PEMBAHASAN Perbandingan Dan Fungsi Trigonometri Sebelum mengetahui lebih lanjut mengenai perbandingan kalau kita sedikit mengulang pembahasan mengenai pengukuran sudut (derajat dan radian). A. Derajat merupakan satuan yang paling sering dipakai untuk menyatakan ukuran suatu. Satu putaran penuh besarnya 360 o (dibaca : 360 derajat). Satuan ukuran sudut yang lainnya yang lebih kecil dari derajat adalah menit dan detik dimana 1 dejarat = 60 menit (1 o = 60’) dan 1 menit = 60 detik (1’ = 60”). Hubungan antara satuan derajat, menit dan detik adalah sebagai berikut : 1 o = 60' 1' = 60 o 1' = 1” = 1 Putaran penuh = 360 o atau 1 o = putaran penuh Contoh : 1. Nyatakan ukuran-ukuran sudut berikut hanya dalam satuan derajat a. 32 o 15' b. 40 o 30' Penyelesaian
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PEMBAHASAN
Perbandingan Dan Fungsi Trigonometri
Sebelum mengetahui lebih lanjut mengenai perbandingan kalau kita
sedikit mengulang pembahasan mengenai pengukuran sudut (derajat dan radian).
A. Derajat merupakan satuan yang paling sering dipakai untuk menyatakan
ukuran suatu. Satu putaran penuh besarnya 360 o (dibaca : 360 derajat). Satuan
ukuran sudut yang lainnya yang lebih kecil dari derajat adalah menit dan detik
dimana 1 dejarat = 60 menit (1o = 60’) dan 1 menit = 60 detik (1’ = 60”).
Hubungan antara satuan derajat, menit dan detik adalah sebagai berikut :
1o = 60' 1' = 60 o
1' = 1” =
1 Putaran penuh = 360o atau 1o = putaran penuh
Contoh :
1. Nyatakan ukuran-ukuran sudut berikut hanya dalam satuan derajat
a. 32o15' b. 40o30'
Penyelesaian
a. 32o15' = 32o + (15 x )o b. 40o30' = 40o + (30 x )
= 32o + 0,25o = 40o + 0,5
= 32,25o = 40,5o
2. Nyatakan ukuran sudut berikut dalam satuan derajat menit dan detik
a. 56,5o b. 30,2o
Penyelesaian
a. 56,6o = 56o + 0,6o b. 30,2o = 30o + 0,2o
= 56o + = 30o +
= 56o + 36’ = 30o + 12’= 56o36’ = 30o12’
2. Satuan Radian
Satu radian adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang menghadap besar
lingkaran dan panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran itu.
pada gambar di samping POQ =
= jadi
besar sudut POQ = 1 radian
contoh :
1. Diketahui sebuah lingkaran berjari-jari 20 cm
a. Jika sudut pusat lingkaran 80°, tentukan panjang busurnya.
b. Tentukan besar sudut pusat lingkungan busur lingkaran yang panjangnya
10 cm
Penyelesaian :
a. diketahui sudut pusat θ = 80° - 80° x = radian dan r = 20 cm
jadi panjang besarnya adalah :
θ = s = θ x r
s = x 20 cm = cm = 8,9 π cm
b. θ = θ = = 0,5 radian
3. Hubungan antara satuan derajat dan radian
Besar sudut POQ =
= radian
= π radian
= 180°
\Q
p
ro
r
180o
hubungan antara satuan derajat dan radian adalah sebagai berikut :
1° = radian = 0,01745 radian
1 radian =
Contoh :
1. Ubahlah satuan sudut di bawah ini ke dalam, satuan radian
a. 60° b. 210°
penyelesaian
a. 60° = x π radian = π radian
b. 210° = x π radian = π radian
2. Nyatakan sudut-sudut di bawah dalam satuan derajat
a. π radian = x 180° = 45°
b. radian = x 180° = 165°
4. Perbandingan trigonometri bilangan riil
Untuk sembarang x bilangan riil, perbandingan trigonometrinya
merupakan nilai perbandingan trigonometri sudut x dalam satuan ukuran radian.
Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut yang
dinyatakan dalam satuan ukuran radian, ubah sudut dalam satuan radian
menjadi sudut dalam satuan derajat. Kemudian, tentukan perbandingan nilai
trigonometri sudut dalam satuan derajat itu menggunakan tabel trigonometri
kalkulator jika sudut itu bukan sudut-sudut istimewa.
