3_205937_AnalisisDinamicoFrecuencia

ANÁLISIS DINÁMICO EN EL DOMINIO DE LAFRECUENCIA

ÓSCAR REINOSO GARCÍA

Departamento de Ingeniería de Sistemas y AutomáticaUniversidad Miguel Hernández de Elche

Elche, 16 de diciembre 2011

O. Reinoso (UMH) Elche, 16 de diciembre 2011 1 / 36

Índice de contenidos

1 Introducción

2 Estabilidad de un Sistema Realimentado

3 Principio del Argumento de Cauchy

4 Camino de Nyquist

5 Criterio de Estabilidad de Nyquist

6 Estabilidad Relativa


Introducción


1 IntroducciónMarco del temaEstabilidad



4 Camino de Nyquist




Introducción Marco del tema

Unidades Didácticas

UNIDAD DIDÁCTICA TEMA

1. Revisión de conceptosPresentación de la asignatura

Conceptos de sistemas

2. Análisis de sistemascontinuos realimentados

Estabilidad y precisión en sistemas continuos reali-

mentados

Lugar de las raíces en sistemas continuos realimen-

tados

Análisis dinámico en el dominio de la frecuencia

3. Diseño de reguladorescontinuos

Acciones básicas de control

Diseño de reguladores continuos: técnicas basadas

en el lugar de las raíces

Diseño de reguladores continuos: técnicas basadas

en la respuesta en frecuencia


Introducción Estabilidad

Estabilidad de sistemas continuos I

DefiniciónUn sistema es estable si la señal de salida es acotada ante cualquierseñal de entrada acotada



Estabilidad en sistemas continuos II

Métodos1 Respuesta impulsional h(t)∫ ∞

−∞h(t)dt <∞

2 Todos los polos del sistema tienen que encontrarse en elsemiplano complejo de parte real negativa. En sistemasrealimentados, todas las raíces de la ecuación característicadeben hallarse en el semiplano complejo de parte real negativa

1 Criterio de Routh2 Método del lugar de las raíces

3 Criterio de Nyquist: Estabilidad del sistema en bucle cerradopartiendo de la función de transferencia senoidal en bucle abierto





−∞h(t)dt <∞








−∞h(t)dt <∞


1 Criterio de Routh

2 Método del lugar de las raíces






−∞h(t)dt <∞








−∞h(t)dt <∞





Estabilidad de un Sistema Realimentado


1 Introducción



4 Camino de Nyquist





Sistema Realimentado

M(s) =G(s)

1 + G(s)H(s)

F(s) = 1 + G(s)H(s) = 0

Si G(s) = N1(s)D1(s) , y H(s) = N2(s)

D2(s)

F(s) =D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s)

D1(s)D2(s)

Ecuación característicaPolos de F(s) son los polos del sistema en bucle abierto G(s)H(s)Ceros de F(s) son los polos del sistema en bucle cerrado



Hipótesis de partida

Condiciones para aplicar el criterio de Nyquist1 El comportamiento dinámico del sistema está expresado por un

conjunto de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes

2 El orden del denominador del sistema en bucle abierto G(s)H(s)es mayor que el orden del numerador



Hipótesis de partida

Condiciones para aplicar el criterio de Nyquist1 El comportamiento dinámico del sistema está expresado por un

conjunto de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientesconstantes

2 El orden del denominador del sistema en bucle abierto G(s)H(s)es mayor que el orden del numerador


Principio del Argumento de Cauchy


1 Introducción



4 Camino de Nyquist






Principio

Si F(s) es una función racional y está definida en y dentro de uncontorno cerrado ΓS, excepto para un número finito de puntos queestén situados dentro de dicho contorno, la función imagen ΓF queresulta al recorrer la variable s el contorno cerrado ΓS, rodea al origendel plano F un número de veces igual a la diferencia entre el númerode ceros y el número de polos de F(s) situados dentro del contorno ΓS

Polos Imaginarios

F(s) = |F(s)| expj∠F(s)

|F(s)| =

m∏i=1

|s + zi|

n∏i=1

|s + pi|, ∠F(s) =

m∑i=1

∠(s + zi)−n∑

i=1

∠(s + pi)


Camino de Nyquist


1 Introducción



4 Camino de NyquistDefiniciónTramos




Camino de Nyquist Definición

Definición

Camino de NyquistEl camino de Nyquist resultade elegir un contornocerrado que incluya todo elsemiplano complejo de partereal positiva.

