30464800 Excel Praktikum

8/4/2019 30464800 Excel Praktikum

1/101

Sadraj

1. Uvod u Excel ..............................................................................................................................21.1. Startovanje Excela...............................................................................................................31.2. Radno okruenje.................................................................................................................31.3. Radni papir i elija..............................................................................................................31.4. Upisivanje i kretanje po elijama .....................................................................................51.5. Formatiranje elija ..............................................................................................................61.6. Formatiranje decimalnih brojeva .....................................................................................61.7 Menjanje boje pozadine i teksta elije..............................................................................71.8 Podeavanje irine i visine elija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona ..............7

1.9 Spajanje elija .......................................................................................................................81.10 Uokvirivanje elija.............................................................................................................81.11 Premetanje i kopiranje elija ..........................................................................................91.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta .................................................................................101.13 Otvaranje novog i postojeeg dokumenta ...................................................................101.14 Rad sa formulama ...........................................................................................................101.15 Fiksiranje elija u formulama.........................................................................................111.16 Grafikoni ...........................................................................................................................12

2. Funkcije raspodele u Excelu ..................................................................................................152.1. Binomna raspodela...........................................................................................................16

2.2. Poasonova raspodela.......................................................................................................21

Srednja vrednost i disperzija .............................................................................................21Aproksimacija binomne raspodele Poasonovom ...........................................................21

2.3. Normalna raspodela ........................................................................................................263. Empirijska raspodela u Excelu ..............................................................................................34

3.1. Osnovni pojmovi .........................................................................................................353.2 Empirijska raspodela ..................................................................................................37

Intervalno sreivanje podataka.........................................................................................414. Intervalne ocene parametara .................................................................................................47raspodele.......................................................................................................................................47

4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom..............484.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate disperzije ........................53

5. Analiza korelacije ....................................................................................................................595.1 Uzoraki koeficijent korelacije.........................................................................................625.2 Regresione prave ...............................................................................................................655.3 Provera znaajnosti korelacije .........................................................................................685.4 Interpretacija koeficijenata korelacije .............................................................................70

6. Regresiona analiza...................................................................................................................72


2/101

1

6.1 Metod najmanjih kvadrata ...............................................................................................756.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ......................................................776.3 Koeficijent determinacije ..................................................................................................776.4 Odreivanje pravolinijske zavisnosti.............................................................................786.5 Intervali poverenja odseka i nagiba ..............................................................................86

6.6 Testiranje hipoteza u vezi sa odsekom i nagibom .....................................................896.7 Linearizovane dvoparametarske empirijske formule .................................................90

Literatura ....................................................................................................................................100


3/101

2

1. Uvod u Excel


4/101

3

1.1. Startovanje Excela

Microsoft Excel je program za tabelarna proraunavanja. Osnovna osobina vrenja

takvih prorauna na raunaru je da se izmenama odreenih podataka menjaju ivrednosti koje su zasnovane na njima.Startovanje Excel-a se vri preko ikone na desktopu. Dupli klik miem na ikonuMicrosoft Excel i program je pokrenut. Ukoliko ikone programa nema na desktopu tada je Excel potrebno pokrenuti prko Start menija, menija Programs, a zatim kliknuti naMicrosoft Excel.

1.2. Radno okruenje

Radno okruenje Excel-a ine :Naslovna linija (Title Bar) se nalazi na samom vrhu ekrana i tu se nalazi ispisano imedokumenta s kojim se trenutno radi i ime programa.Traka sa menijima (Menu Bar) se nalazi odmah ipod naslovne linije i u njoj se nalazemeniji u kojima su grupisani razni alati.Paleta standard (Standard Toolbar) ili paleta sa standardnim alatkama se nalazi ispodtrake sa menijima i sadri najee koritene alate iz menija (novi dokument, otvaranje,snimanje dokumenta, tampanje dokumenta i slino).Paleta Format (Formatting Toolbar) ili paleta za formatiranje sadri alate koji se koriste zaformatiranje teksta, odreivanje vrste, veliine i boje slova, poravnavanja teksta ...Traka za formulu (Formula Bar) je traka gde se unosi formula za eliju sa kojom radimo.Statusna linija (Status Bar) opisuje u svom levom uglu stanje u kom se nalazi program-Ready (spreman za rad), Enter (unos u eliju), itd. Pord toga u statusnoj liniji moemovideti da li je ukljueno prekucavane, kucanje velikih slova itd.Klizai omoguavaju pomeranje papira kako bi se videle sve elije.

1.3. Radni papir i elija

Radni papir (eng. Worksheet) i elija (eng. Cell) su osnovni elementi rada u Excelu. Svakidokument sa kojim se radiu Excelu naziva se naziva se sveska ili knjiga (eng. Book). Dabi se odvoile znaajne celine u okviru jendog dokumenta koriste se radni papiri, kojiine knjigu. Dakle, jedan radni papir moe da se koristi za proraun, jedan za grafikeitd.


5/101

4

Slika 1.1.

Sam radni papir sastavljen je od elija. Svaka elija moe sadrati tekst ili brojeve, i zasvaku od njih moe se definisati tip (tekst, broj, valuta, procenti, datum). elije se uExcel-u mogu povezivati tako da jedna zavise od druge i na taj nain formirati formulepo kojima se raunaju vrednosti.

Ubacivanje novog radnog papira- vri se preko padajueg menijaInsert, opcije Worksheet. Ili, ako se pritisne desni taster mia na bilokoju od kartica postojeih radnih papira, koje se nalaze iznad statusnelinije. Otvara se novi meni u kome se odabira opcija Insert, u

novootvorenom prozoru dovoljno je kliknuti OK.

Uklanjanje radnog papira vri se pritiskom desnog tastera mia na karticu radnogpapira koji treba obrisati, i u novootvorenommeniju bira se opcija Delete. Otvara se noviprozor u kome se sa OK potvruje brisanje, dokse sa Cancel prekida.


6/101

5

Menjanje imena radnog papira koristi se isti meni kao i prethodne dve operacije.Pritisne se desni taster mia na karticu radnog papira ije se ime menja, a zatim unovootvorenom meniju klikne na Rename. Nakon tog upisuje se novo ime i pritisnetaster Enter.

Premetanje i kopiranje radnog papira- ponekad je potrebno promeniti redosledradnih papira. Za to se koristi opcija Move or Copy. Otvara seprozor kao sa slike. Otvara se prozor kao sa slike. Polje To Bookgovori u koju knjigu (dokument) se premeta radni papir. PoljeBefore Sheet ukazuje na to pre kog radnog papira elimo dapostavimo odabrani radni papir. Opcije move to end papir aljena kraj knjige (dokumenta). Ukoliko je otkaeno polje Create a copybie napravljena kopija radnog papira. Na kraju se sa OKpotvruju odabrane opcije.Sekektovanje radnih papira kada je potrebno obrisati vie radnih papira ili se nad

njima vre neke izmene, potrebno ih je prvo oznaiti selektovati. Selektovanje se vripritiskom na levi taster mia na kartice radnih papira koje se nalaze iznad statusne linije,drei taster Control za pojedinano selektovanje, ili taster Shift- za selektovanjesusednih radnih papira.

1.4. Upisivanje i kretanje po elijama

Da bi se podatak u odreenu eliju potrebno je da se levim tasterom mia klikne na nju.elija postaje uokvirena crnim pravougaonikom, kao na slici gore. Pritiskom na bilo koji

taster sa tastature poinje unos podataka u selektovanu eliju.Nakon ukucavanja teksta dovoljno je pritisnuti Enter ili strelicama pomeriti kursor naneku drugu eliju. Excel sam rapspoznaje odreene tipove podataka.Brisanje teksta iz elije se vri ozmaavanjem elije koja se brie a zatim se pritisnetaster Delete. Mogue je obrisati i vie elija odjednom tako to se prvo sve selektuju, azatim se pritisne taster Delete.Pomeranje kurora na odreenu eliju najlake je izvriti klikom levog mia na tu eliju.Meutim u kompleksnijim tabelama koje prelaze jednu stranu radnog papira lake jenekad direktno otii na eljenu eliju. Za to se koristi padjui meni Edit i opciju Go To.U novom prozoru u polju Go To dovoljno je ukucati poziciju elije, recimo A70 u

pritisnuti OK i kursore se na

i na navedenom mestu.


7/101

6

1.5. Formatiranje elija

Formatiranje elija podrazumeva podeavanje tipa elije (broj, tekst, datum ili valuta),nametanje poravnanja, vrste slova i veliine, kao i nekoliko drugih opcija.

