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Elementos de Geoestadstica 1

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Elementos de geoestadstica

1. Introduccin2. Problema que dio origen a la Geoestadstica

3. Geoestadstica, concepto

4. Variables aleatorias regionalizadas

5. Hiptesis de la Geoestadstica

6. Conocimiento del problema

7. El anlisis estructural

8. Estimacin

9. Geoestadstica Multivariada

10. Geoestadstica no Lineal

11. La Simulacin Geoestadstica

12. Conclusiones

13. Referencias Bibliogrficas.

1. Introduccin

En el campo de las geociencias es comn encontrar variables distribuidas espacialmente. Para elestudio de estas variables son usados diversos procedimientos geoestadsticos de estimacin y/osimulacin. Esto es, a partir de un conjunto de muestras tomadas en localizaciones del dominio enque se manifiesta un fenmeno a estudiar y consideradas representativas de su realidad, que porlo general es siempre desconocida, estos procedimientos permiten la descripcin o caracterizacinde las variables con dos fines diferentes, primero, proporcionar valores estimados en localizacionesde inters y segundo, generar valores que en conjunto presenten iguales caractersticas dedispersin que los datos originales. La geologa y la minera es el campo tpico para la aplicacinde estos modelos, campo en el que surge y se desarrolla la Geoestadstica como ciencia aplicada.Se hace referencia en esta monografa a los conceptos fundamentales de la Geoestadstica. Para

profundizar en el tema puede ser consultada la bibliografa citada.2. Problema que dio origen a la Geoestadstica

La bsqueda, exploracin y evaluacin de yacimientos minerales tiles es una de las actividadesfundamentales que toda empresa minera debe desarrollar durante su vida til, destacndose entreotras tareas: el pronstico cientfico en la localizacin de los yacimientos minerales tiles, laelaboracin de mtodos eficaces para la exploracin y la evaluacin gelogo econmico de losyacimientos para su explotacin (Lepin y Ariosa, 1986; Armstrong y Carignan, 1997; Chica, 1987).Todo esto condicionado al agotamiento de los recursos producto de la explotacin y a lasfluctuaciones de las cotizaciones del mercado. Los trabajos de bsqueda y exploracin se dividenen estadios que son resultado de la aplicacin de un principio importante del estudio del subsuelo,el Principio de Aproximaciones Sucesivas. Cada uno de los estadios culmina con la determinacinlo ms aproximada posible de los recursos minerales del yacimiento, actividad fundamental de las

empresas gelogo - mineras conocida como clculo de recursos y reservas.El desarrollo de la minera ha trado unido el perfeccionamiento de los mtodos de bsqueda de losminerales tiles, y los de la determinacin de su cantidad y utilidad para la extraccin (Lepin y

Ariosa, 1986), adems, el mundo minero se hace cada vez ms competitivo y las compaasnecesitan evaluar su potencial econmico (Berckmans y Armstrong, 1997). Existen actualmentedos formas de realizar el clculo de reservas, los mtodos clsicos y los modernos. Como clsicosse pueden destacar, el de Bloques Geolgicos y el de Perfiles Paralelos (Daz, 2001), stos secaracterizan por el uso de valores medios o media ponderadas de los contenidos de la exploracinen bloques definidos convenientemente. Estos mtodos son eficientes cuando la informacindisponible presenta determinada regularidad, pero en la prctica, como se seala en Journel yHuijbregts (1978) y David (1977) la gran diversidad de formas en que se presentan los datos ha


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llevado a la utilizacin de tcnicas matemticas y estadsticas para resolver un nico problema,estimar valores desconocidos a partir de los conocidos, para la estimacin y caracterizacin de losrecursos y reservas. En los ltimos aos muchas investigaciones se han desarrollado con este fin(Gotway y Cressie, 1993), existiendo mayor inters en las estimaciones a nivel local que a nivelglobal (Rivoirard y Guiblin, 1997). Claro est, no existe un mtodo por muy sofisticado que sea, que

permita obtener resultados exactos.Nuestro objetivo ser discutir, los mtodos ms eficientes que proporcionen la mayor informacinposible de los datos disponibles, es decir, los modernos, de los que se pueden citar entre losgeomatemticos: El Inverso de la Distancia, Triangulacin, Splines, etc. An ms, buscando elmejor estimador que minimice la varianza del error de estimacin surge la Geoestadstica por lostrabajos de G. Matheron en la Escuela Superior de Minas de Pars, basado en conceptos inicialesde trabajos de H.S. Sichel en 1947 y 1949, en la aplicacin de la distribucin lognormal en minasde oro, seguido por la famosa contribucin de D.G. Krige en la aplicacin del anlisis de regresinentre muestras y bloques de mena. Estos trabajos fijaron la base de la Geoestadstica Lineal,adems, de la introduccin de la teora de funciones aleatorias por B. Matern en el estudio de lavariacin espacial de campos forestales. La Geoestadstica se consolid y desarrollo en los ltimos30 aos como ciencia aplicada casi exclusivamente en el campo minero, la cual ha sidoampliamente usada (Arik, 1992; Rivoirard y Guiblin, 1997), existiendo como ciencia aplicada que da

respuesta a necesidades prcticas y concretas. Se reconoce como una rama de la estadsticatradicional, que parte de la observacin de que la variabilidad o continuidad espacial de lasvariables distribuidas en el espacio tienen una estructura particular (Journel y Huijbregts, 1978;Curran y Atkinson, 1998), desarrollndose herramientas matemticas para el estudio de estasvariables dependientes entre si, llamadas segn Matheron variables regionalizadas, quienelabor su teora como se presenta en Matheron (1970), Journel y Huijbregts (1978), David (1977)y de Fouquet (1996). En resumen, la aplicacin de la teora de los procesos estocsticos a losproblemas de evaluacin de reservas de distintos tipos de materias primas minerales y en generala las ciencias naturales en el anlisis de datos distribuidos espacial y temporalmente (Christakos yRaghu, 1996) dio origen a lo que hoy se conoce como Geoestadstica.

3. Geoestadstica, concepto

La Geoestadstica se define como la aplicacin de la Teora de Funciones Aleatorias alreconocimiento y estimacin de fenmenos naturales (Journel y Huijbregts, 1978), o simplemente,el estudio de las variables numricas distribuidas en el espacio (Chauvet, 1994), siendo unaherramienta til en el estudio de estas variables (Zhang, 1992). Su punto de partida es asumir unaintuicin topo-probabilista (Matheron, 1970). Los fenmenos distribuidos en el espacio, lamineralizacin en un yacimiento mineral por ejemplo, presenta un carcter mixto, uncomportamiento catico o aleatorio a escala local, pero a la vez estructural a gran escala (figura 1).


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Se puede entonces sugerir la idea de interpretar este fenmeno en trminos de Funcin Aleatoria(FA), es decir, a cada punto x del espacio se le asocia una Variable Aleatoria (VA) Z(x), para dospuntos diferentes x e y, se tendrn dos VAs Z(x) y Z(y) diferentes pero no independientes, y esprecisamente su grado de correlacin el encargado de reflejar la continuidad de la mineralizacin, o

de cualquier otro fenmeno en estudio, de modo que el xito de esta tcnica es la determinacinde la funcin de correlacin espacial de los datos (Zhang, 1992). Su estimador, El Krigeaje, tienecomo objetivo encontrar la mejor estimacin posible a partir de la informacin disponible, y enefecto, el valor estimado obtenido Z*(x) de un valor real y desconocido Z(x), consiste en unacombinacin lineal de pesos asociados a cada localizacin donde fue muestreado un valor Z(xi) (i =1,n) del fenmeno estudiado, observando dos condiciones fundamentales: 1.- que el estimadorsea insesgado. E[Z* - Z] = 0, y 2.- que la varianza Var[Z* - Z] sea mnima, consiguindose de estemodo minimizar la varianza de error de estimacin.

A diferencia de otros mtodos de interpolacin, como por ejemplo el inverso de la distancia, elkrigeaje utiliza en la estimacin las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial delfenmeno estudiado, por lo que su uso implica un anlisis previo de la informacin con el objetivode definir o extraer de esta informacin inicial un modelo que represente su continuidad espacial.Una vez logrado, estamos en condiciones de obtener el mejor valor posible en cada localizacin o

bloque a estimar a partir de los datos medidos, acompaada de la varianza de krigeaje comomedida del error de la estimacin realizada (Armstrong y Carignan, 1997), lo que distingue alkrigeaje de otros mtodos de interpolacin (Abasov et al., 1990; de Fouquet, 1996; Carr, 1995).

4. Variables aleatorias regionalizadas

Continuando con el caso minero, la informacin inicial para realizar el clculo de reservas es elresultado del anlisis de los testigos de perforacin, o muestras de afloramiento, obtenido en loslaboreos de exploracin, que como una variable aleatoria puede tomar cualquier valor dentro de unrango determinado. Esta es la caracterstica fundamental que distingue a este tipo de variable,adems de su valor, una posicin en el espacio, hecho ste al que Matheron denomin VariableAleatoria Regionalizada (Matheron, 1970), la cual est presente en la mayor parte de los estudiosgeolgicos (Pawlowsky et al., 1995) y fenmenos naturales (de Fouquet, 1996). Al respecto enJournel y Huijbregts (1978) y David (1977) se dedica el captulo II y V respectivamente a la teorade la variable regionalizada. Captulos donde se presentan los conceptos fundamentales de laGeoestadstica, en la que particularmente Journel y Huijbregts (1978) plantea que la definicin devariable regionalizada como una variable distribuida en el espacio es puramente descriptiva yenvuelve una interpretacin probabilstica, refirindose a que, desde el punto de vista matemticouna variable regionalizada es simplemente una funcin f(x) que toma valores en todos los puntos xde coordenadas (xi, yi, zi) en el espacio tridimensional. Sin embargo, es muy frecuente que estasfunciones varen tan irregularmente en el espacio que impiden un estudio matemtico directo, y sehace necesario realizar un anlisis de variabilidad de la informacin disponible, sugiriendo unestudio profundo de la funcin variograma como veremos ms adelante.En trminos tericos es oportuno aclarar que una variable aleatoria (VA) es una variable que puedetomar ciertos valores de acuerdo a cierta distribucin de probabilidades. Un valor medido en cadapunto xi es considerado como una realizacin z(x i) de una VA Z(xi) cuya media es m(x i). En los

puntos x donde no existen valores medidos es desconocida la propiedad que se estudia, peroestn bien definidos y pueden asimismo considerarse variables aleatorias Z(x). Al conjunto detodas las mediciones z(x) en el rea de estudio de la variable regionalizada puede considerarsecomo una realizacin particular del conjunto de VAs (Z(x), x rea de estudio). A este conjunto deVAs se llama Funcin Aleatoria y se escribe Z(x) (Journel y Huijbregts, 1978; Armstrong yCarignan, 1997). De modo que al extender el concepto de funcin aleatoria al espacio de una oms dimensiones, aparece la nocin aleatoria y estructural de una variable regionalizada: primeroZ(x) como VA y segundo que las VAs Z(x) y Z(x+h) no son en general independientes, si no queestn relacionadas por la estructura espacial de la variable regionalizada original Z(x).


