Page 1
April 2012
38 Soal dengan Pembahasan, 426 Soal Latihan
Galeri Soal
Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd
Email : [email protected] Blog : www.matikzone.wordpress.com HP : 085 233 897 897 © Hak Cipta Dilindungi Undang-undang. Dilarang mengkutip sebagian atau seluruh isi galeri ini tanpa mendo’akan kebaikan untuk kami dan umat islam seluruhnya. Dan jangan lupa mencantumkan sumbernya ya…
MatikZone’s Series
Page 2
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal Turunan dan Penyelesaiannya Tentukan turunan dengan menggunakan definisi dari:
1). 6=y
2). xy 2=
3). 23xy =
4). 3xy =
5). xy =
6). xxy 52 −=
Jawab:
Definisi: Turunan dari fungsi )(xfy = adalah dxdf
dxdy
xfy === )('' ( 'y dibaca ”y aksen”,
dst), didefinisikan sebagai: h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
−+=
→, sehingga
1). 6=y , 00lim0
lim66
lim)()(
lim'0000
===−
=−+
=→→→→ hhhh hhh
xfhxfy
2). xy 2= , 22lim2
lim222
lim2)(2
lim)()(
lim'00000
===−+
=−+
=−+
=→→→→→ hhhhh h
hh
xhxh
xhxh
xfhxfy
3). 23xy = ,
( )
( )xxhx
hhxh
hxhxhx
hxhxhx
hxhx
hxfhxf
y
hhh
hhh
60.3636lim36
lim3363
lim
323lim
3)(3lim
)()(lim'
00
222
0
222
0
22
00
=+=+=+
=−++
=
−++=
−+=
−+=
→→→
→→→
4). 3xy =
( )
( ) ( )222
22
0
22
0
322
0
33223
0
33
00
300.33
33lim33
lim33
lim
33lim
)(lim
)()(lim'
xxx
hxhxh
hxhxhh
hxhhxh
xhxhhxxh
xhxh
xfhxfy
hhh
hhh
=++=
++=++
=++
=
−+++=
−+=
−+=
→→→
→→→
5). xy =
Page 3
Turunan www.matikzone.wordpress.com
( ) ( ) ( )
( ) ( ) xxxxx
xhxxhxhh
xhxhxhx
xhxxhx
hxhx
hxhx
hxfhxf
y
hhh
hhh
211
01
1limlimlim
limlim)()(
lim'
000
000
=+
=++
=
++=
++=
++−+
=
++++
⋅−+
=−+
=−+
=
→→→
→→→
6). xxy 52 −=
( )( ) ( )
( )
( ) 5205252lim52
lim
5552lim
55)(lim
)()(lim'
0
2
0
222
0
22
00
−=+−=+−=−+
=
+−−−++=
−−+−+=
−+=
→→
→
→→
xxhxh
hhxhh
xxhxhxhxh
xxhxhxh
xfhxfy
hh
h
hh
Rumus Turunan
Untuk n bilangan bulat; a, b, c konstanta; u dan v fungsi dalam variabel x , berlaku:
Soal-Soal:
7. 0'9 =⇒= yy
Turunan Fungsi Trigonometri xy sin= xy cos' =⇒ axy sin= axay cos' =⇒ xy cos= xy sin' −=⇒ axy cos= axay sin' −=⇒
xy tan= xy 2sec' =⇒ axy tan= axay 2sec' =⇒ uy sin= uuy cos'' =⇒ uy cos= uuy sin'' −=⇒ uy tan= uuy 2sec'' =⇒
Sifat –sifat: vuy ±= ''' vuy ±=⇒
vuy ⋅= ''' uvvuy +=⇒
vu
y = 2
'''
vuvvu
y−
=⇒
nuy = '' 1 unuy n ⋅=⇒ − )(xafy = )('' xafy =⇒
Rumus Turunan cy = 0' =⇒ y
naxy = 1' −=⇒ nanxy
Lainnya:
0,log >= xxy a ex
y a log1
' ⋅=⇒
uy a log= euu
y a log'
' ⋅=⇒
uey = ueuy '' =⇒
vay = vaavy ⋅⋅=⇒ ln''
xy ln= x
y1
' =⇒
uy ln= uu
y'
' =⇒
Page 4
Turunan www.matikzone.wordpress.com
8. 22.1.2'2 011 ===⇒= − xxyxy
9. 3144 12.4.3'3 xxyxy ==⇒= −
10. 3 2
32
32
131
31
3 11.
31
.3'33xx
xxyxyxy ====⇒⋅=⇒⋅=−−
11. 2
152
15.
23
.5'5..55 21
123
23
21 x
xxyxxxyxxy ===⇒==⇒⋅=−
12. xxxx
xxyxx
yx
y.2
5
.2
5
.2
525
.21
.5'555
323
23
121
21
21
−=−=−=−=−=⇒==⇒=−−−−
13. 42151213523 5126.5.1.2.6.3.2'62 xxxxxxyxxxy −+=−+=⇒−+= −−−
14. ( )( )523 26 xxxxy −+=
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )42352
45223
5262123'''
52'2,123',6
xxxxxxxuvvuy
xvmakaxxvdanxxuxxu
−++−+=+=
−=−=+=+=⇒
( ) ( )
2367
62736273
368428
301252122436
xxxx
xxxxxxxx
++−−=
−+−+−+−=
15. 2
3
53
xxx
y+
=
( ) ( )( ) ( )
( ) 4
4242
22
322
2
223
2510301515
5
10.35.33'''
10',533',3
xxxxx
x
xxxxxv
uvvuy
xvxvdanxuxxu
−−+=
+−+=
−=⇒
==+=+=⇒
( )( ) 2
2
22
22
4
24
53
5535
25155
xx
xxxx
xxx −
=−
=−
=
16. ( )24sin xy = xuxu 8',4 2 ==⇒
( )24cos.8cos'' xxuuy ==⇒
17. ( )323 24cos xxy +=
Page 5
Turunan www.matikzone.wordpress.com
( )( ) ( )( )( )232322 6824sin24cos3' xxxxxxy ++−+=⇒
( ) ( ) ( )322322 24cos24sin683 xxxxxx +++−=
18. xey 2= 2',2 ==⇒ uxu xu eeuy 2.2'.' ==⇒
19. ( ) ( ) 23',22ln 233 +=+=⇒+= xuxxuxxy
xx
xuu
y223'
'3
2
++
==
20. ( ) ( ) 66',6262log 2333 −=−=⇒−= xuxxuxxy
exx
xe
xxx
euu
y a log333
log6266
log.'
' 33
23
3
2
−−
=
−−
==
Aturan Rantai
Jika ( )ufy = fungsi dari u yang dapat diturunkan, ( )xgu = fungsi dari x yang dapat
diturunkan, serta ( )( )xgfy = fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka
( )( ) ( )( ) ( )xgxgfxgfdxd
y ''' ⋅== atau dxdu
dudy
dxdy
⋅=
Soal-soal:
21. ( ) ⇒+=32 52 xxy misal xxu 52 2 += maka 3uy = sehingga diperoleh 23u
dudy
= dan
54 += xdxdu
. Kita dapatkan ( ) ( ) ( )5452354.3'222 ++=+=⋅== xxxxu
dxdu
dudy
dxdy
y
22. ( )⇒+= xxy 52sin 24 misal ( ) 42 52sin uyxxu =⇒+= ,dan
vuxxv sin52 2 =⇒+= . Kita peroleh 34ududy
= , vdvdu
cos= , dan 54 += xdxdv
.
