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314 3.3 Das magnetische Feld
Auf einen stromführenden Leiter in einem dazu senkrechten ä
ußeren Magnetfeld wirkt eine Kraft senkrecht zur Stromrichtung und
zum Magnetfeld. Sie ist der Geschwindigkeit der Ladungsträger im
Leiter und der magnetischen Induktion B des äußeren Magnetfeldes
proportional. Mit GI. (3.64) und (3.65) erhalten wir den
Zusammenhang zw~chen der Lorentzkraft F L und dem Strop I im Leiter
mit der vektoriellen Länge I, der man die Richtung der Stromdichte
S zuo rdnet :
F L = I(lx B) (3.78)
3.3.3.2 Kraftwirkung auf bewegte Ladungsträger
Ein Magnetfeld übt eine Kraft auf einen Leiter nur dann aus,
wenn in diesem ein Strom fließt, wenn sich also Lad u ngs träger im
Leiter bewegen. Dabei ist der Lei ter nich t wesen tlich. Auch auf
bewegte Ladungsträger in Gasen oder im Vakuum wirkt die Kraft eines
äußeren Magnetfeldes.
o Versuch 32. Fadenstrahlrohr. In einem Glasgefäß (Bild 3.62)
befindet sich ein Gas geringer Dichte. Zwei nicht eingezeichnete
Spulen erzeugen ein annähernd homogenes magnetisches Feld senkrecht
zur Zeichenebene. Die von einer Glühkathode 1 austreten-den
Elektronen werden zur Anode 2 hin beschleunigt. Ein Teil von ihnen
fliegt durch ein Loch der Anode 2.
3.62 Magnetische Ablenkung eines Elektronenstrahls im
Fadenstrahlro hr. Das M agnetfeld ist senkrecht zur Zeichenebene
von vorn nach hjnten gerichtet
Ihre Bahn wird durch das Leuchten, zu dem sie die Gasmoleküle
durch Stöße anregen, sichtbar. Ohne äußeres Magnetfeld fliegen die
Elektronen nach Verlassen der Anode geradlinig (3) weiter. Nach
Einschalten des Stromes in den Spulen beobachtet man aber eine
deutlich abgelenkte Bahn 4, die mit wachsendem Strom in den Spulen
immer stärker gekrümmt ist, bis sie z. B. zu einem geschlossenen
Kreis 5 wird. 0
Auf die Elektronen im magnetischen Feld wirkt demnach eine Kraft
senkrecht zum Feld und zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Die
dadurch hervorgerufene Auslenkung des Elektronenstrahls entspricht
der des Stabes im Versuch 29 a), ja, der Stab bewegt sich dort
überhaupt nur, weil auf die Elektronen, die sich in ihm bewegen,
diese Kraft wirkt. Bezüglich der Richtung der Kraft muß man
berücksichtigen, daß die Bewegungsrichtung der Elektronen der
konventionellen Stromrichtung entgegengesetzt ist.
Wirkt auf einenKörper eine K r a f t sen k r e c h t zur B ewe
gun g s r ich tun g , so ändert sich nur die Richtung, nicht der
Betrag seiner Geschwindigkeit ; der Körper
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3.3.3 Kraftwirkung magnetischer Felder 315
erfahrt also eine reine Radialbeschleunigung. Ist die Kraft dem
Betrag nach konstant, so beschreibt er eine Kr eis ba h n. In
Versuch 32 erzeugt das homogene magnetische Feld eine derartige
Kraft auf die Elektronen, daher bewegen sie sich auf einer
Kreisbahn. Mit wachsendem Spulenstrom, d. h. mit steigender
magnetischer Induktion B des Magnet-feldes, wird der Radius der
Bahn immer kleiner, weil die Kraft auf die Elektronen wächst. Da
ein konstante Magnetfeld also nur die Richtung, nicht den Betrag
der Geschwindig-keit eines Ladungsträgers ändert, bleibt die
kinetische Energie des Ladungsträgers konstant: Das magnetische
Feld leistet keine Arbeit. Der Elektronenstrahl entspricht einem
Strom I = Q/t. Mit GI. (3.41) schreiben wir
1= g = neoAv t
Dabei ist n = N / Vdie Zahl der Elektronen pro Volumen, v deren
Geschwindigkeit, Ader Querschnitt des Elektronenstrahls und eo die
Elementarladung des Elektrons. Mit GI. (3.64) und (3.65) erhalten
wir für die Kraft auf die Elektronen des Strahls
F = neoAvlB
Im Volumen V = Al sind nAI Elektronen vorhanden. Damit ist wie
in GI. (3.66) die Kraft auf ein Elektron F L = eo(V x ih
Wirkt gleichzeitig ein elektrisches und ein magnetisches Feld,
so erhält man al vollständigen Ausdruck für die Lorentzkraft
FL = QE + Q(vx B) = Q(E + vX B) I)
Beispiel 19. Die Anordnung von Versuch 32 eignet sich auch zur
Bestimung der spezifischen Ladung eo/m. des Elektrons. Die
Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft.