Contoh
Tentukan nilai dari sin π cos π dan tan π
Penyelesaian
a. sin ( )π = cos ( x 180°) = sin 300° = -
b. cos π = cos = cos 135 = -
c. tan = tan = tan 225 = 1
B. Perbandingan Trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku
1. Memahami perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga siku-siku
a. disebut sinus sudut α disingkat sin α
b. disebut cosinus sudut α disingkat cos α
c. disebut tangan sudut α disingkat tan α
d. disebut kotangen sudut α disingkat cotan α
e. disebut sekan sudut α disingkat sec α
f. disebut kosekan sudut α disingkan cosec α
Berdasarkan gambar di atas, panjang BC = a, AC = b, dan AB = c
perbandingan trigonometri untuk sudut α dapat dinyatakan sebagai berikut:
Sin = Cosec =
α
c
a
b
b
a
c
Cos = Sec =
Tan = Cotan =
Dari perbandingan-perbandingan itu, diperoleh hubungan sebagai berikut :
Sin = atau cosec =
Cos = atau sec =
Tan = atau cot =
Tan = atau cotan =
Contoh :
1. Diketahui segitiga ABC siku-siku di titik B dengan panjang AB = 3
cm, BC = 4 cm, dan besar sudut BAC = tentukan nilai sin , cos
, tan , cotan , dan cosec
Penyelesaian :
Misalkan AB = C, BC = a dan AC = b, dengan menggunakan teorema
Pythagoras, kita dapat menentukan panjang AC atau nilai 6, yaitu
b =
=
=
= 5 cm
c
54
3AB
Oleh karena itu,
Sin = = ● cotan = =
Cos = = ● sec =
Tan = ● cosec =
2. Diketahui tan = . Hitunglah sin dan cos
Penyelesaian
Tan = r3 sin = sin 30 = 0,5
= Arc tan r3 cos = cos 30 = r3
= 30
2. Perbandingan trigonometri pada sudut lingkaran
Gambar disamping adalah sebuah lingkaran dengan pusat 0 (0,0) dan
berjari-jari r, sudut alfa (α) adalah sudut antara sumbu α positif dan garis
op. garis op dapat diputar sepanjang lingkaran sehingga besar sudut α
berkisar antara 0o sampai dengan 360o
Koordinat titik P (q, y) jari-jari lingkaran itu adalah r =
Perbandingan trigonometri untuk sudut alfa (α) didefinisikan sebagai
berikut
a. sin α = c. tan α = e. sec α =
b. cos α = d. cotan α = f. cosec α =
3. Perbandingan trigonometri sudut khusus
Nilai fungsi trigonometri sudut khusus dinyatakan dalam tabel berikut ini
α 0° 30° 45° 60° 90°Sin α 0 ½ ½ ½ 1Cos 1 ½ ½ ½ 0Tan 0 1 -
Cosec - 2r3
1
Sec 1 2 -
Cotg - 1 0
Contoh :
1. Diketahui koordinat titik P adalah (-4, 3) dan besar sudut xop = α.
Tentukan sin α, cos α, tan α, cotan α, sec α dan cosec α
Penyelesaian
P merupakan suatu titik yang dilalui oleh lingkaran dengan pusat 0
(0,0) dan jari-jari r. nilai r dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras
sebagai berikut :
r =
=
=
= 25
= 5
Oleh karena itu,
a. sin α =
b. cos α =
c. tan α =
d. cotan α =
e. sec α =
f. cosec α =
2. Hitunglah nilai dari sin 30 + cos 60° + tan 45°
Penyelesaian
Sin 30° =
Cos 60° =
Tan 45° = 1
Jadi sin 30 + cos 60 tan 45 = + + 1 = 2
3. Hitunglah nilai dari sin 45 x cos 30 + cos 45
Penyelesaian
Sin 45° = maka sin 45 x cos 30 cos 45
Cos 30° = = x +
Cos 45 = = +
4. Perbandingan trigonometri sudut-sudut di semula kuadrat Kudran II 90° α 180°Fin (+) Cosec (+)
Kuadian 0° α 90°Semua positif
Kuadran III 180° α 270°tg (+) cotg (+)
Kuadran IV 270° α 360°Cos (+)Sec (+)
a. Perbandingan trigonometri sudut α° dengan sudut (90 ± α°)
Sin (90° - α) = cos α
Cos (90° - α) = sin α
Sin (90° + α) = cos α
Cos (90° + α) = -sin α
Tg (90° - α) = cotg α
Cosec (90° - α) = sec α
Sec (90° - α) = cosec α
Cotg (90° - α) = tg α
Tg (90° + α) = c-otg α
Cosec (90° + α) = sec α
Sec (90° + α) = -cos α
Cotg (90° + α) = -tg α
Contoh
sin 45° = sin (90° - 45°) = cos45°
cos 60° = cos (90° - 30°) = sin30°
tg 50° = tg (90° - 40°) = cotg40°
sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 100° = cos (90° + 27°) = -sin 27°
tg 125° = tg (90° + 35°) = cotg 35°
b. Perbandingan Tarigonometri sudut α dengan sudut (180 ± α°)
sin (180° - α) = sin α
cos (180° - α) = sin α
tg (180° - α) = tg α
cosec (180° - α) = cosec α
sec (180° - α) = sec α
cotg (90° - α) = -cotg α
sin (180° + α) = - sin α
cos (180° + α) = - cos α
tg (180° + α) = tg α
cosec (90° + α) = - cosec α
sec (90° + α) = - sec α
cotg (90° + α) = cotg α
Contoh
sin 150° = sin (180° - 30°) = sin45°
cos 135° = cos (180° - 60°) = cos60°
tg 120° = tg (180° - 60°) = tg 60°
sin 100° = sin (180° + 10°) = cos 10°
cos 210° = cos (180° + 27°) = -cos30°
tg 225° = tg (180° + 45°) = tg45°
c. Perbandingan Trigonometri sudut α° dengan sudut (27 ± α°)