Akhirnya kita peroleh:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )xxxxx
xxxxxxvudxdv
dvdu
dudy
dxdy
y
52cos52sin544
5452cos52sin454cos4'
223
2323
+++=
+⋅+⋅+=+⋅⋅=⋅⋅==
Page 6
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Persamaan Garis Singgung Kurva
Gradien garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah ( )1' xfm gs = . Maka
persamaan garis singgung kurva ( )xfy = di titik ( )11 , yxT adalah:
( )( ) ( )111
11
' xxxfyy
xxmyy gs
−⋅=−⇒
−=−
Soal-soal:
23. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) xxxfy 35 2 −== di titik (2, 14).
Jawab: ( ) 310' −= xxf maka ( ) 1732032102' =−=−⋅=f jadi ( ) 172' == fm gs .
Persamaan garis singgung kurva adalah ( ) ( )2171411 −=−⇒−=− xyxxmyy gs
2017
143417341714
−=⇒+−=⇒−=−⇒
xyxy
xy
24. Tentukan koordinat titik singgung dari garis singgung kurva ( ) 133 2 +−== xxxfy
yang bergradien 15.
Jawab: * ( ) ( ) 36'133 2 −=⇒+−= xxfxxxf
* ( ) 318631563615' 11111 =⇒=⇒+=⇒−⋅=⇒= xxxxxfm gs
* ( ) ( ) 19192713333 211 =+−=+⋅−== xfy
Jadi, titik singgungnya ( )19,3T
25. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 322 −+= xxxf yang sejajar garis
52 +−= xy
Jawab: * Garis 52 +−= xy memiliki gradien 2−=m , karena sejajar 2−== mm gs
* ( ) 22)('322 +=⇒−+= xxfxxxf
* 242222)(' 1111 −=⇒−=⇒+=−⇒= xxxxfm gs
* ( ) ( ) ( ) 33443222 211 −=−−=−−+−== xfy
Titik singgungnya ( )3,2 −−T
Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−
Page 7
Turunan www.matikzone.wordpress.com
( ) ( )( )( )
72423223
223
−−=⇒−−=+⇒+−=+⇒
−−−=−−⇒
xyxyxyxy
26. Tentukan persamaan garis singgung kurva ( ) 242 +−= xxxf yang tegak lurus garis
062 =+− yx
Jawab: * Garis 062 =+− yx memiliki gradien 21
=m , karena tegak lurus
1−=⋅ mm gs
maka 22
111
−=−=−=m
m gs
* ( ) 42)('242 −=⇒+−= xxfxxxf
* 122422)(' 1111 =⇒=⇒−=−⇒= xxxxfm gs
* ( ) 124121.41211 −=+−=+−== xfy
Titik singgungnya ( )1,1−T
Persamaan garis singgung kurva adalah ( )11 xxmyy gs −=−
( ) ( )
12221121
+−=⇒+−=+⇒−−=−−⇒
xyxyxy
Dalil L’Hopital
Jika ( )( )xgxf
y = dimana ( )( ) 0
0lim =
→ xgxf
ax atau
( )( ) ∞
∞=
∞→ xgxf
xlim (bentuk tak tentu) maka
( )( )
( )( )xgxf
xgxf
axax ''
limlim→→
= dan ( )( )
( )( )xgxf
xgxf
xx ''
limlim∞→∞→
= .
Apabila masih diperoleh bentuk tak tentu, maka masing-masing pembilang dan penyebut
diturunkan kembali.
Soal-soal:
27. 00
42
lim22
=−
−→ x
xx
BTT, maka 41
221
21
lim4
2lim
222=
⋅==
−−
→→ xxx
xx
Page 8
Turunan www.matikzone.wordpress.com
28. 00
42
lim42
23
0=
−−
→ xxxx
xBTT, mk
224
0240
48246
lim162
43lim
42
lim203
2
042
23
0−=−=
−−
=−
−=
−−
=−−
→→→ xx
xxxx
xxxx
xxx
29. 2
2 3lim
4 2x
xx x→∞
+ ∞=
+ − ∞ BTT, maka 02
422
lim24
32lim
2=
∞=
+=
−++
∞→∞→ xxxx
xx
Fungsi Naik dan Fungsi Turun
a). ( ) 0' >xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi naik pada selang ( )ba,
b). ( ) 0' <xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi turun pada selang ( )ba,
c). ( ) 0' =xf untuk x∀ dalam ( )ba, , maka f adalah fungsi konstan pada selang ( )ba,
Soal-soal:
30. ( ) ( ) 0'9 =⇒= xfxf , maka ( ) 9=xf adalah fungsi konstan untuk setiap nilai x.
31. Tentukan interval dimana ( )xf naik dan ( )xf turun dari fungsi ( ) 1032 −+= xxxf
Jawab: * ( ) ( ) 32'1032 +=⇒−+= xxfxxxf
* ( )xf naik jika ( ) 0' >xf maka 23
32032 −>⇒−>⇒>+ xxx
Jadi ( )xf naik pada interval 23
−>x
* ( )xf turun jika ( ) 0' <xf maka 23
32032 −<⇒−<⇒<+ xxx
Jadi ( )xf turun pada interval 23
−<x
Ilustrasi Grafik
32. Tentukan interval fungsi naik dan fungsi turun dari .
Diturunkan 2x
23
−
( ) 0' <xf ( ) 0' >xf
( ) 3 21 34 5
3 2f x x x x= − − +
Page 9
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Jawab:
( ) ( )3 2 21 34 5 ' 3 4
3 2f x x x x f x x x= − − + ⇒ = − −
( )( )( )
2Pembuat nol ' 0 3 4 0
1 4 0
1 atau 4
f x x x
x x
x x
⇒ = ⇒ − − =
+ − =
= − =
Garis bilangan dari f’(x)
Cek titik:
x = -2 maka f’(-2) = (-2)(-2) – 3(-2) – 4 = 4 + 6 – 4 = 6 > 0
x = 0 maka f’(0) = 0.0 – 3.0 – 4 = 0 – 0 – 4 = - 4 < 0
x = 5 maka f’(-2) = 5.5 – 3.5 – 4 = 25 – 15 – 4 = 6 > 0
( )Jadi, naik pada interval 1atau 4 dan turun pada interval -1 4.f x x x x< − > < <
Titik Stasioner
Jika fungsi f mempunyai turunan pada selang I yang memuat c. Jika ( ) 0' =cf , maka
( )( )cfcT , adalah titik stasioner dari fungsi f.
a). Jika ( ) 0'' >cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Minimum relatif dari fungsi f.
b). Jika ( ) 0'' <cf maka ( )( )cfcT , titik Balik Maksimum relatif dari fungsi f.
c). Jika ( ) 0'' =cf maka ( )( )cfcT , titik Belok Grafik fungsi f.
