(3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 - CCLccl.snu.ac.kr/papers/journal_dome/journaldome200610.pdf · 2014. 12. 12. · Tanner LDPC 부호의최소해밍거리는20이라는사

I. 서 론

최근들어우수한특성을갖는 LDPC(low-densityparity-check) 부호는통신, 방송, 저장매체등다양한분야에서표준으로제안되어사용되고있다. 구체적으로 광대역 무선 접속 표준인 IEEE 802.16e[1]에

LDPC 부호가 선택사항으로 포함되었고 무선랜에서의통신속도에대한한계극복을위한 IEEE 802.11n[2]의 물리계층에서의부호기술로제안된바있다. 또한유럽의새로운위성디지털방송규격인 DVB-S2 표준[3]에 채택되기도 하였다. 저장 매체 분야에서도 높은부호율에서 우수한 오류정정 능력을 갖는 LDPC 부호

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장민호, 신범규, 박우명, 노종선: 서울대학교

정하봉: 홍익대학교

(3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석

Analysis on the Stopping Sets in (3,5) Tanner QC-LDPC Codes

장민호·신범규·박우명·노종선·정하봉

Min-Ho Jang ·Beomkyu Shin ·Woo Myoung Park

Jong-Seon No ·Habong Chung

최근들어LDPC(low-density parity-check) 부호는다양한분야에서표준으로제안되어채택되고있다. 이러한상황에서실제구현측면에서구조화된 LDPC 부호에대한관심역시높아지고있다. 특히준순환 LDPC 부호로부터파생된부호들은이러한구조적인형태뿐만아니라분석측면에서도장점을갖고있어더욱관심의중심에있다. 이러한준순환LDPC 부호의 성능을 분석하기 위한 하나의 접근 방법으로 차단 집합(stopping set)의 개념을 적용하는 것이 가능하다.차단집합이 BEC(binary erasure channel)에서반복복호를사용하는경우 LDPC 부호의성능을결정짓는다는사실은이미알려져있다. 본논문에서집중적으로다루고있는준순환LDPC 부호는 (3,5) Tanner 부호로조합수학을이용하여그구조적인특성이엄격한규칙성을띄고있기때문에차단집합의개념을도입하기에적당한부호이다. 본논문에서는정형화된LDPC 부호의성능분석을위하여차단집합과관련된몇가지유용한정리들과가설들을제시하였다. 이를토대로기타채널에서의구조적인LDPC 부호의성능예측을위한토대를마련하였다.

주제어: 차단집합, LDPC(low-density parity-check) 부호, 준순환부호

Recently low-density parity-check(LDPC) codes are proposed and adopted as international standards ofvarious systems. For many practical applications, there have been a lot of interests for the codes designed withsome algebraic structure. Especially, a class of quasi-cyclic(QC) LDPC codes is in the center of focus with itseasy-to-analyze properties. As the way to analyze this kind of QC LDPC codes, we adopted the concept ofstopping sets. It is well-known that stopping sets determine the performance of LDPC codes under iterativedecoding over the binary erasure channel(BEC). We focused on the (3,5) Tanner code, an important class of QCLDPC codes, which is adequate to introduce the concept of stopping set with its combinatorial characteristics. Inthis paper, some useful theorems and conjectures related to the stopping sets are presented for the analysis on theperformance of structured LDPC codes.

Keywords: Low-density parity-check (LDPC) code, Quasi-cyclic (QC) code, Stopping set

에대한연구가활발히이루어지고있다. 이러한상황에서실제구현에용이하도록구조화된 LDPC 부호에대하여관심이높아지고있는데그중에서도특히준순환LDPC 부호[4]~[6]로부터파생된부호들이각광을받고있다.구조적으로 생성된 준순환 LDPC(QC-LDPC) 부

