3．連続型の確率変数と確率密度に慣れよう...156 確率変数には飛び飛びの値をとる“離 りさんがた 散型のもの”と, “連 れんぞくがた

156

　確率変数には飛び飛びの値をとる“離り さ ん が た

散型のもの”と , “連れんぞくがた

続型のもの”

とがあるんだよ。前章まではすべて離散型の確率変数ばかりを勉強してき

たけれど , 今回は連続型の確率変数について勉強していこう !

3．連続型の確率変数と確率密度に慣れよう !

●　確率密度の意味をマスターしよう !

離散型の確率分布

図 1 (ⅰ) に示すように , 円周上に

6 つの目盛り π , 2 π , …… , 2π

がつけてあり, この 6 点を同様に

確からしく針がカチカチ…と指す

場合を考える。これらの目盛りを

確率変数 X とおくと X ＝ π , 2 π ,

…… , 2π となる確率は, 図 1(ⅱ)

のようにすべて 1 となる。

これはいいね ?

連続型の確率分布

次 , 図 2 (ⅰ) に示すように , 同じ

円周に対して針が自由にクルクル

と回って, 無作為にある 1 点に止ま

　まず , 離散型と連続型の確率分布

の違いを例で示すよ。

(Ⅰ)

(Ⅱ)

(ⅱ) 確率分布

る場合を考える。このとき, 針が X ＝ x (0 ≦ x ＜ 2π ) の点を指す確率を

計算できる ? そう。今回は円周上には連続的に無限に点が並んでいる

ので, X ＝ x となる確率は x の値に関わらず常に 0 ( ＝ 1 ) となるんだね。∞

図 1 (Ⅰ) 離散型確率分布の例

(ⅰ)

図 2 (Ⅱ) 連続型確率分布の例

3 3

3 3

6

確率 P

X

X ＝ 2π

0

16

π3π

2π3

4π3

5π3

π3

π

2π5π3

2π3

4π3

カチ , カチ , …と

針が動く ! 離散型

確率変数

(ⅱ) 確率密度(ⅰ)X ＝ 0 (2π )

xX ＝ x

クルクル …と

針が動く !

x2π0

f (x )f (x)＝ 1

2π12π

f (x)＝0f (x)＝0

連続型

確率変数

　でも, x が 0 ≦ x ≦ π の範囲に入る確率は, 60˚ ＝ 1 とすぐに求まるだろ

う ? 一般に連続型の確率計算では, 確率変数 X が a ≦ X ≦ b の範囲3 3

に入る

3 360 ˚ 6

157

講義

講義

講義

123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

確率 P(a ≦ X ≦ b) を, P(a ≦ X ≦ b) ＝ ∫ f (x)dx の定積分3 3 3

の形で表すんだよ。

この被積分関数 f (x) のことを“確かくりつみつどかんすう

率密度関数”または“確かくりつみつど

率密度”と呼ぶ。

　図 2 の例では, 確率変数 X が, 0 ≦ X ＜ 2π の範囲に入る確率が全確率 1 で

あり, また, この範囲内のどの点に対しても針は同様に確からしく指すはずだ

から, この確率密度 f (x) は f (x) ＝ c ( 定数 ) と定数関数になるはずだ。よって,

　∫ f (x) dx ＝ c[x] ＝ 2π c ＝ 1 ( 全確率 ) となるね。

　∴ c ＝ 1 より, この確率密度 f (x) は f (x) ＝ 1 (0 ≦ x ＜ 2π ) となる。当然,

x＜0, 2π ≦ x のとき f (x) ＝ 0 だね。( 図 2 (ⅱ) を参照してくれ。)

それでは, 連続型確率変数と確率密度について, まとめておこう。

x

b

a

連続型確率変数 X が a ≦ X ≦ b となる確率 P (a ≦ X ≦ b ) は次式で

表される。

P(a ≦ X ≦ b ) ＝∫ f (x )dx (a ＜ b )

このような関数 f (x ) が存在する

と き , f (x ) を“確率密度” と 呼

び , 確 率 変 数 X は 確 率 密 度 f (x )の連続型確率分布に従うという。

ま た， y ＝ f (x ) の グ ラ フ を X の

分ぶんぷきょくせん

布曲線と呼ぶ。

この面積 ∫ f (x )dx

が確率 P (a ≦ X ≦ b)を表す !

