3Marco teórico norma neozelandesa NZS

Marco teórico norma neozelandesa NZS

Diseño sísmico según norma neozelandesa SDST NZ.

El análisis según el código neozelandés SDST NZ “Seismic Design of Storage Tanks,

Recommendations of a Study Group of the New Zealand National Society for Earthquake

engineering”, es similar al realizado con la norma Norteamericana el API 650 11° edición,

addendum 3. Esto permite recopilar la misma información que se encuentra en la última

norma nombrada, y con esto proceder a comparar los resultados obtenidos en ambas

normas con las debidas recomendaciones Chilenas.

Esta norma entrega una amplia gama de comentarios que llevan al lector a entender con

mayor claridad el por qué realizar los pasos mencionados en cada sección, sin embargo

uno de los puntos más desfavorables para esta norma es el ordenamiento de sus

capítulos.

Dentro de esta norma se entregan diferentes pasos para el diseño sísmico de estanques,

el cual depende de las características del depósito de almacenamiento de líquido a

diseñar (ácido sulfúrico en este estudio), que a continuación se señalan.

Las recomendaciones de la norma se dividen en los siguientes casos:

I. Estanque cilíndrico circular vertical rígido.

II. Estanque rectangular rígido.

III. Estanque cilíndrico circular horizontal.

IV. Estanque rígido axial-simétrico no cilíndrico con eje vertical.

V. Estanque cilíndrico circular vertical flexible.

VI. Estanque rectangular flexible.

VII. Estanques semienterrados.

VIII. Estanques elevados.

El estanque de este estudio es un estanque cilíndrico circular vertical rígido de

acero.

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Determinación de los coeficientes sísmicos.

El método de cálculo de la fuerza sísmica horizontal actuando sobre un estanque

según la norma NZSEE entrega la siguiente fuerza sísmica:

V j=C (T j )∗m j∗g

C (T j)=C (T j ,1 )∗Cf (μ ,ξ j)∗Sp∗R∗Z

Dónde:

V j = Corte basal asociado al modo j (impulsivo o convectivo).

μ = Factor de ductilidad.

ξ j = Nivel de amortiguamiento para el modo de respuesta.

Sp = Factor de desempeño estructural.

R = Factor de riesgo.

Z = Factor de zona sísmica.

m j = Masa del estanque o su contenido que responde en un modo particular.

C (T j ,1 ) = Coeficiente sísmico para respuesta elástica según NZS 4203.

C f (μ , ξ j ) = Factor de corrección que considera ductilidad y amortiguamiento.

T j = Periodo de vibración del modo correspondiente (impulsivo o convectivo).

La cual combina la NZSEE con la metodología de NZS4203, usando el concepto

de ductilidad y amortiguamiento para derivar en un espectro de aceleraciones de

diseño apropiado.

Factores de ductilidad μ.

En la tabla: “Factores de ductilidad μ , se encuentran los factores de ductilidad usados según el tipo de estanque. La idea de utilizar estos factores, es que todos los estanques puedan retener su contenido al estar sometidos a un determinado sismo para cierto factor de riesgo y periodo de retorno, siendo capaces de sufrir daño sin derramar su contenido cuando las consecuencias de este fueran graves.Este método considera ductilidad en cierto tipo de estanques que podrían llegar a

experimentar deformaciones inelásticas como levantamiento de la base o

2

formación de “pata de elefante”, sin perder su contenido, pero no está claro que

algún mecanismo de falla, como la fluencia del manto del estanque, lo pueda aislar

del movimiento del terreno. Sin embargo, se asume que la respuesta es similar a

un comportamiento inelástico dúctil y algo de ductilidad (limitada generalmente) es

considerado en la derivación de las cargas de diseño para cierto tipo de

estanques.

TABLA: Factores de ductilidad μTipo de estanque μ

Estanque de acero sobre fundación de hormigón armadoRespondiendo elásticamente 1.25

No ancladosDiseñados para "uplift" ( pandeo tipo "pata de elefante") 2*

Diseñados para "uplift" y pandeo elástico del manto ( pandeo con "forma de diamante")

1.25

AncladosCon pernos de anclaje no dúctiles 1.25

Anclados con pernos de anclaje dúctiles 1.25Pedestal de borde dúctil 3**

Apoyado sobre base de hormigón diseñada para volcamiento 2**Estanques de hormigón sobre fundación de hormigón

armadoHormigón armado 1.25

Hormigón pretensado 1Estanque de otros materiales sobre fundación de hormigón

Armado 1Madera 1

Materiales no dúctiles ( como fibra de vidrio) 1Materiales dúctiles y mecanismos de falla 3

Estanques elevadosSegún estructura

soportante*verificar que el pandeo elástico no ocurra antes que las "patas de elefante"

**capacidad de diseño requerido para proteger al estanque de otro tipo de fallaFuente: “”

Amortiguamiento

La tabla: “amortiguamiento horizontal para modo impulsivo”, entrega el

amortiguamiento total para el modo impulsivo, equivalente al amortiguamiento de

un estanque con su contenido empotrado más el amortiguamiento por radiación. El

amortiguamiento vertical será independiente del valor de H/R, igual a 7.5 % para

3

suelo blando y 5% para suelo duro o roca (ver referencia NZSEE, comentario

C2.8). Para el “sloshing” el amortiguamiento se asume como 0.5%. Estos valores

son aplicables también a estanques no anclados con o sin niveles importantes de

levantamiento.

