38 - revistasuma.es · Inmaculada Fernández Benito y Encarnación Reyes Iglesias 73 Actividades matemáticas fuera del aula. Cuaderno de Campo. ... X Jornadas para el Aprendizaje

IDEAS Y RECURSOS

ARTÍCULOS

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Índice38

noviembre 2001

EDITORIAL3

5 El lenguaje probabilístico en los libros de texto.Juan José Ortiz de Haro, Carmen Batanero Bernabeu y Luis Serrano Romero

15 2001: el año Cournot.Gabriel Ruiz Garzón

23 El juego en el aula: una experiencia de perfeccionamiento docente en matemá-tica a nivel institucional.Mónica de Torres Curth

31 La formación matemática del profesorado de primaria.Lorenzo J. Blanco Nieto

39 El seminario de problemas: un espacio para la alfabetización en resolución deproblemas.Roberto Núñez Malherbe, Concepción Valdés Castro y Mayra Solana Sagarduy

47 Sumas de Riemann con Sistemas de Cálculo Simbólico.Lorenzo Javier Martín García y Juan Antonio Velasco Mate

53 El concepto de infinito actual. Una investigación acerca de las incoherencias quese evidencian en alumnos de bachillerato.Sabrina Garbin Dall’Alba y Carmen Azcárate

69 Construcciones y disecciones del octógono.Inmaculada Fernández Benito y Encarnación Reyes Iglesias

73 Actividades matemáticas fuera del aula. Cuaderno de Campo.Alfredo Marcos Cabellos y Eduardo Carpintero Montoro

85 De pesetas a euros.Tomás Queralt Llopis

89 ¡Qué viene el euro!Francisco M. Bou, Lucía Puchalt, Marta I. Trapero y Mónica Vivó

DirectoresEmilio Palacián GilJulio Sancho Rocher

AdministradorJosé Javier Pola Gracia

Consejo de redacciónJesús Antolín Sancho

Eva Cid CastroBienvenido Cuartero Ruiz

Faustino Navarro CirugedaRosa Pérez GarcíaDaniel Sierra Ruiz

Consejo EditorialJosé Luis Aguiar BenítezJavier Brihuega NietoM.a Dolores Eraso Erro

Ricardo Luengo GonzálezLuis Puig Espinosa

EditaFederación Española de Sociedades

de Profesores de Matemáticas

Diseño portadaPablo Cano

Diseño interiorConcha Relancio y M.a José Lisa

MaquetaciónE. Palacián, J. Sancho, D. Sierra

Revista SUMAICE Universidad de Zaragoza

C. Pedro Cerbuna,1250009-ZARAGOZA

Tirada: 7.000 ejemplaresDepósito Legal: Gr. 752-1988

ISSN: 1130-488XImpresión: INO Reproducciones. Zaragoza

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Asesores

Pilar Acosta SosaClaudi Aguadé BruixAlberto Aizpún López

José Luis Álvarez GarcíaCarmen Azcárate GiménezManuel Luis de Armas Cruz

Antonio Bermejo FuentesJavier Bergasa Liberal

María Pilar Cancio LeónMercedes Casals Colldecarrera

Abilio Corchete GonzálezJuan Carlos Cortés López

Carlos Duque GómezFrancisco L. Esteban AriasFrancisco Javier FernándezJosé María Gairín SallánJuan Gallardo Calderón

José Vicente García SestafeHoracio Gutiérrez FernándezFernando Hernández Guarch

Eduardo Lacasta ZabalzaAndrés Marcos GarcíaÁngel Marín Martínez

Félix Matute CañasOnofre Monzo del OlmoJosé A. Mora Sánchez

María José Oliveira GonzálezTomás Ortega del Rincón

Pascual Pérez CuencaRafael Pérez GómezAntonio Pérez Sanz

Ana Pola GraciaIsmael Roldán Castro

Modesto Sierra VázquezVicent Teruel Marti

Carlos Usón Villalba

SUMAno se identifica necesariamente

con las opiniones vertidasen las colaboraciones firmadas

RECENSIONES

95 Taller de problemas: Isoperímetros: El panal de abejas y Fejes TothGrupo Construir las Matemáticas

99 Mates y medios: La actualidad matemática.Fernando Corbalán

103 Juegos: Hexamantes.Grupo Alquerque

107 Recursos en Internet: El Proyecto Descartes. Visualizar las matemáticas.Antonio Pérez Sanz

111 Desde la Historia: El Renacimiento (I). Mucho más que un matrimonio de con-veniencia.Ángel Ramírez Martínez y Carlos Usón Villalba

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RINCONES

Matemáticas de Bachillerato, Volúmenes 1 y 2 (Grupo Cero). GEUP, un progra-ma de geometría interactivo (R. Álvarez). CD del Año Mundial de las Mate-máticas. Ideas del infinito (Investigación y Ciencia). Euler. El maestro de todoslos matemáticos (W. Dunham). Iniciación a la investigación en didáctica de lamatemática. Homenaje al profesor Mauricio Rico (P. Gómez y L. Rico –edits.–).

CRÓNICAS127

XII Olimpiada Matemática Nacional. X Jornadas para el Aprendizaje y laEnseñanza de las Matemáticas.

CONVOCATORIAS141

VI Reunión de Didáctica de las Matemáticas del Cono Sur. RSME 2002. XConcurso de Fotografía y Matemáticas. Exposición «Historia de las Matemáticas»

A LEY GENERAL DE EDUCACIÓN de 1970, además de suponeruna profunda transformación en el sistema educativo español–quizás la más significativa desde la Ley Moyano de mitad delsiglo XIX–, supuso un cambio radical en los currículos deMatemáticas en los niveles anteriores a la Universidad.

Por influencia de las teorías psicológicas de Piaget y el enfoquebourbaquista de la matemática, el estructuralismo más radicalinvade los currículos de nuestra materia. El lenguaje conjuntistaimpregna todos los contenidos, desde el concepto de númeronatural, hasta la definición de triángulo, pasando por lademostración de la propiedad asociativa de cualquier operaciónque apareciese con cualquier objeto matemático (naturalmentesiempre que fuese asociativa, que casi siempre lo era).

No pasaron muchos años sin que una parte del profesorado,minoritaria, pero inquieta y, como se ha demostrado conposterioridad, sumamente valiosa, apostase de forma decidida poruna forma distinta de encarar la enseñanza de las matemáticas,cuestionando bastantes de los contenidos curriculares vigentes yexperimentando metodologías alternativas, que ponían el acentoen el «hacer matemáticas» por parte del estudiante, más que en elpapel del profesor como transmisor de conocimientos.

Inicialmente (las sociedades de profesores serían algoposteriores), estos profesores se organizaron en pequeños gruposde trabajo, y a través de publicaciones, artículos en revistas,cursos, congresos, jornadas… fueron transmitiendo una nuevafilosofía sobre cómo se podía aprender y enseñar mejor lasmatemáticas.

Aunque este movimiento de «grupos» se produjo en otrasmaterias, fue en Matemáticas (y, quizás, en Historia), donde

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Veinticinco años después

EDITORIAL

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noviembre 2001

tuvo una significación más profunda. Así, fueron surgiendo el GrupoCero en Valencia, el Grup Zero en Barcelona, el Colectivo deDidáctica de las Matemáticas de Sevilla, el Grupo Azarquiel deMadrid, el Grupo Beta de Badajoz, el Equipo Granada-Mats, el GrupoAresta de Barcelona, y algún otro más que, sin duda, se queda en eltintero.

SUMA desea rendir un pequeño homenaje a todas las personas queformaron estos colectivos, personalizándolo quizás en el grupo másparadigmático, el Grupo Cero de Valencia, dedicando la reseña «larga»de nuestra sección Recensiones a los manuales de primero y segundo deBUP, que supusieron en aquellos tiempos un contrapunto refrescante atanto libro de texto monótono y aburrido. De estos manuales procedentambién los motivos que sirven para ilustrar este número de nuestrarevista.

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N LOS NUEVOS DISEÑOS curriculares se sugiere adelan-tar la enseñanza de la probabilidad, y utilizar una meto-dología apoyada en la simulación y experimentación, indi-cando como un punto fundamental la adquisición de unlenguaje preciso en relación con el azar y la probabilidadPor ejemplo, en el diseño curricular del Ministerio deEducación y Ciencia para la enseñanza secundaria obliga-toria, en el bloque 5, denominado Tratamiento del azarencontramos como concepto a presentar a los alumnos:«Fenómenos aleatorios y terminología para describirlos».Dentro de los procedimientos, se hace referencia a la «uti-lización del vocabulario adecuado para describir y cuanti-ficar situaciones relacionadas con el azar». El currículo delMEC no es una excepción, ya que encontramos parecidostérminos o expresiones en los diseños curriculares de lascomunidades autónomas y en otros países, como Ingla-terra o Estados Unidos, que han propuesto reformas re-cientes sobre el currículo de Matemáticas.

Por otro lado, cuando el alumno se inicia en probabilidad,ha usado con frecuencia términos y expresiones para refe-rirse a los sucesos aleatorios, que con frecuencia no tienenel mismo sentido preciso que adquieren en la clase dematemáticas. En el lenguaje ordinario, tanto en las con-versaciones, como en la prensa o literatura encontramoscon frecuencia referencias al azar y lo aleatorio, aunqueel significado que se da a estos términos no siempre coin-cide con el que tratamos de enseñar. Otros términos colo-quiales se asocian a los fenómenos aleatorios que puedenpresentar matices diferenciados según el contexto, comocasual, accidental, eventual, fortuito, impensado, imprevi-sible, inesperado, inopinado, ocasional, por suerte o lasexpresiones tales como por chiripa, por chamba, de rebo-te, de rechazo, sin querer, sin intención, sin plan.

En este trabajo nos hemos interesado por el lenguaje espe-cífico, que en torno al azar y la probabilidad se presenta en

En la actualidad haadquirido gran importancia

la enseñanza de laprobabilidad, como se

desprende del análisis de losdiseños curriculares vigentes,

indicando como un puntofundamental la adquisiciónde un lenguaje preciso enrelación con el azar y la

probabilidad. Por otro ladouna preocupación

fundamental del profesor dematemáticas es facilitar el

aprendizaje de los alumnos,contando para ello con

diversos recursos ymateriales didácticos, entrelos que destaca el libro de

texto.En este artículo presentamosun estudio empírico sobre ellenguaje relacionado con laprobabilidad, utilizado en

los libros de texto, en el quese observan diferencias

significativas, que puedentener una influencia en el

aprendizaje de los alumnos yque consideramos de interés

para el profesorado queimparte esta materia.

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El lenguaje probabilísticoen los libros de texto

Juan José Ortiz de HaroCarmen Batanero BernabeuLuis Serrano Romero

ARTÍCULOS

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noviembre 2001, pp. 5-13

los libros de texto, realizando un estudio empírico de lostérminos y expresiones en dos libros de primer curso delBachillerato Unificado Polivalente, y es parte de un estudiomás completo sobre el tratamiento de la probabilidad en loslibros de texto (Ortiz, 1999). Una preocupación fundamen-tal del profesor de matemáticas es facilitar el aprendizaje delos alumnos, contando para ello con diversos recursos ymateriales didácticos, entre los que destaca el libro de texto.Como se afirma en el informe Cockcroft (1985: 114) «loslibros de texto constituyen una ayuda inestimable para elprofesor en el trabajo diario del aula». Y por su parte Rico(1990: 22) señala que: «el profesor conserva, mantiene ytransmite el saber institucionalizado en los manuales, dondeaparece seleccionado y adecuadamente estructurado».

Cuando queremos plasmar en un texto una ciencia comola Matemática, que está en continuo desarrollo y expan-sión, los imperativos didácticos nos obligan a realizar unatransposición didáctica (Chevallard, 1985), para transfor-mar el saber sabio en saber escolar, asequible a los alum-nos. Este delicado proceso introduce a veces sesgos ocarencias que pueden tener una influencia en el aprendi-zaje de los alumnos. El lenguaje de los libros de texto esun aspecto relevante en los procesos de enseñanza-apren-dizaje de las matemáticas, por lo que creemos suficiente-mente justificado muestro estudio.

Para llevarlo a cabo seleccionamos dos libros de texto,que designaremos como [A] y [B] en el resto del trabajo yque aparecen referenciados al final del artículo. Estoslibros fueron seleccionados en nuestro estudio previo(Ortiz, 1999), entre los más utilizados por los profesores,por ser de los más completos en cuanto al tema de pro-babilidad. Corresponden, además, a dos editoriales distin-tas, uno de ellos correspondiente al año 1975 y otro al año1991. Estos son los años de comienzo de la reformacorrespondiente al período llamado de las MatemáticasModernas y de la Reforma LOGSE, con lo que esperamosencontrar diferencias significativas entre ambos.

Para fundamentar nuestro estudio, hacemos un breverepaso a las implicaciones que el lenguaje tiene en el estu-dio de las matemáticas.

El lenguaje en matemáticas

Según Orton (1990) hay muchos aspectos del lenguaje quepueden afectar al aprendizaje de las matemáticas, ya quemuchos chicos no entienden los términos que empleamosen clase como parte del vocabulario matemático. Puede queexistan problemas incluso cuando el alumno parece em-plear un vocabulario apropiado, porque a veces le atribu-yen un significado no acorde con el que pretendemos darleen la clase de matemáticas. Lo que reviste un problema noson los términos en sí mismos, sino los conceptos y proce-

sos subyacentes que se están comuni-cando y el significado que transmiten.Pimm (1987) también llama la atenciónsobre el uso de palabras del lenguajecotidiano, con sentido matemático parti-cular, lo cual puede ocurrir en el caso delos términos probabilísticos. Sin embar-go, también considera que la analogía(metáfora) por medio de palabras coti-dianas es muy importante para la cons-trucción del significado matemático.

Dickson y otros (1991) resumen diver-sas teorías que señalan la importanciadel lenguaje en el desarrollo del pensa-miento matemático, desde la tradiciónconductista americana que considerabael pensamiento como «habla no vocali-zada» hasta el constructivismo de Piagetquien consideraba el pensamientocomo «acciones interiorizadas». Para él,el lenguaje sólo podrá reflejar y nodeterminar el desarrollo cognitivo y laadquisición del leguaje y los conceptossubyacentes no es en modo algunopasivo. La comprensión del lenguaje ysu uso por el niño depende de su impli-cación en las situaciones en que se uti-liza. Por ello, considera esencial que elniño y el maestro analicen los diversossignificados e interpretaciones de laspalabras, de manera que cada uno sepaclaramente lo que el otro quiere decir alusar determinadas formas lingüísticas.

Rotherry (1980) diferencia tres catego-rías de palabras usadas en la enseñanzade las matemáticas:

a) Palabras específicas de las matemá-ticas que, normalmente, no formanparte del lenguaje cotidiano. Unade las características distintivas deldiscurso sobre las matemáticas es eluso generalizado del vocabulariotécnico. Los matemáticos han desa-rrollado una serie de términos espe-cíficos para comunicarse entre sí,que pueden causar problemas enlas clases de matemáticas en casode que los alumnos no lleguen adominarlo (Pimm, 1987).

b) Palabras que aparecen en las mate-máticas y en el lenguaje ordinario,aunque no siempre con el mismosignificado en los dos contextos.

Una preocupaciónfundamentaldel profesor

de matemáticases facilitar

el aprendizajede los alumnos,

contandopara ello

con diversosrecursos

y materialesdidácticos,entre los

que destacael libro de texto.

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Pimm (1987) indica que la mayorparte de las clases de matemáticasse desarrollan en una mezcla delenguaje corriente y lenguaje mate-mático (es decir usando términosordinarios del lenguaje con un sen-tido matemático). A causa de inter-pretaciones lingüísticas diferentesse producen innumerables confu-siones cuando el profesor empleatérminos «del dialecto matemático»y los alumnos lo interpretan deacuerdo al lenguaje ordinario.

c) Palabras que tienen significadosiguales o muy próximos en amboscontextos.

Como veremos en el caso de la probabili-dad la mayoría de los vocablos pertene-cen a las dos últimas categorías, aunque,si el niño no está muy familiarizado por eluso, muchas palabras de la categoría c) seconvertirán en términos de la categoría b),lo que podrá crear dificultades de comu-nicación en el aula. Todas estas conside-raciones nos han llevado a analizar el len-guaje empleado en los dos libros de textoseleccionados. Los objetivos concretospretendidos son los siguientes:

a) Mostrar la riqueza de los mediosexpresivos probabilísticos en loslibros de texto, incluso cuando setrata de unidades pensadas parauna primera introducción al tema.Tras esta riqueza de medios expre-sivos subyace una riqueza concep-tual que apunta, por un lado, a lacomplejidad de los significados delos conceptos matemáticos subya-centes, y por otro, a sus múltiplesinterrelaciones y a la rica fenome-nología de lo aleatorio.

b) Mostrar las diferencias de mediosexpresivos en los textos analizados,para ejemplificar como, para unmismo nivel de enseñanza y unosmismos conceptos, es posible unagama de significados a presentar alos alumnos, en función del lengua-je empleado y el modo en que seusa este lenguaje.

A continuación presentamos nuestrosresultados, clasificándolos en dos pun-

tos: el lenguaje de lo aleatorio y el lenguaje de la pro-babilidad.

El lenguaje de lo aleatorio

Un primer punto analizado en nuestro estudio son laspalabras y términos usados para hacer referencia al con-cepto de experimento aleatorio, la aleatoriedad, sus pro-piedades y ejemplos de situaciones aleatorias. En la tabla1 recogemos este lenguaje, alfabetizado para cada uno delos dos libros analizados. Podemos clasificar estas palabrasy expresiones en los siguientes grupos diferenciados:

a) Expresiones referidas a la aleatoriedad.

b) Expresiones referidas a la idea de experimento alea-torio o a sus resultados.

c) Vocablos relacionados con los dispositivos generado-res de resultados aleatorios.

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Texto [A]

Aleatoria (experiencia)

Azar, azaroso

Baraja, española, francesa

Bolsa (con bolas)

Cargado, correcto (dado)

Carta

Chincheta

Dado (caras, trucado, irregular)

Extraer (una bola)

Extracción

Ficha

Función Random

Imprevisible

Incertidumbre, incierto

Inseguridad

Juegos de azar: ganar/ perder

Jugada

Lanzar (un dado, moneda)

Moneda

Números aleatorios

Resultado

Ruleta

Sacar (una carta)

Secuencia (de resultados aleatorios)

Simétrica (simetría)

Sondeo

Suerte

Tirar (un dado, moneda)

Texto [B]

Bolas en urnas

Dado

Experimento aleatorio

Fichas numeradas

Impredecible

Juegos de azar

Lanzar (dados, moneda)

Moneda

Observar (un resultado)

Obtener (un resultado)

Predecir (un resultado)

Proceso (define un)

Resultado

Rifas (con números premiados)

Sacar (una carta, una moneda,bolas de urnas)

Sucesión de elementos (permiteobtener una)

Tabla 1. Lenguaje utilizado en relación con el experimento aleatorio

Expresiones referidas a la aleatoriedad

Son las que evocan este concepto, sirven para definirlo oprecisar sus características. Hemos encontrado entre ellassubstantivos como azar:

El azar es considerado como lo más opuesto al orden, cualquierregla, a toda previsión. ¿Cómo poner leyes a algo imprevisible?»(Texto [A]: 234)

Sin embargo, aunque es cierto que cada resultado aisladode un experimento es imprevisible, cuando consideramosun gran número de experimentos aparecen leyes de pro-babilidad. En este sentido la afirmación del texto no es deltodo precisa.

Otros vocablos utilizados para caracterizar estas situacio-nes aleatorias son incertidumbre, inseguridad:

Estos ejemplos te dan la clave fundamental para empezar aponer números a la incertidumbre; para manejarte bien a pesarde la inseguridad. (Texto [A]: 223)

Asimismo se hace referencia a que «No se puede predecir elresultado» (texto [B]: 40). Esta es una característica que sirvepara discriminar experimentos aleatorios y no aleatorios:

Fíjate en que cada vez que realizas los experimentos a), b) y d) nopuedes predecir el resultado, ya que en a) puede ser cara o cruz;en b) puede salir 1, 2, 3, 4, 5 o 6, etc. En cambio, en el experi-mento c) si puedes predecir el resultado: el trozo de plomo no flotaen el agua. Por ello decimos que los experimentos a), b) y d) sonaleatorios y que el experimento c) no es aleatorio. (Texto [B]: 40)

A veces encontramos adjetivos que se emplean para calificareste tipo de experiencias, resultados o situaciones y paradescribir sus características, como en el siguiente ejemplo enlas que se consideran sinónimos azaroso e imprevisible:

La palabra azaroso se utiliza como sinónimo de imprevisible.(Texto [A]: 234)

Otro término más técnico es el de aleatoria, aleatorio:

Los acontecimientos cuya realización depende del azar se llamansucesos aleatorios. (Texto [A]: 227)

Sin embargo, en otras ocasiones la palabra azar no seemplea como sustantivo, sino como adjetivo para calificaruna situación, especialmente, en lo referido a los juegos:

Se empezó con juegos de azar. (Texto [A]: 222)

Estos juegos se describen en la siguiente forma en eltexto [B]:

Una de las características de los llamados «juegos de azar» con-siste en que sus resultados están substancialmente de acuerdo conlas probabilidades «a priori» (Texto[B]: 39).

Con una connotación de control del azar o bien de resul-tado inesperado, aparece a veces la idea de suerte. De estemodo, y coincidiendo con lo expuesto por Hawkins y

otros (1992), se diferencia entre aleato-riedad que es no controlable y la suerteque podría ser controlable o podríafavorecer o perjudicar a una persona:

Tuve una tarde de suerte: tiré el dado 180veces y salió el 6 en 84 ocasiones. (Texto[A]: 234)

Como indica Rescher (1995) la suertesolo tiene sentido si existe aleatoriedado inseguridad y si el suceso, en cuestiónfavorece o perjudica a una personadeterminada y ocurre, a pesar de no serprevisible su ocurrencia.

Expresiones referidasa la idea de experimentoaleatorio o a sus resultados

En general, en estos libros son pocas lasocasiones en que se sugiere a los alum-nos realizar experimentos aleatorios yobservar sus resultados. La introducciónde la idea de aleatoriedad se hace pre-ferentemente de un modo descriptivo ypor ello los matices del lenguaje cobranun papel primordial en tal descripción.Las características atribuidas a los resul-tados de estos experimentos se realizancon palabras tales como imprevisible,incierto, con las que se pretende que elalumno evoque las propiedades de talesfenómenos, pero cuyo significado nosuele clarificarse, quedando abierta laposibilidad de una interpretación ambi-gua. También la palabra aleatorio se usacomo calificativo, por ejemplo númeroaleatorio (Texto [A]: 230), a pesar de nohaberse dado una definición explícitade dicho término.

Algunos verbos evocan tipos característi-cos de experimentos considerados aleato-rios, como extraer (una bola), lanzar (undado, una moneda), sacar (una carta),tirar (un dado, una moneda). Asimismoencontramos referencias a «obtener unresultado» y «observar un resultado»:

Lanzar una moneda al aire y observar elresultado. (Texto [B]: 40)

Estos verbos evocan una serie de accio-nes familiares a la experiencia del niñocon los juegos que están presentes ensu cultura, a la vez que generalmente

La introducciónde la idea

de aleatoriedadse hace

preferentementede un mododescriptivoy por ello

los maticesdel lenguaje

cobranun papel

primordialen tal descripción.

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les recuerdan unos convenios implícitosen los mismos. Por ejemplo, tiramos olanzamos un dado, para estudiar elnúmero que resulta en la cara superior,pero no nos preocupamos de su color ysuponemos que el dado no cae decanto. Sacamos o extraemos una cartade la baraja, habiendo barajado éstapreviamente y sin hacer trampas, supo-niendo que la baraja está completa, etc.Sólo hemos encontrado en el texto [B],una mención a la posibilidad de no con-siderar algunos de los resultados:

Lanzar al aire el dado de la figura 11 yobservar el resultado. Supongamos quehay sólo seis resultados posibles (prescindi-mos de la posibilidad de que el dadoquede apoyado en una arista o en un vérti-ce). (Texto [B]: 46)

Suponemos que el alumno comprendebien todos estos convenios, pero nosolemos comprobarlos en la clase, porfalta de tiempo y algunos investigadoreshan mostrado como los niños tienenideas subjetivas respecto a los experi-mentos aleatorios, por ejemplo, puedenpensar que si se concentran pueden con-seguir un tipo dado de resultados, estoes, controlar los experimentos aleatorios.

Otro caso en que aparecen conveniosimplícitos en los libros de texto es cuan-do se hace una referencia a la palabrasondeo:

Hacen un sondeo y averiguan que el 40%de los hombres y el 30% de las mujeresestaría dispuesto a ser trasladado. (Texto[A]: 251)

Esta palabra implica la idea de unapoblación subyacente de la que se hatomado una muestra, de modo que éstasea representativa de dicha población, esdecir, donde se supone que los elemen-tos de la muestra han sido elegidos dealguna forma aleatoria que impide lainclusión de sesgos respecto a los resul-tados obtenidos. Aunque «sondeo» es untérmino técnico, su uso se está incorpo-rando progresivamente al lenguaje ordi-nario, debido al uso creciente de encues-tas y sondeos de opinión, especialmentepor parte de la prensa, por lo que cree-mos debe resultar familiar a los alumnosa los que van dirigidos los libros.

En el caso de los juegos de azar nos referimos a juegos enlos que interviene un elemento aleatorio que nos impidetener la seguridad de ganar siguiendo una estrategia daday también encontramos vocablos específicos asociados aeste tipo de juegos, como ganar, perder, jugada.

Otra expresión característica es la de secuencia (de resul-tados aleatorios) que evoca una serie de resultados obteni-dos al repetir en las mismas condiciones un experimentoaleatorio un número dado de veces y que potencialmentepodemos continuar en las mismas condiciones iniciales:

Con un programa adecuado se pueden obtener en muy pocosminutos los resultados de una supuesta secuencia de miles de tira-das de dado con la misma eficacia que si, realmente, se efec-tuaran los lanzamientos. (Texto [A]: 230)

También hemos encontrado para referirse a los resultadosde un experimento aleatorio, la palabra sucesión, utilizadaen el mismo sentido que la de secuencia:

En el capítulo anterior has estudiado los fenómenos aleatorios.Cada uno de éstos define un proceso que permite obtener unasucesión de elementos. (Texto [B]: 58)

Vocablos relacionados con los dispositivosgeneradores de resultados aleatorios

Al analizar el concepto de aleatoriedad desde un punto devista teórico, podemos separar dos componentes: losresultados o secuencias de resultados, y el experimento ensí mismo o bien del dispositivo experimental que producelos resultados aleatorios. En los libros hemos encontradogran variedad de vocablos que se refieren a los dispositi-vos que generan resultados aleatorios. La riqueza de estetipo de vocabulario implica la consideración de ejemplosvariados de experimentos aleatorios, que no siempre sonisomorfos y que, según Truran (1994a), pueden ser consi-derados como no equivalentes por los niños, incluso en elcaso de ser isomorfos.

En primer lugar, nos encontramos con los dispositivos físi-cos productores de resultados aleatorios, que son suficiente-mente conocidos por los alumnos a través de sus experien-cias con juegos de azar, muy extendidos en nuestra cultura.Entre otros, en los textos se hace referencia a la baraja(española y francesa), bolsa (con bolas), chincheta, dado,ficha, moneda, ruleta. Una moneda o un dado pueden sersimilares para el alumno, con la diferencia del número desucesos del espacio muestral implicado, puesto que enambos casos hay un conjunto discreto de resultados deter-minados por la posición física del objeto (moneda o dado)al caer después de un lanzamiento. En estos casos, tantocomo en la extracción de bolas en urnas, es más fácil visua-lizar la relación parte-parte en el cálculo de probabilidades,lo que hace que en ocasiones los alumnos no lleguen a usarfracciones sino a comparar los valores absolutos de casosfavorables y desfavorables para asignar probabilidades.

Al analizarel concepto

de aleatoriedaddesde un puntode vista teórico,

podemosseparar

dos componentes:los resultadoso secuenciasde resultados,

y el experimentoen sí mismo…

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Una ruleta visualiza mejor la relación parte-todo y portanto la regla de Laplace y, además, permite al alumno uti-lizar consideraciones de tipo geométrico. Tanto este casocomo la chincheta permite proponer ejemplos de sucesosno equiprobables. La baraja o la bolsa con bolas permitetrabajar situaciones de muestreo sin reemplazamiento queno es fácil ejemplificar con los dispositivos anteriores.

Otras veces se usan contextos de tipo cotidiano para ejem-plificar experimentos aleatorios como «sacar una monedade un bolso que contiene una moneda de 5 pesetas, unamoneda de 25 pesetas y una moneda de 50 pesetas» (texto[B]: 54), o problemas relacionados con el tráfico, como enel ejemplo siguiente:

Los expertos de tráfico, sin conocer las intenciones personales decada conductor, prevén con mucha precisión qué flujo de cochesva a haber en cada carretera a cada hora de la semana. Y loque es más sorprendente, vaticinan con tino el número de acci-dentes que se van a producir. Estos no son más que algunos delos muchísimos ejemplos que se pueden dar sobre regularidadesen situaciones completamente aleatorias. (Texto [A]: 234)

Incluso se menciona la función random de un microorde-nador, que es un dispositivo determinista que permiteobtener resultados que a efectos prácticos pueden sertomados como aleatorios:

Los microordenadores tienen una función (RANDOM) con la que sepueden conseguir números aleatorios. Con un programa adecuadose pueden obtener en muy pocos minutos los resultados de unasupuesta secuencia de miles de tiradas de un dado. (Texto [A]: 230)

En ocasiones se especifican las condiciones que debenseguir estos generadores para ser considerados como alea-torios, introduciendo, por ejemplo, la idea de dado correc-to o moneda indistinguible que hace referencia implícita ala equiprobabilidad de sus diferentes resultados, aunqueexplícitamente no se analizan estas propiedades:

Hemos calculado y representado en los siguientes diagramas, lasfrecuencias relativas de los resultados de lanzar un dado correc-to. (Texto [A]: 229)El espacio muestral asociado al experimento aleatorio «lanzar alaire dos monedas indistinguibles y observar el resultado» es:E = {(c, c), (c, f), (f, c), (f, f)}. (Texto [B]: 41)

La equiprobabilidad de los distintos resultados se concep-tualiza también mediante el término simétrico (simetría),que implica que es posible aplicar el principio de indife-rencia, debido a las propiedades físicas del objeto. O, porel contrario, se introducen adjetivos como cargado paraindicar los dispositivos que no cumplen estos requisitos.Estas palabras del lenguaje ordinario adquieren así un sig-nificado específico dentro del tema de probabilidad.

Un dado es una figura muy simétrica, a menos que esté preparado(cargado). Hay las mismas razones para esperar que, al lanzarlo alaire, salga el 5 que el 4. (Texto [A]: 222)

A veces este término es sustituido por irregular, como enel siguiente ejemplo:

Vamos a jugar con un dado, pero sospe-chamos que es irregular. (Texto [A]: 252)

En consecuencia, el vocabulario usadocon relación a la idea de aleatoriedadsirve para precisar las características atri-buidas a este concepto, así como a laidea de experimento aleatorio y paradescribir diferentes generadores deresultados aleatorios.

Del análisis detallado de la tabla 1 obser-vamos una mayor riqueza del lenguajeempleado para referirse a la aleatoriedaden el texto [A]. Por un lado, es muchomás variada la gama de adjetivos yexpresiones usadas para describir esteconcepto. Por otro aparecen ejemplosde generadores aleatorios, como la chin-cheta, para cuyos resultados no puedeaplicarse la regla de Laplace y que están,por tanto, asociados a una concepciónfrecuencial de la probabilidad. Aunqueen ninguno de los dos libros se introdu-cen tablas de números aleatorios, eltexto [A] hace referencia a este conceptoy se habla de la función random de losmicroordenadores. Todo ello apunta aun mayor énfasis en este libro del con-cepto de aleatoriedad y experimentoaleatorio, así como por la fenomenolo-gía del azar que en el texto [B].

El lenguajede la probabilidad

Hemos encontrado, asimismo, una granvariedad en el vocabulario usado parareferirse a la idea de probabilidad y suasignación a los sucesos, para graduarlas probabilidades de distintos sucesos opara referirse a diferentes tipos de pro-babilidades. Este vocabulario se presen-ta en la tabla 2, que también podemosagrupar en diferentes apartados.

Concepto, interpretación,tipos de probabilidad,concepciones

Un primer grupo de vocablos y expre-siones se refiere al concepto de proba-bilidad y a su interpretación, que revis-te diversos matices que indican la con-

…el vocabulariousado

con relacióna la idea

de aleatoriedadsirve

para precisarlas características

atribuidasa este concepto,

así comoa la idea

de experimentoaleatorio

y para describirdiferentes

generadoresde resultados

aleatorios.

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cepción de probabilidad subyacente,que puede ser laplaciana, frecuencial,subjetiva o formal.

Por ejemplo, en la acepción subjetiva, seconsidera la probabilidad como el gradode creencia personal en la realización deun suceso. Como tal grado de creencia,diferentes personas podrían asignardiversas probabilidades al mismo suceso.Hemos encontrado esta acepción de pro-babilidad cuando se habla de confianzapersonal en la realización de un suceso,como en el siguiente ejemplo:

Si el hombre del tiempo nos dijera que laprobabilidad de que mañana esté despeja-do es del 80 por ciento, querría significarque, de 100 días con las circunstancias

meteorológicas observadas hoy, el día siguiente, en 80 de los 100casos, se ha presentado despejado. Como ves, no te quita lasdudas de lo que vaya a pasar mañana, pero no por eso la infor-mación deja de serte útil. Puedes preparar tu excursión con bas-tante confianza de que no será pasada por agua. (Texto[A]: 222)

Una acepción parecida, aunque no totalmente equivalentees cuando la probabilidad se interpreta como grado deincertidumbre o inseguridad. En el ejemplo que sigue noqueda claro si este es un grado subjetivo (dependiente decada persona en particular) u objetivo (asociado al sucesoen cuestión): «El grado de incertidumbre es mayor o menoren cada caso» (texto [A]: 227) o grado de inseguridad:

La probabilidad es la parte de las matemáticas que trata demanejar con números la incertidumbre (grado de inseguridad).(Texto [A]: 223).

En la definición anterior se hace referencia al carácternumérico de la probabilidad. El texto [B], al introducir ladefinición axiomática de la probabilidad, utiliza los núme-ros para definirla de la siguiente forma:

A cualquier suceso S Œ B se le puede asociar un número no negati-vo p(S) que se llama probabilidad de dicho suceso. (Texto [B]: 47)

En esta acepción no se dota de un significado intuitivo ala probabilidad, sino sólo de unas reglas formales quedebe cumplir para satisfacer unos axiomas.

La palabra probabilidad se toma en algunos libros comosinónimo de posibilidad (mayor, menor), aunque mate-máticamente estos dos términos no son estrictamenteequivalentes:

¿Cómo se mide la mayor o menor posibilidad de que ocurra algoque no es seguro? (Texto [A]: 227)

Por otro lado, se diferencia entre probabilidad teórica o «apriori», que es la que viene dada por el cálculo matemáticode probabilidades siguiendo la regla de Laplace y probabili-dad experimental, que es la obtenida a partir de las frecuen-cias relativas de resultados experimentales, es decir, donde laprobabilidad se presenta en su acepción frecuencial:

Podrás decir que la probabilidad experimental de que la chinchetaquede con la punta hacia arriba es 30/100. (Texto [A]: 241)

En el texto [B] incluso se menciona explícitamente estasdiversas interpretaciones del término «probabilidad»:

Sin embargo, en cada caso nos referimos a un tipo diferente dejuicios de «probabilidad». Así, el primero es un ejemplo de loque podríamos llamar juicio de probabilidades «a priori» y estárelacionado con el cálculo matemático de probabilidades; elsegundo es un ejemplo de lo que, a falta de mejor expresión, lla-maríamos un juicio de credibilidad, y es una medida del gradode confianza que tenemos en la verdad de una cierta afirmacióno en el acaecimiento de determinado suceso. (Texto [B]: 39)

Otro término introducido en el texto [A] que guarda rela-ción con el concepto de probabilidad es el de odds o

11

Texto [A]

«A priori»

Asignar (probabilidad)

Apuestas (acertar)

Cálculo (de la probabilidad)

Casi seguro

Chances

Combinatoria, combinatorio

Confianza

Grado de incertidumbre

Grado de inseguridad

Equiprobable

Estimar

Igualmente probables

Imposible (casi imposible)

Ley de Laplace

Medir (la probabilidad)

Odds

Permutación

Probable (muy, muy poco,poco, medianamente)

Probabilidad

Probabilidad teórica/experi-mental

Probabilístico (conocimiento,estudio)

Posibilidad (mayor, menor)

Seguro, asegurarnos

Simetría

Suceso raro (muy)

Triángulo combinatorio

Texto [B]

Aplicación

«A priori»

Asignamos (probabilidad)

Cálculo matemático (de la pro-babilidad)

Ganar (probabilidad de)

Grado de confianza

Igualmente posibles

Igual probabilidad

Juicio de credibilidad

Juicio de probabilidad

Número no negativo

Posible (resultado)

Probabilidad

Probable

Tabla 2. Lenguaje utilizado en relación con la probabilidad

chances, que no suele ser muy utilizado en los libros detexto, por lo que posiblemente el autor ha preferido notraducir esta palabra al castellano, donde podría usarse«posibilidades» para estos términos:

En el mundo anglosajón, tal vez por la afición de las apuestas,en lugar de hablar de la probabilidad de un suceso A, hablanmuy a menudo de las «odss in favour of A», que expresaremosen castellano, para evitar confusiones con probabilidad, aunquetal vez de un modo no muy ortodoxo, las chances a favor de A.(Texto [A]: 254)

En el texto [B], hemos encontrado un ejercicio donde sepropone un juego y se pregunta cuál es la probabilidadque tiene un jugador de ganar:

A y B juegan a cara y cruz con las siguientes condiciones: si laprimera vez sale cara gana A; mas si esto no sucede, se jueganotras dos, y si en las dos sale cara, gana A también. ¿Cuál es laprobabilidad que tiene B de ganar? (Texto [B]: 54)

Por último, los textos emplean también el adjetivo proba-bilístico para calificar las situaciones en que se emplea elcálculo de probabilidades:

Pero incluso el conocimiento físico de los últimos elementos cons-tituyentes de la materia es también probabilístico. (Texto [A]: 224)

La probabilidad como funcióny asignación de sus valores

En el apartado anterior hemos analizado los términos quealuden a la probabilidad como valor numérico, como medi-da, con diversas variantes. Donde aparece claramente elconcepto de probabilidad como función es en el texto [B],que concluye la definición axiomática de la probabilidad así:

El conjunto formado por el espacio muestral E, el conjunto desucesos y la aplicación p se llama espacio probabilístico y serepresenta por (E, B, p). (Texto [B]: 47)

Además de los términos que se refieren al concepto,hemos encontrado un vocabulario bastante variado en loque se refiere a la forma de asignar o calcular probabili-dades. Se usan a veces como sinónimos palabras quepodrían tener un significado diferenciado, como asignar(probabilidad), calcular o medir. Por otro lado este últimotérmino tiene un carácter ambiguo que podría llevar alalumno a confusión, debido a la diferencia que toma res-pecto al significado de «medir» en otros contextos, dondeimplica una acción física empleando instrumentos demedida: «Asigna tú mismo la probabilidad» (texto [A]: 241),cálculo (de la probabilidad), medir (la probabilidad):

Vamos a intentar medir la probabilidad de algunos sucesos al lan-zar un dado. (Texto [A]: 243)

El procedimiento empleado para realizar estos cálculospuede basarse en la combinatoria, o ser de tipo combi-natorio, o emplear el triángulo combinatorio. Se hace

también referencia, como método decálculo a la ley de Laplace:

Esta fórmula de cálculo, llamada «Ley deLaplace» se suele expresar así. (Texto [A]: 244)

Para poder aplicar esta fórmula se exi-gen condiciones de simetría que serefiere a que no hay más razones afavor de uno u otro resultado, pero queno se suele clarificar:

En el dado, en la moneda, en la ruleta, ..., lasimetría de la situación nos conduce a uncálculo directo de la probabilidad teórica delos sucesos correspondientes. (Texto [A]: 241)

Todos estos vocablos evocan el enfoqueclásico de la probabilidad. En otroscasos se alude a que los sucesos son«igualmente posibles»:

Enumerar los casos igualmente posibles delexperimento aleatorio que consiste en tirardos dados a la vez. (Texto [B]: 54)

En caso de emplear una aproximaciónfrecuencial, se habla de estimar la pro-babilidad:

Al final estimamos que la probabilidad decada suceso elemental es… (Texto [A]: 252)

Finalmente el término apuestas puedeevocar una asignación de tipo subjetiva:

Las primeras consideraciones matemáticasprofundas a propósito de los juegos deazar y de las apuestas. (Texto [A]: 223)

Graduaciónde probabilidades

Los libros de texto emplean diferentesvocablos para expresar de modo cualitati-vo una graduación de la probabilidad delos diferentes sucesos. De este modo,hemos encontrado los siguientes voca-blos, que hemos ordenado según lamayor o menor probabilidad implicada:seguro, asegurarnos, casi seguro, probable(muy, muy poco, poco, medianamente),equiprobable, igualmente probables, suce-so raro (muy), imposible (casi imposible):

La probabilidad es el número de resultadosfavorables m, dividido por el número deresultados posibles n, supuesto que éstossean equiprobables. (Texto [A]: 222)

La única mención que hemos encontra-do en el texto [B] sobre este aspecto larealiza en la introducción, donde afirma:

Los librosde textoempleandiferentesvocablos

para expresarde modo

cualitativouna graduación

de la probabilidadde los diferentes

sucesos.

12

En el lenguaje ordinario se usan palabrascomo probabilidad, probables, …, al referir-nos a determinados sucesos. Así, por ejem-plo, se habla de la probabilidad de obtenerdos seises al lanzar sobre una mesa dosdados. De que es probable que determinadopaís consiga la medalla de oro en la pruebade los 100 metros masculinos, en las próxi-mas Olimpiadas. (Texto [B]: 39)

De nuevo la riqueza de vocabulario esmucho mayor en el texto [A]. En el texto[B] no aparecen gradaciones cualitativasde las probabilidades de los sucesos,sino simplemente valores numéricos delas mismas. Se aisla así el trabajo de pro-babilidades realizado en el aula del usodel mismo en la vida diaria donde confrecuencias hacemos valoraciones deltipo «muy probable», «bastante posible»,etc., para referirnos a la verosimilitud deun cierto suceso aleatorio.

No hay tampoco alusión a modos dife-rentes de obtener los valores de probabi-lidad, diferentes del «cálculo matemático»,puesto que las concepciones subjetivas yfrecuencial de la probabilidad no se pre-sentan en el texto. Por consiguiente, nohay referencia a la «estimación» o «asigna-ción subjetiva» de probabilidades. Tam-poco se presenta la distinción entre «pro-babilidades teóricas» y «experimentales»,confirmando la falta de conexión entreeste tema y el estudio de la estadística.Finalmente, no hemos encontrado tampo-co conexión con el tema de combinatoria,puesto que, a pesar de que la mayor partede los problemas se deben resolver usan-do conceptos combinatorios, no hay refe-rencias explícitas ni vocabulario o nota-ción que indique esta conexión.

Implicaciones didácticas

En este estudio hemos intentado destacarla importancia del libro de texto comorecurso didáctico, que como hemos vistoes uno de los más utilizados por el pro-fesorado, así como las posibles limitacio-nes que pueden existir. Ha quedadoigualmente de manifiesto la relevanciaque tiene el lenguaje en los procesos deenseñanza-aprendizaje de las matemáti-cas, y especialmente el lenguaje utilizadoen las nociones de experimento aleatorioy de probabilidad, conceptos muy com-

plejos y que nos ha permitido mostrar la gran riqueza ydiversidad de términos existentes en los dos textos analiza-dos. Aunque nuestro análisis se ha llevado a cabo en loslibros de bachillerato, anterior al actual plan de estudios, susresultados y metodología son aplicables al análisis de loslibros vigentes en el marco de la LOGSE. También nos hamostrado la variabilidad de expresiones que con relación ala aleatoriedad y probabilidad pueden aparecer en dos librosque han sido escritos para el mismo nivel de enseñanza.

Estos dos puntos sirven de nuevo para mostrar el impor-tante papel de los escritores de libros de texto que marcanun nuevo nivel en la transposición didáctica del tema, alfijar y concretar lo establecido en los diseños curriculares,así como del profesor que, finalmente, en el aula decideno sólo el libro de texto que recomienda a sus alumnossino las partes de éste a usar en la enseñanza y los recur-sos con que debe ser complementado. Esperamos con estetrabajo contribuir a la mejora de la enseñanza de las mate-máticas, en particular de la aleatoriedad y la probabilidad,en los niveles de la Educación Secundaria, así como faci-litar la labor del profesorado en el aula.

Referencias bibliográficasCHEVALLARD, Y. (1985): La transposition didactique, La Pensée

sauvage, Grénoble.

COCKCROFT, W. H. (1985): Las matemáticas sí cuentan. InformeCockcroft, Ministerio de Educación y Ciencia, Madrid.

DICKSON, L., M. BROWN y O. GIBSON (1991): El aprendizaje delas matemáticas, Labor, Madrid.

HAWKINS, A., F. JOLLIFFE y L. GLICKMAN (1992): Teaching sta-tistical concepts, Longman, London.

ORTIZ, J. J. (1999): Significado de conceptos probabilísticos en lostextos de Bachillerato, Tesis Doctoral, Departamento deDidáctica de la Matemática, Universidad de Granada.

ORTON, A. (1990): Didáctica de las matemáticas, MEC y Morata,Madrid.

PIMM, D. (1987): Speaking Mathematically, Routledge and KeganPaul, New York.

RESCHER, N. (1995): Luck. The brilliant ransomness of everydaylife, Harper Collins, Canada.

RICO, L. (1990): «Diseño curricular en Educación Matemática: Unaperspectiva cultural», en S. LLINARES y V. SÁNCHEZ (eds):Teoría y Práctica en Educación Matemática, Alfar, Sevilla, 17-62.

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Libros de texto analizados[A]: GUZMÁN, M., J. COLERA y A. SALVADOR (1988):

Matemáticas, Bachillerato 1.°, Anaya, Madrid.

[B]: VALDÉS, J. y S. MARSINYACH (1975): Matemáticas,Bachillerato 1.°, Bruño, Madrid.

Juan Jesús OrtizFacultad de Educación

y Humanidades de Melilla.Universidad de Granada.

Sociedad Andaluzade Educación Matemática

«Thales»Carmen BataneroFacultad de Ciencias

de la Educación de Granada.Universidad de Granada.


«Thales»Luis Serrano

Facultad de Educación yHumanidades de Melilla.


«Thales»

13

FEDERACIÓN ESPAÑOLA DE SOCIEDADES DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS

Comisión Ejecutiva

Presidenta: María Jesús Luelmo Secretariados:Secretario General: José Luis Álvarez García Prensa: Antonio Pérez SanzVicepresidente: Serapio García Revista SUMA: Emilio Palacián/Julio SanchoTesorera: Claudia Lázaro Relaciones internacionales: Luis Balbuena/Florencio Villarroya

Actividades: Xavier Vilella MiróPublicaciones: Ricardo Luengo González

Sociedades federadas

Federació d’Entitats per l’Ensenyamentde les Matemàtiques a CatalunyaPresidente: Marta Berini López-LaraApartado de Correos 1306. 43200-REUS (Tarragona)

Organización Española para la CoeducaciónMatemática «Ada Byron»Presidenta: Xaro Nomdedeu MorenoAlmagro, 28. 28010-MADRID

Sociedad Andaluza de Educación Matemática«Thales»Presidente: Salvador Guerrero HidalgoApartado 1160. 41080-SEVILLA

Sociedad Aragonesa de Profesoresde Matemáticas «Pedro Sánchez Ciruelo»Presidente: Florencio Villarroya BullidoICE Universidad de Zaragoza. C./ Pedro Cerbuna, 12.50009-ZARAGOZA

Sociedad Asturiana de Educación Matemática«Agustín de Pedrayes»Presidente: José Joaquín Arrieta GallasteguiApartado de Correos 830. 33400- AVILÉS (Asturias)

Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas«Isaac Newton»Presidenta: Dolores de la CobaApartado de Correos 329. 38201-LA LAGUNA (Tenerife)

Sociedad Castellano-Leonesa de Profesoresde MatemáticasPresidente: Santiago PascualIB Comuneros de Castilla. C./ Batalla Villalar, s/n.09006-BURGOS

Sociedad Castellano-Manchega de Profesoresde MatemáticasPresidente: Serapio GarcíaAvda. España, 14, 5ª planta. 02006-ALBACETE

Sociedad de Educación Matemática de la Regiónde MurciaPresidenta: Remedios Peña QuintanaIES Francisco de Goya. C./ Caravaca, s/n.30500-MOLINA DE SEGURA (Murcia)

Sociedad de Ensinantes de Ciencia de Galicia(ENCIGA)Coordinador: Francisco Manuel Rodríguez MayoApartado de Correos 103.SANTIAGO DE COMPOSTELA

Sociedad Extremeña de Educación Matemática«Ventura Reyes Prósper»Presidente: Ricardo Luengo GonzálezApartado 590. 06080-BADAJOZ

Sociedad Madrileña de Profesoresde Matemáticas «Emma Castelnuovo»Presidenta: María Jesús LuelmoC/ Limonero, 2828020-MADRID

Sociedad Matemática de Profesores de CantabriaPresidente: Ángela NúñezCPR de Santander. C./ Peña Herbosa, 29.39003-SANTANDER

Sociedad Melillense de Educación MatemáticaPresidenta: Luis Serrano RomeroFacultad de Educación y HUmanidadesCtra. Alfonso XIII, s/n. 52005-MELILLA

Sociedad Navarra de Profesores de Matemáticas«Tornamira»Matematika Iraskasleen Nafar ElkarteaTornamiraPresidente: José Ramón Pascual BonisDepartamento de Matemática e Informática.Campus de Arrosadía. Universidad Pública de Navarra.31006-PAMPLONA

Sociedad «Puig Adam» de Profesoresde MatemáticasPresidente: José Javier Etayo GordejuelaDespacho 305. Facultad de Educación.Universidad Complutense. 28040-MADRID

Sociedad Riojana de Profesores de MatemáticasPresidente: Javier Galarreta EspinosaC.P.R. Avda. de la Paz, 9. 26004-LOGROÑO

Sociedade Galega do Profesorado de EducaciónMatemática (AGAPEMA)Presidente:Manuel Díaz RegueiroApartado 4188. 15080-A CORUÑA

Societat d’Educació Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi»Presidente: Luis Puig EspinosaDepartament de Didàctica de la Matemàtica.Apartado 22045. 46071-VALENCIA

URANTE LA NOCHE del día 23 de noviembre de 1654,aproximadamente entre las diez y media y las doce y mediade la noche, experimentó Pascal una especie de éxtasis reli-gioso que lo impulsó a abandonar la matemática para dedi-carse a la teología. Afortunadamente, una noche de 1658 enque un dolor de muelas u otra dolencia le impedía dormir,decidió dedicarse al estudio de la cicloide. Milagrosamenteel dolor cesó, lo que interpretó Pascal como un signo deque el estudio de la Matemática agradaba a Dios.

Cito esta anécdota porque este artículo también es frutodel dolor.

Dolor que siente todo ciudadano cuando todas las sema-nas llena el depósito de la gasolina en «cualquier» estaciónde servicio: ¡Qué más da, vaya a la que vaya en todas valelo mismo el litro de gasolina! Enfado que sentimos cuandodecidimos acudir a una gran superficie comercial: ¿la decapital español o la de capital francés? Malestar que puedeir en aumento cuando pagamos el recibo de la luz y com-probamos la imposibilidad de escoger otra empresa sumi-nistradora, o pagamos el recibo del gas, o acudimos a unasucursal bancaria, etc. A estas alturas les aseguro que nopadezco un dolor de muelas, pero sí algo parecido a ello.

En gran medida, los sectores que he citado: energía, ali-mentación, bancario, etc. son oligopolios. Etimológicamente,la palabra oligopolio significa «pocos vendedores». El oligo-polio es un mercado en el que existen pocas empresas ven-dedoras y además la actividad de cada empresa afecta a lasdemás. El oligopolio es una situación intermedia entre elmonopolio, cuando sólo hay un vendedor, y la competenciaperfecta, en la que el número de vendedores es lo sufi-cientemente grande, lo que hace que el precio lo fije el mer-cado cualquiera que sea el volumen de producción de lasempresas. Entre estos dos casos extremos se encuentran losoligopolios, en los que las empresas tienen cierto margenpara fijar precios o cantidades de producción.

Con este artículo se quiereconmemorar en este año

2001, el doscientosaniversario del nacimiento

del insigne matemáticoAntoine Agustin Cournot.

Analizaremos, utilizando laTeoría de Juegos, el

trasfondo matemáticoexistente en la estructura de

los oligopolios, tranpresentes hoy en los mediosde comunicación como en

tiempos de Cournot.

15

2001: el año Cournot

Gabriel Ruiz Garzón

ARTÍCULOS

D

38


En aras a la globalización y al objeto de competir en esemercado global, en España se han producido y se estánproduciendo, multitud de fusiones entre empresas, cuyoresultado práctico está siendo la conversión de una seriede sectores en oligopolios.

Alumnos y profesores de Matemáticas, pero consumidorestodos, podemos utilizar como excusa los recortes de pren-sa que sobre el tema aparecen en los medios de comuni-cación (figura 1), para adentrarnos en los conceptos mate-máticos que explican los comportamientos de los oligo-polios, y en una rama de la Estadística, la Teoría deJuegos, con importantes aplicaciones a las ciencias políti-cas, a la Economía o a la Biología.

Nuestras clases de Matemáticas pueden convertirse en unforo donde se analicen temas de la actualidad que nospreocupan a la mayoría, y todo esto, sin un complicadoaparataje matemático o económico. Debemos traer la callea nuestras aulas.

Uno de los matemáticos que han contribuido a analizar laestructura de los oligopolios ha sido Antoine AugustinCournot, del que este año 2001, se cumplirán doscientosaños de su nacimiento.

Se nos ha ido el año 2000: Año Mundial de las Matemáticas.A lo largo del cual, desde nuestras aulas, sociedades dematemáticas, etc. hemos intentando acercar ésta nuestraciencia a la calle y que se conozca nuestra labor. En lamedida de lo posible, en el 2001, debemos continuar condicho afán. Y nada mejor como recurso que, un tema de

actualidad, los oligopolios, y un históricomatemático francés, Cournot, para conti-nuar en nuestro empeño.

Hace 200 años

El 28 de agosto de 1801 en la ciudadfrancesa de Gray, Alta Sajonia, naceAntoine Augustin Cournot, matemático,filósofo, educador y el primer econo-mista que incorporó los instrumentosmatemáticos al análisis económico. Enel año 1823 se licenció en Matemáticas,siendo alumno de Lacroix en la Sorbonay en el año 1827 consiguió la licencia-tura en Derecho.

Toda una serie de artículos y trabajosmatemáticos culminan en el año 1829con su doctorado y atraen la atenciónde Poisson, quien le propone para lacátedra de Análisis de Lyon (1834), gra-cias a lo cual acaba también con unperíodo de relativa pobreza en el quefue secretario de uno de los generalesde Napoleón, el mariscal Gouvion Saint-Cyr. En 1841, plasmará en el manualtitulado Traité Elémentaire de la Théoriedes Fonctions du Calcul Infinitésimal,sus clases de Lyon. El Análisis Diferen-cial e Integral son tratados con exquisi-ta elegancia en dos tomos dedicados asu mentor, Poisson.

