3.Funcionesnuméricas.Segundaparte.Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupo correspondientean impar.VerlasFiguras 9 ay bdondesepresentanlosejemplos

3. Funciones numéricas. Segunda parte.

En el Módulo 1 trabajamos principalmente con modelos lineales y en cómo encontrar elmejor modelo lineal para un conjunto de datos experimentales. En el Módulo 2 desarrollamosla definición de función con sus elementos principales y sus propiedades de crecimiento,decrecimiento, máximos y mínimos. Los problemas biológicos o químicos raramente sonlineales y es por eso que en este Módulo comenzaremos con el estudio de otras funciones.

1 Funciones cuadráticas.1.1 Velocidad en la síntesis de mRNA.La bacteria Escherichia coli, que abreviaremos E. coli, es capaz de reproducirse muy rápi-damente. Bajo condiciones ideales de crecimiento, puede dividirse cada 20 minutos. Estacapacidad de duplicación está acompañada por la velocidad en la que las células logransintetizar el mRNA durante la transcripción. Estudiaremos la relación que existe entre lavelocidad con la que se producen los diferentes componentes interiores de cada célula y eltiempo que tardan en duplicarse.

La bacteria E. coli es uno de los or-ganismos patógenos más relevantesen el humano, tanto en la produc-ción de infecciones gastrointestina-les como de otros sistemas (urinario,sanguíneo, nervioso). Fue descritapor primera vez en 1885 por Theodo-re von Escherich, bacteriólogo ale-mán, quien la denominó Bacteriumcoli commune. Posteriormente la ta-xonomía le adjudicó el nombre deEscherichia coli, en honor a su des-cubridor.

El ADN brinda el código genético para todas las proteínas que se usan directa o indirectamenteen todos los aspectos del crecimiento, mantenimiento y reproducción de las células. La síntesisde proteínas se organiza en dos procesos: transcripción y traducción. Ver Figura 1.

Figura 1: Procesos de transcripción y traducción en la síntesis del ADN.

Transcripción:La transcripción de un gen bacterial está controlada por una secuencia de pasos donde laproteína RNA polimerasa lee el código genético y produce un mensaje complementario mRNAa modo de plantilla o molde. Este mRNA es un boceto con una corta vida útil y sirve paraproducir una proteína específica de la célula bacteriana.

Traducción:La traducción del mRNA en una bacteria comienza rápidamente luego de la transcripción. Losribosomas leen el mRNA y ensamblan secuencialmente una serie de aminoácidos (basados enlos elementos específicos leídos) para formar un polipéptido. Se cree que ciertas propiedadesfísicas en los átomos hacen que estos polipéptidos se pliegen formando estructuras terciariasque crean proteínas activas; y frecuentemente estas estructuras terciarias se combinan conotros elementos para producir otras proteínas o enzimas.

u R

0.6 4.31 9.11.5 132 192.5 23

Tabla 1: Datos para la cantidad u de dupli-caciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de R×105 nucleótidos/minuto/célula.

Diferentes tiempos de duplicación celular hacen variar la velocidad de producción de loscomponentes internos de la célula. En la Tabla 1 se muestran datos que relacionan lacantidad de duplicaciones que realiza una bacteria en una hora (medido en duplicaciones/hs)que denominaremos u, y la velocidad de síntesis de mRNA se determina por R × 105

nucleótidos/minuto/célula. En la Figura 2 se muestran los datos correspondientes de la tabla.

2 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

25

u (duplicaciones/hora)

R(nucleóticos/m

inuto/célula×

105 )

Figura 2: Gráfico para la cantidad u de duplicaciones por hora y la velocidad de síntesis delmRNA de R × 105 nucleótidos/minuto/célula.

Nos proponemos determinar un modelo lineal que ajuste los datos de la Tabla 1 mediantemínimos cuadrados.