FL = mev2 jr = eovB
Die magnetische Induktion B ist aus den Abmessungen der Spulen
und des Stromes zu ermitteln, der Radius r der Bahn ist direkt
meßbar. D ie Geschwindigkeit erhält man mit GI. (3.62) aus der
Beschleunigungsspanung U. Somit wird
(3.79)
bestimmbar. Gemessene Zahlenwerte : U = 200 V; Windungszahl N =
100; I = 1 A; Gesamtlänge der Spule 1= 13,2 cm· r = 5· 10- 2 m.
Daraus eo/ Ill. = 1,77 . 1011 Asjkg (Genauer Wert : 1,7589 . 10 11
Asjkg).
Anwendungen. Auf der Kraftwirkung magnetischer Felder auf
stromdurchnossene Leiter beruht die Wirkungsweise der in Abschn.
3.3.6.2 beschriebenen Elektromotoren und des in Abschn. 3.2.1
besprochenen D re h s pul ins t ru me n tes. Die Ablenkung von
Elektronenstrahlen durch die Magnetfelder von Spulen wird bei
Fernsehbildröhren angewandt. Im Hals der Bildröhre sind 3
Elektronenkanonen für die Farben Blau, Grün und Rot untergebracht.
Sie bestehen au Heizfaden, Kathode, Wehneltelektrode, Schirmgitter,
Fokussierungselektroden und Beschleunigung elektroden (s. Abschn.
3.2.6.1). Die vertikale (Bild) und horizontale (Zeile) Ablenkung
der Elektronen trahlen
I) Siehe auch Abschn. 8.2.3
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82 1.5 Dynamik der Drehbewegungen
2. Welche Anziehungskraft übt die Erde aufeinen Körper der M a
oe I kg auf dem Mond, welche der Mond auf einen gleichen Körper auf
der Erde au ? (Durehme er ernaehlä igen.)
3. a) Man zeichne ein Diagramm, in dem die Fallbesch leunigu~g
(Ordinale) al Funktion der Höhe über der Erdoberfläche (Abszisse)
bi 5000 km aufgetragen wird.
b) In einem entsprechenden Diagramm trage man al Ordinate die
potentielle Energie ei ne Körper der Masse 1 kg bezogen auf die
Erdoberfläche auf.
4. Ein Raumfahrer hat sich 2 m von einer kugelförmigen Raum
tation mit 20 m Durchme ser und der Masse 2· 106 kg entfernt. Wie
lange würde es d auern, bi er nur durch die Gravi tatio nskraft
wieder auf der Station angelangt wäre? (Es ei eine kon tante
mittlere Fallbeschleunigung
angenommen).
5. Welche Anfangsgeschwindigkeit braucht ein G e choß, um von
der Erde in den Weltraum (r --+ (0) zu gelangen?
1.5 D ynamik der Drehbewegongen
In diesem Abschnitt gehen wir über die bloße Be s c h re i b u n
g von Drehbewegungen (Abschn. 1.2) hinaus und untersuchen ihre
Ursachen. Wir tun da in zwei Schritten. Zunächst nehmen wir an, die
gesamte Masse eines sich auf einer Kreisbahn bewegenden Körpers sei
in einem P unkt vereinigt, wir benutzen also da Modell des sog.