Tabla: Amortiguamiento horizontal para modo impulsivo

Tipo de estanqueHR

ξ (%) ξ (%) ξ (%) V s= 1000

[m/s] V s= 500

[m/s]V s= 200

[m/s]

Estanques de hormigón y rígidos de acero t /R=0.002

0.5 4 13 301 4 10 202 3 5 143 2 3 7

Estanques de acero t /R=0.001

0.5 3 7 201 3 6 152 2 3 63 2 2 3

Estanques flexibles de acero t /R=0.0005

0.5 2 4 121 2 4 92 2 3 43 2 2 3

Fuente: “”

Donde,

H= altura del líquido en el estanque.

R= radio del estanque.

t= espesor del manto justo sobre la base.

V s= velocidad de la onda de corte promedio del suelo de fundación.

Los valores de amortiguamiento del modo impulsivo horizontal para distintos

valores de R/ t y H /R se encuentran graficados en el punto B.1 del anexo B.

Conociendo el amortiguamiento asociado a la masa y el respectivo nivel de

ductilidad, podemos obtener el factor de corrección C f (μ , ξ j ) que considera

ductilidad y nivel de amortiguamiento de la tabla: “factor de corrección por

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ductilidad y amortiguamiento C f (μ , ξ j )” o de las ecuaciones obtenidas a partir de

estos valores y que se encuentran en el punto b.2 del anexo B. estos valores son

aplicables con respecto a espectros elásticos con ξ=5%.

Tabla: factor de corrección por ductilidad y amortiguamiento C f (μ , ξ j )Ductilida

dTeq/T*

zetah** (%)

Amortiguamiento (%)

0.5 1 2 5 10 15 201 1 0 1.75 1.57 1.33 1 0.8 0.71 0.67

1.25 1.033 3.5 0.92 0.88 0.83 0.72 0.62 0.58 0.551.5 1.063 4.6 0.75 0.72 0.68 0.61 0.54 0.51 0.482 1.12 5.9 0.58 0.56 0.54 0.48 0.44 0.42 0.4

2.5 1.176 6.9 0.49 0.48 0.46 0.42 0.38 0.36 0.353 1.23 7.6 0.43 0.43 0.41 0.38 0.35 0.33 0.324 1.337 8.9 0.36 0.36 0.35 0.33 0.3 0.29 0.28

*Teq= periodo lineal equivalente. T= periodo elástico inicial.**Zetah=amortiguamiento viscoso equivalente adicional que representa energía disipada de histéresis.

Fuente: “”

Factores de riesgo R.

Los factores de riesgo consideran las consecuencias de la falla, basándose en la seguridad de población, el riesgo medioambiental, importancia para la comunidad, el valor de las propiedades adyacentes y el tiempo de vida útil que requiere el diseño del estanque. De esta forma, el factor de riesgo que determina las cargas de diseño, es el que corresponde al peor de los casos mencionados. En la tabla: “Factores de riesgo R”. Se encuentran los factores de riesgo basados en las consecuencias de falla y que se utilizaran en este estudio. Este factor pasa a ser el equivalente al factor de importancia I=1.0 que determina la norma chilena Nch433.

Tabla: Factores de riesgo R.Consecuencias de

fallaPeriodo de retorno según

diseño (años)Factor de riesgo R

Despreciable 50 0.5Suave 200 0.8

Moderado 450 1Serio 1000 1.3

Extremo 2000 1.6

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Fuente: “”

Factor de desempeño estructural Sp.

LA NZS 4203 incorpora este factor en la determinación de la carga sísmica de

diseño. Se recomienda que para estanques sometidos a fuertes movimientos

sísmicos el factor de desempeño estructural Sp sea 1.0, valor recomendado por

NZS4203.

Factor de zona sísmica Z

Este factor corresponde a la aceleración horizontal dependiendo de las

características sísmicas de la región en que se colocara el estanque.

Calculo de fuerzas y presiones hidrodinámicas

Estanque rígido. (Ver referencia NZSEE, COMENTARIO C2.4 a)

Fuerzas impulsivas y convectiva.

Las fuerzas hidrodinámicas inducidas por un sismo horizontal sobre un estanque

con paredes flexibles se pueden apreciar en la figura: “analogía n°1 masa-resorte

para estanque rígido según NZSEE)”, y las para paredes rígidas serán

determinadas a partir de la analogía masa-resorte mostrada en la figura: “analogía

n°2 masa-resorte para estanque rígido según NZSEE)” 3.1. Las masas m1,…, mn,

a las alturas h1,…hn de los centros de presiones, representan los efectos

hidrodinámicos de los modos de sloshing y la masa m0, rígidamente unida a las

paredes y actuando a la altura h0, representa los efectos hidrodinámicos del modo

impulsivo o desplazamiento de cuerpo rígido del estanque.