R = mu + b (1)

Actividad 3.1a) ¿Están los datos alineados? En caso afirmativo, determinen la ecuación de la recta

correspodiente. En caso negativo, justifiquen analíticamente.b) De manera similar a la que trabajaron en el Módulo 1, utilicen el Desmos para

realizar el ajuste lineal mediante el método de mínimos cuadrados.c) Dibujen, en la Figura 2, el modelo lineal encontrado en el item anterior marcando la

ordenada al origen del modelo encontrado.d) ¿Qué valor de R corresponde a u = 0 duplicaciones por hora? ¿Cuál debería ser el

valor razonable esperable para R en este caso?�

Según el modelo de ajuste lineal por mínimos cuadrados laordenada al origen encontrada resulta ser b ≈ −1.28. Lo queequivale a −1.28×105 nucleótidos por minuto por célula. Queno es acorde al sistema real dado que es un número negativo(la síntesis de mRNA se produce en el proceso de divisióncelular y debe ser un número positivo porque representa unacantidad).

Realizaremos entonces un ajuste lineal conmínimos cuadradospero imponiendo la condición de b = 0 en modelo (comose ve en la Figura 3, todas las rectas propuestas pasan por elorigen)

R = mu

lo que hace que sólo necesitemos encontrar el valor de lapendiente m.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

15

20

25

probando

Figura 3: Modelos R = mu para ajustar los datos dela Tabla 1.

1 Funciones cuadráticas. 3

El procedimiento es similar al realizado en el Módulo 1 pero en el Paso 3 debemosescribir el nuevo modelo propuesto.

Mediante Desmos obtenemos m = 9.13997 como valor de la pendiente para determi-nar el mejor modelo (según el criterio del error cuadrático medio) lineal que pasa porel origen por lo que debe ser

R = 0.13997u

Lo que nos proponemos a continuación es desarrollar el procedimiento por el cual podremoscalcular el valor de m mediante procedimientos algebraicos y analíticos sin necesidad deutilizar software. Esto se debe a que la condición b = 0 transforma el problema reduce elproblema a un único parámetro para calcular: la pendiente m.

R = m u

¿Cómo encontrar "m"paraque el modelo tenga el menor ECM posible?

Escribiremos una expresión para calcular el error cuadrático medio ECM asociado al modeloanterior y a los datos de la Tabla 1 organizando la información en la siguiente tabla:

u R mu Residuo Residuo2

0.6 4.3 m × 0.6 4.3 − 0.6m (4.3 − 0.6m)2

1 9.1 m × 1 9.1 − m (9.1 − m)2

1.5 13 m × 1.5 13 − 1.5m (13 − 1.5m)2

2 19 m × 2 19 − 2m (19 − 2m)2

2.5 23 m × 2.5 23 − 2.5m (23 − 2.5m)2

Tabla 2: Cálculo de los residuos y los residuos al cuadrado para el modelo R = mu y los datosde la Tabla 1.

El ECM(m) se calcula como el promedio de los 5 residuos al cuadrado de la Tabla 2

ECM(m) =(4.3 − 0.6m)2 + (9.1 − m)2 + (13 − 1.5m)2 + (19 − 2m)2 + (23 − 2.5m)2

5

La expresión anterior puede simplificarse desarrollando los binomios al cuadrado como acontinuación:

4 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

(4.3 − 0.6m)2 = (4.3)2 − 2 × 4.3 × 0.6m + (0.6m)2 = 18.49 − 5.16m + 0.36m2

(9.1 − m)2 = (9.1)2 − 2 × 9.1 × 1m + m2 = 82.81 − 18.2m + m2

(13 − 1.5m)2 = (13)2 − 2 × 13 × 1.5m + (1.5m)2 = 169 − 39m + 2.25m2

(19 − 2m)2 = (19)2 − 2 × 19 × 2m + (2m)2 = 361 − 76m + 4m2

(23 − 2.5m)2 = (23)2 − 2 × 23 × 2.5m + (2.5m)2 = 529 − 115m + 6, 25m2

Por lo que

ECM(m) =18.49 − 5.16m + 0.36m2 + 82.81 − 18.2m + m2 + 169 − 39m + 2.25m2 + 361 − 76m + 4m2 + 529 − 115m + 6, 25m2