b

a

ba

連続型確率変数

確率密度関数

y ＝ f(x)

a

b

2π 2π

2π

00

2πc

注意　　　連続型確率分布では , X ＝ x のように表す場合がよくある。この

場合 , 「確率変数3 3

X が , ある値3

x である」というように考えるといいよ。

ただし , 確率密度 f (x ) では , x は変数3 3

として扱われる。このような独特

の表現法にも慣れていくことだね。

ここに等号をつけてもかまわない。どうせ X ＝ 2π となる確率は 0 だからね。

連続型確率変数 X と確率密度 f (x )

158

連続型確率分布の 4 つの性質を下に示すよ。

(ⅰ) P(X ＝ a ) ＝ 0　　(ⅱ) f (x ) ≧ 0　 (ⅲ) ∫ f (x ) dx ＝ 1 ( 全確率 )

(ⅳ) ∫ f (x ) dx ＝ P(a ≦ X ≦ b) ＝ P(a ＜ X ≦ b)

＝ P(a ≦ X ＜ b) ＝ P(a ＜ X ＜ b)

∞

−∞

x ＝ a となる

確率は 0

b

a

●　連続型確率分布の期待値と分散を押さえよう !　確 率 密 度 f ( x ) に 従 う 確 率 変 数 X の期待値 (平均 ) m ＝ E ( X ) と分散

σ 2 ＝ V ( X ) と標準偏差 σ ＝ D ( X ) の定義式と計算式を次に示す。

“シグマの 2 乗”と読む “シグマ”と読む

確率密度 f (x) に従う連続型確率変数 X の

期待値, 分散, 標準偏差は次のようになる。

(1) 期待値 m ＝ E (X ) ＝∫ x f (x ) dx

(2) 分散 σ 2 ＝ V (X ) ＝∫ (x − m ) 2f (x ) dx

＝ E (X 2) − {E (X )} 2

(3) 標準偏差 σ ＝ D (X ) ＝ √V (X )

∞

−∞

∞

−∞ m

期待値

確率密度

y ＝ f(x)

xm −σ m ＋σ

離散型確率変数 X の場合のもの , すなわち ,

(1) 期待値 m ＝ E (X ) ＝ Σx kp k (2) 分散 σ 2 ＝ V (X ) ＝ Σ (x k − m) 2p k

(3) 標準偏差 σ ＝ D (X ) ＝ √V (X ) と対比して覚えよう !

期待値 m , 分散σ 2, 標準偏差 σ を求める場合 , 離散型3 3 3

のものの Σ3

計算3 3

が , 連3

続型3 3

のものでは積分計算3 3 3 3

に変わっていることに注意しよう。

k ＝ 1

n

k ＝ 1

n

X ＝ a, X ＝ b となる

確率は 0 なので, 等号はあってもなくて

も同じになる。

連続型確率分布の性質

X の期待値・分散・標準偏差

159

講義

講義

講義

123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

Y ＝ aX ＋ b (a , b：実数定数 ) により , Y を新たに定義すると ,

(1) 期待値 E (Y) ＝ E (aX ＋ b ) ＝ aE (X ) ＋ b

(2) 分散 V (Y) ＝ V (aX ＋ b ) ＝ a 2V (X )(3) 標準偏差 D (Y) ＝ √V (Y) ＝ √a 2V (X ) ＝ a √V (X ) ＝ a D (X )

離散型のときと同様に連続型確率変数においても , E (X ) ＝∫ x f (x )dx と

定義すると , E (X 2) ＝∫ x 2 f (x )dx などとなるのは大丈夫だね。これから

(2) の分散 σ 2 も次のように変形できるんだね。

(2) σ 2 ＝ V (X ) ＝∫ (x − m) 2 f (x )dx ＝∫ (x 2 − 2mx ＋ m 2) f (x )dx

＝∫ x 2 f (x )dx − 2m∫ x f (x )dx ＋ m 2∫ f (x )dx

＝ E (X 2) − 2m 2 ＋ m 2 ＝ E (X 2) − m 2

＝ E (X 2) − {E (X )} 2 が導けた !さらに , 確率変数 X を使って , 新たな確率変数 Y を Y ＝ aX ＋ b (a , b：実数