호는부호길이가수천정도에서일반적인방법으로생성된불규칙LDPC 부호보다우수한성능을보일수있다. 또한 준순환 LDPC 부호는 쉬프트 레지스터를 이용하여선형시간에부호화가가능하여구현상많은장점을 가지고 있다. 부호의 길이가 Lp인 준순환 LDPC부호에 대한 패리티 검사 행렬은 p×p 회귀 치환(circulant permutation) 행렬들로 구성된 J×L 배열이다. 이때 LDPC 부호가 짧은 사이클을 갖지 않도록회귀치환의이동값(shift value)을효율적으로선택하는 것이 중요하다. 그러므로 대수학적으로 이동 값을결정하여 12이상의 거스 (girth)를 보장하는 Tanner(3,5) 준순환 LDPC 부호는 이러한 목적에서 우리의관심의대상이라하겠다.LDPC 부호의성능에직접적인영향을미치는요인

을규명하려는많은노력이있었다. 기존오류정정부호의 성능 지표였던 최소 해밍 거리, LDPC 부호의 잉여(extrinsic) 메시지 사이의 상호 독립성을 보장하기 위하여 제기된 거스에 관한 연구가 그것이다. 하지만 이러한인자들이 LDPC 부호의성능에일정부분관계가있지만 본질적으로 성능을 지배하는 인자를 찾기 위한연구들이 계속 되었다. 차단 집합(stopping set)의 개념은이러한대안중의하나로LDPC 부호의성능측면에서의 특성을 분석하기 위하여 Di 등에 의하여 처음소개되어 BEC(binary erasure channel)에서 그 의미가 분석되었으며[7] 그 이후 많은 후속 연구에서 최소거리(minimum distance)와의 관계[8], 거스에 의해결정되는최소크기차단집합(minimal stopping set)의크기에대한상한과하한등이규명되었다[9].본 논문은 Tanner (3,5) 준순환 LDPC 부호에 대

하여최소크기차단집합을찾고유용한정리들을소개하려는 목적에서 다음과 같이 구성되어 있다. 제 II장에서차단집합과 (3,5) Tanner 부호에대한개념을간략하게 소개한다. 제 III장은 주어진 거스 조건에서dv=3에 대한 최소 차단 집합을 찾고, 이를 Tanner(3,5) 부호에 적용하여 유효성을 검증한다. 또한 차단집합에대한몇가지유용한정리와가설들을소개한다.

II. 배경지식

1. 차단집합(Stopping Set)

•정의1(차단집합, [7]): 차단집합은변수노드들로구성된집합의부분집합으로모든이웃한노드들이해당집합에최소한두번이상연결되어있어야한다.

상기의정의는기본적으로공집합역시차단집합에포함됨을 의미하며 부호어 역시 차단 집합에 해당함을알 수 있다. 또한 별도의 두 차단 집합의 합집합 역시또 다른 차단 집합이 됨을 알 수 있다. 그림 1을 보면{v6, v7, v8, v9}의 집합에 c0부터 c4까지의 체크 노드들이둘이상의에지로연결되어있으므로이집합은차단집합을형성한다.

Di 등은 BEC에서 LDPC 부호를반복복호하는과정에서차단집합이다음과같은중요한역할을하는것을보인바있다[7]. BEC에서채널에의해소거된부분에 해당하는 비트들의 집합에 차단 집합이 포함되는경우, 다시 말해 차단 집합 내의 변수 노드들이 채널을통과하면서모두소거된경우를생각해보면반복적으로복호를수행하였을때여전히소거상태로남아있게되어복구할수없는오류패턴이발생하게된다. 이로미루어생각해보면공집합이아닌차단집합의크기가작을수록 집합 전체가 BEC를 통과하면서 소거될 가능

오류정정기법: (3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 750

V0

c0

그림 1. 차단집합의예

c1 c2 c3 c4

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9

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성이 매우 커지므로 반복 복호가 적용된 BEC에서LDPC 부호의 성능을 좌우하게 된다. 이는 BSC에서ML 복호를사용하는경우최소거리에의해성능이결정되는것과같은방식으로이해할수있다. 다만일반적으로반복복호기에서는지역적으로동작하는최적이아닌특성으로인해부호어의집합을포함하는더포괄적인개념의차단집합에의해복호기의성능이좌우되는 것으로 간주되고 있다. 따라서 LDPC 부호의 성능을개선하기위해서는작은크기의차단집합들을적게갖거나아예갖지않도록하는것이바람직하다.앞에서 살펴본 바와 같이 관심의 대상이 되는 차단