Podeavanje tipa

elije- veina gore navedenih podeavanja vri preko padaju

egmenija Format opcije Cells. Nakon pokretanja ove opcije otvara se prozor kao sa slike. U

polju Category pojavljuje se lista moguih tipova podataka u eliji. U polju Sample vidise kako e izgledati podatak nakon promene tipa. Nekoliko bitnih tipova su : Number-predstavlja broj, i u ovoj opciji mogue je birati zapis broj kao i broj decimalnih mesta;Date predstavlja datum, bira se zapis datuma, kod nas je na primer dd-mm-yyyy (dan-mesec-godina); Time predstavlja vreme i bira se naina zapisa vremena, kod nashh:mm::ss (sati, minute, sekunde), koristi se i Custom koji predstavlja korisniki tip.Poravnjanje teksta u eliji poravnanje teksta se vri kako horizontalno tako ivertikalno. Horizontalno poravnanje mogue je izvriti iz Palete Format koristei

koji redom centriraju tekst levo, u sredinu i desno, poslednje dugmeslui za spajanje elija u jednu i centriranje teksta koji se nalazi u njima u sredinu.Vertikalno poravnanje kao i horizontalno vri se preko opcije Format Cells iz padajuegmanija Format. Odabirom kartice Alignment pojavljuje se prozor kao na slici. Poljehorizontal predstavlja horizontalno poravnanje, preko polja indent mogue je postavitikoliko e tekst biti omeren od leve ivice elije. Polje Orientation nudi mogunost da setekst okree u eliji pod odreenim uglom.Veoma bitne su stavke pod poljem Text Control. Ako je otkaeno Wrap Text tadae tekstukoliko ne moe da stane u eliju biti prelomljen u dva ili vie redova. Ukoliko jeotkaeno polje Shrink to fit tada e veliina slova biti smanjena tako da tekst staje u

eliju. Merge Cells slui za spajanje elija.Podeavanje slova u eliji veliina i tip slova moe se desiti preko Palete Format

koristei za promenu tipa slova i za promenu veliine slova.Tekst je mogue iskoristiti i za podebljanje, zakrivljenje ili podvlaenje teksta. Za to se

koriste ikone .

1.6. Formatiranje decimalnih brojeva

Kod unosa brojeva moe se unapred odreditieljeni broj decimala. To se radi na sledei nain:

1. Oznai se elija ili elije kojima se odreujebroj decimala.

2. U padajuem meniju Format odabere seopcija Format Cells.


8/101

7

3. U kartici Number u polju Category, odabere se Number, tada se pojavljuju opcijekao na slici.

4. U polju Decimal places bira se broj decimala, ako se otkai polje Use 1000separator koristie se razdvajanje preko 1000 sa zarezom a u polju Negativenumber bira se izgled negativnog broja.

Decimale se mogu nametati i preko ikonica iz palete Format. Brojevima uoznaenim elijama pritiskom na prvu ikonicu poveava se broj decimala, a na drugusmanjuje.

1.7 Menjanje boje pozadine i teksta elije

Boja pozadine

elija menja se na sledei na

in:1. Oznai se elija ija se boja pozadine menja.

2. Levim tasterom mia pritisne se crna sterlica pored ikonekantice u Paleti Format, pojavljuje se prozor kao na slici.

3. Odabira se boja za popunjavanje pozadine selektovanihelija, i time je bojenje pozadine zavreno.

Boja teksta u elijama menja se na sledei nain:1. Oznai se lija ija se boja teksta menja.2. Levim tasterom mia pritisne se na crnu strelicu pored

ikone .3. U prozoru kao na slici odabere se nova boja teksta u elijama

1.8 Podeavanje irine i visine elija. Ubacivanje i izbacivanjeredova i kolona

irina kolone se podeava tako to :1. Kursor mia postavlja se na ivicu polja sa imenom kolone oznaene slovom iznad

elija. Kursor mia postaje crna uspravna linija sa strelicama u levo i desno.2. Drei pritisnut levi taster mia pomera se irina kolone B koliko je potrebno.3. Na kraju se pusti levi taster mia.Visina reda menja se na slian nain:1. Kursor mia postavlja se na ivicu polja sa brojem reda levo od elija. Kursor mia

postaje vertikalna crna crtica sa strelicama na gore i dole.


9/101

8

2. Drei pritisnut levi taster mia, mi se povlai na gore il na dole smanjujui ilipoveavajui tako visinu reda.

3. Nakon nametanja puta se levi taser mia.Kolona se dodaje tako to:

1. Kursor se pozicionira u eliju koja pripada koloni ispred koje se ubacuje novakolona.2. U padajuem maniju Insert odabere se opcija Columns.Red se dodaje tako to:1. Kursor se pozicionira u eliju koja pripada redu iznad kojeg se ubacuje novi red.2. U padajuem meniju Insert odabere se opcija Rows.Brisanje kolone ili reda vri se tako to:1. Desnim tasterom mia klikne se na ime kolone ili broj reda.2. U novotvorenom meniju odabere se opcija Delete.Nakon toga ako je obrisana kolona, sve kolone desno od nje premetaju se ulevo za

jedno mesto, a u sluaju brisanja reda za jedno mesto se premetaju redovi ispodobrisanog reda.

1.9 Spajanje elija

Spajanje lija podrazumeva spajanje vie elija u jednu eliju. Primer

spojenih elija, u prikazanoj tabeli , bila bi polja jedan, dva i tri.Spajanje se vri:

1. Selektuju se elije koje treba spojiti.2. U padajuem meniju Format odabere se Format Cells, a zatim

se u kartici alignment otkai polje Merge Cells.3. Odabir se potvruje sa OK.

Ponekad se pogreno spoje elija pa je potrebno spojene elije vratitiu stanje gde je svaka za sebe, to se radi tako to se oznai elijanastala spajanjem, a zatim u padajuem meniju Format, u FormatCells u kartici Alignment iskljui se otkaeno polje Merge Cells.

1.10 Uokvirivanje elija

Iako je radni papir podeljen na elije i izmeu njih postoje linije, te tanke linije pritampanju nee biti vidljive. Da bi se linije tabele naglasiel potrebno je selektovati elijeiji okvir se menja i preko padajueg menija Format Cells, bira se kartica Border, nakon


10/101

9

ega se otvara prozor kao na slici. U polju Line birase vrsta linije kojom se iscrtavaju okviri, i boja linije.U polju Presets bira se None da bi elije bile bezokvira a Outline da bi se uokvirile spoljne ivice.Polje Border koristi se i kada nisu potrebne samo

spoljne ivice uokvirene, ve moda i iscrtaneunutranje ili dijagonalne linije. Klikom na dugmekoje prikazuje pravac linije ukljuuje ili iskljuujeiscrtavanje linija tog pravca.

1.11 Premetanje i kopiranje elija

Premetanje elija se vri tako to se:1. Selektuju elije koje treba premestiti.

2. Kursor mia se pomeri na ivicu selekcije, negde okocrne tamne linije, i tada bi kursor trebalo da sepretvori u belu strelicu.

3. Drei pristisnut levi taster mia pomeraju seselektovane elije na mesto na koje se trebajupremestiti.

4. Pusti se levi taster miaNa ovaj nain podaci se vie ne nalaze u elijama u kojima su bili ve samo u onima ukoje su premeteni. Ako podaci treba da ostanu i da se pojave u novim elijama tada sekoristi kopiranje elija.

elije se kopiraju na sledei nan:1. Selektuju se elije koje treba kopirati.

2. Pritisne se dugme Copy iz Palete Standard, imesu selektovane elije zapamene u memorijiraunara, a oko zapamenih elija se pojavljujetrepui okvir, nakon toga

3. Levim tasterom mia klikne se na eliju gde treba dase nau kopirane elije.

4. Pritisne se dugme Paste iz Palete Standard, i elije se pojavljuju na papiru.Koristei opciju Cut iz Palete Standard umesto Copy elije bi bile premetene, ali bi

mogle vie puta sa opcijom Paste da se isputaju u dokument.elije je mogue iskopirati i koristei mali crni kvadrat u donjem desnom uglu selekcije.Ako se kursor mia postavina taj mali crni kvadrat on se pretvara crnu strelicu.Pritiskom levog tastera mia, ne putajui ga moe se razvui selektovani deo. Nakonputanja levog tastera ceo oznaeni deo bie popunjen prethodno selektovanim delom.


11/101

10

1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta

Ako dokument treba sauvati da bi se kasnijekoristio trebalo bi ga snimiti na hard disk.Snimanje dokumenta se vri tako to se izpadajueg menija File izabere Save. Ako je toprvi put da se snima taj dokument u kojem setrai da se unese ime tog dokumenta,odnosno pod kojim imenom da se snimi nahard disk (ili diksketu). U polju Save in moese izabrati folder u koji treba smestiti

dokument, a moe se napraviti i novi folder za ovaj dokument klikom na ikonuCreate New Folder. U polju File name treba upisati ime dokumenta i potom kliknuti nadugme Save. Ovim je operacija snimanja dokumenta zavrena. Ako je dokument koji sesnima ve ranije snimljen pod tim imenom onda se snimanje obavlja automatski, samoodabirom opcije Save iz File menija.Zatvaranje dokumenta

Dokument u Excelu se moe zatvoriti na vie naina, a najee se to vri klikom nau gornjem desnom uglu prozora. Drugi nain za zatvaranje aktivnog dokumenta je dase izabere operacija Close iz padajueg menija File.

1.13 Otvaranje novog i postojeeg dokumenta

Prilikom svakog startovanja Excel-a otvara se i nova prazna sveska u kojoj se moezapoeti rad. Ako je potrebno otvoriti novi prazan dokument, koristi se ikona NewBlank Document iz Palete Standard, ili opciju New iz padajueg menija File.Ako treba otvoriti ve postojei dokument, koji se nalazi na disku raunara koristi se

ikona Open iz palete Standard, ili opcija Open iz padajueg menija File.