Se puede usar el Principio del Argumento de Cauchy para detectar lapresencia de raíces en la ecuación característica F(s) = 0.


Camino de Nyquist Tramos

Tramos del Camino de Nyquist

Tramos I y III

s = jω con ω ∈ (0→ +∞)s = jω con ω ∈ (−∞→ 0)F(s) en estos tramos es simétricorespecto al eje real

Tramo II

s = Rejθ,R→∞

Dado que:

lims→∞G(s)H(s) = constante

Este tramo es un único punto en elplano F(s)



Polos en el eje imaginario

Si el sistema en bucle abierto G(s)H(s) tiene polos en el eje imaginario,es preciso modificar el camino de Nyquist. Principio Argumento Cauchy



Polos en el eje imaginario

Si el sistema en bucle abierto G(s)H(s) tiene polos en el eje imaginario,es preciso modificar el camino de Nyquist. Principio Argumento Cauchy


Criterio de Estabilidad de Nyquist


1 Introducción



4 Camino de Nyquist

5 Criterio de Estabilidad de NyquistCriterio de NyquistEjemplo



Criterio de Estabilidad de Nyquist Criterio de Nyquist

Criterio de Nyquist

Criterio de NyquistEl criterio de estabilidad de Nyquist resulta de la aplicación delPrincipio del Argumento de Cauchy cuando se toma el camino deNyquist como trayectoria de variación de s en el plano complejo.

Si se traza F(s) a través delcamino de Nyquist se puedecalcular N (número de vueltasen torno al origen).P es el número de polos en elsemiplano complejo de partereal positiva (conocido)

F(s) = 1 + G(s)H(s)

F(s) =D1(s)D2(s) + N1(s)N2(s)

D1(s)D2(s)

N = Z − P



Estabilidad

Z = P + N

Estabilidad de NyquistPara que el sistema sea estable Z = 0.

Z=Número de ceros de F(s)=Número de polos en Bucle Cerrado

Dado que F(s) = 1 + G(s)H(s), en lugar de trazar F(s) a través delCamino de Nyquist y contar N, el número de vueltas en torno a cero,se obtiene el MISMO RESULTADO, si se traza G(s)H(s) a través delCamino de Nyquist y se cuenta N el número de vueltas en torno alpunto −1 + 0j.



Estabilidad

Z = P + N

Estabilidad de NyquistPara que el sistema sea estable Z = 0.

Z=Número de ceros de F(s)=Número de polos en Bucle Cerrado

Dado que F(s) = 1 + G(s)H(s), en lugar de trazar F(s) a través delCamino de Nyquist y contar N, el número de vueltas en torno a cero,se obtiene el MISMO RESULTADO, si se traza G(s)H(s) a través delCamino de Nyquist y se cuenta N el número de vueltas en torno alpunto −1 + 0j.



Procedimiento

Forma de actuar1 Se sitúan en el plano complejo los polos de G(s) y de H(s), y se

define el camino de Nyquist. Se determina P.

2 Se traza la curva de variación de G(s)H(s) cuando s recorre elcamino de Nyquist.

3 Se calcula el número de vueltas N que la curva rodea al punto−1 + 0j.

4 Se aplica la relación Z = P + N, dado que se conoce P.5 Si Z = 0 el sistema es ESTABLE. En otro caso el sistema es

INESTABLE.



Procedimiento


define el camino de Nyquist. Se determina P.2 Se traza la curva de variación de G(s)H(s) cuando s recorre el

camino de Nyquist.



INESTABLE.



Procedimiento



camino de Nyquist.3 Se calcula el número de vueltas N que la curva rodea al punto−1 + 0j.


INESTABLE.



Procedimiento




4 Se aplica la relación Z = P + N, dado que se conoce P.

5 Si Z = 0 el sistema es ESTABLE. En otro caso el sistema esINESTABLE.



Procedimiento





INESTABLE.