집합은공집합이아닌차단집합이되고그중에서도최소의크기를갖는차단집합을최소크기차단집합이라한다[8]. 최소 크기차단집합의크기는 smin으로표시한다. 최소 크기 차단 집합의 크기에 대한 가장 기본적인상한으로 dmin과의관계를생각해볼수있다. 하나의부호어는차단집합의조건을만족하기때문에역시하나의차단집합으로볼수있다. 따라서선형부호에서 모든 비트가 0으로 구성되는 부호어를 제외하면 가장적은수의 1을갖는부호어의경우 dmin개의변수노드들이 모여 차단 집합을 형성하게 된다. 따라서 다음의관계가성립하게된다.

smin≤dmin (1)

2. Tanner (3,5) 준순환LDPC 부호

Tanner는 블록 형태의 준순환 LDPC 부호의 이동값을 대수학적 구조를 이용하여 결정함으로써 일정 값이상의거스를보장하였다[4],[5]. 구체적으로 패리티검사행렬내에있는각각의성분블록들은정수모듈로p의 집합에서 승법군(multiplicative group)의 구조를이용하여 이동 값을 결정할 수 있다. 소수 p에 대하여{0,1,...,p-1}은 덧셈과 곱셈 연산에 대하여 체(field)를형성한다. 즉 GF(p)의 0이아닌성분은순환승법군을형성한다. 이제 a와 b를 승법 차수(multiplicativeorder)가 각각 L과 J인 두 개의 0이 아닌 원소라 하자.그러면 부호의 길이가 Lp인 (J, L) 준순환 LDPC 부호의패리티검사행렬은 p×p회귀치환행렬들을이용하여다음과같이표시할수있다[6].

I(p0,0) I(p0,1) … I(p0,L-1)I(p1,0) I(p1,1) … I(p1,L-1)

H=⋯ ⋯ ˙̇

˙⋯

I(pJ-1,0) I(pJ-1,1) … I(pJ-1,L-1)

이때 pj,l(0≤j≤J-1, 0≤l≤L-1)은 정수 모듈로 p이고 I(pj ,l)은 0≤r≤p-1인 r번째 행에 대하여 (r+pj ,l)mod p열에 1 성분을 갖는 p×p 회귀 치환 행렬이다.그러므로 I(0)는 p×p 항등행렬을나타낸다. Tanner (3,5) 준순환 LDPC 부호는 pj,l=b j

,al의

이동 값을 갖는 형태로 정의된다(0≤j≤2, 0≤l≤4). p가소수이고 p-1이 15의배수인경우에한정하여, 다음표1에서와같은거스분포결과를얻을수있었다[4].

•예제1: 부호길이가 155이고고안된부호율이 0.4인Tanner (3,5) 준순환 LDPC 부호의 각 회귀 치환행렬의 이동 값은 pj,l=b j

,al=25 j2l 형태로 제시될

수있다. 그러므로이부호의패리티검사행렬은다음과같이나타낼수있다.

I(1) I(2) I(4) I(8) I(16) H= I(25) I(19) I(7) I(14) I(28)

I(5) I(10) I(20) I(9) I(18)

여기서 I(x)는 31×31 항등행렬을 x만큼오른쪽방향으로 순환 이동 시킨 형태이다. 실제 가우스 소거법을이용하면 H의계수(rank)가 91이라는사실을알수있다. 그러므로부호율은 R=64/155≅0.4129이다. 또한 대수학적 연산 툴을 이용하면 p=31인 (3,5)Tanner LDPC 부호의 최소 해밍 거리는 20이라는 사실을확인할수있다.