5

=1160.3 − 253.36m + 13.86m2

5= 232.06 − 50.672m + 2.772m2

Luego de los cálculos anteriores hemos encontrado una fórmula que nos permite calcular elerror cuadrático medio, de manera explícita y directa, de la forma

ECM(m) = 232.06 − 50.672m + 2.772m2 (2)

Actividad 3.2 Considerando los datos de la Tabla 1 y el modelo R = mua) Calculen el ECM para valores de m = 8, m = 9, m = 10.b) Calculen el ECM para los siguientes modelos

R = 9u R = 9.2u R = 9.4u

c) ¿Es posible calcular m para conseguir el valor mínimo absoluto del ECM?�

La función 2 es una función cuadrática; tiene la forma de polinomio de segundo grado.Estudiaremos ahora las funciones cuadráticas cuya representación gráfica es una parábola.

m (pendiente del modelo lineal R = mu)

ECM

(error

cuadráticomedio)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 Funciones cuadráticas. 5

1.2 Funciones cuadráticas.El dominio de las funciones cuadráticas son todos los números reales. Su forma general es

f : R→ R f (x) = ax2 + bx + c (3)

donde los valores a, b y c se denominan coeficientes. El coeficiente a, denominado coeficienteprincipal debe ser distinto de cero (puede ser negativo o positivo).

La gráfica de una función cuadrática es una parábola con forma de ∪ o con forma de ∩ segúnsea el signo del coeficiente principal a.

a = 1a = 1

2a = 1.5

(a) Con coeficiente a > 0.

a = −1

a = − 12

a = −1.5

(b) Con coeficiente a < 0.

Figura 4: Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas f (x) = ax2 + bx + c según el signo del coeficiente principal.

Nos interesa determinar algunos de sus elementos principales: su vértice y sus interseccionescon los ejes coordenados. Conociendo estos tres puntos será posible realizar la gráfica de laparábola con bastante precisión. El vértice se corresponde con el máximo absoluto (en el casoque a < 0) o mínimo absoluto (en el caso que a > 0). Sus coordenadas pueden encontrarsecompletando cuadrados en la expresión 3

f (x) = ax2 + bx + c = a(x2 +

ba

x +ca

)=

= a

[x2 +

ba

x +(

b2a

)2−

(b

2a

)2+

ca

]= a

[(x +

b2a

)2−

b2

4a2 +ca

]= a

(x +

b2a

)2+

4ac − b2

4a

Las coordenadas del vértice serán V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

).

Intersección con el eje x:Calculamos las intersecciones con el eje x resolviendo la ecuación

f (x) = 0 ⇐⇒ ax2 + bx + c = 0

Esta ecuación tendrá 0, 1 o 2 soluciones reales según el signo del discriminante b2 − 4ac.

6 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

• Si b2 − 4ac < 0: no hay soluciones reales. Por lo tanto la gráfica de la función f nointersecta al eje x.• Si b2 − 4ac = 0: hay una única solución real dada por

x1 =−b2a

La intersección es el punto (x1, 0).

• Si b2 − 4ac > 0: hay dos soluciones reales distintas dadas por

x1 =−b +

√b2 − 4ac2a

x2 =−b −

√b2 − 4ac2a

.

Las intersecciones son los puntos (x1, 0) y (x2, 0).Los valores x1 y x2 se denominanraíces de la función f .

Intersección con el eje y:Lo que usualmente se denomina ordenada al origen. La calculamos evaluando

f (0) = a02 + b0 + c = c.

La intersección con el eje y está dada por el punto (0, c).

−4 −3 −2 −1 1 2

−4

−2

2

4

6

0

Vértice

Figura 5: Gráfica de f (x) = x2 + 2x − 3 ysus elementos principales.