Entre 1838 y 1854 fue funcionario públi-co del Ministerio francés de EducaciónNacional, concretamente Inspector Ge-neral de Educación, puesto en el quesucedió a Ampère, al que todos los estu-diantes de secundaria que estudienelectricidad conocen. También fue rec-tor en Grenoble (1835-1838) y en Dijon(1854-1862). Durante su vida fue másreconocido por su faceta de su actividadpública y docente, que como investiga-dor en el mundo de la Estadística y dela Economía.

Fue un competente matemático puro.Importante fue su distinción entre pro-babilidad objetiva y subjetiva. En laExposition de la Théorie des Chances etdes Probabilités (figura 2), formula cla-ramente la definición frecuencialista deprobabilidad y propone trabajar con

Nuestras clasesde Matemáticas

puedenconvertirseen un foro

dondese analicen

temasde la actualidad

que nos preocupana la mayoría,

y todo esto,sin un complicado

aparatajematemático

o económico.

16

Figura 1

intervalos de confianza como un méto-do de estimación. Al igual que Con-dorcet, Laplace o Poisson, Cournot es-taba también interesado en la aplica-ción de la probabilidad a los procesosjudiciales y en este libro le dedica unpar de capítulos. Concretamente, esta-ba interesado en calcular la probabili-dad de dar un veredicto correcto y enla influencia que sobre el mismo teníael número de personas que forma untribunal. También hay un capítulodonde confecciona tablas de mortali-dad, con objeto de que puedan servirpara calcular primas de seguros. Enresumen, estamos ante una obra maes-tra, que sitúa a su autor al nivel de loscitados Poisson, Condorcet, etc.

Como economista, Cournot fue funda-dor de la Economía Matemática. En1838, Cournot publicó una obra titula-da Recherches sur les principes mathé-matiques de la théorie des richesses(figura 3) (Investigación sobre los prin-cipios matemáticos de la teoría de lasriquezas). Se trata de un estudio com-pleto sobre el monopolio y el equili-

brio del mercado. En él aparece la definición de la elas-ticidad de la demanda.

La fórmula de la elasticidad de la demanda se definecomo la relación entre porcentajes infinitesimales de lacantidad demandada y el precio dq/dp, por una parte, y,por otra, como relación entre la cantidad demandadamedia y el precio mismo q/p, o sea, que es:

Cournotestaba también

interesadoen la aplicación

de la probabilidada los procesos

judiciales

17

Figura 2

Edq

dp

p

q= - ◊

El primer factor

dq

dp

q

pp=

Ælim

D

DD0

no deja de ser otra cosa que una derivada, y mide la pen-diente de la curva de demanda, curva que relaciona pre-cios y cantidades. Lo que expresado económicamente nosda una información muy valiosa pues, nos indica la sensi-bilidad de la demanda ante una variación en los precios.Existen productos como los farmacéuticos o las gasolinascuya demanda es inelástica (E < 1), es decir, un aumentoen el precio no conlleva un descenso del consumo, o porlo menos no muy acusado. Al revés ocurrirá, si al vende-dor de naranjas de un mercado, en donde hay muchoscompetidores, se le ocurre subir el precio de las naranjas.El señor García, diligente amo de casa, puede optar por nocomprarle, es decir, estaríamos ante una curva de deman-da elástica (E > 1).

Figura 3

Cournot fue un lector empedernido, durante toda su vidaarrastró problemas en la vista. Casi ciego, falleció el 31 demarzo de 1877. Como observamos, su vida y obra, mere-cen la efeméride.

Una estructura de mercado:el duopolio

Dentro del oligopolio, el duopolio es una estructura demercado caracterizada por la existencia de dos únicasempresas vendedoras. La característica esencial de la teo-ría del duopolio reside en que «ninguno de los vendedo-res puede ignorar las reacciones del otro», un cambio enel precio o en el nivel de producción de uno afectará aldel otro y las reacciones del segundo, a su vez, influiránen el primero. La suerte de las dos empresas no es inde-pendiente; ninguno de los dos puede considerar comodada la política que seguirá el otro, ya que en parte estádeterminada por su propia política.

Hay diversos modelos que explican la determinación delprecio y la producción de equilibrio en el duopolio.

El modelo de Cournot

Seguidamente expondremos el modelo de duopolio queexpuso Cournot. En la medida de lo posible utilizaremosejemplos numéricos para facilitar la comprensión. Un pro-fesor, de cuyo nombre no quiero acordarme, partidario delargas y tediosas demostraciones que poco aportaban,manifestaba que el poner ejemplos era un acto de cobar-día. Bueno, desde ya, reconozco mi cobardía.

Partimos de un supuesto de una empresa que, en princi-pio, es ella la única que se encuentra en el mercado.Supondremos además la inexistencia de costes de produc-ción, (esto no es tan irreal, si se supone que la mercancíaes agua mineral y los compradores llevan sus propiosenvases, siendo por tanto el coste de producción para elempresario nulo). Con esta hipótesis igualaremos ingresosy beneficios. Esto no supone pérdida de generalidad, concostes de producción los resultados serían similares.

El número de unidades que una empresa puede vender acada precio pueden representarse mediante una curva dedemanda. Nosotros supondremos curvas de demanda rec-tilíneas, con lo que el nivel de ventas que maximiza lasganancias para cada empresa, operando en solitario, ocu-rre en su punto medio. En este ejemplo, en el puntoE(600, 6), donde la empresa primera vende 600 unidadesal precio de 6. Como se observa, queda todavía un mar-gen de 600 por vender de la producción máxima vendibledel bien, cifrada en 1200 unidades (figura 4).

En este momento, llega al mercado otra empresa rival, quesupone que la empresa inicial va a mantener constante su

nivel de producción y, por tanto, se aco-moda a esta realidad, explotando lo quele queda del mercado. La curva dedemanda de D2 esta segunda empresaserá, pues, la de la primera empresa D1

menos 600 unidades.

Esta segunda empresa maximiza susganancias sobre D2, en el puntoF(300, 3), es decir, vendiendo 300 uni-dades al precio de 3.

La empresa inicial reacciona y suponeque la producción de la segunda en lle-gar permanecerá constante en esas 300unidades. La nueva curva de demandapara la primera empresa, D’1, será la ini-cial menos 300 unidades y sobre ellamaximizará sus ganancias.

De igual manera, la segunda empresareacciona vendiendo su producciónsobre lo que le queda de la demanda,moviéndose hacia la recta D’2.

El supuesto de comportamiento básicoque hace Cournot es que cada oferen-te, al tratar de maximizar su beneficio,o lo que es lo mismo, los ingresos tota-les, piensa que el otro oferente va amantener constante su producción.Ante este supuesto, habrá una serie demovimientos y contramovimientos con-vergentes al punto G, llamado punto deequilibrio de Cournot o punto de equi-librio de Nash.

Partimosde un supuestode una empresa

que, en principio,es ella

la únicaque se encuentraen el mercado.Supondremos

además a inexistencia

de costesde producción…

18

E

F

G

0

3

6

12

p

300 600 1.200q

D2 D’2 D’1 D1

Figura 4

Cournot y, más tarde, el matemáticonorteamericano Nash, dirán que unduopolio se encuentra en equilibrio, sila producción óptima de cada empresaes aquella determinada a partir de unaprevisión de la producción de la empre-sa rival que asimismo es óptima. Si semantienen los supuestos sobre las con-ductas de las empresas establecidos porCournot, es evidente que en una situa-ción de este tipo ninguna de las empre-sas deseará modificar su producción.

A título de anécdota, recordemos que aJohn Nash se le detectó, en sus primerosaños en la universidad de Princeton, unaesquizofrenia paranoide. Este hecho leimpidió hasta 1994 recibir el premioNobel de Economía, cuando contaba con66 años y estaba totalmente recuperado.

¿Pero qué coordenadas tiene ese busca-do punto G, punto de equilibrio deCournot o de Nash, en el caso del duo-polio? Hagamos el desarrollo de unamanera general y después lo particulari-zaremos a este ejemplo concreto.

Supongamos que la función de deman-da lineal es

p = A – aq [1]

Donde p y q son el precio y la cantidaddemandada, respectivamente, y A y a > 0son constantes.

Supongamos que q1 y q2 son las canti-dades vendidas por las empresas 1 y 2,respectivamente. Por definición

q = q1 + q2 [2]

Sustituyendo en [1], la función dedemanda queda como

p = A – a(q1 + q2) [3]

El ingreso total de la primera empresa I1es igual al precio p multiplicado por q1,esto es,

I1 = pq1 = Aq1 – aq12 – aq1q2 [4]

Del mismo modo, el ingreso de lasegunda empresa I2 es igual a

I2 = pq2 = Aq2 – aq22 – aq1q2 [5]

Como hemos supuesto, al no existir cos-tes de producción, esos ingresos coinci-den con los respectivos beneficios delas empresas. Conseguiremos nuestroobjetivo de encontrar las cantidades de

equilibrio donde se produce el máximo beneficio de lasdos empresas, resolviendo el sistema de ecuaciones simul-táneas siguiente

…un duopoliose encuentraen equilibrio,

si la producciónóptima

de cada empresaes aquella

determinadaa partir

de una previsiónde la producción

de la empresarival

que asimismoes óptima.

19

∂∂

= - - =I

qA aq aq1

11 22 0 [6]

∂∂

= - - =I

qA aq aq2

22 12 0 [7]

nos dan las cantidades de equilibrio

q qA

a1 2 3= = [8]

Podemos comprobar que efectivamente esos valores pro-ducen un beneficio máximo ya que se verifica que

∂∂

= - <2

12

12

2 0I

qa [9]

∂∂

= - <2

22

22

2 0I

qa [10]

pA* =3

[11]

El precio de equilibrio se consigue sustituyendo las canti-dades de equilibrio [8] en [3]

En nuestro ejemplo particular, como A = 12 y, A/a = 1200, lascantidades y precio de equilibrio son q1 = q2 = 400 y p* = 4.

Lo que nos da un punto de equilibrio de Nash,G = (400,4), con unos beneficios de 1600.

Este modelo permite ser generalizado para cualquiernúmero de empresas vendedoras k:

a) Si k = 1, estaríamos ante un monopolio,

qA

ap

A* *,= =2 2

q qA

ap

A1 2 3 3

= = =, *

b) Si k = 2, estaríamos ante un duopolio, cuyas solucio-nes hemos visto que son

c) Si k = 3, de igual manera obtendríamos un sistema detres ecuaciones, que resuelto nos daría

qA

n ap

A

nk nk

* *, , , , ,=+( ) =

+( ) = º1 1

1 2

e) Si k Æ •, estaríamos ante el caso de una competenciaperfecta y p Æ 0.

El modelo de Edgeworth

Casi setenta años de la publicación del trabajo de Cournot,F. Y. Edgeworth aceptó la sugerencia que le había hechoel también matemático Joseph Bertrand (1822-1900) aCournot. Si se desarrolla un modelo de duopolio en queen vez de mantener ambas empresas las cantidades pro-

q q qA

ap

A1 2 3 4 4

= = = =, *

d) Si k = n, obtendríamos por inducción que

1, él puede vender 300 unidades a unprecio de 3, aumentando de esta formasus beneficios. Ante esta situación laotra empresa reaccionará y el procesocontinúa indefinidamente. Aunque elmodelo de Edgeworth da lugar a unasituación inestable, la fluctuación deprecios tendrá un límite superior e infe-rior. Esta situación de «guerra de pre-cios» es similar a la que se produce enla competencia perfecta.

Por cierto que el estadístico y economis-ta británico, Francis Ysidro Edgeworth,era hijo de madre española, (como sevislumbra en el segundo nombre quehonra al patrono de Madrid). Nació el 8de febrero de 1845, en el condado deLondford, en Irlanda.

En Estadística destacan sus contribucio-nes a los números índices, la teoría dela estimación, bondad de ajuste y teoríade la probabilidad. Se mostraba firme-mente convencido de la prevalencia dela ley normal en la naturaleza, aunquehoy sepamos que la ley normal no estan «normal» como él se pensaba. En1892, publica un trabajo donde define elconcepto de correlación múltiple.

En Economía, halló entre otros descubri-mientos, las curvas de indiferencia, en lascuales aplicó los números índices. Lascurvas de indiferencia se encuentran for-madas por un conjunto infinito de puntosque reflejan combinaciones de bienes, loscuales poseen un mismo nivel de utilidado de satisfacción para el consumidor.

También utilizó con eficacia el cálculodiferencial en Economía. Edgeworth fueprofesor de Lógica y de EconomíaPolítica (lo que hoy sería Estadística), enel King’s College, en la Universidad deLondres, y de Oxford, los años 1891-1921. También fue presidente de laRoyal Statistical Society de 1912 a 1914.

Se cuenta que Edgeworth era una per-sona muy tímida y extremadamenteroñosa, por no tener, no tenía ni libros,prefería conseguirlos en las bibliotecaspúblicas. Keynes refería que, unos foliosy una goma, eran los dos únicos objetospersonales que tenía.

Murió en Londres, el 13 de febrero de1926.

Aunqueel modelo

de Edgeworthda lugar a

una situacióninestable,

a fluctuaciónde precios

tendráun límite superior

e inferior.Esta situación de

«guerra de precios»es similara la que

se produceen la competencia

perfecta.

20

ducidas, se mantienen los precios de las mismas, los resul-tados del modelo no coincidirían con los de Cournot.

El modelo de Edgeworth se basa en los siguientes supues-tos, más restrictivos que los de Cournot:

1. Hay dos empresas que producen un bien homogéneocon un costo de producción igual a cero.

2. Cada empresa tiene un límite en su capacidad pro-ductiva.

3. En su camino de maximización de beneficios, cadaempresa cree que el precio de la otra permaneceráconstante.

El resultado final será una oscilación continua del preciodel artículo, entre el precio del monopolio y el máximoprecio de producción de cada empresa (figura 5).

Veámoslo con los datos de nuestro ejemplo, siendo 500 lacapacidad máxima de producción de cada empresa, ocu-rrirá el siguiente proceso:

1. La primera empresa maximiza sus beneficios vendien-do 300 unidades al precio de 3.

2. Entra la segunda empresa y piensa que si la primeramantiene constante el precio en 3, fijando ella un pre-cio ligeramente inferior a 3 puede vender su produc-ción máxima de 500, quedándose con la mayor partedel mercado de la primera.

3. A continuación, la empresa número uno reaccionará ysuponiendo que la segunda va a mantener constantesu precio, la primera podrá vender su producción totala un precio ligeramente inferior al de la segunda.

4. Este proceso continuará hasta que cada empresavenda su producción máxima, 500, al precio de 1.

Pero este resultado no es estable, ya que uno de ellospuede darse cuenta, que manteniendo el otro el precio en

Figura 5600 500 300 500 600

6

5

4

3

2

1

q q

p

E2 E1

Si cooperamos ganamos más

Tanto el modelo de Cournot como el deEdgeworth no admiten la interdepen-dencia entre los duopolistas. El modelodel economista norteamericano E. D.Chamberlin es como el de Cournotpero en el que se admite la interdepen-dencia entre las empresas (algo quedesgraciadamente se asemeja más a larealidad), fijan así precios idénticos yvenden cantidades idénticas, maximi-zando de esta forma su ganancia con-junta. El acuerdo puede hacerse sin quehaya comunicación formal entre lasempresas. La experiencia proporcionainformación con la que llegar a unacuerdo tácito. Eso sí, el resultado delacuerdo es una solución estable.

En nuestro ejemplo del modelo deCournot (figura 4), una vez que la pri-mera empresa maximiza sus beneficiosvendiendo 600 unidades a 6 pesetas,obteniendo 600 x 6 = 3600 de benefi-cio y la segunda empresa vende 300unidades a 3 pesetas, copando lademanda que la primitiva empresa ledejó, las empresas se dan cuenta deque en lugar de embarcarse en unacarrera fratricida de precios y produc-ción, les conviene repartirse el pastelde esas ganancias de 3600. Cadaempresa producirá la mitad de esas600 unidades, es decir, 300 unidades, aprecio de monopolio 6, obteniendo unbeneficio de 300 x 6 = 1800, mayorque los 1600 obtenidos en el modelode Cournot anterior, siendo ese puntoG = (300, 6), el punto de equilibrio deNash buscado. En resumen, el modelode Chamberlin supone que los duopo-listas aprenden con la experiencia, esdecir, concluyen que será mejor a susintereses si tratan de maximizar susbeneficios conjuntos.

La solución del modelo de Chamberlines idéntica a la de monopolio (k = 1) deCournot, pero donde las dos empresasdeciden repartirse el beneficio delmonopolio, teniendo la misma cuota demercado a precio de monopolio, esdecir,

Todo es un juego

Ya dijimos que la característica fundamental del duopolioera la interdependencia estratégica entre las empresas, deforma que en la toma de decisiones, cada empresa consi-deraba explícitamente cierta conjetura sobre el comporta-miento de las empresas rivales. Veremos, en esta sección,que la Teoría de Juegos proporciona el marco adecuadopara tratar rigurosamente este tipo de situaciones, aportan-do un conjunto de técnicas cuya finalidad última no es otraque obtener para el juego planteado una posible solución.

Nos centraremos en dos empresas que han de elegir entreun conjunto de estrategias finito. En concreto supongamosque la interdependencia se establece entre CEPSA y REP-SOL y las estrategias son dos niveles de precios: 150 pts.o 140 pts. La interdependencia entre las empresas se mani-fiesta en que el beneficio que obtiene una empresa selec-cionando una determinada estrategia depende de cual seala estrategia elegida por la empresa rival. La representa-ción conjunta de todas las posibles combinaciones deestrategias, así como los resultados que de ellas se derivanpara ambas empresas se denomina matriz de pagos.

Un ejemplo de matriz de pagos se presenta en la siguien-te tabla:

…la Teoríade Juegos

proporcionael marcoadecuadopara tratar

rigurosamenteeste tipo

de situaciones,aportando

un conjuntode técnicas

cuya finalidadúltima

no es otra queobtener

para el juegoplanteado

una posiblesolución.

21

q qA

ap

A1 2 4 2

= = =, *

Las cifras que aparecen en cada una de las casillas repre-sentan, para cada combinación de estrategias, los resulta-dos de la empresa CEPSA y REPSOL respectivamente.

Nuestro objetivo sería encontrar aquella combinación deestrategias que constituye una solución del juego, en elsentido de que las decisiones de ambas empresas seancompatibles y, por tanto, no desean modificarlas. Si obvia-mente la empresa elige la estrategia que le reporte mayorbeneficio, dada la matriz de pagos anterior, la empresaCEPSA elegirá el nivel de precios 150 cualquiera que seael nivel de precios elegido por REPSOL, ya que los posi-bles resultados, 60 y 20, serían mayores que los del nivelde precios a 140 pts., 20 y 10; por otra parte, la empresaREPSOL también elegirá como nivel de precios 150 pts. yaque los resultados, 40 y 30, superan a los del otro, 20 y 10.

Por tanto, las estrategias 150 pts. para CEPSA y 150 pts.para REPSOL, son estrategias dominantes, ya que seránseleccionadas por las respectivas empresas independiente-mente de cual sea la estrategia de la empresa rival. Asípues, la solución a este juego vendrá dada por la combi-nación de estrategias dominantes (150, 150).

REPSOL

150 pts. 140 pts.

CEPSA150 pts. (60, 40) (20, 20)

140 pts. (20, 30) (10, 10)

Algunas veces no es posible encontrar una solución deljuego que satisfaga el criterio de estrategias dominantes,tal como ocurre en la siguiente matriz de pagos:

Conclusiones

Llegada la hora de hacer balance, sepuede decir que con este artículohemos pretendido:

a) Acercar a nuestras clases un asuntode actualidad, los oligopolios, yanalizar el trasfondo matemático delos comportamientos de los mis-mos, utilizando como recurso cual-quier recorte de prensa relacionadocon el tema.

b) Introducir una parte de laEstadística, la Teoría de Juegos,poco frecuente en nuestro currícu-lo, pero que capta rápidamente laatención del alumnado, por ladiversidad de ejemplos y la senci-llez de sus enunciados.

c) Conmemorar este año 2001, el 200aniversario del nacimiento de unmatemático insigne, Antoine Augus-tin Cournot. Mostrar los protagonistasde la Historia de la Matemática a tra-vés de su obra, vida y anécdotas essiempre, para alumnos y profesores,atrayente y gratificante.

Por cierto, el doloroso enfado del prin-cipio que motivó este trabajo, ha desa-parecido. El conocimiento de las reglasque rigen el mercado y me atrevo adecir que de cualquier problema, haactuado como un buen medicamentogenérico. Bueno, quizás cuando vuelvaa llenar el depósito…

BibliografíaCOURNOT, A. A. (1838): Recherches sur les

principes mathématiques de la théorie desrichesses, Libraire de L. Hachette, París.

COURNOT, A. A. (1841): Traité Élémentairede la Théorie des Fonctions et du CalculInfinitésimal, tomos I y II, Libraire de L.Hachette, París.

COURNOT, A. A. (1843): Exposition de laThéorie des Chances et des Probabilités,Libraire de L. Hachette, París.

MOCHÓN, F. y A. PAJUELO (1991): Micro-economía, McGraw-Hill, Madrid.

STIGLER, S. M. (1978): «Francis Ysidro Edge-worth, Statistician», Journal Royal Statis-tical Society, serie A, Parte 3, 287-322.

Gabriel RuizEscuela Universitaria

de Estudios Empresariales.Universida de Cádiz.Sociedad Andaluza

de Educación Matemática«Thales»

22

En este caso, la combinación de estrategias, o el punto (150,150), es el punto de equilibrio de Nash, definido como lacombinación de estrategias tal que la estrategia de cadaempresa es la mejor que puede elegir, dada la que elige laotra. En la matriz anterior, la estrategia 150 es la mejor quepuede seleccionar CEPSA, cuando REPSOL prevé que elegi-rá también como nivel de precios 150 pts. Al mismo tiempo,dicha estrategia también es óptima para REPSOL, si esperaque CEPSA elija 150 pts. como nivel de precios. Así pues, elpunto (150, 150) es un punto de equilibrio de Nash, ya quesi se alcanza, ninguna empresa querrá modificar su compor-tamiento. Cuando una empresa tiene una estrategia domi-nante, el resultado es un punto de equilibrio de Nash. Peroal revés puede no darse, como acabamos de ver.

Como hemos visto ya, si ambas empresas deciden estable-cer un acuerdo de cooperación, un punto de equilibrio deNash puede no constituir una solución eficiente del juego.

En la siguiente matriz de pagos podemos ver que el punto(150, 150) es un punto de equilibrio de Nash y, sin embar-go, si ambos llegaran al acuerdo de cooperar con objetode alcanzar la combinación (140, 140), los beneficios deambas empresas mejorarían.

REPSOL

150 pts. 140 pts.

CEPSA150 pts. (60, 40) (20, 20)

140 pts. (20, 30) (40, 50)

REPSOL

150 pts. 140 pts.

CEPSA150 ptas. (50, 40) (70, 10)

140 pts. (10, 70) (60, 50)

Se trataría de un ejemplo de una situación intrínsecamenteinestable, ya que cualquiera de las dos empresas tendría latentación de romper el acuerdo, CEPSA eligiendo el nivelde producción 150 y REPSOL lo mismo. Esta situación ines-table se corresponde con lo que se denomina un cártel, esdecir, un conjunto de empresas que optan por hacer explí-cito un acuerdo con objeto de actuar conjuntamente comoun monopolio frente a las demandas del mercado.

Obviamente, las situaciones reales de los oligopolios sonmás complicadas que las que aquí hemos mostrado. No olvi-demos que lo que aquí hemos expuesto son modelos, esdecir, representaciones simplificadas de la realidad, perocomo unas primeras aproximaciones no dejan de ser válidas.

…lo que aquíhemos expuesto

son modelos,es decir,

representacionessimplificadas

de la realidad,pero como

unas primerasaproximaciones

no dejan deser válidas.

L TEMOR o el disgusto por la matemática tiene como unode sus pilares un mito: el de la materia aburrida, difícil yreservada para unos pocos. El gusto por esta actividadaparece de la posibilidad de hacer, crear, entender, solu-cionar, aplicar, saber quién fue el que inventó todo esto ypor qué tuvo la necesidad de inventarlo. Descubrir a lamatemática como una ciencia maravillosa es un trabajodifícil porque es necesario terminar con esos mitos, tantosociales como personales.

El razonamiento matemático es, sin duda, una fuerteherramienta en el desarrollo de la capacidad de pensar,reflexionar y resolver problemas. El mundo que nos tocavivir, requiere de cada uno estar preparado para resolverproblemas permanentemente y, tal vez, resolverlos lomejor y más rápido posible. Estos problemas de la vidacotidiana no son, en general, de «regla de tres» ni sontodos iguales, ni tampoco son muy simples. Por ello, esnecesario generar otros recursos de solución que losmecanismos estereotipados y deben ser algo tan básico ygeneral que sea posible aplicarlos a cualquier situación.Un niño que adquiere hábitos de «razonador», que puedeformularse preguntas, hipotetizar, probar, evaluar, contras-tar, es un niño que tiene allanada la mitad del camino.

Estas ideas son prácticamente indiscutidas entre los docen-tes y directivos de las escuelas, y la gran mayoría realizanesfuerzos tendentes a lograr estos objetivos.

Pero, aunque es común que los docentes accedan indivi-dualmente a cursos de perfeccionamiento, muchas vecesles resulta difícil llevar a la práctica lo aprendido sin unestímulo que los motive a hacerlo y sin un seguimientoque les permita adquirir seguridad en sus cambios, corre-gir errores, etc.

El perfeccionamiento docente no puede ser pensadocomo un proyecto de capacitación personal exclusiva-

El presente trabajo cuenta unaexperiencia de

perfeccionamiento docente enmatemática, basada en lapuesta en práctica de una

propuesta de trabajo,sustentada en la incorporacióndel juego en la tarea docente

como una herramientadidáctica. Se presenta aljuego como motivador de

situaciones de aprendizaje,tanto como desencadenantede situaciones problemáticas

cargadas de significadodesde la actividad lúdica, quemás que ser «problemas de la

vida real» sean unacontinuación necesaria del

juego. Se discute la finalidadde los juegos en el aula y se

mencionan las dificultades queesta forma de trabajo puede

presentar. Se presentantambién algunas

consideraciones y comentariosacerca de la experiencia,llevada a cabo en unaescuela primaria comoproyecto institucional,

involucrando a todos losdocentes de la misma y al

equipo directivo.

23

El juego en el aula: una expe-riencia de perfeccionamientodocente en Matemática a nivel institucional

Mónica de Torres Curth

ARTÍCULOS

E

38


Aquellos que se toman eljuego como un simplejuego y el trabajo con

excesiva seriedad, no hancomprendido mucho nide lo uno ni de lo otro

H. HEINE

mente, dado que un verdadero cambio en la prácticadocente sólo es posible si se entiende como un proyectoen el que se encuentre involucrada toda la institución enla que se trabaja. La puesta en práctica de proyectos insti-tucionales permite aunar esfuerzos y evita que se diluyanlos intentos individuales por mejorar la práctica en el aula.

Dentro de este marco, se propuso un trabajo institucionalcon una metodología consistente en la incorporación deljuego en el aula como una herramienta didáctica en laenseñanza de la matemática, tanto como motivador desituaciones de aprendizaje, como desencadenante desituaciones problemáticas cargadas de significado desde laactividad lúdica que, más que ser «problemas de la vidareal», sean una continuación necesaria del juego.

Descripción de la experiencia

Durante 1998 se llevó a cabo en una escuela primariapública de gestión estatal de San Carlos de Bariloche,Argentina, un proyecto de trabajo (denominado ProyectoInstitucional) con el objeto de introducir a todos losdocentes en el uso de una metodología que se sustenta enla idea de la incorporación del juego en la clase de mate-mática. La escuela tiene aproximadamente 600 alumnosrepartidos en dos turnos con 22 maestros de grado, tresdirectivos y 5 maestros especiales. El proyecto fue elabo-rado y dirigido por la autora de este trabajo, quien coor-dinó los encuentros, los talleres y las reuniones periódicas,dentro del marco de un proyecto de extensión universita-ria del Centro Regional Universitario Bariloche de laUniversidad Nacional del Comahue.

El Proyecto Institucional (PI) se organizó de acuerdo avarias instancias:

• Presentación y fundamentación de la propuesta, quese realizó en forma intensiva durante una semana pre-via al inicio de las clases, a cargo de la coordinadora.

• Un encuentro mensual con la modalidad de taller, dela coordinadora con todos los docentes de la escuelay el Equipo Directivo, con el objeto de: desarrollarpropuestas de trabajo en el aula, discutir posibilida-des, dar apoyo teórico, compartir experiencias indivi-duales, desarrollar actividades prácticas especialmenteelaboradas para los docentes, discutir materiales delectura, etc.

• Encuentros periódicos del Equipo Directivo de laescuela con la coordinadora del proyecto, con el obje-to de evaluar y corregir la marcha del mismo.

Las tareas que desarrollaron los docentes consistieron enla planificación y puesta en práctica de actividadessiguiendo la propuesta metodológica, para los contenidosque cada uno considerara adecuados.

El seguimiento se programó a cargo delEquipo Directivo de la escuela, el querealizó observaciones y devolución delas mismas a los docentes.

Los propósitos que se persiguieron conel desarrollo del Proyecto Institucionalfueron los siguientes:

• Ofrecer a los docentes un espaciopara la reflexión teórica, didáctica ymetodológica de la matemática dela escuela primaria.

• Reflexionar sobre el uso del proble-ma y del juego como modalidadescontinuas de trabajo en el aula.

• Desarrollar una propuesta de traba-jo que permita a los docentes gene-rar sus propias actividades para serllevadas al aula.

• Promover la elaboración cooperati-va de materiales necesarios para eldesarrollo de los juegos y activida-des elaboradas por los docentes.

• Fomentar la creatividad en la bús-queda de actividades para el aula.

• Dar lugar al desarrollo de concep-tos teóricos que ofrezcan al docen-te la claridad y rigor necesarios paraafrontar correctamente la enseñan-za de los mismos.

• Permitir la apropiación por partedel docente de una metodología detrabajo en el aula, generando unasecuencia metodológica.

• Fomentar la transferencia de estametodología al aula.

• Promover la reflexión crítica de lapropia práctica a través de la obser-vación entre pares.

• Brindar un espacio para compartirexperiencias

Dentro de la provincia de Río Negro(Argentina), existe un régimen deJornadas Institucionales mensualesdonde los docentes y el equipo directi-vo disponen de todo el turno de traba-jo para discusión de problemáticas insti-tucionales, trabajos de perfeccionamien-to, etc. En vista de la existencia de esteespacio, se organizaron los encuentrosmensuales antes mencionados en forma

…un verdaderocambio

en la prácticadocente

sólo es posiblesi se entiende

como un proyectoen el que seencuentre

involucrada todala institución

en la quese trabaja.La puesta

en prácticade proyectos

institucionalespermite

aunar esfuerzosy evita quese diluyanlos intentosindividualespor mejorarla prácticaen el aula.

24

de curso-taller utilizando dos horas cáte-dra dentro de cada jornada institucional.De estos encuentros, coordinados por laautora, participaron los docentes delturno respectivo y el equipo directivode la escuela. Los objetivos de cadaencuentro se orientaron hacia lossiguientes puntos:

• Búsqueda, selección, creación yadaptación de juegos y otras activi-dades que requieran o involucrendistintas temáticas, estrategias deresolución, etc., o bien que simple-mente resulten interesantes para suanálisis.

• Revisión de bibliografía disponibley búsqueda de nuevos materiales.

• Análisis en el grupo de cada activi-dad con el objetivo de:

— ubicar el o los grupos (gradoso niveles) con los que esta acti-vidad podría ser desarrollada;

— señalar contenidos previosnecesarios para su puesta enpráctica;

— indicar con qué objetivos sepuede proponer la actividad,(en cada caso, si es que estáindicada para más de un nivel);

— preparar materiales, si sonnecesarios;

— hacer un detalle de sugeren-cias para su desarrollo, cuandosea posible y necesario, esdecir, acompañar la actividadde una reflexión didácticaacerca de su uso.

• Planificación de puestas en prácticade algunas actividades, de modo depoder realizar evaluaciones críticasde las mismas a posteriori de su apli-cación en el aula.

• Creación de propuestas alternativasa las actividades encontradas, comobúsqueda de la retroalimentaciónentre teoría y práctica.

• Creación de nuevas actividadesfocalizando la atención en algunosconceptos de interés general.

• Creación de una juegoteca de mate-mática con los materiales necesa-

rios, disponibles a toda la comunidad escolar en labiblioteca del establecimiento.

La propuesta metodológicay su fundamentación

Los juegos en el aula

Varios autores (Guzmán, 1984; 1986; Martínez Recio yotros, 1989; Corbalán, 1994) se han ocupado de la utiliza-ción del juego en la clase de matemática y, sin embargo,en nuestra realidad es una práctica no muy difundida. Porello, y como primer punto, es interesante discutir breve-mente acerca del uso del juego como una herramientametodológica de gran importancia en el aula. MartínezRecio y otros (1989), señalan:

La metodología tradicional no contempla este aspecto de la ense-ñanza por considerar al juego como una actividad poco seria, derecreo y que tiene sentido en horario extraescolar. Es obvio queel juego es una forma especial de relación entre los niños, y quetiene un claro valor educativo. Sin embargo, el juego por sí solono lo es todo. Produce una motivación inicial, origina situacionesdidácticamente aprovechables, pero posterior a la fase del juegotiene que haber otra de aprendizaje, una fase de reflexión teóri-ca inducida por el juego. Para que esta reflexión teórica puedainteresar realmente a los alumnos debe tener un sentido paraellos, sentido que se intenta suscitar desde el juego. E inversa-mente para que el juego no se convierta en una finalidad en símismo, debe estar orientado por los objetivos de aprendizaje;debe ser un elemento motivador de la reflexión teórica sobre loque se pretende enseñar. Es necesario, pues, planificar algún ins-trumento de reflexión teórica, dando una continuidad a las acti-vidades de carácter lúdico.

También es posible que un juego propuesto con algúnobjetivo en particular derive en situaciones muy ricas másallá de lo esperado o planificado. El docente deberá estaratento a estas posibilidades, explotando al máximo elpotencial del material.

Aunque una definición precisa resulte difícil de construir,no puede dejar de asociarse la palabra juego al diverti-mento, la alegría, el disfrute y el tiempo libre. ¿Cómo esentonces que se piensa en el juego como una herra-mienta metodológica? Corbalán (1994) señala las siguien-tes como características de las actividades que denomi-namos «juegos»:

1. Es una ocupación voluntaria a la que dedicarselibremente.

2. Es un desafío contra una tarea u oponente.

3. Viene controlado por un conjunto definido de reglasque abarcan todas las maneras de jugarlo.

4. Representa una situación arbitraria claramente delimi-tada en el tiempo y en el espacio, desde la actividadde la vida real.

Tambiénes posible

que un juegopropuesto

con algún objetivoen particular

deriveen situaciones

muy ricasmás allá

de lo esperadoo planificado.

El docentedeberá

estar atentoa estas

posibilidades,explotandoal máximoel potencialdel material.

25

5. Socialmente son situaciones que se consideran deimportancia mínima.

6. Tiene una clara delimitación en el espacio y el tiem-po. El estado exacto que se alcanza durante el juegono se conoce a priori al comenzar el mismo.

7. Termina después de un número finito de movimien-tos en el espacio-tiempo.

Excepto tal vez el punto 5, las actividades a las que nosreferimos como «juegos para el aula» deben de tener todaslas características aquí mencionadas.

Pero hay también algo que no se menciona en esta defi-nición pero que merece especial atención. Es claro quequien se dispone a jugar, se enfrenta a la actividad conuna actitud positiva, donde no tienen lugar preconceptosrespecto de la propia capacidad, contra lo que sucedefrente a las actividades clásicas de matemática. SeñalaGuzmán (1985):

Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran inca-paces de toda la vida para la matemática, disfrutan intensamen-te de puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la mate-mática. Existen en ellas claros bloqueos psicológicos que nublansu mente cuando se percatan de que la cuestión que se les pro-pone, mucho más sencilla tal vez que el juego que practican,tiene que ver con el Teorema de Pitágoras.

Las expectativas, de quien se enfrenta a actividades lúdi-cas son de placer y divertimento. ¡Y qué mejor, si esto vaacompañado de aprendizaje! Si podemos transformar elaula en un lugar (no sólo en la clase de matemática)donde prime un ambiente lúdico, y dado el interés, lacuriosidad y la expectativa que generan este tipo de acti-vidades, podemos generar en los niños aquellas actitudesque son fundamentales para cargar de sentido a la ense-ñanza.

Dice Alsina Catalá (1991):

Enseñar y aprender Matemáticas puede y debe ser una expe-riencia feliz. Curiosamente casi nunca se cita a la felicidad den-tro de los objetivos educativos, pero es bastante evidente que sólopodremos hablar de una labor docente bien hecha cuando todosalcancemos un grado de felicidad satisfactorio.

Un ambiente lúdico redunda en una actitud abierta haciael conocimiento, y el placer por aprender y descubrir,retroalimenta este tipo de tareas.

Dice Martín Gardner (Carnaval Matemático, prólogo, cita-do en Guzmán, 1998):

Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudianteconsiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de magia,chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquie-ra de entre una veintena de cosas que los profesores aburridostienden a evitar porque les parecen frívolas.

En el Diseño Curricular del Consejo Provincial de Educa-ción de la Provincia de Río Negro, Argentina (1991), se

menciona al juego en el aula como unaimportante herramienta para ser tenidaen cuenta, de la siguiente manera:

Una consideración especial merece elpapel del juego en el aprendizaje de lamatemática. La matemática misma puedeser presentada al alumno como un grandesafío que admite reglas particulares, pro-moviendo la apropiación de técnicas y lagestación de estrategias personales, quepueden dar lugar a nuevos caminos o for-mas innovadores de jugar. Justamente suenseñanza basada en problemas deberáser hecha bajo esa caracterización. Porotra parte, existen juegos en la vida diariaincorporables a la enseñanza de la mate-mática en la escuela, ya que encierranconocimientos o procedimientos propios deesta disciplina o pueden ser adaptados atal fin. Ejemplos de ellos lo constituyen:

• los juegos de procedimientos conoci-dos, pero que pueden ser enriquecidosy variados para profundizar los conteni-dos matemáticos (dominó, lotería, esco-ba, bingo, Oca, generala, Trivial,Carrera de Mente, pictionary, batallanaval, etc.);

• los juegos que impliquen la creación deestrategias por parte de los alumnoscomo son muchos juegos bipersonalesde tablero en los que puede determinar-se una estrategia ganadora (Ta-te-ti,Nim, llegar a 10, Ludo, etc.);

• los rompecabezas geométricos (CuboRubik, Cubo Soma, Tangram, etc.) queagudizan las percepciones espaciales ala vez que promueven el descubrimientode propiedades geométricas;

• los dados y ruletas que despiertan elinterés en las probabilidades;

• los crucigramas, cuadrados mágicos,juegos de ingenio, que aparecen endiarios y revistas, etc.

El juego, igual que en la edad infantil esuna herramienta de aprendizaje, poco apoco es más organizado, incluye reglasy presenta problemas que es necesarioresolver. Así como todos los niños yniñas pueden jugar, también todos pue-den hacer matemática (Alsina y otros,1996). El docente ha de ser conscientede que su experiencia, creencias y acti-tudes hacia la matemática y en especialhacia la resolución de problemas, aun-que no las explicite, quedan transparen-tadas en su actuación en el aula y deellas depende mucho de lo que losalumnos gusten, se interesen y se sien-

Si podemostransformar

el aulaen un lugar

(no sóloen la clase

de matemática)donde primeun ambiente

lúdico,y dado el interés,

la curiosidady la expectativa

que generaneste tipo

de actividades,podemos generar

en los niñosaquellas actitudes

que sonfundamentales

para cargarde sentido

a la enseñanza.

26

tan capaces de hacer en esta disciplina(Consejo Provincial de Educación, 1995)

Por otro lado, es cierto que pueden pre-sentarse dificultades para la puesta enpráctica de juegos. Están las de carácterambiental, como lo son el poco espacio,los muchos alumnos, la escasez demateriales, etc., aunque opino que esposible idear diferentes juegos para dis-tintas realidades. También es cierto quelas clases donde los niños hacen y jue-gan son clases desordenadas, bulliciosasy de mucho movimiento. Es necesarioadoptar una actitud abierta ante estaforma de trabajar en el aula. Un ambien-te de trabajo distendido no significanecesariamente menos aprendizaje e,inversamente, un aula silenciosa y orde-nada no garantiza el éxito del procesode enseñanza-aprendizaje.

La propuesta metodológica

Para el trabajo en el aula se propusoplanificar las actividades de modo quetuvieran lugar tres etapas bien diferen-ciadas que denominamos de juego, dereflexión y de confrontación y que acontinuación se describen brevemente.

Primera etapa: juego

En esta etapa, que incluye el desarrollodel juego en sí mismo, como actividadmotivadora, tienen lugar la compren-sión de la tarea, de las reglas de juego,los registros de puntuaciones, etc. Esposible que esta etapa sea bastante pro-longada, siendo que en el mismo juegopuede ser interesante considerar algu-nas variantes, o aún repetir varias vecesel mismo juego.

Segunda etapa: reflexión

Aquí nos detendremos para señalar queen este tipo de trabajo es importanteprever tanto instancias de trabajo indivi-dual como en pequeños grupos. Esto sefundamenta básicamente en los siguien-tes puntos: en primer lugar, la compren-sión de un concepto y la incorporacióndel mismo dentro de los esquemas exis-tentes de ideas y pensamientos son pro-cesos de carácter individual. En segun-do lugar, el trabajo en pequeños grupos

favorece, a través de la interacción con los pares, el razo-namiento, la comunicación, el desarrollo personal y social,como objetivos generales.

Estos puntos no son hoy en día motivo de discusión porparte de los docentes, y abunda la bibliografía que sostie-ne desde lo teórico y desde la experiencia en el aula, lariqueza de estas formas de trabajo como necesarias y com-plementarias. Es por esto que las actividades que se pro-gramen deben estar planteadas de manera que atiendan aambas instancias como igualmente importantes.

Esta etapa estará compuesta por actividades (instancias dereflexión teórica y aplicación de conceptos) que se des-prenden naturalmente de la actividad lúdica. En particular,podría pensarse como una serie de situaciones (planteadascomo problemas) que deriven del mismo juego.

Tercera etapa: confrontación

Especial atención merece el trabajo con el grupo total des-pués de que se han desarrollado actividades individualeso en pequeños grupos. La confrontación de resultados esla modalidad de cierre de las actividades que parece másenriquecedora para los niños.

Esta forma de trabajo si bien lleva tiempo y requiere de untrabajo especial por parte del docente, permite simultánea-mente el cumplimiento de varios objetivos:

• Promueve la adecuada verbalización de las activida-des de cada uno (o del grupo), de manera de hacer-las comprensibles para los demás. Esto conlleva untrabajo con el uso apropiado del lenguaje, terminolo-gía, enriquecimiento del vocabulario, propiedad delas expresiones, etc.

• Pone en evidencia las distintas estrategias de trabajo,permitiendo su evaluación por parte de los niñosquienes podrán darse cuenta de que hay otras estra-tegias más adecuadas, más sencillas o simplementedistintas de la propia.

• Permite valorar como formas de aprendizaje los hábi-tos de seguir, entender y valorar el razonamientoajeno, fundamentar los desarrollos, justificar el razona-miento propio, realizar conjeturas, como así tambiénpromover el desarrollo de otros hábitos como escu-char al otro, admitir los propios errores y aprender deellos, aprender a trabajar en grupos, entre otros.

Esta etapa, fundamentalmente consiste en disponer de untiempo en la organización de la clase, posterior a la acti-vidad individual o en pequeños grupos para que los alum-nos, organizados por el docente, presenten y discutan lasresoluciones de sus actividades (Saiz, 1995)

Para que esta forma de trabajo sea verdaderamente enri-quecedora, es necesario que las actividades a presentarsean fértiles en cuanto a admitir varias estrategias posiblesde solución como así también varias soluciones distintas.

Un ambientede trabajodistendido

no significanecesariamente

menos aprendizajee, inversamente,

un aulasilenciosa

y ordenadano garantiza

el éxitodel proceso

de enseñanza-aprendizaje.

27

Esta forma de trabajo apunta también a un objetivo que esmuchas veces descuidado, particularmente en matemática:la necesidad del rigor y la precisión. En la práctica de jus-tificar los propios razonamientos los alumnos empiezancon una explicación informal de sus procedimientos, lle-gando paulatinamente a la expresión más formal de susideas. La institucionalización de contenidos, tanto concep-tuales como procedimentales tiene lugar en esta etapa yapunta particularmente a estos objetivos.

En la figura 1 puede verse un esquema que resume laforma en que se conectan las tres etapas descritas de lametodología propuesta.

Resultados de la experienciacon docentes y alumnos

Hay varios aspectos importantes para señalar de esta expe-riencia, por una parte en relación al trabajo de y con losdocentes, y por otra en relación al trabajo con los alumnos

En cuanto al trabajo con los docentes, se presentan variasventajas, que se detallan a continuación:

1. Continuidad: las características de los talleres, quetuvieron continuidad a lo largo del año realizándosedentro del ámbito de la escuela, propiciaron un climade participación continua de los docentes y el equipodirectivo, generando también una motivación especial,dado que el compartir las experiencias favorece unacomunicación más fluida de ideas y permite una bús-queda de apoyo en el grupo de pares. Los juegos mate-máticos deberían ser introducidos ya desde el preesco-lar, y tener una continuidad a lo largo de toda la ense-ñanza primaria. Esta modalidad de trabajo dará lugar altratamiento de la diversidad en distintas situaciones, demodo que permitirá no sólo el trabajo con los conteni-dos sino también la detección y tratamiento de errores.

2. Observación entre pares: durante el desarrollo delProyecto Institucional se consideró el registro y obser-vación de las clases como un elemento fundamentalpara un análisis crítico de la propia práctica y para larealización de informes de cada actividad llevada acabo. La modalidad elegida, y que se llevó a la prác-tica para cumplir con este objetivo, fue la observaciónentre pares que, por una parte dio lugar a una mayorcomunicación entre los docentes, y por otra facilitó la«apertura de las aulas», de modo que el trabajo dentrodel aula se abriera a la observación y análisis porparte de otros docentes.

3. Compartir experiencias: la existencia de un espaciocomún de trabajo permitió discutir y analizar las pro-blemáticas comunes, comunicándose y compartiendolas experiencias entre todos los docentes de la escue-la y el equipo directivo.

28

Juego

Aparecen situacionesproblemáticas

Induceuna reflexión

Se confrontanlas posturas, estrategiasy solución de problemas

Confrontación

Se institucionaliza el conocimiento

No hay preconceptosrespecto de la propia

capacidad

Produceaprendizajes

Provocacuriosidad

Esmotivador

Interesa

Hay expectativasde divertimento

Se recurre aconocimientos

anteriores

Está motivadapor el juego

Los problemasse presentan ligados

al juego

Cada uno elaboraestrategias propias

Hay estrategiaspropias del juego

Pueden aparecerotras estrategias

Se comparan estrate-gias en cuanto a su efi-ciencia, esfuerzo, etc.

Se logran objetivosen relación a actitudes y

procedimientos

Se socializael conocimiento

Pueden aparecerotras estrategias

Se ve el conocimientoen acción (se usa)

Aparece el errorcomo desencadenante

de aprendizaje

Figura 1

Se rescatan losconocimientos emplea-dos para la solución

4. Trabajo cooperativo en la produc-ción de tareas y materiales: una rea-lidad es la dificultad para procurar-se juegos, que es un problema quepretendió salvar esta experiencia,haciendo una serie de propuestasgenerales que más que mostrar acti-vidades dieran a los docentes algu-nas pistas de cómo trabajar con estametodología y los impulsaran acrear sus propias propuestas. Laforma de trabajo en talleres men-suales, permitió así la creación con-junta de tareas y elaboración coo-perativa de materiales y, por otraparte, facilitó la gestación de unabase de datos donde todos losdocentes pueden acceder tanto alos distintos tipos de tareas ideadaspara distintos contenidos, como alos materiales necesarios para llevara cabo las experiencias en el aula.En la continuidad de este proyecto,se pretende construir una juegotecade matemática en la escuela.

5. Integración de áreas: hubo lugar aintegración de áreas en dos senti-dos. Por una parte, fundamental-mente en el tercer ciclo, donde losalumnos trabajan con maestros poráreas, se realizó una serie de activi-dades orientadas a integrar la mate-mática con las ciencias sociales, lasciencias naturales y lengua. Otrotipo de integración, tal vez menosusual, fue la presentación de activi-dades que vinculaban la matemáti-ca con música, las artes plásticas yeducación física.

En relación al trabajo con los alumnos,se observó que esta metodología de tra-bajo en el aula genera en ellos un cam-bio favorable de actitud ante la matemá-tica tanto como un aumento del placerque proporciona el quehacer matemáti-co. La gran mayoría participó activamen-te de las propuestas lúdicas y se mostróinteresada en las tareas que relacionadascon ellas se planteaban a continuación.La puesta en práctica continua de laspuestas en común permitió que las dis-cusiones, justificaciones y argumentacio-nes fueran enriqueciéndose paulatina-mente, en la medida que los alumnos

empezaron a fortalecer su confianza y a aprender de los

errores propios y de los de sus compañeros. Aún aquellos

que poseen más dificultades en matemática pudieron par-

ticipar aportando opiniones y procedimientos. Los docen-

tes que participaron de esta experiencia están seguros de

percibir un cambio actitudinal en sus alumnos, y también

en cuando al aprendizaje de la matemática ya sea en los

conceptos como en los procedimientos. En una continua-

ción de este proyecto sería fundamental evaluar sistemáti-

camente los avances de los alumnos que trabajan con una

metodología lúdica en la clase de matemática.

Agradecimientos

Deseo agradecer al equipo directivo, docentes y alumnos

de la Escuela n.° 71, «General don José de San Martín», de

San Carlos de Bariloche por su apoyo y colaboración. Es

en sus aulas donde esta propuesta está siendo puesta en

práctica y son sus alumnos los que dan sentido a esta

tarea. También a las Profesoras Virginia Montoro y Cristina

Ferraris por comentarios a la lectura del manuscrito.

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Mónica de Torres Departamento de Matemática. Centro Regional Universitario

Bariloche.Universidad Nacional

del Comahue.Bariloche. ARGENTINA

29

En relaciónal trabajo

con los alumnos,se observó que

esta metodologíade trabajoen el aula

genera en ellosun cambiofavorablede actitud

antela matemática

tanto comoun aumento

del placer ue proporciona

el quehacermatemático.

N LAS ÚLTIMAS DÉCADAS del pasado siglo, fruto de losavatares sociales y políticos, hemos asistido a importantescambios en el sistema educativo español, que han llevadoparejo modificaciones en los sistemas de formación deprofesores. No obstante, a través de los tiempos, se hanmantenido algunos problemas en la formación inicial delprofesorado como son la tensión no resuelta de las rela-ciones entre teoría y práctica, la disyuntiva siempre pre-sente entre planes culturalistas y planes profesionales, y elestatus académico y social de los Centros de FormaciónInicial y de sus alumnos (Sierra y Rico, 1996). A ellos,habría que añadir el distanciamiento, administrativo y aca-démico, de la formación inicial respecto del trabajo desa-rrollado en los centros de infantil y primaria. Todos ellosconstituyen la referencia básica de este trabajo que losanaliza desde la perspectiva de la educación matemática.

Algunas referencias históricas

La formación inicial en España en lasdécadas de los setenta y ochenta

Diferentes autores como Balbuena (1991); Armendariz,Azcárate y Delofeu (1993); Rico (1994); Rico y Sierra(1994) señalan la década de los setenta como el período apartir del cual se han producido importantes cambios enla Educación Matemática, en general, y en la formación delos profesores de Matemáticas, en particular.

En esta época, al compás de la promulgación de la LeyGeneral de Educación, la implantación de un nuevo siste-ma educativo, y nuevas propuestas curriculares se aprue-ba la incorporación formal a la universidad de la forma-ción inicial del profesorado de Educación General Básica

En los últimos años se hanproducido importantescambios en el sistema

educativo español que hanllevado parejo

modificaciones en laformación inicial de los

profesores de primaria. Estetrabajo analiza algunos

dilemas tradicionales en laformación del profesorado,así como la influencia que

los sucesivos planes deestudio han tenido en las

asignaturas relacionadas conla educación matemática,

donde se constata unareiterada pérdida de horas

lectivas.Al compás de este análisis serealizan algunas sugerenciasque se consideran pudieran

ayudar a mejorar laformación matemática de los

futuros maestros.

31

La formación matemáticadel profesorado de primaria

Lorenzo J. Blanco Nieto

ARTÍCULOS

E

38


pasando las Escuelas Normales a integrarse en la Uni-versidad como Escuelas Universitarias. Simultáneamente,se desarrollan nuevos planes de estudios y programas quereflejan un mayor interés por los problemas de enseñan-za/aprendizaje de los contenidos escolares.

Con el Plan de 1971 se eleva la categoría del título demaestro al nivel de diplomado universitario, aumentándo-se el nivel de exigencia académica para ingresar en estoscentros, y aunque amplios sectores educativos y socialespedían el título de licenciado, éste no se concede pormotivos de índole económica (Sierra y Rico, 1996).

El reconocimiento institucional del área de conocimientode Didáctica de la Matemática en 1984, a raíz de la pro-mulgación de la Ley de Reforma Universitaria, supone unpaso cualitativo importante en la docencia e investigaciónrelacionada con la formación inicial en matemáticas de losmaestros. Aun cuando las soluciones administrativas quese le dieron fueron muy diversas (Rico, 1994), muchosprofesores optamos por este área de conocimiento produ-ciéndose la incorporación real a los departamentos uni-versitarios, en algunos de los cuales el área de conoci-miento tiene un papel predominante.

Este paso es para la Didáctica de la Matemática y, en gene-ral, para la formación inicial del profesorado en España unsalto cualitativo notable, ya que a partir de este momento,un número importante de profesores, dirigimos nuestraactividad docente hacia los problemas de enseñanza/aprendizaje de las matemáticas escolares, empezamos aformar grupos de investigación dentro de la Universidad,e intensificamos la búsqueda de canales para la realizaciónde tesis doctorales y proyectos de investigación sobre pro-blemas propios de la educación y de la formación de pro-fesores de Matemáticas.

Los planes de estudio del setenta, donde existían títulos demaestros especialistas en Ciencias Humanas, Ciencias, Pre-escolar y Lengua Española y Extranjera, reflejaban el domi-nio de la formación científica sobre la didáctica específica,que apenas ocupaba una pequeña parte en algunas asig-naturas y siempre dependiendo de la voluntad de los pro-fesores.

Sierra (1987) realiza un interesante estudio acerca de losPlanes de Estudios de 1971 de las Escuelas de Formacióndel Profesorado de EGB, vigentes hasta principio de losnoventa, donde se reflejan los contenidos científicos ydidácticos en relación a las Matemáticas a principio de lapasada década. En ellos, se distinguía entre las asignaturasde contenido científico y «la» de Didáctica de la Matemá-tica, para los alumnos de la especialidad de Ciencias. Enel trabajo se señala, que «la Didáctica de la Matemáticaocupa aproximadamente un 25% del currículo de losalumnos de las Escuelas referido a su formación matemá-tica global» (p. 105). Para las demás especialidades apare-

ce, solamente, una asignatura llamada«Matemáticas y su Didáctica» donde eltemario nos volvía a demostrar la esca-sa o nula referencia a la Didáctica de laMatemática.