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4.1. Conceptos de variable aleatoria regionalizada

En el estudio de las variables aleatorias regionalizadas es importante presentar conceptos que sesealan en Journel y Huijbregts (1978) y David (1977) y que son utilizados por la mayora de losautores donde se aplican los mtodos geoestadsticos como herramienta fundamental de trabajo.Estos conceptos son:

Regin: se refiere al espacio en el cual existe y se estudia el fenmeno natural.Localizacin: Es el punto de una regin en la cual se define una variable aleatoria regionalizada.Soporte Geomtrico: Est determinado por el elemento fsico sobre el cual se realiza ladeterminacin de la variable aleatoria regionalizada, esto no es ms que la muestra unitaria, sobrela cual estudiaremos el atributo de inters.Momentos de primer orden:

Si la funcin de distribucin de Z(x i) tiene una media definida, ser una funcin de la localizacin x i.m(xi) = E_Z(xi)a

Momento de segundo orden:

Si la varianza (Var) de Z(x i) existe, entonces se define como el momento de segundo orden y sertambin una funcin de la localizacin xi.

Var_Z(xi)a = E_[Z(xi) - m(xi)]2a

Si la varianza de las variables Z(xi) y Z(xj) existe entonces la covarianza (Cov) de las stas

tambin existe y es funcin de las localizaciones xi y xj.Cov[Z(x i), Z(xj)] = E_[Z(xi) - m(xi)][Z(xj) - m(xj)]asi xi = xj ; Cov[Z(xi), Z(xj)] = Var_Z(xi)a

La funcin variograma o funcin estructural se define como la varianza de la diferencia Z(x i) - Z(xj).Var_Z(xi) - Z(xj)a = 2K(xi, xja

la magnitud K(xi, xja = Var_Z(xi) - Z(xj)a se denomina semivariograma.Tambin se puede definir el correlograma estandarizando, la covarianza para los valores xi - xj = h= 0 como: V (h) = C(h)/C(0) -1 e V e 1donde: C(h) es la covarianza a la distancia h,

C(0) es la covarianza en el origen.Existen relaciones entre estas medidas de correlacin:

K(ha = C(0) - C(h) con K(0) = 0

V (h) = 1 - K(h)/C(0)5. Hiptesis de la Geoestadstica

Como la forma en que se presenta la informacin es muy diversa (Journel y Huijbregts, 1978), lageoestadstica se construye asumiendo condiciones de estacionaridad. Por lo que es necesarioaceptar el cumplimiento de ciertas hiptesis sobre el carcter de la funcin aleatoria o procesosestocsticos estudiados, llamadas Hiptesis de la Geoestadstica. Estas son segn Journel yHuijbregts (1978) y David (1977): La Estacionaridad Estricta, La Estacionaridad de Segundo Orden,La Hiptesis Intrnseca y los Procesos Cuasiestacionarios.I- Estacionaridad Estricta. Se dice que Z(x) es estrictamente estacionaria si la funcin dedistribucin de probabilidades de las variables aleatorias regionalizadas Z(x i) son iguales entre s,independiente de la localizacin x i, lo que requiere que los momentos de distinto orden para cadavariable aleatoria regionalizada sean completamente independientes de la localizacin x i. Esta

condicin como su nombre lo indica es demasiado restrictiva al estudiar la mayora de losfenmenos encontrados en la prctica.II- Estacionaridad de Segundo Orden. Esta condicin es ms frecuente en la prctica, la mismaexige que:1) E_Z(xi)a = m, existe y no depende de la localizacin xi.2) La funcin covarianza, Cov_Z(xi) - Z(xj)a, exista y slo dependa de la longitud del vector h = x i - xjo sea.

C(h) = Cov_Z(xi), Z(xj)a = E_Z(xi), Z(xi+h)a - m2


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Esta hiptesis requiere la estacionaridad slo para la media y para la funcin de covarianza de lavariable aleatoria regionalizada. La segunda condicin implica, estacionaridad de la varianza y delvariograma.

1o Var[Z(x i)] = E_[Z(xi) - m]2a = C(0) x

2o K(h) = E_[Z(xi)]2a - E_Z(xi), Z(xi+h)a x

como E[Z(xi), Z(xi+h)] = C(h) + m2

y E[Z2(xi)] = C(0) + m2

K(h) = C(0) + m2 - (C(h) + m2)K(h) = C(0) - C(h).

Como se observa en la ltima expresin K(h) y C(h), son dos herramientas que permiten expresarla correlacin entre la variable aleatoria regionalizada Z(xi) y Z(xi+h), separadas por el vector h.III- Hiptesis Intrnseca. Una funcin aleatoria Z(x) se dice intrnseca cuando:a) Su esperanza matemtica existe y no depende de la localizacin x i.

E_Z(x)a = m xb) Para todo vector h el incremento [Z(x+h) - Z(x)] tiene varianza finita y no depende de lalocalizacin xi:Var_Z(x+h) - Z(x)a = E_[Z(x+h) - Z(x)]2a = 2K(h) xCuando se cumple esta condicin se dice que la funcin aleatoria Z(x) es homognea. Estacondicin se encuentra con bastante frecuencia en la naturaleza, pues existen muchos procesosque no tiene varianza finita y sin embargo, poseen una funcin variograma finita.La estacionaridad de segundo orden, siempre implica la condicin intrnseca (homogeneidad), sinembargo la relacin inversa no siempre se cumple.IV- Procesos Cuasiestacionarios. En la prctica la funcin estructural, covarianza osemivariograma, es slo usada por lmites `h`e b. El lmite b representa la extensin de la regin enla que el fenmeno estudiado conserva cierta homogeneidad del comportamiento de Z(x i). En otroscasos, b pudiera ser la magnitud de una zona homognea y dos variables Z(x) y Z(x+h) no puedenser consideradas en la misma homogenizacin de la mineralizacin si |h| > b. En tales casos,podemos, y verdaderamente debemos, estar satisfecho con una funcin estructural C(x,x+h) oK(x,x+h), lo que no es ms que estacionaridad local (para distancias h menores que el lmite b).Esta limitacin de la hiptesis de estacionaridad de segundo orden (o la hiptesis intrnseca si slo

el variograma es asumido) a slo esas distancias |h|eb corresponde a la hiptesis decuasiestacionaridad. Est hiptesis es verdaderamente un compromiso de la escala dehomogeneidad del fenmeno y la cantidad de datos disponibles.En la prctica segn Armstrong y Carignan (1997) y Chica (1987) son dos las hiptesis que ms sepresentan: La Estacionaridad de Segundo Orden y la Hiptesis Intrnseca. Estas condiciones deestacionaridad se asumen en el desarrollo terico, en la prctica deben ser verificadas en los datosantes de comenzar un estudio geoestadstico, para lo que se puede realizar un anlisis estadsticode la informacin, de modo que se refleje de as el grado de confiabilidad en la aplicacin de estosmtodos.

6. Conocimiento del problema

Antes de comenzar un estudio geoestadstico se deben discutir todos los elementos que aportenconocimientos del problema a resolver, la estructura geolgica en que se desarrolla la

mineralizacin o el fenmeno en estudio, organizacin y verificacin de la informacin disponible yfinalmente realizar el anlisis exploratorio de los datos.Una vez obtenido los datos, es necesario que se controlen integralmente a fin de verificar de unaparte su exactitud y de otra su representatividad. Es importante que se est familiarizado con losdatos, discutir todos los elementos necesarios a fin de conocer el problema a resolver (Armstrong yCarignan, 1997). En la minera los resultados son muy sensibles al nivel de informacin usado(Carrasco-Castelli y Jara-Salame, 1998; Lantujoul, 1994), cualquier modificacin involuntaria en laetapa inicial se refleja sistemticamente durante todo el estudio (Armstrong y Roth, 1997;

Armstrong y Carignan, 1997).


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6.1. Conceptos necesarios de estadstica bsica

Con el objetivo de conocer la informacin disponible se puede hacer un anlisis de la estadsticadescriptiva (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977). A continuacin sepresenta un resumen de los conceptos necesarios de estadstica bsica.A: Clculos estadsticos o estadstica descriptiva. Permiten determinar si la distribucin de los

datos es normal, lognormal, o si no se ajustan a una distribucin estadstica, lo cual implica tenerconocimiento de:1.- Numero de casos: Es el nmero de valores muestreados del fenmeno en estudio,representados por n y los datos por x i, i = 1, . . . , n, que llamamos distribucin.2.- Rango de la distribucin: Es la diferencia entre el valor mximo y el mnimo.3.- Media: Es la media aritmtica de la distribucin, dado por la frmula:

m i

i

n

Xn

X!!

