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EnAt'anza Revista Mexicana de Fsica 33 No. "(1988) 659-669
El mtodo variacional dependiente del tiempo enmecnica
cuntica
G.F. Torres del CastilloDepartamento de Fsica Matemtica,
Instituto de Ciencias de la Universidad Autnoma dc Puebla,72000
Puebla, Pue. y Mathematical Institute, University of Oxford,
Oxford OXI 9B, U.K.(recibido el 4 de junio de 1987; .cept.do
ellO de 'gosto de 1987)
Resumen. Utilizando el hecho de que las soluciones de laecuacin
de Schrodinger dependiente del tiempo pueden obtenersea partir de
un principio variacional, restringiendo la evolucin delvector de
estado a alguna superficie en el espacio de Hilbert
co-rrespondiente, se pueden obtener aproximaciones a las
solucionesexactas, las cuales estn determinadas por ecuaciones
similaresa las ecuaciones de Hamilton. Se muestra que, para que en
unasuperficie la evolucin aproximada est bien definida, la
parteimaginaria del producto interior restringida a la superficie
debeser no singular.
Abstract. Using the faet th.t the solutions to the
time-depend-ent Schodinger equation can be obtained froID a
variational princi~pie, by restricting the evolution of the state
vector to sorne surfacein the corresponding Hilbert space,
approximations to the exactsolutions can be obtained, which are
determined by equationssimilar to Hamilton's equations. It is shown
that, in order for theapproximate evolution to be well defined on a
given surface, theimaginary part of the inner product restricted to
the surface mustbe non-singular.
PACS: 03.65.-w; 02.40.-k
1. Introduccin
Es bien conocido el hecho de que para muchos sistemas fsicos,
lasecuaciones que describen su comportamiento pueden obtenerse
a
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654 C.F. Torres del Castillo
partir de un principio variacional; es decir, el comportamiento
se-guido por tales sistemas es tal que cierta funcin definida en
unaclase apropiada, D, de posibles comportamientos, toma un valor
ex-tremo (local) o, en forma ms general, un valor estacionario.
Algunosejemplos son los siguientes:
(i) En la mecnica estadstica (clsica) un ensemble est
descritopor una funcin de distribucin (no negativa) p, cuyo dominio
es elespacio fase del sistema considerado y tal que su integral
sobre elespacio fase es igual a uno. La distribucin p que describe
al ensemblepuede obtenerse requiriendo que la funcin S (p) == - J p
In p dv,donde dv es el elemento de volumen cannico en el espacio
fase y laintegral se extiende a todo el espacio fase, tome un valor
estacionario.
La clase D est formada por las distribuciones p,
normalizadas,sobre las cuales puede imponerse alguna condicin
adicional (e.g.,con la restriccin J pH dv = const., donde H es el
hamiltoniano delsistema, se obtiene la distribucin cannica).
(ii) En la mecnica clsica la evolucin de un sistema se
describepor una curva, G(t), en el espacio de configuracin
correspondiente.La evolucin que sigue el sistema, suponiendo que en
los instantesti Y t2 se encuentra en las configuraciones A y B,
respectivamente,es aquella curva para la cual Jtt: L(G(t),G'(t),t)
dt tiene un valorestacionario, donde L es cierta funcin
(ellagrangiano del sistema).El conjunto D, en este caso, est
formado por las curvas (diferencia-bies) G: [tl,t21- (espacio de
configuracin), tales que G(tl) = A,G(t2) = B (vase, por ejemplo, la
Ref. 1).
(iii) En la mecnica cuntica, para el caso independiente
deltiempo, los estados estacionarios estn descritos por funciones
deonda, t/J, tales que, suponiendo (t/J,t/J) = 1, (t/J,Ht/J) tiene
un va-lor estacionario, donde H es el hamiltoniano del sistema
(vase laseccin 2). En el caso dependiente del tiempo, la evolucin
del sis-tema est dada por una funcin de onda t/J(t) tal que,
suponiendoque en los instantes tI y t2 el sistema se encuentra en
los estados t/JI
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Un mtodo variacional en mecnica cuntica 655
y ,p2, respectivamente,
dt,
tiene un valor estacionario. En este caso el conjunto D est
formadopor las funciones de onda dependientes del tiempo, ,p(t),
tales que,p (t ) = ,pl, ,p (t2) = ,p2 (vase la seccin 3). Otros
ejemplos deformulaciones variacionales se encuentran en ptica, en
el principiode Fermat y dentro de la teora de campos.