Dimana ( )xf ' adalah turunan pertama ( )xf dan ( )xf '' trurunan kedua dari ( )xf
c1 c2 c3 c4
f(c1) f(c2) f(c4) f(c3)
T (c1, f(c1)) titik balik maksimum T (c2, f(c2)) titik belok T (c3, f(c3)) titik balik minimum T (c4, f(c4)) titik belok
+++ --- +++ -1 4
Page 10
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
33. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi ( ) xxxxf 1292 23 +−=
Jawab: Diketahui ( ) xxxxf 1292 23 +−= maka ( ) 12186' 2 +−= xxxf
( ) ( )( ) ( )( )216'
236' 2
−−=+−=
xxxfxxxf
Titik stasioner diperoleh jika ( ) 0' =xf ( )( ) 0216 =−−⇒ xx diperoleh 11 =x dan
22 =x
Untuk 11 =x ( ) 512921.121.91.2 231 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )5,1(1T
Untuk 22 =x ( ) 42436162.122.92.2 232 =+−=+−=⇒ xf diperoleh )4,2(2T
Cara 1: Dengan Turunan Kedua:
( ) ( ) 1812''12186' 2 −=⇒+−= xxfxxxf
Untuk 11 =x ( ) 06181.121'' <−=−=⇒ f maka )5,1(1T Titik Balik Maksimum.
Untuk 22 =x ( ) 06182.122'' >=−=⇒ f maka )4,2(2T Titik Balik Minimum.
Cara 2: Dengan Diagram Grafik
Uji nilai:
Untuk x < 1 pilih x = 0 maka ( ) 012120.180.60' 2 >=+−=f , ( )xf Naik
Untuk 1<x< 2 pilih x = 23 mk ( ) ( ) 0
21
11223.182
3.623'
2<−=+−=f , ( )xf Turun
Untuk x > 2 pilih x = 3 maka ( ) 012123.183.63' 2 >=+−=f , ( )xf Naik
1 2
+ – + Sehingga:
)5,1(1T Titik Balik Maksimum.
)4,2(2T Titik Balik Minimum.
Page 11
Turunan www.matikzone.wordpress.com
34. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki titik stasioner (1, -1) tentukan nilai a dan b.
Jawab:
( ) ( ) bxaxxfbxaxxf 23' 223 +=⇒+=
Syarat stasioner ( ) 0230' 2 =+⇒= bxaxxf , untuk x = 1 maka
02301.21.3 2 =+⇒=+ baba
Titik stasioner (1, -1) maka ( ) 111.1.1 23 −−=⇒+=−⇒+= abbabaf
Subtitusi 1−−= ab ke 023 =+ ba
( )312
202230123−=−−=⇒
=⇒=−−⇒=−−+⇒baaaaa
Jadi a = 2 dan b = - 3
Nilai Stasioner
Jika ( )( )cfcT , adalah titik stasioner grafik fungsi f, maka ( )cf adalah nilai stasioner di titik
cx =
Soal-soal:
Dari soal di atas, )5,1(1T Titik Balik Maksimum. Nilai stasioner di titik x = 1 adalah 5.
Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Untuk mencari Nilai Maksimum dan Nilai Minimum mutlak fungsi f pada interval tertutup
[ ]ba, dapat dilakukan dengan cara:
a). Menentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval tersebut.
b). Menentukan nilai fungsi ( )af dan ( )bf
c). Menyelidiki nilai maksimum (terbesar) dan minimum (terkecil) pada poin a). dan b).
Page 12
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal:
35. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi ( ) xxxxf 36152 23 +−= dalam
interval 51 ≤≤ x
Jawab:
Nilai stasioner f diperoleh jika ( ) 0' =xf
( ) ( ) ( )( ) 0326036306'36152 223 =−−⋅⇒=+−=⇒+−= xxxxxfxxxxf
2=x atau 3=x
Terdapat dua titik stasioner pada interval 51 ≤≤ x
Untuk 2=x maka ( ) 282.362.152.22 23 =+−=f
Untuk 3=x maka ( ) 273.363.153.23 23 =+−=f
Menentukan nilai ( )1f dan ( )5f
( ) 231.361.151.21 23 =+−=f dan ( ) 555.365.155.25 23 =+−=f
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita lihat bahwa nilai maksimumnya adalah 55 dan nilai
minimumnya adalah 23.
Penerapan Nilai Maksimum dan Minimum dalam Kehidupan Sehari-hari
36. Kebun Pak Subur berbentuk persegi panjang dengan kelilingnya 60 meter. Jika
panjangnya x meter dan lebarnya y meter, tentukan:
a. Persamaan yang menyatakan hubungan antara x dan y
b. Ukuran kebun Pak Subur agar luasnya maksimum.
Jawab:
a). Keliling ABCD = 2 (x + y)
xy
yxyx
−=⇔=+⇔
+=⇔
3030
)(260
Jelaslah bahwa y > 0 untuk 300 ≤≤ x
Jadi xy −= 30 dengan 300 ≤≤ x
y x
D C A B
Page 13
Turunan www.matikzone.wordpress.com
b). yxL ⋅=
( )
( ) 230
30
xxxL
xx
−=
−=
Harus dicari nilai maksimum L.
( ) xxLxxxL 230)('30 2 −=⇒−=
Nilai stasioner L didapat jika 0)(' =xL . Jadi 1502300)(' =⇒=−⇒= xxxL
Dengan menguji nilai )(' xL menggunakan garis bilangan, diperoleh
Untuk x = 15 terdapat nilai balik maksimum. ( ) 2252254501515.3015 2 =−=−=L
Nilai L pada ujung-ujung interval 150 ≤≤ x adalah ( ) 22515 =L dan ( ) 00 =L
Jadi, Luas maksimumnya adalah 225 2m , jika segi empat tersebut berbentuk persegi,
dengan lebar = panjang = 15 m.
Kecepatan dan Percepatan
Jika suatu benda bergerak sepanjang garis lurus, maka berlaku dtds
v = dan dtdv
a = , dimana:
v = kecepatan pada t detik ( )sm
s = panjang lintasan dalam t detik ( )m
a = percepatan pada t detik ( )2sm
Soal-soal:
37. Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus dengan panjang lintasan s meter pada
waktu t detik, didefinisikan dengan persamaan 3125 tts −+= .
a. Tentukan rumus kecepatan saat t detik.
++ --
15
Page 14
Turunan www.matikzone.wordpress.com
b. Tentukan t jika kecepatan sesaatnya nol.
c. Tentukan percepatan benda pada saat t detik.
d. Hitunglah jarak dan kecepatan sesaat jika percepatannya nol.
Jawab: 3125 tts −+=
Kecepatan sesaat = 2312 tdtds
−=
Kecepatan sesaat = ( )( ) 2022040312 22 ±=⇒=+−⇔=−⇔=− ttttt detik
Jadi, kecepatan sesaatnya nol setelah 2 detik.
Percepatan (a) = tdt
sddtds
dtd
dtdv
62
2
−==
= (turunan kedua dari s terhadap t)
0606 =⇔−=⇔−= ttta detik
Jarak 500.125125 33 =−+=−+= tts meter
Kecepatan sesaat = dtmtv 120.312312 22 =−=−=
Menggambar Kurva (Grafik)
Untuk menggambar grafik fungsi yang dapat didefferensialkan adalah dengan menentukan:
a). Titik potong kurva dengan sumbu x dan sumbu y.
b). Titik stasioner dan nilai ekstrimnya.
c). Garis penunjuk arah kurva.