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Figura: Analogía N°1 masa-resorte para estanque flexible según NZSEE).

Fuente: “NZSEE”

Figura: Analogía N°2 masa-resorte para estanque rígido según NZSEE).

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Fuente: “NZSEE”

La suma de las masas es igual a la masa total del líquido:

ml=m0+∑j=1

∞

m j

El corte impulsivo V 0, y el momento impulsivo M 0 justo sobre la base, sin

considerar las presiones en la base, están dados por:

V 0=C (T 0 )∗(m0+mw+mt )∗g

M 0=C (T0 )∗(m0∗h0+mw∗hw+mt∗ht )∗g

Donde,

T 0 = Periodo de vibración del modo impulsivo rígido (T 0= 0).

C (T 0 )= Coeficiente sísmico horizontal impulsivo en estanque de paredes flexible.

mw = Masa del manto del estanque.

mt =Masa de la tapa del estanque.

hw = Altura de la línea de acción de la masa a la base (hw=H /2¿ .

ht = Altura de la línea de acción de la masa de la tapa a la base (h1=¿ altura total).

El momento y el corte de las fuerzas de inercia de las paredes del estanque y de

su tapa se incorporan al modo impulsivo actuando solidarios al movimiento de

cuerpo rígido.

El máximo corte basal V c y el momento volcante M c, correspondientes al primer

modo convectivo, están dados por:

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V c=C (T1 )∗m1∗g

M c=C (T 1 )∗m1∗g∗h1

Donde,

M c= Momento del primer modo convectivo justo sobre la base.

T 1= Periodo de vibración del primer modo convectivo.

C (T 1 )= Coeficiente sísmico horizontal del primer modo convectivo para T 1.

Las masas impulsivas y de los dos primeros modos de “sloshing” se pueden

obtener a partir de la figura: “masas impulsiva y convectiva (NZSEE)”, que muestra

la relación entre las razones de las respectivas masas y la masa total m1, y la

razón H /R. Las alturas equivalentes se obtienen a partir de la figura: “alturas de

centros de masa impulsivo y convectivo”. Las alturas de las masas impulsiva y del

primero modo convectivo son h0 y h1 respectivamente, h ' 0 y h '1 corresponden a los

centros de acción de las fuerzas que consideran las presiones en el fondo como lo

muestra la figura: “Alturas de centros de masa impulsiva y convectiva”. Todos

estos valores se encuentran tablados para el rango de H /R a estudiar en los

puntos B.3 y B.4 del anexo B.

Presiones impulsiva y convectiva.

Las presiones hidrodinámicas horizontales actúan sobre las paredes de un

estanque cilíndrico vertical, basados en el trabajo de Veletsos, vienen dadas por:

P( Z ,θ )=Pi ( z , θ )+Pc ( z , θ )

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Figura: Masas impulsiva y convectiva (NZSEE).

Fuente: NZSEE

Figura: Alturas de centros de masa impulsiva y convectiva.

10

Fuente: NZSEE

La máxima componente de la presión impulsiva viene dada por cualquiera de las

dos ecuaciones siguientes:

Pi ( z , θ )=q0 ( z )∗C (T0 )∗γ l∗R∗cos (θ )

Pi ( z , θ )=q '0 ( z )∗C (T0 )∗γ l∗R∗cos (θ )

Donde,

q0 ( z ) y q ' 0 (z )= Funciones adimensionales de la presión impulsiva.

γ l = Peso específico del líquido contenido.

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Para el valor máximo de la presión impulsiva en la dirección del sismo, que

corresponde al valor de interés para el diseño, las variables geométricas tomaran

los valores θ=0 y Z=0, con q0 ( z ) o q ' 0 (z ) representados en la figura: “valores

máximos para las presiones adimensionales impulsivas” y cuyas ecuaciones

representativas fueron obtenidas a partir de esta figura en el punto B.5 del anexo B

para las distintas razones H /R utilizadas en este estudio.

Figura: Valores máximos para las presiones adimensionales impulsivas”.

Fuente: NZSEE.

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Las dos ecuaciones para Pi ( z , θ )entregan resultados muy similares, siendo

conveniente cada una por separado para razones H /R altas y bajas

respectivamente.