� Ejemplo 1.1La función cuadrátrica f (x) = x2 + 2x − 3 tiene una gráfica parabólica cuyo vértice seencuentra en el punto

V =(−

b2a,

4ac − b2

4a

)=

(−

22,4(−3) − 4

4

)= (−1,−4)

Corresponde a un mínimo absoluto porque a = 1 es positivo.Dado que el discriminante b2 − 4ac = 4 − 4(−3) = 16 es positivo se tienen dosintersecciones con el eje x. Las raíces son

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac2a

=−2 ±

√16

2⇒ x1 = 1 x2 = −3

Las intersecciones con el eje x son (−3, 0) y (1, 0). Por otro lado, la intersección con eleje y es (0,−3). La gráfica de la función se presenta en la Figura 5.

�

Actividad 3.3 Determinen los elementos de las siguientes funciones cuadráticas y realicensus gráficas.

a) f (x) = −x2 + x + 2 b) g(x) = x2 + 23 c) h(x) = 2x2 − 12x + 18

�

Actividad 3.4 Determinen el valor de m para el valor mínimo absoluto del ECM(m) en elestudio de síntesis de mRNA. ¿Cuál es el modelo lineal resultante en este caso que ajustalos datos de la Tabla 1 mediante mínimos cuadrados?

�

Día Longitud (en mm)

6 677 758 85

Tabla 3: Longitud de la hoja de roblesegún el día del mes de mayo.

Actividad 3.5 Se midió la longitud de una hoja de roble en días sucesivos del mes de mayo.En la Tabla 3 se presenta el registro de 3 días.

a) Tomando D como el día del mes de mayo y L como la longitud de la hoja (enmilímetros) se proponen los modelos

Modelo 1: L = 10.D Modela 2: L = 11.D

2 Funciones polinomiales. 7

Según el criterio del error cuadrático medio, ¿cuál de los dos modelos es el másadecuado?

b) Determine el modelo lineal de la forma

L = m.D

que mejor ajusta los datos según el criterio del error cuadrático medio.�

Cantidad dederrames X

Cantidad depetróleo Y

1973 36 84.51976 29 204.21977 49 213.11979 65 723.5

Tabla 4: Cantidad de petróleo Y en4 años distintos en los que se produ-jeron X cantidad de derrames.

Actividad 3.6 En la Tabla 4 se presentan los datos de la cantidad (X) de derrames accidentalesde petróleo y la cantidad (Y ) de petróleo derramado (en millones de metros cúbicos) en 4años distintos de la década del 70.

a) Escriban la fórmula de la función E MC(m) que mide el error cuadrático medioasociado a un modelo lineal de la forma

Y = mX

para los datos recopilados en la tabla.

b) Determinen, utilizando lo anterior, el modelo lineal de la forma

Y = mX

que mejor ajusta los datos.

c) Según el modelo encontrado, estimen la cantidad de petróleo derramado en el año1980 en el que se produjeron 32 accidentes de derrames.

�

2 Funciones polinomiales.

En el desarrollo del estudio de la velocidad en la síntesis de mRNA hemos recurrido a lasfunciones cuadráticas porque buscamos encontrar el mínimo absoluto de la función ECM(m)al intentar hacer un ajuste lineal por mínimos cuadrados de la forma R = mu.

Las funciones cuadráticas y las funciones lineales son casos particulares de las funcionespolinomiales: aquellas que tiene su forma algebraica como un polinomio respecto a la variableindependiente.

� Definición 2.1 — Funciones polinomiales.Para n un entero positivo o cero, una función polinomial de grado n es una función definidapor una ecuación de la forma

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn,

donde los números ai son números constantes llamados coeficientes de P. El coeficienteprincipal an debe ser distinto de 0.

Se dice que el polinomio nulo P(x) = 0 no tiene grado.

El dominio de una función polinomial es todo R.

Las funciones polinomiales permitirán construir modelos para situaciones reales donde losmodelos lineales no sean adecuados.