III. Tanner (3,5) 부호의차단집합분석

모든 선형 부호 C에 해당하는 Tanner 그래프[10]를 G=(V∪C, E)라고표시한다. 여기서 V는변수노드의 집합이고 C는 체크 노드의 집합, E는 변수 노드와체크노드를연결한에지의집합을의미한다.

길이N

소수p

거스 g

155

31

8

305

61

10

755

151

10

905

181

12

1055

211

12

1205

241

12

1355

271

12

2105

421

12

3305

661

12

6455

1291

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5105

1021

12

표 1. Tanner (3,5) 준순환 LDPC 부호에대한거스

경우에서 각 거스 별로 최소 크기 차단 집합의 유형을살펴본다. 표 2는 dv=3인경우다양한 g값에대해하한을만족하는최소크기차단집합에대한표이다. 다음은 각 거스에 따라 하한을 만족하는 최소 크기

차단집합에대한예시이다. 거스가 14인 경우에는다음에나올정리 1에의해서최소값인 22의크기를갖는차단집합이존재하지않음을확인할수있다. 그외거스가 최대 16까지의 경우에 대해서는 하한을 만족하는차단 집합을 찾을 수 있다. 그림을 단순하게 표시하기위하여 체크 노드의 표현은 생략하였다. 즉 변수 노드사이에연결된선은체크노드를통하여연결된것이므로그림에서하나의선은두개의에지가직렬로연결된형태이다.그림3부터그림7까지는거스가6, 8, 10, 12, 16인경

우하한을만족하는최소크기차단집합의예이다. 거스의크기가 14인 경우 다음의 정리를 통하여 하한을 만족하는차단집합이존재하지않다는것을알수있다.

•정리1: dv=3이고 g=14인 경우 최소 차단 집합의개수는22가될수없다.

•증명: g=14를 만족시키기 위해서는 그림 2와 같이Tanner 그래프를 트리 구조로 표현했을 때 4단계의모든노드까지표시되어야한다. 그림 8은마지막 4단계의 12개 변수 노드에 대한 연결을 표현하고 있다. 여기서 a, b, c, d, e, f는 1~3단계의변수노드를 의미한다. 우선 일반성을 잃지 않고 1번 노드와5, 9번 노드를 연결할수있다. 이 경우 2번 노드는6과 10에 연결하면 g＜14가 되므로 7,8 / 11,12와

G의 거스와 변수 노드의 차수를 이용하여 해당 부호에서의차단집합크기의상한과하한을구할수있다[9].d를변수노드의차수, g는 G의거스라할때차단집합의최소크기를 σ(d, g)라하자. d=2인경우 g와상관

g없이 σ(d, g)=------이다. d＞2인 경우에도 σ(d, 2)=1과2σ(d, 4)=2이 됨을 쉽게 알 수 있다. 그리고 g=6, 8인경우는 d와 상관없이 각각 σ(d, 6)=d+1, σ(d, 8)=2d이다. 그외의 σ(d, g)의상한과하한은다음과같이구할수있다.

g-6---------------

4 g1+ Σ d(d-1)i ------odd

i=0 2 σ(d, g)≥

g-8------------------ g-4

4 -------------- g1+ Σ d(d-2)i+(d-2) 4 ------even

i=0 2

4 σ(d, g)≤--------------(d-1)g+2

d-2

1. dv=3에서최소크기차단집합의하한과예시

위의 하한은 그림 2와 같이 Tanner 그래프를 트리구조로 표현하면 쉽게 이해할 수 있다. Tanner (3,5)부호에서 차단 집합을 찾아보기 위하여 우선 dv=3인

오류정정기법: (3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 752

gSmin, bound

Smin

6

4

4

8

6

6

10

10

10

12

14

14

14

22

24

16

30

30

표 2. dv=3에서거스에따른최소크기차단집합의크기에대한하한(smin, bound)과 실제크기(smin)

Level 1

Level 2

Level 3

Level 4

그림 2. 트리구조로표현한 Tanner 그래프

연결해야 한다. 여기서 2번 노드와 7번, 11번 노드를 연결한다고 가정하면 5번 노드에서 G3로 연결하는방법은유일하게12번노드밖에없다.

