΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος Δ. 37 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουμε πως μπορούμε να μελετήσουμε μια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουμε μερικούς ορισμούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισμός : Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται άρτια αν για κάθε Α ∈ x ισχύει και A x ∈ − και ) ( ) ( x f x f = − Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας άρτιας συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y ' . Παράδειγμα: Η 2 ) ( x x f = είναι άρτια γιατί έχει πεδίο ορισμού το ℜ και για κάθε ∈ x ℜ ισχύει ∈ − x ℜ και ) ( ) ( ) ( 2 2 x f x x x f = = − = − . Ορισμός: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιττή αν για κάθε Α ∈ x ισχύει και A x ∈ − και ) ( ) ( x f x f − = − Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0). Παράδειγμα: Η 3 ) ( x x f = είναι περιττή γιατί έχει πεδίο ορισμού το ℜ και για κάθε ∈ x ℜ ισχύει ∈ − x ℜ και ) ( ) ( ) ( 3 3 x f x x x f − = − = − = − . 0 , ) ( 2 > = α αx x f 0 , ) ( 3 > = α αx x f
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
37
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να
δώσουµε µερικούς ορισµούς.
Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια αν για κάθε Α∈x
ισχύει και Ax∈− και )()( xfxf =−
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως
προς τον άξονα yy' .
Παράδειγµα: Η 2)( xxf = είναι
άρτια γιατί έχει πεδίο ορισµού το ℜ
και για κάθε ∈x ℜ ισχύει ∈− x ℜ
και )()()( 22 xfxxxf ==−=− .
Ορισµός: Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται περιττή αν για κάθε Α∈x
ισχύει και Ax∈− και )()( xfxf −=−
Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως
προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0).
Παράδειγµα: Η 3)( xxf =
είναι περιττή γιατί έχει πεδίο
ορισµού το ℜκαι για κάθε ∈x
ℜ ισχύει ∈− x ℜ και
)()()( 33 xfxxxf −=−=−=− .
0,)( 2 >= ααxxf
0,)( 3 >= ααxxf
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
38
Μονοτονία (γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα
Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα (↑ ) σε ένα διάστηµα ∆ του
πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε ∆∈21, xx ισχύει αν 21 xx < τότε
)()( 21 xfxf < .
Παράδειγµα: Η 3)( xxf = είναι γνησίως
αύξουσα γιατί:
)()( 213
23
121 xfxfxxxx <⇒<⇒<
Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα )(↓ σε ένα διάστηµα ∆ του
πεδίου ορισµού της , όταν για οποιαδήποτε ∆∈21, xx ισχύει αν 21 xx < τότε
)()( 21 xfxf > .
Παράδειγµα: Η 32)( +−= xxg είναι γνησίως φθίνουσα γιατί:
Σχόλιο: Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως µονότονη.
)()(323222 21212121 xgxgxxxxxx >⇒+−>+−⇒−>−⇒<
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
39
Παρατηρήσεις 1. Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα), η γραφική της
παράσταση «ανεβαίνει» («κατεβαίνει») όταν προχωρούµε από αριστερά προς τα
δεξιά.
2. Μπορούµε να εξετάσουµε την µονοτονία µιας συνάρτησης χρησιµοποιώντας το
λόγο µεταβολής : 21
21 )()(
xx
xfxf
−
−=λ .
Αν 0>λ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.
Αν 0<λ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.
Αν 0=λ τότε η συνάρτηση είναι σταθερή.
Εµείς στα παραδείγµατα που θα δώσουµε θα θεωρούµε ότι 01221 >−⇔< xxxx και
παίρνοντας τη διαφορά )()( 12 xfxf − θα καταλήγουµε στη µορφή )( 12 xx −λ που θα
εξαρτάται από την ποσότητα λ.
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
40
Ακρότατα (Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης)
Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει ελάχιστο στο ox ,
Axo ∈ όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει )()( oxfxf ≥ .
Παράδειγµα: Η 12)( +−= xxf έχει ελάχιστο γιατί ισχύει 02 ≥−x ∈∀x ℜ
1)(112 ≥⇒≥+−⇒ xfx Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο ox το 1)( =oxf
20202 =⇒=−⇒=−⇒ ooo xxx . Άρα, )2()( fxf ≥ ∈∀x ℜ , δηλαδή έχει
ελάχιστο στο (2, 1).
Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο ox ,
Axo ∈ όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει )()( oxfxf ≤ .