1

1

4.- Moda: Es el valor ms frecuente de la distribucin.5.- Mediana: Es el valor para el cual la mitad de los datos son menores y la otra mitad estn porencima de este valor.Si ordenamos los datos en orden ascendente podemos calcular la mediana como.

X(n+1)/2 si n es impar.M =

(Xn/2 + Xn/2+1)/2 si n es par.

La mediana es tambin llamada percentil 50, adems los datos no solo se dividen en dos grupos,sino que se pueden dividir en cuatro partes, cuartiles, donde Q1 = percentil 25, Q2 = Mediana y Q3 =percentil 75, si los datos se dividen en 10, tenemos los deciles. De forma general estas medidas sepueden calcular por: ?p(n+1)/100A sima observacin de los datos ordenados ascendentemente,donde p es el percentil que se desea calcular.6.- Varianza: Describe la variabilidad de la distribucin. Es la medida de la desviacin o dispersinde la distribucin y se calcula por:

22

1

1

1W!

!ni m

X Xi

n

La razn principal por la que se aboga por la divisin entre n-1 en la estimacin de la varianza, esporque proporciona un mejor estimado; si dividimos por n-1 nos referimos a la varianza muestral S 2como un estimador insesgado de la varianza poblacional W2. Esto significa que si un experimentofuera repetido muchas veces se podra esperar que el promedio de los valores as obtenidos paraS2 igualara a W2. Por otra parte si dividimos entre n los valores obtenidos para S2 seran comopromedio demasiado pequeo.7.- Desviacin estndar: Describe la tendencia o dispersin de la distribucin. Es la medida dedesviacin alrededor de la media. Se calcula por:

W = W 2

8.- Coeficiente de asimetra: Describe la simetra de la distribucin relativa a la distribucin

normal. Se calcula por:

E 33

1

31! !

n

Si

i

n

En la distribucin normal la asimetra tiene valor cero, un valor negativo indica una cola a laizquierda y un valor positivo indica una cola a la derecha.9.- Curtosis: Describe el grado de esbeltez de la distribucin, tomado por lo general en relacin auna distribucin normal, y se puede calcular por:

44

1

41! !

n

X X Si m

i

n


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La distribucin normal tiene curtosis igual a tres, y es llamada mesocrtica. A las distribucionesms agudas, con colas relativamente anchas, se les llama leptocrticas, tienen valores de curtosismayores que tres, y las distribuciones ms bien achatadas en el centro se llaman platicrticas,tienen valores menores que tres, en ocasiones se acostumbra a definir la curtosis como E4 - 3.10.- Error estndar: Describe el grado de conocimiento de los datos y se puede calcular por:

I = W2 / n

La distribucin normal tiene un valor de error estndar menor que 1.25 y la distribucin lognormal ouna distribucin con tendencia positiva, tiene valores de error estndar mayores que 1.25.11.- Coeficiente de variacin: Es una medida de la variacin relativa de los datos y puede sercalculado por:

CV = S/Xmy en porcentaje como: 100 CV = 100 (S/Xm) %Proporciona una comparacin entre la variacin de grandes valores y la variacin de pequeosvalores. Las tcnicas de Geoestadstica Lineal que predomina en el campo de las geocienciasproducen los mejores resultados cuando el coeficiente de variacin es menor que uno, CV 1.Para CV " 1 se recomiendan tcnicas de Geoestadstica no Lineal.

12.- Prueba Chi-Cuadrado: Permite determinar si la distribucin es normal, lognormal o algunaotra distribucin probabilstica, es su lugar puede ser usada la prueba Kolmogorov Smirnov comose refleja por muchos autores es ms robusta.13.- Prueba t-Student: Permite determinar si en una distribucin bimodal las medias de laspoblaciones son estadsticamente diferentes.

B: Construccin de grficos estadsticos: Estos grficos permiten ilustrar y entender lasdistribuciones de los datos, identificar datos errados, valores extremos, los mismos incluyen:1.- Mapa base, seccin cruzada y vista en perspectiva: Son usados para visualizar la relacinespacial en 2 y 3 dimensiones, permiten encontrar errores en la informacin.2.- Histogramas: Son usados para ver las caractersticas descriptivas de la distribucin. Es ungrfico de barras donde en las abscisas aparecen los lmites de las clases y en las ordenadas lasfrecuencias correspondientes a cada clase.

3.-Frecuencia acumulativa: Usado para identificar el tipo de distribucin muestral y ayuda adeterminar si estn presentes poblaciones mixtas. Es un grfico de lmite de clase contrafrecuencia acumulada.En el caso de grficos estadsticos es til usar los grficos de frecuencia absoluta, relativa,acumulativa y el diagrama de dispersin, como se presenta en muchos sistemas.Todos estos elementos permiten decidir sobre las condiciones de estacionaridad vistasanteriormente. Muchos autores slo toman como elementos fundamentales de estadstica bsicaque: la media y la mediana tome valores prximos; el coeficiente de variacin sea inferior a 1; ladistribucin de los datos est prxima a la curva normal y no existan valores extremos que afectenel desarrollo del anlisis estructural.

7. El anlisis estructural

El anlisis estructural o estudio variogrfico segn (Armstrong y Carignan, 1997) est compuestopor:

y El clculo del semivariograma experimental.y El ajuste a este de un modelo terico conocido.

El clculo del semivariograma experimental es la herramienta geoestadstica ms importante en ladeterminacin de las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial del fenmeno estudiado(Chica, 1987), es decir, tener conocimiento de como la variable cambia de una localizacin a otra(Lamorey y Jacobsom, 1995; Issaks & Co.,1999), representando el til ms importante de quedispone el geoestadstico para el anlisis del fenmeno mineralizado o de la variable dedistribucin espacial en estudio (Sahin et al.,1998; Genton, 1998a). Este anlisis tiene como


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condicionantes: la distribucin estadstica, la existencia de valores aberrantes o anmalos, lapresencia de zonas homogneas o posibles zonaciones en la distribucin de las leyes.Puede ser calculado inicialmente el semivariograma medio, global u omnidireccional (ver ElSemivariograma Experimental), proporcionando una idea inicial de la variabilidad espacial de losdatos, siendo el ms idneo para representar u obtener una estructura clara y definida.

Posteriormente deben ser calculados los semivariogramas en diferentes direcciones, puede sercalculado en 4 direcciones separadas 45 con tolerancia angular de 22.5, comenzando por 0(figura 2a) hasta encontrar la direccin de mxima o mnima variabilidad (figura 2b), pueden sercalculados tambin, ms especficamente, en 8 direcciones separadas por 22.5. Una forma rpiday prctica de visualizar la existencia de anisotropa es mediante el clculo del Mapa deVariogramas (Frykman y Rogon, 1993; Homand-Etienne et al.,1995; Isaaks & Co.,1999), el cualadems permitir obtener la direccin inicial aproximada para el clculo de los semivariogramasdireccionales, permitiendo un anlisis adecuado de anisotropa. Posteriormente, dependiendo de lacontinuidad espacial, es suficiente slo calcular dos semivariogramas separados 90.

Ahora, el semivariograma experimental obtenido no es utilizado en el proceso de estimacin, debeser ajustado a ste uno a varios modelos tericos, obtenindose un modelo o funcin analtica que

caracteriza la continuidad espacial de la variable estudiada. Los modelos de variograma tericoutilizado en el proceso de estimacin o simulacin deben satisfacer ciertas condiciones, es decirtienen que ser definido positivo o de tipo positivo (Deutsch, 1994; Myers, 1992; Cressie yGrondona, 1992) de lo contrario puede existir el riesgo de encontrar varianzas negativas que notienen sentido (Armstrong y Carignan, 1997). En general el ajuste a modelos tericos para ladeterminacin de los parmetros del semivariograma se realiza de forma visual. En ocasiones seefectan ajustes polinomiales por el mtodo de los mnimos cuadrados u otras variantes, queaunque se encuentra el mejor ajuste, no siempre se verifica la condicin de que el variogramaobtenido sea siempre de tipo positivo, siendo insatisfactorio (Genton, 1998b), por lo que serecomienda el uso de modelos autorizados. Finalmente debe obtenerse uno o varios modelos devariogramas con los correspondientes valores de meseta y alcance. El modelo de variogramaseleccionado debe representar fielmente los aspectos que se suponen importantes del variogramaexperimental (Wackernagel, 1995), que sern usados posteriormente en el proceso de estimacin

o simulacin.7.1. El semivariograma experimentalEl variograma se define como la media aritmtica de todos los cuadrados de las diferencias entrepares de valores experimentales separados una distancia h (Journel y Huijbregts, 1978), o lo quees lo mismo, la varianza de los incrementos de la variable regionalizada en las localizacionesseparadas una distancia h.

Var{Z(x+h)-Z(x)} = 2K(h)La funcin K(h) se denomina semivariograma, la cual puede ser obtenido por la expresin.

? A!

!)(

1

2

)()()(2

1)(

hNp

i

iihxZxZ

hNphK


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donde: Np(h) es el nmero de pares a la distancia h.h es el incremento.Z(xi) son los valores experimentales.xi localizaciones donde son medidos los valores z(x i).

Esta expresin de K(h) representa el til ms importante en todo estudio geoestadstico (Armstrong

y Carignan, 1997; Weerts, y Bierkens, 1993; Chica, 1987). Su clculo no consiste en una simpleevaluacin de su expresin, segn se plantea en (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts,1978; David, 1977; Xie y Myers, 1995a; Pannatier, 1993) esta operacin est relacionada con loselementos siguientes:y La direccin en la que ser calculado el semivariograma, uno o dos ngulos que definen una

direccin en el espacio E y/o F con tolerancias angulares dE y/o dF. El semivariogramacalculado usando tolerancia angular de 90 se denomina semivariograma medio, global uomnidireccional como ya se indic.

y El incremento o paso en el clculo del semivariograma h y su tolerancia lineal dh, serecomienda que el valor de dh sea la mitad del incremento inicial.

y Una distancia, que representa la distancia mxima a que pueden estar alejados los segundospuntos del par con respecto a la lnea que define la direccin de clculo, conocido como anchode banda.

y La distancia Lmax hasta la cual ser calculado del semivariograma. Se recomienda que sta seala mitad de la distancia entre las muestras ms alejadas (Armstrong y Carignan, 1997;Krajewski y Gibbs, 1993), aunque dependiendo de la geometra del fenmeno regionalizado enalgunos casos puede ser calculado hasta una distancia superior.