Soal-soal:
38. Gambarlah kurva dari fungsi ( ) 82 2 −= xxf .
Jawab:
( ) 82 2 −== xxfy memotong sumbu X jika y = 0
( )( ) 0222082 2 =+−⇒=−⇒ xxx diperoleh 2±=x , jadi )0,2(1 −T dan )0,2(2T
( ) 82 2 −== xxfy memotong sb Y jika x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y , jadi )8,0(3 −T
( ) xxfxxf 4)('82 2 =⇒−=
Page 15
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Titik stasioner diperoleh jika 0)(' =xf sehingga diperoleh 004 =⇒= xx
Untuk x = 0 880.2 2 −=−=⇒ y . Jadi titi stasionernya adalah )8,0( −T
Bentuk grafik
xxf 4)(' =
Uji titik: Untuk x = – 1 maka ( ) 414)1(' −=−=−f < 0 Grafik Turun
Untuk x = 1 maka ( ) 414)1(' ==f > 0 Grafik Naik
Sketsa Grafik
Catatan:
a. m dan h dua garis yang sejajar maka hg mm =
b. m dan h dua garis yang saling tegak lurus maka 1−=⋅ hg mm
c. Persamaan garis adalah cmxy += (gradien m) atau 0=++ cbyax (gradien m = ba
− )
d. Persamaan garis lurus melalui satu titik ( )11 , yx dengan gradien m adalah
( )11 xxmyy −=−
-- ++ 0
– 2 2 – 8
x
y
Page 16
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Soal-soal Latihan Turunan
Carilah turunan dari fungsi-fungsi
berikut menggunakan definisi
hxfhxf
xfh
)()(lim)('
0
−+=
→
1. ( ) 3−=xf
2. ( ) 9−=xf
3. ( ) 11=xf
4. ( ) 50=xf
5. ( )645
=xf
6. ( ) xxf 18=
7. ( ) xxf 10−=
8. ( ) xxf 2=
9. ( ) xxf21
=
10. ( ) xxf 15=
11. ( ) 25xxf =
12. ( ) 25xxf −=
13. ( ) 220xxf =
14. ( ) 2
25
xxf =
15. ( ) 34xxf =
16. ( ) 310xxf −=
17. ( ) 37xxf −=
18. ( ) 3
31
xxf =
19. ( ) xxf 6=
20. ( ) xxf 2−=
21. ( ) 25 += xxf
22. ( ) 52 −= xxf
23. ( )x
xf1
=
24. ( )x
xxf1
+=
25. ( ) xxxf 22 +=
Carilah turunan dari fungsi-fungsi
berikut dengan menggunakan rumus:
26. ( ) 2xxf =
27. ( ) 24xxf =
28. ( ) xxf 9=
29. ( ) xxf 11−=
30. ( ) xxf51
=
31. ( ) 2
65
xxf −=
32. ( ) 106xxf −=
33. ( ) 75xxf =
34. ( )x
xxf
75=
35. ( )3 22
12
xxxf
−=
36. ( )3
5xxx
xf =
37. ( ) xxxf 35=
Page 17
Turunan www.matikzone.wordpress.com
38. ( ) 3
32
xx
xf +=
39. ( ) 25 3xxxf −=
40. ( )x
xxf2
−=
41. ( ) xxxf 65 2 −=
42. ( ) 35 294 xxxxf −+=
43. ( ) 1023 3 −+= xxxf
44. ( ) 86 345 xxxf +−=
45. ( ) 31
23
21
24−
−+= xxxxg
46. ( ) xxxxg −+=−− 2
12 23
47. ( )x
xxg2
12 +=
48. ( )72
87xx
xg +=
49. ( ) 321
31 23 +−= xxxg
50. ( )2
331
4
+= xxxg
51. ( ) ( )( )3522 +−= xxxxg
52. ( ) ( )( )3223 +−= xxxg
53. ( ) ( )( )5413 +−= xxxg
54. ( ) ( )52 2 += xxxg
55. ( ) ( )( )2333 4287 xxxxxg +−+= −−
56. ( ) ( )( )1433 22 +−+= xxxxxg
57. ( ) ( )32 −= xxxxg
58. ( ) ( )123 2 +⋅= xxxg
59. ( ) ( )( )1
2−+
=xx
xg
60. ( ) ( )( )1
23
2
−−
=x
xxxg
61. ( )x
xxg
6583
−+
=
62. ( )5
132
2
+−+
=x
xxxg
63. ( )75
534 2
−−−
=x
xxxg
64. ( )734
5
23
−−
=x
xxxg
65. ( )xx
xg−+
=11
66. ( )x
xxg
−=
12 2
67. ( )3
2
332
xxx
xg−
+=
68. ( )32
5
xxx
xg−
=
69. ( )x
xxg
−+
=5
15
70. ( )xxx
xg+
−=
4
21
Tentukan turunan dari fungsi-fungsi
di bawah ini:
71. ( ) ( )42 5xxxf −=
72. ( ) ( )432 −= xxf
73. ( ) ( )514 += xxf
74. ( ) ( )336 xxf −=
75. ( ) ( )62 16 +−= xxxf
76. ( ) ( )632 43 xxxf +−=
Page 18
Turunan www.matikzone.wordpress.com
77. ( ) ( )72 1054 −+= xxxf
78. ( ) ( ) 253 −+= xxf
79. ( ) ( ) 322−
−= xxxf
80. ( ) ( ) 52 76−
−+= xxxf
81. ( ) ( ) 723 42−
+−= xxxxf
82. ( )( )252
4−
=x
xf
83. ( )( )334
5x
xg−
=
84. ( )( )52 253
9
+−
−=
xxxg
85. ( ) xxxg 42 +=
86. ( ) xxxxg −+= 34 4
87. ( ) ( )52 4+= xxg
88. ( ) 3 261 xxg −=
89. ( ) 3 2874 xxxg −+=
90. ( ) ( )3 24 xxg −=
91. ( ) ( )3 22 143 −+= xxxg
92. ( ) ( )5 21−= xxg
93. ( )26
1
xxg
−=
94. ( )xx
xg25
82 +
=
95. ( )3 33
7
xxg
−=
96. ( )( )3 22 2
2
xxxg
−=
97. ( )3 32351
10
xxxxg
−+−=
98. ( )8
1215
−+
=xx
xg
99. ( )9
531
+−
=x
xxg
100. ( )4
11 −
+−
=x
xxg
101. ( )5
2
2
1
−
+
=x
xxg
102. ( ) ( ) ( )53 134 ++= xxxg
103. ( ) ( ) ( )54 321 +−= xxxg
104. ( ) ( ) ( )44 652 +−= − xxxg
105. ( )2
32
2
+
+=
x
xxg
106. ( )( )32
2
4
2
xx
xxg
+
−=
107. ( ) ( ) 21
2 6−
+= xxxg
108. ( ) ( )31
243 xxg −=
109. ( )3
2 1
+=
xxxg
110. ( )3
2
14
−=
xxxg
Tentukan rumus turunan dari fungsi
berikut:
111. ( ) xxh sin2=
112. ( ) xxh sin8−=
113. ( ) xxh 5sin=
Page 19
Turunan www.matikzone.wordpress.com
114. ( ) xxh cos5=
115. ( ) xxh cos9−=
116. ( ) xxh 8cos=
117. ( ) xxh tan3=
118. ( ) xxh tan4−=
119. ( ) xxh 7tan=
120. ( ) xxf sec=
121. ( ) xxf seccos=
122. ( ) xxf cot=
123. ( ) ( )3sin −= xxh
124. ( ) ( )xxxh 2sin 2 +=
125. ( ) ( )xxxxh +−= 23 32sin
126. ( ) ( )223 3sin xxxh −=
127. ( ) ( )323sin xxxh −=
128. ( ) ( )5cos += xxh
129. ( ) ( )xxxh 3cos 3 +=
130. ( ) ( )xxxxh 235cos 23 −+=
131. ( ) ( )32 52cos xxxh +=
132. ( ) ( )423cos xxxh −=
133. ( ) ( )xxh −= 5tan
134. ( ) ( )xxxh += 3tan
135. ( ) ( )xxxxh 235tan 23 −−=
136. ( ) ( )22 52tan xxxh +=
137. ( ) ( )42 23tan xxxh −=