3번노드와 4번노드를G2와연결하는방법은각각3번과 6번, 4번과 8번을연결하는방법과 3번과 8번, 4번과 6번을 연결하는 방법이 존재한다. 두 경우 모두

753 Telecommunications Review·제16권5호·2006년10월

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그림 3. 거스가 6일때최소크기차단집합의예

그림 4. 거스가 8일때최소크기차단집합의예

그림 5. 거스가 10일때최소크기차단집합의예

오류정정기법: (3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 754

일반성을 잃지 않으므로 여기서는 3번과 6번, 4번과 8번이 연결되었다고가정한다. 그런 경우 6번 노드에서G3로 연결하는 방법은 10번 노드와 연결하는 방법만존재한다.7번노드에서G3로연결하기위해서는 9번이나 11

번 노드와 연결해야 하는데 두 경우 모두 14보다 작은cycle이 존재한다. 따라서 22개의 변수 노드로 g를 만족시키는차단집합은구성할수없다. □위의 정리에 의해그림 9가 거스가 14인 경우 최소

의크기를갖는차단집합이되며표2에나와있는것처럼24의크기를갖는다는것을확인할수있다.

2. 유용한정리와가설들

다음은 (3,5) Tanner 부호의 차단 집합을 찾는데필요한몇가지정리와가설이다. 여기서열블록은확장된 부호 중에서 모 부호의 한 열에 해당하는 전체 열집합이며 행 블록은 확장된 부호 중 모 부호의 한 행에해당하는전체행의집합을의미한다.

•정리 2: 2개의 열 블록으로 구성된 차단 집합은 열블록의모든열을선택한경우한가지만존재한다.

•증명: 차단 집합이 되기 위해서는 각 행의 1의 개수

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그림 6. 거스가 12일때최소크기차단집합의예

그림 7. 거스가 16일때최소크기차단집합의예

1 1

1

755 Telecommunications Review·제16권5호·2006년10월

가 0이거나 2이어야 한다. 만약 첫 번째 열 블록에서 어느 한 열을 선택한다면 두 번째 열 블록에서도같은행에1이있는열을선택해야한다.

임의로두개의열블록을선택한후열치환을수행하여 그림 10과 같이 변형시킨다. 여기서 실선은 1의값을갖는원소의위치를나타낸다. Tanner 부호의임의의두열에서이동값의차이는서로다르다. 따라서첫번째열블록의두번째행블록의이동값과두번째열블록의두번째행블록의이동값은서로다른값을갖는다. 여기서일반성을잃지않고처음두열블록을선택한다. 이 경우 두 번째 행 블록의 이동 값은 각각a0(b1-b0)=c과 a1(b1-b0)=d, c≠d이된다.이제첫번째열블록부터차례대로하나씩열을선

택한다. 편의상첫번째열을선택하면위두블록에서

1의 위치는 각각 0번째와 c번째가될 것이다. 두 번째열블록에서둘중하나의1과같은행의열을선택해야한다. 여기서는첫번째 1을 선택하자. 이 경우 두번째 열 블록에서 선택한 열에서 1의 위치는 각각 0번째와 d번째가 된다. 이와 같은 방법으로 계속 한 행당 1의개수를 2개로만들기위해서는그림 11과같은열을선택해야한다.위에서 선택한 열이 차단 집합이 되기 위해서는 모

든행의 1의개수가 0 또는 2가되어야한다. 따라서위의경우다른행의 1의개수는모두짝수가되었으므로c와 (m+1)d-mc의값이같으면차단집합이된다.