Definido los elementos anteriores, se evala la expresin del semivariograma para todos los paresde localizaciones separadas a la distancia h que cumplan las siguientes condiciones:

1.- La distancia entre las localizaciones xi y xi+h sea mayor que h-dh y menor que h+dh, o lo quees lo mismo, el segundo puntodel par est incluido en elespacio definido por h-dh yh+dh encontrndose el primerpunto del par en el origen o(figura 3), este origen semueve entre las muestras aanalizar.


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2.- El ngulo formado entre la lnea que une los dos puntos del par y la direccin 0o debe estarincluido entre E-dE y E+dE (figura 4).3.- La distancia entre el segundo punto del par y la lnea que define la direccin de clculo delsemivariograma no debe superar el ancho de banda (Deutsch y Journel, 1998) (figura 5).Finalmente se representan grficamente los valores de K(h) en funcin de h.

El grfico de K(h) tiene las siguientes caractersticas segn (Armstrong y Carignan, 1997; Krajewskiy Gibbs, 1993; Curran y Atkinson, 1998) (figura 6).y Pasa por el origen (para h=0, K(h)=0)y Es en general una funcin creciente de h.


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En la mayor parte de los casos K(h) crece hasta cierto lmite llamado meseta, en otros casos puedecrecer indefinidamente. El comportamiento en el origen puede tener diferentes formas, las cualesson segn Journel y Huijbregts (1978), Armstrong y Carignan (1997), Chica (1987) (figura 7):Parablico: Caracteriza a una variable muy regular, siendo continua y diferenciable.Lineal: Caracteriza a una variable continua, pero no diferenciable, es decir menos regular.

Discontinuidad en el origen: Efecto de pepita, es el caso en que K(h) no tiende a cero cuando htiene a cero. Representa a una variable muy irregular.Discontinuo puro: Llamado tambin ruido blanco, representa el caso de mayor discontinuidad,siendo el caso limite de ausencia de estructura, donde los valores de dos puntos cualesquiera notienen correlacin alguna.7.1.1. Construccin del semivariograma experimental en 2D

A continuacin se presentan ocho pasos para la construccin del semivariograma experimentalpara datos distribuidos en dos dimensiones, resultado del anlisis realizado en la bibliografa

consultada.Sea Z(x) una funcin aleatoria con N variables aleatorias regionalizadas Z(x i) donde x = _x, ya es lalocalizacin y Z(xi) es el valor medido correspondiente. Dados una direccin a travs de un nguloE en la cual se desea calcular el semivariograma, dE una tolerancia angular, dh una tolerancialineal y el ancho de banda.Se proponen los siguientes pasos:1.- Calcular la cantidad de pares de datos posibles por: Np = N(N-1)/22.- Para cada par, calcular la distancia entre las localizaciones correspondientes por:

d X X Y Y i ! 1 22

1 2

2

i = 1, . . . , Np

almacenando para cada i:- P1: Nmero del primer punto del par,- P2: Nmero del segundo punto del par,- d: Valor de la distancia entre los dos puntos del par.- Angulo E que fija la direccin de la recta que pasa por los dos puntos del par.

3.- Ordenar ascendentemente el grupo de datos anteriores por la distancia.4.- Calcular la amplitud mxima del semivariograma Lmax como Lmax = Dmax/2, donde Dmax es ladistancia a que estn separadas las localizaciones ms lejanas. Esto es la mxima distanciacalculada en el paso (2), o lo que es lo mismo, el ltimo valor despus del ordenamiento del pasoanterior.5.- Fijar una distancia h inicial conocida como paso o incremento del semivariograma, serecomienda la distancia promedio entre las muestras contiguas. Para los mltiplos de estadistancia ser calculada K(h), por la expresin del semivariograma. Esto indica la cantidad depuntos a procesar en el semivariograma, el cual se puede obtener como Lmax / h6.- Calcular la expresin del semivariograma para todos los pares almacenados en el paso (2) quecumplan las condiciones siguientes:


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a) La distancia d sea mayor que h-dh y menor que h+dh, es decir, h-dh e d e h+dh. Si estacondicin se cumple examinar la condicin b, de lo contrario continuar con la distanciasiguiente.

b) El ngulo E formado entre las lneas que parten del primer punto del par en la direccin 0 o y laque pasa por los dos puntos del par en la direccin positiva, es decir, en contra de las

manecillas del reloj, sea mayor que E-dE y menor que E+dE, es decir, E-dEeE

eE+dE. Siesta condicin se cumple examinar la condicin c, de lo contrario continuar con la distanciasiguiente

c) La distancia entre el segundo punto del par y la lnea que pasa por el primer punto en ladireccin E no supere el ancho de banda.

Observaciones:

* Note que como los datos almacenados en el paso (2) estn ordenados ascendentementepor la distancia, este paso se interrumpe cuando la distancia siguiente sea mayor que h+dh, y aquprecisamente, comienza la prxima iteracin.* Al interrumpir este paso calcular el semivariograma con los pares que cumplieron lascondiciones a, b y c, as obtenemos un valor de K(h) correspondiente al incremento h actual.7.- Incrementar la distancia h en su propio valor, es decir, h ser el prximo mltiplo del h inicial. Siel nuevo valor de h no supera el valor de L. Regresar al paso (6) de lo contrario continuar el

siguiente paso.8.- Al finalizar el paso (7) debemos tener para cada valor transitado por h un valor calculado deK(h), los cuales sern representados en un grfico X-Y donde en la abscisa representan los valoresde h y en la ordenada los de K(h). Obteniendo as el semivariograma experimental o emprico parauna direccin, incremento y tolerancias definidas.7.1.2. Construccin del semivariograma en tres dimensiones 3D

Para la construccin del semivariograma 3D es necesario incorporar a la direccin del clculo unnuevo ngulo F que permita fijar unido al ngulo E una direccin en el espacio tridimensional. Elngulo F debe variar entre -90o y 90o, teniendo en cuenta que los valores extremos coinciden con ladireccin vertical y son independientes de la direccin del ngulo ELa construccin del semivariograma 3D es similar al 2D con cambios en dos de sus pasospresentados anteriormente:

1.- En el paso 2: el clculo de la distancia se sustituye por: d X X Y Y Z Z i ! 1 2

2

1 2

2

1 2

2

Almacenar para cada i adems: Otro ngulo F que fija junto al ngulo E la direccin de la rectaque pasa por los dos puntos del par en tres dimensiones.2.- En el paso 6 punto b, la direccin que contiene a los dos puntos del par debe estar incluida enel ngulo slido formado por la direccin del clculo del semivariograma y la tolerancia dE, concentro en el primer punto del par.En el caso del clculo del semivariograma en tres dimensiones, an cuando tericamente puedenser calculados, en la prctica nos encontramos una direccin que juega un rol diferente a la delresto (Armstrong y Carignan, 1997). En el caso minero las variaciones a travs de los estratos esdiferente a su comportamiento a lo largo de un estrato, esto unido a la forma en que se realiza laexploracin, varios pozos distanciados decenas de metros y cada uno contiene un conjunto de

muestras mineralizadas con una longitud del orden de 1 m. Es recomendable entonces analizarest direccin por separado y desarrollar un anlisis de variabilidad espacial en la direccinvertical, es decir, perpendicular a la estructura geolgica y otro anlisis en la direccin horizontal, alo largo de la estructura geolgica, utilizando en este caso compsitos de la zona de inters,realizando adems, un anlisis de anisotropa. Elementos que permitirn describir la variabilidad entres dimensiones.7.1.3. Problemas ms comunes encontrados en el clculo de semivariograma

De lo expresado hasta aqu, adems de lo planteado en muchos textos de geoestadstica, sepuede obtener la impresin de que es fcil el clculo del semivariograma experimental (Armstrongy Carignan, 1997). La fuente de problemas que se pueden presentar en la realizacin del un


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anlisis estructural es muy variada, lo que est en correspondencia con la variedad de casos quese presentan en la naturaleza. Algunos de los problemas ms comunes discutidos en Armstrong yCarignan (1997) son:El valor idneo del incremento h: Una inadecuada seleccin de h puede proporcionar unsemivariograma errtico, aunque no se puede dar un criterio exacto o aproximado sobre cual el

mejor valor de h, es recomendable recalcularK(h) para distintos valores de h, hasta encontrar unaforma suavizada del mismo.Distribuciones con valores extremos: La existencia de valores extremos, altos o bajos, en unadistribucin, puede conducir a la obtencin de un variograma fuertemente errtico. En este caso lasolucin puede ser simple, eliminar los datos extremos, porque pueden ser ocasionados porerrores, en otros casos pueden encontrarse en zonas geogrficamente distintas y pueden sertratados de manera separada.Una herramienta til para la deteccin de valores extremos y encontrar el incremento adecuadopuede ser, calculado la Nube de Variogramas (Armstrong y Carignan, 1997), el cual consiste enrepresentar los valores de [Z(xi+h)-Z(xi)]2/2 contra h, para cada par posible de la informacin inicial.La existencia de poblaciones mixtas: Existen datos que pueden mostrar diferentes poblaciones,los cuales pueden estar estadsticamente diferenciados. En muchos casos las poblaciones estngeogrficamente diferenciadas, donde se recomienda tratar las zonas por separado. En otros

casos las poblaciones se presenten mezcladas geogrficamente, en este caso una solucin puedeser un cambio de escala, con lo que se logra reducir la diferencia de los valores extremos.En Krajewski y Gibbs (1993) se presentan otras razones por los que los semivariogramas sonerrticos, las cuales son: 1.- No hay suficientes muestras, 2.- Las muestras no son representativasdel fenmeno, 3.- Las clasificaciones de las muestras no son vlidas, 4.- El rea estudiada es nohomognea, 5.- Pequeos o largos conjuntos de datos son necesarios, 6.- Pequeas o largasdistancia deben ser calculadas, 7.- Ms o menos distancias deben ser calculadas, 8.- Pequeastolerancias son necesarias, 9.- Las muestras pueden tener localizaciones incorrectas, 10.- Losvalores muestreados pueden ser errneos.El problema fundamental en la obtencin de un semivariograma correcto es, la eleccin adecuadade los intervalos de distancias para los cuales ser calculado el semivariograma, de modo que enstos la cantidad de pares encontrados sea suficiente desde el punto de vista estadstico.7.2. Modelado de semivariogramas