定数 ) と定義したとき , Y の期待値 E (Y) , 分散 V (Y) と標準偏差 D (Y) は

次のようになる。この結果も離散型のときのものと同様だから覚えやすい

はずだ。

∞

−∞∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

E (X 2) m ＝ E (X ) 1 ( 性質 (ⅲ) より )

{E (X )} 2

離散型の σ 2 と同じ式だね。

(1) E(Y) ＝ E(aX ＋ b) ＝∫ (ax ＋ b) f (x)dx ＝ a ∫ x f (x)dx ＋ b ∫ f (x)dx

＝ aE (X ) ＋ b となる。また ,

(2) V (Y) ＝ V (aX ＋ b ) ＝∫ {(ax ＋ b ) − (am ＋ b )} 2 f (x )dx

＝ a 2∫ (x − m) 2 f (x )dx ＝ a 2V (X ) となるのも大丈夫 ?

∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

E (X ) 1 ( 全確率 )

Y Y の期待値 E (Y)∞

−∞

分散の定義式∞

−∞

∞

−∞

∞

−∞

Y の期待値・分散・標準偏差

160

解答＆解説

CHECK1難易度 ★★ CHECK2 CHECK3絶対暗記問題 56

確率密度 f (x )が，f (x )＝{ax 2 (0 ≦ x ≦ √3，a は正の定数 ) 0 (x ＜ 0，√3 ＜ x )　　 　 　

で定義されている。

このとき， 次の各問いに答えよ。

(1) a の値を求めよ。

(2) 確率密度 f (x ) に従う確率変数 X の期待値 m ＝ E (X ) , 分散 σ 2 ＝ V (X ) , 標準偏差 σ ＝ D (X ) を求めよ。

(3) X を使って新たな確率変数 Y を Y ＝ 4X − √3 で定義するとき，

Y の期待値 E (Y)， 分散 V (Y)，標準偏差 D (Y) を求めよ。

　　　　 確率密度 f (x ) は , x＜0 または √3 ＜x のとき 0 より , 0 ≦ x ≦ √3 で

のみ定義されていると考えればいい。よって, (1)では , ∫0

√3f (x )dx ＝ 1 (全確率)

から, a の値を求めよう。(2)では , 定義式に従って , E (X ) , V (X ) , D (X ) を求

めればいい。(3)では , Y ＝ 4X−√3 より, E (Y) ＝ 4E (X )−√3 , V (Y) ＝ 4 2V (X ) ,

D (Y) ＝ √V(Y) となるんだね。正確に迅速に計算できるように練習しよう。

ヒント！

連続型確率分布の期待値・分散・標準偏差 (Ⅰ)

確率密度 f (x ) ＝ { ax 2 (0 ≦ x ≦ √3 ) 0 (x ＜ 0，√3 ＜ x )

(1) 確率密度の性質より,

∫−∞

∞

f (x )dx ＝ 1 (全確率 )　よって,

∫0

√3ax 2dx ＝ a [ 1 3 x 3]√3

0＝

a 3 (3√3 −0) ＝ √3 a ＝ 1 (全確率 )

∴a ＝1 √3 となる。…………………………………………………………………(答)

∫−∞

0f (x )dx ＋∫

0

√3f (x )dx ＋∫

√3

∞

f (x )dx

00

0 x

y

f (x)＝0 f (x)＝0

f (x )＝ax 2

∫0

√3f (x )dx ＝ 1

√3

161

講義

講義

講義

123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

(2) f (x ) に従う確率変数 X の期待値 E (X ) , 分散 V (X ) , 標準偏差 D (X ) は,

m ＝ E (X ) ＝∫−∞

∞

x・f (x )dx ＝∫0

√3x・ 1 √3 x 2dx ＝

1 √3 ∫0

√3x 3dx

＝1 √3 [ 1 4 x 4]√3

0＝

1 4√3 {(√3 )4−0} ＝9 4√3

＝3√3 4 …………(答)

σ 2 ＝ V (X ) ＝ E (X 2)−{E (X )}2 ＝∫0

√3x 2・

1 √3 x 2dx−( 3√3 4 )2

＝1 √3 [ 1 5 x 5]√3

0−

27 16 ＝(√3 )5

5√3−

27 16 ＝9 5 −

27 16

＝9×16−27×5 80 ＝

144−135 80 ＝9 80 ……………………………(答)