Por nuestra parte, recordamos que losprogramas de las asignaturas evidencia-ban el predominio del contenido sobrelos aspectos didácticos (E.U.F.P., 1982,1984), y que la bibliografía utilizada erade carácter general y de contenido teó-rico. El cálculo infinitesimal y las estruc-turas algebraicas formaban parte delcurrículo del futuro maestro. Sólo alfinal de algunos capítulos o al final dellibro, aparecían apartados sobre Didác-tica de la Matemática, pero siemprecomo un apéndice del contenido y, fun-damentalmente, sobre recursos y mate-riales, pero casi nunca sobre teorías,más o menos elaboradas, sobre ense-ñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Incluso, la expresión «Matemáticas y suDidáctica», que es elocuente de unadeterminada forma de pensamiento sobreel contenido de las asignaturas en estosCentros, no era aún frecuentemente utili-zada, y todavía es mayoritaria en los pla-nes de estudio actuales (Abraira y cols,1997). Subyacía la idea de que primera-mente había que «darles» Matemáticas yque prácticamente con eso era suficiente.La formación culturalista se imponíasobre el carácter profesional que debetener la formación de profesores.

Esta situación era, así mismo, común enotros paises como nos recuerda Cooney(1994):

En 1960 y 1970 el modus operandi de lamayor parte de los programas de educa-ción de profesores era intentar que los pro-fesores fueran matemáticos competentes y,de paso, introducir alguna pequeña partede pedagogía (p. 225).

No obstante, asumimos la reflexión deLlinares (1998) cuando señala que enesta época se empieza a hacer patentela preocupación por determinar el con-tenido de Didáctica de la Matemáticaque debieran tener las asignaturas, o larelación entre contenido matemático ysobre didáctica de la matemática, oconocer la naturaleza del contenido

El reconocimientoinstitucional

del áreade conocimiento

de Didácticade la Matemática

en 1984,a raíz de

la promulgaciónde la Ley

de ReformaUniversitaria,

suponeun paso

cualitativoimportante

en la docenciae investigación

relacionadacon la formación

inicialen matemáticasde los maestros.

32

matemático propio de la formación demaestros:

La didáctica de la matemática empezaba aampliar su 'conocimiento teórico' desde lasinvestigaciones cognitivas, las reflexionesteóricas, etc. de manera creciente y estoplanteaba cuestiones relativas a cómoincorporar dicho conocimiento teórico enlas asignaturas que estaban dirigidas a for-mar profesores (Llinares, 1998, 26)

En esta época, todos los colectivos queparticipábamos en la formación del pro-fesorado (formadores, profesores enactivo, estudiantes y administración)manifestábamos la preocupación al esti-mar que la formación que recibían losprofesores en formación no era adecua-da a la exigencia de la profesión, yobservar el distanciamiento (docente yadministrativo) que se producía entrelos centros de formación inicial y loscentros de enseñanza obligatoria.

La formación inicialen España en la décadade los noventa

A principios de los noventa se publicael Real Decreto por el que se establecenlas directrices generales del Título deMaestro donde se especifican siete títu-los: Educación Infantil, Educación Pri-maria, Educación Física, Lengua Extran-jera, Educación Musical, EducaciónEspecial y Audición y Lenguaje, en con-sonancia con el sistema educativo quese señala en la Ley de Ordenación Ge-neral del Sistema Educativo (LOGSE)aprobada en 1990.

Con posterioridad, pero en esta mismadécada, se produce la transformaciónde algunas Escuelas Universitarias enFacultades de Educación en las que seintegran con otras titulaciones afinescomo Psicopedagogía o Pedagogía.Todo lo anterior provoca nuevos planesde estudio en la formación de profeso-res donde algunos formadores propusi-mos, no con mucho éxito, seguir pro-fundizando en su carácter profesional einsistir en la importancia de las didácti-cas específicas para que tuvieran unprotagonismo esencial.

Tampoco en esta ocasión se concede la titulación de licen-ciado para los futuros maestros, y se obvia analizar el nivelacadémico y social de los estudiantes que acceden a estoscentros, así como evaluar el desarrollo de la titulación demaestro para conocer si nuestro trabajo docente como for-madores de profesores estaba cumpliendo con los objeti-vos previstos.

Un avance significativo de esta época es que

después de siglo y medio de la existencia de las Normales, porfin se ha reconocido legalmente (Art. 16 de la LOGSE) que sola-mente puedan trabajar profesionalmente como Maestros losDiplomados que han cursado alguna de las titulaciones de maes-tro (Sierra y Rico, 1996, p. 50).

Aun cuando la Didáctica de la Matemática ha avanzado ensu consideración dentro de los programas de diferentesasignaturas y en los planes de estudio desde la década delos setenta, observamos algunos aspectos que se deberíancorregir y manifestamos nuestra preocupación por la esca-sa importancia que la educación matemática sigue tenien-do en la formación inicial de los maestros como reflejanen los nuevos planes de estudio aprobados en los últimosaños de la década pasada.

A pesar de «la dificultad que presenta la realización de unestudio comparativo en cuanto a la homogeneidad o hete-rogeneidad de los contenidos de los programas propues-tos por las diferentes universidades» (Ruiz, 1998a, p. 49),el análisis de los actuales Planes de Estudio para la for-mación de los Maestros y programas de las asignaturas nosindica una gran diversidad en cuanto a denominación,número de créditos y contenidos de las asignaturas, quese orientan en unos casos al dominio exclusivo del con-tenido matemático y en otros hacia una orientación didác-tica y profesional (Abraira y cols., 1997; Ruiz, 1998a).Afortunadamente, pero en un proceso todavía muy lento,son cada vez más los que asumen este último enfoque enun intento de adaptar dichos programas a la visión de lamatemática y de su enseñanza-aprendizaje que subyace enel actual currículo de Primaria, pero teniendo en cuenta lasconclusiones e implicaciones de las, cada vez más nume-rosas, publicaciones que tratan sobre la formación del pro-fesorado de Matemáticas en primaria (Giménez, Llinares ySánchez, 1996; Blanco y Cruz, 1997; Abraira y De Fran-cisco, 1998; Murillo, Escolano y Gairín, 1998; Carrillo yCliment, 1999; Contreras y Climent, (eds.), 1999; Corral yZurbano, 2000; etc.).

Abraira y cols (1997) analizaron los planes de estudio desesenta y nueve Centros de Formación Inicial de Maestros.En los planes de la especialidad de Educación Primaria secalculó una media de 13,5 créditos troncales y obligatoriosen asignaturas relacionadas con las Matemáticas, lo queresulta un 6,4% de los créditos totales. Pero si considera-mos las demás especialidades podemos encontrarnos con

Aun cuandola Didáctica

de la Matemáticaha avanzado ensu consideración

dentro delos programasde diferentesasignaturas

y en los planesde estudio

desde la décadade los setenta,observamos

algunos aspectosque se deberían

corregiry manifestamos

nuestrapreocupaciónpor la escasaimportancia

que la educaciónmatemática

sigue teniendoen la formación

inicialde los maestros…

33

apenas un 3% de créditos dedicados a la Didáctica de lasMatemáticas o como caso inaudito observar que en algu-nos planes de estudio de la especialidad de EducaciónEspecial no existe asignatura de Didáctica de las Mate-máticas. Es decir, el número de créditos de Didáctica de lasMatemáticas, como materia troncal u obligatoria, quedeben cursar los futuros maestros de Educación Especialen algunos centros es cero. Lo anterior trasluce, entre otrascuestiones, una discriminación hacia los alumnos connecesidades educativas especiales (sordos, ciegos, lími-tes…) y una mentalidad de que estos alumnos no debierantener una preparación matemática en relación con las ope-raciones aritméticas, orientación espacial o geometría queconstituyen el núcleo del contenido matemático en prima-ria. Lo que contradice todas las orientaciones que, sobre laintegración escolar, emanan de la LOGSE.

Rico y Carrillo (1999) en una revisión posterior, señalabanque «en la especialidad de Maestro de Primaria, la forma-ción en matemática y su didáctica apenas alcanza el 8% dela carga lectiva total; en el resto de las especialidades sóloes del 2%» (Rico, 2000, p. 50). Lo que muestra la progresi-va desaparición de la educación matemática en los planesde formación inicial del profesorado de primaria.

La situación actual en los Planes de Estudio de la Facultadde Educación en Badajoz, por encima de la media, es bienexplícita de las afirmaciones anteriores (Tabla 1) y mues-tra de forma clara la poca importancia que la formaciónespecífica en Didáctica de las Matemáticas tiene en la for-mación inicial de los futuros maestros.

cido en más del 50% en relación con losPlanes del 1971» (Ruiz, 1998b).

La escasa importancia dada a la educa-ción matemática en las diferentes espe-cialidades es una contradicción eviden-te con lo que marca el sistema educati-vo para las diferentes materias en laeducación infantil y primaria. Así, en lostres ciclos de Primaria se marcan el 16%de horas para Matemáticas, teniendouna consideración muy superior a laque se programa durante el proceso deformación inicial. Solamente, la conside-ración de este dato debiera llevarnos apensar en la necesidad de una mayorconsideración de las asignaturas deDidáctica de la Matemática dentro delos planes de estudios.

Pero esto resulta aún más alarmante porcuanto la dinámica de implantación de laLOGSE y el actual sistema de oposicio-nes, donde no se contemplan plazaspara los maestros de la especialidad dePrimaria, está potenciando que los maes-tros especialistas, es decir, los que menoshan estudiado Didáctica de la Mate-mática, se conviertan en maestros gene-ralistas y, por tanto, encargados de laeducación matemática en los colegios dePrimaria. Esta situación ya fue denun-ciada en el simposium reseñado anterior-mente, por los profesores del área, sinque se haya tomado ninguna medida alrespecto (Ruiz, 1998b, p. 166).

Una vez más los planes de estudios y elsistema de acceso a la profesión evi-dencian el distanciamiento entre la for-mación inicial de los profesores y la rea-lidad educativa desarrollada en los cen-tros de enseñanza infantil y primaria.

Y lo que es redundante, también en estaépoca, todos los colectivos que partici-pamos en la formación del profesorado(formadores, profesores en activo, estu-diantes y administración) manifestamosnuestra preocupación al estimar que laformación inicial que reciben los profe-sores no es adecuada a la exigencia dela profesión, y seguimos observando eldistanciamiento (docente y administrati-vo) que se produce entre los centros deformación inicial y los centros de ense-ñanza obligatoria.

…los planesde estudiosy el sistemade acceso

a la profesiónevidencian

el distanciamientoentre la formación

inicialde los profesores

y la realidadeducativa

desarrolladaen los centrosde enseñanza

infantily primaria.

34

Total de créditos Créditos de Porcentaje

Especialidad troncales y oblig. Educa. Matem. de créditos

Primaria 163,5 15 9,1

Infantil 162 7,5 4,6

Lengua Extranjera 166 4,5 2,7

Educación Física 166,5 4,5 2,7

Educación Especial 166,5 4,5 2,7

Audición y Lenguaje 166,5 3,5 2,1

En 1997 los asistentes al «II Simposio sobre el currículumen la formación inicial de los profesores de Primaria ySecundaria en el área de Didáctica de las Matemáticas»(Abraira y De Francisco 1998) «manifestaron su insatisfac-ción por el número de créditos asignados por los nuevosPlanes de Estudio al Área de Didáctica de la Matemática,ya que en alguna especialidad la carga lectiva se ha redu-

Tabla 1. Créditos de las asignaturas de Educación Matemática en los Planesde Estudio de formación de Maestros en la Facultad de Educación en laUniversidad de Extremadura

Esta situación nos lleva a asumir que «laformación del profesorado para unaeducación de calidad y con problemasnuevos no ha sido considerada seria-mente» (Camps, 2000, p. 83) como seindica en el documento elaborado porla Fundación Alternativas sobre los pro-blemas de la educación actual. Rico(2000), va más allá al considerar

críticamente la situación actual y denunciael panorama desolador que se percibe, locual hace inteligible la preocupación socialque se viene manifestando sobre la degra-dación de la enseñanza de las matemáticasen primaria, una de cuyas causas principa-les es la escasa y deficiente preparacióndel profesorado (p. 50).

Tensión entre teoríay práctica.Nuevas referencias

Uno de los problemas señalados en laintroducción hacía referencia a la ten-sión entre la teoría y la práctica. Lasaportaciones realizadas sobre la educa-ción matemática en los últimos añosdebe llevarnos a su reconsideracióndesde nuevas referencias. Así, aparecenrecientes aportaciones que conexionanel conocimiento matemático, el conoci-miento de didáctica de la Matemática yel conocimiento pedagógico; interesan-tes conclusiones e implicación de lasinvestigaciones en educación matemáti-ca, especialmente aquellas que analizanel conocimiento de los maestros en for-mación, noveles, y expertos; y se intesi-fica la búsqueda de nexos de uniónentre la formación inicial y permanente(Rico y Carrillo, 1999).

También, son numerosas e importanteslas contribuciones españolas que, desdela educación matemática, han tratadoacerca de la caracterización del conoci-miento base, teórico y práctico, a consi-derar en la formación matemática de losmaestros (Llinares, 1994; Blanco, Me-llado y Ruiz, 1995; Carrillo y Climent,1999; Contreras y Climent, (eds.), 1999;Corral y Zurbano, 2000) y que van per-mitiendo diseñar nuevos proyectos

docentes en este campo. En todas ellas se parte de consi-derar que el proceso de aprender a enseñar tiene lugar apartir de procesos activos que se desarrollan en un con-texto específico caracterizado por tiempo, lugar y los pro-tagonistas.

Estas aportaciones asumen que los profesores en forma-ción dotan de significado a toda su acción tomando comoreferencia su experiencia escolar previa, que les ha lleva-do a unos conocimientos y concepciones fuertementeasentadas sobre las Matemáticas, sobre su enseñanza/aprendizaje y sobre el ejercicio de la profesión de profe-sores de Matemáticas.

Por otra parte, nuestra experiencia docente, así como losresultados de numerosas investigaciones muestran el defi-ciente nivel de conocimiento que los estudiantes paramaestro tienen respecto de contenidos matemáticos bási-cos. Igualmente, muestran que el dominio del contenidoes directamente proporcional a la capacidad de gestión declase y a la habilidad para crear y sostener un discursoproductivo en el aula (Mellado, Ruiz y Blanco, 1997).

Estos resultados refuerzan el debate permanente acerca dela relación entre los contenidos matemáticos y la Didácticade la Matemática en la formación del profesorado, y se uti-lizan como justificación para mantener asignaturas de con-tenidos matemáticos en los planes de estudio de forma-ción inicial. En mi opinión, el bajo nivel de conocimientomatemático de los estudiantes para profesores de las mate-rias concretas no implica que debamos volver a dar losmismos contenidos siguiendo normalmente procedimien-tos transmisivos.

La repetición de contenidos estudiados en la enseñanzaprimaria, secundaria y bachillerato, siguiendo en la mayo-ría de las ocasiones modelos similares, contribuye a refor-zar y consolidar las concepciones de los estudiantes sobrelas Matemáticas y sobre su enseñanza/aprendizaje que, enla mayoría de las ocasiones, encuentran desajustes y con-tradicciones significativas con las propuestas curricularesactuales. Esta reiteración, de contenidos y metodología, nogarantiza un mayor conocimiento matemático de los estu-diantes y sirve, en la mayoría de las ocasiones, para refor-zar las ideas acerca de las dificultades de las matemáticasy su animadversión hacia esta materia. Obviamente, todoello, repercute muy negativamente en su formación y acti-vidad futura como profesores de matemáticas.

Como señala Fortuny (1995):

debemos tener muy presente que la elección de las maneras detrabajar influyen, si se quieren, indirectamente en la formación deconcepciones y hábitos en los estudiantes para profesores. Estoshábitos ocultos condicionan fuertemente las concepciones y lasactuaciones docentes de nuestros estudiantes. Se han integradoen los esquemas de acción docente a modo de 'currículum ocul-to' que sin explicitar sus intenciones se va aprendiendo mediantelas vivencias, a menudo no consciente de los profesores forma-

…el bajo nivelde conocimiento

matemáticode los estudiantespara profesoresde las materias

concretasno implica quedebamos volver

a dar los mismoscontenidossiguiendo

normalmenteprocedimientostransmisivos.

35

dores. A veces este proceso de enculturación transmite tácticas nodeseadas o en contradicción con el currículum explícito de laasignatura (p. 45).

El problema no es que tengan que estudiar más Matemá-ticas, sino que hay que trasladar la atención a otrasvariables. Y ello tiene que ser así porque el conoci-miento de los profesores es diferente del de un especia-lista, puesto que está relacionado con el contexto esco-lar y con el propio proceso de enseñanza/aprendizaje.Y, consecuentemente, deberá tener en cuenta de mane-ra simultánea y coherente las matemáticas escolares ylos problemas de su enseñanza y aprendizaje, los cono-cimients y concepciones que sobre ellos tienen los estu-diantes y las aportaciones sobre enseñanza/aprendizajede las Matemáticas y todo ello en relación a la prácticade la enseñanza concreta.

Finamente, señalaríamos que la tensión entre teoría y prác-tica alcanza una nueva dimensión si consideramos los resul-tados acerca la caracterización del conocimiento práctico delos estudiantes para profesores que indican que las estrate-gias didácticas de los profesores son diferentes según lamateria que enseñan, y sus actividades y prácticas pedagó-gicas dependen de la asignatura (Mellado, Ruiz y Blanco,1997). En consecuencia, creemos que, además del análisisglobal del conocimiento práctico propio de las materias psi-copedagógicas, es necesaria la intervención diferenciada dela Didáctica de la Matemática durante las prácticas de ense-ñanza en el proceso de aprender a enseñar.

Y esto es así porque los estudiantes para Maestro no poseenlos suficientes esquemas cognitivos para aprender efecti-vamente de sus experiencias y observaciones de clase. Loque consecuentemente debe llevarnos a introducir en losprogramas de formación inicial actividades para ayudar anuestros estudiantes para profesores a aprender a enseñarmatemáticas a través de la observación y de la práctica,mediante procesos de reflexión en y sobre la acción.Tales actividades deberían estar estructuradas y secuencia-das teniendo en cuenta el nivel de preparación de losestudiantes y los períodos de antes, durante y con poste-rioridad a las prácticas de enseñanza.

Todo lo anterior debería llevarnos a establecer un nuevomarco curricular para la formación matemática de los pro-fesores de primaria donde tengamos en cuenta la reco-mendación de Ruiz (1988a, p.51) cuando indica que:

las materias adscritas a nuestra área de conocimiento debenaportar al estudiante para Maestro aquellos conocimientos deDidáctica de la Matemática que les serán útiles para comprender,diseñar, gestionar y evaluar los procesos de enseñanza y apren-dizaje de la matemática. Ahora bien, los contenidos de una asig-natura deben seleccionarse teniendo en cuenta su instrumentali-dad para el ejercicio de la profesión docente y no limitarse a unaserie de nociones teóricas cuyo interés corresponde esencialmen-te al trabajo del investigador.

Y siempre desde la perspectiva de for-mar profesionales reflexivos y autóno-mos capaces de afrontar situaciones sin-gulares, ambiguas e inciertas que supo-ne la vida en el aula, y de diseñar yconstruir en cada momento las estrate-gias didácticas adecuadas, cuya eficaciasea capaz de experimentar y evaluar(Blázquez, 1995).

Conclusiones

Partiendo de la reflexión realizada sobrediferentes cuestiones relativas a la for-mación inicial de los maestros en el áreade matemática, quisiera, a modo de rei-vindicación, señalar algunas cuestionesque debemos afrontar en un futuroinmediato. Es de justicia recordar quemuchas de estas cuestiones han sidoplanteadas como conclusión en los dife-rentes simposium celebrados al respec-to (Blanco y Cruz, 1997; Abraira y deFrancisco, 1998; Murillo, Escolano yGairín, 1998; Corral y Zurbano, 2000),así como en Rico (2000).

• El nivel universitario para laFormación Inicial de los maestrosdebe ser el de Licenciado que per-mita una homologación con los paí-ses europeos donde la duraciónnormal es de cuatro o cinco años.

• Esta ampliación implicaría el diseñode unos planes de estudios másprofesionales, con un tronco curri-cular común que permita, en pri-mer lugar, formar maestros y, pos-teriormente, especialistas según lasdiferentes especialidades de laLOGSE. «El paso al nivel de licen-ciatura permitiría conjugar una for-mación sólida común para todoslos profesores de primaria con uninicio de especialización, que con-templase de manera diferenciadatodas las áreas del currículo» (Rico,2000, p. 51).

• En todas las modificaciones curricu-lares futuras debe subyacer la pers-pectiva de considerar al profesorcomo un profesional reflexivo yautónomo que debe saber tomar

…debe llevarnosa introducir

en los programasde formación

inicialactividades

para ayudara nuestrosestudiantes

para profesoresa aprendera enseñar

matemáticasa través de

la observacióny de la práctica,

medianteprocesos

de reflexiónen y sobrela acción.

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decisiones y diseñar y construirestrategias de enseñanza adecuadasa los contenidos matemáticos esco-lares y a los contextos concretosdonde puedan suscitarse.

• Ello implica potenciar la investiga-ción en formación de profesores enel área de Matemática para profun-dizar en el análisis de problemas deenseñanza/aprendizaje sobre tópi-cos concretos de la Matemáticaescolar partiendo de situaciones deaula y favoreciendo la construccióny desarrollo del conocimientodidáctico del contenido matemáticode los futuros maestros.

• E, igualmente, implica consideraruna renovación curricular de la for-mación inicial formulando objetivos,contenidos, metodología y criteriosde evaluación en función de losconocimientos que los maestrosnecesitarán para desarrollar su pro-fesión desde la perspectiva anterior.Pero este intento debería exigir,como señala Llinares (1998) una res-puesta coherente y colectiva paraconseguir que asignaturas con elmismo nombre y en el mismo títulouniversitario, pero en universidadesdistintas tuvieran referencias comu-nes. «La búsqueda de un terrenocomún dentro del cual dar respues-ta a los desafíos que los nuevoscambios en los planes de estudioestán planteando es una tarea com-plicada» (Llinares, 1998, p. 27).

• Debemos procurar una mayor impli-cación de la Didáctica de la mate-mática en las prácticas de enseñanzacomo contexto necesario paraaprender a enseñar matemática. Lareflexión en y sobre la accióndocente en matemática debe serdirigida por especialista del área.

• Establecer un marco institucionalestable, riguroso y coherente, entrelas instituciones universitarias y nouniversitarias implicadas en la for-mación inicial y permanente quepermita abordar con seriedad yrigor los problemas sobre los quehemos reflexionado.

Finalmente, y a modo de conclusión, asumimos y difun-dimos una de las conclusiones de las Jornadas Mate-máticas celebradas en el Congreso de los Diputados enenero de 2000, con motivo de la celebración del año 2000como año de la Matemática, cuando recordaban

la necesidad de efectuar importantes transformaciones en la pre-paración del profesorado de primaria en lo que respecta a la for-mación relacionada con la Matemática y su Didáctica a fin deque nuestro sistema educativo pueda hacer frente con competen-cia a los cambios necesarios (Díaz, Fernández, Martinón y Riera,2000, p. 127).

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…la necesidadde efectuarimportantes

transformacionesen la preparación

del profesoradode primaria

en lo que respectaa la formación

relacionadacon la Matemática

y su Didácticaa fin de

que nuestrosistema educativo

puedahacer frente

con competenciaa los cambios

necesarios(Díaz,

Fernández,Martinóny Riera,2000).

37

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Lorenzo J. BlancoUniversidad de Extremadura.

Sociedad Extremeñade Educación Matemática«Ventura Reyes Prósper»

38

S UN HECHO universalmente reconocido que el comien-zo del estudio de la matemática en el nivel superior pre-senta serias dificultades para la mayoría de los estudiantes,muy especialmente para aquellos que inician carreras conun alto grado de profundización en esta disciplina, comoocurre con la carrera de Matemática (ver, por ejemploGuzmán y otros, 1998). Estas dificultades pueden ser dediversos tipos. En particular, la abstracción que presentaesta disciplina en el nivel superior, la densidad de la mate-ria a cubrir en cada clase, así como la incertidumbre crea-da por las nuevas concepciones del rigor y de lo que esun problema en matemáticas conlleva a un considerableaumento en las exigencias en cuanto al conocimiento y lashabilidades de tipo metamatemático de los estudiantes.

Entre las posibles acciones que se pueden realizar, con elfin de amortiguar esta situación, se proponen diferentestipos de cursos propedéuticos que promuevan la realiza-ción con los estudiantes de actividades de repaso y orien-tación. Sin embargo, para que estos cursos sean verdade-ramente efectivos deben propender al desarrollo en losestudiantes de habilidades de tipo metacognitivo que lespermitan, por ejemplo, el autodiagnóstico de sus dificul-tades y cómo superarlas, optimizar sus recursos persona-les, organizar sus conocimientos. Para ello es necesarioque los profesores expliciten a los estudiantes la apariciónde estas nuevas habilidades, dentro de la actividad mate-mática y en su aprendizaje.

En el currículo de la carrera de Matemática en la Univer-sidad de La Habana aparece la asignatura «Seminario deProblemas», situada en el primer año de la carrera. Se tratade una asignatura para cuyo desarrollo se dispone de rela-tivamente poco tiempo (32 horas lectivas), cuyo objetivogeneral es introducir a los estudiantes, desde el primeraño, en una de las actividades más importantes de la labordel profesional matemático: la resolución de problemas.

En el currículo del primer añode la carrera de Matemática

en la Universidad de LaHabana aparece la

asignatura «Seminario deProblemas», cuyo objetivogeneral es introducir a los

estudiantes en la resolución deproblemas matemáticos.

Los autores consideran que elpoco tiempo de esta

asignatura puede ser utilizadoteniendo en cuenta la unidaddialéctica entre lo afectivo y

cognitivo, de forma quecontribuya a la iniciación de

los estudiantes en unaconcepción de la Matemáticacomo un cuerpo dinámico en

constante desarrollo yenriquecimiento, en el papelque la actividad colectiva

juega dentro del proceso deresolución y validación de los

problemas matemáticos e,incluso, en la propia

apreciación del término«problema matemático». El

presente trabajo tiene elpropósito de compartirnuestras experiencias y

reflexiones acerca de cuálpuede ser el diseño de estetipo de asignatura, a fin de

crear un espacio vivencial quegarantice una alfabetización

de los estudiantes en laresolución de problemas.

39

El seminario de problemas:un espacio para la alfabetizaciónen resolución de problemas

Roberto Núñez MalherbeConcepción Valdés CastroMayra Solana Sagarduy

ARTÍCULOS

E

38


En su existencia, esta asignatura ha transitado por diferen-tes formas de organización. En una primera etapa se adop-tó la forma de tutoría individual, en la cual cada alumno tra-bajaba durante todo un semestre del año académico, ase-sorado por un profesor, en la resolución de algún problemamatemático a su alcance. Varias son las razones por lo queesta forma organizativa no produjo los frutos esperados: enprimer lugar, el espectro de estrategias a las que se enfren-taba el estudiante dependía del problema seleccionado y,por tanto, en la mayoría de los casos resultaba reducido; ensegundo lugar, la multiplicidad de tutores, cada uno con suspropios puntos de vista en relación con el problema queplanteaba, no facilitó una acción pedagógica uniformesobre estudiantes con casi ninguna experiencia en la reso-lución de problemas matemáticos y finalmente, pero nomenos importante, faltaba la influencia que la interaccióngrupal podía ejercer en cada uno de los estudiantes.

Estas dificultades determinaron la necesidad de modificarel trabajo docente en esta asignatura de modo que su con-tribución al desarrollo de habilidades propias de la reso-lución de problemas resultara más efectiva. Concebimos,entonces, nuestra acción educativa en el marco del plan-teamiento, la resolución y discusión de problemas varia-dos en el aula y la utilización de métodos grupales. Lasexperiencias acumuladas en el desarrollo de esta asigna-tura durante 4 cursos académicos nos han permitido ree-laborar y adecuar progresivamente las ideas iniciales.Compartir tales reflexiones es el propósito de este trabajo.

La estrategia didáctica: fundamentosy concepciones

Hoy en día, las teorías pedagógicas más avanzadas recono-cen la significación de la resolución de problemas en el pro-ceso de aprendizaje de los estudiantes. Las diferencias esen-ciales se establecen al construir los modelos teóricos funda-mentales a través de los cuales puede dirigirse este proceso.

Kilpatrick (1985, citado por Puig y Cerdán, 1996) sintetiza lasdiferentes opciones utilizadas generalmente en la instrucciónde la resolución de problemas, en dependencia de la formaen que en las mismas se producen y relacionan la actividaddel instructor y de los aprendices. Esta síntesis abarca:

• la concepción del carácter implícito del aprendizajede la resolución de problemas a través del propioejercicio de esta actividad;

• la enseñanza explícita de instrucciones o algoritmosprocedimentales que faciliten la interiorización en elaprendiz de las estrategias heurísticas que se aplicanen la resolución de problemas;

• la concepción del aprendizaje por análisis y compara-ción de la actuación propia del sujeto (el alumno) con

la de expertos competentes (losprofesores), preferiblemente en loscasos en que ésta se lleva a cabosiguiendo las ideas de los propiosestudiantes o cuando se resuelvenproblemas cuya solución no se hapreparado previamente;

• el aprendizaje derivado de la explo-tación de la comunicación y el aná-lisis crítico de las ideas entre lospropios aprendices en la resoluciónde un determinado problema;

• el aprendizaje como producto de lareflexión en torno a los aspectos decarácter metacognitivo cuya manifes-tación ha determinado aceleracioneso retardos en el proceso resolutivo.

Cada uno de estos modos de concebir elproceso de enseñanza-aprendizaje de laresolución de problemas enfatiza direc-ciones esenciales a través de las cualestranscurre el tránsito de aprendiz aexperto en resolver problemas. Argumen-taremos por qué estimamos que estacompetencia generalmente se alcanzacuando, en la actividad sistemática deresolución de problemas concretos, elindividuo, simultáneamente, recibe ins-trucciones específicas sobre formas yaestablecidas de atacar ciertas clases deproblemas, intercambia ideas con suscolegas, imita el comportamiento demodelos ya reconocidos y evalúa crítica-mente comportamientos propios o ajenos.

La multiplicidad de enfoques, señaladaantes, es generada por la función que seasigna a la resolución de problemas enla enseñanza de la Matemática y depen-de, por una parte, del modelo epistemo-lógico implícito que sostiene la nociónde problema matemático y, por otra, dela creencia que se tenga de lo que signi-fica enseñar y aprender matemática.

Se entenderá aquí por problema mate-mático toda situación vinculada al uni-verso de la Matemática que, a través deun enunciado coherente, exprese lanecesidad de la búsqueda de respuestasa interrogantes cognitivas, para la cualno se dispone, a priori, de un procedi-miento predeterminado.

Como es bien conocido, los trabajos dePolya (1974, 1962-65) constituyeron el

Hoy en día,las teorías

pedagógicasmás avanzadas

reconocenla significaciónde la resolución

de problemasen el proceso

de aprendizajede los estudiantes.

Las diferenciasesenciales

se establecenal construirlos modelos

teóricosfundamentales

a través delos cuales

puede dirigirseeste proceso.

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primer intento de un análisis sistemáticode la actividad de resolución de proble-mas matemáticos y, además, al conside-rar que esta actividad podía ser objeto deinstrucción, llamaron la atención de losinvestigadores en Educación Matemáticaen la problemática de la enseñanza yaprendizaje de este tipo de actividad.

Las concepciones iniciales sobre el entre-namiento en la resolución de problemasestaban enfocadas básicamente hacia lainstrucción explícita de las estrategiasgenerales identificadas por Polya. Al tra-tar de llevar a la práctica estas concep-ciones, se presentaron serias dificultadesque motivaron la aparición de enfoquesalternativos que incorporaron otros ele-mentos cuya significación en el procesode resolución de problemas ha sido sufi-cientemente demostrada (Lester, 1994).

Este desplazamiento, sin embargo, nosiempre ha subrayado explícitamente lanecesidad, más que de la instrucción, dela educación de los estudiantes en laresolución de problemas, entendida nosólo como la consecución de mejoresíndices en su desempeño –en tanto que«comportamiento cognoscitivo integral»(Delgado, 1999)– al llevar a cabo estaactividad en situaciones concretas, sinocomo el logro de transformaciones per-durables en el sujeto, tanto en lo que serefiere a su motivación y actitud hacia lamisma como a la formación de carácteraxiológico que de ella pueda derivarse.

La matemática, como actividad humana,incluye no sólo un universo de proble-mas, conceptos, formalismos y construc-ciones, sino también un punto de vistasobre este universo. El proceso de ense-ñanza-aprendizaje de esta ciencia va averse fuertemente influido por los puntosde vista que sobre este universo tengantanto el profesor como los alumnos. Loque los estudiantes puedan aprender ono y la solidez de este conocimientoestará relacionado directamente con laforma en cómo ellos aprenden. Elambiente sociocultural en el cual sedesarrolla este aprendizaje va a dependery a afectar sus creencias de lo que es lamatemática, de cómo ella se produce yse asimila y, lo que resulta especialmen-

te importante, de la valoración de sí mismos como apren-dices de la matemática. (Schoenfeld, 1989).

D’Amore y Zan (1995), siguiendo a Kilpatrick y Kulm, hanidentificado tres variables, fuertemente interrelacionadas,que intervienen en la actividad de resolución de proble-mas y que deben ser tomadas en consideración en el dise-ño de cualquier acción didáctica dirigida a la educación delos estudiantes en la misma, a saber: el sujeto que resuel-ve, el espacio problémico en que debe desenvolverse suacción y el entorno (físico, psicológico y social) en mediodel cual se desarrolla el proceso de resolución.

El comportamiento de estas variables, a su vez, aparececondicionado por el alcance que se establezca para laacción a desarrollar y por la concepción didáctica bajo lacual se lleve a cabo la misma.

La concepción didáctica basada en el enfoque histórico-cultural de Vigotsky centra su atención, principalmente, enel desarrollo integral de la personalidad y pretende supe-rar aquellas tendencias que han dirigido su interés sobretodo a la esfera cognitiva del hombre. Según este punto devista el punto nodal del proceso de desarrollo social yhumano lo constituye el concepto de actividad, con suatributo esencial: ser actividad productiva, transformadora.Por otra parte, la actividad humana transcurre en un mediosocial en activa interacción con otras personas, a través devariadas formas de colaboración y comunicación. La acti-vidad de aprendizaje, entendida como el proceso quemediatiza la relación entre el hombre (el sujeto de apren-dizaje) y los objetos de la realidad que lo circunda (elobjeto de aprendizaje) se concibe aquí en dos planos:

• el interpsicológico, como actividad de carácter esen-cialmente social, que se manifiesta en las interrelacio-nes de carácter diverso que se establecen entre el pro-fesor y sus alumnos y entre éstos entre sí, y

• el intrapsicológico, como actividad de construcción yreconstrucción interior (y no sólo de registro y obser-vación), por parte del sujeto que aprende, de conoci-mientos, formas de comportamiento, actitudes, valo-res, afectos y sus formas de expresión, dependientede su nivel de desarrollo en un momento históricoconcreto en cada uno de estos aspectos.

En su libro Pensamiento y Lenguaje, Vigotsky señala:

El análisis que divide al todo complejo en unidades... muestraque existe un sistema dinámico de sentido que representa la uni-dad de los procesos afectivos e intelectuales. Muestra que entoda idea se contiene, reelaborada, una relación afectiva delhombre hacia la realidad representada en esa idea. (Citado enColectivo de Autores, 1991).

Esta unidad dialéctica entre lo afectivo y lo cognitivo sig-nifica la necesidad de interrelacionar las acciones de ins-truir y educar. Se trata de aprovechar al máximo todasaquellas posibilidades educativas que brindan las diferen-

Las concepcionesiniciales

sobreel entrenamientoen la resolución

de problemasestaban enfocadas

básicamentehacia

la instrucciónexplícita

de las estrategiasgenerales

identificadaspor Polya.

41

tes situaciones de instrucción, en especial cuando estasson concebidas en estrecha relación con las actividadespropias de la profesión y en el contexto socio-histórico enque vive el estudiante.

Salvo en los casos de aquellos estudiantes (la minoría) quehan recibido preparación específica para participar encompetencias a diferentes niveles, el entrenamiento delestudiante promedio que ingresa a la Facultad de Mate-mática y Computación en la Universidad de La Habana enla actividad de resolución de problemas matemáticos gira,en esencia, alrededor de los denominados problemas contexto, caracterizados por un enunciado, relacionado con unárea generalmente no matemática, que puede ser modela-do a través de ecuaciones o sistemas de ecuaciones alge-braicas, fundamentalmente de primero y segundo grado.Las insuficiencias de esta preparación se ponen de mani-fiesto en algunas de las creencias acerca de la resoluciónde problemas matemáticos que con más frecuencia se hanpodido detectar en los alumnos durante más de 20 años depráctica docente1, las cuales coinciden con las reportadasen otros trabajos (Pozo y otros, 1994), a saber:

• Los problemas matemáticos deben involucrar ecua-ciones, números y deben realizarse cálculos pararesolverlos.

• Los problemas matemáticos generalmente tienen unaúnica solución correcta que se obtiene por un méto-do que el profesor conoce bien y deben ser resueltoscomo máximo en 10 minutos. (Prácticamente todoslos problemas a los que los alumnos se enfrentan ensu tránsito por la escuela están perfectamente defini-dos, las soluciones están bien determinadas, el méto-do de resolución sigue un algoritmo conocido y loque se requiere es dominar este algoritmo).

• Mientras más conocimientos matemáticos se tenganmas fácilmente será la resolución de problemas mate-máticos. (Existe una identificación entre resolución deun problema y conocimiento del algoritmo idóneo).

• Para resolver un problema matemático se requiere degran práctica en la resolución de este tipo de proble-mas. (O sea se refiere al entrenamiento en la aplica-ción del o de los algoritmos necesarios).

• Equivocarse es muy lamentable y además esto puedeinfluir en la opinión que el profesor se forma del estu-diante lo que redundará en la calificación posterior.

En particular, esta última creencia, firmemente arraigadaen la mayoría de los estudiantes que ingresan en la ense-ñanza universitaria, es una de las que ejercen un efectomás nocivo en el buen desenvolvimiento de una clase enla que se quiera utilizar un método productivo, donde loserrores son absolutamente inevitables, tal y como ocurreen el proceso de investigación científica. Una enseñanza(como es la tradicional) que previene a toda costa la equi-

vocación conduce necesariamente aesta creencia. Concordamos plenamentecon Baruk (1985) cuando expresa que«no sólo no es grave para el públicoconocer que los matemáticos se equivo-can, sino que al contrario, sería conve-niente que lo supieran. Hacerlos saltarde su posición de superhombres paraconvertirlos en hombres, con las debili-dades propias de la escala humana.Pero más interesante que la descalifica-ción del hombre es la calificación delerror, ni infamante ni humillante, sinoconstituido por el movimiento normaldel espíritu».

Schoenfeld (1992, citado por Santos,1997), por otra parte, subraya la impor-tancia que reviste en el proceso deaprendizaje de la resolución de proble-mas matemáticos que los estudiantes sedesenvuelvan en un ambiente similar alque viven los matemáticos al trabajar odesarrollar las ideas en esta disciplina.Ello implica la creación de un «clima deresolución de problemas» en el salón declase que facilite el desarrollo de activi-dades que propicien la formulación, elintercambio y la evaluación de pregun-tas y conjeturas, argumentos y explica-ciones, que, de algún modo, resultenrepresentativas del quehacer cotidianode cualquier comunidad matemática.

Si se toma en consideración que en elseno de la comunidad matemática laresolución de problemas se vincula, deun modo u otro, a la actividad investi-gativa, resulta importante tener tambiénen cuenta las características generalesinherentes al desarrollo de las tareaspropias de la investigación matemática.Núñez (1999) ha identificado como talestareas: el análisis de existencia y unici-dad, la caracterización, representación,clasificación y comparación de objetos,la generalización de relaciones, la opti-mización de procesos y la inversión deproblemas. Núñez discute, además,otras acciones que se ponen de mani-fiesto en la resolución de los problemascientíficos dentro de la Matemática,como son, por ejemplo, la formulacióny validación de conjeturas, la demostra-ción, la experimentación, la inducción,la estimación, por sólo citar algunas.

1 Como parte de la experienciaque se reporta, se intentó, a tra-vés de la aplicación de un cues-tionario exploratorio (adapta-do de Callejo, 1996), unacaracterización del estado ini-cial de este sistema de creen-cias en los estudiantes con loscuales se trabajaría.

Las respuestas a este cuestiona-rio mostró que los resultadosobtenidos no correspondían alcomportamiento real de losestudiantes en las sesiones detrabajo, reafirmándose de estemodo las consideraciones quesobre la efectividad de estetipo de instrumentos han sidoexpuestas por otros autores(Callejo, 1996).

42

…no sólono es grave

para el públicoconocer que

los matemáticosse equivocan,

sino queal contrario,

seríaconveniente

que lo supieran.

En consecuencia, el diseño de actividadeseducacionales desarrolladoras (entendi-do en el sentido vigotskiano) y condu-centes a establecer un primer encuentrodel estudiante con la actividad de reso-lución de problemas en Matemática(como es el caso de la que nos ocupa)deberá evidenciar, ante todo, esta diver-sidad de las actividades y la multiplici-dad en sus manifestaciones.

El sistema de acciones antes menciona-do proporciona una orientación para laconcepción y puesta en práctica de estediseño. Por otra parte, el hecho de queen el programa de la asignatura no apa-recen predeterminados los contenidosespecíficos y que tampoco esté previstauna evaluación mediante examen, per-mite que el profesor, liberado de la pre-sión de tener que recorrer una ciertacantidad de materia estrictamente mate-mática, y los alumnos, libres de la ten-tación de modelar su aprendizaje sobrela base de las respuestas que tendránque dar en el examen, tienen la oportu-nidad de conocerse mejor, manifestarsus opiniones relativas a lo que significahacer matemática, al rigor de las cons-trucciones matemáticas, acerca de lasdiversas estrategias que existen paraenfrentar la resolución de los proble-mas. De esta manera, es factible cono-cer y tratar de modificar las creencias yactitudes que poseen los estudiantes.

Ejecución

Como se señaló antes, la experienciafue realizada en el marco de la asigna-tura «Seminario de Problemas I», duran-te las primeras cinco semanas del curso,a razón de tres sesiones de trabajosemanales, de una hora y media cadauna. Como es fácil comprender, las con-diciones referidas y la complejidad pro-pia de la actividad de resolución de pro-blemas no permiten, en general, que entan corto período de tiempo puedanlograrse progresos significativos en eldesarrollo de habilidades, en el estu-diante promedio, que lo capaciten parala ejecución de esta actividad con uncierto grado de efectividad, más aún si

se pretenden trascender los objetivos de carácter mera-mente instructivo.

Sin embargo, este tiempo disponible puede ser utilizado (yasí fue concebido el alcance de la experiencia que nosocupa) para crear espacios vivenciales que contribuyan, enuna primera instancia, a la percepción por los estudiantesde la Matemática como un cuerpo dinámico en constantedesarrollo y enriquecimiento y del papel de la actividadcolectiva en el proceso de resolución y validación de losproblemas matemáticos e incluso a la reconsideración deltérmino «problema matemático».

Se trata de alfabetizar al estudiante en la resolución de pro-blemas, entendiendo bajo esta denominación la realizaciónde actividades de iniciación que, tomando como base laresolución de problemas, logren que se manifiesten y se dis-cutan en la sala de clase un conjunto de creencias y emo-ciones de los alumnos sobre la matemática y la resoluciónde problemas matemáticos, así como el papel que los alum-nos y el profesor pueden jugar en el desarrollo del procesode enseñanza-aprendizaje de esta disciplina.

Estas creencias y actitudes, aunque no siempre de formaexplícita, dirigen el aprendizaje y el comportamiento mate-mático del alumno, ya que establecen el contexto individualdentro del cual funcionan los recursos, las heurísticas y elcontrol al resolver problemas matemáticos. Tener concienciade esta influencia y actuar con ella, y no contra ella, signifi-ca ejercer un dominio sobre las propias emociones y sabercomprender y respetar las ajenas. Esto es lo que Gómez-Chacón ha denominado alfabetización emocional y queengloba aspectos tan diversos como el control de impulsosy fobias en relación a la asignatura (lo que permite desarro-llar la atención necesaria), la autoconciencia, la motivación,el entusiasmo, la perseverancia, la empatía, etc.

Cuando un alumno comprende que la resolución de pro-blemas involucra interrupciones y bloqueos, puede perci-bir su frustración como una parte habitual en el procesode resolución y no como una señal que induzca el aban-dono del problema. Del mismo modo, los estudiantes pue-den aprender que la alegría que les produce el descubri-miento de una solución no debe provocar el relax, sinomás bien el incentivo para revisar críticamente las solucio-nes encontradas, buscar otras soluciones más elegantes obien enfoques alternativos (Gómez Chacón, 1998).

Se describirán a continuación algunas de las incidencias ocu-rridas en el desarrollo de la experiencia como una vía paraevaluar el logro de los objetivos vivenciales perseguidos.

a) El primer problema planteado por el profesor (DeGuzmán, 1991), fue el siguiente:

Estas creenciasy actitudes,

aunqueno siempre

de forma explícita,dirigen

el aprendizaje yel comportamiento

matemáticodel alumno,

ya que establecenel contextoindividual

dentro del cualfuncionan

los recursos,las heurísticas

y el controlal resolverproblemas

matemáticos.

43

¿De qué forma es posible dividir en dos partes el conjunto delos números naturales comprendidos entre 1 y 26 (ambos inclu-sive) de manera que ninguno de los números de una parte apa-rezca también en la otra, y de modo que la suma de los núme-ros incluidos en cada una de las partes sea la misma?

El trabajo individual de los estudiantes sobre este proble-ma permitió, bajo diferentes formas, poner en evidencia lacreencia generalizada acerca de la «respuesta positiva» quedebe asociarse a la interrogante cognitiva cuya búsquedael problema plantea: algunos estudiantes encontraron for-mas (naturalmente, erróneas) de hacer la subdivisión,otros, aun ante los intentos fallidos de realizar tal división,no fueron capaces de considerar la posibilidad de la impo-sibilidad, y, sólo una minoría, aceptó y argumentó riguro-samente que tal subdivisión es imposible.

Esta dinámica de trabajo en el grupo no sólo proporcionóa los estudiantes una vivencia concreta que contribuyeraal proceso de modificación de un convencimiento erró-neo, sino que, además, permitió introducir las fases ela-boradas por Polya para el proceso de resolución de pro-blemas relacionadas con la posibilidad de una compren-sión inicial incorrecta del problema (cuando asumieronque la división del conjunto inicial debía ser «equitativa» encuanto al número de elementos de cada subconjunto), asícomo con la violación de la fase de la verificación (cuan-do se proporcionaron formas de hacer la subdivisión).

Las características del problema facilitaron la acción educati-va en dos direcciones fundamentales: la relacionada con elanálisis sobre la generalización o aplicación contenida en laúltima fase y la discusión de algunas de las vías de proble-matización a través de las cuales la comunidad matemáticaconstruye su espacio problémico (ver Núñez, 1999), a saber:

• Por existencia (¿es posible realizar tal división paraalgún natural n?).

• Por caracterización (¿para qué número natural n taldivisión es posible?).

Estos nuevos problemas permitieron enfrentar al estudian-te a algo apenas asociado a su sistema de creencias: elpapel que la experimentación puede desempeñar en elproceso de resolución de un problema matemático.También ellos propiciaron la vinculación de los resultadosde esta actividad experimental con la formulación y refor-mulación de conjeturas (primeramente se conjeturó que ladivisión era posible sólo para los números naturales n dela forma n = 4k, modificándose en el transcurso del pro-ceso resolutivo a través de la inclusión adicional de losnúmeros de la forma n = 4k – 1).

El tránsito de la resolución de estos problemas por la víade la conjeturación permitió, a su vez, confrontar el puntode vista existente entre los estudiantes en cuanto a la sufi-ciencia de la base experimental sobre la cual se apoya unaconjetura para la validación de la misma con la necesidadde una argumentación demostrativa, entendida como con-junto de acciones dirigidas al establecimiento de la veraci-dad o falsedad de una determinada proposición matemá-tica (Núñez, 1999).

Las distintas formas en que es posible realizar la divisióndel conjunto, cumpliendo con las exigencias que el texto

plantea, permitieron contrarrestar, nue-vamente, la concepción relacionada conla unicidad en la forma de la solución aun problema.

Finalmente, el cuestionamiento acercade la posibilidad de hacer una subdivi-sión del conjunto, con iguales condicio-nes, pero en un número mayor de par-tes, posibilitó el anticipar la idea de quelos verdaderos problemas deben siem-pre permitir derivar preguntas nuevas(Bouvier, 1981, citado por Parra, 1990).

b) La diferencia de actitud de los estu-diantes cuando se enfrentan a proble-mas que consideran «matemáticos» y aaquellos que clasifican como «juegos» o«de lógica» se puso de manifiesto cuan-do se les planteó la siguiente situación(modificada de De Guzmán, 1991):

Estos nuevosproblemas

permitieronenfrentar

al estudiantea algo apenas

asociadoa su sistemade creencias:

el papel que laexperimentación

puededesempeñaren el procesode resolución

de un problemamatemático.

44

Al terminar una carrera, sus participan-tes manifestaron lo siguiente:Antonio: «Yo no fui cuarto»Bernardo: «Carlos llegó tercero»Carlos: «Antonio llegó inmediatamentedespués de Ernesto»Daniel: «Tres llegaron antes que yo»Ernesto: «Daniel no ganó»

Si se sabe que, por alguna extraña razón,los dos primeros clasificados (y sólo ellos)mintieron, determinar la posición en que loscorredores llegaron a la meta.

El nivel de intercambio de ideas y departicipación de los estudiantes en laresolución de este problema en compa-ración con el primero, resultó conside-rablemente mayor, lo cual no impidióque el análisis resultara errático eincompleto. Sin embargo, ello no fueadvertido por los estudiantes. En parti-cular, cuando varios llegaron a unamisma distribución en la posición de loscorredores que era compatible con lascondiciones del problema, asumieronesta coincidencia como una forma decomprobación de la pertinencia de lasolución encontrada. Esto explica lasmuestras de perplejidad que se manifes-taron en el grupo cuando un estudiantemostró una distribución de posicionesdiferente a la que antes había aparecido.Fue precisamente, en el momento enque los estudiantes defendieron ante el

colectivo sus respectivas soluciones,que se pusieron en evidencia las insufi-ciencias en el proceso de razonamiento,fundamentalmente por la incompletituddel análisis casuístico realizado.

La observación de cómo los estudiantesse resistían a aceptar la diversidad deposibilidades en la distribución final deposiciones de los corredores nos sirviópara corroborar lo arraigada que pue-den estar en los estudiantes ciertas con-vicciones sobre la resolución de proble-mas matemáticos. Llegaron al punto deconsiderar que el problema debía consi-derarse mal planteado debido a la nounicidad de su solución.

La vivencia resultó todavía más impac-tante cuando se exhibieron nuevas solu-ciones bajo la interpretación, en térmi-nos estrictamente lógicos, de la afirma-ción «Tres llegaron antes que yo», tam-bién válida para el corredor que llegó enquinto lugar. Algunos estudiantes mani-festaron, incluso, sentirse insatisfechosante lo «primitivo» de la forma de realizarel análisis, «sin la utilización de ecuacio-nes o algo similar, más matemático».

c) Diversos autores (Puig y Cerdán,1996; Santos, 1997) reconocen la conve-niencia de que, en ocasiones, el maes-tro intente resolver, frente a sus alum-nos, problemas que sean nuevos paraél, como una forma realista de ilustra-ción de la trayectoria cognoscitiva querecorre el experto al llevar a cabo laactividad de resolución de un problema.

En el desarrollo de la experiencia estaocasión se presentó cuando un alumnoplanteó al profesor el siguiente proble-ma, totalmente desconocido para él:

La experienciaque se aportaen el presente

trabajoproporciona

una alternativade acción

didáctica sobreesta importante

componentede la actividadde resoluciónde problemasen períodosde tiempo

relativamentecortos

y gruposde estudiantescon un sistema

de creenciasno siempreacordes con

lo que significaresolver

problemasen Matemática.

45

Encontrar todos los números enteros a, b, cy d, con a < b < c < d, tales que

abca b c

d--( ) -( ) -( ) =1

1 1 1

inicial, permitió la reflexión en torno al papel del docenteen este tipo de actividad y a las valoraciones que sobre elmismo generalmente poseen los estudiantes.

Cuando en la próxima sesión se discutieron las vías desolución propuestas por los estudiantes, pudo constatarseque sólo aquellos que poseían una experiencia previa enla resolución de problemas matemáticos (por haber sidoentrenados para su participación en competencias a dife-rentes niveles) pudieron aportar alguna alternativa promi-soria que condujera a la solución del problema planteado.Ello permitió poner de manifiesto ante el grupo la depen-dencia del éxito en el desempeño de esta actividad de laespecificidad del entrenamiento recibido.

Sin embargo, posiblemente la vivencia más rica se obtuvocuando uno de los estudiantes, con particular predileccióny destreza en el uso de las computadoras, planteó haberelaborado un programa de experimentación numérica cuyaaplicación le había aportado infinidad de cuádruplos (a, b,c, d) que daban solución al problema. La discusión de lasolución aportada por el docente, en la que sólo aparecíaun número finito de tales cuádruplos, puso en evidenciados aspectos de suma importancia y con una fuerte interre-lación dialéctica: el trascendental apoyo que los dispositivoscomputacionales pueden brindar al desarrollo de la activi-dad de experimentación en Matemática y, al mismo tiempo,la necesidad del control de los resultados obtenidos conestas formas de experimentación a través de otras vías.

Conclusiones

Las conocidas etapas en el proceso de resolución de pro-blemas identificadas por Polya presuponen implícitamen-te, en el sujeto, un cierto acondicionamiento que actúacomo catalizador en el desarrollo de dicho proceso.

El acondicionamiento adecuado para la resolución de pro-blemas matemáticos contempla, en su concepción másabarcadora, no solamente un conocimiento matemáticodebidamente estructurado, sino también un buen desarrollode habilidades metacognitivas propias del trabajo enMatemática y de la actividad específica de resolución deproblemas, lo que incluye una disposición intelectual yemocional que permita al individuo enfrentar y superar losmúltiples escollos que, por lo general, tal actividad implica.

La experiencia que se aporta en el presente trabajo propor-ciona una alternativa de acción didáctica sobre esta impor-tante componente de la actividad de resolución de proble-mas en períodos de tiempo relativamente cortos y grupos deestudiantes con un sistema de creencias no siempre acordescon lo que significa resolver problemas en Matemática.

El desarrollo de la experiencia mostró que se producencambios significativos en la actitud de los estudiantes (y delos profesores), cuando la actividad de enseñanza-apren-dizaje de la resolución de problemas se lleva a cabo bajo

Se decidió posponer la discusión de laresolución del problema en el aula parala siguiente sesión de trabajo, dejandopropuesta la tarea a la totalidad delcolectivo (incluido el profesor). Aun así,esta situación, ya desde este momento

«reglas del juego» diferentes de aquellas en que habitual-mente se desarrollan las asignaturas tradicionales, a saber:

• la ausencia de exámenes en el sentido acostumbradodel término;

• la amplia posibilidad de discusión y emisión de opi-niones por parte de los estudiantes y los profesores;

• el trabajo con problemas no enmarcados en una teo-ría determinada y, por tanto, no sujetos a una «ense-ñanza» previa (esto impide «culpar» a la ausencia deconocimientos de los pobres desempeños en el pro-ceso resolutivo);

• el enfrentamiento del error sin sensación de «culpa»para el estudiante y de «ofensa» para el profesor.

Estos cambios de actitud se manifiestan en:

• una revelación más espontánea de los bloqueos ycreencias de los estudiantes en relación con lo quesignifica «hacer matemática» y «resolver problemasmatemáticos»;

• la creación de un clima de colaboración e integraciónque trasciende el distanciamiento acostumbrado entreestudiantes y profesor;

• mayor receptividad de los estudiantes a los consejos yrecomendaciones.