En el caso de las presiones para el primer modo convectivo, de manera similar

que para el modo impulsivo:

Pci ( z ,θ )=q1 ( z )∗C (T1 )∗γ l∗R∗cos (θ )

Con la diferencia de que el valor maximo de la presion, independiente de la razon

H /R, siempre será q1 (0 )=0.837. de acuerdo a lo planteado anteriormente y para

efectos practicos de este estudio, tendremos que:

Pi=q '0 (0 )∗C (T 0 )∗γl∗H

Pc=0.837∗C (T1 )∗γ l∗R

Sismo vertical

Las cargas verticales sobre cualquier elemento estructural del estanque deberán

ser calculadas considerando la acción del sismo vertical, incluyendo estas masas

en el cálculo del periodo vertical. Para el cálculo de las tensiones en el manto,

estas cargas se pueden despreciar. Estas fuerzas serán determinadas a partir de

una analogía masa-resorte similar a la figura: “analogía n°1 masa-resorte para

estanque flexible”, pero contando con una única masa total del fluido m1 que se

encuentra rígidamente unida a la base y el efecto que estas puedan tener sobre

las paredes, actuando en adición a las inducidas por un sismo horizontal, será el

de aumentar las presiones hidrostáticas:

Pv ( z )=(1− ZH )∗C (T v )∗γl∗H

Donde,

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C (T v )=¿ Coeficiente sísmico vertical.

T v= periodo de vibración para el modo vertical.

Periodos naturales de vibración

La deformación del suelo de fundación se debe incluir en el cálculo de los periodos

de vibración de los modos impulsivos para las direcciones horizontal y vertical.

Para estanques flexibles, este efecto deberá ser incluido en la estimación de los

periodos asociados con ambas masas impulsivas mr y mf . La masa del manto del

estanque, la base y cualquier sistema o soporte o fundación estructural deberá ser

incluida con las masas impulsivas para calcular los periodos del modo impulsivo.

El periodo asociado al modo impulsivo rígido deberá ser T r=0

Al calcular los periodos de vibración del modo convectivo, se deben despreciar los

efectos de la deformación del suelo y la flexibilidad del estanque.

Periodo convectivo

El periodo de vibración del j-ésimo modo convectivo está dado por:

T f=2∗π∗√ R

g

√ λ j∗tanh( λ j∗H

R )Donde,

g= 9.80665 m/seg2 (aceleración de gravedad).

λ= 1.841; 5.331; 8.536. Para j= 1; 2; 3 respectivamente.

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El periodo adimensional T∗√ gR

se obtiene de la figura 3.10 en función de la razón

HR

.

Figura: Periodo adimensional para modo convectivo.

Fuente: NZSEE.

Periodo impulsivo (ver referencia NZSEE, comentario C2.7 d)

El periodo de vibración del primer modo impulsivo horizontal viene dado por:

T f=5.61∗π∗H

Kh

∗√ γ l

E∗g

Donde,

Kh=¿ Coeficiente de periodo según figura: “coeficiente del periodo impulsivo Kh” y

tabulado en el punto B.6 del anexo B.

γ l = peso unitario del líquido contenido.

E= módulo de Young del material del estanque.

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Este periodo dará buenos resultados usando el espesor promedio del estanque.

En este estudio el interés no se basa en la variación del espesor del manto t, por lo

que consideraremos valor constante y así evitar error de aproximación.

Figura: Coeficiente del periodo impulsivo Kh.

Fuente: NZSEE.

Periodo vertical.

El periodo de vibración para el primer modo vertical viene dado por:

T v=5.61∗π∗H

K v

∗√ γl

E∗g

Donde,

K v = coeficiente de periodo según figura: “coeficiente del periodo vertical Kh” y

tabulado en el punto B.6 del anexo B.

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Las expresiones para calcular T f y T v entregan el periodo del primer modo

horizontal y vertical respectivamente, del sistema estanque-líquido para un

estanque sin tapa con espesor del manto uniforme, módulo de Poisson igual a 0.3

y en condiciones de servicio lleno. Esta expresión fue desarrollada para el caso de

un estanque de acero lleno con agua pero podría ser utilizada para otros tipos de

materiales cuando la masa del estanque es relativamente pequeña en

comparación a la masa del líquido.

Figura: Coeficiente del periodo vertical Kh.

Fuente: NZSEE.

Interacción con el suelo (ver referencia NZSEE, comentario C2.7 f)

Debido a la interacción suelo-estructural los estanques que se encuentran sobre

un suelo blando tienen una respuesta significativamente diferente al caso de

estanques sobre una fundación rígida. Esta interacción alarga el periodo de

vibración del modo impulsivo así como el amortiguamiento. Generalmente un

incremento en el periodo resultara en un aumento de la respuesta, pero el

amortiguamiento adicional tiene a contrarrestar este efecto. Los efectos en el

modo convectivo son pequeños y se pueden despreciar.

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Los periodos de vibración para los modos impulsivos, ya sea de un estanque

rígido o flexible, dependen de la rigidez efectiva del sistema estanque-líquido y de

las rigideces horizontal y al volcamiento de la fundación, que a su vez dependen

de las características del suelo y de la fundación.

El procedimiento de cálculo de estos nuevos periodos no se incorporara en el

presente documento, debido a su complicación y extensión. Para efectos prácticos

de diseño se considerara el uso de fundaciones muy rígidas, lo cual prácticamente

no varía el periodo de vibración. De toda forma, este procedimiento se encuentra

en el documento NZSEE.