138. ( ) xxxf cossin −=
139. ( ) xxxf 2cos5sin +=
140. ( ) xxxf 5tan5cos −=
141. ( ) xxxf 2sin3tan2 −=
142. ( ) xxxf 6sin4 2 +=
143. ( ) xxxf sin=
144. ( ) xxxf sin2=
145. ( ) ( ) xxxf tan25 +=
146. ( ) ( ) xxxxf 3cos52 −=
147. ( ) xxxf cossin=
148. ( ) xxxf 3cos3sin=
149. ( ) ( )53tan2sin −= xxxf
150. ( ) ( ) ( )53tan42cos −−= xxxf
151. ( ) ( ) xxxxf 2cos43sin 2 ⋅−=
152. ( ) ( ) ( )23sin3sin 2 −⋅−= xxxxf
153. ( )xx
xf+
=1sin
154. ( )x
xxf
cos
2
=
155. ( )xx
xfcossin
=
156. ( )xx
xfsincos
=
157. ( )xxxx
xfsincossincos
−+
=
158. ( )xxxx
xfsincoscossin
+−
=
159. ( )x
xxf
cos3sin+
=
160. ( )x
xxf
sin42 +
=
161. ( )xx
xxf
cossincos
+=
162. ( )( )32 3
cos
xx
xxf
+=
Page 20
Turunan www.matikzone.wordpress.com
163. ( )xx
xftan2tan2
−+
=
164. ( )xx
xxf
sin1 2+
=
165. ( )x
xxf
cos21sin
−=
166. ( )x
xxf
3cos2sin
=
167. ( ) ( )xxg cossin=
168. ( ) ( )xxg sincos=
169. ( ) xxg 3sin=
170. ( ) xxg 4cos5=
171. ( ) xxg 2tan3 5=
172. ( ) ( )24 2sin3 xxxg −−=
173. ( ) ( )xxg cossin4 3=
174. ( ) ( )xxg 5sincos4 3−=
175. ( ) ( )( )25 2coscos7 xxxg −=
Soal-soal persamaan garis singgung
kurva.
Tentukan gradien dan persamaan
garis yang menyinggung kurva berikut
pada titik yang telah ditentukan.
176. ( ) 132 ++= xxxf di titik (1, 5)
177. ( ) 352 2 +−= xxxf di titik (2, 1)
178. ( ) 23 ++= xxxf di titik (–1, 0)
179. ( )x
xf4
= di titik (1, 4)
180. ( ) 2xxf = di titik (3, 9)
181. ( ) xxf = di titik (4, 2)
182. ( ) ( )( )23 2 +−= xxxf di titik (1, –6)
183. ( ) 21 xxf −= di titik (2, 0)
184. ( ) 543 23 −−= xxxf di titik (2, 3)
185. ( ) 542 −−= xxxf di titik (-2, 7)
186. ( ) 3 5 xxf −= di titik (-3, 2)
187. l. ( )x
xf8
−= di titik (4, -4)
188. ( ) 72 −= xxf di titik (3, 2)
189. ( ) ( )( )2
53x
xxxf
−+= di titik (5, 0)
190. ( ) 164 2 −= xxf di titik (-2, 0)
Tentukan gradien dan persamaan
garis singgung kurva-kurva berikut:
191. ( ) 32 −= xxf di x = 1
192. ( ) 23 2 −= xxf di x = 3
193. ( ) ( )( )43 +−= xxxf di x = -1
194. ( ) ( )( )132 +−= xxxf di x = 0
195. ( )x
xf1
1 −= di x = 3
196. ( ) 473 −+= xxxf di x = -3
197. ( )x
xf1
= di x = 3
198. ( ) 321 2 +−= xxf di x = -2
199. ( )322 −= xxf di x = 1
200. ( ) xxf 3= di x = 9
Page 21
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Tentukan gradien dan persamaan
garis singgung kurva-kurva berikut:
201. 3xy = di titik berordinat 8.
202. 552 ++= xxy di titik berordinat
–1.
203. 2
4x
y = di titik berordinat 4
204. 21 xy −= di titik berordinat –15
205. 23xy = di titik berordinat 12
206. xy = di titik berordinat 3
207. ( ) 452 ++= xxxf , di titik berabsis
–3.
208. xxy 52 −= di titik berabsis 5.
209. 533 +−= xxy di titik berabsis 1.
210. 3210 xy −= di titik berabsis 2.
211. 232 +−= xxy di titik berabsis 2.
Tentukan persamaan garis singgung
kurva:
212. ( ) 232 2 +−= xxxf dengan m = 5
213. ( ) 433 2 ++= xxxf dengan m = -3
214. ( ) 23 23 ++−= xxxxf dengan m =
-2
215. ( ) 24 ++= xxxf dengan m = -3
216. ( ) 32 +−= xxxf dengan m = 1
217. ( ) 2235 xxxf −+= dengan m = -3
218. ( ) ( )( )11 +−= xxxf dengan m = 2
219. ( ) ( )( )53 −+= xxxf dengan m = 0
220. ( ) 23 xxxf += dengan m = 1
221. ( ) 17331 23 +++= xxxxf , m = -1
222. ( ) 3xxf = , dengan m = -1
223. ( )3
1x
xf = , dengan m = -3
224. ( )2
1x
xf = , dengan m = 1/4
225. ( )x
xf1
1 −= , dengan m = 4
226. ( ) 321 2 +−= xxf yang sejajar garis
0462 =+− yx
227. ( ) xxxxf 1021
31 23 −−= yang
sejajar garis xy 2=
228. ( ) xxxf 32 −= yang sejajar garis
72 += xy
229. ( ) 32 2 += xxf yang sejajar garis
038 =+− yx
230. ( ) xxxf 43 2 −= yang sejajar garis
032 =+− yx
231. ( )x
xf4
= yang sejajar garis
5+−= xy
232. ( ) 23 xxxf −−= yang sejajar garis
5+−= xy
233. ( )x
xxf8
21 2 += yang sejajar
sumbu x.
234. ( ) 652 +−= xxxf yang sejajar
garis 53 −= xy .
Page 22
Turunan www.matikzone.wordpress.com
235. ( ) 132 2 +−= xxxf yang sejajar
sumbu x.
236. ( ) 132 2 +−= xxxf yang tegak
lurus trehadap garis xy =
237. ( ) 34 −= xxf yang tegak lurus
garis 0112 =−+ yx
238. ( ) 24 xxxf −= yang tegak lurus
garis 421
+−= xy
239. ( ) 556 23 ++−= xxxxf yang
tegak lurus garis 014 =+− yx
240. ( ) xxxf 64 −= yang tegak lurus
garis 062 =+− yx
241. ( ) ( ) 31
67 −−= xxf yang tegak lurus
garis 02748 =+− yx
242. ( )2
12
xxxf −= yang tegak lurus
garis 931
−−= xy
243. ( ) 523 2 +−= xxxf yang tegak
lurus garis 24 =+ xy
244. ( ) 3186 23 ++−= xxxxf yang
tegak lurus garis 029 =++ xy
245. ( ) 243 2 +−= xxxf yang tegak
lurus garis 032 =++ xy
246. ( ) 622 +−= xxxf yang tegak lurus
garis 023 =+− yx
Soal-soal Lainnya:
247. Garis yang menyinggung kurva
( ) 6483 23 −+−= xxxxf di titik
(2, -2) juga menyinggung kurva
( ) xxxf 22 −= di titik P. Tentukan
koordinat titik P!