Los autores consideran que el «Seminario de Problemas» pro-vee de un espacio vivencial apropiado para crear en los estu-diantes las aptitudes básicas, sobre todo desde el punto devista emocional y afectivo, necesarias para afrontar la resolu-ción de problemas matemáticos. Pero, como todo proceso dealfabetización, éste no es más que el inicio del desarrolloeducativo del estudiante en relación con esta actividad. Se hacomprobado que el entrenamiento del uso de las estrategiasdeterminadas en la resolución de problemas está fuertemen-te condicionado por el contenido específico y que este cono-cimiento no se transfiere con facilidad de unos dominios aotros (Schoenfeld, 1985). Por ello el entrenamiento en estasestrategias debe ser objeto de estudio en cada una de las dis-ciplinas matemáticas particulares. Las asignaturas tradiciona-les del currículo pueden ser desarrolladas trabajando en unambiente problemático, mediante un uso sistémico de dife-rentes tipos de problemas (Núñez, 1999; Sánchez y Valdés,1999). En términos generales, ello significa una reconceptua-lización del papel que la resolución de problemas debedesempeñar en cada una de estas asignaturas.

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Roberto Núñez Concepción Valdés

Mayra SolanaUniversidad de la Habana

46

Se ha comprobadoque

el entrenamientodel uso

de las estrategiasdeterminadas

en la resoluciónde problemas está

fuertementecondicionado

por el contenidoespecíficoy que este

conocimientono se transfierecon facilidad

de unos dominiosa otros.

A INTEGRAL DEFINIDA

En este trabajo se utiliza elSistema de Cálculo Simbólico

Maple para ilustrar elconcepto de límite de lassumas de Riemann de una

función real y continua en unintervalo compacto,

resaltando que aunque lainterpretación geométrica seamuy clara, el cálculo mediante

la propia definición esprácticamente imposible en lamayoría de los casos aunquese disponga de una potente

herramienta.

47

Sumas de Riemann con Sistemasde Cálculo Simbólico

Lorenzo Javier Martín GarcíaJuan Antonio Velasco Mate

ARTÍCULOS

L

38


f x dxa

b ( )Úde una función real, continua y no negativa, f, en un inter-valo cerrado y acotado, [a, b], coincide con el área del recin-to limitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas ylas rectas paralelas al eje de ordenadas que pasan por losextremos del intervalo considerado. Sin embargo, la defini-ción de la integral como límite de las correspondientes sumasde Riemann presenta serios problemas conceptuales puestoque, al no ser numerable el número de particiones de unintervalo no se habla exactamente del límite de una sucesiónni tampoco del de una función, porque para cada particiónse pueden realizar sumas diferentes sin más que variar elpunto escogido en cada subintervalo generado por ella.

En este trabajo se utiliza el Sistema de Cálculo SimbólicoMaple para ilustrar el concepto de límite de las sumas deRiemann de una función real y continua en un intervalocompacto, resaltando que aunque la interpretación geo-métrica sea muy clara, el cálculo mediante la propia defi-nición es prácticamente imposible en la mayoría de loscasos aunque se disponga de una potente herramienta.Por ello, no se puede prescindir de las propiedades teóri-cas, como la integrabilidad de funciones continuas, queaseguren parcialmente el éxito de los cálculos realizadoso, en su defecto, permitan una interpretación lo más ajus-tada posible a la realidad.

Integral de Riemann

Dado un intervalo compacto [a, b], se llama partición de[a, b] a una secuencia finita de puntos, P = {xi: i = 0, 1, …, n},que verifican a = x0 < x1 … < xn–1 < xn = b.

Evidentemente, dos puntos consecutivos, xi y xi+1, de unapartición generan un subintervalo de longitud Dxi = xi – xi–1.A la mayor de las longitudes de los subintervalos de unapartición P se le llama malla de P y se denota

pequeñas». Por ello se introduce el con-cepto de límite de sumas de Riemann.

Se dice que el número real I es el límite–cuando la malla de P tiende a 0– de lassumas de Riemann de la función f en elintervalo [a, b] si y sólo si para todoe > 0 existe un d > 0 tal que cualquierpartición de [a, b], P, cuya malla seamenor que d verifica |S (f, P) – I| < e,independientemente de los puntos deevaluación que se escojan para S (f, P).Cuando esto sucede,

De forma visual,las utilidades

gráficasde los Sistemas

de CálculoSimbólicopermitenrealizar

animacionesque aclaran

todo tipode dudas.

48

P x i ni= = º{ }max : , , ,D 1 2

En la figura 1 se representa la partición P = {–2, –0,5, 0,7,1,5, 2, 2,3, 3} del intervalo [–2, 3], observándose inmedia-tamente que su malla es ||P|| = 1,5.

–0,5–2 0,7 1,5 2 32,3

Figura 1. Una partición del intervalo I = [–2, 3]

Si f es una función real definida en el intervalo [a, b] yP = {xi, i=0, 1,… ,n}, es una partición de dicho intervalo, sellama suma de Riemann de f relativa a la partición P a todasuma del tipo

S f P f c xi ii

n

,( ) = ( )=Â D

1

donde cada ci es un elemento cualquiera del intervalo[xi, xi+1].

El poder elegir libremente los puntos de evaluación, ci,permite construir diversas sumas de Riemann una vez fija-das la función, el intervalo y la partición. Una posibilidadconsiste en tomar como puntos de evaluación a todos loselementos de la partición menos el último. Así pues, siconsideramos la función f(x) = xex, el intervalo [0,1], lapartición P = {xi = i/16: i = 0, 1, …, 16}, que origina la divi-sión de [0, 1] en 16 subintervalos de igual longitud, y lospuntos de evaluación ci = xi con i = 0, 1, …, 15, la suma deRiemann correspondiente es

1

15

1

150 91103356147763949960

1

15

0

14

iei

i

==Â ,

La representación gráfica de la figura 2 proporciona unainterpretación geométrica de esta suma: se aproxima alvalor del área, A, de la región plana comprendida entre lafunción f(x) y el intervalo [0, 1]; para ello, se adosan rec-tángulos cuyo área puede calcularse fácilmente. En estecaso, además, puede deducirse que S (f, P) < A y que se hacalculado –y representado– la menor de las sumas asocia-das a P porque la función f es creciente y está evaluada enlos extremos inferiores de los subintervalos.

La pregunta que surge de forma natural es: ¿se puedeobtener el área A considerando particiones muy pequeñas?De forma visual, las utilidades gráficas de los Sistemas deCálculo Simbólico permiten realizar animaciones que acla-ran todo tipo de dudas. Sin embargo, para poder respon-der matemáticamente a esta pregunta, se necesita fijar sinambigüedades el significado exacto de «particiones muy

Figura 2. Una de las muchas sumasde Riemann de f(x) = xex

0 0.5 1

1

2

I S f P f c xP P

i ii

n

= ( ) = ( )Æ Æ =

Âlim , lim0 0

1

D

Cuando existe el límite de sus sumas deRiemann se dice que la función es inte-grable en el intervalo considerado en elsentido de Riemann y al límite de lassumas se le llama integral definida de f enel intervalo [a, b]. La notación habitual es

I f x dxa

b= ( )Ú

Si, además, la función f es no negativa, laintegral coincide con el área comprendi-do entre la función y el eje de abscisas.

Cálculo exacto de sumasde Riemann

Aunque para dilucidar si una función esintegrable o para demostrar los resultadosteóricos resulta necesaria e imprescindi-ble, la definición dada de integral deRiemann es un ejemplo no infrecuente

en las Matemáticas de descripción com-pletamente inútil desde el punto de vistaoperacional. El cálculo de integrales defi-nidas siempre se realiza mediante la reglade Barrow –cuando es posible encontraruna función primitiva–, mediante referen-cia a funciones conocidas –como la fun-ción G– o mediante métodos numéricos.En muy raros casos se calculan las sumasde Riemann y mucho menos su límite, nisiquiera para encontrar una aproximaciónnumérica razonable.

Es cierto que la definición dada remite ala comprobación de ciertas propiedadessin proporcionar ningún mecanismo decálculo. Sin embargo, habiendo asegu-rado la integrabilidad de la función, sise tiene la suerte de encontrar una suce-sión de particiones cuya malla tendieraa 0 para la que se pudieran calculartanto las sumas de Riemann como ellímite de la sucesión numérica que ori-ginan, se habría calculado la integraldebido a la unicidad de este valor.

Los Sistemas de Cálculo Simbólico pue-den utilizarse como herramienta para larealización de cálculos de este tipo. Enparticular, Maple dispone de comandosespecíficos que calculan simbólica ynuméricamente algunas sumas deRiemann. Concretamente leftsum, middle-sum y rightsum proporcionan el valor delas sumas de Riemann obtenidas al con-siderar respectivamente como punto deevaluación el extremo inferior, el puntocentral y el extremo superior de cadasubintervalo originado por una particiónformada por puntos equiespaciados.

Aplicando estas utilidades a la funciónanteriormente considerada, f(x) = xex enel intervalo [0, 1], calculando su valor ysimplificando1, se obtienen las siguien-tes expresiones:

Afortunadamente en esta situación, Maple ha sido capaz dedesarrollar los sumatorios y encontrar una expresión gené-rica que sólo depende del número de subintervalos asocia-dos a la partición. Es evidente que esto no sucede en todoslos casos; la respuesta habitual del programa es la notaciónsimbólica de la suma, como sucede con la función

1 La sentencia Maple que calculala suma lateral izquierda esSulz:=simplify(value(student[leftsum](x*exp(x), x=0..1,m)));

2 La sentencia Maple empleadapara el límite de la suma lateralizquierda es limit(Sulz,m=infi-nity);

3 La sentencia Maple que originaexactamente esta igualdad esInt(x*exp(x),x=0..1)=int(x*exp(x),x=0..1);

49

SuIz mm

iee m e em e

e m

i m

i

m m m m m m

m( ) = = + - -

-( )=

- + +

Â1

12

0

1 1 1 1

1 2 2

( ) ( )

SuCe mm

i ee e e m e e m e

e m

i m

i

m m m m m m m m m m m

m( ) = +Ê

ËÁˆ¯

= - + + - -

-( )+

=

- + + + +

Â1 1

2

2 2

2 12

2 1 2

0

1 3 2 3 2 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1 2 2

( )( ) ( ) ( ) ( )

SuDe mm

iee m e e m e

e m

i m

i

m m m m m m m m

m( ) = = + - -

-( )=

+ + +

Â1 2

12

0

2 1 1 1 2

1 2 2

( ) ( ) ( )

g xx

( ) =+

1

3 2cos

en el intervalo [–p/2, p/2] donde la respuesta ofrecida parala suma lateral izquierda no es otra que

ppm i m

i

m1

3 20

1

+ ◊ ( )=

-

Â sen

Puesto que la función f(x) es continua, también es inte-grable en el sentido de Riemann en cualquier intervalocompacto de la recta real. Por tanto, parece razonablepensar que si se puede calcular el límite cuando m tiendea infinito de SuIz, SuCe o SuDe, éste tiene que coincidir conla integral de la función f entre 0 y 1. De nuevo Mapleresulta una ayuda eficaz porque es capaz de calcular exac-tamente el límite de estas tres expresiones2

lim lim lim( )

m

i m

i

m

m

i m

i

m

m

i m

i

m

mie

mi e

mie

Æ• =

-

Æ•+

=

-

Æ• =Â Â Â= +Ê

ËÁˆ¯

= =1 1 1

2

11

20

1

22 1 2

0

1

20

Obviamente, como la función f es no negativa, se ha calcu-lado tanto el valor de la integral como el área comprendidoentre la función y el eje de abscisas. La comprobación delresultado es inmediata porque mediante cálculo directo3

xe dxx

0

11Ú =

Cálculo numérico de sumasde Riemann

Debido a la dificultad de encontrar sucesiones cuyo térmi-no general pueda manejarse con relativa facilidad, lo quepermitiría calcular su límite con posterioridad, surge la ideade considerar el valor numérico de la sucesión de númerosreales asociada a una determinada partición e intentar esta-blecer una tendencia hacia algún valor concreto.

Para comprobar el alcance de esta estrategia y aprove-chando que Maple maneja las tablas con relativa facilidad,

se ha construido la tabla donde –en sus columnas 2, 3 y4– se han calculado con diez dígitos significativos los valo-res de las sumas de Riemann laterales y centradas4 de lafunción f(x) = xex en el intervalo [0, 1] para m = 100, 200,…, 2000 subintervalos, representados en la primera colum-na. Asimismo, se ha diseñado una función no disponiblecomo comando Maple y se le ha asignado el nombreSumaAleatoria. Esta función, que toma como argumentos lafunción, los extremos de un intervalo y el número naturalque representa el número de subintervalos deseados, eva-lúa una suma de Riemann aleatoria basándose en una par-tición equiespaciada y eligiendo aleatoriamente los puntosde evaluación5. Los resultados de aplicar SumaAleatoriaaparecen en la última columna de la tabla 1.

A la vista de estos datos pueden aventurarse que el límitebuscado es 1. Sin embargo, el número de elementos de lasucesión es muy alto ya que, salvo para las sumas centra-les –donde la aproximación se realiza pronto y rápida-mente–, las otras sucesiones convergen lentamente, ténga-se en cuenta que en el término 2000 la diferencia entre elvalor exacto y el aproximado es superior a 10–4.

También queda palpablemente reflejado que, por tratarsede una función creciente en el intervalo de integración, lassumas que consideran el extremo inferior del intervalo pro-porcionan un valor menor que cualquier otra elección depuntos de evaluación y las sumas que consideran el extre-mo superior proporcionan el mayor valor posible para unapartición dada. Obviamente las sumas por la izquierda cre-cen a medida que aumenta el número de subintervalos

mientras que las sumas por la derechadecrecen hasta converger ambas en unmismo punto. Las sumas centrales y lasobtenidas aleatoriamente se encuentranentre las anteriores; las centrales van cre-ciendo, mientras que las aleatorias osci-lan de forma no controlada.

Llama la atención la importancia deescoger buenos puntos de evaluación.En este caso, la elección de los puntosintermedios es manifiestamente mejorque las otras aunque –o tal vez por eso–su expresión exacta es más complicada.Esta fragilidad supone una importantelimitación a la hora de comparar estatécnica con las habitualmente empleadaspara la evaluación numérica de integra-les definidas ya que las interpolatorias olas fórmulas de cuadratura son muchomás robustas, sencillas y eficaces.

Las diferencias existentes entre los cálcu-los realizados tienen su clara interpreta-ción geométrica. En la figura 3 aparecenlos 6 rectángulos6 asociados a la funciónf(x) = xex y originados por una particiónde 7 elementos equiespaciados del inter-valo [0, 1] cuando se escogen de formadiferente los puntos de evaluación.Conviene resaltar que las cuatro gráficasson exactas, queriendo decir con elloque no tienen ningún tipo de deforma-ción ni de variación de escala, salvo lasoriginadas por los mecanismos deimpresión, y que se ha escogido el inter-valo [0, 1] y el número 6 para que lasrepresentaciones reales puedan verse talcomo son y no como aproximacionestrucadas de lo que se quiere reflejar. Sise escoge un intervalo más amplio o seaumenta considerablemente el númerode elementos de la partición, los dibujosque se obtienen no son significativos.Queda patente que la sumas de las áreade los rectángulos de la gráfica de laizquierda es inferior al área buscada y loserá siempre que escojamos como pun-tos de evaluación los extremos inferioresde los subintervalos; lo contrario ocurreen la tercera gráfica, donde se calcula elárea por exceso. Como ya se dijo, estoocurre porque la función f es creciente.En las dos gráficas restantes se produceun cierto equilibrio entre las partes quesobrepasan al área y las que no la

4 El comando Maple utilizadopara la primera suma lateralizquierda es evalf( student[left-sum](x*exp(x), x=0..1, A1));

5 Su código Maple esSumaAleatoria:=(f,a,b,n)->sum(f(a+(b-a)/n*(j+evalf(rand()/10^ 12)))*(b-a)/n,j=O..n-1);

6 Alguno no aparece porque sualtura es 0.

50

Subint. Sumas Izquierda Sumas Centro Sumas Derecha Sumas Aleatorias

100 0,9864455621 0,9999815144 1,013628380 1,006670401 200 0,9932135385 0,9999953785 1,006804948 0,9974160425300 0,9954736382 0,9999979459 1,004534578 0,9958276244 400 0,9966044585 0,9999988448 1,003400163 1,003131199 500 0,9972831970 0,9999992606 1,002719761 0,9997478216 600 0,9977357924 0,9999994867 1,002266262 1,001906206 700 0,9980591249 0,9999996230 1,001942385 0,9986274028 800 0,9983016515 0,9999997111 1,001699504 0,9997598156 900 0,9984902998 0,9999997717 1,001510613 0,9993130967

1000 0,9986412288 0,9999998151 1,001359511 1,000605482 1100 0,9987647227 0,9999998473 1,001235888 0,998995799 1200 0,9988676391 0,9999998716 1,001132874 1,000614129 1300 0,9989547253 0,9999998907 1,001045711 0,998641143 1400 0,9990293736 0,9999999057 1,000971004 1,002057526 1500 0,9990940707 0,9999999180 1,000906258 1,001261332 1600 0,9991506812 0,9999999275 1,000849608 1,001342628 1700 0,9992006335 0,9999999359 1,000799622 0,998336620 1800 0,9992450356 0,9999999429 1,000755192 1,001074974 1900 0,9992847653 0,9999999490 1,000715440 0,998644493 2000 0,9993205220 0,9999999540 1,000679663 0,999282447

Tabla 1. Valores de algunas sumas de Riemann de f(x) = xex en [0, 1]

cubren; siendo menos ajustado en lagráfica de la derecha y más ponderadocuando se toma como referencia elpunto central de cada subintervalo.

Situaciones desfavorables

Los resultados anteriores podrían hacerpensar que con una fuerte herramientade cálculo, se obtendrían buenas aproxi-maciones. Sin embargo, si se realiza unpequeño cambio en las hipótesis, la situa-ción puede variar considerablemente.

En la tabla 2 se han realizado los mismoscálculos que en la tabla 1 manteniendola función, f(x) = xex, pero tomando elintervalo [0, 3] en lugar del [0, 1]. Comose sabe, por los resultados anteriores,que las sumas centrales proporcionanuna buena aproximación de

pudiera parecer menos aconsejable que el cálculo numérico,proporciona, en esta situación, mejores resultados.

Para particiones del intervalo [0, 3] con m + 1 elementosequiespaciados y para la función f(x) = xex, Maple propor-ciona directamente los siguientes valores

51

2

1

0 1

2

1

0 1

2

1

0 1

2

1

0 1

AleatorioCentro DerechaIzquierda

Figura 3. Representación gráfica de las diferentes sumasde Riemann empleadas

Subint. Sumas Izquierda Sumas Centro Sumas Derecha Sumas Aleatorias

100 40,27317522 41,16809862 42,08087355 41,48819931 200 40,72063692 41,17033002 41,62448608 41,43546319 300 40,87045198 41,17074326 41,47301808 41,24815555 400 40,94548347 41,17088788 41,39740805 40,94811994 500 40,99054204 41,17095484 41,35208170 41,22298900 600 41,02059762 41,17099120 41,32188067 41,22286389 700 41,04207398 41,17101313 41,30031660 41,29815116 800 41,05818566 41,17102736 41,28414799 41,22593895 900 41,07071963 41,17103710 41,27157500 41,11063036

1000 41,08074843 41,17104408 41,26151826 41,20275751 1100 41,08895492 41,17104924 41,25329113 41,13427644 1200 41,09579440 41,17105318 41,24643592 41,20997463 1300 41,10158221 41,17105625 41,24063592 41,14606081 1400 41,10654356 41,17105867 41,23566487 41,11747368 1500 41,11084368 41,17106062 41,23135690 41,12668747 1600 41,11460651 41,17106222 41,22758766 41,12868656 1700 41,11792683 41,17106355 41,22426202 41,16792869 1800 41,12087837 41,17106467 41,22130606 41,16850592 1900 41,12351931 41,17106560 41,21866133 41,20188985 2000 41,12589627 41,17106642 41,21628118 41,19908337

Tabla 2. Valores de algunas sumas de Riemann de f(x) = xex en [0, 3]

xe dxx

0

1

Ú

xe dxx

0

341 17106642Ú ª ,

si hubiera que escoger entre los datosde la tabla, se elegiría

aunque ninguna de las cuatro sucesio-nes numéricas da pistas sobre el posiblevalor de la integral. En el caso anteriorse iba buscando un número natural,pero en este caso es posible que elvalor sea un número irracional, lo quedificulta su localización.

El valor de la diferencia

SumaDerecha2000 – SumaIzquierda2000 == 0,09038491,

es una cota del error cometido al tomarcomo valor de la integral el elemento2000 de cualquiera de las sucesiones aso-ciadas a las sumas de Riemann. Aunqueesta magnitud pueda reducirse a la mitadescogiendo la media entre los valoresextremos de las dos sucesiones, hay quecalificarla de «elevada» con relación alrecorrido realizado en las sucesiones. Enconsecuencia, no resulta aconsejableseguir este procedimiento para el cálculoaproximado de la integral.

Sin embargo, la búsqueda del valor exac-to mediante el establecimiento del térmi-no general de las sucesiones, que a priori

SuIz mm

iem

e m e e m e

e e

i m

i

mm

m m

m

m

m m

( ) = = - + + -

- + -=

-+ +

Â9 9

2 12

3

0

1

2

31

31

3 31

61

31

buscado, pero la convergencia es másbien lenta con relación al número de ele-mentos que debe tener una particiónpara que la aproximación sea razonable-mente buena. En cualquier caso, conoci-das estas cotas, también se conoce unacota del error cometido al tomar comovalor el punto entre medias de ambos.

Desde el punto de vista docente, las uti-lidades gráficas, numéricas y simbólicasde los Sistemas de Cálculo Simbólicorepresentan una ayuda inestimable paraexplicar el concepto de integral deRiemann. La posibilidad de experimen-tar diferentes situaciones (modificar lafunción, considerar diferentes intervalosde integración y diferentes particionespara cada intervalo, cambiar los puntosde evaluación, calcular los valores numé-ricos de las sumas…) de una maneramuy simple y sin necesidad de confec-cionar programas específicos permite alalumno descubrir los puntos donde seencuentran las dificultades teóricas y decálculo de la integral de Riemann.

BibliografíaAMILLO, F., R. BALLESTEROS, L. GUADALUPE

y J. MARTÍN (1996): Cálculo: Teoría, Pro-blemas y Sistemas de Computación, Mc-Graw Hill, Madrid.

BALLESTEROS, L. y J. MARTÍN (2000) «Siste-mas de Cálculo Simbólico y su docenciaen el ámbito universitario», en Conoci-miento, método y tecnologías en la educa-ción a distancia. Actas de las jornadasUNED-2000, Universidad Nacional deEducación a Distancia, Palencia, 243-248.

BALLESTEROS, L. y J. MARTÍN (2000): «Siste-mas de Cálculo Simbólico: ¿Herra-mientade usuario final o sistema de ayuda en elaprendizaje?», en VIII Congreso de Innova-ción educativa en Enseñanzas técnicas,Universidad del País Vasco», volumen 2,San Sebastián, 357-368.

MARTÍN, J. y A. VELASCO (1999): «Los Sistemasde Computación Matemática como recursodidáctico de apoyo para la presentacióndel concepto de derivada», en IX Jornadaspara el aprendizaje y la enseñanza de lasMatemáticas, JAEM, Matemáticas de ENCI-GA, Septiembre, Lugo.

ROANES, L. y M. ROANES (1999): CálculosMatemáticos por ordenador con Maple VRelease 5, Rubiños, Madrid.

7 Las sentencias Maple utiliza-das para la realización deestos cálculos sonInt(x*exp(x),x=0..3)=inte(x*exp(x),x=0..3);yInt(x*exp(x),x=0..3)=evalf(inte(x*exp(x),x=0..3));

Lorenzo J. MartínETS Ingenieros

de Telecomunicación.Universidad Politécnica

de MadridJuan Antonio Velasco

IES Ángel del Alcázarde Segovia.

Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

52

SuCe mm

ie i m

i

m

( ) = +ÊËÁ

ˆ¯

=+

=

-

Â9 2 1

226 3 2

0

1( )

e e e m e e m e

m e em

m m m m m m m m m m

m m= -

◊ - + + - -( )- + -( )

+ + + +9 2 2

2 2 1

9 2 9 6 2 9 6 2 3 2 3 6 2 3 6 2

2 6 3

( ) ( ) ( ) ( )

SuDe mm

iem

e m e e m e

e ei m

i

mm

m m

m

m

m

m

m m( ) = = + - -+=

+ + +

Â9 9

2 123

02

32

31

31

31

6 3/ /–

Aunque estas expresiones puedan parecer largas y com-plicadas, puede calcularse su límite cuando el número desubintervalos, m, tiende a infinito:

lim lim lim( )

m

i m

i

m

m

i m

i

m

m

i m

i

m

mie

m

ie

mie e

Æ• =

-

Æ•+

=

-

Æ• =Â Â Â= +Ê

ËÁˆ¯

= = +9 9 2 1

2

91 2

23

0

1

26 3 2

0

1

23

0

3

Como era de esperar, el resultado es un número irracional.Su valor expresado con 10 dígitos significativos es

1 + 2e3 = 41,17107384

Si se hubiera pedido a Maple que proporcionara el valorexacto y numérico de la integral, resultaría7

xe dx ex

0

331 2 41 17107384Ú = + ª ,

Conclusiones

Dentro de unos límites razonables, el Sistema de CálculoSimbólico Maple es capaz de calcular el valor numérico decualquier suma de Riemann siempre que se especifique lafunción, el intervalo, la partición y los puntos de evalua-ción. Este hecho no es muy relevante porque, al fin y alcabo, se trata de realizar una suma finita –más o menosgrande– de productos numéricos.

En el ejemplo presentado, también es capaz de encontrar laexpresión del término general de algunas sucesiones obte-nidas al tomar como puntos de evaluación los extremos oel centro de los subintervalos originados por particionesequiespaciadas y con malla tendiendo a cero. Este términogeneral ha permitido calcular de forma simbólica el únicovalor posible del límite de las sumas de Riemann. Como lafunción escogida es continua y, por consiguiente, integra-ble, el valor obtenido es la integral definida de la funcióndada en el intervalo considerado. El cálculo directo de laintegral sirve para corroborar el resultado. Es evidente queeste proceso no siempre proporciona buenos resultadosaunque se maneje una función integrable.

La evolución numérica de sucesiones de las sumas superiore inferior de Riemann proporciona siempre cotas del valor

UANDO UTILIZAMOS la expresión «educación matemáti-ca» nos referimos principalmente a los fenómenos de ense-ñanza y aprendizaje que suceden en las aulas donde pro-fesores y alumnos realizan actividades relacionadas con ladisciplina «Matemáticas». En el marco de los departamen-tos universitarios del área de Didáctica de las Matemáticasse han desarrollado durante los últimos años diversaslíneas de investigación que estudian diferentes aspectos dedichos fenómenos y que permiten abordarlos desde dis-tintos enfoques.

El trabajo que presentamos a continuación es el resultadode una investigación1 llevada a cabo durante el curso1998-99 con los estudiantes de tres aulas de Segundo deBachillerato de otros tantos institutos públicos ubicados enla provincia de Barcelona.

Marco teórico

El marco teórico de nuestro estudio tiene varias fuentes,de las que expondremos únicamente los rasgos esencialesde las más relacionadas con los aspectos que vamos a pre-sentar en este artículo.

Cuando nos referimos al sistema educativo, es fácil deli-mitar la enseñanza primaria y la secundaria o el bachille-rato apoyándonos en las edades y cursos establecidos encada etapa. Sin embargo, cuando hablamos del pensa-miento matemático es más difícil delimitar o estableceruna separación significativa entre el pensamiento matemá-tico elemental y el pensamiento matemático avanzado.Dos investigadores, David Tall y Tommy Dreyfus, han ela-borado una teoría cognitiva con relación al desarrollo ycrecimiento del pensamiento matemático avanzado y es elmismo Tall (1996) quien afirma que el lugar donde el pen-

53

El concepto de infinito actualUna investigación acerca delas incoherencias que se evidencianen alumnos de bachillerato

Sabrina Garbin Dall’AlbaCarmen Azcárate

ARTÍCULOS

C

38


En este artículo presentamosparte de un trabajo de

investigación acerca delconcepto de infinito actual,

realizado con estudiantes de2.° de Bachillerato.

Presentamos el trabajorealizado, resultados y

conclusiones que parten delinterés de: a) describir laslimitaciones y explotar las

oportunidades decomunicación que ofrecen

los registros derepresentación presentes en

los enunciados de losproblemas planteados a losestudiantes; b) diseñar uninstrumento que permita

mostrar la coherencia en lasrespuestas de los estudiantesa los problemas; c) describir

y distinguir los términos«inconsistencias» e

«incoherencia» paradescribir y clasificar a losestudiantes según estos

términos y d) describir lo queentendemos por «tarea de

conexión»y reflexionar sobresu posible importancia en la

actividad matemática.

samiento matemático elemental se convierte en avanzadono se ha definido con precisión. Sin embargo, se recono-ce la existencia de una diferencia o discontinuidad entreambos pensamientos, especialmente en cuanto a las carac-terísticas de su enseñanza y evaluación. Otros autores,como Aline y Schwarzenbergen (1991), comparan el pen-samiento matemático avanzado con el elemental y señalanlas siguientes tendencias:

• Enseñar una mayor cantidad de conceptos en menortiempo.

• Enseñar con mayor frecuencia los contenidos delcurrículo de manera formal antes que el estudiante sehaya familiarizado con ellos de manera informal.

• Enseñar conceptos que históricamente evolucionaronmuy lentamente y, al mismo tiempo, exigir el apren-dizaje de demostraciones estándar y la realización deconstrucciones mentales abstractas.

• Enseñar una mayor cantidad de conocimientos mate-máticos y exigir la comunicación de los mismos y elaumento de estrategias de trabajo; esperar, además,que los estudiantes adquieran la habilidad de distin-guir entre pensamiento matemático y metamatemático.

También se refieren a la dificultad de evaluar a los estu-diantes en tiempos cortos y la de reducir las actividades atareas elementales; de esta manera se debe facilitar unaevaluación que tome en cuenta la comprensión, el análi-sis y la síntesis, y no sólo la reproducción de conocimien-tos por parte del estudiante.

Tall (1995) afirma que el paso del PME al PMA implica unatransición significativa que requiere una reconstruccióncognitiva. Esta reconstrucción implica, por un lado, elpaso de «describir» a «definir», y por otro, el paso de «con-vencer» a «demostrar». Se podría decir que los alumnos quese encuentran en la franja de edad de 16-20 años, aproxi-madamente, son los que están en esta época de transición;se trata de alumnos de Bachillerato y primeros cursos deUniversidad. Los estudiantes a los cuales hemos planteadoun cuestionario con cinco problemas se encuentran en laprimera etapa de esta franja.

Es en la década de los años setenta y primeros años de losochenta cuando se detecta la diferencia entre los concep-tos concebidos y formulados por la matemática formal ylas interpretaciones de los estudiantes. Tall y Vinner (1981)explicaron esta distinción y definieron los términos «con-cept image» y «concept definition» que nosotras llamamosesquema conceptual y definición del concepto, respectiva-mente (Azcárate, 1990). Inicialmente, Tall y Vinner descri-bieron el esquema conceptual que tiene un alumno de unconcepto matemático como toda la estructura cognitivaasociada al concepto, la cual incluye todas las imágenesmentales, las propiedades y los procesos asociados a lanoción matemática. También explican que el esquema

conceptual no necesariamente es cohe-rente en todo momento y que los alum-nos pueden evocar imágenes contradic-torias en momentos diferentes. Cuandohablan de la definición del concepto serefieren a una definición verbal, «unasucesión de palabras para especificar elconcepto».

Por otro lado, dada la naturaleza de losobjetos matemáticos también es impor-tante distinguir los objetos mentales ylos objetos físicos. Los objetos matemá-ticos tienen un significado más abstrac-to y son de naturaleza distinta a losobjetos visuales como percepciones delos objetos físicos del mundo exterior.Un ejemplo típico es el de los objetosmatemáticos como punto y línea. En elmundo real, un punto es una marca deun lápiz no prolongada y con medidafinita; sin embargo, en matemática, talconcepto es abstracto, tiene posiciónpero sin medida. Cuando nos referimosa la estructura cognitiva, decimos que elesquema conceptual usa el símbolopara conectar convenientemente proce-sos y relaciones; de esta manera, en lamente se tienen símbolos que se pue-den manipular como objetos mentales,sin ser necesariamente objetos físicos.

Siguiendo el ejemplo anterior, se tieneentonces, que el punto y la línea, ensentido físico, son la representaciónsemiótica de los objetos matemáticospunto y línea. En la actividad matemáti-ca es importante que se diferencie larepresentación del objeto del objetomatemático. El profesor Duval (1996,1999) ha desarrollado una teoría cogni-tiva de las representaciones semióticas.Duval, al interrogarse sobre si losmedios estructuralmente requeridospara que una persona pueda acceder alos objetos del conocimiento matemáti-co, son diferentes o no, a los mediosrequeridos para acceder a los otrosobjetos de conocimiento (por ejemploen botánica, astronomía, química, histo-ria…), constata lo siguiente:

• La no accesibilidad de los objetosmatemáticos fuera de un sistemasemiótico aunque sea rudimentario.Los objetos matemáticos, no son

54

1 La investigación en cuestión esla tesis doctoral presentadapor la profesora SabrinaGarbin en el Departamento deDidáctica de las Matemáticasde la Universidad Autónomade Barcelona y dirigida por laprofesora Carmen Azcárate,«Infinito actual: inconsistenciase incoherencias de estudiantesde 16-17 años», julio 2000.

Tall y Vinnerdescribieronel esquemaconceptualque tiene

un alumnode un concepto

matemáticocomo toda

la estructuracognitivaasociada

al concepto,la cual incluye

todas las imágenesmentales,

las propiedadesy los procesos

asociadosa la nociónmatemática.

objetos reales, como pueden ser lospropios de las disciplinas como labiología o la física que pueden sermanipulables. «De aquí la necesi-dad de describir y aprender cómofuncionan ciertos sistemas de repre-sentación: representaciones de es-critura decimal de los números,representaciones gráficas de formas(funciones o no), representacionesde la escritura literal y algebraica,representaciones que son las figu-ras en geometría…».

• La necesidad de no confundirnunca un objeto con su representa-ción semiótica (un número y suescritura, un objeto geométrico y lafigura que lo representa…).

Duval, considera dos características esen-ciales de la actividad matemática: el cam-bio y la coordinación de los registros derepresentación semiótica. Por ejemplo, sise consideran los registros de representa-ción: lingüísticos (lenguaje natural, escri-tura algebraica, lenguaje formal) u otrosregistros (figuras geométricas, gráficoscartesianos, tablas, etc.) se entiende porcambio de registro de representación «ala conversión de la representación dealguna cosa en una representación deesta misma cosa en otro sistema semióti-co». Por ejemplo, realizamos un cambiocuando al resolver un problema matemá-tico usamos un gráfico cartesiano pararepresentar una función y en el siguien-te paso de la resolución, expresamos conuna ecuación algebraica la misma fun-ción. Otro ejemplo es cuando trasforma-mos un enunciado en lengua natural auna ecuación (o viceversa). Por otrolado, como en el dominio del conoci-miento matemático se movilizan diferen-tes registros de representación, tambiénes necesario coordinarlos.

Ahora bien, así como se ha afirmadoanteriormente que en el esquema con-ceptual asociado a un concepto mate-mático no siempre hay consistencia eincluso pueden aparecer conflictos alcambiar de registros, es decir al conver-tir una representación en otra, se pue-den producir situaciones de congruen-cia o de incongruencia.

Con esto nos introducimos en el tema de las inconsisten-cias. Es evidente que la presencia de ideas inconsistentesen nuestros alumnos ha sido una situación que a ningúnprofesor de matemáticas ha dejado indiferente. El recursoa las inconsistencias detectadas en nuestros estudiantes,como medio para la mejor comprensión de algún concep-to matemático, ha sido seguramente un motivo de alegríaunas veces, pero otras muchas, ante los múltiples esfuer-zos para erradicarlas nos habremos sentido frustrados eimpotentes. Es probable que sepamos muy poco sobreellas y sobre su rol en el proceso de enseñanza-aprendi-zaje de la matemática, pero no podemos dudar de suimportancia y tenemos que aprender a utilizarlas de lamanera más eficaz.

En el año 1990, varios investigadores en Didáctica de laMatemática dedicaron un lugar especial al tema de lasinconsistencias dedicando un volumen entero de la revis-ta Focus on Learning Problems in Mathematics. No vamosa exponer aquí el conjunto de estas investigaciones queenriquecieron el conocimiento básico sobre este temapero queremos resaltar el interés de la sinopsis y la clasi-ficación presentadas por Tirosh (1990).

Finalmente, queremos hacer una breve referencia a laintuición matemática. Como profesores de matemáticasnos hemos ido acostumbrando a pensar en la intuición,dentro de la actividad matemática, como algo más que unsinónimo de sentido común. La importancia que ha tenidoy tiene la noción de intuición en la Matemática, lasCiencias y la Educación Matemática, hizo que surgiera ungran interés por investigarla, especialmente considerandoel conocimiento intuitivo como un camino básico, junto alanalítico, en la actividad matemática. Debido a esta impor-tancia surgió la necesidad de hablar de la naturaleza y elrol de la intuición en la actividad matemática y de deter-minar cuál debería ser la actitud de los profesores dematemática ante la relación existente entre el pensamien-to intuitivo y analítico. Esto último ha sido el principal pro-blema práctico que se planteó el profesor Fischbein (1982,1998). Además de estas razones, a nosotras nos ha intere-sado la intuición por el tipo de problemas que hemosplanteado a los estudiantes en que está presente el infini-to actual, que no responde a una interpretación natural eintuitiva del infinito.

El concepto aristotélico de infinito es una noción potencialque dominó en la historia hasta la época cantoriana,habiendo tenido una gran influencia en el desarrollo deeste concepto. Como ha explicado Fischbein (1982), esteconcepto potencial de infinito es el que responde a lainterpretación natural intuitiva del infinito. «Un objetopotencialmente infinito (por ejemplo una línea que puedeser extendida indefinidamente) tiene un significado “con-ductual”. Una operación potencialmente infinita tambiéntiene un significado “conductual” (por ejemplo dividir

…surgióla necesidad

de hablarde la naturaleza

y el rolde la intuiciónen la actividad

matemáticay de determinarcuál debería ser

la actitudde los profesoresde matemáticaante la relación

existenteentre

el pensamientointuitivo

y analítico.

55

indefinidamente un segmento). Un infinito actual no tieneun significado conductual, por tanto no es congruente conuna interpretación intuitiva». En una palabra, el infinitoactual es una noción contraintuitiva.

Objetivos del estudio

Los principales objetivos de la investigación que se pre-senta aquí se pueden resumir en los cuatro enunciadossiguientes:

• Describir las «limitaciones y oportunidades» de losregistros de representación presentes en los enuncia-dos de los problemas planteados a los estudiantes.

• Diseñar un instrumento que permita mostrar la cohe-rencia en las respuestas de los estudiantes a los pro-blemas planteados y establecer lo que llamamos «líneasde coherencia».

• Describir y distinguir los términos «inconsistencia» e«incoherencia» para describir y clasificar a los estu-diantes según estos términos.

• Describir lo que entendemos por «tarea de conexión»y reflexionar sobre su posible importancia en la acti-vidad matemática y sus consecuencias didácticas.

Para poder abarcar estos objetivos decidimos explorar losesquemas conceptuales de los alumnos asociados a lanoción de infinito actual contextualizado en los problemasque presentamos a continuación.

Los problemas seleccionadosy aplicados a los alumnos

Para conocer las ideas de los alumnos y poner en eviden-cia el pensamiento más o menos consistente con respectoal concepto de infinito actual, elaboramos un cuestionariocon cinco problemas cuya característica principal es que entodos está presente la misma noción matemática del infini-to actual pero expresada en lenguajes matemáticos dife-rentes: geométrico, verbal, analítico, gráfico y algebraico.

Primer problema

Observa la figura 1.

Nos muestra un esquema en el que se biseca cada vez elsegmento de la derecha, es decir los puntos M, N, O, P, sonlos puntos medios de los segmentos AB, MB, NB y OB res-pectivamente.

Si se siguen haciendo más y más bisec-ciones, ¿crees que es posible llegar a unasituación en la que un punto de la bisec-ción coincide con el punto B?

Explica tu respuesta.

Segundo problema

Se deja caer una pelota desde 2 metrosde altura sobre una superficie horizon-tal. Cada vez que la pelota llega al suelo,tras caer desde una altura h, rebotahasta una altura h/2.

¿Podrías calcular la distancia total reco-rrida por la pelota? Explica tu respuesta.

¿Podrías decir cuántos rebotes hará lapelota? Explica tu respuesta.

Tercer problema

Considera la siguiente suma

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … + ...

¿Cuál crees que es el valor de esta suma?Explica tu respuesta.

Cuarto problema

La figura 2 representa la gráfica de unafunción

…el infinitoactual es

una nocióncontraintuitiva.

56

A

M O P

B

N

Figura 1

Figura 2

1

1.5

1.75

1.8751.9375

2.062.125

2.25

3

2.5

2

Describe lo que pasa con la funciónpara valores muy grandes de x. ¿Po-drías determinar el valor de la funcióncuando x se hace muy grande? Explicatu respuesta.

Quinto problema

Considera la siguiente ecuación:

y = 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 +1/24 + ... + 1/2n + ...

¿Podrías decir para qué valor de n resul-ta y = 2? Explica tu respuesta.

Este cuestionario fue suministrado a 80alumnos de 2.° de Bachillerato antes deque recibieran enseñanza sobre límites.

Al principio del artículo nos hemos refe-rido a las representaciones semióticas.Podemos observar que cada problema,expresado en un lenguaje matemáticodistinto, presenta también un tipo derepresentación semiótica.

En el primer problema el lenguaje mate-mático usado es el geométrico y elregistro de representación es una figurageométrica (segmento de recta).

En el segundo problema el lenguajematemático usado es el verbal y el regis-tro de representación semiótica es el lin-güístico, la lengua natural.

En el tercer problema el lenguaje mate-mático usado es el analítico y el registrolingüístico es el numérico (suma infinita).

En el cuarto problema el lenguaje mate-mático usado es el gráfico y el registrode representación es el gráfico cartesia-no (función cartesiana).

En el quinto problema el lenguaje mate-mático usado es el algebraico y el regis-tro lingüístico es la escritura algebraica(ecuación con suma infinita).

Con relación a los problemas, podemosdecir que los tres primeros son una ver-sión actualizada de la primera paradojade Zenón (diferenciada por el contex-to), llamada Paradoja de la dicotomía.En la primera pregunta, la paradoja deri-va de considerar que entre dos puntoscualesquiera de una recta siempre hayotro punto y entonces un segmentocualquiera contiene una sucesión depuntos decreciente. Numéricamente,sería la sucesión infinita (si considera-mos el segmento [0,1]) 1, 1/2, 1/4, ...,que conforma la serie de la pregunta 3.Una respuesta correcta de esta pregunta3 lleva implícita una respuesta correctaa la primera pregunta. La segunda pre-gunta, igual que la versión de la prime-ra paradoja de Zenón, enfrenta al estu-diante con una situación que, en nues-tro mundo concreto y finito, es impen-

sable: «la pelota hará un número infinito de rebotes». Laquinta pregunta usa la misma suma de la pregunta 3 perotransformada en una ecuación y la gráfica de la cuarta pre-gunta, respeta la misma divisibilidad infinita en mitades delas preguntas 1, 2 y 3, originando la misma paradoja.

Estas situaciones presentan subdivisiones y un infinitopequeño, lo cual implica una coordinación simultáneaentre el creciente número de divisiones y el decrecienteresultado parcial sobre el que se opera. El psicólogoNuñez (1994) llamó a estas dos tipos de iteración: diver-gente y convergente.

En estos problemas se utiliza como método de resoluciónel modelo matemático del análisis estándar que se basa enel conocimiento de los números reales y las sumas infini-tas. Como lo han demostrado otras investigaciones,muchas de las respuestas correctas a preguntas en queestá involucrado el infinito actual resultan contraintuitivas;sabiendo que la intuición natural del infinito es el poten-cial, muchos estudiantes tienden a dar respuestas incon-sistentes respecto al concepto involucrado. En esta etapade su aprendizaje, resulta problemático que los estudian-tes se enfrenten a problemas cuyas representaciones omodelos de resolución resultan contraintuitivos. El cono-cer las limitaciones, y cómo influyen las representacionesen las respuestas inconsistentes de los estudiantes, ayuda-rá a proponer, en este nivel de enseñanza, las mejoresmaneras para tratar nociones tan complejas y contraintui-tivas como es la noción de infinito actual.

Análisis de los datos recogidoscon el cuestionario

El análisis descriptivo e interpretativo de las respuestas delos alumnos se realizó pregunta por pregunta. Las pre-guntas estaban planteadas de manera que requerían bási-camente una respuesta afirmativa o positiva a los proble-mas; muchas respuestas eran las esperadas, pero tambiénmuchos alumnos no contestaron ni afirmativa ni positiva-mente, sino que expusieron sus criterios teóricos y/o prác-ticos para prever una posible solución o decantarse por laimposibilidad de una solución. Describir, interpretar y cla-sificar las respuestas nos permitió acercarnos a los esque-mas conceptuales de los estudiantes poniendo en eviden-cia las limitaciones y oportunidades que ofrecían los regis-tros de representación usados en los enunciados. Pre-sentamos a continuación el resultado de este análisis, pre-gunta por pregunta:

Pregunta 1

• La representación del segmento que se hace el alum-no puede ser física, es decir como un espacio finito ycon medida, lo cual tiene como consecuencia un pro-ceso finito de bisección.

El conocerlas limitaciones

y cómoinfluyen las

representacionesen las respuestas

inconsistentesde los estudiantes,

ayudará aproponer,

en este nivelde enseñanza,

las mejoresmaneras

para tratarnociones

tan complejasy contraintuitivas

como esla nociónde infinito

actual.

57

• Cada segmento que resulta de cada bisección puedeser identificado por el estudiante como un espaciogeométrico, una distancia numérica o como la cardi-nalidad de la bisección. Se ha observado que cadaidentificación puede llevar a un proceso finito o infi-nito de bisecciones.

• Los puntos que resultan de cada bisección, M, N, O,P, etc., pueden ser considerados como marcas físicas.El grosor del lápiz puede ser determinante para dar elnúmero de bisecciones posibles (finitas).

• El segmento puede ser considerado como un conjun-to con infinitos puntos, por tanto el proceso de bisec-ción en este caso es infinito. La coincidencia delpunto de bisección con el punto extremo B no esnecesariamente aceptada.

• Para dar una respuesta no siempre se toma en cuentael proceso infinito de bisección. Para algunos alumnosresulta relevante que B sea un punto extremo del seg-mento y, por tanto, geométricamente no puede ser unpunto de bisección.

• El proceso geométrico de bisección, cálculo de M, N,O, P, etc. puede ser considerado como un procesonumérico, asignándole una medida a cada segmento.

Pregunta 2

• Puede percibirse el problema como parte del mundofísico, real y concreto. La experiencia es compatiblecon la experiencia real, dado que el objeto involucra-do es una pelota. La infinitud no está presente en elproceso. Puede producir consideraciones en los estu-diantes del tipo: fórmulas físicas, velocidad, gravedad,tiempo, presión, lugar, masa, elasticidad de la pelota,fuerza de rozamiento.

• Muchos estudiantes cambian de registro de representa-ción para resolver el problema. Por ejemplo, hacen undibujo de la situación o escriben una suma infinita. Lasrespuestas de los estudiantes son sensibles a este nuevoregistro de representación al que optan. La finitud o infi-nitud del proceso dependerá de cada representación, ylo mismo si la infinitud es actual o potencial.

• Generalmente, los alumnos necesitan convertir larepresentación del enunciado del problema, la mayo-ría de las veces, a un dibujo de la situación descrita enel problema.

Pregunta 3

• No siempre es aceptada la cardinalidad infinita delconjunto de los sumandos. Puede haber omisión delos puntos suspensivos y calcularse la suma con loscinco sumandos.

• La suma es infinita no sólo por los puntos suspensi-vos, como expresión algebraica, sino como un proce-

so numérico; los estudiantes serefieren a la posibilidad de dividirel número 1 infinitamente.

• Cada uno de los sumandos puedeno ser caracterizado como la mitaddel anterior y, por tanto, no siem-pre se considera la cantidad numé-rica que se va sumando.

• Se considera que la expresión infi-nita de la suma indica que no esposible sumar una cantidad infinitade términos o que el resultadosiempre es aproximado. En el pri-mer caso no se toma en cuenta eltipo de sumandos.

• Se considera que la expresión infi-nita de la suma indica que el pro-ceso no es acotado y que sugierevisualmente un infinito potencial,induciendo a una respuesta infinitapero no como número sino comoindeterminación.

• Puede ser evadida la suma infinita,observando sólo el comportamientode la sucesión 1/2n.

Pregunta 4

• El gráfico cartesiano induce a unarespuesta infinita (actual o poten-cial) o finita, dependiendo de laconcepción de función que el estu-diante posee.

• La curva de la función puede serconsiderada como una curva geo-métrica que en el infinito se trans-forma en una recta. También, sepuede percibir el proceso comonumérico: la variable y disminuyeen la medida que la x aumentanuméricamente.

• La recta y = 2 puede ser confundi-da con el eje x.

• La representación gráfica de lacurva puede considerarse de mane-ra física, es decir con grosor y delongitud finita. En este caso la fun-ción toma el valor de 2 mediante unproceso finito.

• Pocas veces es tomada en cuenta elproceso de división por mitades enel eje y. Prevalece la observación

El segmentopuede ser

consideradocomo un conjunto

con infinitospuntos,

por tantoel proceso de

bisecciónen este casoes infinito.

La coincidenciadel punto

de biseccióncon el puntoextremo B

no esnecesariamente

aceptada.

58

del comportamiento de la función apartir del eje x, en el movimientohorizontal.

• La gráfica induce a una descripciónde un proceso constante e infinito,en el sentido potencial.

Pregunta 5

• Al escribir la suma infinita comouna ecuación se puede causar laevasión de la infinitud. La ecuaciónse transforma en una ecuación fini-ta, donde se considera sólo el tér-mino n-ésimo.

• Aunque la suma sea infinita puedepensarse que el proceso no esnecesariamente infinito para queresulte y = 2. Para un cierto valor den, la suma no continúa y para esevalor la suma es 2. Los puntos sus-pensivos son despreciados.

• Observar que n es exponente deuna fracción y deducir que el resul-tado de la ecuación debe ser unnúmero entero puede inducir aconsiderar que el valor de la ecua-ción debe ser negativo. Se elude lainfinitud.

• La incógnita de la ecuación es elexponente de un número; estopuede inducir a considerar que lasolución viene dada por medio delogaritmos (conexión con conoci-mientos previos).

Hemos establecido, por cada pregunta,las respuestas más frecuentes que sepodrán encontrar más adelante en lastablas de las figuras 3, 4, 5 y 6.

La construccióndel instrumento

A partir de la clasificación, el análisis yla tabulación de las respuestas, preten-díamos construir un instrumento quepudiera mostrar a aquellos alumnos quedan respuestas incoherentes a los pro-blemas del cuestionario. Nos dimoscuenta de que no era tan fácil hablar decoherencia entre las respuestas de las

cinco preguntas, como, por ejemplo, afirmar que un alum-no que ha mostrado ideas finitas en la primera, será cohe-rente si se muestra finitista también en las demás pregun-tas (Garbin y Azcárate, 2000).

El contexto de las preguntas, y sobre todo el lenguajematemático utilizado, hace un tanto más compleja la situa-ción. Por ejemplo, en la primera pregunta, un alumno semuestra finitista si contesta que el punto de bisecciónalcanza al punto extremo B con un número finito de bisec-ciones, o infinitista, si contesta que el punto de bisecciónalcanza, o no, al punto B pero con un número infinito debisecciones.

Sin embargo, en la tercera pregunta, la infinitud está explí-cita, se presenta con un lenguaje algebraico y una repre-sentación numérica: una suma infinita; no cabe la posibi-lidad directa de hablar de finitud. El alumno pudo enton-ces mostrarse con una idea potencial del infinito, deján-dose llevar por la expresión numérica que no acaba, otambién, pudo reconocer que cada sumando representa lamitad del anterior, propiedad que permite la convergenciade la suma. Había que preguntarse, entonces, qué tipo derespuesta dada en esta pregunta puede considerarse cohe-rente con la dada por un alumno que responde de mane-ra finita en la primera pregunta.

Para cada problema nos hicimos esta última pregunta:qué tipo de respuestas dadas por los alumnos puedenconsiderarse coherentes (aunque éstas no sean las correc-tas). Respondiendo a esta pregunta pudimos establecerlíneas de coherencias de respuestas a partir de las obte-nidas por los estudiantes. Construimos tres líneas decoherencia, las cuales están representadas en las figuras3, 4, 5 y 6. Estos gráficos están formados por tablas enla-zadas entre ellas. En estas tablas podemos observar lasdistintas respuestas dadas por los alumnos. Si se siguen elorden dado por los enlaces, se pueden identificar a aque-llos alumnos que no mantienen respuestas coherentes enlas cinco preguntas del cuestionario. Por confidencialidady discreción, identificamos a los alumnos con una codifi-cación del 1 al 80.

La línea 1 la hemos llamado línea finitista. Está subdividi-da en dos sublíneas: 1.1 y 1.2. La línea 1.1 presenta un per-fil de respuestas finitistas menos en las correspondientes ala pregunta 3, cuyas respuestas fueron dadas dejándosellevar visualmente por la expresión infinita de la suma.

La línea 1.2 presenta respuestas finitistas menos en lascorrespondientes a las preguntas 2, 2(b) y 3. Estas últimasson respuestas que son dadas por las siguientes razones:en la 3 por dejarse llevar visualmente por la expresión infi-nita de la suma y, en la 2(a) y 2(b), por considerar que elcomportamiento descrito de la pelota no acaba.

Hemos llamado respuestas finitistas a las que fueron escri-tas con argumentos finitos.

A partir dela clasificación,

el análisisy la tabulación

de las respuestas,pretendíamos

construirun instrumento

que pudieramostrar

a aquellosalumnos

que dan respuestasincoherentes

a los problemasdel cuestionario.

59

60

Respondeafirmativamente

PREGUNTA 2(a)

Se considera lanecesidad de

conocer el núme-ro de rebotes

tanto para afir-mar como para

negar

Se considera queno hay datos sufi-cientes para afir-

mar o negar

Respondeafirmativamente

Se considera elcomportamiento

de la pelota.Alude a finitud.

La pelota tieneun solo movi-miento vertical

La distanciadepende delo que haga

la pelota

Escribe fórmu-las físicas.

No tiene da-tos suficientes

Respondenegativamente

No contesta

Indica una distancia

El proceso es finito

11, 28, 33, 34,35, 36, 39, 65,73, 76

2, 3, 9, 16, 23,31, 38, 56, 59,72, 74

5, 6, 18, 22, 25,27, 41, 45, 50,51, 53, 55, 57,64, 69, 70, 71

15, 40, 42, 53,62, 67, 79, 80

PREGUNTA 1

Responde afirmativamente

PREGUNTA 3

No se puede calcular o determinar

Por la infinitud

16, 17, 18, 50,63, 64, 65, 67, 79

7 40, 48, 6926, 535, 9, 13, 15, 22, 49,53, 57, 68, 71

El resultado correspon-de a la suma de las 5primeras fracciones

El valor de la suma esinfinito No se conoce la

fórmula general

No indica valor algunodebido a la infinitud dela suma. Por faltar datos

El proceso de bisección es finito

4, 6, 13, 15, 16, 18, 21, 26, 27, 30, 54, 55, 56

1 4 8, 26


PREGUNTA 2(b)

Conociendoalgunos datos Alude a finitud

Responde negativamente

La función llegará a ser una recta. El valor def es 2 o 0. Proceso finito

PREGUNTA 4

Considera que puede tener cualquier valordependiendo del valor de x

1, 6, 7, 11, 13, 15, 20, 26, 27, 42, 56, 62, 69 49, 60, 76


PREGUNTA 5


Es un número tangrande que no saldría

en la calculadora

El valor de n esun número finito

La sumaes

infinita

Hay unainfinidad derespuestas

1/2 esmenorque 2

147, 8, 19, 20, 26, 30, 34,35, 48, 61, 65, 68, 76, 78

18, 37, 50,57, 58, 62,66, 67

73 40, 55

No hay datossuficientes

Depende decómo se tire

la pelota

Aludea finitud

Escribe fórmu-las físicas.