Los principios variacionales, adems de constituir un
mtodoelegante y sinttico para obtener las "ecuaciones de
movimiento"de un sistema, sirven para derivar, en una forma simple,
algunosresultados fundamentales y al mismo tiempo son la base de
mtodosde aproximacin. El propsito de este artculo es mostrar que en
elcaso de problemas dependientes del tiempo en la mecnica
cuntica,pueden obtenerse soluciones aproximadas a partir del
principio va-riacional indicado arriba; dichas aproximaciones estn
determinadaspor sistemas de ecuaciones diferenciales similares a
las ecuaciones deHamilton de la mecnica clsica.
Este artculo est organizado como sigue: en la seccin 2 setrata
brevemente el mtodo variacional aplicado a la ecuacin deSchrodinger
independiente del tiempo. En la seccin 3 se aplica elmtodo
variacional a la ecuacin de Schrodinger dependiente deltiempo,
sealando la relacin con el mtodo de perturbaciones ascomo algunas
peculiaridades del mtodo.
2. El mtodo variacional independiente del tiempo
En el caso de la ecuacin de Schrodinger independiente deltiempo,
adems del mtodo WKB y del mtodo de perturbaciones,un mtodo til para
obtener en forma aproximada los niveles deenerga y los estados
estacionarios es el llamado mtodo variacional.De hecho, poco despus
del establecimiento de la mecnica cuntica,se obuvieron muchos
resultados por este mtodo, determinando los
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656 G.F. Torres del Castillo
niveles de energa de tomos y molculas (e.g., el tomo de helio y
lamolcula de hidrgeno) as como polarizabilidades y
susceptibilida-des magnticas. Posiblemente, el resultado ms
conocido del mtodovariacional es el uso hecho por Fock en 1930 para
mejorar el mtodode Hartree (llamado mtodo de campo
autoconsistente), aplicable atomos complejos, tomando en cuenta la
simetra de la funcin deonda (vase, por ejemplo, las Refs. 2 y
3).
La base del mtodo variacional, aplicado a la ecuacin de
Schro.dinger independiente del tiempo, es la siguiente
proposicin:
Sea H un operador hermtico que acta sobre un espacio
conproductor interior ( , ) y sea D el conjunto de vectores t/J,
tales que(t/J, t/J) = 1. Si la funcin (de valores reales, dado que
H es hermtico)
E(t/J) == (t/J,Ht/J), (1)definida en D, tiene un valor
estacionario en t/Jo, entonces t/Jo es unvector propio de H, es
decir, H t/Jo = >.t/Jo.
La prueba que se da usualmente de esta proposicin es bsica-mente
la siguiente: Suponiendo que E(t/J) tiene un valor estacionarioen
t/J = t/Jo, restringiendo el dominio de E a D, a primer ordenen t/J
se tiene O = E = E(t/Jo + t/J) - E(t/Jo) = (t/Jo,Ht/J) +(t/J, H
t/Jo). Debido a que H es hermtico, esto equivale a (Ht/Jo, t/J)
+(t/J,Ht/Jo) = O. Por otra parte, debido a que (t/Jo + t/J,t/Jo +
t/J)debe ser igual a uno, a primer orden en t/J, (t/Jo,t/J) +
(t/J,t/Jo) = O.Introduciendo un multiplicador de Lagrange >.
(que se supondr real,aunque ello no es necesario) se tiene
entonces: (Ht/Jo - >'t/Jo,t/J) +(t/J, Ht/Jo - >.t/Jo) = O,
donde ahora se puede considerar que t/J esarbitraria. Esta ltima
igualdad implica Ht/Jo - >.t/Jo = O, es decir,H t/Jo = >.t/Jo
(lo cual se puede ver reemplazando t/J por it/J, usandoque el
producto ( , ) es antilineal en el primer argumento y lineal enel
segundo, y cancelando despus la i). Si se sustituye este
resultadoen la Ec.. (1) se obtiene que E(t/Jo) = (t/Jo, >.t/Jo)
= >..