σ ＝ D (X ) ＝√V(X) ＝ √ 9 80 ＝ √32 √42×5

＝3 4√5

＝3√5 20 ……………………(答)

(3) X を使って定義された確率変数 Y ＝ 4X − √3 の期待値 E (Y) , 分散 V (Y) ,

標準偏差 D (Y) を求めると,

E (Y) ＝ E (4X − √3 ) ＝ 4E (X ) − √3

＝ 4 ×3√3 4 − √3 ＝ 3 √3 − √3 ＝ 2 √3 …………………………………(答)

V (Y) ＝ V (4X − √3 ) ＝ 4 2V (X )

＝ 16 ×9 80 ＝

9 5 ………………………………………………………………(答)

D (Y) ＝ √V(Y) ＝ √ 9 5 ＝3 √5

＝3√5 5 …………………………………………(答)

公式：

E (aX＋b ) ＝ aE (X )＋b

9 80

3√3 4

3√3 4

9√3

公式：

V (aX＋b ) ＝ a 2V (X )

162

連続型確率分布の期待値・分散・標準偏差 (Ⅱ)CHECK1難易度 ★★ CHECK2 CHECK3絶対暗記問題 57

確 率 密 度 f (x ) は x ＜ 0, 2 ＜ x の と き 0 よ り , 0 ≦ x ≦ 2 で の み 定

義されていると考えればいいんだよ。よって , (1) ∫ f (x )dx ＝ 1 ( 全確率 ) か

ら , a の値が求まる。(2) E (X ) , V (X ) , D (X ) の定義式 , 計算式に従って計算し

よう。(3) 公式 E (Y) ＝ pE (X ) ＋ q , D (Y) ＝ p D (X ) を使って解けばいい。

解答＆解説

確率密度 f (x ) が，f (x ) ＝ で定義されている。

このとき，次の問いに答えよ。( ただし，a は正の定数である。)(1) a の値を求めよ。

(2) 確率密度 f (x ) に従う確率変数 X の期待値 m ＝ E (X ) , 分散 σ 2 ＝ V (X ) , 標準偏差 σ ＝ D (X ) を求めよ。

(3) X を使って新たな確率変数 Y を Y ＝ pX ＋ q (p，q：定数， p ＞ 0) で定

義する。Y の期待値 E (Y) と標準偏差 D (Y) がそれぞれ E (Y) ＝ 0，

D (Y) ＝ 1 となるように p， q の値を定めよ。 ( 東京都立大＊ )

(0 ≦ x ≦ 2)ax (2 − x )0{ (x ＜ 0, 2 ＜ x)

2

0

確率密度 f (x ) ＝(0 ≦ x ≦ 2)a (2x − x 2)

0{ (x ＜ 0, 2 ＜ x)

確率密度の性質より ,

∫ f (x )dx ＝ 1 ( 全確率 ) よって ,

∫ f (x )dx ＝ ∫ a (2x − x 2)dx ＝ a [x 2 − 1 x 3] ＝ a (4 − 8 ) ＝ 4 a ＝ 1 ( 全確率 ) ∴ a ＝ 3

(1)∞

−∞

3 3 4

2

0

2

0

2

0

…………(答)

∫ f (x )dx ＋ ∫ f (x )dx ＋ ∫ f (x )dx0

−∞

0

2

0

∞

2

0

0 x1

f(x) ＝ 0 f(x) ＝ 0

y 確率密度

f (x ) ＝ − ax (x − 2)

2

期待値 E (X )