No contesta

Considerafinitos

rebotes

No indica una cantidad

10, 13, 16, 24,28, 29, 34, 35,36, 39, 42, 56,61, 65, 68, 79

5, 15, 19, 41,50, 57, 58, 62,64, 71, 74

1, 4, 6, 7, 9, 14,21, 23, 37, 40,49, 67

18, 25, 26, 51,55, 69, 70, 73

78 33, 45, 80 8

Figura 3Línea 1.1.

61

PREGUNTA 2(a)

Respondenegativamente

Por el procesoinfinito

Infinitosmetros

No tiene co-nocimientos

suficientes, elproceso esinacabable

Describe elproceo como

Responde afirmativamente No contesta

17, 21 24, 47,63, 66, 77

PREGUNTA 1


PREGUNTA 3

No se puede calcular o determinar

Por la infinitud

16, 17, 18, 50,63, 64, 65, 67, 79

7 40, 48, 6926, 535, 9, 13, 15, 22, 49,53, 57, 68, 71

El resultado correspon-de a la suma de las 5primeras fracciones

El valor de la sumaes infinito No se conoce la

fórmula general

No indica valor algunodebido a la infinitud dela suma. Por faltar datos

El proceso de bisección es finito

4, 6, 13, 15, 16, 18, 21, 26, 27, 30, 54, 55, 56

12, 44, 61 49 10, 13, 19,68


PREGUNTA 2(b)


La función llegará a ser una recta. El valor def es 2 o 0. Proceso finito

PREGUNTA 4

Considera que puede tener cualquier valordependiendo del valor de x

1, 6, 7, 11, 13, 15, 20, 26, 27, 42, 56, 62, 69 49, 60, 76


PREGUNTA 5


Es un número tangrande que no saldría

en la calculadora

El valor de n esun número finito

La sumaes

infinita

Hay unainfinidad derespuestas

1/2 esmenorque 2

147, 8, 19, 20, 26, 30, 34,35, 48, 61, 65, 68, 76, 78

18, 37, 50,57, 58, 62,66, 67

73 40, 55

n = –∞

16

La pelotano para

de rebotar

La alturanunca

puede ser 0

Laobservación

aludea infinitud

Por parte (a)se interpretan

infinitosrebotes

No contesta

Considerainfinitosrebotes

Considera que tiende a infinito

11, 12, 22, 43,46, 54, 63, 76

27 3, 17, 31, 32,38, 44, 47, 48,52, 53, 59, 60

66, 67, 77 20 30

Figura 4Línea 1.2.

62

PREGUNTA 1


PREGUNTA 3

No se puede calcular

No se puede calcu-lar un número exacto

El máximo valorque puede llegar

es 1,99…

El resultado de lasuma es 1,99…;

2,99…

754, 8, 23, 41, 42,59

Los sumandos cadavez se hacen más

pequeños

El número estáalrededor del 2

El valor de lasuma estáentre 2 y2,99…

74

El valor de la suma seaproxima a 2

1, 2, 3, 6, 14, 19, 21,27, 28, 31, 32, 33, 34,36, 37, 38, 39, 43, 44,45, 52, 60, 61, 62, 66,72, 77, 78, 80

20 16, 63

PREGUNTA 2(a)


Es proceso es infinito y la dis-tancia se aproxima a 6m o es

5,99…

14, 29, 32, 37, 43, 48

PREGUNTA 2(b)

Responde negativamente No contesta

Observaciónalude

a infinitud

Por parte (a) seinterpretan ∞

rebotes

20 30


Infinitos rebotes

No indicacantidad

Tiende a ∞

11, 12, 22, 43,46, 54, 63, 76

27

La pelota nunca para derebotar

3, 17, 31, 32, 38, 44,47, 48, 52, 53, 59, 60

66, 67, 77

PREGUNTA 4

La función se aproxima a 2, al eje x, o a 0

3, 4, 5, 8, 9, 10, 14, 17, 19, 23, 29, 31,32, 33, 36, 37, 38, 41, 43, 48, 50, 52, 53,55, 58, 59, 64, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 77

No se puede determinar.Por la infinitud del proceso

Nunca será 2

16, 63

PREGUNTA 5

n = ∞ pero la sumano llegará a 2

23, 24, 42, 45, 47, 59, 60


La suma nunca será 2

1, 3, 4, 6, 9, 17, 21, 31, 32, 33,38, 41, 43, 53, 64, 71, 77, 80

La altura nuncapuede ser 0

73

Por la infinitud del proceso seaproxima, se acerca a B

3, 8, 9, 10, 17, 20, 22, 24, 33,34, 35, 37, 38, 43, 44, 45, 49,50, 52, 53, 58, 61, 62, 63, 66,67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74,

75, 77, 78

Figura 5Línea 2

63

PREGUNTA 1


PREGUNTA 3

El resultado de lasuma es 2

El resultado de lasuma es 1, 0 o unnúmero decimal

10, 12, 24, 29, 30,46, 51, 54, 58, 76

PREGUNTA 2(a)


Indica una distancia.El proceso es infinito.

30, 46, 54

PREGUNTA 2(b)

Responde afirmativamente No contesta

Observaciónaludea ∞

Por parte (a) seinterpretan ∞

rebotes

20 30


Infinitos rebotes

11, 12, 22, 43, 44, 46, 54, 63,76

No indica cantidad.Tiende a infinito.

27

PREGUNTA 4

La función llrgsrá a ser una recta.El valor de f es 2 o 0.El proceso es infinito

2, 12, 18, 21, 24, 28, 39, 44, 46, 47, 54

PREGUNTA 5

n = ∞

2, 12, 22, 24, 25, 28, 29, 36,39, 42, 44, 45, 46, 54, 59, 69,70, 75


Será un número ∞que no conocemos

49

11, 35, 47, 55

El proceso de bisección es ∞

12, 29, 40, 42, 46, 47, 59

Figura 6Línea 3

La línea 2 la hemos llamado línea actual. Presenta un per-fil de respuestas actualistas a las preguntas del cuestiona-rio. Hemos llamado respuestas actualistas a aquellas res-puestas que reflejan una concepción actual del infinito.

La línea 3 la hemos llamado línea potencial. Presenta unperfil de respuestas potenciales a las preguntas del cuestio-nario. Hemos llamado respuestas potenciales a aquellas res-puestas que reflejan una concepción potencial del infinito.

Observación: hay 5 tipos de respuestas que no aparecenen las líneas anteriormente mencionadas.

1. Respuestas que a la vez son afirmativas y negativas alas preguntas. Estos alumnos deberían afirmar enforma paradójica a todas las preguntas.

Podemos ilustrar este tipo de respuesta con la dadapor el alumno 11 a la primera pregunta:

A11: Sí, porque llegará un momento en que no se podrá dividirel segmento y la letra B será la bisección. Antes de esto deberápasar mucho tiempo porque tenemos micros (m) o mm los cortesserán más pequeños.También podría ser que no porque si es una bisección siempredebe haber un final y un principio por muy pequeño que sea. Esdecir siempre así: ____ __ _

2. Respuestas en que el alumno distingue entre una res-puesta teórica o práctica a la misma pregunta. Estosalumnos para ser coherentes deberían distinguir entreuna respuesta teórica y práctica en todas las preguntas.

Es ilustrativa la siguiente respuesta a la primera pre-gunta:

A57: En teoría siempre hay un punto medio entre dos puntos pormuy pequeños que sean. Pero en la práctica no se puede nohacerlos coincidir, por lo tanto en un momento u otro terminacoincidiendo.

3. Respuestas que distinguen en la pregunta 1, una inter-pretación numérica y una gráfica.

Un ejemplo es la respuesta del alumno 76:

A76: Gráficamente sí puede ser, numéricamente no. Gráfica-mente puede que el lápiz sea más grueso y que entonces labisección se superponga a B.

4. La respuesta a la primera pregunta, donde se consi-dera que el punto de bisección no alcanza al punto Bpor ser éste punto extremo del segmento.

Ilustramos con la respuesta del alumno 25:

A25: Detrás de B no hay nada, entonces no puede ser el centrode algo si es el final.

5. Los que no contestan.

Esto quiere decir que los alumnos que no aparecen enninguna de las líneas es porque han dado como respues-ta alguna de éstas.

Veamos algunos ejemplos. El alumno 26 está presente a lolargo de la línea 1.1, esto quiere decir que se mantiene

coherente y es un alumno con una con-cepción finitista o evasiva de la infinitud.Si observamos el comportamiento delalumno 54, éste aparece en la línea 2, enlas preguntas 3, 2(a), 2(b), 4 y 5. Sinembargo, podemos observar su situa-ción de incoherencia en la pregunta 1.En la primera pregunta este alumno apa-rece en la línea 1. Es decir, este alumnomuestra una concepción actual del infi-nito en todas las preguntas, menos en laprimera, que se muestra finitista.

Diferencia entre«inconsistencia» e«incoherencia»

Al principio hemos hablado de las ideasinconsistentes de los alumnos y al refe-rirnos a la construcción del instrumento,hemos utilizado también el término deincoherencia. Esta distinción no ha sidocasual ni se han usado ambas comopalabras sinónimas. Trataremos deexplicar seguidamente, en qué consistela diferencia con que las dotamos.

Cuando se habla de una idea o pensa-miento inconsistente, es con relación alconcepto matemático involucrado, o acontradicciones dentro de una teoríamatemática dada. Generalmente, apare-cen durante la resolución de un proble-ma o en una respuesta al mismo.Nuestros alumnos, por ejemplo, puedenmostrar inconsistencias al resolver unode los problemas del cuestionario, y,como hemos visto, pueden presentaruna concepción inconsistente respectoal concepto matemático involucrado enel problema. Por ejemplo, es el caso deun alumno que ha mostrado una ideapotencial de la suma infinita en la pre-gunta 3, siendo inconsistente con res-pecto a la idea actual del infinito.

Ahora bien, se puede estar en una situa-ción similar a la que se ha presentado enel cuestionario, en que haya que resol-ver un mismo problema expresado endiferentes lenguajes matemáticos; esdecir, problemas que tienen representa-ción semiótica distinta y lenguaje mate-mático diferente (por ejemplo, muchas

Cuandose habla

de una ideao pensamientoinconsistente,

es con relaciónal conceptomatemático

involucrado, oa contradicciones

dentro deuna teoría

matemáticadada.

64

veces el estudiante se enfrenta a estasituación en una guía de problemas o enun libro, al final de un tema, en una sec-ción dedicada al aprendizaje de un con-cepto específico). Ante esta situación enque el estudiante tiene que resolver unmismo problema pero expresado de dis-tintas maneras, se generan respuestascontradictorias entre sí (la de un proble-ma con respecto a otro). Nosotros lla-mamos respuestas incoherentes a lasrespuestas contradictorias entre sí.

Las líneas de coherencia son las quepermiten identificar este tipo de res-puestas coherentes o incoherentes. Enconsecuencia, podemos tener un alum-no cuyas ideas o respuestas sean incon-sistentes con el concepto involucrado y,sin embargo, mostrarse coherente en supensamiento (ideas o respuestas equi-valentes en problemas diferentes).

Podemos hablar de tres tipos de alum-nos:

1. Alumno coherente y consistente.Este tipo de alumno tiene todas susrespuestas en la línea 2. El alumno46, por ejemplo, es un alumno quetiene una concepción actual delinfinito independientemente deltipo de problema.

2. Alumno coherente e inconsistente.Este tipo de alumno tiene todas susrespuestas en la línea 1 o en la línea3. Un ejemplo es el alumno 26 quees coherente en la línea 1. Es decir,este estudiante tiene una concep-ción finitista o evade la infinitud.Curiosamente, no hubo ningúnalumno coherente en la línea 3.

3. Alumno incoherente. Este tipo dealumno, tiene respuestas que noson coherentes con la línea. En estecaso se pueden hacer combinacio-nes. Puede haber, de 1 a 5 respues-tas incoherentes con la línea, locual muestra que no todo alumnoes incoherente de la misma manerani con la misma profundidad.

Por otro lado, analizando la situacionesde coherencia de los estudiantes a tra-vés de sus respuestas y las líneas decoherencias hemos podido obtener

unas conclusiones parciales de las cuales subrayamos lassiguientes:

• Aquellos alumnos que se muestran finitistas o queevaden la infinitud, en preguntas de tipo geométri-co, algebraico o numérico, difícilmente contestan demanera infinitista (de manera actual o potencial) enpreguntas en que la infinitud se presenta en situa-ciones de la vida real. Son alumnos en que la cohe-rencia de su pensamiento reflejada en sus respues-tas es inducida por una mirada a los espacios acota-dos, como por ejemplo el de un segmento, o expre-siones no acotadas, como por ejemplo el de unasuma infinita.

• Los alumnos que se muestran finitistas o que evadenla infinitud, han presentado un tipo de respuestas yun número de respuestas actualistas que indicaronque la noción del infinito actual en la mente de estosestudiantes empieza a aparecer a partir de representa-ciones que inducen a ello, o haciendo una analogíade concepto finitos. Por ejemplo, consideran que lasuma infinita debe tener un valor numérico finitoigual a como lo tiene la suma finita. O, aceptando elproceso infinito de bisecciones representado en unsegmento de medida finita, aceptan la convergenciadel punto gracias a la representación acotada del seg-mento que induce a ello.

• En la mente de los alumnos que muestran una con-cepción actual en la mayoría de sus respuestas, estaconcepción entra en conflicto sobre todo en el segun-do problema del cuestionario, el de la pelota, que pre-senta un contexto «real-físico».

• Los alumnos que se muestran potencialistas, respon-den a las preguntas básicamente dejándose llevar porla intuición natural del infinito que es la potencial.

En la búsqueda de coherencia

Uno de los motivos de la presencia de respuestas incohe-rentes es la falta de consciencia por parte de los estudian-tes de que están resolviendo un mismo problema repre-sentado de diferente forma; sin embargo, un motivo másprofundo es la dificultad de realizar una tarea, que hemosllamado «tarea de conexión». La «tarea de conexión» con-sistiría en identificar y saber establecer relaciones entre losproblemas, en cuanto a lenguaje matemático y registro derepresentación semiótica se refiere, de manera que permi-ta una influencia mutua dando lugar a respuestas asocia-das coherentes con los problemas.

Podemos ilustrar lo anterior con un ejemplo. Pensemos enlos problemas 1 y 3. La tarea de conexión entre los dosproblemas consiste en reconocer que en ambas preguntas

…podemostener

un alumnocuyas ideaso respuestas

seaninconsistentes

con el conceptoinvolucrado

y, sin embargo,mostrarsecoherente

en su pensamiento(ideas

o respuestasequivalentesen problemasdiferentes).

…llamamosrespuestas

incoherentesa las respuestascontradictorias

entre sí.

65

está presente la divisibilidad infinita por mitades; son dosproblemas que representan el mismo concepto, pero talesque en el primero se utiliza el lenguaje geométrico y en eltercero, el analítico. Entre los registros de representación,figura geométrica: segmento (pregunta 1) y escrituranumérica: suma infinita (pregunta 3), la tarea de conexiónconsiste en reconocer los siguientes aspectos:

• Si se considera el segmento de dimensión 1, es decir,el segmento real [0, 1], cada punto del proceso debisección se puede identificar con cada uno de lossumandos de la suma infinita de la pregunta 3.

• Que la suma infinita, numéricamente representa lasuma infinita de los segmentos que son resultado de lasbisecciones y que, por tanto, una solución explícita dela serie es la respuesta correcta a la primera pregunta.

• Una respuesta de la pregunta 1 debe ser asociada ycoherente con la respuesta de la pregunta 3.

Ya dijimos anteriormente que uno de nuestros objetivosera reflexionar sobre la posible importancia de la tarea deconexión en la actividad matemática. Para ello, hemosentrevistado a 6 estudiantes. La entrevista se diseñó demanera que las preguntas que hacía la entrevistadora per-mitieran al estudiante realizar dicha tarea de conexión, esdecir, que la entrevistadora inducía dicha tarea pero sinllegar a ser una intervención didáctica.

En la entrevista se presentaron los problemas 1, 3 y 4 delcuestionario; una vez resueltos estos problemas se les pre-sentaba la pregunta 2, para que la trataran de resolvernuevamente. Esta última había sido la pregunta del cues-tionario más paradójica y con mayor dificultad para losalumnos.

Al finalizar la entrevista, 5 de los 6 alumnos terminaronmostrando respuestas coherentes en los 4 problemas.Concretando, para llegar a esta coherencia ha sido funda-mental que los estudiantes:

• Reconozcan en todas las preguntas el proceso de divi-sibilidad infinita, con los dos tipos de iteraciones, ladivergente y convergente.

• Establezcan la relación y conexión entre las preguntasa través de la sucesión númerica, 1/2, 1/4, etc.

Hemos identificado además que dicha tarea puede favo-recer:

• La aparición de un conflicto y la consciencia de laparadoja en la mente del estudiante cuando hay porlo menos una respuesta correcta en algunos de losproblemas. Algunos de ellos no se habían percatadode la paradoja a qué llevaba el razonamiento de losproblemas. Sin embargo, después de relacionarlos ypoder hacer las conexiones matemáticas entre ellos, alcomparar la respuesta correcta con las no correctas,(matemáticamente hablando), se les hacía presente la

paradoja. Uno de ellos mantuvo elconflicto generado por la paradojaen todos los problemas hasta elfinal de la entrevista.

• La «autobúsqueda» de coherencia,de manera consciente o no, en lasrespuestas y afirmaciones relaciona-das con las preguntas (a través de latarea se llega a una mayor cons-ciencia de la semejanza de la situa-ción planteada en cada problema).De forma espontánea los mismosestudiantes se exigían una respues-ta coherente después de identificarla relación existente en los proble-mas y después de haber hecho lasconexiones matemáticas entre ellos.

• La identificación de la idea o creen-cia errónea que no permite dar unarespuesta consistente al estudiante.Por ejemplo, en una de las entrevis-tas, la del único alumno que man-tiene respuestas incoherentes alfinal de la misma, se identifica elmotivo o la idea errónea del estu-diante que no permite la coherenciade sus respuestas: sostiene firme-mente que 1,999... es menor que 2.

A modo de conclusiones

De las muchas conclusiones que obtuvi-mos en nuestra investigación, sólo resal-taremos tres aspectos con fuertes impli-caciones en la planificación de ladocencia:

• Las respuestas de los estudiantesestán influenciadas por los lenguajesmatemáticos usados en el enunciadode los problemas. Cada registro derepresentación tiene unas «limitacio-nes y oportunidades». Por tanto, esimportante detectar las limitacionesy explotar las oportunidades decomunicación que ofrece el registrode cada enunciado, es decir, la figu-ra geométrica, el gráfico, el dibujo,la expresión algebraica, etc.

• El estudiante posee ideas inconsis-tentes, y no siempre se mantienecoherente cuando resuelve un

Uno de los motivosde la presenciade respuestasincoherentes

es la faltade consciencia

por partede los estudiantes

de que estánresolviendoun mismoproblema

representadode diferente

forma…

66

mismo problema expresado endiferente forma. El alumno, enton-ces, puede manifestar ideas y con-cepciones diferentes con respecto aun mismo concepto matemático, ennuestro caso, del infinito actual.

• La importancia de inducir en losestudiantes las tareas de conexiónpara ayudarles a construir un pen-samiento coherente con sus propiasideas y esquemas.

BibliografíaAZCÁRATE, C. (1990): La velocidad: intro-

ducción al concepto de derivada, TesisDoctoral, Universitat Autònoma deBarcelona.

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TIROSH, D. (1990): «Inconsistencies in students’ mathematicalconstructs», Focus on Learning Problems in Mathematics, 12,111-129.

Sabrina GarbinCarmen Azcárate

Departamento de Didácticade las Matemáticas y de

las Ciencias Experimentales.Universidad Autónoma

de Barcelona

67

ON LA CORRIENTE constructivista, que es inherente a las

nuevas teorías de enseñanza, la Geometría ha recobrado

un importante protagonismo. Pensamos que las construc-

ciones geométricas con regla y compás, o bien mediante

el plegado de papel, constituyen un importante recurso

para reforzar la faceta manipulativa del aprendizaje de las

matemáticas.

Uno de los objetivos generales de la enseñanza de las

matemáticas consiste en ayudar al alumno a descubrir la

realidad matemática del entorno que le rodea. En particu-

lar desde su vinculación con el arte y la arquitectura, la

observación de distintas formas geométricas en los ele-

mentos constructivos y la frecuencia con la que aparece el

octógono en ellas, nos ha llevado a considerar y analizar

algunas características de este polígono.

El octógono es una forma geométrica utilizada con fre-

cuencia en la construcción arquitectónica como paso inter-

medio entre la forma cuadrada y la circular. Recordemos,

por ejemplo, en la arquitectura árabe los trazados de plan-

tas, cúpulas, mausoleos, torres, fontanas, etc.

Construcciones

Son bien conocidas algunas de las construcciones del

octógono regular con regla y compás como, por ejemplo,

las siguientes:

A) La obtenida a partir de una circunferencia trazando

dos diámetros perpendiculares y sus bisectrices.

El interés de esta construcción radica, además de por su

sencillez, porque permite la obtención mediante biseccio-

nes, del ángulo de 45°, que es el ángulo central del octó-

gono.

Las construccionesgeométricas con regla y

compás, o bien con plegadode papel, constituyen unimportante recurso para

reforzar la facetamanipulativa del aprendizaje

de las matemáticas.En la observación del

entorno que rodea a nuestrosalumnos aparecen formas

geométricas que confrecuencia son octógonos.

Las disecciones geométricasofrecen mucho interés desdeel punto de vista formativo yde desarrollo de la actividadcreadora y descubridora del

alumno.

69

Construcciones y diseccionesdel octógono

Inmaculada Fernández BenitoEncarnación Reyes Iglesias

IDEASY

RECURSOS

C

38


L

L

÷2

1

1 1

1

÷2 – 1

B) La construcción realizada a partir de un cuadradoPQRS y el cuadrado P´Q´R´S´ que resulta al girar elprimero 45° alrededor de su centro O.

Esta construcción nos proporciona dos octógonos conve-xos y una estrella {8/2}.

Calculemos el lado L del octógono apartir de un cuadrado de lado 1 y com-probemos que efectivamente el lado deloctógono regular obtenido con estaconstrucción mide √2

—– 1

70

L

O

S

P Q

R

S'

P'

Q'

R'

L

D

Figura 1

Figura 2

Figura 4

Figura 5

Figura 3

Actividades

Por el gran número de actividades de interés geométricoque pueden aportar otras construcciones del octógono,proponemos las siguientes:

1) A partir de un formato DIN A4 (Figura 3) que es un rec-tángulo de proporción √2

—, se extrae la tira de dimensio-

nes 1 ¥ (√2—

– 1).

Para formar el octógono se sitúa la tira paralelamente a lasdos diagonales del cuadrado, haciendo coincidir el eje desimetría longitudinal de la tira, con la diagonal del cua-drado, hasta intersecar a los lados de éste, como se puedeobservar en la siguiente figura:

L L

Lx

x x

x

1

Según se observa en la figura anterior,se tiene:

2 1

2 2

2 1 1

1

2 11

2 2

x L

L xx

L

L

L L

+ ==

¸˝˛

=

+ ◊ =

=+

-

de donde:

y por tanto:

es decir: = 2

( )

,

2) Dado un cuadrado se trazan sus dia-

gonales y se dibujan cuatro arcos de

circunferencia con centros en los vérti-

ces del cuadrado y radio la mitad de la

diagonal. Dichos arcos determinan, al

cortar a los lados del cuadrado, ocho

puntos que son los vértices de un octó-

gono regular. Esta construcción se

conoce como “corte sagrado”.

Estaconstrucción

se conocecomo

“corte sagrado”.

Comprobemos que efectivamente elpolígono construido es un octógonoregular. Tenemos:

Obviamente el interés de las disecciones radica en encon-trar la figura equivalente con el mínimo número de piezas.

En la siguiente figura se muestran tres disecciones deloctógono en cuatro partes. Con las cuatro partes en lasque se han diseccionado cada uno de los octógonos seforman los rectángulos R1, R2 y R3 cuyas áreas coincidencon las de los octógonos O1, O2 y O3 de partida:

Las diseccionesde polígonos,

en piezas,para formar

otros polígonoses una forma

atractivay entretenidade abordarel estudio

de la geometríade los polígonos

y sus propiedades.

71

Figura 6

Figura 8Figura 7

2 12

2

2

2

2 2 1

1

x L

x Lx L

L L

E L

+ =

+ =

¸˝Ô

Ô=

- ◊ + =

-

de donde: -

y por tanto:

s decir: = 2

x

xL

1

3) Otra construcción especialmenteinteresante desde el punto de vistaalgebraico, geométrico y artístico es ladel octógono estrellado {8/3} de lasiguiente figura, que además de ser unaestrella es un polígono, a diferencia dela estrella del apartado B) que no es unpolígono sino dos (dos cuadrados).

L

L'

Disecciones

Las disecciones de polígonos, en pie-zas, para formar otros polígonos es unaforma atractiva y entretenida de abor-dar el estudio de la geometría de lospolígonos y sus propiedades.

Ha sido ya probado que cualquier polí-gono puede ser cortado en un númerofinito de piezas que forman otro polí-gono de la misma área. Así, diremosque dos polígonos son equicompuestos

si y sólo si son equivalentes.

01 R1

03 R3

02

R2

Proponemos además otra partición del octógono en cincopartes, cuatro de ellas trapecios rectángulos T1, T2, T3 y T4

y la quinta un cuadrado con centro en el centro del octó-gono. Estas cinco piezas forman el rectángulo R4, queobviamente tendrá el mismo área que el octógono O4.

O1

R1

T1

T2

T3

T4

Figura 904

R4

Actividades

Además de proponer como actividades las demostracionesque se han probado anteriormente, se pueden realizarotras que a continuación enunciamos:

1. Hallar el área de los triángulos sombreados de la figura4 y como consecuencia calcular el área del octógono.

2. Demostrar que la tira extraída del formato DIN A4, enla figura 3 es un rectángulo de proporción √2

—– 1.

3. Deducir, utilizando el resultado de la actividad ante-rior, que:

La parte central es un cuadrado enel que se dibuja una cruz similar ala del cuadrado de referencia.

a) ¿Cuál es la relación entre L y L’ ?

b) Deducir que los cuadrados cen-tral y de referencia son semejan-tes de razón 1 + √2

—.

6. Formular geométricamente los mé-todos de disección de los octógo-nos O1, O2, O3, O4 y sus rectángulosequivalentes en las figuras 8, y 9.

7. Caracterizar y clasificar geométrica-mente las áreas de las piezas de lasdisecciones de la actividad anteriory compararlas con el área total deloctógono y del rectángulo.

BibliografíaALSINA, C. (1995): Viaje al País de los Rec-

tángulos, Red Olimpica, Buenos Aires.

BOLTIANSKI, V.G. (1981): Figuras equivalen-tes y equicompuestas, Editorial MIR, Moscú

KAPPRAFF, J. (1991): Conections. The geome-tric bridge between art and science,McGraw-Hill, New York.

LINDGREN, H. (1972): Recreational Problemsin Geometric Dissections, Dover, NewYork.

REYES, E. (1998) «Formatos Din y papirofle-xia de algunos polígonos», en Actas del5° Seminario Castellano-Leonés deEducación Matemática.

Inmaculada Fernández IES María Moliner.

Laguna de Duero (Valladolid)Encarnación Reyes

ETS Arquitectura.Valladolid.

Sociedad Castellano-Leonesade Profesores de Matemáticas

72

D

L= +1 2

siendo L el lado del octógono y D la diagonal perpen-dicular al lado de apoyo, como se ve en la figura 2.

4. Hallar el área de la cruz dibujada en el primer cua-drado de la figura 4.

5. En la construcción del octógono sobre un cuadradode referencia que origina el corte sagrado (figura 6),se genera una malla no regular de nueve rectángulos,como se muestra en la siguiente figura:

L

L'

Figura 10

LO LARGO de varios años hemos sentido la necesidad deproponer a nuestros alumnos tareas que tuviesen comocontexto el entorno donde ellos desarrollan su actividad,tanto académica como cotidiana. Así, cuando tenemos quetrabajar con trigonometría, salimos al patio del centro amedir la altura de distintos objetos. Del mismo modo, paraun mejor conocimiento «matemático» de su barrio hemospropuesto la realización de fotografías donde se recogiesealgún concepto estudiado en clase. Cuando hacemos latípica salida al campo con los alumnos, o visitamos algúnedificio histórico, es una buena ocasión para que los alum-nos «hagan matemáticas». Y, por qué no, podemos ir alparque más próximo para desarrollar nuestra clase dematemáticas allí, donde los alumnos encuentren situacio-nes problemáticas que tengan que resolver. Pensamos queuna metodología basada en la resolución de problemaspuede tener como contexto el exterior del aula.

Todas estas actividades las hemos ido realizando de formaaislada, dentro del curso académico, en los últimos tres añoscon alumnos de 4.° de ESO. Después de las primeras expe-riencias, llegamos a la conclusión de elaborar un cuaderni-llo donde se recogiesen todas estas actividades y donde elalumno tuviese que plasmar todos los datos recogidos y lasconclusiones obtenidas, a modo de cuaderno de campo.

Siempre hemos creído en la necesidad de hacerles ver anuestros estudiantes la proximidad con que se puedenencontrar en su vida cotidiana los conceptos matemáticosestudiados en el aula. También en mostrarles algunas apli-caciones de las matemáticas como herramienta práctica yútil. Desde luego que esto no es nada nuevo, lo que cam-bia es el contexto. Ya en los propios objetivos generalesdel área para la secundaria se plantea la necesidad de tra-tar las relaciones de las matemáticas con la realidad deforma que permitan una mejor interpretación de ésta.Todo ello mediante la utilización de técnicas adecuadas de

En este artículo se presentanuna serie de experienciassobre cómo aprovechar elentorno a la hora de tratar

ciertos contenidos delcurrículo. Estas actividades

están organizadas en funciónde la proximidad al aula:trabajaremos tanto en el

entorno más próximo, el patiodel instituto, como en unomás alejado, el ambiente

rural. Las actividadescontienen aspectos

interdisciplinares que tratande mostrar la parte práctica yutilitaria de las matemáticas,trabajando especialmente loscontenidos procedimentales,

así como ser un materialdidáctico útil para la atención

a la diversidad.Las actividades propuestasaparecen recogidas en un

cuaderno de campo de formaque los alumnos dispongan

de un material donde reflejarde una forma ordenada y

precisa los resultadosobtenidos después de realizar

cada una de ellas.

73

Actividades matemáticas fueradel aula: Cuaderno de Campo

Alfredo Marcos CabellosEduardo Carpintero Montoro

IDEASY

RECURSOS

A

38


recogida de datos, procedimientos de medida acordes conla situación planteada, y la representación de esa informa-ción de una forma gráfica y numérica que faciliten unamejor interpretación. También se pretende que los estu-diantes identifiquen formas y relaciones espaciales pre-sentes en la realidad, analizando las propiedades y rela-ciones geométricas implicadas, siendo sensibles a la belle-za que generan. El contexto de trabajo que nosotros pro-ponemos permite al alumno valorar sus habilidades mate-máticas para afrontar situaciones que requieran su empleo.

Características de las actividades

Matemáticas próximas al entorno

Los profesores de matemáticas acostumbramos a pensarque es difícil encontrar situaciones de la vida cotidiana quepodamos utilizar para nuestras clases, y más difícil aún nosresulta «hacer matemáticas» fuera del aula. La experienciapropuesta trata de ser un ejemplo de ambas situaciones.

Es una experiencia sobre cómo aprovechar el entorno a lahora de tratar ciertos contenidos del currículo. Trabajamostanto en el entorno más próximo, el patio del instituto,como en otros más alejados, dentro de una visita a unazona rural, sin olvidarnos de otros lugares que muestrenun «interés matemático».

Presentamos un material de clase pensado para ser desa-rrollado en el segundo ciclo de ESO. Sin embargo tienemejores posibilidades de realización en 4.° ya que, al serel último curso de la etapa, las actividades previstas pue-den servir en muchos casos como aplicación de los con-tenidos que han estudiado con anterioridad. Algunas delas actividades propuestas sólo pueden ser realizadas poralumnos de la opción B.

Interdisciplinariedad

Se incluyen dentro de las tareas propuestas aspectos inter-disciplinares de otras áreas del currículo, como por ejem-plo: Ciencias Sociales (arquitectura y arte), Ciencias de laNaturaleza (conocimiento e interpretación del medio natu-ral), Tecnología (diseño y construcción de instrumentos demedida), Educación Física (senderismo y orientación),Educación Plástica y Visual (realización y presentación deplanos y trabajos topográficos). Así mismo, es una oportu-nidad para abordar algunos temas transversales dentro delárea de matemáticas, tales como: Educación del consumi-dor y Educación ambiental.

Metodología diversa

La mayoría de estas actividades tratan de mostrar la partepráctica de las matemáticas. Planteamos cuestiones acer-

ca de lo útiles que son las matemáticasen situaciones muy diversas. Esto lohacemos utilizando una metodologíamuy variada con los alumnos: desde tra-bajos en grupo, gran parte de ellas,hasta el trabajo individualizado.

El tipo de contenidos que tratamos sonprincipalmente procedimentales, nomuy habituales en el aula de matemáti-cas. Entre otros, destacamos:

1. Medición de distancias utilizando lacinta métrica o el método del paso.

2. Realización y análisis de fotografías.

3. Manejo de los instrumentos de medi-da –brújula, clinómetro, curvímetro.

4. Elaboración de planos y croquis.

5. Manejo e interpretación de planos ymapas topográficos.

6. Recogida de datos y otros elemen-tos (hojas, plantas, etc.) durante larealización de las actividades.

Hacemos una mención especial a larealización y análisis de fotografíascomo un recurso didáctico que permitellevar la realidad al aula. A través de larealización de fotografías los alumnos sesienten obligados a mirar con ojos críti-cos el entorno en el que se mueven yles hace reflexionar sobre aspectosmatemáticos de los objetos. El análisisde fotografías descubre la conexión delas matemáticas con la realidad, ya que

Los profesoresde matemáticasacostumbramos

a pensar quees difícil

encontrarsituacionesde la vidacotidiana

que podamosutilizar

para nuestrasclases,

y más difícil aúnnos resulta

«hacermatemáticas»

fuera del aula.

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Fotografía 1

pone de relieve aspectos geométricos,gráficos y funcionales que la imagenhace presentes con mucha mayor facili-dad que otras técnicas. En definitiva, lafotografía es el recurso didáctico quemejor se adapta al tipo de actividadesque aquí planteamos: estimula la creati-vidad, permite establecer relacionestanto con la realidad como con otrasáreas y es fácil de adaptar a las capaci-dades de cada grupo de alumnos.

Atención a la diversidad

Otra de las razones que nos han llevadoa elaborar este «cuaderno de campo» hasido la necesidad de que los alumnosdispongan de un material donde pue-dan reflejar los resultados obtenidosdespués de realizar una actividad, y quele ayude a expresarlo de una formaordenada y precisa. Esto hace que seaun material didáctico muy útil para laatención a la diversidad, ya que permi-te tanto la realización de tareas demanera individual por parte de losalumnos, a diferentes niveles de profun-dización, como el reparto de tareas den-tro del trabajo en grupo de forma coo-perativa, lo que supone adaptarlas a lascapacidades de cada uno de ellos.

Cuaderno de campo

La estructura de las actividades es muysimilar: se indica el objetivo específicoque se pretende realizar, así como losmateriales que se van a utilizar. Comienzala actividad con una breve introducciónteórica (que ha de ser apoyada con unaexplicación previa por parte del profesoren el aula, tanto de los requisitos teóricoscomo de la actividad en concreto).Posteriormente aparecen una serie detablas para la recopilación de los datosnecesarios, así como los huecos y espa-cios necesarios para hacer los dibujos,croquis, fotografías, desarrollos, etc.

Las actividades están organizadas en cua-tro unidades didácticas que se desarro-llan de manera independiente, y queestán presentadas en función de la pro-ximidad al aula: desde lo más cercano, el

patio del instituto, hasta lo más lejano, una zona rural. Sediseñaron para trabajar en la Comunidad de Madrid (parqueJuan Carlos I, valle del Lozoya y Cercedilla) aunque tambiénpueden ser adaptadas a cualquier otro contexto.

Presentación de las actividades

El desarrollo de las actividades puede ser llevado a caboen dos cursos, 3.° y 4.°, o en uno sólo. En el caso de ele-gir esta segunda opción, su secuenciación estaría acordecon la programación del área, esto es, durante el primertrimestre se trabajaría con el bloque de Representación yorganización del espacio, en el segundo trimestre con loscontenidos sobre Interpretación, representación y trata-miento de la información, mientras que los contenidos deMedida, estimación y cálculo de magnitudes se abordan alo largo de todo el curso.

Unidad 1. En el patio del Instituto

Los contenidos que se trabajan son: estimación de distan-cias, cálculo de alturas (con y sin uso de conceptos de tri-

…la fotografíaes el recurso

didácticoque mejorse adapta

al tipode actividades

que aquíplanteamos:

estimulala creatividad,

permite establecerrelaciones tantocon la realidad

como conotras áreay es fácil

de adaptara las capacidades

de cada grupode alumnos.

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Unidades didácticas

Unidad 1. Matemáticas en el patio del instituto

1. Medición del paso.

2. Cálculo de alturas.

3. Elaboración del plano del instituto.

4. Cálculo de anchuras.

Unidad 2. Matemáticas en el Parque Juan Carlos I

5. Juan Carlos I: un parque único.

6. Jardín de las tres culturas.

7. Paseo por el parque.

Unidad 3. Paseo matemático por la sierra de Madrid

8. Paseo matemático.

9. Identificación de objetos matemáticos.

10. Localización de lugares.

Unidad 4. Matemáticas en una zona rural

11. Construcción de un reloj solar.

12. Elaboración de un plano a escala y orientado.

13. Simetrías en la arquitectura.

14. ¿Cómo leer un plano topográfico?

15. Excursión botánica .

Esquema del cuaderno

gonometría) y elaboración de planos a escala y orientados.Excepto para las actividades que prevén el uso de trigo-nometría, es suficiente que los alumnos estén familiariza-dos con el teorema de Thales y las propiedades de lasemejanza de triángulos.

Una adecuada asimilación de los contenidos de esta uni-dad es muy importante para el desarrollo del resto de lasunidades ya que son la base de las actividades que en ellasse plantean. Desde la primera actividad los alumnos tienenpresentes cuales van a ser las pautas de actuación: trabajoen pequeños grupos de tres o cuatro personas, la necesi-dad de realizar tres mediciones en todos los experimentoso recogida de datos, la importancia que tiene la exactituden la medición y toma de datos, así como el empleo delos procedimientos necesarios para el correcto uso de brú-jula y clinómetro.

Las actividades que se proponen no son originales, son losejercicios que tradicionalmente aparecen en los libros detexto. Lo novedoso es que en estas actividades el alumnoes el protagonista a la hora de estimar las distancias, mane-jar los aparatos de medición, recoger los datos, y calcularlos resultados finales. Entre otras se pide: el cálculo de lalongitud de su paso, el uso de distintos métodos para elcálculo de alturas –método de la escuadra, método delpintor y método de las sombras–, uso del clinómetro ybrújula y su aplicación en la elaboración de planos y elcálculo de la altitud del Sol.

Unidad 2. En el Parque Juan Carlos I

El Parque Juan Carlos I se ubica en el norte de la capitalde Madrid. Asentado sobre un antiguo vertedero y undeteriorado olivar, su estado de degradación era absolutohasta que se decidió su rehabilitación en 1989. La estruc-tura del parque se extiende en torno a un bulevar de 40m de anchura, con forma anular y de un 1 km de diáme-tro. Canales de agua, lagos, géiseres, más de 30 surtidoresparabólicos, la combinación entre los restos del olivar y lanueva vegetación generan una simbiosis perfecta entreparque y olivar. Además 17 esculturas de gran tamaño yun conjunto de tres jardínes representativos de las culturascristiana, judía y árabe hacen de este rincón, con 160 hec-táreas, el parque más grande de Madrid y un lugar muyapropiado donde buscar la conexión entre matemáticas,naturaleza, arquitectura y escultura.

Además de trabajar los contenidos de la anterior unidad,aquí se introducen el reconocimiento de figuras geométri-cas en el plano (polígonos, polígonos estrellados, espira-les), figuras geométricas en el espacio (prismas, pirámides,esferas, cilindros, coronas circulares), el estudio de trans-formaciones geométricas (movimientos en el plano, análi-sis de mosaicos, simetrías en la naturaleza y arquitectura),y la identificación de gráficas de funciones. Así mismo, se

utiliza la realización de fotografías comoun método de recoger informaciónmatemática.

El desarrollo de esta unidad se lleva acabo en tres momentos: una actividad delectura y comprensión del folleto explica-tivo del parque, previa a la visita, dondeel alumno tiene que analizar la informa-ción numérica del folleto y calcular, entreotras cosas, la escala del plano, la super-ficie del bulevar, la distribución del olivarpor decámetro cuadrado y la distancia yrumbos del recorrido propuesto. Se com-plementaría con el visionado de diaposi-tivas del parque que servirían de ejemploa los alumnos para la posterior de reali-zación de fotos. La visita al parque tienelugar durante toda una mañana, y en ellase distinguen dos bloques de actividades,las relativas al Jardín de las Tres Culturasy el paseo por el parque. El último mo-mento se corresponde con el trabajo finalen el aula, acabando las tareas y cálculosque no se concluyeron durante la visita, yuna puesta en común comentando lasincidencias, problemas y resultados de laexperiencia con el alumnado.

El Jardín de las Tres Culturas es un con-junto de tres jardines individuales, repre-sentativos de las culturas árabe, cristianay judía, que confluyen en un punto cen-tral común, alegórico a la idea de paraí-so o edén. Algunas tareas matemáticasque nos ofrece este espacio son: el cál-culo de la pendiente de una pasarela-puente, estudiar dos mosaicos (tipo demalla, motivo mínimo, movimientos quelo dejan invariante), calcular la razón desemejanza entre triángulos, hallar el áreade polígono estrellados y calcular elvolumen de un prisma octogonal. Du-rante el paseo por el parque los alumnosse encuentran con siete de las grandesesculturas que hay en el mismo: han decalcular el volumen de una esfera, uncilindro, un anillo circular, varios pris-mas cuadrangulares, así como identificarla gráfica de arcos parabólicos y de unasinusoide. A lo largo de toda la jornadalos alumnos tienen que recoger muestrasde hojas y plantas que presenten sime-trías, así como identificar las simetríasque presentan las distintas esculturas ylos tres jardines.

Las actividadesque se proponen

no son originales,son los ejercicios

quetradicionalmente

aparecenen los libros

de texto.Lo novedoso

es que enestas actividades

el alumnoes el protagonista

a la horade estimar

las distancias,manejar

los aparatosde medición,

recoger los datos,y calcular

los resultadosfinales.

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Otras tareas propuestas requieren unalabor de investigación por parte delalumno, que debería desarrollar demanera individual, como por ejemplo:aportaciones científicas de Galileo obúsqueda de los distintos tipos de espi-rales que existen. También se aprovechapara realizar actividades de tipo interdis-ciplinar con la materia de Historia, comopor ejemplo: información relativa a lasimbología de las plantas de las iglesiascristianas, las aportaciones artísticas dela cultura islámica o la simbología de laestrella de David en la cultura judía.

Unidad 3. Paseo matemáticopor la Sierra de Madrid

Las actividades que se plantean en estaunidad tienen un fuerte componenteinterdisciplinar: mientras practicamossenderismo –educación física– los alum-

nos interpretan un mapa topográfico, recogen y clasificanplantas y hojas –ciencias naturales– y recopilan datos parala elaboración de gráficas.

El itinerario elegido para realizar las actividades formaparte de la Ruta Verde 1 a lo largo del Valle del Lozoya,

Tambiénse aprovechapara realizaractividades

de tipointerdisciplinarcon la materia

de Historia

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Análisis de las simetrías y movimientos en la naturaleza. Trabajos realizados por alumnos durante la visita al Parque Juan Carlos I

Fotografía 2. Entrada del Parque Juan Carlos I

que discurre en la sierra de la Comunidad de Madriddesde el pueblo de Rascafría hasta al Puerto de Cotos,pasando por el Paular, por la cabecera de aguas de lacuenca del río Lozoya. Se trata de una ruta ecoturista deuna gran variedad y espectacularidad paisajística, así comode interés cultural y ecológico. Es un recorrido de 8 km,aproximadamente, siendo la primavera la mejor épocapara su realización.

La realización de esta unidad supone una aplicación prác-tica de los contenidos relacionados con la interpretación yelaboración de gráficas de funciones a partir de tablas dedatos. Además se insiste en la realización de fotografíascomo forma de identificar las matemáticas presentes en elentorno.

Unidad 4. Matemáticas en una zona rural

El objetivo de esta unidad es consolidar los contenidos tra-tados en actividades anteriores. Si las unidades didácticas serealizan en un solo curso, puede servir de colofón al traba-jo desarrollado a lo largo del mismo. Se plantea como acti-vidad extraescolar para realizar al menos durante cinco díasen algún albergue o estancia situado en una zona rural.Nosotros hemos llevado a cabo esta unidad en el pueblo deUmbralejo, situado en el norte de Guadalajara, como unproyecto que presentamos al programa «Recuperación y uti-lización educativa de pueblos abandonados» del Ministeriode Educación. Estas actividades se pueden adaptar a la geo-grafía de cualquier lugar, en concreto presentamos unaadaptación al pueblo de Cercedilla (Madrid).

Los contenidos matemáticos utilizados hacen referencia amúltiples aspectos del currículo: resolución de problemas,geometría, funciones, números y estadística. Además, setrabajan lo contenidos relativos a la interpretación de losaspectos geográficos y formas del relieve.

Algunas de las actividades se basan en la recopilación dedatos para la elaboración de gráficas, como por ejemplo,la construcción de un reloj solar, elaboración del perfil deun río, de un corte topográfico, el itinerario de una excur-sión; otras son de tipo manipulativo como la construcciónde un curvímetro; otras de interpretación y orientacióncon un mapa topográfico; trazado de una poligonal parala elaboración de un plano del pueblo; búsqueda y foto-grafía de simetrías en la arquitectura; etc.

Ejemplos de actividades

A continuación, se presentan algunas de las actividadesque aparecen en el Cuaderno de campo especificando losobjetivos, contenidos y materiales de cada una de ellas, asícomo una breve descripción, su desarrollo y el trabajo rea-lizado por los alumnos.

Cálculo de alturas utilizandotrigonometría

Esta actividad necesita como requisitosprevios una exposición teórica en el aulade los conceptos de trigonometría. Salvola tabla relativa a «Método de dobleobservación», podemos considerar esteejercicio como la primera práctica de tri-gonometría (en este caso, cálculo dealturas). Las dificultades observadas secentran sobre todo en un uso incorrectodel clinómetro por parte de los alumnos,lo cual conduce en algunos casos aresultados bastantes disparatados. Porello, en esta actividad se les pide inicial-mente que realicen una estimación delas alturas que van a medir (por compa-ración con distancias conocidas, porejemplo: la altura de un piso, la distan-cia de la línea de tiro libre en la canchade baloncesto), y al final, que valoren

Los contenidosmatemáticos

utilizadoshacen referencia

a múltiplesaspectos

del currículo:resolución

de problemas,geometría,funciones,números

y estadística.

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Simetrías en el entorno. Trabajo de los alumnos

críticamente los resultados de la medi-ción efectuada con respecto a la estima-ción realizada. Otro error detectado esque en algunas ocasiones los alumnoscalculan la media aritmética de las medi-ciones efectuadas por distintas personas(distintas alturas de cada uno de ellos), adistintas distancias (y por tanto, distintosángulos de observación), cuando real-mente lo que se pide es que efectuadaslas mediciones y cálculos por separado,tomen por resultado final la media delos distintos resultados obtenidos.

Por último, se propone el cálculo de laaltura de un edificio exterior al instituto,sobre el cual no existe la posibilidad deacceder a su base para medir la distan-cia. Para su resolución no es necesariointroducir el teorema del seno, sino quebasta con aplicar conceptos trigonomé-tricos a triángulos rectángulos. Es unbuen ejercicio de utilización de sistemas

de ecuaciones con dos incógnitas a la hora de resolver pro-blemas de la vida real. De alguna manera interrelaciona-mos geometría y álgebra, de forma que el alumno no loperciba como bloques de contenidos estancos y separados.

Jardín Árabe

La visita al Jardín Árabe es una excelente posibilidad pararelacionar las matemáticas con las aportaciones de la cul-tura árabe a la arquitectura. Desde las simetrías en el arcode herradura, el uso del octógono y polígonos estrelladospor doquier, hasta el componente estético en su afándecorativo de rellenar cualquier hueco en las paredes ysuelos (horror vacui) con mosaicos, tenemos una buenacombinación para trabajar interdisciplinarmente con elárea de Ciencias Sociales y abordar temas transversalescomo la tolerancia y el conocimiento y respeto a culturasdistintas a la nuestra.

En el apartado 3 se les pide el cálculo del volumen del pris-ma octogonal recto de la fotografía. Además de utilizar losprocedimientos del cálculo de alturas ya vistos en las acti-vidades del patio, tienen que dar una solución para el cál-

…y abordartemas

transversalescomo

la toleranciay el conocimiento

y respetoa culturasdistintas

a la nuestra.

79

Cálculo de alturas utilizando trigonometría

culo de la apotema de la base que en principio no puedenmedir directamente sobre el terreno por la presencia de unafuente en el centro del prisma. De nuevo tienen que recu-rrir a la trigonometría, si bien algunas soluciones erróneasde los alumnos pasan por identificar radio y lado, para apli-car posteriormente el teorema de Pitágoras, o incluso iden-

tificar apotema y lado. Se concluye conel estudio y análisis del mosaico quedecora el suelo.

Paseo matemático

Esta actividad está diseñada para serrealizada durante una marcha por laSierra madrileña (aunque puede seradaptada a cualquier otro lugar) duran-te todo el día. Se pretende que los alum-nos interpreten un mapa topográfico,identifiquen el relieve, y recogan datosde altitud, distancia y tiempo, y que losrepresenten gráficamente.

Para llevar a cabo esta actividad es nece-sario una clase previa de explicación teó-rica de cómo manejar un plano: curvasde nivel, escala, puntos más destacables,distintos tipos de relieve, etc. Los alum-nos se organizarán en grupos de tres ocuatro personas, debiéndose repartir y

Se pretende quelos alumnosinterpretenun mapa

topográfico,identifiquenel relieve…

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Jardín Árabe o Estancia de las delicias

Fotografía 3. Mosaico del Jardín Árabe

organizar el trabajo de forma que duran-te la marcha puedan ir recogiendo losdatos necesarios. Después de realizada lamarcha cada grupo deberá trabajar encasa para pasar a limpio todos los datosy completar las tareas previstas.

Además la zona permite realizar activi-dades propias del área de biología, aun-que también tiene un gran interés cultu-ral pues aquí se encuentra el Monasteriodel Paular que, junto con el puente delPerdón, permite completar la salida conactividades de tipo histórico-artístico.Incluso existe la posibilidad de realizaralgunas actividades de Astronomía: enparticular, la zona del «Mirador de losRobledos» (final de nuestra marcha) esun excelente lugar para realizar unaobservación nocturna del cielo. Paraello es suficiente con utilizar unos pris-máticos y varios planisferios, aunquesería deseable contar con un telescopio.

81

Paseo «matemático»

Trabajos realizados por alumnos en la marcharealizada en marzo de 1999

Construcción de un reloj solar

El estudio de las sombras del Sol nos permite trabajar conel sistema de numeración sexagesimal, los ángulos, con-ceptualizar la idea de dirección y justificar la elección dela dirección Norte-Sur como dirección de referencia.

Las peculiaridades de esta actividad implica que para surealización se necesite un día soleado, así como un sitiorelativamente despejado donde la sombra del «palo» no seainterferida por otras sombras. Con los datos obtenidos seles pide que construyan una gráfica que relacione el tiem-po con la longitud de la sombra. Es un ejercicio que nospermite, utilizando la brújula, comprobar la dirección delas sombras proyectadas sobre el suelo en distintosmomentos del día, y sacar conclusiones acerca de que elmovimiento «aparente» del sol de Este a Oeste es debidoal movimiento de la Tierra alrededor del mismo.

Si bien la representación de los datos es fácil para los alum-nos, cuando se les pregunta sobre la interpretación de losmismos en distintas situaciones nos encontramos con algu-nas dificultades. La mayoría da por bueno que, en efecto, ladiferencia de las longitudes de la sombra se correspondecon las distintas «aparentes» alturas que alcanza el Sol a lolargo del día, siendo la sombra mínima la relacionada conla altura máxima del Sol sobre el horizonte. Las dificultadessurgen cuando planteamos qué resultados obtendríamos sila experiencia se hubiera realizado en invierno, o si sehubiera realizado en el hemisferio Sur. Así mismo, muchosalumnos no ven con claridad cuánto tardará la sombra delpalo en describir una vuelta completa.

Trazado de una poligonal

El objetivo final de esta actividad es laelaboración de un plano a escala yorientado de una barriada del pueblo deCercedilla, siendo una aplicación de lasmatemáticas a la Topografía.

Para su desarrollo cada grupo de tres ocuatro alumnos debe realizar inicial-mente un croquis de todo el barrio.Después se hace una puesta en comúncon los distintos croquis realizados, secorrigen diferencias entre cada uno deellos y se divide la zona a topografiar encuatro (o más) sectores. A continuación,cada grupo realiza una poligonal de susector, que consiste en una línea que-brada formada por una serie de seg-mentos, formando ángulos entre ellos,teniéndose que medir la longitud dedichos segmentos y su rumbo.

82

Construcción de un reloj solar

Evolución de las sombras en el mes de mayo. Trabajo de alumnos

Es pues un trabajo que exige una coor-dinación eficaz entre los distintos gru-pos de alumnos a la hora de planificarel trabajo, tomar datos y concretar lasestaciones topográficas comunes a losdistintos grupos. Es fundamental insistiren la importancia de este último punto,determinar las estaciones topográficascomunes a cada sector, ya que éstasserán la base sobre la cual elaboraremosel plano definitivo.

Esta actividad aúna una gran cantidadde conceptos matemáticos (escalas, tri-gonometría, cambio de coordenadas depolares a cartesianas), unos contenidosprocedimentales variados y un trabajoen equipo efectivo. La combinación detodos estos aspectos hace que esta tareasea bastante compleja, lo cual requiereuna explicación muy pausada y clara,para evitar errores. También es unabuena oportunidad para hablar de geo-

metría analítica, así como para proponer, a algún grupomás avanzado el uso del clinómetro y realizar una intro-ducción a las coordenadas esféricas.

BibliografíaAGUIRRE, F. (1995): Matemáticas cotidianas, Alhambra Longman.

Madrid.

ALSINA, C. (1998): Contar bien para vivir mejor, Rubes. Barcelona.

BELL-LLOCH, A. y otros (1996): Fotografía y matemáticas,Sociedad Madrileña de Profesores de Matemáticas «EmmaCastelnuovo», Madrid

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GHYKA, M. (1985): Estética de la proporciones en la Naturaleza yel Arte. Poseidón.