8 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

� Ejemplo 2.1 — Funciones polinomiales de grado 0 - Funciones constantes.Las funciones polinomiales de grado 0 tienen la forma general

P(x) = a0 donde a0 es un número constante

Por lo tanto su gráfica, ver Figura 6, es una recta con pendiente 0 (recta horizontal) yordenada al origen a0.Ejemplos

f (x) = 3 g(x) = −1 h(x) = π

�

a0

Figura 6: Gráfica de P(x) = a0 (fun-ción constante).

� Ejemplo 2.2 — Funciones polinomiales lineales y cuadráticas.Las funciones lineales se corresponden con funciones polinómicas de grado 1. Lasfunciones cuadráticas se corresponden con funciones polinómicas de grado 2. �

� Ejemplo 2.3 — Monomios.Para estudiar en forma general las funciones polinómicas de cualquier grado se tomacomo punto de partida el estudio de funciones polinomiales con un único término (elasociado al coeficiente principal). Son las funciones de la forma

P(x) = xn

que se clasificarán en 2 grupos: las que corresponde a grado n par y las que correspondena grado n impar. En las Figuras 7 y 8 se presentan varios ejemplos.

�

1−1

1

(a) Con grado n = 2.

1−1

1

(b) Con grado n = 4.

1−1

1

(c) Con grado n = 6.

1−1

1

(d) Con grado n = 8.

Figura 7: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número par.

Actividad 3.7 Determinen la imagen de las funciones f (x) = xn según sea grado n par oimpar. �

Las funciones polinómicas se usan para construir modelos sencillos porque sólo requierenoperar con sumas y productos. Igual que para los modelos lineales, existen rutinas o algoritmosque permiten ajustar un modelo polinomial a un conjunto de datos por medio de mínimoscuadrados. Sin embargo, aparecen dificultades algebraicas porque, por ejemplo, no es sencillodeterminar las raíces de una función polinómica de grados mayor a 2.

3 Funciones racionales. 9

1

1

(a) Con grado n = 1.

1

1

(b) Con grado n = 3.

1

1

(c) Con grado n = 5.

1

1

(d) Con grado n = 7.

Figura 8: Funciones polinómicas de la forma f (x) = xn con grado n un número impar.

Actividad 3.8 Determinen las raíces de las siguientes funciones polinomiales:a) f (x) = x3 − 3x2 − 10x b) g(x) = x6 − 64 c) h(x) = x4 − 5x2 + 4

�

3 Funciones racionales.

El siguiente paso para ampliar el conjunto de funciones con las que trabajaremos es definir lasfunciones racionales:

� Definición 3.1 — Función racional.Una función racional f es el cociente entre dos polinomios. La forma general es

f (x) =P(x)Q(x)

donde P(x) y Q(x) son dos polinomios.

El dominio de f está determinado por aquellos números reales x para los cuales Q(x) , 0

Dom( f ) = {x ∈ R : Q(x) , 0} .

3.1 Funciones f (x) = x−n (tomando n un número entero positivo)

Como casos particulares sencillos se tienen las funciones racionales de la forma

f (x) =1xn

siendo n algún número natural. Por ejemplo, las funciones

f (x) =1x

g(x) =1x2 h(x) =

1x3 r(x) =

1x4

La gráfica de la función f (x) =1x

forma una curva en el plano denomi-nada hipérbola.

En todos los casos, el dominio natural de estas funciones es (−∞, 0) ∪ (0,+∞).

Las funciones se clasificarán en 2 grupos: el grupo correspondiente a n par y el grupo

correspondiente a n impar. Ver las Figuras 9a y 9b donde se presentan los ejemplos f (x) =1x

y g(x) =1x2 .

10 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

y =1x

(a) Con n = 1.

y =1x2

(b) Con n = 2.

Figura 9: Funciones f (x) = x−1 y g(x) = x−2.