Massenpunktes. Danach stellen wir auch die Au dehnung eine sich
drehenden Körpers in Rechnung. Dazu werden wir das Modell des og.
star r en Körpers verwenden.
1.5.1 Massenpunkt
Für die folgenden Betrachtungen denken wir uns die Körper als
Massenpunkte. (Vgl. Abschn. 1.3.2.3)
1.5.1.1 Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft
o Versuch 10 (Bild 1.70). Eine Kugel 1 wird an einem Faden 2
unter Einschaltung eines Kraftmessers 3 mit der Hand 4 gleichförmig
im Kreise herumgeschwungen. Der Kraftmesser zeigt eine im Faden
wirkende Kraft an, die um so größer ist, je schneller die Kugel
bewegt wird. Der Faden und damit die Kraft zeigen nicht genau auf
den Kreismittelpunkt. Man muß mit leicht kreisender Handbewegung
immer etwas schräg nach vorn ziehen. 0
Zur Erklärung des Versuches 10 zerlegen wir die Kraft F in eine
tangentiale und eine radiale Komponente, Ft und Fzpo Die
Tangentialkraft Ft dient zur Kompensation der Luftreibungskraft FR,
welche die Kugel auf ihrer Bahn erfährt. Wird Ft größer a ls FR,
wird die Kugel tangential beschleunigt.
Das Auftreten der viel größeren Radialkraft Fzp verstehen wir,
wenn wir uns an das erste Newtonsche Axiom erinnern (vgl. Abschn.
1.3.1). Danach wirkt nur solange keine äußere Kraft auf einen
Körper, wie er in Ruhe oder in ge rad I i n i g gleichförmiger
Bewegung ist.
aaa514Bleistift
aaa514Linien
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Auf eine Kreisbahn muß er also auch bei konstantem Betrag der
Bahngeschwindig-keit ständig durch eine Kraft gezwungen werden. Wie
wir aus Abschn. 1.2.1.2 wissen, erfährt der Körper dabei die
Radialbe-schleunigung Qr = 0 2 / r = ro2r, die nur die Änderung der
R ich tun g , nicht jedoch die Änderung des Betrages der
Bahngeschwin-digkeit v hervorruft.
Die Ursache für die Radialbeschleu-nigung är ist die
Zentripetalkraft') Fzp = mär mit dem Betrag Fzp = m02/r = mro2r.
Sie greift an dem Körper an, der auf die Kreisbahn gezwungen
wird.
1.5.1 Massenpunkt 83
_--_ 1;
1. 70 Kräfte bei der Kreisbewegung
Lassen wir in Versuch 10 den Körper los, so fliegt er in
Richtung einer momentanen Bahngeschwindigkeit in tangentialer
Richtung weg (vgl. z. B. auch Funken am Schleifstein.) Zu jeder
Kraft gehört nach dem dritten Newtonschen Axiom eine Gegenkraft.
Man spürt sie in unserem Versuch an der im Zentrum befindlichen
Hand. Sie ent teht durch die Trägheit der Kugel, ist also eine
Träghei tskraft (vgl. Abschn.1.3.3.3). Ihre Radialkomponente muß
der an der Kugel angreifenden Zentripetalkraft entgegengesetzt
gleich sein. Da man durch sie an der Hand den Eindruck hat, der
Körper zöge nach außen, würde also das Zentrum fliehen, bekommt sie
den Namen Fliehkraft oder Zentrifugalkraft ') F zr.
Die Zentrifugalkraft Fzr ist die Gegenkraft zur Zentripetalkraft
Fzp- Daher gilt Fzr = -Fzp.
In Versuch 10 ist die Person, welche die Kugel im Kreis
herumschleudert, ein äußerer Be 0 b ach te r. Sie spürt deutlich,
daß die Zentrifugalkraft an ihrer Hand und nicht an der Kugel
angreift. Darum gilt:
Vom äußeren Beobachter aus betrachtet greift die
Zentrifugalkraft Fzr nicht an dem Körper an, der auf die Kreisbahn
gezwungen wird.