(m+1)d-mc≡c(mod p)

a

1 2 3 4

5

6

7

89

그림 8. dv=3일때 , g=14를만족하도록변수노드를연결하는방법

그림 9. 거스가 14일때최소크기의차단집합의예

10

11

12

G1

G2 G

3

b

c

de

f

오류정정기법: (3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 756

(m+1)d≡(m+1)c(mod p)

(m+1)a1(b1-b0)≡(m+1)a0(b1-b0)(mod p)

(m+1)a≡(m+1)(mod p)

위의식에서 a는 Tanner 부호의이동값조건에의하여 0과 1이 될 수 없으며 p가 소수이므로 a와 p,m+1과 p는서로소이다. 따라서 m+1≡0(mod p)인경우를제외하고는등식이성립할수없다. 즉두개의열블록각각 p개만큼의열을선택하는경우에만차단집합이존재한다. □

•정리 3: 3개 이상의 열 블록에서 선택할 경우차단 집합은블록내의일부열의조합으로구성할수있다.

•증명: 3개 이상의 블록 전체를 선택한 경우 한 행당1의개수가2보다큰값을갖는다. 따라서각행의1의 개수가 1이 되지 않도록 적절히 열을 몇 개 제거

할수있다. 그러므로 3개 이상의열블록에서는일부의열만선택하여차단집합을구성할수있다. □

다음의가설들은 (3,5) Tanner 부호에서차단집합을구하는데실질적인도움을줄수있는내용이다.

•가설 4: 더 많은 열블록에서열을선택하는경우보다작은크기의차단집합을얻을수있다.

•가설 5: 최소 크기의차단집합은전체열블록에균일하게분포되어있다.

II장의 예제1에서 살펴본 바와 같이 (3,5) Tanner부호 중 p=31인 경우 대수학적 연산 툴을 통하여dmin=20이라는 사실은 이미 알려져 있다. 그림 12는실제로이동값을각각 a=25, b=2로선택하였을경우dmin=20이 되는 열을 선택한 결과이다. 이 경우에 대한패리티검사행렬은예제1에나타나있다. 그림 12에서각블록의숫자는해당블록에서 1이몇

번째 행에 위치하는지를 의미하는 값이다. 따라서 어느

그림 10. (3,5) Tanner 부호에서두개의열블록을선택한후열치환을수행한행렬

0 0

a0(b1-b0)

(0, c)

(d-c, d)

(2d-2c, 2d-c)

(md-mc, md-(m-1)c)

그림 11. 차단집합을구성하기위해선택한열에서첫번째블록과두번째블록의 1의위치

(md-mc, (m+1)d-mc)

(2d-2c, 3d-2c)

(d-c, 2d-c)

(0, d)

a1(b1-b0)

IV. 결 론

본 논문에서는 최근 주목 받고 있는 구조화된LDPC 부호의비교적단순한형태인 (3,5) Tanner 부호를 이용하여 LDPC 부호의 성능, 특히 오류 마루(error floor) 영역에서의성능에큰영향을주는것으로받아들여지는차단집합의분포및최소크기에대하여분석하여보았다. 이를위하여 dv=3인경우기존에제시되었던차단집합의최소크기에대한하한이만족되는경우를찾아내었다. 또한 (3,5) Tanner 부호의최소크기차단집합에대한유용한정리들과가설들을제시하였으며 (3,5) Tanner 부호의일부경우에대한최소거리를만족하는경우를밝힘으로써최소크기차단집합의상한및하한의범위를좁혔다. 이 후의연구는본 논문에서 제시한 몇 가지 가설들의 성립 여부를 검증하고 AWGN 채널등다양한채널환경에서차단집합이LDPC 부호의성능에어떠한영향을주는지를밝히는데집중될 것이며 차단 집합과 관계가 있는 것으로 알려져있는트래핑집합(trapping set)과 가상부호어(pseudo-codeword)를이용한분석역시수행될것이다.

[참고문헌]

[1] IEEE 802.16 Working Group, ''Part 16: Air interface forfixed and mobile broadband wireless access systems,''IEEE P802.16e/D8, May 2005.