Tensiones de trabajo (ver referencia NZSEE, comentario C3.4)

Las tensiones de diseño son producto del momento sobre el manto, que a su vez

es producto de las fuerzas de corte que genera el comportamiento sísmico antes

descrito, y de las presiones hidrodinámicas que actúan distribuidas en la altura

sobre las paredes del estanque. Las cuales generan un anillo de fuerzas

distribuido a través de la sección del estanque.

Momento volcante

Para obtener las fuerzas de corte y momento volcante total, debemos superponer

la contribución de los modos convectivo e impulsivos rígido y flexible. Debido a la

baja probabilidad de que los máximos de cada modo coincidan en el mismo

instante, se utiliza el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

(RCSC):

V=√V i2+V c

2

Con

V i=V r+V f

Y el momento volcante de igual forma queda representado por:

MOT=√(m1∗h1∗C (T 1)∗g )2∗((mf+mw+mt )∗h f∗C (T f )∗g+(m0∗h0−mf∗h f )∗C (T 0 )∗g )2

MOT=√M c2+(M f+M r )2

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Que corresponden al corte máximo y al momento volcante total para el caso sin

considerar las presiones en el fondo del estanque. Si estas se tomaran en cuenta,

se deben reemplazar los valores h0 y h1 por h ' 0 y h '1 respectivamente.

Anillo de tensiones (ver referencia NZSEE, comentario c3.2)

Las componentes convectivas, impulsivas flexible, impulsivas rígida y vertical, que

actúan horizontalmente contra las paredes del estanque, general esfuerzos de

corte como se muestra en la figura: “tensiones en el manto producto de las

presiones internas”. Distribuyéndose circunferencialmente sobre el manto, dando

como resultado el anillo de fuerzas Nθ este último es constante a lo largo de la

circunferencia de la sección del estanque para cierta altura Z, independiente del

Angulo θ medido al eje horizontal de acción del sismo.

Figura: Tensiones en el manto producto de las presiones internas.

19

Fuente: NZSEE.

La forma de las componentes del anillo de fuerzas horizontal para el modo j está

dado por:

Nθj=Nθnj∗R∗P j

Nθnjes un factor adimensional que explica la forma en que se distribuye el anillo de

fuerzas Nθ en la altura para los distintos modos j. las ecuaciones para los valores

máximos de estos factores se encuentran en el punto B.7 del anexo B.

P jes la presión representativa del modo j. para las tensiones hidrostáticas, la

presión representativa es aquella que ocurre al pie del manto, en el caso

convectivo es la que ocurre en la parte superior del estanque y para las tensiones

impulsivas será la existente en la base.

Según las ecuaciones para calcular Pi ,Pc y Pv para el caso de un estanque rígido

o flexible, tendremos que las componentes del anillo de fuerzas horizontal medidas

en unidades de presión por longitud de la circunferencia serán:

1. Hidrostática:

Nθh=Nθnh∗R∗Ph (0,0 )

Nθh=Nθnh∗R∗γ l∗H

2. Convectiva:

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Nθc=Nθnc∗R∗Pc ( H ,0 )

Nθc=0.837∗Nθnc∗C (T 1 )∗γl∗R2

3. Impulsiva rigida:

Nθi 0=Nθni∗R∗Pi0(0,0)

Nθi 0=Nθni∗q0 (0 )∗C (T0 )∗γ l∗R2

4. Vertical

Nθv=Nθnh∗R∗Pv (0 )

Nθv=Nθni∗C (T v )∗γ l∗R∗H

Para el caso impulsivo es importante recordar que el cálculo de Pi ( z , θ ) mediante

el uso de las ecuaciones para calcular Pi ( Z ,θ) entrega valores iguales para razones

de H /R intermedias, según lo expuesto en el punto de “presiones impulsiva y

convectiva”, siendo relevante la correcta utilización de T 0 y T f cuando

corresponde. En la ecuación para calcular Nθi 0 , Impulsiva rigida.

A la luz de lo visto en el punto de “fuerzas impulsiva y convectiva”, es conveniente

utilizar el valor de q0 (0 ) para razones H /Raltas, que precisamente corresponden a

estanques muy rigidos en que m0>mf y por lo tanto mr es grande. El caso contrario

ocurre para la ecuación para calcular Nθi f ,impulsiva flexible, no mostrada en este

estudio, en que se utiliza el valor de q ' 0 (0 ) , convenientemente para estanques con

H /R baja o sea, estanques más flexibles en que m0≈mf y por lo tanto mr=0.

Para transformar las componentes del anillo de fuerza en tensiones es necesario

dividirlas por el espesor uniforme del manto t, luego las distintas tensiones

horizontales serán:

21

1. Hidrostática:

f hh=N θh

t

2. Convectiva

f hc=Nθc

t

3. Impulsiva rígida

f hi 0=N θi0

t

4. Vertical

f hv=Nθv

t

Además de los esfuerzos de corte mencionados anteriormente, las distintas

componentes de presión actúan también generando el momento vertical M z (ver

figura: “tensiones en el manto producto de las presiones internas”) las distintas

componentes están dadas por:

M zj=M znj∗R∗P j∗t

M znjes un factor adimensional que explica cómo se distribuye este momento en la

altura, para los distintos modos j, cuyas ecuaciones para los valores máximos de

este factor se entregan en el punto B.7. Del anexo B.