Criterio de Estabilidad de Nyquist Ejemplo

Ejemplo I

EnunciadoDado

G(s)H(s) = K1s(1+T1s)(1+T2s) con 0 ≤ T1 ≤ T2

Determinar la estabilidad del sistema en buclecerrado mediante el criterio de estabilidad deNyquist.



Ejemplo II

1 Se sitúan los polos de G(s)H(s) y se define el camino de Nyquist

P = 0



Ejemplo II


P = 0



Ejemplo II


P = 0



Ejemplo III


Tramo I: s = jω conω ∈ (0+ →∞)

GH =K1

jω(1 + T1jω)(1 + T2jω)

Tramo II: s = Rejϕ conR→∞

Tramo III: s = −jω

Tramo IV: s = εejϕ conε→ 0

GH =K1

εejϕ(1 + T1εejϕ)(1 + T2εejϕ)



Ejemplo III



GH =K1

jω(1 + T1jω)(1 + T2jω)




GH =K1




Ejemplo III



GH =K1

jω(1 + T1jω)(1 + T2jω)




GH =K1




Ejemplo III



GH =K1

jω(1 + T1jω)(1 + T2jω)




GH =K1




Ejemplo IV




Ejemplo IV




Ejemplo V

4 Se aplica la relación Z = P + N, dado que se conoce P

N = 0, P = 0, entoncesZ = 0



ESTABLE INESTABLE



Ejemplo V

4 Se aplica la relación Z = P + N, dado que se conoce P




ESTABLE INESTABLE


Estabilidad Relativa


1 Introducción



4 Camino de Nyquist


6 Estabilidad RelativaSistemas de Fase MínimaMárgenes de Ganancia y de Fase


Estabilidad Relativa Sistemas de Fase Mínima

Estabilidad en Sistemas de Fase Mínima

Sistemas de Fase MínimaLos sistemas que no presentan polos en el semiplano complejo departe real positiva se denominan sistemas de FASE MÍNIMA

EstabilidadPara sistemas de fase mínima basta analizar el primer tramo delCamino de Nyquist

1 Si el trazado polar de G(s)H(s) para el primer tramo deja el punto−1 + 0j a su izquierda, el sistema es ESTABLE

2 Si el trazado polar de G(s)H(s) para el primer tramo deja el punto−1 + 0j a su derecha, el sistema es INESTABLE



Estabilidad en Sistemas de Fase Mínima

Sistemas de Fase MínimaLos sistemas que no presentan polos en el semiplano complejo departe real positiva se denominan sistemas de FASE MÍNIMA

EstabilidadPara sistemas de fase mínima basta analizar el primer tramo delCamino de Nyquist

1 Si el trazado polar de G(s)H(s) para el primer tramo deja el punto−1 + 0j a su izquierda, el sistema es ESTABLE

2 Si el trazado polar de G(s)H(s) para el primer tramo deja el punto−1 + 0j a su derecha, el sistema es INESTABLE



Estabilidad Relativa

La proximidad del trazado polar de G(s)H(s) al punto −1 + 0j ofrece unvalor acerca de la ESTABILIDAD RELATIVA



Ejemplo

G(s)H(s) =K

s(1 + T1s)(1 + T2s)

con 0 ≤ T1 ≤ T2



Comparativa I

K = K1



Comparativa I

K = K1



Comparativa I

K = K1



Comparativa II

K = K2 > K1



Comparativa II

K = K2 > K1



Comparativa II

K = K2 > K1



Comparativa III

K = K3 > K2



Comparativa III

K = K3 > K2



Comparativa III

K = K3 > K2



Comparativa IV

K = K4 > K3



Comparativa IV

K = K4 > K3



Comparativa IV

K = K4 > K3



Comparativa V

K = K5 > K4



Comparativa V

K = K5 > K4



Comparativa V

K = K5 > K4


Estabilidad Relativa Márgenes de Ganancia y de Fase

Margen de Ganancia y Margen de Fase

Para expresar la estabilidad relativa de G(jω)H(jω), al punto −1 + 0j,se usa el margen de ganancia y el margen de fase

ωg: Frecuencia de cruce degananciaωϕ: Frecuencia de cruce de faseγ: Margen de faseKg: Margen de ganancia (dB)



Aumento de ganancia



Aumento de ganancia


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