sin equilibrar que tiende a restaurar el equilibrio es el peso de lacolumna de lquido de altura x2 .


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Este peso es xA2 , siendo A el rea de la seccin recta del lquido. Elpeso total de lquido en movimiento es lA . Empleando la ley de Newton:

2

2

dt

xd

g

lAxA2

0xl

g2

dt

xd2

2

Luego:l

g2

2

1f

cps

Obsrvese que f es independiente de la densidad del lquido y del reade la seccin recta.


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PROBLEMAS PROPUESTOS 8

1. Un peso de 10 kg vibra con movimiento armnico t.senXx Si laamplitud X es 10 cm y el peso hace 1.750 vibraciones por minuto,hallar la aceleracin mxima del peso en m/s2

Sol:a=3.360 m/s2

2. Un cilindro oscila respecto a un eje fijo con una frecuencia de 10cpm. Si el movimiento es armnico con una amplitud de 0,10radiantes, hallar la aceleracin mxima en rad/s2

Sol:2rad/s11,0

3. Un instrumento que pesa 2,2 kg est sujeto a cuatro soportes degoma que presentan cada una deformacin de 0,6 cm por cada kg decarga. Cul ser la frecuencia natural de la vibracin en cps?Sol:f= 8,7cps

4. Un madero que pesa 840 kg/m3 tiene un dimetro de 12 cm y unalongitud de 1,5 m. Si mientras est flotando verticalmente en el aguase le desplaza hacia debajo de su posicin de equilibrio, Cul ser elperodo de oscilacin?Sol:

s2,24T

5. Un peso de 120 gest sujeto al punto medio de un alambre vertical

de 15 cm de largo en el que la tensin es 1,6 kg. Cul ser el

perodo de vibracin del peso si se le desplaza lateralmente y luegose le suelta?Sol:

s0,107T

3MAT-Ecuaciones diferenciales

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