3

a

ヒント！

163

講義

講義

講義

123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

f (x ) に従う確率変数 X の期待値 E (X ) , 分散 V (X ) , 標準偏差 D (X ) は ,

m ＝ E (X ) ＝∫ x f (x )dx ＝∫ x f (x )dx ＝ 3 ∫ (2x 2 − x 3)dx

＝ 3 [ 2 x 3 − 1 x 4] ＝ 3 (16 − 4) ＝ 3 ・ 4 ＝ 1

σ 2 ＝ V (X ) ＝ E (X 2) − {E (X )} 2 ＝ ∫ x 2 f (x )dx − 1 2

＝ 3 ∫ (2x 3 − x 4)dx − 1 ＝ 3 [ 1 x 4 − 1 x 5] − 1

＝ 3 (8 − 32) − 1 ＝ 3 ・ 8 − 1 ＝ 6 − 1 ＝ 1

σ ＝ D (X ) ＝ √V (X ) ＝ √ 1 ＝ 1 ＝ √5

X を使って , 新たな確率変数 Y を Y ＝ pX ＋ q (p , q：定数 , p ＞ 0) で定

義するとき , 期待値 E (Y) ＝ 0, 標準偏差 D (Y) ＝ 1 となるので ,

E (Y) ＝ E (pX ＋ q ) ＝ p E (X ) ＋ q ＝ p ＋ q ＝ 0

D (Y) ＝ D (pX ＋ q ) ＝ p D (X ) ＝ p・ 1 ＝ 1 ( ∵ p ＞ 0)

以上より , p ＋ q ＝ 0, p ＝ √5 より

p ＝ √5 , q ＝ − √5

(2)∞

−∞ 42

0

2

03 (2x − x 2)4

4 43 4 3 4 3 ………………(答)

分布の対称性から , 当然の結果だね。

12

03 (2x − x 2)4

42

0 4 522

0

4 5 4 5 5 5 …………………………(答)

5 √5 5 ……………………………………(答)

(3)

{1

√5

……………(答)

確率変数 X の期待値を m ＝ E (X ) , 標準偏差を σ ＝ D (X ) とする。

このとき , 新たな確率変数 Y を Y ＝ X − m で定義すると ,

Y の期待値 E (Y) ＝ 0, 標準偏差 D (Y) ＝ 1 となることも覚えておこう。

なぜなら

E (Y) ＝ E ( 1 X − m) ＝ 1 ・E (X ) − m ＝ 0

D(Y) ＝ D ( 1 X − m) ＝ 1 ・D (X ) ＝ 1 ・σ ＝ 1 ( ∵ σ ＞ 0) となるからだ。

σ

σ σ σ

σ σ σ

σ

σ{

このように変数を変換することを変数の“標準化”という

σ

m

2

0

公式：

∫ x ndx ＝ 　1 　 x n ＋ 1 ＋ Cn ＋ 1

を使った。

参考

Y ＝ X − m ＝ X − 1

＝ √5(X − 1) ＝ √5X − √5 のこと

σ 1√5

p q

164

4．正規分布と標準正規分布をマスターしよう !

●　正規分布の確率密度 f N(x ) をマスターしよう!

　離散型の二項分布3 3 3 3 3 3 3 3

B (n , p ) の n を大きくしていくと , 近似的に連続型の3 3 3 3

正規分布3 3 3 3

N (m , σ 2) になることがわかっている。今回は , 連続型の確率分

布の中でも最も重要なこの“正せ い き ぶ ん ぷ

規分布”と , その確率変数を標準化して得

られる“標ひょうじゅんせいきぶんぷ

準正規分布”について , 教えるつもりだ。

二項分布 B (n , p ) を表す確率分布の関数を P B(x ) とおくと ,

　P B(x ) ＝ nC x p xq n − x (x ＝ 0, 1 , 2 , … , n ) になるのはいいね。

この P B(x ) は , x ＝ 0, 1 , 2 , … , n と離散的な確率変数の確率分布なんだけ

れど , ここで n を 50, 100, … と十分に大きくとり , そして x を連続的な確

率変数とみなすことにより , 次のような“正規分布”と呼ばれる確率分布

になることがわかっている。この正規分布は , その期待値 ( 平均 ) m と分

散 σ 2 を使って N (m , σ 2) と表され , その確率密度を f N(x ) とおくと , f N(x )は次のように表される。

期待値 m ＝ E (X ) ＝ np , 分散 σ 2 ＝ V (X ) ＝ npq だったね !

正規分布 N (m , σ 2) の確率密度 f N(x ) は

f N(x ) ＝ 1 e …(＊) であり ,

(x：連続型の確率変数 , − ∞ ＜ x ＜ ∞ )その期待値と分散は ,

E (X ) ＝ m , V (X ) ＝σ 2 である。

初めて , 正規分布 N (m , σ 2) の確率密度 f N(x ) を見ると , ほとんどの人が

「ヒェ 〜 !」ってことになると思う。この (＊) の右辺の e はネイピア数と

呼ばれる定数で，微分積分では重要な定数なんだけれど，この意味につい

ては，数学Ⅲの講義で解説しよう。今は，e は，e ≒ 2.72 の定数であるこ

とだけ頭に入れておいてくれたらいいんだよ。

−(x − m) 2

2σ 2

√2πσ

正規分布の確率密度

f N(x ) ＝ 1 e −(x − m) 2

2σ 2

√2πσ

m −σ m ＋σ xmm ＋ 2σm − 2σ

正規分布 N (m , σ 2)