1.14 Rad sa formulama

Najnznaajniji deo Excel-a, sutina njegovog korienja jesu formule. Pomou njih sepovezuje vie elija. Excel izraunava prosek, trai najvee vrednosti kao i mnogo togadrugog. U principu rad sa svim formulama je slian.Aktiviranje formule se izvodi tako to se oznai elija u koju treba ukucati formulu ipritisne znak = na tastaturi. Time je Excelu naznaeno da e ova elija biti upotrebljenaza formulu. Menja se izgled trake za fomule (formula bar) koja se nalazi ispod Palete

format. Sa leve strane pojavljuje se dugme safunkcijama, crna strelica slui za odabir nekih funkcija


12/101

11

koje se esto koriste. Polje slui za ponitavanje formule, a polje za potvrduukucane formule (umesto ega se jednostavno moe pritisnuti Enter na tastaturi).Ukoliko treba po nekoj formuli izraunati vrednosti za niz podataka to se radi na sledeinain:Ako na primer treba pomnoiti sve podatke iz kolone A sa 10, u eliji B1 napie se

formula. Zatim se obelei ta elija, klikne se na ikonicu Copy iz palete Standard, nakontoga se obelei ostatak kolone B koji treba popuniti, i na kraju se klikne na ikonicu Pasteiz palete Standard.

Na taj nain se naravno mogu kopirati i bilo koje druge formule.

1.15 Fiksiranje elija u formulama

Ponekad je potrebno pri kopiranju formula da neke elije ostaju fiksirane. Recimo dasve elemente kolone A treba sabrati sa nekom konstantom, npr. 273. Neka je konstanta

upisana u eliju B1, onda se u koloni C prilikom sabiranja elija B1 mora "fiksirati" , tj.mora se staviti znak $ ispred oznake kolone i ispred oznake reda (kao na slici), a zatimse formula kopira na ostale elije.


13/101

12

1.16 Grafikoni

Za grafiko predstavljanje tabela uraenih u Excel-u koriste se grafikoni. Oni najednostavan i jasan nain prikazuju rast ili pad vrednosti i odnose meu njima.Postupak predstavljanja grafikon na radu stranu Excel-a sastoji se iz vie koraka.Podrazumeva se da je potrebna tabela na osnovu koje se crta grafik. Izrada grafika

moe se pokrenuti preko padajueg menije Insert, opcije Chart ili preko dugmeta upaleti Standard.Otvara se prozor kao naslici. Ovo je prvi od etiri koraka koji se sprovode pri ubacivanjugraika u radni list. U prvom koraku bira se vrsta grafika. Klikom na bilo koji lan listepolja Chart Type u polju Chart sub-type prikazuju se podtipovi ovog tipa. Klikom najedan od podtipova bira se izgled grafika. Za prelazaka na sledeei korak treba kliknutina Next.

U novom prozoru pojavaljuju se dve kartice. Data range oznaava mesto na kome sepodaci nalaze. Druga stavka je Series, pomou koje se odreuju serije na grafiku, tj.koliko e serija biti, kao i ta se nalazi na x, a ta na y osi. Klikom na Next prelazi se nasledei prozor.


14/101

13

U novom prozoru prva kartica Title slui za podeavanje ili ubacivanje naziva grafika polje Chart Title, naziva osa polja Value(X) axes i Value(Y) axes. Kartica Axesomoguava da se ukljui/iskljui prikazivanje osa.Kartica Gridlines omoguava da se ukljui/iskljui mreu ose, i ako je ukljuenoomoguava da se bira gustina, odnostno da li da se prikazuju i male (Minor gridlines) ivee (Major gridlines).Kartica Legend podeava legendu. Ukoliko je onaeno polje Show Legend tada se upoljima ispod bira pozicija legende (Bottom, Corner, Top, Left, Right).Kartica Data Labels omoguava da ukljui prikazivanje vrednosti na samom grafiku.Kartica Data Table omoguava prikazivanje dodatne tabele sa poacima koji se nalaze na

grafiku, ako je oznaeno polje Show Table.Nakon podeavanja svi ovih opcija da bi se prelo na poslednji prozor za unos grafika

treba kliknuti na Next.

Poslednji prozor nudi samo dve mogunosti. Jedna je da se ovako napravljeni grafikubaci kao objekat u odreeni radni list ili da se grafikon ubaci u novi radni list.Na svaki od prethodnih prozora moe se vraati na klikom na dugme Back. Ako je svepodeeno treba kliknuti na Finish i grafikon je na radnom listu.


15/101

14

Grafik se moe pomerati tako to se kursor dovede na deo ekrana koji on zauzima ipritisne se levi taster mia, ne putajui ga vue se mi i grafik do mesta na kome trebada stoji. Crni kvadrati na krajevima grafika slue za menjanje veliine grafika. Ako je unekom od koraka za izradu grafika dolo do greke ili jednostavno treba promeniti nekustavku, tada se koristi padajui meni Chart. Opcija Chart Type vraa na izbor tipagrafika, Chart Options na prozor sa opcijama grafika itd.

273

274

275

276

277

278

279

280

281

282

283

284

0 2 4 6 8 10 1 2

Series1


16/101

15

2. Funkcije raspodele u Excelu


17/101

16

2.1. Binomna raspodela

Ova diskretna raspodela ima veliku primenu u kontroli kvaliteta proizvoda Posmatrajmoniz nezavisnih eksperimenata (u literaturi poznat kao Bernulijeva ema) tj. za svaki od njih vaida je njegov ishod nezavisan od ishoda ostalih opita. Neka je za svaki od eksperimenata vezan

dogaajA i neka je verovatnoa njegovog nastupanja jednaka p, P(A) =p. Binomni zakon dajeverovatnou da e se u n eksperimenata ili proba posmatrani dogaajA dogoditi x puta.Dakle, broj nastupanja dogaajaA u n proba je sluajna veliina X, koja ima binomnu raspodeluverovatnoe.

Moemo sada da izvedemo binomni zakon. Traimo verovatnou, b(x,n,p) da u n opitaposmatrani dogaajA nastupi x puta. Verovatnoa svakog od dogaaja u kome je A u n probanastupio x puta je:

pxqn - x

a ukupan broj takvih, meusobno iskljuivih dogaaja jednak je broju kombinacija klase x od nelemenata. Tako je,

nxqpx

npnxb xnx ,...,2,1,0,),,( =

= (2.37)

U Excel-u se za ovu vrstu raspodele koristi funkcija BINOMDIST. Rezultat funkcije jeverovatnoa binomne raspodele da e sluajna promenljiva X imati zadatu vrednost.Sintaksa

BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)

Number_s broj nastupanja nekog dogaaja u n proba (sluajna promenljiva X)

Trial_s broj nezavisnih proba, n

Probability_s verovatnoa nastupanja dogaaja u svakoj probi


18/101

17

Cumulative logika vrednost koja odreuje oblik funkcije, ako je Cumulative=TRUE,BINOMDIST daje kumulativnu raspodelu funkcije, ukoliko je Cumulative= FALSE, rezultat jeverovatnoa da e dogaaj nastupiti X puta.

Primer 2.1.

Neka maina proizvodi 1000 komponenata/h i svakih 30 minuta je uzimano po 10 uzoraka radikontrole, tokom dueg perioda. Tako je konstatovano da je procenat karta 20%. Kolika jeverovatnoa da u sluajnom uzorku od 6 komponenataa) bude 4 defektnab) ne bude vie od 3 defektnac) ne bude nijedan defektan

ReenjePrepoznaje se binomni model. Dogaaj A je dobijanje defektne komponente, a njegovaverovatnoa, dobijena empirijski, je

5

41,5/1

100

20 ==== pqp

Broj opita, n = 6. Dati su tabela i poligon raspodele.

Tabela se dobija tako to se u red 1 unose podaci za xi, dok se pi izraunava pomou funkcijeBINOMDIST.Dakle, ukoliko je tabela napisana na isti nain kao na slici, klikne se na eliju J2, a zatim se izpadajueg menija Insert, odabere opcija Function, kada se otvori novi prozor funkcijaBINOMDIST se trai u statistikim funkcijama (Statistical), odabere se BINOMDIST i otvara senovi prozor (kao na slici)


19/101

18

Unose se odgovarajui argumenti:Number_s - unosi se vrednost iz elijeJ1, odnosno samo se klikne na elijuJ1.

Trials - upisuje se 6, jer je to broj proizvoda u sluajnom uzorku.Probability_s - upisuje se 0.2, verovatnoa od 20%.Cumulative - upisuje se logika vrednost FALSE, jer je potrebna vrednost za samo jedandogaaj, a ne zbir dogaaja.Potvruje se sa OK, i kao rezultat dobija se vrednost za binomnu raspodelu, da bi se popunioostatak tabele, funkcija se kopira na prethodno objanjen nain. Zatim se na osnovu tabele nacrtagrafik.

a) Ovde treba izraunati verovatnou da su u sluajnom uzorku od 6 proizvoda 4 bududefektna. Problem se reava korienjem funkcije BINOMDIST, kao kod popunjavanja tabele.

b) U pitanju je zbir dogaaja, jer se trai da ne budu vie od 3 defektna proizvoda,problem se takoe reava korienjem funkcije BINOMDIST, ali sa neto drugaijimargumentima.


20/101

19

Number_s - upisuje se 3

Trials - upise se 6

Probabilitiy_s upisuje se 0.2

Cumulative upisuje se TRUE jer se radi o zbiru dogaaja, a ne o pojedinanom dogaaju.

c) Ovde se trai da nijedan od proizvoda ne bude defektan, znai da je x = 0 pa imamo

Primer 2.2.