Por consiguiente, las soluciones (exactas) de la ecuacin
deSchrodinger independiente del tiempo se pueden obtener
resolviendoun problema de mximos y mnimos para la funcin E dada en
(1),con H siendo el hamiltoniano del sistema. La dificultad para
obtener
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Un mtodo vaTiacional en mecnica cuntica 657
los valores estacionarios de E estriba en que, regularmente, su
do-minio tiene dimensin infinita. Sin embargo, restringiendo de
algunamanera el dominio de E, de tal forma que sea factible
determinarsus valores estacionarios, pueden obtenerse
aproximaciones a las so-luciones exactas. En la prctica esto se
hace proponiendo una funcinde onda dependiente de uno o varios
parmetros, 1/;(al, ... , an) (ladependencia de la funcin de onda en
las coordenadas no se estindicando explcitamente; en este sentido
1/; se considera como unvector de estado, elemento de algn espacio
de Hilbert), la cual,sustituida en (1), hace que E sea una funcin
real de las n variablesal, ... , an; los valores estacionarios se
hallan entonces a partir de lasn ecuaCIones
(2)(i= 1, ... ,n).DE-- =0,Dai
(Si el dominio de las variables al, ... , an no es un conjunto
abierto enRn, hay que determinar separadamente los puntos crticos
de E enla frontera de dicho conjunto.) Al substituir cada punto
(al, ... , an)donde se cumplen las ecuaciones (2) en 1/;(al, ... ,
an), se obtiene unaaproximacin a algn estado propio de H.
La principal dificultad que se enfrenta para aplicar este
mtodoen un problema especfico es la carencia de una receta general
paraproponer una "funcin de prueba", 1/;(a, ... , an), apropiada en
cadacaso. A pesar de que, posiblemente, resolver las ecuaciones (2)
seasencillo, no hay una forma general de saber qu tan buenas son
lasaproximaciones obtenidas.
El mtodo de aproximacin que se encuentra ms comnmentees el mtodo
de perturbaciones [2,4], el cual es aplicable si el hamil-toniano
de inters, H, se puede expresar en la forma
H=Ha+AV, (3)
donde Ha es un operador cuyos vectores y valores propios se
cono-cen y AV representa una perturbacin, en cierto sentido,
pequea;los vectores y los valores propios de H estn dados entonces
pordesarrollos en potencias del parmetro A, cuyos coeficientes
estn
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658 C.F. Torres del Castillo
determinados por ciertas expresiones generales. La
aproximaclOnproviene de considerar exclusivamente los trminos de
orden msbajo en tales desarrollos. A diferencia del mtodo
variacional, en elmtodo de perturbaciones, bsicamente, la solucin
aproximada estdeterminada por completo; sin embargo, su aplicacin
se reduce aproblemas "cercanos" a otros con solucin conocida.
Es ilustrativo mostrar cmo se pueden obtener las
expresionesusuales del mtodo de perturbaciones por medio del mtodo
variacio-na!. Denotando por t/J? los vectores propios de Ha (que se
supondrnortonormales) y por E? los valores propios
correspondientes, se pro-pone la funcin de prueba
donde las a son nmeros complejos (claramente, eldenominador es
para normalizar t/J). Sustituyendo (3)se obtiene
'"'a~a.E9 + '". 'a~a'>'v..E = L,,1. 1. 1.. LJI,) 1. 1 1)'" '
,L...i ai ai
(4)
factor en ely (4) en (1)
(5)
donde Vij == (t/J?, V t/JJ). Dado que en este caso cada a es una
variablecompleja, equivalente a dos variables reales, conviene
considerar, enforma general, qu ocurre al reemplazar dos variables
reales x e y,por z = x + iy. Debido a que x = (z + z')/2 e y = -i(z
- z')/2 setiene
8 1(8 .8)-- - --1-8z - 2 8x 8y' 8 1(8 .8)8z' = 2 8x + 18y .En
particular, 8z/8z' = O. Por lo tanto, (2) sigue siendo vlidacon a
compleja si a y a se tratan como variables
independientes.Equivalentemente, en lugar de (2) se tiene 8E / 8a =
O, con a
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Un mtodo variacional en mecnica cuntica .659
independiente de ai, lo cual, usando (5), lleva a
(I>i.ak) (aiE? + 2;=aj>'Vij) = (:>i.akEg + I:
ajak>'Vjk) ai'k } k },k
(6)Es claro que las soluciones, ai, de (6) dependen
paramtricamente
de >..Si se considera una solucin de (6) tal que en el lmite
cuando>. --> O (es decir, en ausencia de la perturbacin)
corresponda a ,pp,entonces, suponiendo que las ai son funciones de
>.bien comportadas,slo al es distinta de cero cuando>' = OY
su valor puede tomarse(arbitrariamente) igual a uno. Se tiene, por
tanto,
(7)(i#I).