P jes la presión representativa del modo j, y tomando los mismos valores que en

el caso anterior, tenemos que las componentes de los momentos en unidades de

fuerza son:

1. Hidrostática:

M zh=M znh∗R∗Ph (0,0 )∗t

22

M zh=M znh∗γ l∗R∗H∗t

2. Convectiva:

M zc=M znc∗R∗Ph ( H ,0 )∗t

M zc=0.837∗M znc∗C (T1 )∗γ l∗R2∗t

3. impulsiva rígida:

M zi 0=M zni∗R∗Pi0 (0,0 )∗t

M zi 0=M zni∗q0 (0 )∗C (T 0 )∗γ l∗R2∗t

4. vertical

M zv=M znh∗R∗Pv (0 )∗t

M zv=M znh∗C (T v )∗γl∗R∗H∗t

Para calcular las tensiones debido a los momentos actuando sobre el espesor del

manto, debemos dividir M z por el módulo de la sección Z, que para el caso de una

placa de espesor t será:

Z=t 2

6

Luego tendremos que las tensiones por curvatura para cada componente serán:

1. Hidrostática:

f bh=6∗M zh

t 2

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2. Convectiva:

f bc=6∗M zc

t 2

3. Impulsiva rígida:

f bio=6∗M zio

t 2

4. Vertical:

f bv=6∗M zv

t 2

Estas últimas tensiones habría que combinarlas con la fuerza axial debido al peso

propio del estanque y su tapa:

f bz=(mw+mt )∗g

2∗π∗R∗t

Ya habiendo obtenido las distintas contribuciones máximas de los modos

convectivos, impulsivos y vertical, para el cálculo de las tensiones horizontales y

verticales sobre el manto del estanque, es importante reconocer el hecho de que

cada valor máximo ocurrirá en instantes de tiempo distintos y, además ocurrirán a

alturas diferentes a lo alto del manto. Por esto, para obtener las tensiones finales,

se puede utilizar el método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados

(RCSC):

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f h ,max=f hh+√ f hc2+ f hif

2+ f v2

f b ,max=f bh+√ f bc2+ f fif

2+f bv2+f bz

Tensión al pie del manto (ver referencia NZSEE, comentario C3.4)

Una suposición previa al diseño, es que el estanque no tendrá problemas de

“uplift”, ya sea porque el momento restitutivo del propio estanque MR dado por:

MR=(mw+mt )∗R∗g

Es mayor que el momento volcante MOT, o porque el estanque se encuentra

anclado. De esta forma, la tensión adicional y los desplazamientos resultantes de

las fuerzas de volcamiento serán calculados considerando el estanque como una

viga en voladizo vertical. Luego, la tensión de trabajo en la base será:

f m=MOT

Z

Donde,

Z: modulo de la sección del estanque:

Z=π∗( R+t )2∗t

Donde,

R+t: radio promedio del estanque y el muro.

t= espesor de la pared del estanque en la base.

Efectos del “uplift” (ver referencia NZSEE, comentario C.3.4.2)

Estanques sin “uplift”

Como vimos en el punto de “tensión al pie del manto”. Estos son estanques

adecuadamente anclados a la fundación o son estanques no anclados para los

cuales el momento restitutivo MR , basado en tensiones gravitacionales en las

paredes del estanque en la base, es mayor que el momento volcante de diseño

25

MOT que resulta de las fuerzas sísmicas. Para este tipo de estanques, la tensión

en el manto en la unión con la base, viene dada por la ecuación para calcular f m .

Estanques con “uplift”.

Son aquellos estanques no anclados donde MOT es mayor que MR cuando este

se calcula como se describió en el punto “tensiones al pie del manto”. La

respuesta de estos estanques será estudiada considerando la modificación del

comportamiento producto del “uplift” de parte de su base.

El primero efecto del “uplift” es el aumento de la tensión axial de compresión en el

manto f max. También existen efectos como grandes desplazamientos de la base

levantada, fluencia de la unión de la base y el manto, esfuerzos en la base e

imperfecciones de la geometría del manto. Todo este comportamiento, según el

grupo de estudio de la NZSEE, no ha sido comprendido del todo y el cálculo de las

fuerzas de diseño de un estanque que se está volcando, fue restringido a un

análisis semi-estático antes que a métodos dinámicos.

A continuación se describe una versión modificada del método presentado en

Clough, no está comprobado por el grupo de estudio de la NZSEE que este

método entregue valores conservadores para el cálculo de la tensión máxima en el

manto, pero es recomendado como el que mejor describe el mecanismo de

balanceo de un estanque cilíndrico.

Según la figura: “fuerzas restitutivas para estanque con “uplift””, el momento

volcante MOT, es resistido por la acción de tres

Fuerzas W s ,W fy w:

MR=W s∗k∗R+W f∗( R−r )

26

Donde,

MR= Momento resistente.