165

講義

講義

講義

123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

　さらに , 理論的な証明は難しい

んだけれど , 平均 m , 分散 σ 2 の同

一 の 確 率 分 布 か ら 取 り 出 さ れ た

n 個の変数 X 1, X 2, … , X n の相加

平 均 を X ＝ X 1 ＋ X 2 ＋ … ＋ X n と

おくと , n が十分大きいとき , こ

の X は正規分布 N (m , σ2 ) に従

う こ と が わ か っ て い る。 これを

“中ちゅうしんきょくげんていり

心極限定理”という。

　このように正規分布 N (m , σ 2) は , 連続型の確率分布として , 非常に重要

なものなので , その確率密度 f N(x ) ＝ 1 e を何回も自分で書いて,

頭にたたき込んでおくことを勧める。

　具体的に，正規分布 (10, 25) の確率密度 f N(x ) は，m ＝ 10, σ 2 ＝ 25(σ

＝ 5) なので , f N(x ) ＝ 1 e 　となるんだね。これで，少しは慣れ

たかな ?

図 1 中心極限定理のイメージ

平均 m , 分散 σ 2 の n 個の同一の分布

X ＝X 1 ＋ X 2 ＋ …… ＋ X n とおくと ,

X は正規分布 N (m , σ2 ) に従う。

n

n

X 1 X 2 X n

X 1 X 2 X n

……

……

xm − σ m ＋ σm

X の従う確率密度

√n

n

n

本 格 的 に 勉 強 し た い 人 は , 「統計学キャンパス・ゼミ」( マセマ ) を読むと い い よ。 も ち ろ ん , 大 学 に 入 っ て

からだね。

−(x − m) 2

2σ 2

√2πσ

平均 分散

√n

　でも，この正規分布 f N(x ) ＝ 1 e のグラフは , 平均 m に関して

左右対称なキレイなすり鉢ばち

型になっており，その分散は σ 2 ( 標準偏差は σ )の確率密度関数なんだね。たとえば，たく山の学生がある数学のテストを

受けたとき，その得点分布が，この正規分布に近い形になることも，経験

的によく知られているんだね。

−(x − m) 2

2σ 2

√2πσ

−(x − 10) 2

505√2π

166

　このように , 変数 X から , 変数 Z ＝ X − m に変換することを , 確率変数を

“標準化”するといい , この標準化した変数 Z が従う正規分布 N (0 , 1) の

ことを特に“標準正規分布”と呼ぶ。

　これは , 確率密度の計算でも確認できる。一般の正規分布 N (m , σ 2) の

確率密度を f N(x ) , 標準正規分布 N (0 , 1) の確率密度を f S(z ) とおくよ。

まず , 確率密度 f N(x ) の重要な性質から ,

　 ∫ f N(x ) ＝ 1 ∫ e dx ＝ 1 ( 全確率 )