Como se observa en las gráficas, estas funciones tienen dos comportamientos asintóticos.Cuando desarrollemos las ideas delímite de una función volveremos so-bre estos asuntos de comportamien-to asintótico. Por ahora presentamoslas funciones con sus gráficas parapoder identificarlas.

Asíntota vertical:La gráfica de la función es asintótica a la recta vertical x = 0. Tanto del lado de los valores dex cercanos a cero y positivos, como los valores de x cercanos a cero y negativos.

Asíntota horizontal:La gráfica de la función es asintótica a la recta horizontal y = 0. Tanto para valores grandesde x y positivos como para valores grandes de x y negativos.

3.2 Función homográfica.

Otros ejemplos particulares e importantes de funciones racionales son las funciones denomina-das funciones homográficas.

� Definición 3.2Una función homográfica f es el cociente de dos funciones lineales. La forma general es

f (x) =ax + bcx + d

donde c y d no pueden ser 0 a la vez, y debe ser ad − bc , 0.Si c = 0 entonces su dominio natural es todo R.Si c , 0 entonces su dominio natural es el conjunto

{x ∈ R : x , − d

c

}.

Si fuera el caso que ad − bc = 0la función se reduce a una funciónconstante.

Para c = 0, se trata de una función lineal por lo que su gráfica será una recta.

Para c , 0 la gráfica será una hipérbola similar a la gráfica de la función g(x) = 1x

• Tendrá a la recta vertical x = −dccomo asíntota vertical.

• Tendrá a la recta horizontal en y =accomo asíntota horizontal.

• Una vez determinados los elementos anteriores falta averiguar cómo será la orientaciónde las ramas de la hipérbola. Ver Figuras 10. Una manera de averiguar cuál de las dosopciones corresponde puede ser evaluando la función en algún valor cualquiera x deldominio.

4 Funciones radicales. 11

Figura 10: Las dos opciones posibles de orientación de las ramas de la hipérbola.

x = 12

y = 1

−1

Figura 11: Función f (x) =2x + 12x − 1

.

� Ejemplo 3.1

La función f (x) =2x + 12x − 1

es una función homográfica.

Su dominio natural es R −{ 1

2}.

La recta y = 1 es la asíntota horizontal y la recta x = 12 es la asíntota vertical. Por

último, evaluamos f (0) = −1�

Actividad 3.9 Realicen las gráficas de las siguientes funciones identificando sus elementosprincipales (asíntotas y orientación de las ramas de la hipérbola).

a) f (x) =−x + 2x − 3

b) g(x) =10x

2 + x�

Actividad 3.10 Determinen una función homográfica que tenga asíntota vertical en la rectax = 0 y asíntota horizontal en la recta y = 2. �

4 Funciones radicales.

Por último, consideraremos las funciones radicales que son aquellas de la forma

f (x) =√

x g(x) = 3√x h(x) = 8√x

f (x) =√

x

Figura 12: Gráfica de f (x) =√

x.

f (x) = 3√x

Figura 13: Gráfica de g(x) = 3√x.

� Definición 4.1 — Funciones radicales.La forma general de las funciones radicales es

f (x) = n√

x = x1/n Para n un número entero positivo.

El dominio natural correspondiente depende del valor de n.• Si n es par entonces el dominio natural es [0,+∞).• Si n es impar entonces el dominio natural es todo R.

Considerando que y = x1/n es equivalente a yn = x (para valores de x ≥ 0) podemos utilizarlos desarrollos del Ejemplo 2.3 para proponer las gráficas de estas nuevas funciones. Ver losEjemplos f (x) =

√x y g(x) = 3√x en las Figuras 12 y 13.