Παράδειγµα: Η 2)( xxf −= έχει µέγιστο γιατί ισχύει 02 ≥x ∈∀x ℜ
0)(02 ≤⇒≤−⇒ xfx . Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο ox το 0)( =oxf
002 =⇒=−⇒ oo xx . Άρα, )0()( fxf ≤ ∈∀x ℜ , δηλαδή έχει µέγιστο στο (0, 0).
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
41
ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν θέλουµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση κάνουµε διαδοχικά τα παρακάτω
1. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της
2. Εξετάζουµε αν είναι άρτια ή περιττή
3. Εξετάζουµε τη µονοτονία της
4. Εξετάζουµε αν έχει ακρότατα
5. Εξετάζουµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης για πολύ µεγάλες ή για πολύ µικρές
τιµές του x .
6. Κάνουµε πίνακα τιµών και σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση, λαµβάνοντας
υπόψη όλα τα προηγούµενα.
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
42
ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
βα += xxf )( (εξίσωση ευθείας)
2)( xxf α= (παραβολή)
↓ στο ]0,(−∞ , ↑ στο ),0[ +∞
Ελάχιστο στο Ο(0,0)
↑ Στο ]0,(−∞ , ↓ στο ),0[ +∞
Μέγιστο στο Ο(0,0)
β=y ,α=0 σταθερή
0, <+= αβαxy Γν. φθίνουσα
0, >+= αβαxy Γν. αύξουσα
0,2 >= ααxy
0,2 <= ααxy
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
43
0,)( ≠= xx
xfα
(Υπερβολή)
Περιττή συνάρτηση
Συµµετρική ως προς το Ο(0,0)
↓ στο )0,(−∞ , ↓ στο ),0( +∞
Ακρότατα δεν έχει
↑ στο )0,(−∞ , ↑ στο ),0( +∞
Ακρότατα δεν έχει
0, <= ααx
y
0, >= ααx
y
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
44
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις
i). xxxf 54)( 3 +=
ii). 7
45)(
2
35
+
−=
x
xxxf
iii). 34
3)(
2
+=
x
xxxf
iv). 22)( ++−= xxxf
v). 2
32)(
2
2
−
+=
x
xxf
vi). 14)( 2 −+= xxxf
vii). xxxf 32)( 2 −=
viii). 0
0
,
,)(
2
2
≥
<
−
=x
x
x
xxf
ΛΥΣΗ i). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι
)()54(54)(5)(4)( 333 xfxxxxxxxf −=+−=−−=−+−=− άρα είναι περιττή.
ii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί 072 ≠+x ∈∀x ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ
είναι )(7
45
7
45
7)(
)(4)(5)(
2
35
2
35
2
35
xfx
xx
x
xx
x
xxxf −=
+
−−=
+
+−=
+−
−−−=− άρα
περιττή.
iii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί 034 ≠+x ∈∀x ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ
είναι )(34
3
34
)(3)(
22
xfx
xx
x
xxxf =
+=
+−
−−=− άρα άρτια.
iv). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι
)(22)2()2(22)( xfxxxxxxxf =−++=−−++−=+−+−−=− άρα
άρτια
΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.
45
v). Πρέπει 22002 222 ±≠⇔≠⇔≠⇔≠− xxxx άρα πεδίο ορισµού Α=ℜ
2,2−− . Άρα, Α∈−Α∈∀ xx , είναι
)(2
32
2
3)(2)(
2
2
2
2
xfx
x
x
xxf =
−
+=
−
+−=− άρα άρτια.
vi). Πρέπει 101 ≥⇔≥− xx . Άρα, πεδίο ορισµού ),1[ +∞=Α για το οποίο
Α∈−Α∈∀ xx , . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή.
vii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι
)(32)(3)(2)( 22 xfxxxxxf ±≠+=−−−=− . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια,
ούτε περιττή.
viii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι
)(0
0
,
,
0
0
,)(
,)()(
2
2
2
2
xfx
x
x
x
x
x
x
xxf −=
>
≤
−=
>−
<−
−
−−=− άρα περιττή.
2. ∆ίνεται µια περιττή συνάρτηση f . Να αποδειχθεί ότι : 0)0( =f
ΛΥΣΗ Επειδή η f περιττή, θα είναι )()( xfxf −=− Α∈∀x (όπου Α το πεδίο ορισµού). Τότε