Detaljnom proverom kvaliteta ampula punjenih tenou utvreno je da je na 100 ampula 75ispravnih.a) Odrediti zakon raspodele verovatnoe sluajne promenljive: broj ispravnih ampula usluajnom uzorku od 6 ampulab) Odrediti oekivanu vrednost i disperziju sluajne promenljive.c) Koji broj ispravnih ampula u uzorku od 6 komada je nejverovatniji?


21/101

20

Reenje

a) U pitanju je binomni zakon: )4

3,6,(xb ,

6,...,2,1,0,

4

1

4

36)

4

3,6,()(

6=

== x

x

xbxpx

x

Slede tabelarni i grafiki prikaz zakona raspodele:

Tabela se formira na isti nain kao i u 1. zadatku, a nakon toga se na poznati nain crta grafik.b) x = np = 4.5, D(X) = npq = 1.125 se izraunavaju upisivanjem formula.

c) Najverovatniji broj ampula u uzorku je 5.


22/101

21

2.2. Poasonova raspodela

Poasonov (Poisson) zakon raspodele se moe dobiti kao granini sluaj binomnog modela,kada obim uzorka n tei beskonanosti uz uslov da pri tom proizvod obima uzorka i

verovatnoe posmatranog dogaaja, = np

ostane ogranien. Tako se Poasonov model koristi za opisivanje verovatnoe retkih (p je malo),meusobno nezavisnih (uslov za binomni zakon) dogaaja kao to su:

radioaktivni raspad nekih izotopa, tj. emitovanje radioaktivnih estica incidenti u dobro regulisanom saobraaju smetnje u telefonskom saobraaju i prenosu podataka greke u raunarskim sistemima

Sluajna promenljiva je broj realizacija retkog dogaaja u vremenskom intervalu dateduine.Dakle, sluajna promenljiva X ima Poasonovu raspodelu ako je

,...2,1,0,!

)( =

= xex

xpx

gde je neki pozitivan broj.

Srednja vrednost i disperzija

Oekivana vrednost i disperzija za Poasonovu raspodelu mogu se dobiti kao graninevrednosti tih parametara za binomnu raspodelu, kada n, p 0, ( = const):

======

nppnpnp

constnppn

xx )1(lim,0

2

Dakle, srednja vrednost i disperzija sluajne promenljive X raspodeljene po Poasonovomzakonu su:

== 2xx

Aproksimacija binomne raspodele Poasonovom

Raunanje verovatnoa je znatno obimnije kod binomne nego kod Poasonove raspodele. Za

dovoljno veliko n i malo p binomna raspodela se moe aproksimirati Poasonovom. Praktinikriterijum za primenljivost takve aproksimacije je [Chatfield C., 1983.]: 5,20 npn

Poasonova raspodel u Excelu moe se dobiti korienjem funkcija POISSON.


23/101

22

Sintaksa :

POISSON (X, Mean, Cumulative)X broj dogaajaMean oekivana vrednostCumulative - logika vrednost koja definie funkciju raspodele verovatnoe. Ako je tajargument TRUE, rezultat funkcije je kumulativna Poasonova funkcija raspodele verovatnoa dae broj sluajnih dogaaja biti izmeu 0 i X (ukljuujui i te vrednosti); ako je FALSE, rezultat jePoasonova funkcija verovatnoe da e broj dogaaja biti tano X.

Zadatak 2.3.

Procenat karta pri proizvodnji komponenata u nekoj fabrici je 2%. Odrediti verovatnou da jeu uzorku od 60 komponenata defektno:

a) 3 komadab) ne vie od 3c) bar dva

Reenje

U pitanju je binomni zakon. Poto je n = 60 > 20 i = np = 600.02 = 1.2 < 5 ispunjen je uslov5,20 npn i reavanje problema se moe znatno uprostiti zamenjujui binomni zakon

Poasonovim ( iako to u Excelu ne predstavlja problem).a) Dakle, poto je ustanovljeno da ja aproskimacija Poasonovom raspodelom mogua,

verovatnoa da je u uzorku od 60 komponenata defektno 3 komada, izraunava se na sledeinain.


24/101

23

0867.0!3

)2.1(

!3

)()3( 2.1

33)42.2(

=

== eeXP

Ukoliko su podaci uneeni na isti nain kao na slici, klikne se na eliju B11, zatim se iz padajuegmenija Insert odabere opcija Function, i nakon toga iz statistikih funkcija odabere POISSON,

kada se potvrdi sa OK otvara se sledei prozor


25/101

24

Ovde se unose odgovarajui argumenti, za X se upisuje 3, za Mean se klikne na eliju B8 jer je utoj eliji izraunata oekivana vrednost, i u polje Cumulative se upisuje FALSE jer se traivrednost verovatnoe Poasonove raspodele za X=3.

b) Kako je ovde potrebno odrediti verovatnou da su ne vie od 3 komada defektna,

problem se reava sli

no kao pod a), osim to se u polje Cumulative upisuje TRUE, pa se kaorezultat dobija kumulativna Poasonova funkcija.

( ) 9662.0)62

1()3()2()1()0(332

+

++=+++= eppppXP

c) Kada je potrebno odrediti verovatnou da su bar 2 komada defektna, to ustvari znai2 i vie, izraunava se Poasonova kumulativna funkcija za vrednost 1 (ukljuuje vrednostiverovatnoe za 0 i 1) i onda oduzme od 1.

( ) ( ) [ ] 3374.01)1()0(1212 +=+=


26/101

25

Zadatak 2.4.Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 10 komada. U komprocentu kutija e se nai najvie jedan defektan proizvod.?

Reenje

Traenu relativnu frekvencu se, u skladu sa statistikom definicijom verovatnoe ( p),nalazi kao verovatnoa da se u sluajnom uzorku od 10 komada nae najvie jedan defektanproizvod. U pitanju je sluajna promenljiva sa binomnom raspodelom b(x, 10, 0.04), pa je:

= P(X1) =p(0) +p(1) = b(0, n,p) + b(1, n,p)

%2.949418.096.004.01096.010 910910 ==+=+= qpq

Odnosno, u Excelu se ovaj problem reava funkcijom BINOMDIST.

Problem se moe priblino reiti aproksimacijom binomnog zakona Poasonovim, mada prvi oduslova 5,20 npn nije ispunjen:

[ ] [ ] %8.939384.04.011)1()0( 4.0 ==+=+=+= eepp

Sada se koristi funkcija POISSON

Dobija se pak dobra procena, koja se od tane vrednosti razlikuje manje od 1%.


27/101

26

2.3. Normalna raspodela

Ovo je najvanija raspodela za primene u statistikoj obradi eksperimentalnih podataka udrutvenim, prirodnim i tehnikim naukama. Za neprekidnu sluajnu promenljivu Xkaemo daima normalnu ili Gausovu raspodelu sa parametrima i , to se kratko oznaava sa

X: N(,)

ako je njena gustina:

0,,2

1)(

2

2

1

>

=

x

exf

U Excel-u se za normalnu raspodelu koristi funkcija NORMDIST.

Sintaksa:

NORMDIST (x, mean, standard_dev, cumulative)x vrednost za koju se izraunava funkcijaMean aritmetika sredina raspodeleStandard_dev standardna devijacija raspodeleCumulative logika vrednost koja definie vrstu funkcije, TRUE kumulativna vrednostraspodele, FALSE funkcija gustine verovatnoe.

Pored funkcije NORMDIST, postoji i inverzna funkcija NORMINV. Rezultat ove funkcije je

vrednost promenljiveza koju normalna kumulativna funkcija raspodele ima datu verovatnou.


28/101

27

Sintaksa :

NORMINV (probability, mean, standard_dev)Probability verovatnoa za koju se izraunava vrednost promenljive.Mean aritmetika sredina raspodeleStandard_dev standardna devijacija raspodele

Standardizovana normalna raspodela

Ako je X sluajna promenljiva sa normalnom raspodelom N(,2), sluajna promenljiva,dobijena linearnom transformacijom,

0, += abaXY

ima takoe normalnu raspodelu. Dakle, standardizovana normalno raspodeljena sluajnapromenljiva,

=

XX0

koja ima nultu srednju vrednost i jedininu disperziju, 1,000

== xx , ima takoe normalnu

raspodelu, koja se zove standardizovana normalna raspodela, N(0,1) sa gustinom:

20

2

2

1)(

x

exf

=

i funkcijom raspodele,

dtexXPxFx t

=


29/101

28

Za odreivanje standardne normalne kumulativne funkcije raspodele koristi se funkcijaNORMSDIST.

Sintaksa:

NORMSDIST(z)Z vrednost za koju se izraunava funkcija.Takoe postoji i inverzna funkcija NORMSINV.

Sintaksa:NORMSINV(probability)

Probability verovatnoa za koju se izraunava vrednost promenljive

Zadatak 2.5.

Odstupanje, debljine proizvedene glazirane keramike ploice, od nominalne vrednosti , = - se moe aproksimirati sluajnom veliinom sa normalnom raspodelom, : N(0, 0.3).Odrediti:


30/101

29

a) Oekivani kart u 1000 proizvedenih komada, ako se kao ispravne prihvataju ploice ijadebljina odstupa od nominalne najvie 0.5 mm.

b) Oekivani broj ploica u 1000 komada ije su debljine: - 0.2 ili + 0.5

c) Oekivani broj ploica u 1000 komada ije su debljine u intervalu: - 0.3 + 0.4

Reenjea) Verovatnoa da odstupanje bude vee od 0.5 dobie se preko verovatnoe suprotnogdogaaja. Tj. verovatnoe da odstupanje bude manje od 0.5, meutim, treba uzeti u obzir da je0.5 apsolutna vrednost, i da se mora izraunati verovatnoa za x 0.5 i x - 0.5, a zatim oduzetimanju od vee verovatnoe.