Sustituyendo (7) en la Ec. (6) con i # 1, comparando los
coeficientesde >.1se obtiene
(i # 1) (8)
(9)
(las al k) pueden tomarse iguales a cero). (Cuando el nivel de
enrgaEp es degenerado, la consistencia de la Ec. (8) requiere que
sediagonalice la matriz (Vil) rcstringida al subespacio de estados
conenerga Ep.) Los coeficientes de las siguientes potencias de
>.puedendeterminarse de una manera anloga, pero su clculo se
vuelve muylaborioso. Es importante sealar, sin embargo, que al
sustituir (7)en (5), usando (8), rcsulta
E = Ep + >.VII+ >.2 I: {la)1112(E? - Ep) + a)I)V; +
a)I)'Vil}il
+ >.3 { I: a)I)' a~.I)Vij - VIII: la)l) 12} + ...i,NI il
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660 G.F. Torres del Castillo
Es decir, el clculo de E correcto a tercer orden en la
perturbacinslo requiere del conocimiento de t/J a primer orden.
(Similarmente, lacorreccin de E a primer orden, >.Vil, slo
requiere del conocimientode t/J a orden cero.)
Para problemas de dispersin en mecnica cuntica existe unmtodo
variacional aplicable para calcular corrimientos de fase
yamplitudes de transicin, el cual es similar al mtodo para
calcularniveles de energa, pero no se basa en la proposicin dada
arriba(vase, por ejemplo, las refs. [2,3 Y5]).
3. El mtodo variacional dependiente del tiempo
En el caso de la ecuacin de Schriidinger dependiente del
tiempo,el mtodo variacional se basa en la proposicin siguiente:
Sea H un operador hermtico que acta sobre un espacio conproducto
interior ( , ) y sea D el conjunto de vectores dependientesdel
tiempo, t/J(t), definidos en [tI, t2], tales que t/J(tl) = t/Jl,
t/J(t2) =t/J2, con t/Jl y t/J2 fijos. Si la funcin
I(t/J) == t2 [~(t/J(t),ilidt/J(t))jt 2 dt
+Hihd~;t) ,t/J(t)) - (t/J(t), Ht/J(t))] dt,(10)
definida en D, tiene un valor estacionario en t/Jo(t), entonces
t/Jo(t)satisface la ecuacin
(11)
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Un mitodo vaTiacional en mecnica cuntica 661
(El integrando en (10) es real debido a que H es hermtico.)
(Usual-mente, en la ecuacin de Schrodinger aparece a,pIat en 'lugar
ded,p Idt debido a que, ordinariamente, la funcin de onda ,p se
ex-presa como funcin de las coordenadas y del tiempo; en el
presentecaso la dependencia de ,p en las coordenados no se est
indicandoexplcitamente, considerando a ,p como un "vector de
estado", in-dependientemente de una representacin especfica. El uso
de di dttiene el propsito de evitar confusiones en la notacin ms
adelante.)
En efecto, suponiendo que [ tiene un valor estacionario en ,po,
aprimer orden en S,p se tiene,
0= I = [(,po + ,p) - [(,po)= [12 [~(." id,pa) ~(.,. id,p)
jt 2 ,+" dt + 2 ,+,0, dt1(. d,p ) 1(. #0 )+ - l- .1'0+ - l-
S.I.. 2 dt' '+' 2 dt' '+'
-(,p,H,pa) - (,po, HS,p)] dt.