12 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

5 Composición de funciones.Consideraremos ahora una forma muy importante de combinar funciones para obtener unanueva función. Por ejemplo, si consideramos las funciones f (x) =

√x y g(x) = x2 + 1, se

puede definir una nueva función h como,

h(x) = f (g(x)) = f(x2 + 1

)=

√x2 + 1

La función h está compuesta por las funciones f y g de la siguiente manera:

Se forma una cadena que agarra primero el valor x para calcular el valor g(x); y luego, eseresultado, se usa para calcular el valor f (g(x))

x g(x) f (g(x))g f

La función h(x) es una función compuesta por las funciones g y f en forma de cadena.

x g(x) f (g(x))g f

h

� Definición 5.1 — Composición de funciones.Si f y g son dos funciones numéricas entonces se puede realizar la composición de g conf formando una nueva función h de la forma

h(x) = f (g(x))

El dominio natural de la función h está determinado por los números x que están en eldominio de g y tales que g(x) pertenece al dominio de f . Simbólicamente queda

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )}

La composición h se escribe f ◦ g.Cuando escribimos f ◦ g estamos pensando que primero usamos la función g y luegousamos la función f .

( f ◦ g)(x) = f ( g(x) ).

Se lee f ◦ g = “g compuesta con f " (se lee al revés de cómo se escribe).

Comenzamos con un x en el dominio de g y calculamos g(x). Si g(x) está en el dominiode f , entonces calculamos el valor f (g(x)). Por eso decimos que el dominio de f ◦ g es elconjunto de todos los x en el dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f .

xEntrada

g

g(x)

f

f (g(x))Salida

f ◦ g

Figura 14: Composión f ◦ g.

� Ejemplo 5.1La función h(x) =

√x4 + 2 es composición de f (x) =

√x y g(x) = x4 + 2.

Sabiendo que Dom( f ) = [0,+∞) y Dom(g) = R podemos calcular el dominio de hplanteando

Dom(h) = {x ∈ Dom(g) : g(x) ∈ Dom( f )} ={

x ∈ R : x4 + 2 ≥ 0}= R

�

6 Ejercitación 13

Actividad 3.11 Consideren las mismas funciones que en el Ejemplo 5.1a) Calculen la composición g ◦ f .b) Determinen su dominio natural.c) ¿Obtuvieron los mismos resultados que en el Ejemplo 5.1?

�

La Actividad 3.11 permite concluirque la composición de funciones nocumple la ley conmutativa. En ge-neral se tendrá que f ◦g y g ◦ fserán dos funciones distintas.

� Ejemplo 5.2Si consideramos f (x) = x2 y g(x) = x − 4 y calculamos las funciones compuestasf ◦ g y g ◦ f se obtienen

( f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (x − 4)2

(g ◦ f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = x2 − 4

Dado que los dominios naturales de f y g son todos los reales entonces los dominiosnaturales de f ◦ g y g ◦ f también serán todos los reales. �

� Ejemplo 5.3Si consideramos T(r) =

√−r + 2 y M(s) =

√s calcularemos M ◦T y determinaremos

su dominio natural.

(M ◦ T)(r) = M(T(r)) = M(√−r + 2

)=

√√−r + 2 = 4√

−r + 2

Y en cuanto al dominio se tiene Dom(M) = [0,+∞) y Dom(T) = (−∞, 2]; por lo tanto,

Dom(M ◦ T) = {r ∈ Dom(T) : T(r) ∈ Dom(M)}

={r ∈ (−∞, 2] :

√−r + 2 ∈ [0,+∞)

}= (−∞, 2]

�

Actividad 3.12 Considerando las funciones M y T del Ejemplo 5.3, calculena) T ◦ M b) T ◦ T c) M ◦ M

�

C La composición de funciones puede hacerse con más funciones si fuera necesario.Pueden tomar tres o más funciones y componerlas. Por ejemplo, la función compuestaf ◦ g ◦ h está definida como

( f ◦ g ◦ h)(x) = f (g(h(x))).

6 EjercitaciónEjercicio 3.1 Una pelota se lanza verticalmente con una velocidad de 11 m/s desde el niveldel suelo (altura = 0). La altura h medida en metros de la pelota en cada instante t medidoen segundos está determinada por la función h(t) = 11t − 10t2.

a) Realicen la gráfica de la función h.b) Encuentren la altura máxima que alcanza la pelota.c) ¿En qué instante la pelota vuelve a caer al piso?