W= Peso total del fluido.

W f= Peso del fluido soportado directamente por la fundación sobre el área de

radio r que no se levanta.

W w= Peso del manto y la tapa.

W s = W+W w−W f = Reacción de compresión en el manto basal.

R= Radio del estanque.

q¿= Mitad del Angulo que define al arco del manto basal en contacto con la

fundación.

kR= Distancia desde el centro de la reacción de la compresión a la línea central

del estanque.

r= Radio de la zona que no ha sufrido levantamiento.

Figura: Fuerzas restitutivas para estanque con “uplift”.

Fuente: NZSEE.

MR se calcula en un proceso iterativo dado por:

27

1. Tomar un valor para μ=rR

2. Calcular θ¿=arc tan( μ

1−μ )3. Calcular k= 2

θ¿2∗(1−cos (θ¿ ) )

4. Calcular MR=R∗W∗(k∗(1+W w

W )+(1−k )∗μ2−μ3)Esto se repite hasta que MR=MOT

Tensión axial en el manto

La tensión axial máxima en el manto se calcula como:

f max=C∗W s

R∗θ¿∗t∗CF

Donde,

C= Factor de rigidez de la fundación

C= 1.0 para fundación rígida

C= 0.5 para fundación flexible

W s=W+W w−W f=W∗(1+W w

W−μ2)

CF= Factor de calibración cuyo valor sugerido por NZSEE es 2.5, obtenido

comparando resultados de Clough con aquellos obtenidos experimentalmente.

Tensión radial en la base

Una estimación de la tensión f rb en la placa basal como resultado del “uplift” es

deducida por Cambra.

28

f rb=1tb∗√ E∗tb∗Ph

2∗2∗R2∗(1−μ )2

3

Donde,

t b= Espesor de la placa basal en la región con “uplift”

E= E

1−υ2

E= Modulo de Young

Ph= Presión hidrostática en la base.

En estanques no anclados, la tensión máxima en la placa basal tendrá tolerancias

por el estado biaxial de tensiones que existen en el acero. Cuando se produce

“uplift” en la base, las tensiones que se generan en la placa basal en la zona de

levantamiento, general un anillo de compresiones como reacción. El estado de

tensiones biaxiales reduce la tensión efectiva de fluencia. Mientras no haya un

análisis detallado se recomienda que el comportamiento descrito este basado en

una tensión radial efectiva conservadora de 0.6∗f y.

“uplift” del manto

Una estimación de la magnitud del “uplift” del manto se obtiene usando una

versión modificada de la formula derivada por Cambra, suponiendo que el material

basal fluirá en la unión con el manto:

29

ν= 1C

∗( f by∗t b2

6∗N x

+Ph∗Lb

N x

∗( Lb

2−√ E∗tb

3

12∗N x))

f by = Tensión de fluencia del material basal.

N x=f rb∗t b

Lb=2∗R∗(1−μ )

C=¿Factor de rigidez de la fundación.

El máximo “uplift” (ver referencia NZSEE, comentario C4.4) en estanques

circulares, ν en la base del manto no excederá:

ν≤R2

H

Rotación plástica (ver referencia NZSEE, comentario C4.5.4.4)

La rotación de la rótula plástica que se forma en la unión entre la base y la pared

del estanque no debe provocar fractura. El máximo ángulo de deformación interno

plástico, en la rótula plástica que se forma en la unión de la placa con el muro, no

excederá 0.05, con una longitud de rotula plástica igual a dos veces el espesor de

la placa base. Esto se traduce en una rotación plástica máxima de:

30

θp=( 0.05t2 )∗2∗t=0.2rad

De la figura 3.15 la rotación plástica requerida para un cierto “uplift” νy una

separación basal de Lbes:

θp=( 2∗νLb

−ν2∗R )≤0.2

Si θpexcede este límite, se puede reducir aumentando el espesor de la placa base,

lo cual reduce la νpara un Lb dado. Si el espesor de la placa base superara el del

manto, será necesario anclar el estanque para evitar el “uplift”.

Tensiones admisibles (ver referencia NZSEE, comentario C.4.5)

Las medidas presentadas se basan en el criterio de resistencia ultima, limitada por

pandeo o fluencia, a diferencia del API 650 11° edición que incluye factores de

seguridad, intentando acercar lo más posible la resistencia a la carga de diseño

para una cierta probabilidad de exceder el sismo de diseño.

31

Las tensiones de trabajo no deben superar la tensión mínima necesaria para

producir pandeo elástico o inelástico de la fibra en compresión (pandeo en “forma

de diamante”), pandeo en fibras de corte, colapso elasto plástico en la base de las

paredes (“pata de elefante”) o fluencia del material bajo momento o el anillo de

fuerzas. Las recomendaciones se basan en resultados experimentales y teorías de

pandeo de mantos cilíndricos desarrollados por Rooter.