El modelado de semivariogramas incluye dos etapas fundamentales (Xie y Myers, 1995a), una vezconstruido el semivariograma experimental o emprico es necesario ajustar a este un modeloterico, con el objetivo de determinar los parmetros descriptivos del semivariograma queposteriormente sern usados en la estimacin (ASCE Task, 1990; Journel y Huijbregts, 1978;David, 1977; Lamorey y Jacobsom, 1995; Pannatier, 1993; Arik, 1990; Dubrule, 1994).7.2.1. Parmetros del semivariograma

Los parmetros del semivariograma caracterizan tres elementos importantes en la variabilidad deun atributo que son: la discontinuidad en el origen (existencia de efecto de pepita), el valor mximode variabilidad (meseta), y el rea de influencia de la correlacin (alcance), (figura 8). como sepresentan en Krajewski y Gibbs (1993), Journel y Huijbregts (1978), David (1977), Echaabi (1995),Lamorey y Jacobsom (1995), Wallace y Hawkims (1994), Pannatier (1993), Arik (1990), Pitard

(1994), y se describen a

continuacin.


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El Efecto Pepita (Nugget): El semivariograma por definicin es nulo en el origen, pero en laprctica las funciones obtenidas pueden presentar discontinuidad en el origen, a estadiscontinuidad se le llama efecto de pepita, en ingles (Nugget effect). Puede ser obtenido trazandouna lnea recta entre los primeros puntos del semivariograma emprico y extender sta hasta quese intercepte con el eje Y. Si esta interseccin ocurre por debajo de cero, el valor asumido por esteefecto es cero, pues valores negativos de K(0) no tienen significado y no es comn. El efecto pepitase representa como Co.La Meseta (Sill): Es el valor de K(h) para el cual con el aumento de h su valor permanececonstante, se representa como (CT = C + Co) y se denomina meseta. Puede obtenerse trazandouna lnea paralela a la abscisa y que se ajuste a los puntos de mayor valor del semivariograma y suvalor se lee en la interseccin de esta lnea con la ordenada.El Alcance (Range): La distancia h para la cual las variables Z(x) y Z(x+h) son independientes, sedenomina alcance y se representa por (a), es decir, las distancias para la cual los valores de la

variable dejan de estar correlacionados, o lo que es lo mismo, la distancia para la cual elsemivariograma alcanza su meseta.El alcance siempre tiene valor positivo y puede ser obtenido a partir de la interseccin de laslneas descritas en los puntos anteriores, ese punto ledo en la abscisa es una fraccin del propioalcance, fraccin que se detallara posteriormente en la explicacin de los modelos tericos7.2.2. Modelos tericos de semivariogramas

Los modelos tericos de semivariogramas admisible o autorizados ms utilizados en la prctica sepresentan en Journel y Huijbregts (1978) en los que coinciden Krajewski y Gibbs (1993), Deutsch yJournel (1998), Bacchi y Kottegoda (1995), Wackernagel (1995), Armstrong y Carignan (1997),Myers (1991c), Kiyono y Suzuki (1996). Atendiendo a las dos caractersticas ms importantes en elmodelado de semivariogramas que son segn Journel y Huijbregts (1978): 1.- Su comportamientoen el origen, el cual puede ser linear, parablico y con Efecto de Pepita y 2.- La presencia oausencia de meseta. Estos modelos son:Efecto de Pepita: Corresponde a un fenmeno puramente aleatorio (ruido blanco), sin correlacinentre las muestras, cualquiera sea la distancia que las separe, (figura 9), donde C representa elvalor de la meseta.K(h) = 0 h = 0

= C | h | > 0


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Modelo Esfrico: Este modelo esprobablemente el ms utilizado, es unaexpresin polinomial simple, en su formarepresentada en la figura 10, se puedeobservar un crecimiento casi lineal ydespus a cierta distancia finita del origense alcanza una estabilizacin, la meseta. Latangente en el origen encuentra a la mesetaen el punto de abscisa (2/3)a, donde arepresenta el valor del alcance.K(h) = C [ (3/2)(h/a) - (h/a)3 ] h e a

C h >a

Modelo Exponencial: Este modelo adiferencia del esfrico crece inicialmentems rpido y despus se estabiliza deforma asinttica (figura 11). Como lameseta no se alcanza a una distanciafinita, se usa con fines prcticos el alcanceefectivo o alcance prctico a , valor quese obtiene en el punto de abscisa para elcual el modelo obtiene el 95% de lameseta, con un valor a=3a, donde a es elparmetro de escala. La tangente en elorigen encuentra a la meseta en el puntoa=(1/3)a.

K(h) = C [1 - Exp(-|h|/a)] |h| > 0

Modelo Gaussiano: Este es un modeloextremadamente continuo (figura 12), inicialmentepresenta un comportamiento parablico en el origen,despus al igual que en el modelo Exponencial sealcanza la meseta de forma asinttica. El alcanceprctico tiene un valor de a=1.73a, que es el valor de

la abscisa donde se alcanza el 95% de la meseta.

K

(h)=C[ 1 - Exp(-|h|2/a2)] |h| > 0


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Modelo con funcin potencia: Este es unmodelo sin meseta, su forma se representaen la figura 13, para valores de Ecorrespondientes a 0.5, 1.0 y 1.5.

K(h) = |h|E con E]0, 2[

Para el valor de E=1 en el modelo anteriorse obtiene el modelo Lineal, al cual notiene ni meseta ni alcance. Ahora porefectos prcticos, sin embargo, muchosprogramas informticos denotan lapendiente del modelo lineal con la relacinC/a (figura 14).

K(h) = (C/a) |h|

Se han presentado los modelos ms usados

en la prctica, aunque se debe sealar,existen otros modelos que son ampliamentedescritos en el manual de referencias delsistema geoestadstico Isatis.

Estos modelos pueden ser ajustadosindividualmente, aunque es posible encontraren la prctica aplicaciones donde a lossemivariogramas experimentales se les debeajustar ms de un modelo terico, es decir, atravs de superposicin, nombrndoseestructuras imbricadas (Krajewski y Gibbs,1993; Journel y Huijbregts, 1978; David,1977).

La seleccin del modelo y los parmetros apropiados a las caractersticas del semivariogramaemprico, para ser usados en la interpolacin geoestadstica que veremos posteriormente es elpunto ms importante en el proceso planteando (Arik, 1990), adems, esta seleccin esfundamental en el caso particular de la minera donde se presentan yacimientos: con irregularidaden la densidad de barrenos; sin una adecuada perforacin; con alta asimetra en la distribucin oque carecen de un modelado geolgico propio. Al respecto se refieren muchos autores sobre elefecto negativo que puede tener en la estimacin el uso del krigeaje sin un estudio de estructuraespacial y la seleccin adecuada del modelo de semivariograma y sus parmetros.7.2.3. Validacin del modelo terico

Como el ajuste de los modelos tericos al semivariograma experimental, se realiza de forma visual

o interactiva, variando los valores Co (efecto de pepita), C + Co (meseta) y a (alcance), hastacoincidir con los parmetros que mejor se ajustan, es conveniente validar el modelo seleccionado ylos parmetros meseta y alcance escogidos. Al respecto se discute la validacin cruzada enJournel y Huijbregts (1978), Armstrong y Carignan (1997), Bacchi y Kottegoda (1995), Myers(1991b), Deutsch y Journel (1998), Xie y Myers (1995b), Kiyono y Suzuki (1996), Host (1995),Lajaunie (1997), Madani (1998), Carr (1994).El mtodo de validacin cruzada ha sido ampliamente utilizado para evaluar el grado de bondad deun modelo de semivariograma y reconocido como un mtodo ptimo de estimacin de susparmetros. La operacin de validar un semivariograma terico ajustado a uno experimentalsiempre toma mucho tiempo, ste se considera como el ltimo de los pasos importantes del


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anlisis de variabilidad, debido a que una vez obtenido este resultado ser utilizado en laestimacin por krigeaje en cualquiera de sus variantes.7.2.3.1. Validacin cruzada

Sea Z(x) una funcin aleatoria estacionaria con semivariograma K(h), su funcin de covarianzaC(h) viene dada por C(h) = W2 - K(h) donde W2 es la varianza de Z(x). Sea Zx1, Zx2,...,Zxn los

valores de Z(x) en n puntos medidos. La validacin cruzada consiste en suprimir el i-simo valormedido Z(xi) y estimarlo a partir del resto de los datos. El valor estimado Z*(xi) se calcula por

krigeaje, procedimiento explicado ms adelante.Si se repite este proceso para los N puntos, se pueden calcular n errores de validacin:

E(xi) = Z*(xi)- Z(xi) i = 1, 2, . . . , N.

As se van probando diferentes valores de los parmetros del semivariograma hasta que loserrores de validacin cumplen los siguientes criterios estadsticos: (Journel y Huijbregts, 1978;David, 1977; Armstrong y Carignan, 1997).1. El error medio, dado por T1 = (1/n) i=1,n [Z(xi) - Z

*(xi)], debe ser aproximadamenteigual a cero.