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Alfredo MarcosIES Anselmo Lorenzo.San Martín de la Vega

(Madrid)Eduardo Carpintero

IEES Severo Ochoa. Tánger.Marruecos

Sociedad Madrileñade Profesores de Matemáticas

«Emma Castelnuovo»

83

Elaboración de un plano a escala

PUBLICACIONES DE LAS SOCIEDADES

E ESTÁ ACERCANDO el momento de abandonar la pesetacomo unidad de moneda en el territorio español y de uti-lizar el euro dentro del marco de la Unión Europea. Esteproceso, abundantemente anunciado y apoyado por unacampaña de formación de la población respecto a cómohacer la transformación de una unidad a otra, puede ayu-dar a comprender el mecanismo que resuelve el problemade redondear una cierta cantidad, pero no es suficientepara comprender el significado matemático que involucraeste concepto. Porque redondear una cantidad a una posi-ción decimal dada significa buscar la aproximación, deentre las dos que existen, que esté más cerca del valor ini-cial: la aproximación por defecto o por exceso. Pero eneste caso, en el que se trata de dinero, siempre hay alguienque gana o pierde, en función de si elegimos una aproxi-mación u otra para redondear. Puesto que todos los ciuda-danos deberemos cambiar nuestro dinero de pesetas aeuros, me parece interesante el pararme a pensar un pocosobre este asunto, ya que la cuestión vista desde el puntode vista global puede involucrar mucho dinero. Y creo quetodo el mundo tiene interés en que, por pequeña que seaesta cantidad, siempre será mejor que sea el banco que mefacilitará el cambio quien pierda, en lugar de ser yo.

El tercer estudio internacional de Matemáticas y Ciencias(TIMSS) aplicado entre 1994 y 1995, revelaba que a aque-llos alumnos españoles a los que se les pasó el test, sola-mente el 17% de los de 7.° de EGB y el 28% de los de 8.°(actualmente 1.° y 2.° de la ESO), respondieron de formacorrecta a un problema de redondeo, muy por debajo delos valores internacionales, lo que demostraba que losalumnos no sabían lo que es redondear. Actualmente se haincluido como un contenido más del currículo de la secun-daria obligatoria, lo cual favorecerá el uso de una herra-mienta necesaria para desenvolverse con eficacia y nor-malidad en el futuro más próximo.

En el presente artículo seplantea y se resuelve unaactividad propuesta para

trabajar con los alumnos elconcepto de redondeo,

usando como contexto lafutura situación de

transformación de pesetas aeuros y partiendo de lasdirectrices que marcan la

elaboración de actividadescon un espíritu

constructivista. En laresolución se obtienen

resultados que sorprenden.

85

De pesetas a euros

Tomás Queralt Llopis

IDEASY

RECURSOS

S

38


Por estos motivos me planteé la posibilidad de prepararalguna actividad para los alumnos que hiciera significativoel aprendizaje del concepto de redondeo. Para ello, uséalgunos de los principios que Arcavi sugiere para diseñaractividades con espíritu constructivista (Arcavi, 1995):

• Presentar problemas que permitan actividad mentalcreadora de conocimiento.

• El alumno ha de poder utilizar su experiencia previa(situación familiar y manejable) y que haya una invi-tación explícita a utilizar el sentido común.

• Que haya problemas genuinos de la vida real para loscuales el uso de herramientas matemáticas ayude acomprender mejor fenómenos que nos rodean.

• Que la respuesta requiera la formulación de un argu-mento, una comparación, una idea, una conexiónentre conceptos, una traducción entre diferentes re-presentaciones.

• Que el problema se presente para elaborar preguntasnuevas, es decir, que la solución del mismo despiertecuriosidad y el alumno, por su cuenta o en grupo –ocon ayuda del maestro–, abra la posibilidad de seguirexplorando la situación.

• Que la respuesta no sea accesible solamente pormedio de la aplicación mecánica de un procedimien-to de cálculo.

La actividad que construí parte de trabajar inicialmente elconcepto de redondeo, y continúa con una pequeñainvestigación. Se plantea su resolución con la calculadoragráfica, por los beneficios que su uso reporta al alumno,en cuanto a dotarlo de autonomía, rapidez de cálculo, faci-lidad de visualización de los resultados, etc.

Se planteasu resolución

con la calculadoragráfica,

por los beneficiosque su uso

reportaal alumno,en cuantoa dotarlo

de autonomía,rapidez

de cálculo,facilidad

de visualizaciónde los resultados,

etc.

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El valor del redondeo

Escribe en una lista el siguiente conjunto de expresiones decima-les:

A continuación, en las listas que siguen, procura que se calculeel redondeo a las décimas, centésimas y milésimas.

Supongamos que la primera lista de números (L1) nos muestra elresultado de cambiar nuestro dinero en pesetas a dólares. ¿Cuáles el redondeo que nos resultará más conveniente? Explica elporqué en cada caso.

Para cada expresión decimal nos con-viene un redondeo u otro, puesto quedependiendo de la expresión decimalredondearemos por exceso o por defec-to. Así, en el primero nos conviene elredondeo a las décimas, porque de lostres redondeos calculados es el que meproporciona un valor mayor; en elsegundo a las milésimas, en el tercero alas centésimas, y así sucesivamente.

El Cambio más favorable

Sabemos que el 1 de Enero del año 2.002tendremos que pagar en euros, porque lapeseta habrá desaparecido. Será necesa-rio que cambiar las pesetas que tenemosahorradas en el banco o en la hucha poreuros, ya que si no lo hacemos perderemosese dinero. Se fijó el siguiente cambio:cada euro son 166,386 pesetas.

• Si disponemos de 1.000.000 de pesetasahorradas, ¿cuántos euros nos daránpor ellas? Recuerda que cuando calculesel resultado, debes redondear a las cen-tésimas, pues la moneda más pequeñaque existirá será la de céntimo de euro,y que no existe la milésima de euro.

• Si en lugar de eso cambiamos primero500.000 pesetas y después las otras500.000, ¿nos darían el mismo cambio?

• ¿Y si en lugar de dividir el millón en dospartes, lo dividimos sucesivamente en par-tes más pequeñas y vamos cambiando?

• ¿Cuál es la mínima cantidad de pese-tas que nos conviene cambiar cadavez para sacar el máximo beneficio enel cambio?

El redondeo a las distintas posiciones decimales se obtie-ne con la instrucción round():

La respuesta a las primeras preguntaspuede darse haciendo la operacióncorrespondiente y calculando el redon-deo. Pero podemos definir una funciónque haga la conversión a euros, calcu-lando después el redondeo correspon-diente. Lo vemos en la siguiente pantalla:

Si a continuación multiplicamos este valor por 166,386,obtendremos el equivalente en pesetas de lo que nos hancambiado a euros, por lo que una simple resta con la can-tidad inicial de 1.000.000 nos indicará si en el proceso decambio hemos ganado o hemos perdido dinero.

…en el supuestode cambiaruna pesetacada vez

hasta el millón,en la conversión

obtendríamosun beneficioequivalente

a 663.860 pesetas,mientras que

si fuerandos pesetascada vez,

en el procesoperderíamos

168.070pesetas.

87

El resultado sería que por un millón depesetas nos darán 6010,12 euros. Por500.000 ptas 3.005,06 euros, lo cual nosdaría el mismo total; por 100.000 ptas.nos darían 601,01 euros, lo cual haceun total de 6.010,1 euros, que muestrauna pequeña diferencia de 2 céntimosde euro con respecto a los totales ante-riores. Observamos que a medida quecambiamos cantidades más pequeñas,el efecto del redondeo hace que cam-bie la cantidad total de euros que reci-bamos.

De esta manera vemos que para ciertas cantidades elcambio es el mismo (nos dan un céntimo de euro yacambiemos una o dos pesetas), lo cual quiere decir queen el cambio se produce un error que en una ocasión esa nuestro favor y en la otra a favor del banco. Vemos quela función que proporciona la diferencia entre la cantidadinicial en pesetas, 1.000.000, y la que tendríamos despuésde la conversión a euros va oscilando tendiendo al ceroa medida que aumenta la cantidad que cambiamos cadavez. Así, en el supuesto de cambiar una peseta cada vezhasta el millón, en la conversión obtendríamos un bene-ficio equivalente a 663.860 pesetas, mientras que si fue-ran dos pesetas cada vez, en el proceso perderíamos168.070 pesetas. Se puede calcular cuándo se obtiene unbeneficio máximo calculando el máximo de la función, elcual se correspondería con una cantidad que en la prác-tica no se podría utilizar: 0,8319305… pesetas, que meproporcionaría una diferencia a mi favor de… ¡1.000.000de pesetas! Es decir, en el cambio ganaría la misma can-tidad que pretendo cambiar. Por tanto, la cantidad míni-ma que deberíamos cambiar para obtener el máximobeneficio en el cambio sería 1 peseta, haciendo ¡unmillón de viajes al banco! Aunque desde el punto de vistapráctico resulte imposible realizarlo, desde el punto devista legal se podría hacer, a menos que se nos marqueuna cantidad mínima en el banco a partir de la cualpodemos cambiar.

Se nos puede ocurrir que podemos cal-cular como se produce esta variacióndesde la primera peseta, viendo si lacantidad recibida equivalente en pese-tas, ganamos o perdemos en el cambio.Para ello nos planteamos en ir al bancola cantidad de veces que sea, cambian-do siempre la misma cantidad de dine-ro hasta tener cambiado el millón depesetas. Así, definimos la función Y3que multiplique lo que nos han dado eneuros en el cambio por el número deveces que vamos al banco hasta cam-biar el millón de pesetas.

Estas conclusiones, que a primera vista resultan sorpren-dentes, dejan en evidencia que existen muchas cuestionesmatemáticas que aparentemente no tienen trascendenciapero que pueden conducir a resultados que por lo menosllaman la atención.

También me gustaría resaltar el beneficio que la calcula-dora gráfica proporciona en el proceso de enseñanza yaprendizaje de las matemáticas, lo que ha sido tratadocon más detalle en los numerosos informes que existenal respecto. Sirva como resumen de todos ellos la cita deH. Freudenthal (1980), quien ofreció su propia visión enel ICME 4.:

Lo que busco no son calculadoras ni ordenadores como tecno-logía educativa, ni como educación tecnológica, sino como unaherramienta poderosa para despertar y aumentar el entendi-miento matemático.

BibliografíaARCAVI, A. (1995): “…Y en matemática, los

que instruimos ¿qué construimos?” Subs-tratum, vol II, n.° 6, 77-94.

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Tomás QueraltCEFIRE de Torrent.Societat d’Educació

Matemàtica de la ComunitatValenciana «Al-Khwarizmi».

Proyecto T3 España

88

Desde este artículo sepretende dar a conocer un

recurso para que losalumnos, trabajando engrupo, se inicien en el

manejo del euro, simulandosituaciones reales a las que

pronto van a tener que hacerfrente. Se tratan al mismotiempo otros contenidos

matemáticos comoporcentajes, números primos,

redondeos, operacionescombinadas, números

negativos, decimales,… Conla posibilidad de adecuarlo

a los distintos niveleseducativos, desde primaria

hasta bachillerato.Por otra parte, este recurso

ha sido diseñado paratrabajar también laEducación para el

Consumidor.Todos estos objetivos sepueden cumplir con un

atractivo formato de juego,el EUROmes.

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¡Qué viene el euro!

Francisco M. Bou, Lucía Puchalt,Marta I. Trapero, Mónica Vivó

IDEASY

RECURSOS

Y

38


A VIENE EL LOBO… Hace tiempo que oímos «que vieneel euro», y parece como en el cuento, que nunca va a lle-gar, pero ya casi está aquí. Hay que agudizar todos lossentidos, porque ya le vamos viendo las orejas.

A pocos meses de su aparición física, estamos asistiendo aun bombardeo de campañas institucionales, vendiéndonoslas bondades y beneficios del euro, y la sencillez de su uso.

¿Pero, por qué seguimos la mayoría de la población toda-vía «ignorantes», y con el pensamiento fatalista de que«cuando venga, ya veremos»? La arena sigue cayendo ine-xorablemente en el reloj, y todos tenemos la impresión deque nos va a «caer» encima el euro.

Y es que no hay campaña institucional que pueda suplir asu manejo práctico.

La escuela debería de promover actividades y recursos pa-ra el conocimiento del euro entre el alumnado y, qué dudacabe, que debe de ser el área de matemáticas la que enca-bece esas iniciativas. La oportunidad histórica, y presumi-blemente irrepetible, del cambio de moneda, posibilita alprofesorado de matemáticas explicar conceptos matemáti-cos inherentes al cálculo. Además, con este recurso didác-tico se incide en el eje transversal de la educación para elconsumidor. Por este motivo, y dado su formato de juego,resulta especialmente útil para que los profesores, desdecualquier área, lo aprovechen en horas de tutoría, guar-dias, semanas culturales…

En esa idea, nuestro grupo de trabajo ha elaborado unrecurso eminentemente práctico, que tiene una doble ver-tiente; matemática, y de divulgación del euro.

Este recurso educativo1, denominado EUROmes, aprovechala inquietud que al alumnado le supone la nueva situación,que no controla, y el aspecto lúdico que le da su formatode juego. Aparecerá en el Calendario Matemático de laSociedad de Educación Matemática de la ComunidadValenciana “Al-Khwarizmi” del curso 2001/2002.

El EUROmes está pensado para los distintos niveles desecundaria, pero con algunas variantes es posible su usoen primaria. También se puede utilizar en bachillerato.

El EUROmes como material curriculary como recurso didáctico

Descripción del juego

El juego consiste en recorrer el tablero. En el recorrido, losjugadores pagarán los productos y servicios de las casillaspor las que pasan, todas ellas relacionadas con los hábitosde consumo de los jóvenes. Todos parten de la casilla desalida con el mismo dinero y ganará aquel que llegue a finalde mes con mayor saldo o menos deudas.

Materiales

Para tres jugadores:

• Un tablero del EUROmes que sepuede conseguir en la hoja Junio2002 del Calendario Matemático dela Sociedad Al-Khwarizmi.

• Tres fichas de colores: rojo, azul yverde.

• Tres dados de seis caras equiproba-bles y numeradas.

• Tres copias de un extracto de cuen-tas, o bien reproducciones de bille-tes y monedas de euro.

• Opcionalmente, una calculadora.• Monedas y billetes. La cantidad

aconsejada para una partida es:

15 monedas de 1 céntimo de euro.

15 monedas de 2 céntimos de euro.





15 monedas de 1 euro.

15 monedas de 2 euros.

1 Un recurso didáctico seríaaquel que es utilizado en elaula con el fin de que los alum-nos aprendan alguna cosa, unmaterial curricular es aquelmaterial que permite al profe-sor enseñar alguna cosa relati-va al currículo prescriptivo,puede ser desde un documentohasta un material didácticocuyo nivel y contenido se ajustea las características del grupo.

90

Figura 1: Tablero del EUROmes

20 billetes de 5 euros.20 billetes de 10 euros.10 billetes de 20 euros.10 billetes de 50 euros.5 billetes de 100 euros3 billetes de 200 euros.1 billete de 500 euros.

Características del tablero

Consta de 30 casillas:

• Diez son de las tiendas Rojas, lasque ocupan los números siguientes:1, 4, 8, 10, 14, 16, 20, 22, 25 y 27.

• Diez de ellas son Azules (cadenaSuper): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23y 29. Corresponden a los númerosprimos del tablero (excepto el 1).No se advierte al alumno que estacadena de tiendas corresponde alos números primos: tiene que des-cubrirlo por su cuenta.

• Las restantes son las tiendas Verdes:6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 28 y 30.

Reglas

1) Cada uno de los tres jugadores oequipos lanza un dado y elige unade las cadenas de tiendas por ordende puntuación de mayor a menor.

2) Se sitúan las fichas en la casilla desalida y empieza el juego en elorden obtenido.

3) Cada jugador empieza con 200 euros.Podrá utilizar reproducciones demonedas y billetes o bien llevar unextracto de sus cuentas, con pagos eingresos (ver variantes de juego).

4) Si un jugador cae en una de sus tiendas no tendrá quecomprar.

5) Si cae en una tiendas de los otros, compra tantos bieneso servicios como indique la puntuación de su dado.

6) Si un jugador cae en una tienda que no sea suya, del impor-te que paga, el propietario se queda el 10% como benefi-cio. (El resto, se supone que es para reposición de materialde la tienda).

7) Si un jugador cae en una tienda cuyo número de casillasea primo, compra, si la tienda no es una de las suyas y,en cualquier caso, vuelve a tirar.

8) Gana el jugador que tenga más saldo una vez han lle-gado todos exactamente a la casilla 30.

La expresión «exactamente» se deja a la libre interpretaciónde los alumnos que deberán ponerse de acuerdo al iniciode la partida. Por ejemplo:

a) No mover la ficha si el número del dado excede el decasillas necesarias para llegar a la número 30.

b) Si excede al de casillas necesarias para llegar, entoncesse mueve la ficha hasta el 30 y se retrocede hasta com-pletar la puntuación del dado.

Metodología

Se reparte el material necesario (un tablero, tres fichas,dados y extracto de cuenta y/o reproducciones de euros)por grupos, de tres alumnos preferiblemente.

Modalidades

• Con extracto de cuenta.• Con billetes y monedas de euros: en este caso sería

conveniente cuatro jugadores para que uno de elloshaga la función de Banca.

Variantes del juego

Al principio de cada partida se puede considerar:

• La compra de un único bien o servicio en cada casilla.• La ausencia de porcentajes. • Variaciones del porcentaje.

…podrá utilizarel EUROmes

como materialcurricular

para trabajarlos contenidosmatemáticos

propiosdel nivel en el

que se encuentrao bien utilizarlo

como recursodidáctico

para repasarlos contenidos…

91

• El precio con o sin IVA.

• Otro saldo inicial.

• Otro criterio de finalización del juego.

Estas variantes se dejan a libre elección del profesor,

pudiendo seleccionar aquellas que sean más oportunas

para el grupo. En función del enfoque que le quiera dar,

podrá utilizar el EUROmes como material curricular para

trabajar los contenidos matemáticos propios del nivel en el

que se encuentra o bien utilizarlo como recurso didáctico

para repasar los contenidos del área de matemáticas antes

descritos y/o familiarizar al alumno con la nueva moneda.

Nuestra propuesta sería la siguiente para los diferentes

niveles de primaria y secundaria y bachillerato.

Primer Ciclo Primaria• Consiste en utilizar el tablero del EUROmes como si

fuera una galería comercial.

• El profesor organiza un turno dejuego entre los alumnos y pregunta,uno por uno, qué producto o servi-cio desea comprar.

• El alumno no puede elegir una casi-lla elegida con anterioridad por otroalumno.

Segundo Ciclo Primaria

• Se modificará la regla 5 para nomultiplicar por la puntuación deldado. Sólo compraría un producto oservicio cada vez que caen en unacasilla.

• Se omitirá la regla 6 para evitar eluso de porcentajes.

• Uso de reproducciones de billetes ymonedas.

Tercer Ciclo Primaria

• Se omitirá la regla 6 para evitar eluso de porcentajes.


En el currículo de Primaria, se hace unamención específica al conocimiento delsistema monetario del país. Por ello, nosparece recomendable el uso de repro-ducciones de monedas y billetes. Sinembargo, en primaria se desconocen losenteros y no forman parte de su currícu-lo. Por ello, consideramos que el juegofinalizará cuando alguno de los jugadoresse quede sin dinero aunque no hayan lle-gado todos a la última casilla. Y en estecaso, ganará el que más dinero tenga enese momento, independientemente de lacasilla en la que se encuentre situado.

Secundaria


• Uso de extracto de cuentas.

Consideramos que no sería convenienteel uso de porcentajes hasta que semanejen con soltura con la nueva mone-da, en el caso de utilizar reproducciones.

Si algún jugador se queda sin dinero,tomará un préstamo de la banca, en elcaso de jugar con reproducciones. Y uti-lizará números negativos en su extractode cuentas, en el caso de hacer uso delextracto de cuentas.

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NOMBRE: ………………………………………………Dueño de las tiendas de color: ………………………

Hora de Comienzo de la partida:………………………Hora en que finalizó la partida: ……………………

Nº DECASILLA

DINERO QUE GASTO(compras)

DINERO QUE INGRESO(ventas)

DINERO QUEINGRESO

Salida 0 0 200 euros

Bachillerato

En el currículo de Bachillerato, no sehace una mención específica al conoci-miento del sistema monetario del país,al refuerzo de las operaciones con deci-males o a la resolución de problemascon porcentajes. No hay que olvidar quelos alumnos de estas edades, sienten tam-bién cierta inquietud por conocer ymanejar la nueva moneda.

Nosotros creemos que sería convenien-te dedicar algunas sesiones a conocerel euro y su manejo. Para ello adecua-ríamos los problemas que utilicemosen el aula a la nueva moneda y comointroducción podemos utilizar elEUROmes.

A modo de resumen de las posibilida-des que nos ofrece el juego se muestrala tabla de más arriba, ya que las varian-tes del juego descritas se pueden aplicaren distintos niveles dependiendo delalumnado al que va dirigido.

Aspectos curriculares

Primaria

• Conocer el nuevo sistema monetario.• Familiarizarse con el valor y carac-

terísticas de las monedas y billetesdel euro.

• Equivalencias en el uso del sistemamonetario del euro.

• Suma de números decimales.• Resta de números decimales.• Multiplicar enteros por decimales.• División de números decimales, con

dividendo decimal y divisor entero.

• Resolver situaciones problemáticas relacionadas conel dinero.

• Despertar la curiosidad e interés por conocer el nuevosistema monetario.

Secundaria

• Conocer los enteros y su ordenación.• Divisibilidad de los números, y números primos.• Operaciones con enteros y decimales.• Utilización de los algoritmos tradicionales de suma,

resta, multiplicación y división.• Calculo de porcentajes con números naturales y deci-

males.• Utilización de distintos métodos de cálculo de tanto

por cien.• Potenciación del cálculo mental, del uso de la calcula-

dora y otros instrumentos, decidiendo según la comple-jidad y la exigencia de la precisión de los cálculos.

• Utilización de estrategias para resolver problemasnuméricos relacionados con situaciones cotidianas.

• Uso de técnicas de recogida de datos para tener informa-ción de fenómenos, y representarla en forma gráfica y nu-mérica, formándose juicio sobre ella.

• Observación de las regularidades y leyes que rigen losfenómenos de azar para interpretar los mensajes sobrejuegos y sucesos, identificando conceptos matemáticos,analizando críticamente las informaciones que de ellosrecibimos en los medios de comunicación y búsquedade herramientas matemáticas para una mejor compren-sión de esos fenómenos.

• Utilización del lenguaje numérico para la representa-ción, comunicación y resolución de diferentes situa-ciones de la vida cotidiana.

• Despertar la curiosidad e interés por conocer el nuevosistema monetario.

En el transcurso de una partida aparecerán operaciones com-binadas con decimales y porcentajes. Los números decimalesse pueden trabajar, bien con el extracto de cuentas o bien

…las variantesdel juegodescritas

se pueden aplicaren distintos

nivelesdependiendodel alumnado

al que va dirigido.

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Opciones

Galeríacomercial ¥¥ ¥¥

¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥ ¥¥

¥¥ ¥¥Profesor Profesor Alumno Alumno Todos

Uno Uno N.° de dado N.° de dado N.° de dado

10% Variable

¥¥ ¥¥

Juego

Importeexacto

Monedasy billetesExtracto

de cuentas

Banca

Producto

Porcentaje

Préstamo

PRIMARIA

1er ciclo 2.° ciclo 3er ciclo 1er ciclo 2.° cicloSECUNDARIA

con la calculadora según se considere. En cuanto al porcen-taje se puede variar con el fin de evitar que se lleguen amemorizar los beneficios sobre el precio, también es posibleprescindir del porcentaje cuando la intención sólo sea dar aconocer la nueva moneda.

Por otra parte, el diseño del tablero permite que los alum-nos se familiaricen con los números primos, ya que estosse corresponden con la cadena del Super (dato que no seles facilita en las reglas del juego).

Tanto en Secundaria como en Bachillerato, podemos hacerque analicen el juego lanzando la pregunta «¿Es un juego justo?»

La intención es que el alumno analice distintos aspectosdel juego como:

• distribución de las casillas en el tablero,• precios de los productos de cada tienda,• reglas del juego,• variantes de las reglas,• ...

También se espera que la respuesta pueda venir dada porla simulación en el aula, haciendo referencia a la frecuen-cia relativa.

El juego ha sido diseñado para favorecer el debate, tenien-do en cuenta los aspectos anteriormente mencionados.

Eje transversal de educaciónpara el consumidor

Este juego se puede utilizar como recur-so didáctico para tratar el Eje Transver-sal de Educación para el Consumidor.

El EUROmes nos da pie para poder tra-tar en el aula temas relacionadas con:

• el manejo de la nueva moneda, • la distribución de la paga mensual o

semanal,• los gastos habituales, • las prioridades en el consumo.

En definitiva, crear una conciencia deconsumidor responsable, que se sitúacríticamente ante el consumismo y lapublicidad.

BibliografíaNormativa del Euro.

Real Decreto 1007/1991, de 14 de junio.

GÓNZALEZ F. y M CORIAT (1998): «Matemá-ticas y consumo: el encuentro con eleuro», Suma, n.° 28, 91-96.

Grupo Trinomio:Francisco M. Bou

Lucía PuchaltIES Pere Boîl (Manises)

Marta I. TraperoIES La Morería (Mislata)

Mónica VivóSocietat d’Educació

Matemàtica de la ComunitatValeciana «Al-Khwarizmi»

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EMOS UN GRAN SALTO en el tiempo. En números anteriores narramoslos avatares del problema isoperimétrico en Grecia y en los países islá-micos medievales, respectivamente. Retomemos el enfoque dado porPappus con el que llegó a la conclusión de que, para un área dada, elperímetro del hexágono regular es menor que el del cuadrado o el deltriángulo equilátero, por lo que si el problema se plantea sobre una tese-lación regular del plano, un trozo finito del teselado regular hecho conhexágonos regulares es el que requiere menor perímetro. Bueno, aún nopodemos detenernos porque hemos de hacer la demostración de la pro-posición de Pappus en 3D. El conocido MacLaurin (1698-1746), profesorde Aberdeen y Edimburgo, utilizó el método que a continuación presen-tamos. Lo hizo para poner de manifiesto la capacidad de la Geometríaclásica como fuente de investigación en cualquier momento (convienerecordar que MacLaurin estaba centrado en analizar las posibilidades delos métodos infinitesimales que en su época emergían, lo que demostrósobradamente con su Treatise of Fluxions).

Sea un alveolo cuyo fondo está formado por rombos iguales SABC, SCDEy SEFA, de lado c. Consideremos la sección recta (perpendicular a su eje)que pasa por el vértice A; así obtenemos el hexágono regular AKCLFK’,de lado a, cuyo centro O es la proyección del vértice S (ver Figura 1).

Uniendo K con O, A con C y tomando un plano cualquiera que pase porAC, éste determina por intersección con los planos TABU, UBCV, CSO yASO un rombo AG’CG; por último, llamemos l a la longitud de la aristaAT y d a la de la semidiagonal AP.

Por simetría, podemos considerar sólo la tercera parte de una celdilla ydebemos buscar qué posición del plano AG’CG determina la superficiemínima formada por los trapecios TAGU, UGCV y por el rombo AG’CG.

Como la superficie descrita tiene por área:

(l + GU)·a+2d·GP = (l + l – GK)·a + 2d·GP =

2l·a – a·GK + 2d·GP

95

Isoperímetros:El panal de abejas y Fejes Toth

Grupo Construir las Matemáticas*

TALLERDE

PROBLEMAS

D

38


* Los componentes del Grupo Construir las Matemáticas son Rafael Pérez, IsabelBerenguer, Luis Berenguer, Belén Cobo, M.a Dolores Daza, Francisco Fernández,Miguel Pasadas y Ana M.a Payá.

y el producto 2l·a es constante, la cuestión queda reduci-da a minimizar la expresión:

–a·GK + 2d·GP (*)

Supongamos que B ha sido tomado sobre KU de tal mane-ra que:

Pero siendo d y HP constantes, el problema se reduce abuscar el mínimo para JI. Este mínimo se alcanza cuandoJI = 0; es decir, cuando los puntos J e I se confunden, ocuando G coincide con B.

Así pues, el mínimo buscado corresponde con la hipótesisde que el plano secante pase por el punto B determinadomediante la expresión (**). Esta posición del plano secantees precisamente la que se da en las celdillas de las abejas.

Los ángulos de uno de los rombos del fondo del alveolomiden 109° 28’ 16’’ y 70° 31’ 44’’.

En el triángulo rectángulo BKP se verifica que:

BP2 = BK2 + KP2;

sustituyendo BK por BP·(a/2d), KP por a/2 y simplifican-do, queda:

96

A

B

GJ

P

K

HI

CD

L

ES

O

G'

X

YU

T

N

M

d

a

c

l

Figura 1

BK

BP

a

d=

2(**)

Tomando P como centro y PG como radio, trazamos sobreel plano BKP un arco de circunferencia que corta a PB enJ (prolongando si fuese necesario); determinemos las per-pendiculares KH y GI a PB. La semejanza entre los trián-gulos rectángulos GIB, KHB y BKP y el resultado obteni-do anteriormente (**), escribiremos que:

BI

BG

BH

BK

BK

BP

a

d= = =

2

De esta serie de razones obtenemos que:

BH BI

BK BG

IH

GK

a

d

--

= =2

luego:

a·GK = 2d·IH.

Sustituyendo en la expresión (*), queda

2d·GP - 2d·IH =

2d·(GP – IH) =

2d·(JI + HP).

BPad

d a=

-4 2 2

Como AP = d, se deduce que:

AP

BP

d a

a= -4 2 2

Como d es la mitad del lado AC del triángulo equiláteroinscrito en la circunferencia de radio a, su valor es igual a:

a 3

2

Sustituyendo en el cociente anterior, y simplificando, queda:

AP

BP= 2

Por tanto, la diagonal mayor de uno de los rombos estu-diados coincide con la diagonal de un cuadrado cuyo ladoes la diagonal menor de dicho rombo.

Por otro lado, tan (–ABP) = AP/BP; luego –ABP = 54° 44’ 8’’.En definitiva, –ABP = 109° 28’ 16’’ y –ABP = 70° 31’ 44’’, porser suplementario del primero.

El lado de un rombo es igual al triple de la distancia BK o SO.

Por ser el triángulo BPC rectángulo, se tiene que:

BC BP PCd

da2 2 2

22

2

2

9

8= + = + =

entonces:

BCa= 3 2

4

Análogamente, por ser rectángulo el triángulo BKP:

BK BP KPd a a2 2 2

2 2 2

2 4 8= - = - =

y por lo tanto:

BKa= 2

4

97

Por tanto, BC = 3BK. Además, se observa que la distanciaBK es la cuarta parte del lado de un cuadrado inscrito enla circunferencia de radio a.

Las caras de cada uno de los ángulos poliédricos A, B, C, D, E yF son iguales.

En efecto, tomemos sobre la arista BU un punto N tal queBN = BC. Después, abatimos perpendicularmente BMsobre la recta CN. El triángulo NKC es rectángulo y, tenien-do en cuenta que:

NK = 4BK = a·√2–

CN 2 = NK 2 + KC 2 = 3·a2;

luego:

CN = a·√3–

= AC.

Los triángulos NBC y ABC son iguales por tener los treslados iguales, por lo que:

–NBC = –ABC;

análogamente:

–NBA = –ABC

En consecuencia, también son iguales las caras del ángu-lo poliédrico C.

La demostración es análoga para los demás vértices.

Comparación con una celdilla de fondo plano

El prisma recto que tiene por base el hexágono AKCLFK’yuna celdilla tienen igual volumen, porque considerandosólo un tercio de éste, se observa que las pirámides BAKCy SAOC son iguales. Sin embargo, sus superficies son dife-rentes. Veamos cómo economizan las abejas la superficiede sus celdillas.

Llamando a al lado de la sección recta común a los dostipos de poliedros –prisma hexagonal y alveolo– la longi-tud de la arista es (25/6)a.

Por tanto, las superficies del alveolo y del prisma hexago-nal son, respectivamente:

En todo lo dicho se está admitiendo que las abejas han ati-nado, no se sabe porqué, con el panal perfecto. Sin em-bargo, el húngaro Fejes Tóth ha demostrado en 1964 quehay otro modelo de celdilla que produce un resultado lige-ramente mejor, aunque los errores que se cometen en lafabricación hacen que, de hecho, el modelo de las abejassea el más adecuado. El fondo de esta celdilla consta dedos hexágonos y dos rombos.

a a2 2

250 3 2

250 3 3( ) ( )+ +y

La primera superficie es a la segunda como 50 + 3√2–

es a50 + 3√3

–, luego las abejas optimizan la superficie.

Esta fue la conclusión a la que llegó el físico francés Réaumur(1683-1757), que comunicó su conjetura a Samuel Koening.Éste llegó a la conclusión de que del principio minimal deRéaumur se deducen los ángulos de 120° y de 109° 26’, lo queconcordaba con las mediciones efectuadas sobre panales. Apartir de ahí, han sido muchas las personas que dijeron quelas abejas, al no ser inteligentes, han utilizado ciegamente lasmás elevadas matemáticas por orden y guía divina.

Figura 2 : Celdilla de Fejes Toth

Fejes Tóth realizó la correspondiente publicación de susinvestigaciones al respecto en un artículo llamado Lo quesaben y no saben las abejas en donde aparece el proble-ma isoperimétrico correspondiente a los panales del queaún no sabemos cuál es la solución:

Dados dos números cualesquiera, V y A, hallar un panal deanchura a cuyas celdillas tengan superficies de área mínima yencierren un volumen V.

XI JAEMCanarias

Julio 2003

Día Escolar de las Matemáticas

STE TÍTULO puede responder a contenidos muy diferentes: aquí nos

vamos a referir a su presencia en los medios de comunicación. El vera-

no, con sus vacaciones anexas, es un buen momento para seguir con

mayor profundidad los contenidos de los medios. Y, además, es más fácil

porque paradójicamente en la época que más tiempo se tiene (no sólo

uno mismo sino el conjunto de la sociedad) es cuando menos tiempo,

espacio y esfuerzos dedican los medios a procurarnos informaciones

novedosas. Así, los periódicos se hacen más delgados y los medios

audiovisuales se dedican a reemitir programas con un cierto tufillo añejo

en demasiados casos.

Así pues ‘nuestra’ actualidad vendrá a partir de una selección de artícu-

los e informaciones de periódico de los últimos meses que nos darán pie

a hacer comentarios que esperamos sean de interés para la práctica edu-

cativa diaria. Y ya antes de comenzar el primero sería que en los medios

de comunicación los contenidos matemáticos hay que plantearlos y pre-

sentarlos con más tiento porque la audiencia potencial es toda la socie-

dad y no un auditorio ‘cautivo’ (porque no puede elegir) como el que

hay en las clases. Pero que puesto que cada vez ese auditorio ha pasa-

do a ser menos cautivo igual tenemos que aplicar las técnicas de los

medios para lograr captar su atención y su participación.

Algunos contenidos

En un artículo titulado nada menos que «Las matemáticas absurdas» que

C. Sartwell, profesor de Filosofía de la Universidad de Maryland, publi-

có en El Correo Gallego el 25/8/01 se hacen unas afirmaciones tremendas,

como «Las matemáticas son una suerte de religión. No tienen ninguna

base ni de hechos ni de teorías. Tiene que ver con entidades de las cua-

les nadie tiene una concepción clara» y acaba con otro exabrupto que es

además una llamada a la rebelión: «Los niños son el futuro. Millones de

padres comprometidos deberíamos reunirnos para ver qué matemáticas se

estudian en los colegios. Se lo debemos a los niños, porque exponerlos a

las matemáticas absurdas es un acto de irresponsabilidad». El primer

99

La actualidad matemática

Fernando Corbalán

M A T E SY

M E D I O S

E

38


impulso es achacarlo a desconocimiento y pasar del tema(tanto más cuanto que es alguien de un país lejano). Perono sólo de fuera llegan comentarios de ese tipo. Alguienmás cercano y prestigioso como el catedrático y académi-co Francisco Rico dijo hace poco que: «Las asignaturas téc-nicas, las matemáticas, no hacen ninguna falta: cualquiercalculadora u ordenador te lo da todo hecho». (El País,24/6/96). Y hay otros estudios que señalan que en la socie-dad tecnológica en que estamos cada vez serán necesariasmás matemáticas, pero que si no hay acciones consecuen-tes no serán los profesores de matemáticas quienes lastransmitan sino tecnólogos en paquetes informáticos. Es loque apunta Corinne Hahn, profesora de la Cámara deComercio e Industria de París: «El lugar de la enseñanza delas matemáticas en la formación profesional es cada vezmás reducido y sin embargo todas las profesiones utilizanlas matemáticas. Las necesidades son, pues, importantesaunque no siempre sean aparentes. Efectivamente, estasmatemáticas se encuentran muy a menudo escondidas den-tro de las cajas negras tecnológicas y es tentador deducirde ello que es inútil prever una enseñanza específica, sobretodo teniendo en cuenta el rechazo hacia la asignaturamanifestado por muchos alumnos. Sin embargo, si el futu-ro profesional quiere ser capaz de interpretar correctamen-te los resultados, es imprescindible que tenga un ciertoconocimiento del tipo de algoritmo aplicado por los pro-gramas utilizados» (en «La matemática dentro de los cursosde formación ofrecidos por la Cámara de Comercio eIndustria de París», El currículo de matemáticas en los ini-cios del siglo XX, J.Mª Goñi (ed), Graó, Barcelona, 2000).Por tanto, no es cuestión de echar balones fuera y mirar aotro lado. Los problemas, si no trabajamos bien, puedenvenir no sólo de la caída de la natalidad, sino del conven-cimiento social de nuestra falta de utilidad.

Por supuesto que es un poco tremendista. Pero seguimoscon otro campo vital: el cine. Najwa Nimri, la actriz deLucía y el sexo, la película de Julio Medem, uno de los últi-mos éxitos del cine español, comenta cómo preparó supapel: «La hubiera preparado como un tetris, muy mate-mático. Y eso no es bueno. En una película de Julio, si tepones muy matemática se te escapa el alma, y yo mequedé con el alma y me olvidé de las matemáticas» (ElPaís, 3/8/01). Expresa una idea muy común: las matemá-ticas son contrarias al sentimiento o a la imaginación.Debe ser algo extendido en el mundo del cine, porquetambién el estupendo guionista y director Fernando Leóndecía «Cuando di clases de dirección en la carrera deImagen –donde explicaban las cuatro perogrulladas sobreel eje– hubo un momento en que el cine me parecía unagran mentira, muy próximo a las matemáticas» (El Culturalde El Mundo, 7/11/2000). Y, sin embargo, todos los gran-des matemáticos (y muchos de nosotros) estamos conven-cidos de la necesidad de imaginación, de belleza, de poe-sía incluso para hacer matemáticas. Luego, debe haber

problemas de presentación de las matemáticas, que en el

sistema educativo suelen aparecer como algo cerrado,

acabado, viejo, caduco… ¿No os han preguntado a voso-

tros, «los matemáticos profesionales actuales, qué hacen»?

Pregunta a veces difícil de contestar. Por eso es importan-

te (y no queremos dejar de dar cuenta de ellos) la apari-

ción de algunos estupendos artículos de divulgación mate-

mática, como «Matemáticas sin rostro» de Carlos Andradas

(El cultural de El Mundo de 12/9/01), que dan datos cla-

ros que permiten responder a esa pregunta poniendo de

manifiesto además la importancia de su trabajo.

Sigue su curso una campaña de publicidad que empezó

con «La posibilidad de que te toque la primitiva es del

0,00000000001%» y continuó con otras posibilidades absur-

das como «La posibilidad de que conozcas a un multimi-

llonario es del 0,1%. La de que quiera casarse contigo

0,0%». Que nos muestra varias características del lenguaje

100

matemático y su plasmación en los medios de comunica-ción en general y en la publicidad en particular: presenta-ción de números como algo incontrovertible y sin ambi-güedades; confusión entre probabilidad y posibilidad… Yque nos recuerda otras campañas publicitarias con núme-ros, como las de la ONCE: «Los números te hablan, sólotienes que escucharlos» o la subsiguiente sobre un niñoque soñaba con varias cosas que le harían la vida másagradable, entre las que estaba que las matemáticas desa-parecían (a la que ya nos referimos en un artículo de estasección de SUMA).

Y es que todo lo referido a la estadística tiene un trata-miento peculiar en los medios. Aunque quizás es difícil desuperar la barbaridad sobre el método de tener una mues-tra representativa de Rodolfo Serrano: «Lo mejor para des-pejar las dudas [sobre el porcentaje o el número de para-dos en España] es preguntarse cuántos parados conoce,cuántos tiene usted en su familia. Es una de las estadísti-cas más fiables. Se lo aseguro. Luego pregunte a sus veci-nos y sume» (El País Semanal, 6/2/85). Como todo se hagaasí vamos dados. Ya Paulos pedía en El hombre anuméri-co un «Defensor estadístico de los lectores», que creo quetambién tendría tarea en otros aspectos matemáticos de losmedios de comunicación.

Y para acabar las referencias citaré un tema muy presenteen la información actual para ejemplificar un aspectoimportante de la relación medios/matemáticas: el trata-miento de los grandes números. Para ello nos puede ser-vir el «caso Gescartera»: ¿cuánto son 18 000 millones? ¿Dequé manera podemos hacer más inteligible esa enormecantidad? Pues es aproximadamente 500 pesetas por cadaciudadano español, algo que se entiende un poco mejor.Ciertamente, no ha sido el chasco más gordo de nuestrahistoria financiera reciente: un titular de Heraldo deAragón de enero de 1995 decía «La crisis de Banesto cos-tará 37.500 pts. a cada español». Y, por desgracia, en esecaso no había ningún error.

Comunicar matemáticas

Las matemáticas por tanto aparecen en los medios, a vecesde forma indirecta, a veces con errores e incluso burradasy no siempre de una manera positiva. Y cuando nos gus-taría que aparecieran no siempre lo hace en la forma quenosotros queremos.

Por ejemplo, con motivo de las recientes X JAEM celebra-das en Zaragoza, su presencia en los medios normales seredujo a los de Zaragoza (por la «ley de la proximidad» dela que otro día hablaremos) y entre los de tirada nacionalal ABC (lo cual indica que a pesar de los esfuerzos del Año2000 queda tarea por hacer). Y los temas de interés enellos fueros dos:

1. Las matemáticas son un ‘coco’, ¿qué podemos hacerpara evitarlo?

2. Relaciones de las matemáticas con la cultura (artemudéjar, música,...).

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Y ya solo añadir dos reflexiones para nuestras clases, parala práctica educativa diaria, que conectan con el núcleofundamental de nuestro trabajo, que consiste en comuni-car matemáticas:

• No hay que dar por supuesto que todo interesa. Loque nos debería llevar a esforzarnos en contextualizarlos temas en intereses próximos a los alumnos.

• Habría que afrontar en conjunto las clases con el espí-ritu de hacer intervenciones en los Medios deComunicación que difundan las Matemáticas. Quecapten la atención de los receptores y la mantengan.

Estas dos líneas de actuación nos haría tener presente yreplantearnos en serio esa pregunta fundamental en laenseñanza y que tendemos a «olvidar»: ¿Para qué les sirven(y le van a servir) las matemáticas a los ciudadanos? Y depaso contribuiríamos a que fuera desapareciendo esa per-

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cepción social tan extendida de las matemáticas que reco-ge el chiste de Forges: las matemáticas se enseñan mal pormotivos oscuros.

NTRE LOS PUZZLES que suelen encontrarse en cualquier tienda de jue-gos, existen varios que son especialmente atractivos para los matemáti-cos, pues permiten sacarles rendimiento didáctico en clase. Uno de elloses el Tangram Chino y otro son los Pentominós. Estos últimos están for-mados por todas las piezas planas que se pueden construir con cincocuadrados, unidos entre sí por un lado común y considerando iguales lasreflexiones especulares. Con ellos es posible construir muchas figurasgeométricas. Los Pentominós son un caso particular de los Poliminós,creados en la década de los cincuenta por el profesor norteamericanoSolomón W. Golomb, que son las figuras que pueden construirse unien-do cuadrados por un lado común y cuyo nombre deriva de la pieza mássimple, la formada por dos cuadrados y que es conocida por Dominó.

En la misma época, el propio Golomb hablaba de otro posible puzzlebasado en triángulos equiláteros unidos también por un lado. Como lafigura más elemental posible es la que se obtiene uniendo entre sí dostriángulos equiláteros, que equivale al diamante de la baraja francesa,este tipo de figuras fueron bautizadas a principios de los sesenta por elmatemático escocés T.H. O’Beirne como «poliamantes». Igual que en lospoliminós son iguales una figura y su reflexión en un espejo, es decir, sise levanta, voltea y coincide con la otra. Son estas figuras con las quevamos a jugar en este artículo.

Desarrollo didáctico de la actividad

Dividimos el trabajo con los poliamantes en tres fases: el diseño de laspiezas, su estudio geométrico y la construcción de figuras. Vamos a desa-rrollar cada uno de estos aspectos.

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Hexamantes

Grupo Alquerque*

J U E G O S

E

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* Los componentes del Grupo Alquerque de Sevilla son Juan Antonio HansMartín (C.C. Santa María de los Reyes), José Muñoz Santonja (IESMacarena), Antonio Fernández-Aliseda Redondo (IES Camas), José BlancoGarcía (IES Alcalá del Río) y Josefa M.a Aldana Pérez (C.C. InmaculadoCorazón de María –Portaceli–).

Diseño y construcción de los poliamantes

A los alumnos se les entrega una trama triangular y con

ella se les pide que vayan diseñando los distintos polia-

mantes. Deben comenzar con la única pieza de diamante

que existe, y aumentar el número de triángulos obtenien-

do el triamante, los tetramantes (3), pentamantes (4) y

hexamantes, de los que sólo existen doce posibles piezas,

igual número que los pentominós. No es conveniente con-

tinuar a partir de ahí, pues existen 24 heptamantes (aun-

que si hay algún alumno especialmente dotado puede

afrontar su desarrollo) y la cifra de octamantes se dispara

hasta 66.

A continuación aparecen los doce hexamantes junto con

el nombre que se les suele adjudicar, la mayoría de ellos

elegidos por el matemático O'Beirne y que sirven como

regla mnemotécnica para recordar las formas.

Estudio geométrico de las piezas

Para los primeros puntos de este apartado no es indis-pensable tener construidas las piezas, pero sí tener eldibujo de todas ellas. Aunque nos vamos a referir a loshexamantes, se pueden hacer con cualquier otro nivel.Así, a partir del dibujo de las piezas, se pueden estudiarlas siguientes características matemáticas:

a) Perímetros: Aunque todas las piezas tienen la mismaárea, al estar formadas por seis triángulos equiláteros,el perímetro varía de unas piezas a otras. Por ello,deben sumar el valor de los lados de cada pieza yposteriormente agruparlas según su perímetro. ¿Cuáles la pieza con mayor perímetro?, ¿y con menor?Ordenar las piezas según el número de lados.

b) Simetrías y giros: Estudiar qué hexamantes tienen ejes desimetrías y dibujarlos. Ver qué piezas poseen centro derotación que deje invariante la figura al girarla menos de360° y estudiar los ángulos de rotación en esos casos.

c) Ángulos: Aparte de lo anterior, al dibujar las piezasobservamos que aparecen algunas cóncavas y otrasconvexas, por lo que pueden estudiarse la magnitudde los ángulos agudos y obtusos (que siempre seránmúltiplos de 60°) y clasificar las figuras también poreste concepto.

d) Escalas: Es interesante estudiar cómo afecta el cambiode medidas a las piezas del puzzle, lo que permiterepasar problemas de cálculo. Se pueden construirfiguras de doble área, aunque es más interesante laconstrucción con doble longitud. En este puzzle se vemuy claro que al duplicar la longitud del lado de lapieza, el área se multiplica por 22 = 4, pues todas laspiezas se pueden construir a doble tamaño del ladocon cuatro piezas del propio puzzle. Algunas de ellastienen distintas soluciones. La mayoría de las piezaspermiten también construirlas a triple escala.

e) Relaciones entre poliamantes: Se pueden relacionarunos niveles con otros. Por ejemplo: ¿es posible obte-ner todos los hexamantes con dos triamantes?, ¿es posi-ble descomponer todas las piezas en tres diamantes?

f) Teselaciones: Se puede usar el puzzle para realizarmosaicos y frisos. Por ejemplo, localizar con qué pie-zas se puede recubrir el plano. ¿Existe alguna piezaque lo consiga ella sola?, ¿cuáles se complementanentre sí para lograrlo?

Construcción de figuras

Si consideramos este puzzle como un juego, el aspecto másatractivo es el de realizar figuras, aunque no son fáciles deconseguir salvo quizás las que ya hemos comentado: elegircuatro hexamantes y construir una pieza a doble tamaño.

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Mariposa

Pistola

Zapato

Esfinge

Langosta

Palo de golf

Yate

Corona

Hexágono

Murciélago

Serpiente

Barra

Conviene insistir a los alumnos en que utilicen un méto-do preciso de recurrencia para el diseño de las fichas,partiendo de un determinado escalón, por ejemplo lospentamantes, y añadiendo un nuevo triángulo en todaslas formas posibles para obtener los hexamantes. Si no sequiere trabajar directamente sobre la trama isométrica, sepuede dar a los alumnos varios triángulos equiláterospara que, uniendo sus lados, consigan todas las fichas.

Una vez diseñadas las piezas, el siguiente paso consistiría enconstruirlas utilizando materiales con los que se pueda tra-bajar fácilmente como cartón o acetatos de colores, u otrosde más consistencia como panel, cartón pluma o madera. Esaconsejable que las piezas tengan el mismo color por ambascaras para moverlas y voltearlas libremente.

Una actividad consistiría en construir piezas geométricas,a ser posibles con algún nivel de simetría, utilizando todoso parte de los hexamantes. A continuación presentamosalgunas figuras que se pueden construir con este puzzle.

a) Utilizando sólo algunos hexamantes

La figura más fácil de conseguir es la del romboide, puesexiste mucha variedad de tamaños. Se pueden construirtodos los romboides con un lado de medida tres unidades(donde la unidad es la medida del lado del triángulo base,de los que se utilizan seis para construir los hexamantes)y el otro lado variando desde 4 hasta 12. El número depiezas necesarias para construirlos coincide con el valorde ese último lado.

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También pueden construirse un romboide con 8 piezas yde medidas 4x6 o con 10 piezas, de medida 5x6. Otrasfiguras que se pueden construir con parte de los hexa-mantes son: el hexágono hecho con 9 piezas, y la estre-lla para la que se utilizan 8 piezas.

b) Utilizando todos los hexamantes

Las figuras de la columna adyacente están conseguidascon las doce piezas.

BibliografíaGARDNER, M. (1987): Comunicación extraterrestre, Cátedra,

Madrid.

HANS MARTÍN, J.A. y J. MUÑOZ SANTONJA (1999): «Politrián-gulos», en Actas de las 9ª JAEM, Lugo, 603-606.

ENVÍO DE COLABORACIONES

Revista SUMAICE Universidad de ZaragozaPedro Cerbuna, 12. 50009-ZARAGOZA

PUBLICACIONES DE LA FEDERACIÓN

UANDO RENÉ DESCARTES publicó el Discurso del Método lo acompañóde tres ensayos en los que ponía en práctica lo teorizado sobre cómo apli-car la razón para estudiar el mundo. Uno de esos ensayos convertiría aDescartes en un matemático de primer orden, se trata de La Geometría.

En esta obra, el gran matemático francés hace algo más que poner lasbases de la geometría analítica. Realiza uno de los intentos más felices devisualización en matemáticas. Consigue dotar de formas visibles a lasecuaciones al asociar cada una de ellas, al menos hasta las de grado cua-tro, con curvas y sus soluciones con intersecciones de dichas curvas.

Y de visualizar un buen número de conceptos y aplicaciones matemáticasde Primaria, ESO y Bachillerato trata precisamente el Proyecto Descartes.

El proyecto Descartes es una experiencia del PNTIC (Programa de NuevasTecnologías de la Información y la Comunicación) del MECD que nace en1998, basado en una aplicación de José Luis Abreu, el autor de los pro-gramas Calcula y Cónicas, llamada Descartes y que permite generar mate-riales interactivos de carácter visual y dinámico, compatible con el lengua-je HTML, y por tanto utilizables en Internet, utilizando applet de JAVA.

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El Proyecto Descartes.Visualizar las matemáticas

Antonio Pérez Sanz

RECURSOSEN

INTERNET

C

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El proyecto recoge la experiencia de esas aplicaciones eintroduce como novedad la facilidad para la confección delas escenas, a modo de pizarras electrónicas interactivas, ysu inclusión en páginas web, de forma que una unidaddidáctica será una o más páginas html, con todas las faci-lidades de creación y modificación que permiten los pro-gramas editores que hay en el mercado para confeccionarpáginas de este tipo. Existen en Internet numerososapplets, algunos son interactivos, es decir que permiten alusuario modificar algún parámetro y observar el efectoque se produce en la pantalla, pero lo que caracteriza aDescartes es que, además, es configurable, es decir, quelos usuarios (profesores) pueden programarlo para queaparezcan diferentes elementos y distintos tipos de inte-racción. No hay que olvidar, también, su finalidad educa-tiva. En particular, el applet Descartes tiene una progra-mación muy matemática para que a los profesores de estamateria les resulte fácil su aprendizaje y utilización.

Descartes es un sistema de referencia cartesiano interacti-vo, en el que se pueden configurar y emplear todos loselementos habituales: Origen, ejes, cuadrantes, cuadrícula,puntos, coordenadas, vectores, etc.

Permite representar curvas y gráficas dadas por sus ecua-ciones, tanto en forma explícita como implícita; en parti-cular permite representar las gráficas de todas las funcio-nes que habitualmente se utilizan en la enseñanza secun-daria, tanto en coordenadas cartesianas como en paramé-tricas o polares.

Los elementos que intervienen en la definición de lasecuaciones pueden ser parámetros modificables por elusuario, lo que hace que las gráficas que se muestran cam-bien al modificar esos parámetros.

Dispone también de una poderosa herramienta de cálculoque permite evaluar cualquier expresión matemática yescribir el resultado en la escena. Como ocurre en lasrepresentaciones gráficas, los elementos que intervienenen los cálculos pueden ser parámetros modificables por elusuario, lo que hace que los resultados que se muestrancambien al modificar esos parámetros.

También se pueden representar los elementos geométricoselementales: puntos, segmentos, arcos, etc., lo que permi-te hacer numerosas representaciones geométricas. Comoen los casos anteriores, estos elementos pueden dependerde parámetros, de forma que la representación cambiacuando el usuario los modifica.

Uso de Descartes

Para el alumno: La forma más sencilla de usar Descarteses utilizar las páginas donde se hayan insertado las esce-nas. Es la que utilizarán generalmente los alumnos, o las

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personas que se acerquen por primera vez a esta aplica-ción. No se requiere tener ningún conocimiento previo.Bastará con las indicaciones que se hagan en la propiapágina en la que se habrán señalado las actividades quese deben de realizar.

Para el profesor: En este caso se necesita tener experien-cia con algún editor de páginas web, puede ser un pro-cesador de textos que permita editar este tipo de páginas.El profesor puede editar las páginas que le interesen ymodificar la propuesta de actividades, quitando, corri-giendo o añadiendo actividades; esto no requiere másconocimientos que saber usar un procesador de textos. Siademás ha practicado con las herramientas de configura-ción del nippe puede efectuar con facilidad pequeñoscambios: colores, poner o quitar ecuaciones, puntos, seg-mentos, etc.

En estos últimos tres años un numeroso equipo de profe-sores ha realizado cientos de aplicaciones y desarrolladoun buen número de unidades didácticas que recorren unalto porcentaje del currículo de la ESO y Bachillerato.