Koristi se funkcija NORMDIST.

Do funkcije se dolazi na isti nain kao i u prethodnim primerima . U polje x upisuje se -0.5, iliukoliko su podaci uneseni na ista mesta kao na slici klikne se na eliju A12, u polje Mean upisuje


31/101

30

se 0, u polje Standard_dev 0.3, a u polje Cumulative upisuje se logika vrednost TRUE.Potvruje se sa OK. Dalje se klikne na eliju u koju se izraunava druga funkcija ( u konkretnomprimeru to je elija B13) i postupak se ponavlja, samo to se umesto vrednosti -0.5 u polje xupisuje vrednost 0.5 (ili se klikne na eliju A13). Poto su izraunate ove dve vrednosti, njihovurazliku izraunatu na ve poznat nain treba oduzeti od 1.

Ako postoji verovatnoa dogaaja - pojava defektne ploice, p = 0.096, onda je u skladu sabinomnim zakonom (ili u skladu sa statistikom definicijom verovatnoe) oekivani brojdefektnih ploica m, u sluajnom uzorku od 1000 komada jednak:

m =pn = 10000.096 = 96

b) )5.0()2.0()5.02.0( ++=+ PPP

Ovde se prvo izraunava kumultaivna funkcija normalne raspodele za vrednost -0.2, a zatim za

0.5,

pa se dobijena vrednost za 0.5 oduzima od 1.


32/101

31

Sabiranjem vrednosti u elijama B22 i C 23 dobija se traena verovatnoa, koja se dalje mnoi sa

1000 i dobija se broj ploica ije su debljine - 0.2 ili + 0.5

c) )4.03.0( + P

Slino se reava i ovaj problem, raunaju se kumulativne funkcije normalne raspodele zavrednosti -0.3 i 0.4

Verovatnoa za vrednost -0.3 se oduzima od one za 0.4, i dobijeni rezultat se mnoi sa 1000.

Zadatak 2.6.Vek trajanja elektronske lampe, h u asovima ima normalnu raspodelu N(100,5)

a) Nai verovatnou da nova elektronska lampa istog tipa traje najmanje 105 asova.b) Ako je jedna elektronska lampa ve izdrala 90 asova, kolika je verovatnoa da e izdrati jo15?

Reenje

a) Traena verovatnoa se izraunava iz verovatnoe suprotnog dogaaja, koristi sefunkcija NORMDIST, na ve opisan nain.


33/101

32

b) Trai se uslovna verovatnoa: verovatnoa da e nastupiti dogaaj, 105>X poto jenastupio dogaaj, 90>X i rauna se pomou formule :

[ ])90(

)105(

)90(

)90)(105()90/105(

>>

=>

>>=>>

XP

XP

XP

XXPXXP

Dakle, pomou funkcije NORMDIST dobija se verovatnoa za 90h, a zatim se podeli saverovatnoom za 105h.

Kao to se moglo oekivati, dobijena je neto vea verovatnoa nego u a)

Zadaci za vebu

2.1.Dogaaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoom p = 0.3. Neka je X brojnastupanja dogaajaA u nizu od 5 opita.a) Kako glasi zakon verovatnoe za X,b) Izraunati P(X 3),c) izraunati srednju vrednost i disperziju.

2.2 Odrediti,a) Verovatnou da se u 8 bacanja kocke estica pojavi 3 putab) Oekivani broj estica u 180 bacanja kocke?

2.3 Verovatnoa pogotka cilja u jednom gaanju jep = 0.2. Koliko gaanja treba izvesti da bi saverovatnoom ne manjom od 0.9 cilj bio pogoen bar jednom?

DogaajA nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoomp = 0.3. Neka je Xbroj nastupanjadogaajaA u nizu od 5 opita.a) Kako glasi zakon verovatnoe za X,b) Izraunati P(X 3),c) izraunati srednju vrednost i disperziju.


34/101

33

2.4 Odrediti,a) Verovatnou da se u 8 bacanja kocke estica pojavi 3 putab) Oekivani broj estica u 180 bacanja kocke?

2.5 Verovatnoa pogotka cilja u jednom gaanju jep = 0.2. Koliko gaanja treba izvesti da bi saverovatnoom ne manjom od 0.9 cilj bio pogoen bar jednom?

2.6 Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 50 komada. a) Ukoliko e se posto kutija nalaziti najvie jedan defektan komad?b) Postie li se Poasonovom raspodelom zadovoljavajua aproksimacija, ako se dozvoljavamaksimalna greka rezultata od 1.5%?

2.7. Jedna velika serija sadri 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se bez prethodne kontrole iizdvajanja loih pakuju u kutije od 50 komada.a) Koliko e defektnih proizvoda sadravati najvei broj kutija?b) Koliki je procenat takvih kutija?

2.8 Sluajne greke merenja imaju normalnu raspodelu sa = 0, = 8mm. Nai verovatnou daod tri greke meusobno nezavisnih merenja

a) bar jedna ne bude vea od 4mm,b) bar jedna, po apsolutnoj vrednosti, ne bude vea od 4mm.

2.9 Sluajna promenljiva ima normalnu raspodelu N(3,4). Izraunati ( )9>XP i ( )5/9 >> XXP

2.10 Neki proizvoa deterdenta ima mainu za pakovanje po 500g deterdenta u jednu kutiju.Duom kontrolom proizvoda utvreno je da je srednja masa deterenta u kutiji 506g, sastandardnim odstupanjem 12g. Uz pretpostavku da mase deterdenta u kutijama imajunormalnu raspodelu,a) izraunati procenat kutija koje sadre vie od propisane koliine deterdenta.,b) izraunati onu srednju vrednost i standardno odstupanje raspodele masa deterdenta, koji biprepolovili procenat prepunjenih kutija i u isto vreme obezbedili da najvie 1% kutija sadrimanje od 497g.c) kolika bi se prosena uteda u deterdentu (%) postigla?

2.11. Otpor elektrinih otpornika ima normalnu raspodelu N(5, 0.2). Sluajnim izboromuzmemo dva takva otpornika i veemo ih na red. Kolika je verovatnoa da taj spoj ima otporizmeu 9.5 i 10.5 ?


35/101

34

3. Empirijska raspodela u Excelu


36/101

35

3.1. Osnovni pojmoviStatistika, kao nauna disciplina, izuavamasovne pojave u drutvu, prirodi i tehnici. Za

masovne pojave je karakteristino da pojedinani sluajevi manje ili vie odstupaju od onog tose moe smatrati njenom karakteristikom. Na primer, proseni ivotni vek stanovnitva neke

drave predstavlja vanu karakteristiku od koje, manje ili vie, odstupaju duine ivotapojedinih graana. Drugi primer su rezultati merenja neke fizike veliine, koja sama, za razlikuod ivotnog veka, nije sluajna veliina (na primer gustina gasa na datoj temperaturi i pritisku).Rezultati ponovljenih merenja se meutim razlikuju meu sobom, kao i od traene tanevrednosti merene veliine, zbog sluajne greke merenja.

Statistiko obeleje ipopulacija

Ono to se u teoriji verovatnoe naziva sluajna promenljiva, statistiari nazivaju -statistiko obeleje. Tako je ivotni vek graanina neke drave primer statistikog obeleja.Statistiko obeleje je vezano za jasno definisan elemenat (entitet) koga nazivamo statistika

jedinica. U poslednjem primeru to je osoba - graanin neke drave.Skup svih elemenata - statistikih jedinica naziva se populacija ili generalni skup ili

osnovni skup. Osnovni skup po pravilu ima veliki broj elemenata - statistikih jedinica(masovnost) koji moe biti i beskonaan. Na primer, u posmatranom primeru, populaciju inesvi stanovnici jedne drave. U sluaju bacanja dve kocke za igru, statistika jedinica je definisanakao svaka od moguih poloaja dve baene kocke, statistiko obeleje je posmatrani rezultat(recimo suma dobijena dva broja), a osnovni skup je beskonaan jer se moe zamislitibeskonaan broj bacanja kocke. Slino, pri kontroli neke procesne veliine (pritisak, temperatura,koncentracija, itd.) moe se zamisliti beskonaan broj merenja. U sluaju kontrole kvalitetaproizvoda, svaki test je statistika jedinica. Ako kontroliemo, recimo, debljine proizvedenihkeramikih ploica, onda je populacija ograniena - broj elemenata jednak je broju proizvedenihploica u nekom periodu vremena. U sluaju pak praenja sadraja sumpora u proizvedenojgumi, populacija se smatra beskonanom, odnosno neophodna je izvesna apstrakcija koja kaorezultat ima hipotetinubeskonanu populaciju. Zamiljamo naime, beskonano velik komadgume i beskonaan niz analiza pod istim uslovima.