Integrando por partes el segundo y el tercer trmino, usando
que,p(tl) = O = S,p(t2), lo cual es consecuencia de exigir que
tanto,po como ,po + S,p pertenezcan a D, y debido a que (,pa,HS,p)
=(H,pa, S,p),
{t2 [( #0 ) ( d,pa )]I = jt ,p,idt" - H,pa + idt" - H,pa,S,p dt
= O,
de donde sigue que id,pal dt = H,pa (ef. Secc. 2). Puede
notarse,sustituyendo (11) en (10), que [(,po) = O.
Si se integra por partes el segundo trmino en (10) se tiene
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662 aoFo Torres del Castillo
Por consiguiente, dado que se exige que 6TjJ se anule en tI yen
t2, lacondicin 6[ = Oequivale a 6[' = O,donde
As pues, las soluciones de la ecuacin de Schriidinger
depen-diente del tiempo estn caracterizadas por la condicin 6[ = O
o6[' = O; por tanto, una forma de obtener aproximaciones a
dichassoluciones consiste en buscar soluciones de 6[ = Oo de 6[' =
OconTjJ(t) dada por alguna expresin especfica en trminos de un
conjuntode parmetros o En forma general, considerando una solucin
aproxi-mada de la ecuacin de Schriidinger, dependiente de n
parmetros,en este caso, dependientes del tiempo: xl (t), ... ,
xR(t), y, posible-mente, del tiempo en forma explcita: TjJ =
TjJ(xI(t),. o., xR(t), t), laintegral (10) o (12) se convierte en
una funcin de la curva repre-sentada por xI(t), o. o ,xR(t)o
En vista de que la funcin de prueba, TjJ, puede depender de
texplcitamente y a travs de las xi, se tiene
(.'0 indTjJ) = (.10 in aTjJo) dx' + (.10 in aTjJ)'1', dt '1',
ax' dt '1', at 'donde, al igual que en el resto de esta seccin, hay
suma implcitasobre cada par de ndices repetidos; por lo tanto,
donde
y
{t2 (dxj ) rt2 o[' = Jt Yj-- - E dt = Jt (yjdx' - E dt)
Yj == (TjJ, i aTjJo)ax'
E == (TjJ, HTjJ) - (TjJ, in~~)
(13)
(14)
(15)
-
(16)
Un mtodo variacional en mecnica cuntica 663
La integral en (13) es de la forma J(Pidqi - H dt), que
apareceen la formulacin hamiltoniana de la mecnica clsica (vase,
porejemplo, la ref. 1); sin embargo, en el caso presente las Yi no
sonindependientes de las xi, lo cual es evidente en (14).
De la expresin (13) se tiene, considerando que las xi son
reales,
1t2(aYj .dxj d6xj aE') 'lt261'= -.8x'-+Y,----.8x' dt=y,8x]ti ax'
dt ] dt ax' ] ti1t2(aYj idxj aYj dxi . aYj . aE i)+ -.8x - - -,
-8x] - -8x] - -,ax dtti ax' dt ax' dt at ax'
= y '8xjlt2 + t2 [(ay~ _ ayi,) dxj_ ae. _ ayi] 8xi dt,
] ti 1t1 ax' ax] dt ax' at
por lo que, con 8xj (t) = O= 8xj (t2), de 81' = Ose obtiene
dx] aE aYiWijdi' = axi + at '
dondeay, ay.
Wij == ax~ - ax;" (17)Si el determinante de la matrix (Wij) es
distinto de cero, lo queequivale a que (Wij) tenga inversa, el
sistema de ecuaciones (16)determina unvocamente el valor de dxi /
dt. De hecho, en tal caso,denotando por (uij) la matriz inversa de
(Wij) (es decir, UijWjk =81), de (16) se tiene
dxj= uji ( ae. ayi) .
dt ax' + at (18)
(19)
En el caso en que la funcin de prueba no depende explcitamentede
t, en lugar de (18), se tiene
dxj .. aE- _(J]1_dt - axi'
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664 G.F. Torres del Castillo
con E = (1/J,H1/J).De la Ec. (17) se ve que (Wij) es
antisimtrica,
Wij = -Wji,
y que satisface la condicin
8Wij 8wki 8wjk8xk + 8xj + 8xi = o.