한집합이최소거리가되기위해서는한행에대하여같은숫자가짝수개만큼있어야한다. 위의 경우 어떠한행에 대해서도 모두 같은 숫자가 2개씩 존재하므로 위의20개열의집합은최소거리를만족하게된다.이와같은방법으로 p=61인경우에최소거리를만

족하는집합을찾았다. a=9, b=47로선택한경우패리티검사행렬은다음과같이표현할수있다.

I(1) I(9) I(20) I(58) I(34) H= I(47) I(57) I(25) I(42) I(12)

I(13) I(56) I(16) I(22) I(15)

그림 13은 dmin=20이 되는 집합이다. p=31인 경우와 마찬가지로 각 블록의 숫자는 해당 블록에서 1이몇번째행에위치하는지를의미하는값이다.II장에서최소거리를만족하는변수노드의집합은

차단집합이됨을밝혔고그관계가 (1)식에나와있다.따라서 (3,5) Tanner 부호 중 p=31, 61인 경우에는dmin=20이 성립하므로 이 부호에서의 최소 크기 차단집합은 20 이하라는 것을 알 수 있다. 우리는 다음의가설을 통해 위 부호에서 20보다 작은 차단 집합은 없다는것을제시한다.

•가설 6: (3,5) Tanner 부호 중 p=31, 61인 경우의최소크기차단집합크기는20이다.

757 Telecommunications Review·제16권5호·2006년10월

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그림 12. p=31, a=25, b=2 인 (3,5) Tanner부호에서 dmin=20이되는열의집합

그림 13. p=61, a=9, b=47 인 (3,5) Tanner 부호에서 dmin=20이되는열의집합

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46

3

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오류정정기법: (3,5) Tanner 준순환LDPC 부호의차단집합분석 758

장민호(Min-Ho Jang)

1999. 3~2002. 8: 연세대학교기계전자공학부학사2002. 9~2004. 8: 서울대학교전기컴퓨터공학부석사2004. 9~현재: 서울대학교전기컴퓨터공학부박사과정관심분야: 오류정정부호, LDPC부호, 무선통신시스템E-mail: [email protected]:+82-2-880-1773Fax:+82-2-873-1772

신범규(Beomkyu Shin)

1995. 3~1999. 2: 서울대학교전기공학부학사1999. 2~2002. 1: Locus 주식회사연구원2002. 1~2003. 6: Humax 주식회사전임연구원2004. 3~현재: 서울대학교전기컴퓨터공학부

석사박사통합과정관심분야: 오류정정부호, LDPC 부호, Iterative

DecodingE-mail: [email protected]:+82-2-880-1773Fax:+82-2-873-1772

759 Telecommunications Review·제16권5호·2006년10월

박우명(Woo Myoung Park)

1998. 3~2002. 2: 서울대학교전기공학부학사2002. 3~2003. 12: 한국정보시스템연구원2004. 1~2005. 2: Soft i-tech 연구원2005. 3~현재: 서울대학교전기컴퓨터공학부석사과정관심분야: 오류정정부호, LDPC 부호, EXIT ChartE-mail: [email protected]:+82-2-880-1773Fax:+82-2-873-1772

노종선(Jong-Seon No)

1981. 2: 서울대학교전자공학과학사1984. 2: 서울대학교전자공학과석사1988. 2: University of Southern California

전기공학과박사1988. 2~1990. 7: Hughes Network Systems

Senior MTS1990. 8: 건국대학교전자공학과부교수1999. 7~현재: 서울대학교전기컴퓨터공학부교수관심분야: 오류정정부호, 의사불규칙수열, 암호학,

시공간부호, LDPC부호, 무선통신시스템E-mail: [email protected]:+82-2-880-1809Fax:+82-2-880-8185

정하봉(Habong Chung)

1981. 2: 서울대학교전자공학과학사1985. 2: University of Southern California

전기공학과석사1988. 6: University of Southern California,

전기공학과박사1988. 8~1991. 8: 미국뉴욕주립대전기공학과

조교수1991. 9~현재: 홍익대학교전자전기공학부교수관심분야: 부호이론, 조합수학, 시퀀스설계E-mail: [email protected]:+82-2-320-1683