3.3. Axonometrikus ábrázolások Rövid áttekintés

3.3. Axonometrikus ábrázolások

Rövid áttekintés

Párhuzamos vetítések, axonometriák

• Kevésbé valószerű – de közeli, kis tárgyaknál . . .

• Affin transzformációval

• A képsíkra merőlegesen, vagy ferde szög alatt

• 4 „független” pont és képe meghatározza

Emlékeztető

• Műszaki rajzoknál:

egyezményes ábrázolási módok:

- könnyen szerkeszthető

- a szakemberek által megszokott,

- könnyen értelmezhető

- méretek és arányok jól „leolvashatók”

• Műszaki rajzolónak szerkesztési szabályok

- a számítógéphez számítási eljárások

Ami a módszerekben közös

• Kiindulás: TKR;a tárgy egy jellemző pontja és fő irányai

• Előtte: VKR TKR: P’ = (T B) Pmozgás; méret- és alaktartó

• A vetület előállítása:

1. P’ = M P; 3D 3D, ; olyan M, amely…

2. láthatóság-takarás z’ szerint

3. z’ elhagyása: 3D 2D; VKR-2D

44 KKR, a képmezőbe

• Párhuzamos vetítésnél M affin, középpontosnál projektív

Gyakrabban használt módszerek

Merőleges vetítés koordináta-síkokra

A

F

HEJ B

•„Számítások”: a harmadik koordináta elhagyása•Legtöbbször csak 2-3 nézet

Kiegészítő nézet ferde síkra

• A test jellemző síkjával párhuzamos síkra• Forgatással

visszavezethető a merőleges vetítésre• A nézetek szabványos egyesítése

Axonometriák

• Frontális axonometria

• Izometria

• Dimetria

• Trimetria (olv)

• Affin mátrixal,

a mátrix: 4-4 független ponttal

Affin transzformációk mátrixának előállítása

• 4 „független” pont és képe

• Gyakran:

a TKR „ölében ülő” téglatest

O = (0,0,0)

A = (a,0,0),

B = (0,b,0),

C = (0,0,c)

Frontális axonometria (Kavalier perspektíva) • Párhuzamos vetítés, ferde szögben• Rajzolási szabályok:

- az UV képsík | | a TKR XZ „homloksíkjával” - X’ = U , Z’ = V; 1 : 1 méretek- Y’: 45 fokban hátrafelé; 1 : 2 méretek

• P’ = MM · P ; MM = ?

• MM = ( 1 t 0 0); t = 2/4 |0 t 1 0| |0 -1 0 0| (0 0 0 1)

• (tengelycsere és nyírás)

A határozatlan együtthatók módszerével:

• O = [0, 0, 0, 1]; O’ = [0, 0, 0, 1]; a képsíkban

• XZ sík (TKR) || UV sík (KKR) képe

A = [1, 0, 0, 1]; A’ = [1, 0, 0, 1]

C = [0, 0, 1, 1]; C’ = [0, 1, 0, 1]

• Y tengely képe 450 -ban hátrafelé:

B = [0, 1, 0, 1]; B’ = [bu, bv, bw, 1];

bu = cos() / 2,

bv = sin() / 2,

bw = +1 (vagy más !!!)

mik kiszámítása:

mik = ? : M (A B C O ) (A’ B’ C’ O’)

= (m11 m12 m13 m14) ( 1 0 0 0 ) ( 1 bu 0 0 ),

(m21 m22 m23 m24) | 0 1 0 0 | | 0 bv 1 0 |

(m31 m32 m33 m34) | 0 0 1 0 | | 0 1 0 0 |

( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 )

mik kiszámítása:

mik = ? : M (A B C O ) (A’ B’ C’ O’)

( m11+m14 m12+m14 m13+m14 m14 ) ( 1 bu 0 0 ), | m21+m24 m22+m24 m23+m24 m24 | | 0 bv 1 0 | ( m31+m34 m32+m34 m33+m34 m34 ) | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) ( 1 1 1 1 )

M = ( 1 bu 0 0 ), bu = cos () / 2, | 0 bv 1 0 | bv = sin () / 2, | 0 1 0 0 | ( 0 0 0 1 ) = 450, esetleg 300.

Axonometria – tengelyméretes ábrázolás

• Párhuzamos, merőleges vetítés egy ferde állású képsíkra

• „tengelyméretes ábrázolás”:

a tengelyirányú rövidülések: k2 + l2 + m2 = 2

• (egy d szakasz rövidülése: k = d’ / d = cos )

• Megőrzi a párhuzamosságot

és egy-egy irányban a szakaszok arányát

• Affin transzformációval számolható

Axonometria - a rajz szokásos elrendezése:

TKR: XYZ

KKR: UVW

Y’X’

Z’

U

V

Izometria, egyméretű axonometria

• k = l = m = 2/3 = 0.82…; ( ~1 !!!)

• A tengelyirányú távolságok

jól érzékelhetőek

• A TKR egységkockáját

a csúcsára állítva

a képsíkra merőlegesen

• A tengelyek vetülete

egymástól 1200-ra

Izometria, egyméretű axonometria

• MM = ( m11 m12 m13 m14 ) = | m21 m22 m23 m24 | | m31 m32 m33 m34 ) ( 0 0 0 1 )

=( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 )

h = 3/3, f = 2/3, t = 1/2

• MM : : mozgatás: eltolás és forgatás

Levezetés: 4 független pont és képe:

{O A B C} {O’ A’ B’ C’}

0 1 0 0 0 –f f 0 0 0 1 0 0 –g –g h 0 0 0 1 m 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

a = OA = 1, AB = 2 f = AB/2 = 2/2,g = AB (3/2)/3,h = 2g;m = akármi, de 0

Izometria, egyméretű axonometria

• MM = ( -t t 0 0 ) | -f/2 -f/2 f 0 | ( -h –h -h h ) ( 0 0 0 1 )

f = 2/3, t = 1/2,

h = 3/3

Dimetria• k = l/2 = 0.47…, l = m = 0.94..; • Rajzolási szabály (jó közelítés):

X” balra lefelé 7/8 irányban Y” jobbra lefelé 1/8 irányban Z” fölfelé

X méretek: 1:2 Y és Z méretek: 1:1

• P’ = MM · P;

MM = ( -2/4 21/8 0 0 ) |-14/12 –2/12 8/3 0 | ( -7/3 –1/3 –1/3 1/3) ( 0 0 0 1 )

• MM mozgatás: eltolás és forgatás

Trimetria (olv.)• k, l, m: három különböző, rögzíthető érték

• P’ = M · P ; MM mozgatás: eltolás és forgatás

- O’ a T (a KKR origója) fölött,- Z” = V tengely- X’, Y’, Z’ a képsíkot P, Q, R-ben döfi cos = k, cos = l, cos = m szög alatt.

•M a határozatlan együtthatók módszerével

Képek …