2. El error medio cuadrado, dado por T2 = (1/n) i=1,n [Z(xi) - Z*(xi)]

2, debe ser pequeo.3. La medida, T3 = (1/n) i=1,n_[Z(xi) - Z

*(xi)]/Wa2, debe ser igual a uno.

4. La medida, T4 = Corr_[Z(xi) - Z*(xi)]/W, Z

*(xi)a, debe ser cero.

5. La medida, T5 = Corr_Z(xi), Z*(xi)a, debe ser uno.Otros autores slo plantean que las medidas fundamentales son la indicada por T1 y T3, (Lamoreyy Jacobsom, 1995; Bacchi y Kottegoda, 1995).7.2.4. Ajuste automtico

El ajuste de modelos de semivariogramas se puede realizar tambin de forma automtica. Esta hasido presentada por varios autores, en la que se sugieren una forma particular de aplicar el mtodode los mnimos cuadrados y as obtener el modelo y sus parmetros, teniendo en cuenta que elmodelo obtenido sea definido positivo, como ya se ha indicado. La efectividad de estos se describey argumenta en Gotway (1991) y Zhang (1995). Una comparacin generalizadora se presenta enZimmerman y Zimmerman (1991) donde se comparan varios mtodos para estimar los parmetrosdel semivariograma entre visuales y automticos.

Ahora, el ajuste realizado de forma automtica no tiene porque reportar mejores resultados en el

proceso de estimacin, recomendndose en Journel y Huijbregts (1978) y Lantujoul (1997) y otrosvalidar el modelo seleccionado de acuerdo al estimador a utilizar. Un criterio decisivo,independiente de la forma utilizada en la eleccin del modelo terico y sus parmetros, es si lugara dudas, emplear el mtodo de la validacin cruzada con el estimador a utilizar en el proceso deestimacin, discutido anteriormente.7.3. Anlisis de anisotropa

Conviene aqu realizar un anlisis sobre el comportamiento de la variabilidad del atributo enestudio. Se conoce que el semivariograma describe las caractersticas de continuidad espacial dela variable regionalizada en una direccin, pero este comportamiento pueden variar segn ladireccin que se analice, como se discute en Journel y Huijbregts (1978), David (1977),Zimmerman (1993), Krajewski y Gibbs (1993). Se exige por este motivo un anlisis delcomportamiento de la continuidad en distintas direcciones, el Anlisis de Anisotropa.Cuando el semivariograma calculado en diferentes direcciones (norte-sur, este-oeste, y en

direcciones intermedias de 45 o de 22.5, con tolerancia de 22.5o

), muestra similarcomportamiento, se dice que el fenmeno es Isotrpico, cuando muestran diferentescomportamientos es Anisotrpico (Krajewski y Gibbs, 1993). Los tipos de anisotropas mscomunes son la Geomtrica y la Zonal. (Krajewski y Gibbs, 1993; Journel y Huijbregts, 1978;

Armstrong y Carignan, 1997)Anisotropa Geomtrica: Est presente cuando los semivariogramas en diferentes direccionestiene la misma meseta pero distintos alcance (figura 15).


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Anisotropa Zonal: Est presente cuando los semivariogramas en diferentes direcciones tienediferentes mesetas y alcances (figura 16).

Al respecto en (Zimmerman, 1993), se hace un estudio profundo de los tipos de anisotropa,

proponiendo una nueva terminologa. En estos casos conviene realizar transformaciones de

coordenadas con el objetivo de obtener modelos Isotrpicos (Journel y Huijbregts, 1978; Chica,1987; Armstrong y Carignan, 1997).

7.3.1. Efecto proporcional

Cuando en el clculo del semivariograma sedetecta que existe una relacin linear entre elvalor medio de las muestras usadas en elclculo de cada K(h) y la desviacin estndarcorrespondiente, se dice que existe un efectoproporcional (heterosedasticidad). Este efectose puede detectar ploteando los valores de Xmcontra W, es decir, que el coeficiente devariacin (W/Xm) sea aproximadamente

constante, ocurre cuando los datos presentanuna distribucin lognormal (Journel y Huijbregts,1978) (figura 17). La solucin a este problemapropuesta por David (1977) consiste en dividir

cada valor del semivariograma local por el cuadrado de la media local, y obtener lo que se conocecomo semivariograma relativo (David, 1977).

F(h) = K(h)/Xm2(h)

? A ? A

F hN h

Z x Z x h

Z x Z x h

i i

i ii

N h

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

!

!

1

2 2

2

2

1

Puede ser calculado usando los pasos anteriormente presentados para el clculo de lossemivariogramas tradicionales.Existen otras medidas de la continuidad espacial descritas en Journel y Huijbregts (1978) yPannatier (1993), las cuales permiten un anlisis estructural detallado con diferentes objetivos.7.3.2. Problemas en el modelaje de semivariogramas

Los problemas ms comunes al modelar semivariogramas que complican este proceso sepresentan en Krajewski y Gibbs (1993). Se analizan los siguientes casos.1.- La anisotropa geomtrica est presente: Indica que los semivariogramas direccionalestienen la misma meseta pero diferentes alcances, sta puede ser corregida a travs de unatransformacin linear de coordenadas que permita reducir una elipse a un circulo.


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2.- La anisotropa zonal est presente: indica que tanto las mesetas como los alcances sondiferentes para los semivariogramas direccionales, puede ser corregido separando elsemivariograma en sus componentes isotrpicos horizontal y anisotrpico vertical.3.- La tendencia de los datos est presente: indica que los valores medidos aumentan odisminuyen dramticamente en la zona estudiada con el aumento de la distancia. Esto puede ser

resuelto aplicando polinomios a la ecuacin del semivariograma, es decir un anlisis de tendencia.4.- El efecto proporcional est presente: Indica que la desviacin estndar local es proporcionalal cuadrado de la media local y que los datos presentan una distribucin lognormal, puede serresuelto dividiendo cada valor del semivariograma local por el cuadrado de la media local, es decirusando semivariogramas relativos.5.- Existencia de estructuras anidadas: indica que diferentes procesos operan a diferentesescalas, como por ejemplo alguno o todos los siguientes: A muy pequeas distancias lavariabilidad puede estar presente debido a cambios de una composicin mineral a otra. Apequeas distancias la variabilidad puede estar presente debido a errores. A grandes distancia lavariabilidad puede estar presente debido a casos transitorios de desgaste mineral. El cual puedeser resuelto aplicando varios modelos simultneamente.6.- Existencia de efecto hueco: indica que muy pocos pares estn disponible para la comparacina una distancia especfica. Y puede ser resuelto recuperando ms casos para la distancia definida.

7.- La periodicidad est presente: indica que el comportamiento del semivariograma repite por smismo periodicidades, por ejemplo: El valor de la meseta puede aumentar o disminuirsistemticamente, o un caso en que los valores son tomados alternativamente a travs dediferentes estratos, como piedras areniscas, esquistos, etc. Esto puede ser resuelto si es unproblema real y no un antifaz del anlisis, la periodicidad puede ser tambin un fenmeno realmostrado por zonal ricas y pobres repetidas a espacios similares.

8. Estimacin

Todo lo expresado hasta aqu tiene un nico objetivo, conocer la informacin disponible pararealizar estimaciones (Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Armstrong y Carignan, 1997), esdecir, estimar valores desconocidos a partir, no slo de los conocidos, sino tambin de suestructura de continuidad espacial. A diferencia de otra gran variedad de mtodos de interpolacinque no utilizan estas caractersticas y que se emplean actualmente con diferentes fines. Sinpretender hacer una comparacin profunda de las caractersticas y ventajas de stos mtodos,veamos algunos ejemplos.8.1. Triangulacin

Este mtodo consiste en ajustar un plano que pase por las tres muestras ms cercanas yadyacentes a la localizacin que se desea estimar.La ecuacin del plano es:

Z = a x + b y + cCada muestra tiene coordenadas (x, y) y z representa el valor muestreado.Con el objetivo de obtener la ecuacin del plano que pase por las tres muestras se construye elsiguiente sistema de ecuaciones lineales:

a x1 + b y1 + c = z1a x2 + b y2 + c = z2

a x3 + b y3 + c = z3y as obtenemos los coeficientes a, b y c, entonces el valor de z en cualquier localizacin dentro deltringulo correspondiente se puede obtener sustituyendo sus coordenadas en la ecuacin de Z.8.2. Inverso de la distancia

Este mtodo se basa en una combinacin lineal dada por: Z*(x) = PiZ(xi)

En la que Pi son los pesos proporcionales al inverso de la distancia euclidiana entre laslocalizaciones muestreadas y la que se desea estimar, stos pesos son calculados por:

Pi = (1/doi)/ 1/dojdonde: doi es la distancia entre la localizacin a estimar y la localizacin de la muestra i.Generalizando obtenemos:

Z*(x) = [i+1,n 1/doi Z(xi)] / i=1,n1/doj


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Se pueden obtener distintos estimadores si escribimos la ecuacin anterior como:Z*(x) = [i=1,n (1/doi)

[ Z(xi)] / i=1,n(1/doj)[

Note que si [ = 1 se obtiene la ecuacin anterior.