Pandeo en fibras en compresión

f mc

f cl

≤0.19+0.81∗f p

f cl

Donde,

f p=f cl∗√1−1− p5

2

∗(1− f 0f cl

2

)≤ f cl

f cl=0.6∗E∗t

R

P= p∗Rt∗f cl

≤5

Ocupar:

f 0=f y∗(1− λ2

4 )Cuando:

λ2=f y

σ∗f cl

≤2

Ocupar:

f 0=σ ¿ f cl

32

λ2=f y

σ∗f cl

>2

σ=1−ᴪ∗( δt )∗(√1+ 2

ᴪ∗( δt )−1)

f cl= Tensión clásica de pandeo por compresión para cilindros perfecto-elásticos

bajo carga axial.

f m,c = Tensión de pandeo por flexo-compresión con presiones internas.

f p = Tensión de pandeo por compresión con presiones internas.

f 0 = Tensión de pandeo por compresión sin presiones internas.

t= Espesor del manto.

δt

= razón entre la máxima amplitud de imperfección y el espesor del muro

ᴪ= 1.24 para pandeo por compresión.

El pandeo en el manto es función de las presiones internas, la variación

circunferencial de las tensiones axiales y sobre todo de la amplitud de las

imperfecciones δt

en las paredes.

Estas imperfecciones disminuyen la tensión de pandeo a una fracción de la

tensión clásica de pandeo f cl, efecto que se encuentra representado por las

ecuaciones para calcular f 0 en cualquier condición y σ. Para tensiones de pandeo

mayores a0.5∗f y (estanques relativamente gruesos). El pandeo es esencialmente

33

inelástico gobernando la ecuación para calcular f 0 cuando λ2≤2, y para tensiones

de pandeo menor (estanques de paredes relativamente delgadas) gobierna la

ecuación para calcular f 0 cuando λ2≤2. las presiones internas disminuyen la

amplitud de la imperfección por tanto aumentan la tensión de pandeo.

Este efecto se aprecia en la ecuación para calcular f 0 en función de la razón P.

La variación circunferencial de las tensiones axiales reduce la probabilidad de que

coincidan la máxima tensión y la máxima imperfección, aumentando nuevamente

la tensión de pandeo. Es por esto que la carga de pandeo asociada a la

compresión inducida por curvatura producto del accionar de las presiones internas,

excede aquella donde la compresión es generada por carga axial. Sin embargo, en

ambos casos, la tensión clásica de pandeo f cl es el límite superior. La ecuación en

donde se calcula f mc

f cl

muestra el incremento en la tensión de pandeo debido a la

tensión axial inducida por momento antes que por carga axial.

Estimación de la imperfección

En ausencia de mejores registros del nivel de imperfección. Rotter sugiere:

δt=0.06

a∗√ R

t

Donde,

a= 1 para construcción normal.

a= 1.5 para construcción de calidad

a= 2.5 para construcción de alta calidad.

Colapso elasto plástico

La tensión de pandeo elasto plástico f mcp, fue desarrollada por Rooter:

34

f mcp≤ f cl∗(1−( p∗Rt∗f y

)2

)∗(1− 11.12+s1.5 )∗( s+ f y

250s+1 )

Donde,

s=

Rt400

Hacia el fondo del estanque, el acero sometido a un estado biaxial de tensiones

consiste en un anillo de tensión y (en el peor caso) de compresión vertical, como

se muestra en la figura: “fuerzas en el manto del estanque”. Deformaciones

radiales bajo presiones internas cran una excentricidad adicional, tendiendo a

producir las llamadas “patas de elefante”.

Figura: fuerzas en el manto del estanque.

Fuente: NZSEE.

La ecuación para calcular f mec entrega un cálculo preciso de la tensión necesaria

para iniciar el colapso elasto plástico o las llamadas “patas de elefante” en la zona

de la base del manto. La función de las presiones internas en la ecuación para

calcular f mec es reducir la tensión máxima de compresión. La figura: “Comparación

de la tensión de pandeo elástico y colapso elastoplástico”. Compara las tensiones

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de flexo-compresión necesarias para inducir pandeo elástico o colapso elasto

plástico. Excepto para tubos de paredes gruesas, el pandeo elástico es crítico para

bajos valores de la tensión circunferencial p∗Rt

en el manto.

A medida que esta tensión aumenta cerca de los 100 Mpa, el colapso elasto

plástico se vuelve el tipo de falla dominante. La figura: “Comparación de la tensión

de pandeo elástico y colapso elastoplástico”. Corresponde al caso a=1, si la

calidad de construcción empeorara y la amplitud de imperfecciones excediera el

valor dado por la δt

para a=1, el pandeo elástico pasaría a controlar para tensiones

mayores en la membrana, desplazando el límite de 100 Mpa a un valor mayor.

Fluencia del material

La fluencia es evitada si:

f h ,max< f y

f b ,max<f y

Donde,

f h ,max= Tensión del anillo de tensiones.

f b ,max= Tensión debido al momento vertical.

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Figura: Comparación de la tensión de pandeo elástico y colapso

elastoplástico.

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