Adems, usando (14) y (17),
( 81/J . 81/J) (81/J. 81/J)Wjk = 8xj' th 8xk - 8xk' th 8xj= 2Re
( 81/J., ih 81/Jk) = 2h 1m( 81/Jk' 81/J.).8x] 8x 8x 8x]
(20)
(21)
(22)
Si det(wij) # Oentonces, en cada "punto" (xl, ... , xn), todos
losvalores propios de (Wij) deben ser distintos de cero. Debido a
que(Wij) es antisimtrica, sus valores propios son imaginarios o
cero ydebido a que (Wij) es real, el complejo conjugado de cada uno
de susvalores propios tambin es un valor propio; por lo que, si
ningunode ellos es cero, debe haber un nmero par de valores
propios. Porconsiguiente, para que det(wij) sea distinto de cero es
necesario quen sea par (aunque no es suficiente).
Desde el punto de vista geomtrico, para cada conjunto de
va-lores de los parmetros xl, ... , xn, el vector de estado 1/J(xl,
... , xn)representa un punto en un espacio de Hilbert; de tal
manera que alvariar independientemente xl, x2, . , xn por todos sus
valores posi-bles, tal punto describe una superficie de dimensin n
en el espaciode Hilbert (suponiendo que los parmetros xl, ... , xn
sean indepen-dientes). Los parmetros xl, ... ,xn forman un sistema
(o carta) decoordenadas para dicha superficie. Esta carta de
coordenadas hacede esta superficie una variedad diferenciable (las
definiciones precisaspueden hallarse, por ejemplo, en las Refs. 6,
7, 8 Y 9) Y en el casoen que det(wij) # Ose dice que es una
variedad simplctica ((Wij)
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Un mtodo variacional en mecnica cuntica 665
o equivalentemente (aij), define la estructura simplctica si es
nosingular y se satisfacen (20) y (21)). El prototipo de una
variedadsimplctica es el espacio fase asociado a un sistema en
mecnicaclsica, el cual siempre es de dimensin par.
Las derivadas parciales ajJ/ axk son vectres tangentes a la
su-perficie (de manera anloga a como dr / dt es tangente a la
curvar = r(t)), por lo tanto, en vista de la Ec. (22), la
superficie deter-minada por jJ(xi) es simplctica si la parte
imaginaria del productointerior restringida al espacio tangente a
la superficie no es singular.As, el que la superficie dada por
jJ(xi) sea, o no, simplctica nodepende de la parametrizacin que se
emplee sino slo de la formaen que la superficie est "sumergida" en
el espacio de Hilbert. Enparticular, si la superficie en cuestin es
un sub espacio (complejo)entonces es simplctica (claramente, su
dimensin real es par).
Al igual que en un espacio fase, en cualquier variedad
simplcticase puede definir el parntesis de Poisson: si f y 9 son
funcionesde xl, ... ,xn, por lo tanto, funciones cuyo dominio es la
variedadsimplctica, entonces
.. af agU,g} == a"-. -.. (23)
ax' ax'Debido a las Ecs. (20) y (21), el parntesis de Poisson
(23) es anti-simtrico y satisface la identidad de Jacobi,
respectivamente. De laEc. (23) es claro que aij = {xi,xj}, por lo
que
_ i . af agU,g} - {x,x'}-. -.. (24)
ax' ax'La ecuacin (19) puede expresarse en la forma
dx' = { j E}dt x,. (25)
Usando la regla de la cadena y las Ecs. (19) y (23), si f es
unafuncin de xl, ... ,xn que no depende explcitamente de t,
entonces
dfdt = U, E}, (26)
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666 G.F. Torres del Castillo
lo que generaliza la expresin (25).En una variedad simplctica
siempre existen (al menos local-
)" d d ,." 1 m tImente coor ena ascanomcas ,q , ... ,q ,Pl, ...
,Pm, aesque
. .{q"Pj} = i (27)
lo cual se deduce del teorema de Darboux [6, 7, 8]. En trminos
decoordenadas cannicas, usando (24) y (27), se tiene
al ay al ayU,y} = aqi api - api aqi' (28)
(ef. Ref. 1).Cuando el determinante de (Wij) es cero, los
resultados anteriores
son aplicables despus de eliminar uno o varios parmetros de
lafuncin de prueba. Debido a (21) existen coordenadas (reales) en
lasuperficie descrita por la funcin de prueba, respecto a las
cuales lamatrix (Wij) se diagonaliza en bloques 2 x 2 de la
forma
[~1~]y bloques 1 x 1 iguales a cero. Manteniendo constantes
aquellascoordenadas que corresponden a los bloques 1 x 1 iguales a
cero,la funcin de prueba depende de un nmero par de variables
quedescriben una variedad simplctica.