248. Garis yang menyinggung kurva
( ) 4xxf = di titik (1, 1) juga
menyinggung kurva
( ) kxxxf ++= 22 di titik P.
Tentukan koordinat titik P dan nilai
k.
249. Tentukan nilai k jika garis
56 += xy menyinggung kurva
( ) kxxxf ++= 22 .
250. Tentukan nilai k jika garis
kxy += 2 menyinggung kurva
( ) 453 23 −++= xxxxf .
251. Kurva ( ) 23 3xxxf −= memotong
sumbu Y positif di titik P. Tentukan
persamaan garis yang menyinggung
kurva ( ) 23 3xxxf −= di titik P.
252. Kurva ( ) 222 ++= xxxf
memotong sumbu Y di titik P.
Tentukan persamaan garis yang
menyinggung kurva
( ) 222 ++= xxxf di titik P.
253. Kurva ( ) 322 −−= xxxf
memotong sumbu X positif di titik
P. Tentukan persamaan garis yang
menyinggung kurva
( ) 322 −−= xxxf di titik P.
Page 23
Turunan www.matikzone.wordpress.com
254. Kurva ( ) xxb
axf
+= melalui
titik P(4, 8), gradien garis singgung
di P adalah 2. Tentukan a dan b.
255. Garis k tegaklurus garis
033 =+− xy dan menyinggung
kurva ( ) 132 2 −+= xxxf di Q.
Tentukan titik Q.
256. Jika titik P mempunyai absis dan
ordinat sama, maka tentukan
gradien garis singgung kurva
( ) 2
21
xxf = di P.
257. Garis singgung titik Q pada kurva
( ) 72 2 +−= xxxf sejajar garis
012 =+− yx . Tentukanlah
koordinat titik Q.
258. Tentukan nilai a dan b, jika garis
singgung kurva bxaxy += 2
melalui titik (1, 5) dan bergradien 8.
259. Tentukan persamaan garis singgung
kurva 2xy = yang sejajar dengan
garis yang me-motong kurva
tersebut di x = -1 dan x = 4.
260. Suatu kurva mempunyai persamaan
qpxxy ++= 2 dengan p dan q
konstan. Jika garis xy 2=
menyinggung kurva di titik (4, 2),
tentukanlah nilai p dan q.
261. Buktikanlah bahwa gradien garis
singgung kurva
1126 23 ++−= xxxy tidak pernah
negatif. Tentukanlah titik-titik pada
kurva tersebut sehingga garis
singgung di titik itu mempunyai
gradien nol.
262. Tunjukkan bahwa kedua garis
singgung kurva 3xy = pada titik
dengan x = 1 dan pada titik dengan
x = -1 adalah sejajar. Tentukan
koordinat titik-titik potong kedua
garis singgung itu dengan sumbu X
dan sumbu Y.
263. Buktikan bahwa tidak ada garis
yang melalui titik (1, 2) merupakan
garis singgung kurva 24 xy −= .
264. Kurva ( )( )( )432 −−−= xxxy
memotong sumbu X di titik-titik
P(2,0), Q(3,0) dan R(4,0). Buktikan
bahwa gradien pada P dan R sama,
dan tentukan persamaan garis
singgung di titik Q.
265. Tentukan koordinat suatu titik pada
kurva 2126 23 ++−= xxxy yang
gradiennya sama dengan gradien
garis 04 =− yx .
266. Garis singgung di A pada
1642 −+= xxy sejajar garis
23 =− yx . Tentukan koordinat
titik A.
267. Jika garis singgung kurva xy 62 =
di titik P membentuk sudut 045
dengan sumbu X positif, tentukan
koordinat titik P.
Page 24
Turunan www.matikzone.wordpress.com
268. Tentukan persamaan garis singgung
terhadap kurva fungsi
( ) xxxxf 223 −+= pada titik yang
absisnya merupakan titik potong
kurva dengan sumbu X.
269. Tentukan persamaan garis singgung
kurva 1683 23 +−−= xxxy yang
membuat sudut 045 terhadap
sumbu X positif.
270. Tentukan titik-titik singgung pada
kurva 432 2 −+= xxy dan
persamaan garis singgung kurva
tersebut, sehingga garis singgung
kurva di titik itu membentuk sudut 0135 dengan sumbu X positif.
271. Tentukan persamaan garis singgung
kurva di titik
21
,6π
K pada kurva
( ) xxf sin= .
272. Tunjukkan bahwa tidak ada garis
yang melalui titik (1, 2) merupakan
garis singgung kurva 24 xy −=
Tentukan interval fungsi naik dan
fungsi turun dari fungsi-fungsi
berikut:
273. ( ) 2xxf =
274. ( ) 23xxf =
275. ( ) 3 2xxf =
276. ( ) xxxf 62 +=
277. ( ) 2xxxf −=
278. ( ) 223 xxxf −=
279. ( ) 33 xxxf −=
280. ( ) xxxf 123 2 +=
281. ( ) 542 +−= xxxf
282. ( ) 23 −= xxf
283. ( ) 23 3xxxf −=
284. ( ) 83 23 +−= xxxf
285. ( ) xxxxf 1292 23 +−=
286. ( ) 4331 23 +−−= xxxxf
287. ( ) 5122 +−= xxxf
288. ( ) ( )22−= xxf
289. ( ) ( )242 += xxf
290. ( ) ( )23−= xxxf
291. ( ) ( )32−= xxxf
292. ( ) ( )( )2971 2 −+−= xxxxf
293. ( ) xxxxf 621
31 23 −−=
294. ( ) 53 23 ++= xxxf
295. ( ) xxxxf 2492 23 −+=
296. ( ) xxxxf 156 23 −+=
297. ( ) 193 23 −−+= xxxxf
298. ( ) 321 xxxxf −−+=
299. ( ) 1033 23 −+−= xxxxf
300. ( ) 34 43 xxxf −=
301. ( ) xxxf 44 +=
302. ( ) 234 44 xxxxf +−=
Page 25
Turunan www.matikzone.wordpress.com
303. ( ) 630152 345 −+−= xxxxf
304. ( )x
xf1
=
305. ( ) 12 −+= xxxf
306. ( ) 1,1
−≠+
= xx
xxf
307. ( )x
xxf
2122
−−
=
308. ( )92 +
=x
xxf
309. ( )42
2
+=
xx
xf
310. ( )( )22
6−
=x
xf
311. ( ) π20;sin ≤≤= xxxf
312. ( ) π20;sincos ≤≤+= xxxxf
Untuk setiap fungsi berikut, nyatakan
apakah fungsinya naik atau turun.
313. ( ) 112 2 −= xxf pada x = 3
314. ( ) 32 2xxxf −= pada x = –1
315. ( ) 94 36 ++= xxxf pada x = 1
Lainnya:
316. Tunjukkan secara aljabar bahwa
fungsi ( ) 1033 23 −+−= xxxxf
tidak pernah turun.
317. Tunjukkan bahwa grafik fungsi
( ) xxxxf ++= 23
31
tidak pernah
turun.
