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F413 :METHODES ENERGETIQUES ET MODELISATION PAR ELEMENTS FINIS

• Expression de l’énergie de déformation emmagasinée dans une structure élastique

• Caractérisation du comportement sous charge d’une structure élastique

• Résolution de problèmes hyperstatiques

• Utiliser et comprendre un calcul par éléments finis

Poutres ou assemblage de poutres : Etre capable d’effectuer un calcul manuel

Structures « compliquées » : Comprendre les différentes étapes d’un calcul par éléments finis

1. TRAVAIL ET ENERGIE

• Travail élémentaire d’une force et d’un couple

• Principe de conservation de l’énergie

2. ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE

• Energie de déformation dans une poutre droite

• Cas de la traction, torsion, flexion pure et plane

• Energie de déformation en état plan de contrainte

3. FLEXIBILITE - RIGIDITE

• Matrice de flexibilité – Matrice de rigidité

• Théorème de Castigliano, Maxwell-Mohr

• Problèmes hyperstatiques

METHODES ENERGETIQUES

TRAVAIL ELEMENTAIRE D’UNE FORCE ET D’UN COUPLE

• Une force F travaille lorsque son point d’application A se déplace

A

F

dl

Joule (J) Newton (N) Mètre (m)

• Soit un moment défini en un point A d’un domaine indéformable.

Lors d’une rotation élémentaire du domaine, le moment développe un travail algébrique élémentaire :

AJoule (J) Newton-mètre (Nm) Radian (rd)

B

A

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

On considère une barre :

• homogène, linéairement élastique

• fixe en A et soumise à une traction en B

Etat initial

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

En pratique en dds:

• Etat 1 = état initial avant chargement (énergie potentielle nulle)

• Etat 2 = structure chargée

Matériau élastique

Travail converti entièrement en

énergie stockée dans la barre

Variation d’énergie de déformation

Variation d’énergie potentielle élastique

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

TRAVAIL DES ACTIONSEXTERIEURES APPLIQUEES

AU SYSTEME

ENERGIE DEDEFORMATION ELASTIQUE

(NRJ STOCKEE)=Comment calculer Wext ?

Comment calculer Ed ?

Déformation isotherme (effets thermiques négligés)

Dissipation interne négligée (amortissement)

Action extérieure appliquée lentement (effets d’inertie négligés)Hyp

othè

ses

D

F

A

B

F : Force appliquée au point B

D : Déplacement du point B

E F

GH

O A

BF

P

D1

dl

df

Aire du rectangle EFGH

Aire du triangle OAB

D

TRAVAIL D’UNE FORCE : CAS F ET D COLINAIRES

TRAVAIL D’UNE FORCE : CAS OU F ET D NON COLINAIRES

F = 0 F

TRAVAIL D’UNE FORCE : SYNTHESE

Force appliquée au point B (en Newton)

Déplacement correspondant du point B (en Mètre)Seul le déplacement parallèle à P est intéressant

En Joules (J)

TRAVAIL D’UN COUPLE

C : Couple appliqué au point B

θ : Rotation du point B

Couple appliqué en B (N.m)

Rotation correspondante (rad)(seule la rotation // à C est intéressante)

En Joules (J)

TRAVAIL D’UNE CHARGE REPARTIE

0=q

q

État initial

État actuel

…BA

y

x

q : Charge linéique (N/m)

S : Aire sous la déformée (m2)

TRAVAIL D’UNE FORCE ET D’UN COUPLE

• n actions extérieures Superposition :

0=C

C

État initial

État actuel

…

θ

BA

B’

P

0=P

D

PRINCIPE DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

TRAVAIL DES ACTIONSEXTERIEURES APPLIQUEES

AU SYSTEME

ENERGIE DEDEFORMATION ELASTIQUE

(NRJ STOCKEE)=Comment calculer Wext ?

Comment calculer Ed ?

Déformation isotherme (effets thermiques négligés)

Dissipation interne négligée (amortissement)

Action extérieure appliquée lentement (effets d’inertie négligés)Hyp

othè

ses

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

Le torseur des actions mécaniques

de E2 sur E1 est appelé torseur des

efforts intérieurs ou torseur de cohésion

ou encore torseur de section.

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

TRACTION - COMPRESSION

x x+dx

dx

On considère un tronçon de poutre de longueur dx

Allongement du tronçon : du(x)

Travail développé par la force extérieure :

Relation de comportement en traction :

N

xy

z

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

TORSION

dx

On considère un tronçon de poutre de longueur dx

Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθx(x)

Travail développé par le couple :

Relation de comportement en torsion :

dθx

Constante de torsioncaractéristique de la forme de la section

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

FLEXION PURE

dx

On considère un tronçon de poutre de longueur dx

Rotation relative des deux sections limitant le tronçon de poutre : dθz(x)

Travail développé par le moment extérieur :

Relation de comportement en flexion :

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

EFFORT TRANCHANT

ENERGIE DE DEFORMATION ELASTIQUE : CAS DES POUTRES DROITES

RECAPITULATIF

« Elasticité du matériau »E si contrainte normale

G si contrainte tangentielle

« Géométrie section droite »S si force

I si couple