Statistiki uzorak

Osnovni zadatak statistike je definisanje raspodele frekvenci posmatranog obeleja, tj.raspodele verovatnoe. Pri tome je retko mogue izmeriti obeleja svih statistikih jedinicaosnovnog skupa. To je svakako nemogue u sluaju beskonanog osnovnog skupa, ali i u sluajukonanih populacija, to retko dolazi u obzir jer je ili neekonomino ili praktino neizvodljivo.Primeri su demografska ispitivanja i testova kvaliteta proizvoda, koji su destruktivni (proizvodu toku testa biva oteen). Zato se iz populacije izdvaja jedan konaan podskup statistikih jedinica koji se naziva (statistiki) uzorak. Uzorak se ispituje radi donoenja zakljuaka oraspodeli sluajne promenljive - obeleja u osnovnom skupu, koja se naziva i teorijskaraspodela. Umesto izraza: uzorak iz osnovnog skupa sa pretpostavljenom raspodelom (recimonormalnom) esto se koristi krai termin: uzorak iz pretpostavljene raspodele (npr. normalne).


37/101

36

Jasno je da se ne moe oekivati potpuno tano opisivanje ili reprezentacija populacije naosnovu analize uzorka. Jedno od najveih ogranienja pri tome je svakako obim uzorka podkojim se podrazumeva broj elemenata populacije izdvojenih u uzorak. Meutim, veliinauzorka nije jedini faktor koji ograniava tanost zakljuaka - ak i veliki uzorak moe da dovededo pogrenog modela. Teorija uzoraka kao deo statistike, bavi se problemom izbora takvoguzorka

koji

e obezbediti dovoljnupouzdanost zakljuaka

o populaciji. Takav uzorak,

ija sestruktura u odnosu na posmatrano obeleje ne razlikuje znaajno od strukture osnovnogskupa, naziva se reprezentativan uzorak. Da bi uzorak bio reprezentativan, mora biti takoformiran da svaki element populacije ima jednaku ansu da, nezavisno od ostalih, ue uuzorak. Za takav uzorak kaemo da je sluajan uzorak. Formiranje sluajnog uzorka izograniene populacije (recimo stanovnitvo), vri se uz pomo tablice sluajnih brojeva koji semogu nai u prirunicima iz statistike, ili se mogu kompjuterski generisati pomouodgovarajue funkcije. Tablica sluajnih brojeva formira se iz dugakog niza cifara, 0 - 9, koji seisee na brojeve sa istim odabranim brojem cifara (tablice iz literature najee sadreetvorocifrene brojeve). Svaka od cifara 0 - 9 se u polaznom nizu brojeva priblino pojavljujejednak broj puta (dakle, sa relativnom frekvencom 0.1). Najjednostavniji postupak za formiranjesluajnog uzorka je sledei. Svi elementi populacije se numeriu. Ako recimo osnovni skup imamanje od 100 elemenata, potreban je niz sluajnih dvocifrenih brojeva (ili se svaki etvorocifrenbroj iz tablice interpretira kao dva dvocifrena). Poev od nasumce odabranog broja u tablici,uzimaju se redom sluajni dvocifreni brojevi i u uzorak ukljuuju elementi oznaeni timbrojevima. Ako takav element ne postoji, taj broj iz tablice jednostavno isputamo i nastavljamopostupak.

Statistika analiza

Zadatak statistike analize je, kao to smo ve naveli, da na osnovu informacija iz uzorka

izvede neke zakljuke o osnovnom skupu. U postupku statisti

ke analize mogu se izdvojitisledee faze:

statistiko posmatranje sreivanje podataka obrada i nauna analiza rezultata

Statistiko posmatranje se sastoji u planskom prikupljanju podataka o statistikimjedinicama putem anketa, posmatranja, merenja itd. Tako na primer, iz sluajnog uzorka obiman dobijamo niz od n vrednosti (xi, i = 1,...,n)

Sreivanje podataka se sastoji u njihovom tabelarnom i grafikom prikazivanju, da bi smodobili neku predstavu o raspodeli posmatrane sluajne veliine. Prvi korak pri tom jeureivanje po veliini dobijenog niza od n brojeva, a rezultat je ureen niz koji se u statisticizove varijacioni niz:

nxxx ,,, 21 L

Obrada i analiza rezultata obuhvata matematiku obradu sreenih podataka i njihovuinterpretaciju.


38/101

37

3.2Empirijska raspodelaPolazei od varijacionog niza nxxx ,,, 21 L za svaku od vrednosti u nizu moe se odrediti

(apsolutna) frekvenca pojavljivanja, mi. Dobijeni rezultat je empirijska raspodela frekvenci, kojapredstavlja niz parova:

( ) ( ) ( ) nkmxmxmx kk ,,,,,,, *2*21*1 L

za koji se takoe kae da predstavlja grupisane podatke. Primetimo da je:

nmxxxxk

i

ink === =

1

11 ,,

Ako se za grupisane podatke izraunaju relativne frekvence i = mi/n, dobija se empirijskaraspodela relativnih frekvenci u obliku niza parova:

nkxxx kk ),,(,),,(),,(*

2

*

21

*

1 K

Jasno je da pri tome vai,

1,11

== ==

k

i

i

k

i

i nm

Ako su u pitanju vrednosti neke diskretne sluajne promenljiveX, tada empirijska raspodelarelativnih frekvenci predstavlja aproksimaciju zakona raspodele verovatnoe sluajnepromenljive X tj. teorijske raspodele i moe se prikazati tabelarno, u vidu trakastog dijagramaili poligona raspodele

to se tie reavanja problema vezanih za empirijsku raspodelu, oni e se u Excelu svesti na

formiranje odgovarajuih tabela i crtanje dijagrama..

Primer 3.1.U grupi od 25 studenata II godine studija su anketiranjem dobijeni podaci o starosti u godinama:

22, 21, 20, 23, 22, 24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26,23, 21, 22, 21, 21

Treba formirati empirijsku raspodelu starosti studenata u apsolutnim i relativnim iznosima.

Reenje

Prvo treba formirati varijacioni niz na sledei nain:U kolonu C se upisuju se podaci o starosti u godinama, oni se mogu prepisati redom izzadataka, nakon toga sortirati. Sortiranje podatak u tabeli se vri tako to se obelee podaci iklikne na ikonicu Sort Ascending


39/101

38

i kao rezultat dobija se kolona C koja izgleda kao na slici (desno).Nakon toga korienjem funkcije COUNT prebrojavaju se podaci.Funkcija se dobija iz padajueg menija Insert, opcije Function, i izstatistikih funkcija odabere COUNT.

Argumente funkcije predstavljaju lanovi varijacionog niza.

U sledeem koraku formira se nova tabela, ona sadri grupisanepodatke o broju godina.

Vrednosti za m se dobijaju opet korienjem funkcije COUNT, i to prebrojavanjem podataka zaodreenu vrednost x*, na primer :

I na kraju se izraunavaju vrednosti , i to kao odnos m i n, za odgovarajuu grupu podataka.Ovde se pri kopiranju formula na ostatak reda mora voditi rauna o tome da je n konstanta, i danjen poloaj mora biti fiksiran, tj. da se ispred oznake reda i kolone mora staviti znak $.

Poto je tabela konano formirana crta se grafik. Iako je crtanje grafika ve prethodnoobjanjeno, ovde e jo jednom biti prikazano na konkretnom primeru. Crtanje se zapoinje iliodabirom Chart iz padajueg menija Insert, ili klikom na ikonicu Chart Wizard. Tada se otvaranovi prozor, u kome se bira tip grafika (Chart type), i odabere se XY (Scatter).


40/101

39

Klikne se na Next, i u sledeem prozoru odabere kartica Series, gde e se obeleiti podaci naosnovu kojih se crta grafik. Na x osi treba da budu vrednosti za x*, a na y osi za m i . Serijepodataka se dodaju klikom na dugme Add, a zatim se u poljima X values i Y values upisujuodgovarajue vrednosti.

Klikne se na Next, i u sledeem prozoru urade ostala podeavanja grafika, kao to su oznake zax i y osu, naziv grafika i slino. Nakon toga se ponovo klikne na Next i u sledeem prozoru naFinish, ime se crtanje grafika zavrava, a dodatna podeavanja se rade na grafiku, kada sedesnim tasterom mia klikne na grafik i odabere opcija format.


41/101

40

Poto bi ovde trebalo prikazati zavisnost od x* na sekundarnoj osi, desnim tasterom se kliknena seriju , Format Data Series, kada se otvori novi prozor klikne se na karticu Axis i odabereopcija Plot Series on Secondary axis, potvruje se sa OK.

Kao rezultat dobija se grafik sa primarnom i sekundarnom osom, tj. poligon raspodele starostistudenata u apsolutnim i relativnim i znosima.


42/101

41

Intervalno sreivanje podataka

Ako je obim uzorka veliki i ako niz (4.1) sadri veliki broj meusobno razliitih vrednostiobeleja X, vri se tzv. intervalno sreivanje podataka. Intervalno sreivanje se inae praktikuje

kada su u pitanju podaci o neprekidnoj sluajnoj promenljivoj. Interval [a, b) kome pripadajusve vrednosti Xza uzorak, deli se na kpodintervala:

[a, u1), [ u 1, u 2), [ u 2, u 3), . . ., [ u k-1, b)

koji se nazivaju klase. Obino se uzima da su klase jednake irine. Sredine klasa emo oznaitisa *ix :

kiuu

x iii ,...,1,2

1* =+

=

Frekvence mi, i = 1,...,k sada predstavljaju broj vrednosti obeleja X koje pripadaju prvoj,drugoj, , k-toj klasi. Za broj klasa ne postoji striktno pravilo. Preporuuje se da ono bude od 5

21, zavisno od obima uzorka [Vukadinovic S., 1990.], a u literaturi se sreu i empirijskeformule za izbor k, [Ahnazarova S., Kafarov V., 1985.]. Tabelarni prikaz intervalno sreenih

podataka dat je u Tab. 4.1. Poslednje tri kolone daju empirijsku raspodelu apsolutnih iempirijsku raspodelu relativnih frekvenci.

