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MATRIZ DE TRANSFERENCIA
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La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con laentrada U(s), o sea
( ) ( ) ( )sUsGsY =El problema es obtener a partir de la representacin del estado deun sistema lineal e invariante en el tiempo la funcin deptransferencia. Si el sistema no cumple con estas dos condiciones,linealidad e invarianza , no es posible establecer esta relacin,puesto que el modelo de la teora clsica requiere que el sistemacumpla con estas condiciones.
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Si el vector de entrada u es r-dimensional y el vector de salida y es m-dimensional. La matriz de transferencia es una matriz mxr
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
UsU
GGGsGsGsG
YsY rL 1112111 ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
=
sU
sU
sGsGsG
sGsGsG
sY
sY rM
LMMM
LM
2
21
222212
El elemento Gij (s) de la fila i y la columna j de G(s) es la funcin de transferencia que relaciona la i i salida con la j i entrada
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sUsGsGsGsY rmrmmm 21transferencia que relaciona la i-sima salida con la j-sima entrada siguiendo los mismos pasos.
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La expresin de un sistema lineal e invariante es:
BUAXX +=&DUCXYBUAXX
+=+=
P i l d l l d l f i d t f iPara aproximar el modelo al de la funcin de transferencia setoman transformadas de Laplace y se establece una relacin entrela entrada y la salida. X(0) es el vector de condiciones iniciales yse considera igual a cero
( ) ( ) ( ) ( )sBUsAXXssX += 0se considera igual a cero.
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sDUsCXsY +=
-
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )sUDBAsICsY sBUAsIsX += =
1
1
( ) ( )[ ] ( )( ) ( ) DBAsICsG
sUDBAsICsY
+=+=
1
L f i d t f i i l l i t d lidLa funcin de transferencia que rige la relacin entrada salida esnica, sea cual sea el modelo de estado del sistema.
como:
[ ] [ ] [ ]TAsIAdjAsIAsI = det 11
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Se concluye que el polinomio caracterstico del sistema es:
( ) [ ]AId t( ) [ ]AsIsp = detPor lo que los polos del sistema coinciden con los valores propiosde la matriz Ade la matriz A.
El polinomio caracterstico solo depende de la matriz A.
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Ejemplo:
Obtener la F T del sistema q e aparece en la sig iente fig raObtener la F.T. del sistema que aparece en la siguiente figura.
2 1x&
5
yu 3
2x&
5 2
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Del diagrama se obtienen las siguientes ecuaciones de estado ysalida.
212
211
5325uxxxuxxx
+=+=
&&
21 2xxy +=En forma vectorial matricial
( )
+
=
2
1
2
1
52
1315
tuxx
xx&&
[ ]
=
2
1
22
21xx
y
-
La funcin de transferencia del sistema es.
( ) ( ) DBAsICsG += 1( ) ( ) DBAsICsG +=( ) [ ]
+=
52
1315
211s
sG( ) [ ] + 513 s( )( ) ( )( )
+2
11s
( ) [ ] ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
+++
++
++++=52
425
423
424221
sss
ss
sssssG
( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
++++++
+++++
+=52
4252
421
426
421
sss
ssssssssG ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5ssssssss
-
( ) ( )( ) ( )( ) 52
4292
427
+++
+++=
sss
ssssG ( )( ) ( )( )( )
( )( )( )
( )( ) ( )( )425912
42925
4272
+++=
++++++
+=
sss
sss
sss
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )42
5912++
+= sU
sYF.T.( ) ( )( )42 ++ sssU
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Ejemplo:
Obtener la F T del sistema que aparece en la siguiente figuraObtener la F.T. del sistema que aparece en la siguiente figura.
3x&
u y
3x 2x 1x6
611
6
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Del diagrama se obtienen las siguientes ecuaciones de estado ysalida.
32
21
xxxx
==
&&
1
3213 66116xy
uxxxx=
+=&
En forma vectorial matricial
0010 xxx&[ ]
=
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
001600
6116100010
xxx
yuxxx
xxx
&&
333
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La funcin de transferencia del sistema es.
( ) ( ) DBAsICsG += 1( ) ( ) DBAsICsG +=( ) [ ]
=
00
1001
001
1
ss
sG( ) [ ]
+
=60
611610001
sssG
611666
16116
161166
66116
2
2
2
2
2
2
++++
++
++
ssssss
sss
sssssssss
T
( )6116
6116
6116
12323
1
+++=+++
= sss
sss
sss
ssAsI
-
( ) [ ]
+++++++
++++
++
00
001 666116
16116
66116
116
2
232323
2
sssssssss
ssss
ss
G( ) [ ]
=++++++
+++
++++++
++++
60001
61166116611
61166
611661166
61166
23
2
2323
232323
ssss
ssss
ssss
ssss
sssss
ssssG
( ) [ ] = +++ 00161162 ssssG( ) [ ] = +++++++++ 60611661166116 232323 ssssssssssG( )6( ) ( )( )sUsY
ssssG =+++= 6116
623 F.T.