318. Tunjukkan bahwa grafik fungsi
( ) 326152 xxxxf −+−= selalu
turun.
319. Tunjukkan bahwa grafik fungsi
( ) xxxxf ++= 35
32
51
selalu naik.
320. Tunjukkan secara aljabar bahwa
fungsi ( ) xxxxf 232 23 −+−=
selalu turun.
321. Tunjukkan bahwa grafik fungsi
( ) 563 23 ++−= xxxxf selalu
naik untuk semua x bilangan real.
322. Tunjukkan bahwa fungsi
( ) xxxf sin+= tidak pernah turun.
323. Tunjukkan bahwa fungsi
( ) xxxf sin3 +−= selalu turun.
324. Tunjukkan bahwa grafik fungsi
( ) xxxf cos2 += selalu naik untuk
semua x bilangan real.
325. Jika ( ) 623 +++= pxpxxxf
selalu naik untuk setiap nilai x,
maka tentukan nilai p.
326. Jika ( ) 842 23 −++−= xpxpxxf
selalu turun untuk setiap nilai x,
maka tentukan nilai p.
327. Jika grafik fungsi
( ) cbxaxxxf +++= 23 hanya
turun pada interval 35 ≤≤− x ,
maka nilai a + b = ....
Nilai Maksimum dan Minimum
Page 26
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Tentukan nilai maksimum dan minimum
dari fungsi- fungsi berikut untuk interval
yang diberikan:
328. ( ) 22xxf = pada 22 ≤≤− x .
329. ( ) 162 −= xxf pd 22 ≤≤− x .
330. ( ) 322 −−= xxxf pada 42 ≤≤ x .
331. ( ) 362 +−= xxxf pada
21 ≤≤− x .
332. ( ) 6126 23 −+−= xxxxf pd
30 ≤≤ x .
333. ( ) 23 6xxxxf −−= pada
31 ≤≤− x .
334. ( ) xxxxf 36152 23 +−= pd
51 ≤≤ x .
335. ( ) ( )xxxf −= 6 pada 24 ≤≤− x .
336. ( ) ( )( )52 −+= xxxf pada
42 ≤≤ x .
337. ( ) 2100 xxf −= pada 86 ≤≤− x
338. ( ) ( )31−= xxf pada 41 ≤≤− x .
339. ( ) 63 24 −+= xxxf pd 42 ≤≤− x .
340. ( ) 242 xxxf −= pd 43 ≤≤− x .
341. ( ) xxxf cossin += pd
ππ 22 ≤≤− x .
Titik Stasioner.
Carilah titik balik dan jenisnya dari
fungsi-fungsi berikut:
342. ( ) 22xxf −=
343. ( ) 5xxf =
344. ( ) 652 −+= xxxf
345. ( ) 322 +−= xxxf
346. ( ) 355 +−= xxxf
347. ( ) ( )xxxf −= 43
348. ( ) 34 4xxxf −=
349. ( ) ( )41−= xxf
350. ( ) ( )( )51 −+= xxxf
351. ( ) ( ) ( )43 23 +−= xxxf
352. ( ) ( ) ( )( )321 2 −−−= xxxxf
353. ( ) 0;162 ≠+= xx
xxf
354. ( )43 +
=x
xxf
355. ( )x
xxf
12 +=
356. ( )11
2
2
+−
=xx
xf
357. ( ) xxxf −+= 1
358. ( ) 263 24 +−= xxxf
359. ( ) 5432 23 −−−= xxxxf
360. ( ) 32 421243 xxxxf −−+=
361. ( ) 162
112
41 234 +−+−= xxxxxf
362. ( ) 3625
31 23 ++−= xxxxf
363. ( ) 2223
31 23 ++−= xxxxf
364. ( ) 1292 23 +−= xxxf
365. ( ) 433 23 ++−= xxxxf
Page 27
Turunan www.matikzone.wordpress.com
Soal lainnya:
366. Fungsi ( ) 23 bxaxxf += memiliki
titik stasioner (1, -1). Tentukan nilai
a dan b.
367. Jika absis stasioner dari
( ) 123 −−−= pxpxxxf adalah x =
p, tentukan nilai p yang mungkin!
368. Diketahui ( ) axxxf +−= 42
mempunyai ekstrim -6. Tentukan
jenis ekstrim dari fungsi
( ) 122 +−= axaxxf .
Aplikasi Turunan, Nilai Maksimum/
Minimum, Nilai Stasioner.
369. Tinggi silinder adalah dua kali jari-
jari alasnya. Jika jari-jarinya
berkurang dengan laju 0,1 cm/s,
laju perubahan volume dari silinder
ketika jari-jarinya 5 cm adalah....
370. Jumlah dua bilangan adalah 18.
Tentukan kedua bilangan itu agar
menghasilkan perkalian yang
terbesar.
371. Jumlah dua bilangan adalah 16.
Tentukan kedua bilangan itu agar
menghasilkan perkalian yang
terbesar.
372. Jumlah dua bilangan positif sama
dengan 10. Tentukan kedua
bilangan itu agar menghasilkan
perkalian yang terbesar.
373. Tentukan dua bilangan yang hasil
kalinya 12 dan jumlah kuadratnya
minimal.
374. Jumlah dua bilangan asli adalah
150. Tentukan hasil kali terbesar
antara bilangan yang satu dengan
kuadrat bilangan yang lainnya.
375. Jika x dan y merupakan bilangan
positif yang jumlahnya 48, tentukan
nilai 2xy agar maksimum.
376. Jika x dan y merupakan bilangan
positif yang jumlahnya 36, tentukan
nilai yx 2 terbesar dan terkecil.
377. Jika a dan b bilangan real
sedemikian sehingga jumlahnya 8,
tentukan nilai 33 ba + terbesar dan
terkecil.
378. Luas permukaan kotak tanpa tutup
dengan alas persegi adalah 108 2cm . Tentukan ukuran-ukuran
kotak agar volumnya maksimum.
379. Sebuah perusahaan akan membuat
kontainer tertutup yang berbentuk
balok yang alasnya persegi dengan
volum 2.000 3m . Tentukan
ukurannya agar volumnya
maksimum.
380. Tentukan jarak terdekat titik (8, 2)
terhadap parabola 2xy = .
Page 28
Turunan www.matikzone.wordpress.com
381. Sebuah perusahaan susu akan
membuat kaleng susu yang
berbentuk tabung tertutup dari
bahan logam dengan volume 8 3cm . Tentukan ukuran kaleng agar
luas bahan yang dibutuhkan
seminimal mungkin.
382. Carilah ukuran persegi panjang
dengan keliling 100 meter, agar
luasnya maksimum.
383. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang
alasnya persegi adalah 432 2cm .
Agar volum kotak tersebut
mencapai maksimum, tentukanlah
panjang rusuk persegi itu.
384. Yudha akan membuat sebuah kotak
tanpa tutup atas dengan tinggi kotak
sama dengan dua kali salah satu sisi
alasnya. Jika volume kotak harus
400 3cm , tentukan ukuran kotak
agar bahan yang dibutuhkan
sesedikit mungkin.
385. Volume sebuah kotak yang alasnya
persegi adalah 2 liter. Biaya
pembuatan per satuan luas bidang
alas dan atas kotak adalah dua kali
biaya pembuatan bidang sisinya.
Biaya pembuatan yang minimum
tercapai jika luas permukaan kotak
adalah...