�

14 Capítulo 3. Funciones numéricas. Segunda parte.

Ejercicio 3.2 Realicen las gráficas y marquen las intersecciones encontradas en el Ejercicio2.8 del Módulo 2. �

A c

0.12 0.050.32 0.140.5 0.210.66 0.3

Tabla 5: Concentración c en miliMo-lares y absorbancia A de una mues-tra.

Ejercicio 3.3 Un espectrofotómetro usa la ley de Lambert-Beer para determinar la concen-tración de una muestra c basado en su absorbancia A. La ley establece que se satisface unarelación lineal

c = mA

donde m es la pendiente de la recta.La Tabla 5 recolecta datos para la concentración c (en miliMolar) y la absorbancia A de unamuestra.

a) Determinen una expresión para ECM(m), error cuadrático medio dependiente delvalor de la pendiente m en el modelo lineal propuesto.

b) Realicen el gráfico de ECM(m). Determinen la recta correspondiente al mejor ajustelineal.

c) Con el ajuste encontrado determinen la concentración de dos muestras desconocidascuyas absorbancias son A = 0.45 y A = 0.62.

�

Para resolver desigualdades de laforma

(x − 4)2 − 3 > 0

o de la forma

(x + 1)2 < 7

puede ser útil recordar las siguien-tes equivalencias (para valores de apositivos):

u2 > a

u ∈ (−∞,−√

a) ∪ (√

a,+∞)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−

u2 < a

u ∈ (−√

a,√

a).

Ejercicio 3.4 Un rectángulo tiene largo l, ancho a y un perímetro de 40 cm.a) Determinen una expresión del ancho a como función del largo l.b) Determinen una expresión para el área del rectángulo en función del largo l (únicamente

con esa variable independiente).c) Realicen el gráfico de la función anterior y determinen qué valor de l produce que el

rectángulo tenga la mayor área posible.�

Ejercicio 3.5 Determinen el dominio de las siguientes funciones:a) f (x) =

√8 − 2x b) h(x) =

√1 − x2 c) g(x) =

√8 − 2x − x2

�

Ejercicio 3.6 Encuentren, para cada caso, funciones f (z) y g(x) tales que las siguientesfunciones h(x) puedan escribirse como f (g(x)).

a) h(x) = (1 + x2)3 b) h(x) =√

x3 + 3 c) h(x) =1

x2 − 2x + 1�

Ejercicio 3.7 Calculen las composiciones, f (g(x)), de los siguientes pares de funciones. Encada caso especifiquen el dominio de la función compuesta. Propongan una gráfica de lafunción compuesta (pueden utilizar el Geogebra).

a) f (z) = z − 1 g(x) = 2x + 1 b) f (z) =1

1 + zg(x) = x2

c) f (z) =z

1 + zg(x) =

x1 − x

d) f (z) =1z

g(x) = 1 + x2

e) f (z) =z

1 − zg(x) =

x1 + x

f) f (z) =√

z g(x) = x2 − 1�

6 Ejercitación 15

Ejercicio 3.8 Usen la información de la Tabla 6 para calcular cada expresión

a) f (g(1)) b) g( f (1)) c) f ( f (1)) d) g(g(1))

e) (g ◦ f )(3) f) ( f ◦ g)(6)�

x 1 2 3 4 5 6

f (x) 3 1 4 2 2 5g(x) 6 3 2 1 2 3

Tabla 6: Tabla de valores de f y g.Ejercicio 3.9 Usen las gráficas de f y g, Figura 15, para evaluar cada expresión en los casosque sea posible (en los casos que no sea posible expliquen por qué).

a) f (g(2)) b) g( f (0)) c) ( f ◦ g)(0)

d) (g ◦ f )(6) e) (g ◦ g)(−2) f) ( f ◦ f )(4)�

Figura 15: Gráficas de las funciones f yg.