Estas dos tcnicas de estimacin utilizan directamente los valores muestreados en el proceso deestimacin y refieren pesos de acuerdo a las distancias entre los datos, sin tener en cuenta lacontinuidad espacial de la informacin disponible. Veamos ahora el krigeaje, interpolador de lageoestadstica, que s utiliza los resultados que discutidos del anlisis estructural.Inicialmente, Matheron denomin a esta tcnica Krigeage (en francs) que en ingles se convierteen Kriging y en espaol se escribe Krigeaje. Este trmino que tiene su origen en el apellido deD.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte. El krigeaje es una tcnica de estimacin queproporciona el mejor estimador lineal imparcial (BLUE, en ingles, Best Linear Unbiased Estimator),(Schaug et al.,1993; Christensen et al.,1993; Abasov et al., 1990), y que adems proporciona unaerror de estimacin conocido como varianza de krigeaje que depende del modelo de variogramaobtenido y de las localizaciones de los datos originales (Armstrong y Carignan, 1997; Journel yHuijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al., 1990). Esto brinda la posibilidad de hacer anlisissobre la calidad de las estimaciones (Weerts y Bierkens, 1993; Haas, 1992).8.3. Planteamiento del problema del krigeajeComo resultado de los trabajos de bsqueda y exploracin de yacimientos minerales, se obtieneinformacin del anlisis qumico de los testigos de perforacin y/o rocas de afloramiento.Cualquiera sea la forma en que se organice esta informacin, debe ser regularizada, de modo quese obtengan los valores de la caracterstica estudiada (contenido mineral en el caso minero),acompaadas de las coordenadas de las localizaciones correspondientes.En trminos mineros, el problema de krigeaje consiste en encontrar la mejor estimacin linealposible del contenido mineral de un panel, teniendo en cuenta la informacin disponible,mediciones que han sido obtenidas tanto en el interior como externamente al panel que se deseaestimar. El krigeaje consiste en efectuar una ponderacin, es decir, atribuir un peso a cada valorobservado, los pesos son calculados de manera que minimice la varianza de estimacin resultante,teniendo en cuenta las caractersticas geomtricas del problema (Matheron, 1970). Al minimizar lavarianza de estimacin se garantiza el uso ptimo de la informacin disponible (Zhang, 1996).8.3.1. Ecuaciones del krigeaje

Se dispone de los valores muestreados Z(xi), i=1,,n, y deseamos estimar un valor de lacaracterstica observada en el panel Z(v) por una combinacin lineal de Z(xi).

Z*(v) = Pi Z(xi)donde Z*(v) es el valor estimado y Pi son los peso de krigeaje, de modo que los Pi sean obtenidosde tal forma que proporcione un estimador: insesgado E[Z*(v) - Z(v)] = 0 y de varianza mnimaVar[Z*(v) - Z(v)]La geoestadstica exige como primera etapa y fundamental el conocimiento del comportamientoestructural de la informacin, es decir, se debe contar adems, con el modelo de semivariogramaterico que refleje fielmente las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial de lainformacin disponible, discutido anteriormente. En el caso minero, particularmente, por la forma enque se presenta la informacin, de estar condicionada en una direccin por diversos parmetros

(Rivoirard y Guiblin, 1997), se debe obtener modelos de variogramas verticales y horizontales, elprimero, que caracteriza la correlacin espacial en esta direccin, es decir a travs de los estratos,y el segundo en los estratos, obtenindose un modelo conjunto para la estimacin de bloques (Pany Arik, 1993; Armstrong y Carignan, 1997). Los bloques a estimar son definidos con dimensionesconvenientes a la unidad de seleccin minera, teniendo en cuenta el espaciamiento entre muestrasy el alcance estructural, es decir, la distancia hasta la cual las muestras se encuentrancorrelacionadas espacialmente. Las ecuaciones del krigeaje se obtienen entonces de acuerdo lashiptesis de la geoestadstica que deben ser asumidas y verificadas como ya se indic.Teniendo en cuenta las hiptesis de la geoestadstica se pueden obtener las ecuaciones delkrigeaje para los siguientes casos: funcin aleatoria estacionaria de esperanza nula o conocida,mtodo conocido como Krigeaje Simple, para una funcin aleatoria estacionaria de esperanza


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desconocida, y una funcin aleatoria intrnseca, mtodo conocido para los dos ltimos casos comoKrigeaje Ordinario.

A continuacin se presenta el sistema krigeaje para estos casos:8.3.1.1.Krigeaje Simple

Estimador: Z*(v) = Pi Z(xi) + m(1- Pi).

Sistema: Pi C(xi, xj) = C(xj, v) j = 1,,nVarianza de krigeaje: W2 = C(v,v) - Pi C(xi, v)

8.3.1.2.Krigeaje Ordinario

En trminos de la covarianza

Estimador: Z*(v) = Pi Z(xi)Sistema: Pi C(xi, xj) - Q = C(xj, v) i,j = 1,,nPi = 1Varianza de krigeaje: W2 = C(v,v) - Pi C(xi, v) + Q

En trminos del semivariograma

Estimador: Z*(v) = Pi Z(xi)Sistema: Pi K(xi, xj) + Q = K(xj, v) j = 1,,nPi = 1Varianza de krigeaje: W2 = Pi (xi, v) - K(v,v) + Q

En todos los casos el sistema puede ser escrito matricialmente de la forma: K P = CAl sistema krigeaje es necesario hacer algunas observaciones segn Journel y Huijbregts (1978):1.- El sistema krigeaje tiene solucin nica si y solo s la matriz de K es definida estrictamentepositiva, es decir:

i=1,nj=1,nPiPj C(xi, xj) u 0o en trminos de variograma:

- i=1,nj=1,nPiPjK(xi, xj) u 0y no existen datos con las mismas coordenadas.2.- El krigeaje, el cual es un estimador imparcial, es tambin un interpolador exacto, es decir, para

iguales soportes de observacin vE (E=1,,n) y de estimacin V, Los valores real ZE y estimado Z*son iguales, adems de que la varianza de krigeaje W2k es cero.3.- Las expresiones del sistema krigeaje y de la varianza de krigeaje son completamentegenerales, es decir, son aplicables cualquiera sean los soportes de observacin y estimacin y elmodelo estructural empleado.4.- El sistema krigeaje y la varianza de krigeaje dependen slo: del modelo estructural C(h) o K(h)obtenido y de la geometra del soporte de observacin. Esta caracterstica da la posibilidad de quela varianza de krigeaje sea usada cuidadosa y convenientemente para el estudio de redes y laclasificacin de recursos.En el proceso de krigeaje, la matriz que se obtiene tiene dimensiones de hasta (N+1) x (N+1),

cuando existen muchos datos en el rea de influencia definido por los alcances esta matriz esgrande, lo que implica tiempo para la solucin del sistema, sin embargo (Myers, 1991c), exceptopara las localizaciones vecinas de la localizacin a estimar, los pesos son ceros o prximos a cero,

conocido como el efecto pantalla del krigeaje. En la prctica, se establece una vecindad debsqueda para evitar el trabajo con grandes sistemas, el cual es recomendado en la totalidad de laliteratura bsica de geoestadstica. Todos los sistemas que implementan la estimacin por krigeaje,permiten la definicin de una vecindad de bsqueda, la cual debe ser obtenida con reduccionesproporcionales en cada unos de los alcances, o la estimacin por cuadrantes u octantes, limitandoel nmero de muestras a usar en el proceso de krigeaje. De modo que los pesos asignados a lasmuestras ms lejanas a la localizacin a estimar y dentro de la vecindad de bsqueda no seannegativos, nulos o prximos a cero. En ocasiones por esta razn se realizan compensaciones porel sistema de krigeaje que pueden arrojar pesos negativos y por consiguiente valores negativos enla estimacin.


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8.4. El caso no estacionario, Krigeaje Universal (KU)

Uno de los problemas encontrados al modelar semivariogramas segn Krajewski y Gibbs (1993) yASCE Task (1990) es la existencia de tendencia en los datos, es decir, que los valores medidosaumentan o diminuyen en alguna direccin en el rea de estudio. Este es el caso de un fenmenono estacionario, lo que hace imposible la aplicacin del krigeaje presentado hasta aqu. Con el

objetivo de solucionar este problema Matheron propuso dos aproximaciones, primero el KrigeajeUniversal (KU) (Matheron, 1970), que consiste en extraer de la variable original Z(x) la parte noestacionaria por medio de una componente determinstica m(x) que representa la deriva, hastaencontrar la parte estacionaria del fenmeno, obtenindose un componente estocstico R(x)relacionados por la siguiente expresin:Z(x) = m(x) + R(x).

Para el componente determinstico se sugiere utilizar una funcin polinomial de las coordenadaspara modelar la tendencia, es decir:

m x a f xl

l

l

K

( ) ( )!!

0

donde al son coeficientes y fl es la funcin que describe la tendencia. As pueden obtenerse derivas

simples, lineales, cuadrticas, etc., (Jones y Vecchia, 1993; Maisonneuve, 1998). Para una derivasimple el KU se reduce al Krigeaje Ordinario (Christensen, 1993; Renard, 1998).

Obtenindose finalmente el sistema Krigeaje Universal.

P K K

P

F E F F EF

E EE

( , ) ( ) ( , )

( ) ( )

x x a f x x x

f x f x

l

l

o

l

N

l l

o

N

!

!

!!

!

01

1

Con varianza de estimacin.

W P KE E FE

KU l

l

o

l

KN

x x a f x2

01

! !! ( , ) ( )

Una variante de krigeaje que tiene en cuenta esta situacin, fue desarrollada por Goldberger, A, S.en 1962 y descrita por Matheron en 1969, para tratamiento de datos dbilmente estacionarios ycon tendencia. La aplicacin de KU puede resultar difcil por la indeterminacin de la tendencia ydel semivariograma (Carr, 1990; Armstrong y Carignan, 1997; Renard, 1998).Una aproximacin ms general es el estudio del modelo de Funciones Aleatorias Intrnsecas deorden K, la cual consiste en construir incrementos de orden creciente hasta alcanzar un orden Kpara el cual dichos incrementos son estacionarios (Christensen, 1990).