Si t/J, en lugar de depender de parmetros reales, depende
deparmetros complejos, z', las expresiones anteriores se ven
modi-ficadas. Una forma simple de obtener las expresiones
apropiadaspara este caso es partir nuevamente de (12). Suponiendo
que t/J esuna funcin analtica de i (lo cual implica que at/J/azi =
O), lacondicin I' = Olleva a
ih ( at/J., at/J) dzk = (at/J., H t/J) _ (at/J., ih at/J)
(29)azJ azk dt azJ azJ at
-
Un mtodo vaTiacional en mecnica cuntica 667
(ef. (16)). A diferencia de (Wij) dada en la Ec. (17), la
matriz
(aij) == ((a1/J., a1/J.))az' az'
(30)
no es antisimtrica sino hermtica. La evolucin de la solucin
apro-ximada 1/J(zi,t) est bien determinada si det(ai') of O.
En este caso, la superficie determinada por (a funcin de
pruebatiene la estructura de una variedad compleja y debido a que
la matriz(aij) satisface la condicin
aa.. aa'k-'-' - -'- - O (31)azk azj-
(e/. (21)), cuando (aij) no es singular, esta variedad es
Kiihleria-na [10). Puede notarse adems que
a aaij = azi azj (1/J, 1/J), (32)
(ef., por ejemplo, la Ref. 11).Nuevamente, las ecuaciones bsicas
del mtodo de perturbacio-
nes resultan fcilmente de las del mtodo variacional. Con la
no-tacin de la Secc. 2, proponiendo
1/J(zk, t) = : zke-iwkt1/J~,k
(33)
(ef. (4)) se tiene ajk = jk>por lo que, usando (3) y (29)
resulta
(34)
de donde se obtienen directamente las amplitudes de transicin
aprimer orden en la perturbacin (vase, por ejemplo, la Ref. 4).
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668 G.F. Torres del Castillo
Vale la pena sealar que en este caso las eculldones (34),
deriva-das de (29), son exactas y equivalen a la ecuacin de
Schrodinger;la aproximacin se introduce al resolver estas
ecuaciones mediantedesarrollos similares a los dados en la Ec.
(7).
Excepto por las complicaciones que aparecen al tratar con
espa-cios de dimensin infinita, la discusin anterior muestra que la
evo-lucin exacta de un vector de estado est dada por las ecuaciones
(16)o (29), si se emplea una funcin de prueba que pueda recorrer
todoel espacio de los vectores de estado; es decir, si la
superficie descritapor la funcin de prueba coincide con todo el
espacio. La estructurasimplctica est definida entonces por la parte
imaginaria del pro-ducto anterior (vase tambin la Ref. 12). Las
ecuaciones (16) y (29)llevan a sistemas de ecuaciones similares a
(34) lo cual, en general,no representa una mejora con respecto a la
expresin usual de laecuacin de Schrodinger, desde el punto de vista
computacional; sinembargo, revelan una estructura adicional
implcita en la ecuacinde Schrodinger.
4. Conclusiones
En el caso de la ecuacin de Schrodinger dependiente del
tiempo,al igual que en el caso independiente del tiempo, la
aplicacin delmtodo variacional para hallar las soluciones
aproximadas en unproblema especfico no es algo directo, debido a
que es necesarioproponer, de alguna manera, la forma general de la
aproximacin,sin que se tenga un criterio para saber qu tan buena
puede ser sta.Por otra parte, el mtodo revela una estructura
geomtrica, presenteen la misma ecuacin de Schrodinger, la cual es
comn en muchasotras reas de la fsica matemtica.
Agradecimientos
El autor agradece al Mathematical Institute, University of
Ox-ford, especialmente al Profesor R. Pemose, la hospitalidad
brindada
-
Un mtodo variacional en mecnica cuntica 669
as como a la Foreign and Commonwealth OfRce y al Sistema
Na-cional de Investigadores por su apoyo.
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