386. Sebuah bak air tanpa tutup dibuat
dengan alas berbentuk persegi.
Jumlah luas keempat dinding dan
alasnya 27 2m . Volume terbesar
diperoleh jika luas alasnya.....
387. Suatu kotak terbuka dengan alas
persegi berisi x cm dibuat dari
selembar kertas yang luasnya 75 2cm . Tunjukkan bahwa volume, V 3cm , diberikan oleh
( )37541
xxV −= . Tentukan nilai x
yang menyebabkan V maksimum
dan tentukan nilai maksimumnya.
388. Diketahui secarik kertas yang
luasnya 2 2m . Garis tepi atas,
bawah dan sisinya berturut-turut 21
cm, 21 cm, dan 14 cm. Berapa
ukuran poster jika luas bagian yang
dicetak harus maksimum?
389. Tentukan jari- jari kerucut dengan
volume maksimum yang dapat
dimasukkan ke dalam sebuah bola
berjari- jari r.
390. Tentukan ukuran kerucut dengan
volume terkecil yang dapat
dilingkupkan di sekeliling bola
dengan jari-jari 20 cm.
391. Dian membuat suatu silinder yang
berkapasitas 1.000 3cm . Tentukan
ukuran tanung itu (tanpa tutup atas)
agar bahan yang dipakai minimum.
392. Cari dua buah bilangan positif
dengan hasil kalinya 12 dan jumlah
kuadratnya minimum.
Page 29
Turunan www.matikzone.wordpress.com
393. Bilangan 120 dibagi menjadi dua
bagian sehingga perkalian satu
bagian dengan kuadrat bagian
lainnya maksimum. Tentukan
bilangan-bilangan itu.
394. Jika AB = 12 dan CD = 6, tentukan
x dan y agar luas persegi panjang
maksimum.
395. Sebuah persegi panjang yang
mempunyai lebar (8 – x) cm dan
memiliki keliling (2x + 24) cm.
Agar luasnya maksimum
tentukanlah panjangnya.
396. Suatu perusahaan menghasilkan
produk yang dapat diselesaikan
dalam x jam, dengan biaya per jam
+−
xx
1208004 ratus ribu rupiah.
Agar biaya yang dikeluarkan
minimum, dalam waktu berapa
jamkah produk tersebut harus
diselesaikan?
397. Seekor semut merayap dalam
bidang XOY. Pada saat t ia berada
di titik ( ) ( )( )tytx , dengan ( ) 2ttx =
dan ( ) 542 +−= tttx . Tentukan
jarak semut itu dari sumbu Y agar
jarak semut ke sumbu X
maksimum.
398. Sebuah prisama tegak yang alasnya
berbentuk segitiga siku-siku sama
kaki memiliki volume ( ) 3224 m− .
Jika prisma itu dibuat sehingga luas
seluruh permukaannya sekecil
mungkin, tentukanlah luas alasnya.
399. Selembar seng yang panjangnya p
meter mempunyai lebar 64 cm.
Kedua sisi panjangnya harus dilipat
ke atas untuk membuat talang.
Dengan memisalkan lebar lipatan
pada tiap sisi adalah x, tentukan: a).
Kapasitas talang dalam x, b). Lebar
lipatan tiap sisi agar kapasitas
maksimum, c). Kapasitas
maksimum jika panjang seng
adalah 3 m.
400. Segitiga ABE merupakan segitiga
sama sisi serta BCDE merupakan
persegi panjang. Jika keliling
bangun tersebut 18 cm, tentukan
ukuran bangun tersebut agar
luasnya maksimum.
Page 30
Turunan www.matikzone.wordpress.com
401. Sebuah lingkaran berjari-jari R
dipotong sebagian sehingga
menjadi juring seperti pada gambar.
Juring tersebut akan dibentuk
sebuah kerucut, tentukan volume
maksimum kerucut yang terjadi.
402. Sebuah tabung akan dibentuk di
dalam sebuah bola yang berjari-jari
R sedemikian sehingga tepi alas dan
tepi atasnya menyinggung sisi
dalam bola. Hitunglah volume
maksimum tabung yang terjadi.
403. Sebuah tabung akan dibentuk di
dalam sebuah kerucut sedemikian
sehingga alasnya berimpit dengan
alas kerucut dan bidang atasnya
menyinggung apotema kerucut.
Buktikan bahwa volum maksimum
tabung yang terjadi besarnya 4/9
volum kerucut.
404. Sepetak tanah berbentuk persegi
panjang yang luasnya 64 2m .
Berapakah ukuran dari sepetak
tanah tersebut agar dapat dipagari
dengan bahan sehemat mungkin?
405. Selembar karton dengan luas 24 2cm yang berbentuk persegi
panjang, ujung-ujungnya dipotong
berbentuk bujursangkar yang
ukurannya sama. Sisi-sisi karton
tersebut dilipat ke atas sehingga
diperoleh sebuah kotak tanpa tutup.
Tentukan volume paling besar dari
kotak yang dapat dibuat dari karton
tersebut.
406. Sepotong kawat yang panjangnya
16 cm dipotong menjadi dua
bagian. Satu potong dilipat menjadi
bujur sangkar dan sisanya dilipat
Page 31
Turunan www.matikzone.wordpress.com
untuk dijadikan lingkaran. Pada
bagian manakah kawat tadi harus
dipotong supaya jumlah luas bujur
sangkar dan lingkaran sesempit
mungkin?
407. Sepotong kawat yang panjangnya
16 cm dipotong menjadi dua
bagian. Satu bagian sepanjang 8x
cm dibengkokkan dan dibuat
persegi panjang dengan ukuran 3x
cm x x cm. Bagian lainnya
dibengkokkan dan dibuat persegi.
Tentukan luas minimum gabungan
persegi panjang dan persegi
tersebut.
408. Sebuah kawat yang panjangnya 10
meter akan dibuat bangun yang
berbentuk 3 persegi panjang seperti
pada gambar. Tentukan luas
maksimum daerah yang dibatasi
kawat tersebut.
409. Satu lembar karton berbentuk
persegi panjang dengan ukuran 40
cm x 25 cm akan dibuat kardus
yang berbentuk balok tanpa tutup
dengan cara memotong tiap
sudutnya sepanjang x cm. Tentukan
tinggi kardus agar volumenya
maksimal.
Menggambar Grafik
Gambarlah grafik dari fungsi berikut:
410. ( ) 2xxf =
411. ( ) 3xxf =
412. ( ) 25xxf =
413. ( ) xxxf 82 2 +=
414. ( ) 382 2 +−= xxxf
415. ( ) 266 xxxf −+=
416. ( ) 34 4xxxf −=
417. ( ) 4383 24 +++= xxxxf
418. ( ) ( )23−= xxxf
419. ( ) ( )( )2112 −+= xxxf
420. ( ) 652 −+= xxxf
421. ( ) 322 +−= xxxf
422. ( ) ( )( )51 −+= xxxf
423. ( ) 38 xxf −=
424. ( ) 33 xxxf −=
425. ( ) 323 xxxf −=
426. ( ) xxxf 93 −= .
Soal-soal Spesial:
Page 32
Turunan www.matikzone.wordpress.com
1. Tentukan turunan dari
( )
+
+=x
xxf
11
2. Tentukan turunan dari ( )
11
1
++
=
xx
xf
3. Jika xa
ax
y += , buktikan bahwa
( )
−=
xa
ax
dxdy
xy2