Versetzen wir uns jedoch in die Lage eines Astronauten, der mit
einem Raum chiff die Erde umkreist, so ist eine andere
Betrachtungswei e zweckmäßig ; denn der Astronaut i t ein mit
seinem Raumschiffradial mi tbeschleunigter Beo bach ter. Für ihn er
cheint das Raumschiff in Ruhe. Also muß er, wie in Ab chn. 1.3.3.4
be chrieben, chließen, daß
') LaI. petere = zu erreichen suchen ; lat. fugare = fliehen
.
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84 1.5 Dynamik der Drehbewegungen
die von der Erde aus wirkende Gravitationskraft durch eine
gleich große entgegengesetzt gerichtete Kraft kompensiert wird. Es
gilt de halb:
Für den mi t besch le uni gten Beobachter greift auch die
Zentrifugalkraft an dem auf der Kreisbahn bewegten Körper an.
Zur Angabe des Angriffspunktes der Zentrifugalkraft gehört daher
stets die Angabe des Beo bach ters tandpunk tes. Welcher Standpunkt
der zweckmäßi-gere ist, hängt vom jeweiligen Problem ab. (Vgl. auch
dje Abschn. 1.3.3.3 und 1.3.3.4).
Beispiele: 18. Die Schaufel einer Dampfturbine bewegt sich auf
dem Umfang des Laufrades mit 1 m Halbmesser mit der Drehzahl 3000
min - 1. Wievielmal größer als ihre Gewichtskraft muß die
Zentripetalkraft sein, die die Schaufel auf ihre Kreisbahn
zwingt?
Fzp mw2r w 2r 4n 2n2r
-=--=-=--= mg g g
4n2 • 2500 . 1 m S2
S2 . 9,81 m = 10000
Alle Befestigungen müssen also die 10000fache Gewichtskraft der
Schaufel übertragen können!
19. In einer Trockenschleuder rotiert die Wäsche so schnell, daß
die Kräfte, die die Wassertröpfchen im Gewebe festhalten , nicht
mehr ausreichen, um für sie die Zentripetalkraft aufzubringen. Die
Wassertröpfchen fliegen in tangentialer Richtung aus der Wäsche
heraus.
20. Ein Auto kann nur deshalb eine Kurve durchfahren, weil die
Haftreibungskraft zwischen Straße und Rädern die erforderliche
Zentripetalkraft liefert. Da diese quadratisch mit der
Bahngeschwindig-keit v anwächst, Fzp = mv
2 /r, kann es geschehen, daß die Haftreibungskraft bei zu
schneller Fahrt nicht mehr ausreicht und das Auto sich geradlinig
weiterbewegt. Es wird nicht etwa durch die Fliehkraft aus der Kurve
"hinausgetragen", wie oft fälschlich angenommen wird, denn die
Fliehkraft greift ja, vom äußeren Beobachter aus gesehen, nicht am
Auto, sondern als Reaktionskraft auf die Zentripetalkraft an der
Straße an.
21. Wegen der Erddrehung wird ein kleiner Teil der
Gravitationskraft dazu benutzt, um die Zentripetalkraft für die
rotierende Erdmasse zu liefern (s. Aufgabe 1 zu Abschn. 1.5.1).
Nach den Polen zu nimmt dieser Teil wegen des kleineren effektiven
Radius ab und verschwindet dort. Das ist die Ursache für die
Abplattung der Erde an den Polen.
Anwendungen. Siehe die folgenden Aufgaben.
Aufgaben zu Abschn. 1.5.1 1. a) Wieviel Prozent der
Gravitationskraft werden am Äquator der Erde als Zentripetalkraft
benötigt?
b) Man berechne die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse
1 kg an den Polen. Dabei werde die Erde als Kugel und die
resultierende Gewichtskraft (gleich Gravitationskraft minus
senkrechter Komponente der Zentripetalkraft) in 45 ° Breite zu 9,81
N angenommen.
2. Wie schnell muß ein "Steilwandfahrer" an der Innenwand eines
senkrecht stehenden Zylinders mit 10 m Durchmesser mindestens
fahren, um nicht herabzufallen ? (p' = 0,2).
1.71 Fliehkrartregler
KreisbewegungLorentzkraft 1magnetische Induktionspezifische
Ladung des Elektrons