だったね。ここで , z ＝ x − m と , x から z に置換すると ,

x： − ∞→∞のとき , z： − ∞→∞となる。また

x ＝σ z ＋ m より , dx ＝σ となる。よって , ①は ,

1 ∫ e dx ＝ 1 ∫ e ・ dx dz

＝ 1 ∫ e dz ＝ ∫ 1 e dz ＝ 1 ( 全確率 ) となる。

これから , 標準正規分布 N (0 , 1) の確率密度 f S(z ) は

f S(z ) ＝ 1 e

となるんだね。

どんな正規分布 N (m , σ 2) に従う変数 X も , Z ＝ X − m と標準化すること

により , 標準正規分布 N (0 , 1) ( 確率密度 f S(z ) ＝ 1 e ) にもち込むこ

とができる。ここで, u をある 0 以上の定数とおくよ。そして, z ≧ u となる

確率 P(z ≧ u) を α とおくと, 図 2 に示すように,

α ＝ P(z ≧ u) ＝ ∫ f S(z )dz ＝ 1 ∫ e dz

となる。だけど , 残念ながら , この積分は高校

σ

∞

−∞

−(x − m) 2

2σ 2

√2πσ……①

σ

dz

√2πσ

∞

−∞

− 12 ・

(x − m) 2

σ 2

z 2

dz√2πσ

∞

−∞

1 z 2

2

σ

√2π

∞

−∞

− z 2

2

√2π

∞

−∞

− z 2

2

f S(z )：標準正規分布 N (0 , 1) の確率密度

− z 2

2

√2π f S(z ) ＝ 1 e と書き換えると ,

m ＝ 0, σ 2 ＝ 1 の N (0 , 1) になっていることがわかるね。

√2π・ 1σ

−( z − 0 ) 2

2・1

σ 2

m

σ− z 2

2√2π

∞

u √2π

∞

u

− z 2

2

zu0

f S(z ) 確率 α

図 2 標準正規分布における 確率 α ＝ P(z ≧ u )

∞

−∞

−

　正規分布 N (m , σ 2) に従う確率変数 X の平均は E (X ) ＝ m , 標準偏差は

D (X ) ＝σ となるので , この X を使って , 新たな確率変数 Z を Z ＝ X − m と

定義すると , Z は平均が 0, 分散が 1 ( 標準偏差が 1) の正規分布に従うこと

は大丈夫 ? つまり ,

　E (Z) ＝ E ( 1 X − m ) ＝ 1 E (X ) − m ＝ m − m ＝ 0

　V (Z) ＝ V ( 1 X − m ) ＝ 1 V (X ) ＝ σ 2＝ 1

　 ( よって , D (Z) ＝ √V (Z) ＝ 1) となるんだね。

●　標準正規分布N (0 , 1) は， 数表で示されている!

σ

σ σ

σ σ σ 2

σ σ σ σ

σ 2

m

σ 2

　このように , 変数 X から , 変数 Z ＝ X − m に変換することを , 確率変数

を“標ひょうじゅんか

準化”するといい , この標準化した変数 Z が従う正規分布 N (0 , 1 )のことを特に“標

ひょうじゅんせいきぶんぷ

準正規分布”と呼ぶ。

σ

167

講義

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123

平面ベクトル

空間ベクトル

数列

講義

4確率分布と統計的推測

確率変数 X は , 正規分布 N ( 2 , 16 ) に従うので , これを標準化すると ,

Z ＝ X − 2 となる。

X ≧ 4 となる確率 P(X ≧ 4) は , X − 2 ≧ 4 − 2, X − 2 ≧ 4 − 2 より ,

P(z ≧ 0 .5) に等しい。

よって , 表 1 より , P(z ≧ 0 .5) ＝ 0 .3085 となる。

P(X ≧ 4) ＝ P(z ≧ 0 .5) ＝ 0 .3085

◆ 例題 13 ◆

確率変数 X が正規分布 N (2 , 16) に従うとき , 確率 P(X ≧ 4) を求めよ。

( ただし , 上記の表 1 を用いてよいものとする。)

数学の範囲では解けないんだね。

　でも心配は要い

らない。試験では 0 以上

の各定数 u の値に対して ,

確率 α ＝ P(z ≧ u ) の値が表 1 に示すよう

に 与 え ら れ る の で , こ の 表 を 利 用 し て ,

実際に問題を解いていけばいいんだよ。

　では , 例題で練習してみよう !

u α ＝ P(z ≧ u )0.0 0.50000.1 0.46020.2 0.42070.3 0.38210.4 0.34460.5 0.3085

… …

表 1 α ＝ ∫ f S(z )dz の表∞

u

4Z ＝ X − m

σ

m σ 2

4 4

z1

＝ u2

………………………………………………(答)

σ

σ

σ σ

σ σσ

ma b

σ 2

σ 2

偏 差 値 40 〜 60に 含 ま れ る 確 率

は , 約 68 .3% だ。

50 60 704030 y ( 偏差値 )

mm −σm − 2σ m ＋ 2σm ＋σ

E(aX＋b)＝aE(X)＋bV(aX＋b)＝a2V(X)

N (50, 10 2)の確率密度

N(m, σ 2) に従う変数 X を

Y＝10(X−m)