Tabela 4.1 Intervalno sreeni podaci

Pored poligona raspodele, kao grafiki prikaz intervalno sreenih podataka koristi sehistogram empirijske raspodele. To je niz pravougaonika ije su osnove intervali [ui-1, ui), avisine odabrane tako da su im povrine jednake relativnim frekvencama.

Primer 3.2.Mereno je vreme izvoenja neke radne operacije u sekundama:

24 28 22 26 24 27 26 25 26 2330 26 29 25 27 24 26 25 24 27

Formirati tabelu intervalno sreenih podataka u 5 klasa i histogram.

klase sredineklasa

frekvence relativnefrekvence

1 [a, u1) *1x m1 1

2 [ u 1, u 2) *2x m2 2

M M M M M

k [ u k-1, b) *kx mk k

n 1


43/101

42

Reenje

U pitanju je neprekidna sluajna promenljiva. Naravno, podaci iz uzorka su uvekdiskretni, ali samo obeleje moe biti diskretno ili kontinualno (kao to je ovde sluaj).Najmanji interval u kome lee svi podaci, a njegova irina je deljiva sa 5, je interval [22,32), pa emo usvojiti klase irine,

d = (32 - 22)/5 = 2.

Kao i u prethodnom primeru formira se varijacioni niz (kolona D na slici),

na osnovu koga se formira nova tabela. Prva kolona nove tabele sadri nazive klasa, drugasredine klasa, trea frekvence, etvrta relativne frekvence, a peta visinu pravougaonika uhistogramu, tj. odnos /d.

U prvu kolonu se samo upiu podaci. Da bi se izraunale sredine klasa koristi se funkcijaAVERAGE. Ona se kao i ostale funkcija poziva iz menija Insert, opcije Function, a nalazi se ustatistiim funkcijama. Argument predstavlja skup vrednosti ija se srednja vrednost trai.


44/101

43

Trea kolona se popunjava kao i prethodnom primeru pomou funkcije COUNT, etvrta kaoodnos broja m i n, a peta kao odnos i d, u ova dva sluaja mora se voditi rauna o tome kakose zapisuju n i d, jer se radi o konstantama.Dalje se pomou Chart Wizard-a crta histogram. U prvom koraku (Chart Type) bira se Column.Dalje se na Series Add ubacuju podaci na osnovu koji se crta histogram, u polju Values se

ozna

avaju vrednosti

/d, u polju Category (X) axis labels klase, u konkretnom slu

aju obeleise elije od E2 do E6.

U treem koraku izvre se podeavanja oko naslova, osa i legende, u etvrtom se zavravacrtanje grafika.

Kao rezultat dobija se sledei histogram.


45/101

44

Empirijska funkcija raspodele

Pretpostavimo da smo grupisanjem podataka iz varijacionog niza xi, i =1,...,n (4.1), dobiliempirijsku raspodelu frekvenci: kimx ii ,...,1),,(

* = pri emu, u sluaju intervalno sreenih

podataka, vrednosti*

ix predstavljaju sredine klasa (vidi tabelu 4.2). Neka je x bilo koja vrednostna x-osi. Ukupan broj taaka ix , koje lee levo od odabrane take x, zove se kumulativna

frekvenca N(x) i dobija se kao suma:

0.9), tj. pribliavanje linearnestohastike zavisnosti, funkcionalnoj.

5.3 Provera znaajnosti korelacije

Ako je dobijena vrednost uzorakog koeficijenta korelacije (5.6) mala po apsolutnojvrednosti, postavlja se pitanje da li ona ukazuje na postojanje linearne korelacije izmeusluajnih promenljivih Xi Y, ili je samo rezultat sluajnih varijacija vrednosti statistikeRxy, definisane formulom (5.6), oko nule kao njene srednje vrednosti. Zato proveravamostatistiku znaajnost izraunatog uzorakog koeficijenta korelacije ili, drugim reimahipotezu:

0:0 =xyH (5.9)

Teorijska osnova za formulisanje testa je sledei stav (teorema): Ako sluajna

promenljiva (X,Y) ima dvodimenzionalnu normalnu raspodelu, sa nultom vrednoukoeficijenta korelacije xy (Xi Ysu nezavisne), tada sluajna promenljiva:

21

2

xy

xy

R

nRT

= (9.9)

gde su:n - obim uzorka (5.1)


70/101

69

Rxy - uzoraki koeficijent korelacije (5.6)

ima t - raspodelu sa d = n - 2 stepena slobode. Odatle slede kriterijumi znaajnostiuzorakog koeficijenta korelacije, odnosno odbacivanja hipoteze (5.9) i dati su u Tab.5.2

Tabela 5.2 - Testiranje hipoteze H0: = 0

Primer 5.3 Izmerene vrednosti sadraja kalaja u leguri (x, %) i odgovarajue izmerenetake topljenja (y, 0C) date su u prve dve kolone tabele:

x, % 44.1 44.9 44.4 44.7 45.1 45.0 44.7 44.6 46.3y, 0C 513 512 511 510 513 514 521 514 526

x, % 44.9 45.1 44.5 45.1 43.0 44.8 44.2 45.2 45.5y, 0C 525 522 521 513 537 513 519 512 514

Proceniti koeficijent korelacije izmeu sadraja kalaja i take topljenja i testirati njegovuznaajnost sa =0.05.

Reenje

Pomou funkcije PEARSON izraunava se koeficijent korelacije r

Testira se hipoteza:

H0: = 0

Poto je poznato da poveanje sadraja kalaja u leguri po praviliusniava temperaturu topljenja legure (negativna korelacija) to se, u

cilju smanjenja rizika prihvatanja pogrene nulte hipoteze, birajednostrani test, tj. alternativna hipoteza:

H1: < 0

Alternativna hipoteza,

H1Statistika: Kriterijum odbacivanja

hipoteze:

0 > ,2ntt

> 0> 2,2ntt

< 0

21

2

xy

xy

R

nRT

=

vrednost zaRxy se rauna iz> 2,2ntt


71/101

70

Vrednost T - statistike izraunava se pomou funkcije TINV, a zatim se po

formuli rauna kritina vrednost:

75.1,27.1302.01

16302.0

1

21.0,16

22==

=

= t

r

nrt

Poto je 1.27 < 1.75, izvodimo zakljuak da rezultati merenja ne ukazuju naznaajnu korelaciju izmeu sadraja kalaja i take topljenja legure.

5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije

S obzirom na smisao teoretskog koeficijenta korelacije xy, njegovu procenu rxy, imasmisla raunati samo kada ima indikacija (teoretska znanja, dijagram rasipanja) da jeveza izmeu posmatranih promenljivih linearna ili priblino linearna. Ako je vezanelinearna, uzoraki koeficijent korelacijerxynije merilo jaine korelacije i moe biti iblizak nuli, uprkos jakoj vezi.

Takoe je vano imati u vidu da statistiki znaajna vrednost koeficijentakorelacijenije dokaz da izmeu posmatranih promenljivih postoji kauzalna (sutinska)veza. Tako, visoka vrednost rxy moe biti rezultat delovanja tree promenljive, koja semenja u toku eksperimenata, a koja je prouzrokovala istovremene promene

posmatranih promenljivih i privid njihove meuzavisnosti. Instruktivan i duhovitprimer daju Boks i sar. [Box G., Hunter W i Hunter S, 1978]. U periodu od 7 godina, nakraju svake godine, je odreivan broj stanovnika Oldenburga i broj roda i zapaena je jaka linearna korelacija izmeu te dve veliine. Da li iz toga treba zakljuiti da je porastnataliteta prouzrokovan porastom broja roda (rode donose decu?)? U ovom primeru,trea promenljiva, sa kojom su rasle posmatrane dve jeste vreme. U laboratorijskim ipogonskim merenjima, primer "tree" ili "nekontrolisane" promenljive je temperatura,koja deluje na veliki broj fiziko-hemijskih parametara i ako se ne kontrolie (drikonstantnom) u toku praenja neke dve veliine, moe stvoriti privid kauzalne vezeizmedju njih.

Tako, da bi se utvrdila sutinska povezanost izmeu dve promenljive, neophodno jedobro poznavati njihovu fiziko-hemijsku prirodu s jedne strane, i vrlo paljivokontrolisati eksperimente, s druge strane.


72/101

71

ZADACI

5.1 Radi provere Njutnovog zakona hlaenja, prema kome temperatura hlaenogmedijuma, y priblino linearno opada sa vremenom, x izvrena su merenja i dobijeni

rezultati:

Izraunati na tri decimale koeficijent korelacije i na osnovu njegove vrednosti ocenitijainu korelacije i njen znak.

5.2 Radi provere Hukovog zakona (linearna veza izmeu jaine sile i deformacije)dobijeni su sledei rezultati merenja:

Izraunati na tri decimale koeficijent korelacije i na osnovu njegove vrednosti ocenitijainu korelacije i njen znak.