Estas aplicaciones están disponibles en el servidor deInternet del PNTIC, actualmente CNICE (Centro Nacionalde Información y Comunicación Educativa). En este ser-vidor se pueden encontrar los siguientes apartados:

• Unidades Didácticas: Da acceso a la relación de Uni-dades Didácticas desarrolladas en el PNTIC con elnippe Descartes que están clasificadas por niveles ycursos; aunque también ofrece un buscador que per-mite acceder a las páginas por su contenido, lo quefacilita la localización de unidades que tratan undeterminado tema.

• Aplicaciones: Esta es la zona destinada a las aplica-ciones desarrolladas por los profesores que quieran

publicar sus trabajos. Está previsto incorporar las uni-dades didácticas que desarrollan los profesores-alum-nos de los cursos. Hay que resaltar la calidad de lostrabajos realizados por los alumnos de los cursos, yaque no se han limitado a hacer el ejercicio final quese les pedía, como aplicación de programación delapplet Descartes, sino que, en muchos, casos han rea-lizado Unidades Didácticas muy completas y con unapresentación excelente.

• Experiencias: Se pretende recoger, en esta zona, lasexperiencias llevadas a cabo por los profesores en elaula, con sus alumnos. En las cursos de Asturias yCastilla y León el curso incluye la experimentacióncon alumnos.

• Buscador: Permite localizar en Descartes las aplica-ciones relacionadas con un tema dado.

• Descarga: Se dan instrucciones para descargar lasUnidades Didácticas y las Aplicaciones en el ordena-dor local, de forma que puedan utilizarse todas lasUnidades Didácticas y las Aplicaciones sin necesidadde estar conectados a la red.

• Formación: Se accede a las páginas del curso de auto-formación, que consta de cinco prácticas y el desa-rrollo de una aplicación. En los momentos en que estéactivo el curso a distancia se incluirá en esta páginaun enlace al curso.

Hasta ahora muchos profesores han rechazado esta herra-mienta por pensar que se necesitaba estar conectado aInternet para poder utilizarla con los alumnos. Está claroque se puede utilizar así, pero desde luego no es lo másaconsejable por las dificultades que la mayoría de los cen-tros encuentran para poder trabajar conectados a la red entiempo real.

Pero no es necesario estar conectado. El profesor puededescargar a los ordenadores locales o a disquetes, aplica-ciones, unidades didácticas enteras y experiencias, modifi-carlas y trabajar con sus alumnos sin necesidad de estarconectado a Internet.

Para poder trabajar de este modo basta con descargar elmotor de Descartes y los ficheros comunes y guardarlos enel disco duro del ordenador.

¿Qué podemos encontrar?

Unidades didácticas

Más de 100 unidades didácticas correspondientes a:

• Primer ciclo de la ESO

• 3.° de ESO

• 4.° de ESO (Opción A)

• 4.° de ESO (Opción B)

• Taller de Matemáticas

• 1.° de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico

• 2.° de Bachillerato de CC.NN. y SS. y Tecnológico

• 1.° de Bachillerato de HH. y CC. SS.

• 2.° de Bachillerato de HH. y CC. SS.

• Otros niveles

En cada curso podemos encontrar entre 10 y 20 unidadesdidácticas desarrolladas completamente, con applets ani-mados, introducción teórica y ejercicios de aplicación.

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Unidad: Complejos. 1.° de Bachilleratode Ciencias de la Naturaleza y la Salud

Unidad Funciones. 4.° de ESO

Aplicaciones

Incluye un catálogo de todas las aplicaciones selecciona-das por bloques temáticos y nivel educativo, autor. La des-carga también se puede realizar desde estos cuadros:

En este apartado se incluyen las experiencias de aula rea-lizadas por profesores y alumnos. Hasta hora sólo se hanincorporado las del IES Atenea de Alcalá de Henares peroconfiamos que pronto comience a crecer.

Conclusiones

Alguien puede pensar que material tan amplio y con unpotencial didáctico tan grande debe ocupar mucho espacioy que las descargas se pueden eternizar. No es el caso. Elmotor que permite visualizar los applets y los archivoscomunes con todos los índices no ocupa más de 200 K yuna unidad didáctica completa está alrededor de los 30 K.Es decir en un simple disquete podemos incorporar unascuantas unidades y aplicaciones. Los tiempos de descargano llegan al minuto.

En fin, un proyecto que pone al alcance de todos los pro-fesores y de sus alumnos un material sumamente intere-sante y que nos permite avanzar en uno de los sueños deRené Descartes: hacer visibles las matemáticas. Porque alos que siguen pensando que la enseñanza de lasMatemáticas debe constituir el paraíso de la abstracción, lesrecuerdo una frase del Príncipe de los Matemáticos, elgenial Gauss:

«La Matemática es la ciencia del ojo»

Dirección de Internet del Proyecto Descartes:

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/index.html

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Aplicación de alumnos de 1.° de Bachilleratodel IES Atenea de Alcalá de Henares

Experiencias

UBIÉRAMOS DESEADO enfocar este artículo desde otra perspectiva. Su

gestación había deambulado por otros derroteros. Es cierto que pensá-

bamos escribir sobre el tremendo paréntesis1 que la historiografía clásica

impone, en el campo de la Matemáticas, al final de la Edad Media his-

pana y al llamado Renacimiento, también en su versión peninsular. De la

matemática «árabe» ya habíamos hablado en artículos anteriores2, pero,

una vez más, los medios de comunicación pretenden adiestrarnos en el

lenguaje del odio, presentándolo bajo el prisma del choque cultural.

Porque, una vez más, los paladines de la justicia y la democracia andan

bombardeando un país musulmán respondiendo con iniquidad a la ini-

quidad. Razones más que suficientes, en nuestro caso, para cultivar la

admiración, para revisar nuestra cultura a la luz de sus aportaciones. Las

de «ellos», que fueron las nuestras, porque formábamos parte integrante

de «esa» comunidad. Máxime cuando uno lee con dolor alegatos tan

detestables –por racistas– y tan tendenciosos –por intencionadamente

desinformados– como el de la señora Fallaci3.

Una continuidad obligada

En aquellos artículos2 habíamos dejado a Hugo de Santalla en Rueda,

enfrascado quizás en la traducción de las obras de al-Mut’aman, y más

tarde a Platón de Tívoli trabajando con Abraham bar-Hiyya. Tres repre-

sentantes sin más de ese noreste hispano que traducía compulsivamente

y exportaba4 cuanto traducía sin dejar huella alguna en suelo ibérico.

Mientras, París luchaba con denuedo contra el averroismo5 y la Uni-

versidad de Toulouse lo usaba como banderín de enganche. Sin embar-

go, ¿debemos pensar que la fuente de la tradición matemática andalusí

se había secado?

Si hemos de hacer caso a la historiografía académica así debió de ser. Si

al eurocentrismo debemos escuchar, sería Fibonacci en 1202 quien reco-

giera la tradición perdida6. Incluso hay quien, haciendo acopio de un dri-

blin asombroso cristaliza en él el resurgir de la ciencia griega que, tras

invernar diez siglos, floreció en sus manos7.

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El Renacimiento (I)Mucho más que un matrimoniode conveniencia

Ángel Ramírez MartínezCarlos Usón Villalba

DESDELA

HISTORIA

H

38


Efectivamente, debemos aceptar el Liber Abacci como unhito de referencia obligada, pero entendido como el resul-tado lógico de una continuidad. Fruto de una inquietud,consecuencia de una poderosa tradición que necesitó,para fructificar en Europa, de la autoestima aportada porlas armas en Tierra Santa y, sobre todo, del camino abo-nado que, desde al-Andalus, fueron dejando de formadirecta8 o indirecta personajes como Juan Hispano, PedroAlfonso, Abraham ben Ezra, Abraham bar Hiyya, Adelardode Bath, Gerardo de Cremona, etc. Un camino que preci-só violentar el escolasticismo neoplatónico dominante ydejó el continente europeo dividido en dos, intelectual-mente hablando. Mientras uno bebía del caudal griegodiversificado por los árabes en multitud de canales, el otrovolvía la vista hacia la tradición latina a través de laInstitutio Arithmetica de Boecio (ª480, 524) que cumplíaya siete siglos y que no pasaba de ser una adaptación dela Introductio Arithmeticae de Nicómaco9 (ª100), empo-brecida todavía más por Casiodoro (475, 570) y SanIsidoro de Sevilla (570, 636). Algo similar a lo que pasabaen filosofía, donde se apostaba por las nociones simplistasdel neoplatonismo10 de autores como Plinio, Casiodoro,Mario Victoriano, Macrobio, Apuleyo o el mismo Boecio.O en astrología con Macrobio y Firmicio Materno.

En el fondo, dos concepciones contrapuestas por su base.Una que aspira a llegar a Dios por la razón en la más fieltradición judeo-cristiana occidental y otra más restringidaque Lo busca, exclusivamente, desde la fe y en la que laciencia no pasa de ser un mal menor mientras no pongaen entredicho la verdad revelada11.

Las Etimologías de San Isidoro son un claro ejemplo. Sóloel tercer libro está dedicado a las matemáticas. No por elinterés que suscitan en sí mismas sino por el que despier-tan en la teología como manifestación de los planes delCreador y, como consecuencia, para entender los librossagrados. Así pues, la trascendencia de este tercer libro noestá en su contenido sino en su difusión, en su obligadapresencia en todo monasterio medieval. Por eso nace DeAritmethicus Propositionibus de Beda el Venerable (ª673,735), como oposición a la obra de Isidoro, para mitigar suinfluencia en las islas británicas12.

Sobre la genealogía del Liber Abacci

Y sin embargo el foco musulmán y el cristiano acabaríanconformando uno sólo. Beda acumula un voluminoso blo-que de problemas de los que hoy asociaríamos a lasmatemáticas recreativas que aparecerán después en lasaritméticas medievales y renacentistas: Mahavira, Fibo-nacci, Paolo del Ábbaco, Chuquet, Tartaglia, la deTreviso… Algunos de ellos habían atravesado la historiahasta Beda y desde él a nuestros días con ligerísimas

modificaciones. Los de aves, a los que D. E. Smith atribu-ye origen chino, pasarían después por las obras de Beda,Mahavira, Alcuino de York o Abu Kamil. Los de cisternas,a los que este autor sitúa en China o India en el momen-to de su nacimiento, todavía hoy ocupan su lugar13 en loslibros de texto.

Jugando por la otra banda, en suelo peninsular, Ibn al-Samh y al-Zaharawi de la escuela del madrileño Maslama,habían escrito, ya en el siglo X, aritméticas prácticas deltipo de las que después llevarían el apelativo «comercia-les»: los al-Muawalat. Sin salir de al-Andalus, el siglo XIrendiría homenaje a al-Mu’taman, ibn-Sayyid y al-Yayyani,sin duda tres de los mejores matemáticos occidentales delmedioevo. Pero de ellos ya hablamos en artículos anterio-res. En este mismo ámbito de las aritméticas mercantiles,el siglo XII14 nos dejaría el Liber Mahameleth. Una obra deautor desconocido que J. Sesiano atribuyó en segunda ins-tancia a la pluma de Juan Hispano. ¿Una traducción qui-zás de alguno de los al-Muawalat de la escuela madrile-ña15? ¿O quizás de alguna otra obra posterior?

El caso es que el Liber Mahameleth presenta ya la típicaestructura de las aritméticas comerciales que populariza-ron los italianos a partir del siglo siguiente. Como ellas,está dividida en dos partes, una teórica y otra práctica. Laprimera hace referencia al sistema de numeración posi-cional y a sus algoritmos asociados16, a la teoría de las pro-porciones17 y a la resolución de ecuaciones de 1.° y 2.°grado. La parte práctica contiene una colección de pro-blemas sobre contrataciones de obreros, compraventa demercancías, cambio de moneda, aleaciones, matemáticarecreativa…

La obra rinde pleitesía a Euclides, como no podía ser deotro modo, al que cita infinidad de veces y del que exigeque sea conocido y estudiado18 antes de enfrentarse alLiber. También cita abundantemente a Abu Kamil, y enmenor grado a Arquímedes y al-Khuwarizmi. E incluso, aNicomaco de Gerasa. Las vías de influencia parecían haberconfluido ya en el siglo XII.

Si hacemos caso a Sesiano el libro debió de tener escasoéxito. En su opinión, la síntesis que ofrecía entre teoría ypráctica era demasiado avanzada para sus consumidoresmás naturales, los comerciantes, y se quedaba demasiadocorta para los especialistas19. A nuestro juicio, esta opiniónconcuerda mal con el hecho de que hayan llegado hastanosotros tres ejemplares.

Tampoco nos parece ni casual ni intrascendente que, deesas tres copias incompletas de que disponemos, una deellas esté en Padua y las otras dos en París. Italia es lacuna de Fibonacci y la madre más prolífica en lo que aengendrar aritméticas comerciales se refiere. Francia alum-braría uno de los libros más interesantes del siglo XIII:Carmen de Algorismo de Alexander de Villadei. Pero esa

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línea de continuidad nos ha llevado sin pretenderlo hastala reedición del texto, del muy loado20, Leonardo de Pisa.Merece la pena analizarlo, aunque sólo sea someramentepor afianzar esta continuidad.

El Liber Abacci

Se estructura en 15 capítulos. El primero lo dedica a las 9cifras significativas y al «zephirum». En los cuatro siguien-tes se interesa por los algoritmos de la multiplicación,suma, resta y división –en este orden–, incluyendo ademáslas pruebas del 7, 9 y 11 así como la descomposición enfactores primos. El sexto y el séptimo tratan de las frac-ciones21. Del ocho al once están dedicados a aplicacionesy cálculos comerciales, reglas de tres simple y compuesta,simple y doble falsa posición, adición de progresiones yde cuadrados de números naturales, sustentados sobreuna colección de problemas relativos a sociedades, cam-bios de moneda, aleaciones o matemática recreativa. Loscapítulos 12 y 13 se ocupan de la solución entera de ecua-ciones indeterminadas de primer grado. El decimocuartoal cálculo de raíces cuadradas y cúbicas, además de ope-raciones con expresiones de la forma a ± √b

–. El último

capítulo contiene una breve exposición de las ecuacionesde segundo grado al estilo de al-Khuwarizmi, problemasde geometría, resolubles a partir del Teorema de Pitágoras,y otros alusivos a fracciones continuas.

Sobre su influjo posterior hay pocas dudas: durante muchotiempo constituyó una referencia obligada para mediaEuropa. Y sin embargo, según G. Beaujouan y G. R. Evans,fueron mucho más populares en ese momento Carmen deAlgorismo (ª1225) del francés Alexander de Villadei y elAlgorismo Vulgaris del inglés Jhon Sacrobosco (ª1200,1256). El primero era una obra en verso que alcanzó grandifusión entre los estudiantes de la época, quienes recita-ban de memoria sus estrofas y consultaban las dudas en laprosa, mucho más clara, de Sacrobosco. Coetáneo de elloses también la obra del alemán Jordanus NemorariusDemostratio de algorismo y Arithmetica decem librisdemostrata.

El siglo se despediría con el primer tratado del ábaco enlengua vulgar que se conoce, Livero del abechio, y la eclo-sión de las llamadas escuelas del ábaco en Italia. Tendríanque pasar todavía cien años para que apareciera la prime-ra aritmética comercial castellana de la que se tiene noti-cia: Libro de Arismética que es dicho Alguarismo. Pero,otros treinta más para que lo hiciera la Aritmética dePamiers que es, a la sazón, la primera de este tipo enFrancia. Le seguirían las obras de Nicolas Chuquet dandopaso ya, a finales de siglo, a las que inauguran el capítulode las aritméticas impresas: la de Treviso por parte italia-na, De maviere omte leeren cyffren na die rechteconsten

algorismi int gheheele ende int ghebroken por parte ale-

mana y la española22 Summa de l’art d’Aritmètica (1482)

de Francesc Sancliment. Siete años después aparecería en

España una segunda copia de Libro de Arismética que es

dicho Alguarismo. Las aritméticas comerciales triunfaban

en toda Europa. La continuidad impone su lógica. Bajo su

sombra, el desierto resulta menos estéril de lo que se pre-

sumía. Al menos no más infecundo que otros.

Los expertos establecen líneas de influencia23 en función

del orden de introducción de las operaciones, los tipos de

«pruebas» que utilizan, la división de los capítulos en siete

o nueve «especias» o «puertas» y a partir del uso de deter-

minados vocablos. Un trabajo encomiable, sin duda, aun-

que la necesidad de introducir tan sutiles argumentos lo

que demuestra es la síntesis de corrientes a la que se había

llegado. El maridaje entre ellas eran algo más que un

matrimonio de conveniencia, era el resultado del apasio-

nado idilio que ligaba las matemáticas a las necesidades

de la época. En este caso las comerciales.

Las otras matemáticas

Aunque no pensábamos recorrer el camino que sigue a

continuación, lo haremos en honor a la señora Fallaci. A

ella dedicamos esta somera revisión de lo que pasaba en

su tan odiada cultura musulmana antes de que el Liber

Abacci inaugurara el siglo XIII.

Hacía ya más de cuatro siglos desde que ibn Hayyam24

utilizara la numeración posicional y el cero, llamados a

ocupar siglos después, como ya hemos visto, los primeros

capítulos de las Aritméticas Comerciales. Un poco más

tarde al-Kindi y al-Khuwarizmi difundirían la aritmética

113

Leonardo de Pisa

hindú. Por esa misma época Wasi ibn-Turk hacía un

tratamiento de la ecuación de segundo grado algo más

profundo que el de al-Khuwarizmi, que a la postre sería la

versión que se popularizó. Algo tuvieron que ver en el

proceso de selección el prestigio inicial y el que le

aportaron las traducciones hispanas.

El impulso de la generalización movía al álgebra que sin

embargo no supo dotarse hasta los siglos XIV y XV de ese

poderoso simbolismo25 que hubiera permitido un empuje

definitivo. Sirvan como ejemplo de ese impulso estos dos

modelos de trabajo. Por un lado al-Khuwarizmi resuelve

una ecuación concreta: x2 + 10x = 39.

Ciertamente su método es extensible a casos similares

pero, la búsqueda de esa generalización para la que

carecen de sentido las particularidades surge medio siglo

después, cuando Tahbit ibn Qurra se plantea resolver una

ecuación cualquiera de ese mismo tipo: x2 + bx = c.

Esa actitud de desafío que admite el trabajo con «cosas»

irreales cuyo valor se desconoce y de las que se admite

que puedan estar sometidas a reglas de cálculo,

caracterizaba el espíritu desbordante de la nueva álgebra.

Muchos siglos después ese poderoso impulso conquistaría

Europa y enervaría a Cavalieri que, como buen geómetra,

se desesperaba:

los algebristas (...) suman, restan, multiplican y dividen las raícesde los números, aun siendo inefables, absurdas y desconocidas,y están convencidos de haber actuado correctamente, siempreque eso sirva para obtener el resultado deseado.

El peso de la tradición griega era demasiado fuerte, laadmiración por sus matemáticas fue tan profunda quecostaría siglos desprenderse de la rémora geométrica.Ese sería durante siglos, aún sin saberlo, el gran retodel oriente islámico, aunque ya, a finales del siglo XI,Omar al-Hayyam (1048, 1131) hubiera escrito (1077)sus Comentarios a las dificultades que se encuentranen las introducciones del Libro de Euclides. El avancefue notable, pero quedaba todavía mucho por hacer.Así, por ejemplo, aunque es allí donde se trata por pri-mera vez la razón A/B como un número y donde sedefine una nueva categoría de números asociados a lasproporciones, se siguen manteniendo reparos acercade la consideración numérica de las magnitudes incon-mensurables.

Lamentablemente no nos ha llegado su Tratado sobre laextracción de raíces aunque en Las dificultades de la arit-mética desarrolla un procedimiento general para el cálcu-lo de una raíz cualquiera del número natural que se desee,haciendo uso de lo que hoy llamamos Binomio deNewton y que, en aquel momento se podría haber llama-do Binomio de al-Karagi (¿ , 1019 al 1029), por ejemplo, si

el culto a la personalidad hubiera estado tan desarrolladocomo ahora26.

Omar al-Hayyam, más famoso en occidente por su supues-ta heterodoxia y su poesía hedonista e iconoclasta27, habíaescrito ya en 1074 Sobre las demostraciones de los problemas

del álgebra y la almucábala: un exhaustivo estudio de lasecuaciones de tercer grado, clasificándolas primero en 19formas canónicas y abordando su solución general comocorte de cónicas. Es evidente que estamos hablando deobras puramente científicas. No es la resolución de proble-mas concretos la que motiva el estudio, ni son las solucio-nes particulares las que centran el interés del autor. Es laabstracción la que domina el tratamiento general de la obra.Es la ambición de síntesis la que la motiva.

Señora Fallaci:

¿Hace falta establecer algún tipo de comparación entre laspreocupaciones científicas de Hayyam y las de los «mate-máticos28» europeos de la época de Fibonacci? ¿No resulta-ría más razonable, siguiendo ese modelo elitista que hadominado la historia de las Matemáticas y que ha excluidode ella casi todo lo que se asocia a la necesidad en lugarde al honor del espíritu humano29, desterrar definitivamen-te a su paisano Leonardo de Pisa, de la historia de las mate-máticas? No era puro, no tenía nivel suficiente para suépoca30, su obra no supuso un paso adelante en la cons-trucción del edificio matemático.

Es evidente, a estas alturas, que lejos de proponer seme-jante barbaridad nuestra propuesta pase por incluir en ellael Liber abacci pero también el Libro de Arismética que es

dicho Alguarismo (por ejemplo) y todas esas «otras» mate-máticas surgidas al amparo de la necesidad de sus usuariospara que nos sirvan, precisamente, para saber más de ellosy menos de ellas. Llevamos tanto tiempo mirándonos nues-tro eurocentrista ombligo matemático desde la perspectivadel formalismo que hemos perdido la necesaria amplitudde miras que requiere la vista para poder ver.

Pero podemos seguir obcecados y apoyarnos en E. Colerus31

para continuar diciendo, como lo hace usted en su artículo,que: «Es innegable que los árabes añadieron relativamentepoco al contenido material de nuestra ciencia» y no seguirleyendo hasta que, en la página 145, diga aquello de: «Puededecirse que Leonardo es el primer matemático de valía de laedad moderna». Se puede ir más allá en esa ceguera argu-mental y afirmar, como lo hace C. B. Boyer32, que: «...en laobra de Leonardo de Pisa, la Europa Occidental alcanzó arivalizar con las restantes civilizaciones en el nivel de susprogresos matemáticos». Al fin y al cabo, si usted no necesi-ta pruebas para matar, ¿por qué va a necesitar extraerlas dela historia para mantener sus afirmaciones?

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BibliografíaCAUNEDO DEL POTRO, B. y R. CÓRDOBA DE LA LLAVE (2000):

El arte del alguarismo, Junta Castilla y León, Salamanca.

Notas1 Más oscuro si cabe tras la polémica del siglo XIX. La que suscitara la pre-

gunta formulada por Masson de Morvilliers en 1782 y que pretendió cerrarRey Pastor en 1913 aprovechando el discurso inaugural de la Universidadde Oviedo.

2 Unos siglos que cambiaron el mundo (I y II). Números 34 y 35 de SUMA.

3 Hacemos referencia al artículo del día 1 de octubre aparecido en el diarioEl Mundo.

4 Tradicional visión de las cosas que niega cualquier poso científico en suelohispano, especialmente si era de «origen» musulmán.

5 Decir los averroismos sería más correcto.

6 En frase de Rey Pastor: «... [a él] corresponde el honor de introducir enEuropa la numeración india».

7 «El primer reflejo de cuanto anteriormente había producido el espíritu occi-dental» E. Colerus, 1972. Breve historia de las Matemáticas. Madrid.Doncel.

8 Tan directa como que J. Lomba considera al Liber Abacci inspirado en elLiber embadorum de Abraham bar Hiyya. Sin despreciar, por supuesto, elcontacto directo o la vía siciliana de influencia.

9 Ya de por sí, un autor que «muestra una competencia matemática muy esca-sa» C. Boyer Hª de la matemática.

10 J. Lomba, 1997. La raíz semítica de lo europeo. Akal. Madrid.

11 «La verdad de las cosas consiste en su rectitud y en su conformidad con elVerbo, que las dice eternamente» R. Grosseteste (1175, 1253).

12 B. Caunedo del Potro, obra citada en la Bibliografía.

13 Destacado hasta hace unos años.

14 El de Abraham ben Ezra, Pedro Alfonso, Abraham bar Hiyya y con ellos ladifusión por Europa.

15 Por esa opción parece inclinarse J. Samsó.

16 Producto, suma, división, resta y raíz cuadrada (en este orden).

17 La sombra griega es alargada.

18 Una exigencia justificada más por la tradición que por la complejidad de suscontenidos.

19 Fruto posiblemente de la disponibilidad negada por la historiografía tradi-cional. J. Lomba estima que, de las obras traducidas, un 68% eran científi-cas, y de ellas el 43% lo fueron de matemáticas.

20 Colerus (obra citada): «el primer matemático de valía de la edad moderna».Hª General de las Ciencias coordinada por R. Taton: «El mayor matemáticode la Edad Media».

21 Hace uso de tres tipos de fracciones: las comunes, las sexagesimales y lasde numerador uno pero no las decimales. Negando así una de las princi-pales ventajas de la numeración posicional.

22 En realidad, la primera edición está escrita en catalán. Unos años más tardese imprimiría la versión castellana.

23 Boecio, ben Ezra, bar Hiyya, Liber Mahameleth. Fibonacci, Sacrobosco...,son algunas de las referencias.

24 Hacia el 776.

25 De la mano de los matemáticos magrebíes y nazaríes.

26 Aunque el culto a la originalidad sea una creación renacentista, al-Biruni (s. X)ya se quejaba de la ausencia de ella en algunos textos de sus contemporáneos.

27 En occidente sus Rubaiyat le han hecho más famoso como poeta que comomatemático.

28 Las comillas son contradictorias con nuestra línea argumental pero la pasiónnos impide evitarlas.

29 Parafraseando a Jacobi.

30 A nivel internacional, claro está.

31 Ibídem, pág. 136

32 Hª de la Matemática. A. U. 1968. Madrid.

115

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MATEMÁTICAS DE BACHILLERATO. VOLUMEN 1Grupo Cero: Eliseo Borrás, M.a Elisa Carrillo, Joaquin D’Opazo, FranciscoHernán, Magda Morata, Luis Puig, Angel Salar, Adela Salvador, Vicente Talens.Obra gráfica: Antón Díez, María Llum y Daniel TorresEdita: Roberto GuillénValencia, 1977Matemáticas de Bachillerato. VMatemáticas de Bachillerato. Volumen 2olumen 2Grupo Cero: Eliseo Borrás, M.a Elisa Carrillo, Joaquin D’Opazo, MiguelGonzález, Daniel Gozalbo, Francisco Hernán, Magda Morata, Luis Puig, AdelaSalvador, Vicente Talens, Pepe CasanyObra gráfica: José Saez, Jorge García, Margarita Baikauli, Alberto Parra, MaríaJosé Cardona, Jorge Sempere, Nieves Barbera y Daniel GilEdita: Roberto GuillénValencia, 1978

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RECENSIONES

Grupo Cero, ¿nostalgia? 38

noviembre 2001

Estamos a mediados de los setenta y un importante grupo de jóvenes recién licenciados nosincorporamos a las tareas docentes en los nuevos bachilleratos. Nuestra formación universitariaestá fuertemente influenciada por el formalismo matemático derivado de la corriente bourbakis-ta. En las escuelas e institutos se enseña la llamada «matemática moderna», la matemática queprioriza las teorías conjuntistas y las estructuras algebraicas, marginando una enseñanza tradi-cional cuyos pilares eran la aritmética y la geometria. El sistema educativo, apoyándose en una

interpretación sesgada de las teorias piagetianas, dice que loscurrículos se organizan de acuerdo con las etapas de desarrollocognitivo de los alumnos. Los libros de texto asumen los plantea-mientos gubernamentales:

el bachillerato debe tender a la organización progresiva racio-nal de la Matemática como ciencia deductiva; la evolución inte-lectual del alumno le ha puesto en condiciones de poder seguirun proceso deductivo racional; se ha seguido la línea estructura-lista, por la simplificación que supone su utilización en el trata-miento de los conceptos matemáticos…

Desde estos posicionamientos, parecen darse todas las condi-ciones para que los profesores enseñen las matemáticas que senecesitan en la nueva sociedad, y para que los alumnos com-prendan y utilicen lo que se enseña. Pero los mundos idílicos per-tenecen a los cuentos de hadas; lo que demostró la realidad delas aulas distaba mucho de las expectativas levantadas: las ideasy conceptos matemáticos se justificaban y presentaban en ordendeductivo, sin que ello significase que el alumno, que no habíadesarrollado la capacidad de abstracción que se le suponia, losorganizase y estructurase cognitivamente de esta forma. Losresultados eran poco alentadores: los profesores constataron lafalta de comprensión de sus alumnos, los alumnos percibieronque sus esfuerzos por entender las nuevas matemáticas resulta-ban baldíos, y la sociedad también constató que las asignaturasde matemáticas alcanzaban altos índices de fracaso escolar.

Es en este contexto que asistimos a la formación de movimientosde profesionales de la educación matemática que apuestan porel abandono de las llamadas «matemáticas modernas», y la«vuelta a lo básico». Así, surgen grupos de renovación pedagó-gica que se organizan en torno a las materias curriculares; en elcaso de las matemáticas se formaron grupos de profesores comoel Equipo Granada-Mats, el Grupo Cero de Valencia, el GrupZero de Barcelona, el Colectivo de Didáctica de las Matemáticasde Sevilla, el Colectivo Rosa Sensat, el Grupo Azarquiel deMadrid, etc. Estos grupos se preocuparon de analizar los conte-nidos de los programas de matemáticas vigentes, de proponernuevos objetivos para la formación matemática de los futuros ciu-dadanos, y de experimentar metodologías alternativas en edu-cación matemática.

El Grupo Cero de Valencia

El inicio de las actividades públicas del Grupo Cero de Valenciapuede situarse en septiembre de 1975 con la publicación delartículo ¿Para qué las matemáticas? que aparece, firmado porseis profesores de bachillerato, en el número 2 de la revistaEscuela 75; revista editada por el Seminario de Pedagogía delColegio Oficial de Doctores y Licenciados de Valencia. Estos pro-fesores toman en consideración, entre otros, los trabajos sobre lanaturaleza de la matemática de Lakatos, la fenomenología delconocimiento matemático de Freudhental, y la resolución de pro-blemas de Polya. Así, construyen una crítica a los currículos dematemáticas del nuevo bachillerato sustentada en cuatro ideasprincipales: se necesitan distintas perspectivas para el aprendi-

118

zaje de las matemáticas, el rigor de lasmatemáticas admite distintos niveles, lasmatemáticas de los alumnos no puedenquedar reducidas al uso de técnicas, y eldestino de la enseñanza de las matemáti-cas no es el de la división social.

Pero estas ideas no eran el resultado exclu-sivo de una reflexión teórica, también esta-ban influidas por los resultados de experi-mentar en el aula materiales y métodos detrabajo alternativos; algunos de los resulta-dos de esta experimentación, así como elanálisis de los mismos, aparecieron publi-cados por el ICE de la Universidad deValencia. A través de títulos como Es posi-ble o Estrategias, conjeturas y demostracio-nes, se pudieron conocer las intencionesque guiaban al Grupo Cero en su propues-ta alternativa a la enseñanza tradicional delas matemáticas: la resolución de proble-mas como motor del aprendizaje, el valoreducativo del trabajo en grupo, la impor-tancia y utidad del razonamiento plausible,la viabilidad de afrontar problemas de dis-tintas disciplinas científicas, la necesidad deintegrar la teoría y la práctica, etc.; y tam-bíen se pudieron observar los modos de tra-bajo y las respuestas que ofrecían los alum-nos a las tareas propuestas: en el aula apa-recen distintas estrategias de resolución deproblemas, las matemáticas informales tam-bién son eficaces para realizar las tareas,los procesos inductivos están más cerca delos alumnos que los procesos deductivos, lasocialización del aprendizaje agiliza labúsqueda de soluciones, etc.

Además, el Grupo Cero desarrolló una am-plia difusión de sus materiales, y de las ideascon las que los construyeron, dictando cursosde escuelas de verano y asistiendo a reunio-nes organizadas por colectivos de profeso-res. En uno de estos cursos, impartido en laEscola d’Estiu que organizaba la Associacióde Mestres Rosa Sensat, surgió, a finales de1975, la idea de que profesores de mate-máticas de bachillerato de Valencia y Barce-lona trabajaran conjuntamente en la elabo-ración de materiales; pero motivos de infra-estructura y organización llevaron a que losprofesores de cada comunidad decidiesenproseguir el trabajo por separado dando lu-gar a la formación del Grup Zero de Barce-lona como colectivo autónomo.

Los resultadoseran poco

alentadores:los profesoresconstataron

la faltade comprensiónde sus alumnos,

los alumnospercibieron que

sus esfuerzospor entenderlas nuevas

matemáticasresultaban

baldíos,y la sociedad

tambiénconstató que

las asignaturasde matemáticas

alcanzabanaltos índices

de fracaso escolar.

Las ideas y materiales del Grupo Cero y delGrup Zero, difundidas en buen número depublicaciones y encuentros con profesores,ayudaron notablemente a apaciguar eldesasosiego de los profesores noveles, y delos no tan noveles; ayudaron a abrir nuevasperspectivas en la educación matemática yreorientaron gran parte de los contenidos ymétodos de los currículos posteriores.

En el año 1978 se publican los dos libros detexto que se reseñan al inicio de este traba-jo. Es la apuesta del Grupo Cero por ofrecera profesores y alumnos una propuestadidáctica global para los dos cursos dematemáticas obligatorias de bachillerato. Esla culminación de los trabajos previos dediseñar, probar y reformular materiales utili-zados en ámbitos locales. Es el momento deatender las demandas de los profesores quequieren llevar a sus alumnos una alternativacompleta a la enseñanza tradicional.

Para muchos profesores la aparición deestos libros resultó impactante, tanto por loscontenidos como por la forma de presentar-los. Transcurridos 25 años de su publica-ción, se pueden considerar como libros detexto clásicos. Puesto que se me ha encar-gado hacer una revisión de estos textos, seme ocurre hacerla en clave de recordar lassensaciones que me produjo.

La primera impresión

Al mirar por primera vez la portada de loslibros Grupo Cero pensé que estaban máspróximos a portadas de comics que a las por-tadas de los libros de texto de matemáticas;éstas solían contener formas geométricas (o,con menor frecuencia, fórmulas matemáticas)sobre fondo monocolor y textos escritos conletras de imprenta «formales»: eran portadaspoco llamativas. Sin embargo, los ilustrado-res de los libros del Grupo Cero introducíanformas humanas, símbolos matemáticos concarácter decorativo, reproducciones de ma-nuscritos de alumnos y textos escritos conletras de imprenta «informales».

Al abrir el libro encontré una maquetaciónmuy alejada de los libros de texto de laépoca, tanto por la estructura como por losrecursos utilizados. Sin entrar en valoracio-nes estéticas, recuerdo algunos aspectosque, por comparación con los libros de textousuales, me resultaron llamativos:

• Cada una de las lecciones se inicia con el enunciado de unbuen número de problemas; además, hay otros problemasintermedios y también al final. Esta distribución se corres-ponde con la finalidad para los que están propuestos: hayproblemas de introducción, para que aparezca algún aspec-to parcial del concepto, y de consolidación de los conceptosabordados en la lección.

• Después de los enunciados de algunos problemas apareceuna letra t, de tamaño destacado y trazo «informal», queindica alguna de las nociones aparecidas al resolver el pro-blema, o alguna consideración sobre las mismas.

• La presentación formal de los conceptos matemáticos sueleaparecer en el epígrafe Resumen, que está escrito con tintade color, o bien en textos incluidos en el «bocadillo» que salede una boca humana. Este epígrafe no encabeza las leccio-nes, como en los libros tradicionales, sino que se sitúa des-pués de los enunciados de un buen número de problemas.

• Aparecen, bajo el epígrafe Aclaración y con letra de color,comentarios sobre algún concepto para delimitar sus inter-pretaciones; también se incluyen reflexiones sobre alguna delas técnicas que han surgido, resúmenes de las ideas quehan aparecido, finalidad de las tareas que se van a propo-ner o posibles interpretaciones erróneas.

• Con el enunciado de Problemas de manipulación se propo-nen ejercicios para que los alumnos se adiestren en el usocorrecto de las técnicas. Esta disposición no concuerda conel habitual listado de problemas y ejercicios que se entre-mezclan, en los textos habituales, al final de cada lección.

• En el desarrollo de las lecciones se encuentran ilustracionesvariadas que aportan información sobre algún problema, ofre-cen alguna ayuda o, simplemente, gratifican la vista. No erahabitual encontrar en los libros tradicionales ilustraciones quepudiesen distraer la supuesta seriedad de las matemáticas.

• El tipo de la letra utilizada en los textos no es uniforme, ya quese entremezcla la letra de imprenta tradicional, con el de lasletras de tipo manual, y con la de tipo «informalç. Resultabaextraño esta licencia para quienes estábamos habituados auna presentación convencional de los textos matemáticos.

Las intenciones

En el prólogo del libro del primer volumen se ponen de mani-fiesto las intenciones educativas del Grupo Cero sobre la educa-ción matemática en los dos primeros cursos de bachillerato. Allífiguraban ideas importantes para reflexionar sobre la prácticaeducativa, y para entender mejor la secuenciación y organiza-ción de los distintos bloques de contenido de los libros.

• Para preparar a los jóvenes para lo desconocido, el apren-dizaje debe primar sobre la enseñanza.

Se postulaba un cambio respecto de una práctica educativaen la que el profesor se situaba como el actor principal de la

Para muchosprofesores

la apariciónde estos libros

resultóimpactante,

tanto porlos contenidos

como por la formade presentarlos.Transcurridos

25 añosde su publicación,

se puedenconsiderarcomo libros

de textoclásicos.

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clase; la propuesta era la de colocar a los alumnos como elprincipal foco de interés. Y las razones parecían evidentes:la sociedad en que vivíamos estaba sometida a cambios ver-tiginosos en todos sus ámbitos y, por tanto, la formaciónmatemática de los futuros ciudadanos debía potenciar eldesarrollo de hábitos y capacidades.

Este posicionamiento obligaba a modificar los roles tradiciona-les que se jugaban en el aula, de modo que debía ser el alum-no quien realizase las actividades propuestas, aprendiese desdesu propia experiencia, indagase en la búsqueda de significa-dos, planificase la resolución de los problemas, etc. Por el con-tario, el papel del profesor pasaba a ser el de quien guiase elaprendizaje, estimulase al alumno para el trabajo, sugiriese dis-tintos enfoques para los nuevos conocimientos, ofreciese distin-tas propuestas para buscar regularidades y formular conjeturas,animase a los alumnos que se bloqueaban en el camino...

• En una clase activa de matemáticas la tarea primordial eshacer matemáticas, es decir, matematizar.

Desde nuestra formación univeritaria entendíamos que en lasenseñanzas de bachillerato había que potenciar el métododeductivo, que debíamos apostar por una práctica educati-va basada en la presentación formal de las matemáticas.Pero la propuesta iba en el sentido de Freudhental: los alum-nos tienen que matematizar situaciones de la vida real, peromatematizar las matemáticas debe situarse al final del pro-ceso, cuando los alumnos estén en disposición de hacerloporque tienen un buen conocimiento de las matemáticas.

En consecuencia, la propuesta del Grupo Cero era una lla-mada para que los profesores apostásemos por invertir la pre-sentación habitual de los conceptos; se sugería que en vez deempezar por las definiciones se comenzase resolviendo pro-blemas, y que fuesen las ideas surgidas de esta actividad lasque permitiesen la formalización de los conceptos.

• Lo que queremos es estudiar los mismos fenómenos que estu-dian las ciencias sin dejar de señalar la peculiaridad del tra-tamiento matemático.

Es cierto que había una tendencia a destacar el carácter ins-trumental de las matemáticas, tanto en lo que concierne a laformación del individuo, como en lo que se refiere a su carác-ter de ciencia auxiliar de otras disciplinas científicas. Peroeste carácter de ciencia auxiliar era más teórico que real: losproblemas que se resolvían habitualmente en las clases dematemáticas no afectaban a otras disciplinas científicas.

La aportación del Grupo Cero fue la de poner de manifies-to, ante los profesores y los estudiantes de bachillerato, quees posible y deseable una enseñanza integral de las mate-máticas, una enseñanza en la que la teoría y la práctica seintegrasen al resolver problemas del mundo real. Por tanto,había que modificar el tipo de problemas que se proponíana los alumnos, formulando enunciados provinientes de otrasmuchas disciplinas científicas como la física, la biología, laeconomía, la medicina, etc.

• Proponer problemas que muestren alalumno, desde ángulos diversos, el tipode cuestiones que conducen a ver lanecesidad de una aproximación unitaria.

La enseñanza de la matemática arrastra-ba una dilatada práctica en la que losconceptos se mostraban en su formula-ción actual, y nuestra formación universi-taria había incidido todavía más en estapráctica. No es extraño, por tanto, quelos profesores noveles nos aferrásemos ala forma tradicional de enseñanza.

Ante esta situación, el Grupo Cero nosrecordó que los conceptos matemáticosno surgieron tal y como se presentaban alos alumnos; su génesis se sitúa en la reso-lución de situaciones problemáticas realesque se plantearon en momentos históricosconcretos, así como en un largo periodode aproximaciones parciales, de supera-ción de errores, de generalización, deabstracción, de precisión terminológica,etc. Y también nos recordaron que la sim-ple presentación de un concepto matemá-tico no garantiza que los alumnos lo cap-ten en toda su complejidad, que hay queabordar el concepto desde distintas pers-pectivas y que hay que admitir las inter-pretaciones incompletas que, en el proce-so de aprehensión de los conceptos, pue-dan hacer los alumnos.

El contenido

Primer Curso

Los temas que se abordan en este libro losagrupan los autores en tres bloques: númeroreal, funciones y azar; además, hay un fas-cículo en el que aparece el Apéndice I dedi-cado a ecuaciones, inecuaciones y progra-mación lineal, y un Apéndice II dedicado alos números complejos.

1. Número real

En una primera parte, Introducción, se pre-senta un plano de la ciudad de Valencia dibu-jado en papel milimetrado, y sobre el que sepiden respuestas numéricas a cuestiones rela-cionadas con la medida. Se persigue, entreotros objetivos, que los alumnos hagan unareflexión sobre el uso de expresiones decima-les aproximadas de los números √2 y π, asícomo sobre la imprecisión de la medida.

Esteposicionamiento

obligabaa modificar

los rolestradicionales

que se jugabanen el aula,de modo

que debía de serel alumno

quien realizaselas actividades

propuestas,aprendiese

desde su propiaexperiencia,

indagaseen la búsquedade significados,

planificasela resolución

de los problemas,etc.

120

La segunda parte se dedica a refrescar no-ciones conocidas sobre los números racio-nales incidiendo en la idea de equivalenciade fracciones y en la conexión entre las nota-ciones fraccionaria y decimal; concluyendocon una presentación de los números irracio-nales partiendo de la escritura de expresio-nes decimales infinitas y no periódicas,dejando la prueba de la irracional de √2 acriterio del profesor.

Finalmente, se presentan los números reales,tercera parte, como la unión de los númerosracionales e irracionales. De esta manera anteel alumno aparece el número real fuertementevinculado a la medida de magnitudes conti-nuas y a simbolización del resultado de lamedida con expresiones decimales, dejandoal margen toda referencia a las estructurasalgebraicas, así como las técnicas operatoriascon radicales. Ahora bien, al focalizar estapresentación en la medida se obstaculiza laaparición de los números negativos, y dehecho los autores soslayan las referenciastanto a su origen como a su significado; sim-plemente se limitan a utilizarlos como entessupuestamente conocidos por los alumnos.

La última parte del tema, Estimación, se justi-fica por la necesidad de resolver problemasreales de medida en los que hay que traba-jar con números decimales, con expresionesdecimales con un número finito de cifras. Porello se abordan cuestiones referidas a las téc-nicas de redondeo y a las cotas de error.

2. Funciones

Comienza con ejemplos y ejercicios intro-ductorios cuyo objetivo es el de presentarcorrespondencias entre conjuntos numéricosen forma gráfica, como tablas de datos oexpresadas mediante relaciones simbólicascon fórmulas matemáticas. Se utilizan pro-blemas enunciados en contextos que corres-ponden a distintas disciplinas, como medici-na, economía, física, etc.

Después aparecen las funciones reales devariable real como casos particulares de lascorrespondencias entre conjuntos numéri-cos; se presentan mediante propuestas deinterpretación de gráficas y de representa-ciones gráficas de fenómenos de naturalezavariada. Las funciones que aparecen, sinque se haga mención alguna, son continuaso con discontinuidades de salto finito.

Una vez presentadas las ideas generales sobre las funciones, losautores inician el estudio de casos particulares, profundizandoen el estudio de diversos tipos de funciones:

Las funciones cuya gráfica es una recta, focalizando el estudioen los conceptos de pendiente y ordenada en el origen.

Las sucesiones aritméticas como caso particular de las funcionescuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Funciones cuya gráfica no es una recta, funciones polinómicas,que se presentan como funciones adecuadas para ajustar lasgráficas que proceden de representar fenómenos reales; en esteestudio se realiza una revisión de las técnicas operatorias conpolinomios y se hace un análisis pormenorizado de la funciónpolinómica de segundo grado.

La incapacidad de las funciones estudiadas para resolver la rela-ción entre presión y volumen obliga a introducir la función deproporcionalidad inversa; de forma similar, al estudiar la divisióncelular mediante el número de bacterias en el transcurso del tiem-po lleva al estudio de la función exponencial.

A partir del ejemplo del crecimiento de las bacterias de una colo-nia, se presentan las progresiones geométricas como funcionescuyo dominio es el conjunto de los números naturales, y comosucesiones que tienen características de las progresiones aritmé-ticas previamente estudiadas.

El bloque termina con el estudio de las funciones circulares, aun-que su posición en el libro parece indicar que su importanciacurricular es secundaria. Estas funciones se introducen con unanálisis de la catástrofe del barco «Urquiola», análisis centradoen los problemas que surgen al fijar la posición de un barcosobre una carta marina.

Hay aspectos de este bloque, como puede ser la presencia de lasprogresiones aritméticas y geométricas, que podrian cuestionar lacoherencia del mismo; pero hay otros aspectos, como la presenta-ción de las funciones y la variedad y calidad de los problemas que,en su momento, resultaron de gran interés y utilidad, y que han ejer-cido una notable influencia en los libros de texto posteriores.

3. El azar

Los ejemplos introductorios sirven para que el alumno se aproxi-me a las ideas que se trabajan en este bloque, y para que el pro-fesor conozca el grado de conocimiento de sus alumnos sobre lautilización correcta de la conjunción y disyunción inclusiva, elcálculo de porcentajes y el empleo de diagramas de árbol.

El tema de la probabilidad se presenta con el estudio de sucesoselementales asociados a los juegos de azar; posteriormente, eltrabajo con tablas de contingencia y diagramas de árbol permi-te presentar la probabilidad condicionada y la resolución de pro-blemas de naturaleza muy variada.

La combinatoria se introduce para simplificar el cálculo de pro-babilidades, justificándose por la economía de trabajo que supo-ne obtener con rapidez el número de grupos que cumplen deter-minada característica.

La incapacidadde las funciones

estudiadaspara resolverla relación

entre presióny volumenobliga a

introducirla función de

proporcionalidadinversa…

A partirdel ejemplo

del crecimientode las bacteriasde una colonia,

se presentanlas progresionesgeométricas…

121

El bloque termina con el estudio de las variables aleatorias, de lasfunciones de frecuencia y de probabilidad, y de las medidas decentralización y dispersión, incluyendo un tratamiento elementalde la esperanza matemática y de las curvas de distribución.

Resulta de gran interés la aportación del Grupo Cero al verte-brar, desde planteamientos probabilísticos, la combinatoria y laestadística; además, hay que reconocer el planteamiento nove-doso de introducir las funciones de frecuencia y de probabilidaden el estudio de las medidas de centralización y dispersión.

Apéndices

En un fascículo anexo al libro aparecen dos temas: en elApéndice I se abordan las ecuaciones, inecuaciones y sistemas,y en el Apéndice II se abordan los números complejos.

El hecho de que aparezcan estos dos temas al margen de los res-tantes induce a interpretar el sentir de los autores de que se tratade temas de interés menor, bien sea porque prima el aspecto pro-cedimental sobre el conceptual, en el caso del Apéndice I, o biensea porque el contenido del tema no es pertinente en la forma-ción matemática de los alumnos de bachillerato, Apéndice II. Esmás, el tratamiento que se da a estos dos temas se correspondecon la presentación tradicional, no parece que corresponda a losmismos autores de los temas anteriores.

Segundo Curso

En este libro se presentan siete bloques temáticos, uno dedicadoa la geometria vectorial y los seis restantes corresponden a dis-tintos temas de análisis matemático.

1. Gráficas

Se comienza por recordar las tres principales formas de presen-tar una función: como tabla de valores, como una relación sim-bólica y como una gráfica. Seguidamente se muestran gráficasde funciones de distintos fenómenos para que las interpreten losalumnos. En la tercera parte de este bloque se proponen proble-mas que permiten estudiar gráficas de características diferencia-das: rectas, parábolas, cúbicas, cuárticas, en escalera, de pro-porcionalidad inversa y periódicas.

Resulta admirable el proceso de búsqueda y selección de los pro-blemas que se enuncian en este bloque; ninguno de los distintostipos de gráficas se presenta descontextualizado, siempre hayproblemas, relacionados con disciplinas científicas de distintanaturaleza, que ilustren al alumno de las características de lasgráficas que se quieren estudiar.

2. Derivadas

El estudio de la gráfica que representa la trayectoria de un móvilservirá para introducir el concepto de tasa de variación de unafunción en un intervalo. Partiendo de los ejemplos y problemaspropuestos en el apartado anterior, se introducen las nociones develocidad instantánea y pendiente, lo que permite alcanzar elconcepto de función derivada y, posteriormente, el cálculo dederivadas. El bloque termina con el estudio del crecimiento ydecrecimiento y el cálculo de máximos y mínimos.

A lo largo del tema se observa el papel prin-cipal que, en el proceso de introducción delos conceptos matemáticos, los autores con-ceden a los problemas; en efecto, siemprehay una situación problemática que aproxi-ma a la noción matemática que se pretendeenseñar, y sólo después de resolverla hacensu aparición las definiciones y resultadosexpresados en el lenguaje formal.

3. Estudio sistemático de las gráficas

La evidencia de que las representacionesgráficas a partir de tablas de datos resultanlaboriosas, justifica la conveniencia dehacer un estudio sistemático de los aspectosque más influyen en la representación defunciones: intersección con los ejes coorde-nados, asíntotas verticales, comportamientode la función para valores de x alejados decero, dominio e imagen, simetrías y creci-miento y decrecimiento.

Es de destacar el esfuerzo de los autores poranticipar los conceptos a las técnicas, así,por ejemplo, los alumnos tienen que dibujarfiguras simétricas respecto a alguno de losejes, determinar por dónde hay que doblaruna gráfica para que la mitad de una curvacoincida con la otra mitad, calcular los valo-res de la función para pares de valores dela variable simétricos y, finalmente, caracte-rizar las funciones simétricas.

4. Vectores

Las trayectorias de objetos situados en lapantalla del radar o en en un mapa permi-ten introducir la idea de representar los des-plazamientos mediante flechas orientadas.El mismo ejemplo les permite introducir laidea de traslación, noción que refuerzancon el estudio de los motivos que, mediantetraslaciones, generan azulejos y otros moti-vos arquitectónicos; después se incide másen este aspecto dedicando una lección alestudio de los mosaicos y a las redes crista-linas. Los vectores aparecen haciendo abs-tracción de las características comunes atodas las situaciones en las que se utilizabanflechas, se presentan como el conjunto detodas las flechas equivalentes a una dada.Las relaciones y operaciones con vectores sejustifican desde la resolución de problemassobre velocidades y fuerzas.

En el bloque se incluye un estudio formali-zado de los espacios vectoriales y de la geo-

…siempre hayuna situaciónproblemáticaque aproximaa la nociónmatemática

que se pretendeenseñar,

y sólo despuésde resolverla

hacensu aparición

las definicionesy resultadosexpresados

en el lenguajeformal.

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metría descriptiva. La presumible aridez deestos temas queda suavizada por la habili-dad de los autores de situar los vectoressobre figuras geométricas, lo que permite alalumno hacer abstracciones desde la visua-lización sobre objetos familiares.

5. Sucesiones y límites

Ejemplos sobre la reproducción de algas o losresultados del lanzamiento de una moneda sir-ven para introducir la idea de sucesión denúmeros reales. Un completo trabajo con pro-blemas de naturaleza muy variada, permitenalcanzar la definición de límite de sucesionesde números reales y profundizar en su signifi-cado desde una perspectiva más formal.

Frente a la práctica habitual de primar elestudio de las técnicas de cálculo de límites,en la propuesta del Grupo Cero se observauna clara intencionalidad por centrar el tra-bajo en los conceptos de sucesión y límitede una sucesión, así como en destacar lapresencia y utilidad de estas nociones enaspectos de la vida real.

6. Las funciones exponencial y logarítmica

Como consecuencia del estudio de la repro-ducción celular surge la idea de función expo-nencial, así como el estudio de sus propieda-des. La función logarítmica surge, en el mismoejemplo, al estudiar el significado y propieda-des de la función inversa de la exponencial.

Los ejercicios de consolidación destacan porla temática que abordan, como la desinte-gración nuclear, la ley de Malthus o la velo-cidad de una reacción química; constituyenuna clara muestra de las intenciones delGrupo Cero de potenciar el tratamiento in-terdisciplinar de la matemática.

7. Integrales

Los problemas del cálculo de áreas limitadaspor gráficas de funciones constituye el nú-cleo introductorio de este bloque, y la sumade las áreas de rectángulos de igual basepermite introducir una estimación del áreabuscada. La integral definida se obtiene conel paso al límite de las sumas de las áreas,finalizando el bloque con el teorema funda-mental del cálculo integral.

Este bloque puede considerarse como unejemplo del quehacer educativo del GrupoCero, de cómo se pueden acercar los alum-nos a temas complejos buscando la respues-

ta a situaciones problemáticas conocidas y de cómo se puedelograr una primera toma de contacto con un tópico matemáticosin necesidad de agotarlo.

A modo de síntesis

Con la edición de éstos, y de otros libros, el Grupo Cero puso adisposición de los profesores y alumnos de bachillerato el mate-rial, que consideraron más adecuado, para que se produjesencambios sustanciales en los métodos y fines de la educación mate-mática de la época. Influyeron notablemente en un cambio deactitud del profesorado de matemáticas, que se tradujo en unanueva práctica educativa caracterizada por valorar la iniciativade los alumnos, por fomentar el trabajo cooperativo, por integrarla teoría y la práctica y por potenciar la interdisciplinariedad.

Ahora bien, si hubiese que destacar algún aspecto de las apor-taciones del Grupo Cero a la educación matemáticas, ese sería,sin duda, el de haber impulsado en España la corriente denomi-nada Resolución de Problemas. Los dos libros que hemos comen-tado son una buena muestra del interés y viabilidad de situar laresolución de problemas en el centro de la actividad matemáti-ca; en ellos se puede observar cómo usar los problemas en laconstrucción del conocimiento matemático y cómo utilizarlospara evidenciar la utilidad de las matemáticas en la vida real.

Jose María Gairín

GEUP. UN PROGRAMA DEGEOMETRÍA INTERACTIVORamón Álvarez GalvánDescargas: http://www.geup.netDirección electrónica del autor:[email protected]

GEUP es fundamentalmente un programa para aprender y hacerGeometría a través de las posibilidades que nos ofrece el ordena-dor, de manera interactiva y visual. Básicamente permite la reali-zación de construcciones geométricas que cumplirán con los pos-tulados de la Geometría Euclídea Plana (dentro de los límitesimpuestos por la precisión limitada del cálculo en coma flotante,presente en todos los programas de Geometría dinámica actuales).