＋50 と変換すると,

E(Y)＝E( 10 X− 10m＋50 )＝10 E(X) − 10m＋50＝50

V(Y)＝V(10X−10m＋50)＝100 V(X) ＝100

D(Y)＝√V(Y)＝10 となる。得点 X を上記の

ように Y に変換すると, Y は平均 50, 標準偏差

10 となって, 俗にいう偏差値になる。

参考

168

標準正規分布における確率 (Ⅰ)CHECK1難易度 ★ CHECK2 CHECK3絶対暗記問題 58

確 率 変 数 X を 標 準 化 し て Z ＝X − m

と お く と , P(2 ≦ X ≦ 4) は ,

P(0 .5 ≦ z ≦ 1 .5) で求められることがわかるはずだ。

解答＆解説

確 率 変 数 X が , 正 規 分 布 N (1 , 4)に従うとき , 確率 P(2 ≦ X ≦ 4) を

求めよ。ただし , 右の標準正規分

布表を使ってよい。

確率変数 X は , 正規分布 N ( 1 , 4 ) , すなわち平均 m ＝ 1, 標準偏差 σ ＝ 2

の正規分布に従うことがわかる。X を標準化して Z で表すと ,

Z ＝ X − 1 となる。

ここで , 2 ≦ X ≦ 4 となる確率 P(2 ≦ X ≦ 4) は ,

2 − 1 ≦ X − 1 ≦ 4 − 1, 2 − 1 ≦ X − 1 ≦ 4 − 1 より ,

0 .5 ≦ z ≦ 1.5 となる確率 P(0 .5 ≦ z ≦ 1.5) に等しい。

∴ P(2 ≦ X ≦ 4) ＝ P(0 .5 ≦ z ≦ 1.5)

＝ P(z ≧ 0.5) − P(z ≧ 1.5)

＝ 0.3085 − 0.0668

＝ 0.2417

α ＝ ∫ f S(z )dz∞

u標準正規分布表

u α

0.5 0.30851.5 0.0668

σ

m σ 2

2Z ＝ X − m

σ

2

z

2 2

…………………………………………………………(答)

[ 　　　 ][　　　 ]

z0.5 1.5

−z z0.5 1.5

ヒント！

169

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平面ベクトル

空間ベクトル

数列

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4確率分布と統計的推測

標準正規分布における確率 (Ⅱ)CHECK1難易度 ★ CHECK2 CHECK3絶対暗記問題 59

確率変数 X を標準化した変数 Z を用いると, P(0 ≦ X ≦ 10) ＝

P( − 0.3 ≦ z ≦ 0.7) となる。今回は, 標準正規分布表を使うとき, 標準正規分布の

グラフの対称性を利用することがポイントとなるんだよ。

解答＆解説

確率変数 X が , 正規分布 N (3 , 100)に従うとき , 確率 P(0 ≦ X ≦ 10) を

求めよ。ただし , 右の標準正規分布

表を使ってよい。

確率変数 X は , 正規分布 N ( 3 , 100 ) , すなわち平均 m ＝ 3, 標準偏差 σ ＝

10 の正規分布に従うことがわかる。X を標準化して Z で表すと ,

Z ＝ X − 3 となる。

ここで , 0 ≦ X ≦ 10 となる確率 P(0 ≦ X ≦ 10) は ,

0 − 3 ≦ X − 3 ≦ 10 − 3, 0 − 3 ≦ X − 3 ≦ 10 − 3 より ,

− 0.3 ≦ z ≦ 0.7 となる確率 P( − 0.3 ≦ z ≦ 0.7) に等しい。

∴ P(0 ≦ X ≦ 10) ＝ P( − 0.3 ≦ z ≦ 0.7)

＝ 1 − P(z ≧ 0.3) − P(z ≧ 0.7)

＝ 1 − 0.3821 − 0.2420 ＝ 0.3759

α ＝ ∫ f S(z )dz∞

u標準正規分布表

u α

0.3 0.38210.7 0.2420

m σ 2

10Z ＝ X − m

σ

10

z

10 10

……………………………………………(答)

[ 　　　 ][　　　 ]

z−0.3 0.7

−z z0.3

−

注意　　　表で , u は 0 以上の値に対してしか , 確率 α の値を与えてはいな

いが , 標準正規分布は , 直線 z ＝ 0 に関して左右対称なグラフになって

いるので , 上記のような計算ができるんだね。工夫が大切だ !

0.7 z

ヒント！