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9. Geoestadstica Multivariada

Los conceptos presentados hasta aqu, extendidos a ms de una variable, se denominanGeoestadstica Multivariada (Wackernagel, 1995). Es posible encontrar casos de variables deinters que estn insuficientemente muestreadas, pero que se conoce su correlacin con otrasvariables en la zona de inters. Utilizando esta correlacin es posible estimar una variable de

inters a partir de la informacin de la propia variable adems de las correlacionadas con ellas(Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Myers, 1991a; Wackernagel, 1995; Myers, 1991d; ASCETask, 1990; Christakos y Bogaert, 1996; Almeida y Jounel, 1994; Carr y Mao, 1993). Esto es, elCo-Krigeaje, una extensin o generalizacin del krigeaje cuando ms de una de las variablesdisponibles guardan relacin entre s. En este caso, se requiere conocimiento no slo del modelode semivariograma de cada una de las variables, sino adems, del semivariograma cruzado entrelas variables (Zhang et al.,1992; Myers, 1991a; D'Agostino y Zelenka, 1992; Pawlowsky etal.,1994; Myers, 1992; ASCE Task, 1990; Myers, 1991a; Carr y Myers, 1990; Wackernagel, 1994).Existen variantes de Co-Krigeaje ms generales para la integracin de datos (Almeida y Jounel,1994)En este proceso, se pueden distinguir las siguientes situaciones (Wackernagel, 1995 y 1998):Isotopa: Se produce cuando todas las variables poseen valores medidos en todas laslocalizaciones. En este caso no es de inters aplicar el procedimiento multivariado, porque el Co-

Krigeaje en este caso puede resultar equivalente al krigeaje, se dice variables autokrigeables.Heterotopa total: Cuando las variables poseen valores medidos en localizaciones diferentes. Eneste caso no es de inters tampoco aplicar procedimiento multivariado, adems, de que no esposible obtener el semivariograma cruzado experimental.Heterotopa parcial: Esta situacin se produce cuando algunas (la mayor parte) de laslocalizaciones muestreadas poseen valores medidos de todas las variables, un caso importante escuando las muestras de la variable de inters estn incluidas como un subconjunto de las demsvariables. En este caso pueden ser calculados los semivariogramas cruzados y resulta ventajosoutilizar el procedimiento Co-Krigeaje.9.1. Semivariogramas cruzados

El semivariograma cruzado se obtiene por la ecuacin:

? A? AKAB A i A ii

N h

B i B ih

N hZ x Z x h Z x Z x h( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

! !

1

2 1

donde ZA y ZB son variables correlacionadas, ZA la variable de inters y ZB la variable auxiliar osecundaria.Los criterios para el clculo del semivariograma cruzado son anlogos al caso univariado, mientrasel semivariograma directo toma slo valores positivos, el cruzado puede tomar valores negativos, loque indica correlacin inversa entre las variables. Un aspecto importante en el modelado de lossemivariogramas cruzados es que deben satisfacer la desigualdad de Cauchy Schwarz(Wackernagel, 1995):

)()()( hhh BAAB KKK e

Una forma de modelar los semivariogramas cruzados consiste en ajustar independientemente lossemivariogramas de las variables ZA, ZB y el de la suma ZA + ZB, los cuales estn relacionados porla siguiente expresin.

? A)()()(21)( hhhh

BABAABKKKK !

En Issaks y Srivastava (1989) se presentan elementos para el clculo y ajuste de lossemivariogramas en el caso multivariado, adems del Modelo Lineal de Corregionalizacin comoprocedimiento para modelar semivariogramas directos y cruzados.9.2. Co-Krigeaje.

El sistema Co-Krigeaje Simple se presenta a continuacin.

[ EF E F E FF

j

ij ii i

n

j

N

C x x C x x for i N no

j

( ) ( ) ,... ; ,..., ! ! !!!

1 111


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La varianza es:

W [ K KF EE

CK

i

ii o i i o o

n

j

N

o o o

i

x x x x2

11

! !!

( ) ( )

El sistema Co-Krigeaje Ordinario es:

[ K Q K E

[ H

F E F E FF

FF

j

ij i ii i

n

j

N

i

ii

n

x x x x for i N n

for i N

o

j

o

i

( ) ( ) ,... ; , ... ,

,...,

! ! !

! !

!!

!

1 1

1

11

1

donde:

{

!!

o

o

ii

iisi

iisi

o

0

1H

y la varianza es:

W [ K Q KF EECK

i

ii o i i i o o

n

j

N

o o o o

i

x x x x2

11! !! ( ) ( )

9.3. Krigeaje con Deriva Externa

Este procedimiento es un simple y eficiente algoritmo para incorporar una segunda variable Y(x) enla estimacin de una primaria Z(x) (Deutsch y Journel, 1998). Consiste en una extensin delKrigeaje con Modelo de Tendencia o Krigeaje Universal que integra condiciones de universalidadsuplementarias relativas a una o varias variables externas Yi(x) i = 1, ..., N medidas de formaexhaustiva en todo el dominio donde se desea estimar la variable de inters (Wackernagel, 1993).Si la variable Y(x) que llamaremos secundaria tiene un comportamiento lineal con la variable deinters Z(x) que llamaremos primaria, es decir, si se cumple la relacin: )()}({E xbYaxZ ! uotra relacin polinomial con sentido fsico, es posible incorporar sta en el sistema de krigeaje,integrado dos fuentes de informacin con diferente grado de conocimiento. Obtenindose elsiguiente sistema:

-

00

00111

1

1

1

21

1

222221

111211

N

N

Z

NN

Z

N

Z

N

ZZ

Z

N

ZZ

YYY

YCC

YCCC

YCCC

.

.

..

///1//

.

.

P

P

P

Q

Q

1

2

1

2

/

N

-

=

C

C

C

Y

Z

Z

NZ

10

20

0

0

1

/

-

o en notacin matricial C w B !

El estimador es: Z Zi ii

N

0

1

!! P

y la varianza de estimacin: W200

! CZ w BT donde: T como superndice denota matriz transpuesta,

CijZ: covarianza de la variable primaria entre las localizaciones i y j.

9.4. Co-Krigeaje con Variable Colocalizada (Collocated CoKriging)

Otro modelo que incorpora una o varias variable externa para al estimacin de una primariaconsiste en una forma reducida de sistema de Co-Krigeaje (Deutsch y Journel, 1998), que incluye a


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la variable de inters y la variable secundaria conocida en todo el dominio donde ser estimada lavariable primaria.El sistema de Collocated Cokriging es

C C C C

C C C C

C C C

C C C C

Z Z

NZ ZY

Z Z

NZ ZY

NZ

NNZ

NZY

ZY ZY

NZY Y

11 12 1 10

21 22 2 20

1 0

01 02 0 00

1

1

1

1

1 1 1 1 0

.

.

/ / 1 / / /

. .

.

.

-

P

P

P

Q

1

2

1

/

N

w

-

=

-

1

00

0

20

10

ZY

Z

N

Z

Z

C

C

C

C

/

o en notacin matricial: C w B !

El estimador es: ? AZ Z w Y m mi ii

N

Y Z0

1

0! !

P

la varianza de estimacin es: W2 00! CZ

w BT

Donde:Y0 es el valor colocado de la variable secundaria en la localizacin a estimar x0 .

Pi (i = 1,...,N): pesos asignados a los datos experimentales de la variable primaria.w : peso asignado a la variable secundaria.mY : esperanza matemtica de la variable secundaria.

mZ: esperanza matemtica de la variable primaria.

CijY: covarianza de la variable secundaria entre las localizaciones i y j.

CijZY: covarianza cruzada entre la variable primaria y secundaria en las localizaciones iyj.

Y Y xi i| ( ) y lo mismo para la variable primaria.

Q1 y Q2 : multiplicadores de Lagrange.Los valores Cij

ZYpueden aproximarse por la expresin CijZY= B Z

ijC , donde:

B = 0ZY

Z

ij

Y

ij CC V ,Z

ijC ,Y

ijC son las varianzas de las variables Z y Y, 0ZYV es el coeficientede correlacin entre las variables Z y Y.

10. Geoestadstica no Lineal

En ocasiones nos encontramos situaciones con caractersticas que las tcnicas lineales nopermiten modelar, datos con alta asimetra por ejemplo. En estos casos se pueden realizartransformacin a los datos, y obtener configuraciones de estos que si pueden ser explicados por elkrigeaje, para lo que se han adoptado variantes como el Krigeaje Lognormal, Krigeaje deIndicadores, El Krigeaje Disyuntivo (Carr y Mao, 1993), El Krigeaje de Probabilidades (Carr, 1994;Carr y Mao, 1993), etc. La idea de estos procedimientos es realizar transformaciones en los datosoriginales hasta encontrar homogeneidad en la informacin, utilizar la tcnica Krigeaje descritashasta aqu y posteriormente realizar la transformacin inversa. Un estudio ms detallado en estesentido puede ser encontrado en Chica (1987), Deutsch y Journel (1998), Rivoirard (1991), entreotros.

11. La Simulacin Geoestadstica

La estimacin en Geoestadstica por el Krigeaje, como todo proceso de interpolacin, ofrece unaimagen suave o lisa de la realidad, existiendo aplicaciones en la que interesa algo ms quesimplemente obtener valores aproximados a una realidad desconocida, es decir, resultara til una


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representacin que pueda sustituir la realidad. Con tal intencin se propone, la SimulacinGeoestadstica, a travs de la cual se obtienen realizaciones con igual comportamiento espacialque la informacin observada en las localizaciones muestreadas. La cual puede ser til paraobtener una representacin de una de las posibles realizaciones de la realidad de un yacimiento(Lantujoul, 1998; Rivoirard, 1998). Esto da la posibilidad de sustituir un yacimiento real por uno

simulado y realizar estudio de simulacin de explotacin, estudio de redes, etc, Un estudio msdetallado puede ser encontrado en Lantuejoul (1995), Deutsch y Journel (1998), Cuador et al.(2000), Cuador y Quintero (2001), entre otros.

12. Conclusiones

Hasta aqu hemos expuesto los elementos fundamentales de la geoestadstica, ciencia aplicadaque surge como solucin a problemas concretos en la estimacin de reservas minerales y quetoma auge en otros campos de las Ciencias de la Tierra. Es importante destacar que la estimacina travs del krigeaje, se hace buscando y utilizando las caractersticas de continuidad espacial delfenmeno estudiado, caractersticas que constituyen la contribucin fundamental de lageoestadstica a travs de las diferentes variantes de interpolacin que propone. Adems de lasreferencias bibliogrficas utilizadas, quedaran por citar las magnificas contribuciones de otrosautores.

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