Su característica fundamental es que los elementos que se creanen un proceso constructivo pueden depender de otros elementospreviamente creados, estableciéndose entre ellos relaciones mate-máticas que conseguimos a través de las distintas herramientas deconstrucción; además, algunos de los elementos pueden ser modi-ficados después de ser construidos sin que varíen las relacionesde dependencia entre todos los elementos que componen la cons-trucción: al modificar un elemento en concreto la construcción sereformará, manteniéndose estas relaciones. De esta manera, conGEUP podemos estudiar gráficamente un problema general y

Influyeronnotablementeen un cambio

de actituddel profesorado

de matemáticas…

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obtener dinámicamente muchos casos particulares (Geometríadinámica), pudiendo comprobar propiedades geométricas demanera precisa y descubrir nuevas propiedades a través de laexploración, experimentando interactiva y visualmente.

Además, la capacidad de poder definir elementos tales como medidas delongitud y distancia, de áreas, de ángulos y las coordenadas de puntos,ecuaciones de rectas y circunferencias respecto a un sistema de coordena-das, así como la posibilidad de definir funciones de los elementos numéri-cos (comportándose estas funciones como un elemento más en el procesoconstructivo), pudiendo, además, representarlas en unos ejes de coorde-nadas, nos permite abordar aspectos de Geometría analítica así como estu-diar funciones que se obtienen de construcciones geométricas.

Otras características de GEUP son:

• Su gran velocidad de cálculo nos permite reformar rápidamen-te la construcción, facilitando la visualización de propiedades.

• Representa lugares geométricos.• Implementa las transformaciones geométricas simetría central

y axial, traslación, giro, homotecia e inversión.• Es una herramienta de gran utilidad en el estudio de la

Trigonometría.• Es posible definir cualquier número de sistemas de coorde-

nadas simultáneamente.• Trabaja con coordenadas rectangulares y polares.• Utilizando la calculadora incorporada permite obtener fun-

ciones de medidas realizadas sobre la construcción y utilizarlos valores de la función en cualquier proceso constructivo ocomo variable de una nueva función.

• Representa gráficamente funciones tanto en coordenadasrectangulares como polares (puede representar n funcionesen cada sistema de ejes).

• Es posible abreviar el proceso de construcción utilizando macros.• Es más que un programa de geometría: posee versatilidad

para abordar problemas de distintas áreas de las matemáticas(destacando el análisis y el estudio de funciones) y también enotros campos, como por ejemplo, la simulación de mecanis-mos, la óptica geométrica, el dibujo y diseño gráfico, etc.

• En cualquier momento podemos modificar la apariencia de cual-quier elemento de la construcción, cambiar su color y forma, asícomo añadirle una etiqueta o nombre, o incluir textos.

• Capacidad de impresión de cualquier parte de la construcción.• El programa es totalmente configurable, incluyendo soporte

multilenguaje.

Todo esto junto con su facilidad de uso lo convierten en unaherramienta versátil y muy útil en la enseñanza y práctica de lasMatemáticas a cualquier nivel.

GEUP se ha diseñado con la idea de quesea un programa en continua evolución,intentando ampliar su funcionalidad hastadonde sea posible; en esta primera versiónse han implementado las funciones básicaspara empezar a trabajar; con el uso de esteprograma no sólo se obtiene una poderosaherramienta para el aprendizaje y la crea-ción en Matemáticas, también se contribuyeal desarrollo de futuras versiones.

Luis Balbuena

CD del Año Mundial de las Matemáticas

La página web del Comité Españolpara el Año Mundial de las Mate-máticas CEAMM2000 <http://dulcinea. uc3m. es/ceamm/> fue

recogiendo las actividades más importantesque se celebraron durante ese año, asícomo enlaces a las páginas de los ComitésLocales y a otros sitios de interés. Ofreciótodos los documentos relacionados con elAMM2000, desde las declaraciones de laUNESCO y la IMU anunciando el evento,los apoyos parlamentarios habidos en elCongreso, Senado y en las distintas CC.AA,hasta el acta de cierre y las conclusionesmás importantes que la comunidad matemá-tica española ha sacado de esteAMM2000. Además de este aspecto testi-monial, casi ya histórico, la web delCEAMM2000 es una importante fuente deideas y recursos –listados de vídeos, de pelí-culas, de fotos, de exposiciones matemáti-cas…– cuya validez va más allá del año2000. Por tanto, y dado que la página serácerrada en breve, el CEAMM2000 ha deci-dido volcarla en un CD, en el que se haincluido también el contenido de la mayorparte de las páginas de los Comités Locales.

Hay al menos un ejemplar de este CDROMen todas las Sociedades, aunque se está estu-diando la mejor manera de ponerlo a la ventapara todas las personas que estén interesadasen guardar este recuerdo del año 2000.

María Jesús Luelmo

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IDEAS DEL INFINITOInvestigación y CienciaTemas n.° 23Prensa Científica, S.A.Barcelona 2001ISSN: 1135-566296 páginas

Dentro de la colección de númerosmonográficos Temas que edita larevista Investigación y Ciencia (edi-ción española de la revista ScientificAmerican) el número 23 correspondiente alprimer trimestre del 2001, está dedicado alestudio del tema del Infinito desde el punto devista de las matemáticas, la lógica, la geo-metría y la pintura.

Aunque sea innecesario señalar el interés detodos y cada uno de los 16 artículos de losque consta este número monográfico, ycomo un breve comentario, me atrevo aseñalar los siguientes:

El infinito matemático (Javier de Lorenzo) enel que se nos muestra al evolución desde elinfinito potencial que aparece, por ejemplo,en los Elementos de Euclides al establecer que«hay más números primos que cualquier can-tidad propuesta de números primos» hasta elinfinito actual que aparece al admitir la exis-tencia de los cardinales transfinitos como ¿0.

Thabit ibn Qurra y el infinito numérico (TonyLévy) donde se nos presenta al matemáticoárabe Thabit ibn Qurra, fallecido en el 901,que admite que hay un infinito más grandeque otro (en concreto el de los númerospares y los enteros) con el cual refuta elargumento, hasta entonces aceptado, deque no hay un infinito más grande que otroderivado del principio de que el todo esnecesariamente más grande que una parte.

El carácter paradójico del infinito (Jean-PaulDelahaye) en él se nos van presentado lasdiversas paradojas que van surgiendo alenfrentarse al estudio del infinito. La para-doja del Hotel de Hilbert, hotel que nunca sellena aunque esté lleno. La paradoja de lareflexividad por la que podemos poner encorrespondencia los puntos de un segmentoy los de una semirrecta infinita, que sirve aCantor para poner en correspondencia lospuntos de una superficie plana con los de

una curva cualquiera. La paradoja de Russell sobre los conjuntosque no son miembros de sí mismo. La paradoja de Banach-Tarskien la que se demuestra que una esfera puede ser descompuestaen un número finito de piezas, las cuales por desplazamiento sindeformación, permiten recomponer dos esferas idénticas a laesfera de partida…

Eusebio Rodríguez

EULER. EL MAESTRO DE TODOS LOS MATEMÁTICOS

William DunhamEd. Nivola libros y ediciones S.L.

Madrid, 2000ISBN: 84-9079-6-X

280 páginas

La siempre interersante colección La mate-mática en sus personajes, de editorial Nivo-la, dedica su sexto número a la vida y obrade una de los más impresionantes genios

que ha dado la humanidad y no sólo el pensamiento matemáti-co: Leonhard Euler. Sin lugar a dudas, se trata del matemáticomás prolífico de la historia que publicó más de 800 libros y tra-bajos, pero también uno de los más influyentes tanto entre suscontemporáneos como en las generaciones que le siguieron.

Para este título el autor elegido no es español, como en el restode la serie, sino que se ha recurrido a una obra ya publicada enlengua inglesa por la Mathematical Association of America. Desu autor, William Dunham ya han aparecido otras obras en cas-tellano —Viaje a través de los genios y El universo de las mate-máticas— que le acreditan como un gran divulgador. En el libroque nos ocupa demuestra su admiración por el genio suizo asícomo los grandes conocimientos que tiene sobre su obra.

No parece que la vida de Euler fuese muy excitante. Aunquepasó gran parte de su vida dentro de las cortes de Berlín y SanPetesburgo, prefería la tranquilidad de su gabinete de trabajodentro de su entorno familiar. Aparte de su impresionante inteli-gencia y memoria, su dominio de las técnicas algorítmicas y sutremenda capacidad de trabajo, quizá el aspecto humano másrelevante de su larga y bastante apacible vida lo proporcione laentereza que mostró ante la desgracia de perder completamen-te la vista a la edad de 60, que no pudo frenar su ingente pro-ducción matemática que continuó a un ritmo imparable hasta sumuerte cuando tenía 76 años.

W. Dunham no se detiene demasiado en contar las peripeciasvitales de Euler: se despacha el relato de su vida en un cortocapítulo al inicio del libro. El resto de la obra lo dedica a lo querealmente le interesa, su actividad matemática. A lo largo deocho capítulos desgrana una selección de teoremas obtenidospor Euler en las diversas ramas de las matemáticas puras.

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La estructura de los capítulos centrales del libro es similar: todosse dividen en tres apartados. En el primero, el Prólogo, se da unavisión de lo que se conocía sobre el tema, al que Dunham dedi-ca el capítulo, antes de Euler, dando pie a que hagan su apare-cición grandes predecesores y algunos de sus resultados. Así porejemplo, en el capítulo 2, titulado Euler y los logaritmos, muestracómo Napier y Briggs descubren los logaritmos y explica loscomplejos cálculos que se necesitaban para construir sus tablas;luego sigue describiendo los avances que aportan algunos desus sucesores —Mercator, Gregory y Newton— que con la intro-ducción de las series infinitas facilitarán notablemente la cons-trucción de las tablas de logaritmos.

El segundo apartado, Aparece Euler, es el núcleo del capítulo enel que se examina con detalle alguno de los grandes resultadosobtenidos por Euler. Este examen detallado ahonda en los méto-dos que empleó el suizo y muestra el gran desarrollo que hicieronposible sus hallazgos. Siguiendo con el segundo capítulo comoejemplo, en él, Dunham analiza la sistematización que Euler intro-dujo en la teoría de los logaritmos, sus avances en los desarrollosen serie de las funciones exponencial y logarítmica, así como susaplicaciones a la confección, más simple, de las tablas de loga-ritmos y la obtención del diferencial de ln x. En la exposición delos métodos empleados por Euler, que trata de ser fiel al original,se puede constatar la ausencia de rigor en el sentido que ledamos en la actualidad lo que no impide, sino todo lo contrario,que obtuviese resultados correctos y de gran calado.

En la parte final de cada capítulo, el Epílogo, el autor elige una dedos opciones (a veces ambas): mostrar las consecuencias y desa-rrollos que Euler hizo a partir de los resultados que se han comen-tado, o describir cómo otros matemáticos desarrollaron las ideas deEuler. Finalizando con el capítulo 2, en su epílogo se relata cómoEuler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónicay cómo en el camino descubrió la llamada constante de Euler.

El autor afirma que las matemáticas precisas para leer el textoson elementales y que se sitúan al nivel de las de bachillerato.Creo que sería deseable que los alumnos de bachillerato estu-viesen en condiciones de leer textos como el presente, aunquedudo que la mayoría lo puedan hace con comodidad.Probablemente, las culpas no haya que echárselas a la dificultadde los razonamientos o métodos empleados por Dunham sino alas deficiencias de nuestro sistema educativo que no hace posi-ble que una parte importante de los alumnos del bachiller se sien-tan cómodos con este tipo de textos.

Dunham se responsabiliza de la selección de los temas a los quededica los capítulos del libro asumiendo lo que tienen de elec-ción personal. Con ella se abarcan muchas de las ramas de lamatemática pura en las que Euler dejó su huella: la teoría denúmeros, el análisis, el álgebra, la geometría, la combinatoria,la teoría analítica de números, la variable compleja… Dice queotros cincuenta autores que hubieran seguido las mismas premi-sas que él a la hora de escribir sobre Euler probablemente hubie-ran hecho otros cincuenta libros distintos y que a él le hubierainteresado leerlos todos. Desde luego que si esos hipotéticos

autores hubieran acertado de manera tanrotunda como ocurre con este libro, no cabeduda de que se trataría de obras muy ape-tecibles y de cuya lectura se podría difrutartanto como yo lo he hecho con ésta.

Además de la calidad de la obra hay que ala-bar también la de la edición que hace agra-dable la lectura y la facilita con las anotacio-nes y comentarios introducidos por AntonioPérez.

Julio Sancho

INICIACIÓN A LA INVESTIGACIÓNEN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA.

HOMENAJE AL PROFESORMAURICIO RICO

Pedro Gómez y Luis Rico (eds.)Universidad de GranadaGranada, 2001ISBN: 84-338-2752-9371 páginas

Dentró del programa Alfa de la U.E., elDepartamento de Didáctica de la Matemá-tica de la Universidad de Granada promo-vió el proyecto «Formación de investigado-res en educación matemática para AméricaLatina» (FIEMAL). En una fase del desarrollodel proyecto becarios de los distintos paísesinvolucrados realizaron estudios de doctora-do fuera de su país de origen, Entre ellos, elprofesor colombiano Mauricio Castro seincorporó a la Universidad de Granada elcurso 1998-99. Cuando iba a volver deBogotá tras las vacaciones murió asesinado,víctima inocente de una acción violenta.Como homenaje a Maurico Castro, se acor-dó realizar una publicación que recogieratrabajos realizados por profesores y alum-nos de la red FIEMAL.

El resultado es este libro que contiene 25artículos sobre la investigación en didácticade las matemáticas agrupados en tres apar-tados: reflexiones institucionales y estudioscomparados, herramientas y momentos rele-vantes y estudios concretos.

Julio Sancho

126

Olimpiada Matemática Nacional

Los comienzos

La historia de esta Olimpiada comienza cuando ClaudiaLázaro, Tesorera de la FESPM y Secretaria de la SMPC, enuna de las Juntas de la Federación del año 2000 ofreció laposibilidad de que nuestra Sociedad la organizara. Previa-mente lo habíamos hablado varias veces y pensamos queya era hora de que nuestra Sociedad aportara alguna cola-boración a la Federación, después de cinco años de per-tenecer a ella.

En junio de 2000 Claudia, María José Madrazo, Ángel Garcíay yo nos reunimos para empezar a planificar la Olimpiada.Claudia nos traía el primer borrador de proyecto que sirviócomo punto de partida para empezar a trabajar. Ella siemprenos ha servido de punto de referencia pues ha sido la per-sona que ha asistido a las cuatro Olimpiadas Nacionalesanteriores acompañando a nuestros participantes.

Colaboraciones

Una de las primeras cosas que fijamos en esa reunión fuedeterminar los posibles patrocinadores o colaboradores.Concretamente la sede de la Olimpiada, parecía la másadecuada, el Centro de Programas Educativos de Viér-noles, para lo que la colaboración de la Consejería de Edu-cación era fundamental. Este lugar permite tener un con-tacto más directo con la naturaleza y disponer de instala-ciones adecuadas para actividades propias de la olimpia-da, facilitando así cubrir uno de los objetivos primordialescomo es el de potenciar la convivencia entre todos. Nosalojaron en tres pabellones de los muchos que tiene elcentro, dos del CRIE (Centro Rural de Innovación Edu-cativa) y uno del CEAM (Centro de Educación Ambiental).

127

XII Olimpiada Nacional,X JAEM

CRÓNICAS

XII

38

noviembre 2001

Claudia también nos informó de que había llevado el pro-yecto a la Federación de Municipios y que algunos alcaldesse habían mostrado interesados en colaborar. Concre-tamente los de los Ayuntamientos de Santander, Torrela-vega, Castro Urdiales, Los Corrales de Buelna y San Vicen-te de la Barquera. También pensamos pedir la colaboraciónde la Consejería de Cultura para poder realizar algunasexposiciones traídas de otras sociedades. Como es sabido,el Consejero de Cultura, José Antonio Cagigas, es profesorde Matemáticas y socio, lo que supone su sensibilizaciónhacia la actividad. Y cómo no, pensamos también en lasentidades financieras, Caja Cantabria y La Caixa.

Después de la ardua tarea de solicitar las diversas colabo-raciones podemos decir que los patrocinadores de estaOlimpiada han sido la Consejería de Educación y Juven-tud, que nos ha proporcionado el alojamiento y manuten-ción y ayuda económica y la Consejería de Cultura yDeporte que nos ha proporcionado las salas de exposi-ciones y los gastos de transportes y seguros de las mismasy ayuda económica. Ambas instituciones del Gobierno deCantabria han sido sensibles a nuestras peticiones y ade-más de las ayudas expresadas han acudido a los diversosactos públicos de la Olimpiada.

Los ayuntamientos citados también han colaborado signi-ficativamente en las actividades de la Olimpiada, aunquela ofrecida por el de Castro Urdiales no ha sido posiblepor incompatibilidad de fechas.

Otras instituciones y entidades han colaborado como: laUniversidad de Cantabria, CPR de Viérnoles, CPR de San-tander, ONO, ZOOM, RJB, IES M. Gutiérrez Aragón, IESSanta Clara, IES Ricardo Bernardo, IES Alberto Pico, IES LaAlbericia, Librería Estudio, Editorial SM, Anaya, Nivola ySantillana, La Caixa y Caja Cantabria.

No puedo dejar de nombrar a Enrique Carpintero. Para losparticipantes en la Olimpiada es desconocido, pero paralos organizadores ha sido fundamental. Él ha diseñado yejecutado el cartel anunciador y el folleto informativo de laOlimpiada. La idea y diseño de la banda o cinta de Möbiustambién fue idea suya. Es un artista, profesor de Diseño yDibujo, asesor del CPR de Camargo. Gracias Enrique.

El acto de presentación a los medios de la XII OlimpiadaMatemática Nacional tuvo lugar el pasado 10 de abril, enla Escuela Superior de Marina Civil y tuvimos el honor decontar no sólo con la presencia de la Consejera deEducación y Juventud del Gobierno de Cantabria, SofíaJuaristi, sino además con nuestro compañero de laSociedad Canaria de Profesores de Matemáticas IsaacNewton, Luis Balbuena.

Participantes y asistentes

Los participantes han sido estudiantes de segundo cursode Educación Secundaria Obligatoria de las diferentes

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comunidades autónomas conforme alsiguiente reparto fijado por la Federa-ción Española:

Andalucía 6Andorra 2Asturias 3Canarias 3Cantabria 6Castilla-La Mancha 3Castilla-León 3Cataluña 3Galicia 3Extremadura 3La Rioja 3Madrid 3Marruecos(Colegios españoles) 2Melilla 2Murcia 3Navarra 3Valencia 3

En total participaron 54 estudiantes y 18profesores acompañantes de los mis-mos. Hay que destacar como novedadrespecto a años anteriores la participa-ción de Melilla, los colegios españolesde Marruecos y la Comunidad de LaRioja a través de la Sociedad A Prima.

En esta ocasión hemos de constatar quelos chicos (39) eran más del doble queel número de chicas (15). Cabe resaltarsu colaboración para que se cumplieranlos objetivos del programa y la buenaconvivencia entre ellos, facilitando quela olimpiada fuera un éxito.

Los dieciocho acompañantes y otrosinvitados mostraron en todo momento

un alto nivel de colaboración en todaslas tareas, destacando siempre lo positi-vo y obviando los contratiempos oinconvenientes que pudieran encontrar.En este ambiente de amistad y com-prensión nos resultó mucho más fácil yagradable asumir la responsabilidadorganizativa.

Programa

Viernes, 22 de junio

Llegada de los participantes, acto deapertura en el salón de actos del IESManuel Gutiérrez Aragón de Viérnolescon la asistencia del Director General deEducación, José Antonio del Barrio y elSecretario General de la FESPM, JoséLuis Álvarez.

En el propio acto de inauguración tuvolugar la primera sesión matemática acargo del grupo Huellas de Paz forma-do por los artistas colombianos AndrésOsorio y David Murillo titulada «CuentaCuentos Matemáticos». El mismo grupodesarrolló una sesión de Dinámica deGrupos que sirvió para empezar a cono-cerse y para formar los equipos de tra-bajo. Reparto de cámaras fotográficas alos grupos y a los profesores.

Sábado, 23 de junio

Salimos hacia Santander para realizar laprueba por equipos en la península dela Magdalena.

A continuación, asistimos a la conferencia «Las matemáti-cas también tienen historia» impartida por Carlos Suárez dela SAEM Thales y visitamos la exposición «Filatelia Mate-mática», ambas actividades en la Escuela Superior de Mari-na Civil de la Universidad de Cantabria en Santander.

Más tarde salimos hacia el Parque de la Naturaleza deCabárceno donde comimos y pudimos admirar, no sólo losanimales que viven allí en semilibertad, sino su paisajecárstico tan peculiar.

Por la tarde nos desplazamos a Torrelavega, donde visita-mos la exposición «Instrumentos y Unidades de MedidaTradicionales de Extremadura» en la Casa de Cultura deTorrelavega.

Por la noche cenamos en el Monasterio de las Caldas deBesaya invitados por el Ayuntamiento de Los Corrales de

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Conferencia de Carlos Suárez

…y de «guiris» en CabárcenoDe excursión por los Picos de Europa…

Buelna y terminamos la jornada en la verbena de la nochede San Juan en esta localidad cántabra.

Domingo, 24 de junio

Salimos temprano hacia Fuente Dé, donde subimos en elteleférico que acerca a los Picos de Europa. En un día enque lucía un sol espléndido recorrimos 15 kilómetrosandando por los senderos de alta montaña realizando lacomida en el refugio de Áliva. Bajamos hasta Espinamadonde nos esperaba el autobús para que, antes de dejar-nos en la residencia de Viérnoles, pudiéramos dar unpaseo por Potes, pueblo muy típico de la región lebanie-ga. Al llegar a la residencia recogimos las cámaras foto-gráficas para poder tener listas las fotos al día siguiente.Los grupos terminaron de realizar las tareas que les pro-pusimos en la prueba por equipos.

Lunes, 25 de junio

Durante la mañana se celebró la prueba individual en lasaulas del IES Manuel Gutiérrez Aragón. Después nos des-plazamos a San Vicente de la Barquera, pueblo costero degran belleza paisajística, donde comimos invitado por suAyuntamiento y donde pudimos visitar las exposiciones«Geometría Mudéjar en Aragón» y «Chistes Matemáticos» enel Castillo del Rey. Más tarde el autobús nos llevó a visitarla villa de Santillana del Mar que es monumento históricoartístico.

Por la noche, en la residencia de Viérnoles, después de lacena tuvimos la fiesta de despedida. En ella pudimos escu-char un recital de rabel, instrumento típico de Cantabria,ofrecido por nuestro compañero de Reinosa, TomásMacho. Como sorpresa y fuera de programa, AlbertViolant, profesor acompañante de los participantes catala-nes dio un pequeño concierto de violín acompañado deexplicaciones sobre la relación entre la música y lasMatemáticas.

Las fotografías se expusieron para quelos participantes pudieran aportar lostítulos de las mismas. El fin de fiesta loorganizaron Esther López, profesora deCastilla la Mancha, Miguel Ángel Here-dia, profesor de Melilla y AlejandroGonzález, profesor de Madrid, con glo-bos, refrescos y música para bailar.

Martes, 26 de junio

Esta día nos permitimos no madrugar,pues el ritmo que llevábamos era bastan-te agotador. A las diez tuvimos la confe-rencia de nuestro compañero JoséAntonio Cordón, profesor de la Facultadde Matemáticas de la Universidad deCantabria, titulada «Una de números (¿nu-merales?)» en el salón de actos del IESManuel Gutiérrez Aragón de Viérnoles,donde a continuación se celebró el actode clausura y la entrega de premios.Todos esperaban ansiosos este momentoque resultó emotivo, entrañable y triste ala vez, por cuanto suponía la despedidade la Olimpiada. La mesa del acto la for-maron la Presidenta de la FESPM, MaríaJesús Luelmo, la Jefe de Servicio de Pro-gramas e Innovación Educativa de laConsejería de Educación y Juventud delGobierno de Cantabria, Carmen López-Rendo y el Director del IES ManuelGutiérrez Aragón, Joaquín Barber.

Después de los discursos de los compo-nentes de la mesa salió de forma espon-tánea uno de los alumnos participantes,Amadeo Jiménez, que también había

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Es obvio… los profesores

Acto de clausura

preparado un discurso de despedida yque gustó mucho a todos.

Después de comer salieron los primerosgrupos y los últimos lo hicieron el miér-coles 27 por la mañana.

Pruebas

Siguiendo con la tradición, no podíanfaltar la clásica prueba individual, elconcurso de fotográfica matemática y laprueba por equipos.

La prueba individual constaba de cincoproblemas seleccionados por un equipode cinco profesores, con la finalidad deconseguir enunciados adecuados a losparticipantes.

Se propuso un problema geométrico,otro de estrategia, otro numérico, otrode tanteo y otro de azar, con la inten-ción de abarcar distintos ámbitos de lasmatemáticas y procurando un enuncia-do asequible a la mayoría de los alum-nos. Nuestro deseo era facilitar quetodos los participantes con sus peculia-res habilidades pudieran resolver algúnproblema, pero manteniendo el nivelnecesario para este tipo de pruebas.

Como ya es habitual, la prueba porequipos se realizó al aire libre, esta vezen la Península de la Magdalena con suPalacio. Se les repartió a cada equipouna carpeta con un mapa de la penín-sula, donde se señalaban unos ejescoordenados, unas hojas informativasde la historia del Palacio y de los distin-tos tipos de hojas de los árboles de lapenínsula.

Se trataba de seguir un recorrido dandolas coordenadas de los distintos lugares,hacer algunas medidas, recoger algunashojas de árboles, hacer algún dibujo ycontestar a unas preguntas sobre la his-toria del palacio. No había que comple-tar los trabajos en el momento, sinohacerlo el domingo por la noche en laresidencia.

En el próximo número de SUMA apare-cerán publicadas las pruebas planteadas,tanto la indicidual como la de equipos.

El concurso de fotografía matemática,como ya viene siendo habitual, consis-

tió en la entrega a cada equipo de una cámara fotográficade un solo uso para que captaran, en los distintos ámbitosy espacios visitados, imágenes con algún sentido o refe-rencia matemática. Lugares y oportunidades no faltaron, yasí quedó reflejado en la variedad y belleza de las foto-grafías presentadas.

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Prueba individual

Pruebaporequipos

Exposición de los trabajos realizados en la prueba fotográfica

Premios y regalos

De todos es sabido que el hecho mismo de haber podidoacudir a la Olimpiada es un premio digno de mención.Pero además de esa satisfacción de haber sido elegidopara asistir a este evento, se les obsequió a todos partici-pantes y profesores acompañantes con diferentes regalos.

En la recepción del día 22 se le entregó a cada participanteuna camiseta con el logo de la Olimpiada junto con el pro-grama detallado de la Olimpiada y una carpeta turística deCantabria. La noche del lunes 25, después del concierto derabel se repartieron regalos a todos los participantes y a susprofesores acompañantes: carpetas, libros de Cantabria,plumas, libros de juegos matemáticos y de lectura, y vídeosde Cantabria. A los profesores participantes y a los colabo-radores se les hizo entrega de la banda de Möbius. Por suparte, de todas las comunidades hemos recibido regalos detodo tipo, carteles, carpetas, camisetas, revistas, pins, juegosmatemáticos, etc. Gracias a todos ellos.

Posteriormente, se ha enviado a todos los participantesuna copia de la orla que se ha elaborado con la foto decada uno de ellos.

A los ganadores del concurso de fotografía matemática seles obsequió con un lote de libros. A los de la prueba porequipos una calculadora científica y libros. A los cincofinalistas, una calculadora científica, un diccionario y librosy a los cinco ganadores de la prueba individual una cal-culadora gráfica programable y libros. En los premiadosindividuales, tanto en los cinco finalistas como en loscinco ganadores, no establecimos ningún orden, sus nom-bres figuran por orden alfabético.

A todos los participantes se les entregó un diploma en elacto de clausura, pero a los cinco ganadores de la pruebaindividual se les hizo un diploma especial en el que seplasmaba la hazaña conseguida.

Exposiciones

Con el objetivo de popularizar lasMatemáticas y también de hacer partíci-pes a todos los estudiantes de Cantabriadel acontecimiento que ha supuesto ennuestra región la Olimpiada Nacional,hemos tenido abiertas simultáneamenteseis exposiciones matemáticas durantelos meses de mayo y junio.

«Filatelia Matemática» en el Centro Cul-tural La Rasilla de Los Corrales de Buel-na y en la sala de exposiciones de Ma-rina Civil; «Geometría Mudéjar enAragón» en la sala de la ONCE y en elCastillo de San Vicente de la Barquera;

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Los premiados posan para SUMA

PREMIADOS EN LA XIIOLIMPIADA MATEMÁTICA

NACIONAL

Fotografía Matemática

Equipo «Patatas al cubo» formado por:

• Alejandro Alcalde (Murcia)

• Alexiares Bayo (La Rioja)

• Eneko Ezquerro (Navarra)

• Verónica Menéndez (Asturias)

• David Moral (Castilla-León)

Prueba por equipos

Equipo «Cuadrados» formado por:

• Víctor Albeza (C. Valenciana)

• Patxi Gómez (Andorra)

• Amadeo Jiménez (Madrid)

• Ana León (Canarias)

• M.a Francisca Pérez (Extremadura)

Finalistas Prueba individual

• Miguel Aguilera (La Rioja)

• Antón Fente (Galicia)

• Hugo García (Cantabria)

• Ion Mendoza (Navarra)

• Alejandro Miñón (Canarias)

Ganadores Prueba individual

• Anas El Barkani (Marruecos)

• Diego González (Castilla-León)

• Francisco Jurado (Andalucía)

• Aznar León (La Rioja)

• Carlos Sánchez (Extremadura)

«Instrumentos y Unidades de MedidaTradicionales de Extremadura» en laCasa de Cultura de Torrelavega; «Gra-bados de Escher» en el CPR de Viér-noles; «Chistes Matemáticos» en el IES LaAlbericia y en el Castillo de San Vicentede la Barquera; y «Fotografía Matemá-tica» en el IES Santa Clara.

En estas exposiciones quiero destacar laayuda de José Antonio Cagigas, Con-sejero de Cultura y Deporte, de Pedro J.Martínez de la SAEM Thales, de JavierGómez de la Universidad de Cantabria,de Ignacio Argumosa Concejal de Edu-cación, Cultura y Festejos del Ayun-tamiento de Los Corrales de Buelna, deCarlos Suárez de la SAEM Thales, deAlfred Mollá de la Sociedad de EducaciónMatemática Al-Kharizmi, de Pablo Floresde la SAEM Thales, de Evaristo Gonzálezde la SAEM Thales, de Florencio Villa-rroya de la Sociedad Aragonesa deProfesores de Matemáticas Pedro SánchezCiruelo y de Cipriano Sánchez de laSociedad Extremeña de Educación Mate-mática Ventura Reyes Prósper.

Evaluación

Nuestra Sociedad Matemática de Profe-sores de Cantabria consta en estos mo-mentos con 60 socios, es una de lasmenos numerosas de la FederaciónEspañola de Sociedades de Profesoresde Matemáticas, pero en la organizaciónde esta Olimpiada hemos participado25, esto es un 41,6%, todo un récord.

Pero tengo que decir también que sóloCantabria no hubiera hecho nada sin lacolaboración de los numerosos compa-ñeros del resto de las sociedades de lasque se compone la Federación.

Y hay que destacar a los protagonistas,a los estudiantes. A todos, a los deAndalucía, Andorra, Asturias, Canarias,Cantabria, Castilla La Mancha, CastillaLeón, Cataluña, Extremadura, Galicia,Madrid, Marruecos, Melilla, Murcia,Navarra, Rioja y Valencia. Todas lasfases previas, sus preparaciones, su en-tusiasmo, su afición a las Matemáticas.

Si hablamos de las diferentes tareas quehemos desempeñado a lo largo de este

curso para llegar a culminar en la Olimpiada hay querecordar, reuniones, gestiones, visitas, montajes y desmon-tajes de exposiciones, guardias en algunas salas, transpor-tes, preparación de pruebas, llamadas telefónicas, miles decorreos electrónicos… Han sido horas de trabajo y esfuer-zo sin detrimento de nuestro trabajo habitual...

Según la encuesta realizada a los alumnos y profesores, elúltimo día de la Olimpiada, en la que podían responder demuy mal a muy bien (5 categorías en total) en diversosaspectos, la mayoría valoró bien la organización y laspruebas, las visitas desde regular a bien y muy bien, y lasactividades y alojamiento de regular a bien.

Valoramos positivamente estos días de convivencia, deintercambio, de vivir las matemáticas de otra manera y vercomo los participantes se entusiasmaban con sus peque-ños y significativos logros matemáticos. Como en todaobra humana, a la que no somos ajenos, a buen seguroque algún error habremos cometido, de ahí que nuestroagradecimiento a todos los coordinadores y participantes,por su amable comprensión, sea mayor. Deseamos unfuturo de éxito a las próximas olimpiadas, brindándoles alos futuros organizadores nuestro apoyo.

Como colofón de esta XII Olimpiada matemática quierohacer llegar mi gratitud a todos los que han colaborado enla organización, de una u otra forma, haciendo posiblecon su ayuda el desarrollo y éxito de la misma. De todosellos es el mérito.

Ángela Núñez Castaín

Coordinadora de la XII OMN

Web de la Olimpiada, donde se presentan todas las actividades y muchasfotografías:

http://platea.pntic.mec.es/~anunezca/Sociedad/Soci.htm

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Mudéjar aragonés:una de las muchas exposiciones

X Jornadas para elAprendizajey la Enseñanza de lasMatemáticas

7, 8 y 9 de septiembre de 2001. Hanpasado nueve meses desde que el 2000,Año Mundial de las Matemáticas, diesesus últimas campanadas pero los profe-sores de matemáticas seguimos tan acti-vos como el año pasado.

Al menos eso es lo que hemos podidocomprobar en estas Jornadas para elAprendizaje y la Enseñanza de lasMatemáticas, las décimas de las quecada dos años convoca la FederaciónEspañola de Sociedades de Profesoresde Matemáticas (FESPM) y que cumplíancon esta edición los 20 años de existen-cia, edición celebrada en Zaragoza yorganizada conjuntamente por la Socie-dad Aragonesa de Profesores de Mate-máticas «Pedro Sánchez Ciruelo» y el Ins-tituto de Ciencias de la Educación de laUniversidad de Zaragoza.

Más de 700 profesores y profesoras detodas las comunidades cutónomas,junto a colegas de Portugal, Francia,Bélgica e Hispanoamérica hemos disfru-tado de tres intensos días de conferen-cias, ponencias, comunicaciones y talle-res con una idea común: la mejora de laenseñanza de las matemáticas, en todossus niveles, desde la escuela infantilhasta la universidad.

Porque, en efecto, tres conferencias ple-narias, 32 ponencias, 20 talleres y más de60 comunicaciones han contribuido aque los profesores asistentes a lasJornadas retornen a sus aulas en esteprincipio de curso con dos ideas claras:

• Las Matemáticas son una cienciaviva, presente en casi todas lasmanifestaciones de nuestra vidacotidiana: en la Naturaleza, en elArte, en la Música, en los medios decomunicación, en la tecnología... ¡Yasí hay que mostrarla a los alum-nos!

• Existen otras formas de enseñarmatemáticas. El centenar largo deactividades ha mostrado otras tantas

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Preparando el material

Sin ellos no hubiesen salido adelante las JAEM…

…y sin Javier Pola, tampoco

experiencias concretas desarrolla-das por profesores en sus aulas. Através de ellas hemos podido com-probar que la enseñanza de lasmatemáticas no debe reducirse acontar fórmulas, algoritmos, técni-cas y rutinas que poco o nada sig-nifican para los alumnos. Que utili-zando nuevos recursos informáti-cos, audiovisuales, calculadorasgráficas... y otros no tan nuevos,materiales manipulables, el periódi-co, la historia de las matemáticas...se puede conseguir un aprendizajemás motivador, más atractivo parael alumno y sobre todo más eficaz.

Diario de un asistente

Asistir a unas JAEM y no perderse nin-guna ponencia, comunicación, exposi-ción o actividad que nos interese es¡imposible! Para minimizar las pérdidashay que aplicar con celo todas las estra-tegias conocidas de resolución de pro-blemas: seleccionar la información, ela-borar un plan para poder estar en elmáximo de actividades, hacer un esque-ma espacio temporal de la distribuciónde las mismas, calcular velocidades delos desplazamientos, distancias entredos actos consecutivos, contemplartiempos para saludar a los amigos yconocidos, paréntesis para ver materia-les y exposiciones situadas fuera delrecinto de la Universidad, tiempos parael café... y además estar en una exce-lente forma física para poder enfrentar-se a los cambios de edificios y aulas conuna rapidez endiablada. Aun trabajandoen el problema con varios días de anti-cipación siempre habrá una comunica-ción interesantísima de la que nos ten-dremos que enterar al leer las actas.

La acogida tanto de los organizadorescomo de las autoridades municipales fuefabulosa. Los que llegamos el jueves 6por la tarde tuvimos la ocasión de asistiral acto organizado en el Ayuntamientopara dar la bienvenida a los asistentes ydisfrutar de las excelentes tapas de losbares más emblemáticos de Zaragoza.

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La presidenta de la Federación presentando a Luis Balbuena

Javier Pérez pronunciando su conferencia plenaria

Pilar Plaza recibe el II Premio Gonzalo Sánchez Vázquez

No viene mal hacer acopio de caloríaspara los tres días que nos esperan.

Viernes 7

El viernes y tras recoger la documenta-ción a buena hora, el primer paseo paratonificar los músculos, los actos de lamañana se celebran en el modernoAuditorio.

Allí, asistimos al acto oficial de la inau-guración y a las dos primeras conferen-cias plenarias.

El profesor Luis Balbuena nos puso antelos ojos unas profundas reflexionessobre el papel del profesor de matemá-ticas en los albores del siglo XXI y sobrelos retos de la educación matemática.En una época con serios problemas y enla que el desánimo parece hacer mellaen muchos docentes hizo un canto a laesperanza de nuestra profesión y nosmostró todo un arsenal para combatirese desánimo. Una de las mejoresarmas: la solidaridad.

Por problemas familiares de última horano pudimos disfrutar de la conferenciadel profesor Martin Kindt, que fue susti-tuido por el profesor Javier Pérez quenos deleitó con un recreativo viaje en lahistoria alrededor de un viejo amigo yconocido de todos, el número π.¡Cuántas cosas nos sigue enseñando laHistoria de las Matemáticas!

La mañana se cerró con la entrega del IIPremio Gonzalo Sánchez Vázquez, querecayó en Pilar Plaza Queralt, profesoraaragonesa que ha dedicado unos cuan-tos años de su vida en tareas educativasen Hispanoamérica. El relato de las cir-cunstancias en que desarrolló su labornos emocionó a todos y nos demostróque las matemáticas también puedenser solidarias.

Y tras la comida, ¡empiezan las carreras!En dos horas 12 ponencias más 4 talle-res que se realizan simultáneamente. Encada momento 8 actividades simultáneas.Difícil elección. ¿Cómo renunciar a algu-no de los títulos tan atrayentes? Mientrasno resolvamos el problema de la ubi-cuidad habrá que resignarse.

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Francisco Martínen su ponenciade Geometría

Una de lascomunicaciones

en el Aula deInformática

La conferenciade José Garay,dentro delProgramaCultural,fue acompañadapor la OrquestaPentagruel

Las ponencias y comunicaciones seestructuran en torno a 8 núcleos temáti-cos que pocos huecos dejan en el pano-rama de la enseñanza de las matemáti-cas:

• La modelización como actividadmatemáticas

• ¿Qué pasa con la demostración?

• Lenguaje visual y geometría

• Funciones: una confluencia de len-guajes

• Azar: la matemática de lo posible

• Números: significado y destrezas

• Álgebra: ¿cuándo? ¿cómo?

• Medida: de la regla a la trigonome-tría

Y en cada núcleo 4 ponencias y muchasmás comunicaciones. Y para complicar-lo, a mí, como a casi todos los asisten-tes nos interesan la mayoría de lostemas.

Selecciono una ponencia y un taller y,dos horas más tarde, con la sensaciónde haberme perdido 14 actos de interésme encamino a las seis y media a unade las cuatro presentaciones simultáneasque tienen lugar a esa hora. Como soyun fan de Euler me inclino por laIntroductio in Analysin Infinitorum,publicado por las SAEM Thales. Porcierto, que no se me olvide adquirir unejemplar en el stand de la Thales, antesde volver a Madrid.

Al terminar hay que salir pitando alhotel para dejar la documentación,refrescarse un poco porque a las 8 nohay que perderse la inauguración de laexposición de la Sociedad Extremeña«Instrumentos y unidades de medida tra-dicionales en Extremadura» en el Para-ninfo de la Universidad.

El taxi y el atasco, ¡cómo está el tráficoen Zaragoza!, han merecido la pena. Laexposición es espectacular y a buenseguro que merece dedicarle más tiem-po y disfrutarla con calma.

Sábado 8

Madrugón y desayuno rápido. A las 9 de

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El omnipoliedroconstruidoen el taller

de José AntonioMora se expuso

en el hallde la Facultad

de Ciencias

Zoco matemático

El standde la Federación

la mañana comienzan las actividades yhoy a las 5 ponencias y los tres talleresse suma la videomaratón de vídeosmatemáticos, que se extiende durantetoda la jornada.

Entre 10 y 11 la elección es aún máscomplicada hay que elegir dos activida-des entre 12 comunicaciones, dos talle-res y los vídeos.

Se me está ocurriendo una estrategia: laasistencia a las JAEM hay que enfocarlano como trabajo individual sino comotarea de equipo, y de equipo de fútbol.¡Con once jugadores y tres suplentes nose nos escaparía nada! Pero eso serápara las próximas.

De 11 a 12 parece que se hace un pocode calma: sólo hay cinco ponencias, trestalleres y dos vídeos. Bueno, pues decabeza a una de ellas. Por cierto, no hetenido tiempo de tomar un café y yallevo tres viajes del ICE a la Facultad deMatemáticas.

A las 12 no lo dudo, no me puedo per-der el homenaje a Felipe Mellizo, elentrañable pionero de los programas dedivulgación matemática en televisión yun personaje muy próximo. Tendré queleerme las 11 comunicaciones que hayentre 12 y 1 en el libro de actas...

A la 1 las matemáticas salen de las mate-máticas y se adentran en otros univer-sos, empiezan las actividades del pro-grama cultural; lo malo es que no séque elegir: Matemáticas y Vanguardiasartísticas, Matemáticas y Música,Matemáticas y Poesía o Matemáticas yArquitectura. Para complicarlo a esahora la presidenta de la SociedadBoliviana de Educación Matemática,Begoña Grigoriu, habla sobre la educa-ción matemática en su país.

Por la tarde, al menos de 4 y media a 5y media la organización me ha liberadodel trauma de elegir, y sin dudarlo mevoy a mi ponencia. Creo que no mehubiesen perdonado si me meto enotra.

Pero hay que acabar pronto porque alas 5 y media en el programa cultural nome quiero perder el Paseo matemáticopor la Zaragoza mudéjar. Aunque ahora

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Unidades e instrumentos de medida de Extremadura

Exposición de calculadoras.¡¡Horacio!!: que no se podían tocar

Explicando «2 elevado a n»

que miro el programa, coincide conotras dos actividades que había marca-do como imprescindibles: la presenciade los números en la música, conorquesta incluida y Arte y nuevas tecno-logías. ¡Elegir es renunciar!

A las seis y media termina el videoma-ratón. Pero no podemos irnos sin ver lasdiversas exposiciones que nos introdu-cen las matemáticas por los sentidos:

• Máquinas de calcular. De la mano ala electrónica.

• Matemáticas 2000.

• 2 elevado a n

• Fotografía matemática.

• El mudéjar aragonés.

• Historia de las Matemáticas.

• Matemáticas y proporción.

Lo malo es que cuatro están en la facul-tad de Ciencias, una el ICE y las otrasfuera del recinto de las Jornadas. Lospaseos nos despejarán la mente.

Domingo 9

¡Qué bien se duerme después de un díasin parar! Lo malo es que hay quemadrugar. A las 9 hay que estar en laFacultad de Ciencias.

Antes de las 10:30 he tenido que deci-dirme para seleccionar dos entre 20comunicaciones y dos talleres. Por for-tuna las marqué la noche anterior. Lascabezas empiezan a estar desbordadasante tanta oferta.

En la hora siguiente, los organizadoreshan mostrado un poco de clemenciacon nosotros y sólo nos han preparado5 ponencias y un taller al mismo tiem-po. Pero ya somos unos expertos en latoma de decisiones.

Estamos en la recta final y de 11:30 a12:30, otra vez me ha quedado sin café,selecciono dos de las 14 comunicacio-nes que aparecen en el menú, dos delas más visuales.

Y, ya casi exhaustos, nos preparamospara el acto final, la conferencia declausura a cargo de María Antonia

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María Antonia Canalsen la conferencia de clausura

Floresde la Federaciónparaquienes hicieronposiblela organizaciónde las X JAEM

El día de despuésla Comisión

Organizadorase relaja

Canals que con su tono coloquial pero profundo nos guíapor el fascinante mundo de la aproximación y el apren-dizaje de las matemáticas de los alumnos en las edadesmás tempranas.

El acto de clausura, emotivo y entrañable nos demostróalgo que todos habíamos sospechado: detrás de unamaquinaria compleja, y es complejo organizar unas jorna-das para 700 personas, dando la apariencia de que todofluye de manera natural como las aguas de un río, hay unequipo humano extenso en cantidad y sobre todo en cali-dad profesional y humana, imposible de enumerar aquí,que hizo posible el milagro de que todo funcionase comoun reloj y de que a pesar del cansancio físico y mental,todos los asistentes nos despidiésemos deseando que losdos años que faltan para las siguientes JAEM que organi-zará la Sociedad Canaria Isaac Newton pasen volando. Enrepresentación de ese fabuloso equipo humano damos lasgracias a Emilio Palacián, Jesús Antolín, José María Gairín,Ana Pola y Julio Sancho, cabezas visibles y pilares de laorganización. Gracias a ellos y a las varias decenas de per-sonas que colaboraron en la organización estos tres díasserán imborrables.

La televisión no estuvo ausente de las Jornadas.Precisamente para reafirmar esta relación estrecha entreMatemáticas y Televisión se desarrolló a lo largo de todoel día 8 una vídeo-maratón de temas matemáticos comohomenaje al periodista Felipe Mellizo, vinculado a TVEdurante muchos años, y autor de una preciosa serie deprogramas de divulgación matemática, realizada en losaños ochenta, titulada ¿Un mundo feliz? Como ya ocurrie-ra en Lugo, TVE cubrió informativamente las JAEM y emi-tió un reportaje sobre el tema el día 9 de octubre en «LaAventura del Saber».

Tras tres agotadoras jornadas los participantes hemosvuelto a nuestros pueblos y ciudades con el ánimo refor-zado para hacer frente a los problemas de un nuevocurso, con la convicción de que para mejorar la situaciónde la enseñanza de las matemáticas no basta con enu-merar en un programa todas las cosas que los alumnosdeberían saber, y sobre todo, convencidos de que el futu-ro de la educación matemática en nuestro país está ennuestras manos.

No volvimos con las manos vacías, en sus bolsas de viajellevábamos materiales, recursos y sobre todo centenaresde ideas para aplicar la semana siguiente con nuestrosalumnos en colegios, escuelas, institutos y universidadesde todo el país. Pero llevábamos un bien más valioso: elentusiasmo suficiente para seguir luchando día a día, a tra-vés de la enseñanza de las matemáticas, por el gran sueñode Felipe Mellizo: UN MUNDO FELIZ.

Antonio Pérez Sanz

Vocal de prensa de la FESPM

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REUNIÓN de Didáctica de lasMatemáticas del Cono SurSe celebrará en Argentina del 22 al 27 de julio de 2002organizada por la Sociedad Argentina de EducaciónMatemática y el Instituto Superior del Profesorado «JoaquínV. González». La Comisión Organizadora está presidida porla profesora Nelly E. Vázquez de Tapia.

Se desarrollarán actividades como conferencias plenarias,conferencias regulares, paneles, talleres, grupos de discu-sión, comunicaciones breves y posters, estando previstos,inicialmente los siguientes temas:

• Educación matemática e investigación en educaciónmatemática.

• Enseñanza de la matemática en los distintos nivelesdesde inicial hasta universitario.

• Diseño curricular de matemática.

• La formación del docente en matemática. Educacióncontinua.

• Didáctica de la matemática.

• Educación matemática a distancia.

• Educación matemática de adultos.

• Educación matemática de alumnos con dificultades deaprendizaje.

• Historia de la matemática.

• Etnomatemática.

• Aportes de la tecnología a la educación matemática.

• Tecnología: su enseñanza. Los trayectos técnico-profe-sionales.

• Desarrollo y uso del software educativo en la enseñan-za de la matemática.

• Aportes de materiales y juegos didácticos a la educa-ción matemática.

• Revalorización de la geometría.

141

VI Reunión de Didácticadel Cono Sur, RSEM 2002…

CONVOCATORIAS

VI

38

noviembre 2001

• Probabilidad, estadística y combinatoria. Aplicaciones ymodelos.

• Modelos y modelización matemática.• Visualización. Grafos.• El aula virtual.• Otros.Para más información dirigirse a:

Nelly Vázquez de TapiaEcheverría 2019. Piso 10º «B»

1428 Buenos Aires (Argentina)E-mail: [email protected]

RSME 2002

La Real Sociedad Matemática Española anuncia la celebra-ción del Congreso RSME 2002, que se desarrollará enPuerto de la Cruz (Tenerife) del 27 de enero al 1 de febre-ro de 2002, organizado por la propia RSME y laUniversidad de La Laguna. Se celebrarán conferencias ple-narias, minisymposia, sesiones de posters y mesas redon-das. Están invitados como conferenciantes los profesoresCharles Fefferman, Kristian Seip, Bosco García, JesúsGonzalo, María Teresa Lozano, Gabor Lugosi, José M.Muñoz, Ricardo Pérez, Jordi Quer y Luis Vega.

Más información en la página de Internet.

http://www.fmat.ull.es/rsme2002

X Concurso de Fotografíay Matemáticas

Coincidiendo con el Día Escolar de las Matemáticas, elDepartamento de Matemáticas del IES Viera y Clavijo de laLaguna y la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesoresde Matemáticas ha convocado la décima edición de su yatradicional concurso de Fotografía y Matemáticas, dirigidoa alumnos de enseñanza secundaria de Canarias.

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Exposición «Historiade las Matemáticas»

Esta muestra ha sido realizada en elDepartamento de Matemáticas del IESÉlaios de Zaragoza, con motivo del AñoMundial de las Matemáticas. Consta de40 paneles en formato A2 que cubrenun recorrido por las principales etapasen la historia de esta ciencia (Mesopo-tamia, Egipto, Grecia Clásica, EdadMedia, Renacimiento, Siglos XVII-XVIIIy SIglos XIX-XX), resaltando sus carac-terísticas generales y desarrollandosemblanzas de los grandes matemáticos(su faceta humana, su obra científica, lavigencia de sus aportaciones, etc.). A lavez, en los paneles se propone un con-curso de problemas relacionados concada época o personaje a dos niveles(ESO y Bachillerato).

Esta exposición se presta gratuitamentea los centros educativos y culturalesque lo soliciten, debiendo éstos abonarsólo los gastos de transporte. Para másinformación, dirigirse a:

Departamento de MatemáticasIES Élaios

Andador Pilar Cuartero, n.° 350015 Zaragoza

Tf.: 976 527 500 y Fax: 976 525 968

FE DE ERRATAS N.° 37

En la sección Crónicas del n.°37 de SUMA (página 140),aparece una errata en el enun-ciado del problema 2 de los pro-puestos en la XXXVII OlimpiadaMatemática Española. En la ter-cera línea de dicho problema 2debe poner AP = BP en lugar deAB = BP.

La detección de este error se ladebemos a Ricardo Barroso, aquien le agradecemos su comu-nicación.

143

NORMAS DE PUBLICACIÓN

1. Los artículos se remitirán por triplicado a la redacción de SUMA (Revista SUMA, ICE de Universidad de Zaragoza, C./Pedro Cerbuna 12, 50009 Zaragoza), impresos a doble espacio, por una sola cara, en formato Din A-4.

2. Los datos de identificación del autor no deben figurar en el texto original ya que éste será enviado a asesores para serreferenciado. Estos en ningún caso serán informados de la identidad del autor o autores del trabajo y aconsejarán laconveniencia o no de la publicación del trabajo, o recomendarán posibles modificaciones, etc.

3. Los gráficos, diagramas y figuras se enviarán en hojas separadas (una para cada gráfico), en tinta negra sobre papelblanco. Así mismo, podrán incluirse fotografías. En el texto debe figurar el lugar donde deben ser colocadas; de igualforma, si tiene que llevar un pie de ilustración, éste se reseñará en la hoja donde aparece la ilustración.

4. Adjunto al artículo se redactará un resumen, de entre cinco y diez líneas, que no necesariamente tiene que coincidircon la Introducción al artículo. Debe ir escrito en hoja aparte. En ese mismo folio aparecerán los datos de identifica-ción del autor o autores: nombre y apellidos; dirección completa; lugar de trabajo; teléfono de contacto; sociedad fede-rada a la que pertenecen (si procede).

5. Si se usa procesador de texto, agradeceremos que además se envíe un disquette con el archivo de texto que contengael artículo, así como tantos archivos gráficos, como figuras elaboradas con el ordenador se quiera incluir. La etiquetadel disquette debe identificarlo sin lugar a dudas. En cuanto al formato de los archivos de texto, se recomienda MS-Word (hasta versión 5.0) en Macintosh, o WordPerfect (hasta versión 5.1) en PC. Los archivos gráficos es preferibleque tengan formato EPS o TIFF.

6. En cualquier caso, tanto un ejemplar del texto como los gráficos, si proceden de impresoras, deben ser originales y nofotocopias.

7. Los trabajos se enviarán completos, aunque por necesidades de edición pudieran publicarse por partes.

8. Las notas a pie de página deben ir numeradas correlativamente, numeradas con superíndices a lo largo del artículo.

9. La bibliografía se dispondrá al final del artículo, por orden alfabético de apellidos, indicando autor(es), año, título delartículo, título de la revista completo (en cursiva o subrayado), volumen y páginas del mismo. Por ejemplo:

TRIGO, V. (1995): «Generación de números aleatorios», Suma, n.° 20, 91-98.

En el caso de libros se indicará el autor(es), año, título completo (en cursiva o subrayado), editorial y lugar de edición.Por ejemplo:

GARDNER, M. (1988): Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas, Labor, Barcelona.

En el caso de artículos que se encuentran en una obra colectiva se indicará el autor(es), año, título del artículo (entrecomillas), título del libro (en cursiva), editorial y lugar de edición. Por ejemplo:

VILLARROYA, F. (1987): «Geometría: construir y explorar», en Aspectos didácticos de matemáticas, 2, ICE Universidadde Zaragoza, Zaragoza.

10. Dentro del texto, las referencias a la bibliografía se indicarán con el apellido del autor y el año entre paréntesis. Porejemplo: …supone un gran avance (Hernández, 1992).

Si el autor aparece explícitamente en el texto tan sólo se pondrá entre paréntesis el año. Por ejemplo: …según Rico(1993).

11. Posteriormente, se notificará a los interesados la aceptación o no del artículo, así como -–en caso afirmativo– la posi-ble fecha de su publicación. En ese momento los autores se comprometerán a retirar el artículo de otras publicacionesa las que lo hayan remitido. No se mantendrá correspondencia sobre las causas de no aceptación de un artículo.

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