5.3 Dati su eksperimentalni podaci:

x: 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7y: 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6

a) Nacrtati dijagram rasipanja i na osnovu njega proceniti jainu i znak korelacijeb) Izraunati koeficijent korelacije na tri decimalec) Izraunati koeficijente regresionih pravih y(x) i x(y), sa tanou od 3 decimale

d) Izraunati, sa jednom decimalom, y za x = 6 i x za y = 9e) Testirati znaajnost koeficijenta korelacije sa nivoom znaajnosti = 0.05

5.4 Praen je prinos (y, %) neke supstance u procesu, na razliitim temperaturama (x,0C):

x,0C y, % x,0C y, %1100 8.5 11.6 1175 37.5 40 42.31125 19.0 28.2 21.8 1200 50.5 50.01150 29.5 30.6 1225 57.2 60.3 62.7

a) Nacrtati dijagram rasipanja i na osnovu njega proceniti jainu i znak korelacije

b) Izraunati koeficijent korelacije (sa tri decimale) i proveriti njegovu znaajnost sanivoom = 0.01

c) Izraunati odseak regresione prave y(x) sa jednom decimalom i nagib sa 4decimale.

d) Izraunati prinos na temperaturi 1160 0C

Vreme, min 4 8 10 12 16 22Temper. 0C 46 34 30 26 24 20

Sila, N 2 5 8 11 15Istezanje, mm 2 23 62 119 223


73/101

72

6. Regresiona analiza


74/101

73

esto, od dve sluajne promenljive, jednu promenljivu (X) smatramo nezavisno-, a drugu(Y) zavisno-promenljivom. Tako je u Primeru 8.3, logino sadraj kalaja u leguri smatratinezavisno-, a temperaturu topljenja legure zavisno-promenljivom. Budui da daje srednjuvrednost promenljive Yza zadatu vrednost X, najbolja funkcija za predskazivanje vrednosti Yza dato Xje regresiona funkcija:

)(1 xxy =

Tako je u mnogim praktinim problemima u nauci i tehnici od interesa nai priblinu regresionufunkciju i predmet regresione analize je formulisanje priblinih regresionihfunkcija, koje senazivaju regresione jednaine ili empirijske formule (jednaine), na osnovu uzorka (8.1).

Zadatak regresione analize obuhvata:

Izbor oblika regresione funkcije,

),...,,,( 10 kxy x = (6.1)

gde su j, j = 0,1,...,k parametri ili koeficijenti, koji figuriu u funkciji (6.1) i zovu se pravi

ili teorijski regresioni koeficijenti. Ocenjivanje regresionih koeficijenataj, j = 0,1,...,k, tj. odreivanje njihovih priblinih

vrednosti: b j, j = 0,1,...,k, tako da regresiona jednaina,

),...,,,()( 10 kbbbxxy = (6.2)

predstavlja to bolju aproksimaciju regresione funkcije (6.1). Koeficijenti bj se zovuempirijski regresioni koeficijenti ili parametri u empirijskoj formuli.

Statistiku analizu dobijene jednaine: preciznost predskazivanja, intervali poverenjateorijskih regresionih koeficijenata itd.

Izbor oblika regresione jednaine (empirijske formule)

Iz definicije regresione funkcije, sledi da izbor oblika regresione jednaine (6.1) zahtevapoznavanje raspodele verovatnoe dvodimenzionalne sluajne promenljive (X,Y). Tako, ako jeona normalna, izveli smo (Pogl. 3.6) pravolinijsku zavisnost:

xx xyxx

y

yxy 11/

0

)( +=

+=

43421

sa teorijskim koeficijentima regresije:

xy

x

y =

= 101 ,

Regresiona jednaina ili empirijska formula tada glasi:

xbbxy 10)( +=


75/101

74

iji parametrib0 i b1 predstavljaju ocene teorijskih koeficijenata 10 , i intuitivno smo ih izveliu Pogl. 8.2 (Jedn. 8.7a,b). Moe se pokazati da te formule daju najverodostojnije ocene teorijskihregresionih koeficijenata, dakle one koje bi dobili primenom metode maksimalneverodostojnosti (Pogl. 4.4).

Kako u optem sluaju, dvodimenzionalna raspodela nije poznata, problem izbora oblikaregresione jednaine ili empirijske formule se reava priblino na osnovu:

teoretskih znanja i iskustva u vezi sa uticajem neke fizike veliine Xna drugu fizikuveliinu Y

dijagrama rasipanja eksperimentalnih taaka ( ) niyx ii ,...,2,1,, = Na primer, poznato je da temperatura ima jak uticaj na brzinu hemijske reakcije. U hemijskojkinetici se izraz za brzinu rnepovratne hemijske reakcije, najee trai u obliku:

=32121

,...),()(),...,,(ms

molccfTkTccr

gde su c1,c2,..., molske koncentracije reaktanata, a k(T) se zove konstanta brzine hemijske reakcije,

mada zavisi od temperature. Tako se pri ispitivanju uticaja temperature na brzinu neke reakcije,meri temperatura T(K) i eksperimentalno odreuju odgovarajue vrednosti konstante brzinehemijske reakcije k. Na osnovu poznavanja osnovnih zakonitosti u hemijskoj kinetici, empirijskujednainu k(T) traimo u obliku poznate Arenijusove (Arrenius) formule:

TbRTE ebekTk/

0

/

01)(

==

Zbog svoje jednostavnosti i osobine da mogu dobro da aproksimiraju razliite funkcije, kaoempirijske formule se esto koriste polinomi drugog i vieg stepena:

)2()( 2210 +++= kxbxbxbbxyk

kL (6.3)

Ako odabrana empirijska formula,

),...,,,()( 10 kbbbxfxy = (6.4)

nema kao osnovu regresionu funkciju (3.31a), ve ima isto empirijski karakter, tada se naravnone moe govoriti o parametrima bj, j = 0,1,...,k kao ocenama teorijskih regresionihkoeficijenata.

Statistika analiza regresione jednaine

Ovo je veoma sloen problem, jer zahteva poznavanje raspodela empirijskih regresionih

koeficijenata,bj, j = 0,1,...,k , kao funkcija uzorka. Tako je on, u optem sluaju reiv samo uzpretpostavku da nezavisna promenljiva nije sluajna, ve determinisana (kontrolisana)promenljiva. Drugim reima, eksperimentalne vrednosti xi, i = 1,2,..,n u uzorku (8.1) suunapred odabrane ili fiksirane. Praktino, ovaj uslov e biti zadovoljen ako su sluajne varijacije(greke merenja) u vrednostima sluajne promenljive Ymnogo vee od onih u vrednostima X( 22 xy >> ). Na primer, pri odreivanju koeficijenata u Arenijusovoj zavisnosti konstante brzine


76/101

75

hem. reakcije od temperature, sluajne greke merenja temperature su daleko manje od sluajnihgreaka pri odreivanju konstanti brzine reakcije (posredna merenja).

6.1 Metod najmanjih kvadrataPrincip najmanjih kvadrata je formulisao Leandr (Legendre): najverovatnija vrednost bilo

koje veliine, koju odreujemo na bazi ponovljenih merenja, je ona za koju je suma kvadrataodstupanja merenja od te vrednosti najmanja. Uzmimo na primer da je radi procenjivanjatane vrednosti rneke fizike veliine, izvedeno n ponovljenih merenja, sa rezultatima: xi, i =1,2,...,n i pretpostavimo da merenja imaju normalnu raspodelu i da ne sadre sistematske i grubegreke. Prema principu najmanjih kvadrata, kao najverovatniju vrednost za ruzimamo onu zakoju suma kvadrata odstupanja:

( )=

=n

i

i rxrS

1

2)(

ima minimum. Dobijamo je iz uslova minimuma funkcije S(r):

( )=

==n

i

i rxdr

dS

1

02

kao:

=

==n

i

i xxn

r1

1

Prepoznajemo aritmetiku sredinu, za koju smo u Pogl. 4.5 pokazali, da predstavljanajverodostojniju ocenu srednje vrednosti rezultata merenja kao sluajne veliine, koja je, poduslovom da merenje ne sadre sistematske i grube greke, upravo jednaka tanoj vrednostimerene veliine (Pogl.2.3).

Odreivanje parametara u empirijskoj formuli

Neka raspolaemo eksperimentalnim takama (xi,yi), i = 1,2,...,n. Pretpostavimo, za poetak,da su svih n vrednosti nezavisno promenljive u uzorku razliite tj. da nema ponovljenihmerenja zavisno promenljive za jednu vrednost nezavisne. Neka smo odabrali oblik empirijskeformule (6.4), pri emu je neophodno da broj parametara (k+1)u formuli, bude manji od broja

eksperimentalnih taaka:k + 1


77/101

76

najmanje razlikujuod eksperimentalnih (iz uzorka): yi, i = 1,2,...,n u smislu principa najmanjihkvadrata, a to znai da suma kvadrata odstupanjaei, i = 1,2,...,n eksperimentalnih od raunskihvrednosti zavisno promenljive:

)1()(),...,,(1

2

1

2

10 +>=== ==

knyyebbbSSn

i

rac

ii

n

i

ik (6.6)

bude najmanja. Geometrijski interpretirano, biraju se tako vrednosti parametara, da se kriva(6.4) "provlai" to blie eksperimentalnim takama (Sl.6.1), pri emu je mera odstupanja kriveod eksperimentalnih taaka, suma kvadrata odstupanja (6.6).

Slika 6.1 - Provlaenje krive izmeu eksperimentalnih takaka

Primetimo da je suma kvadrata odstupanja S, funkcija samo nepoznatih parametara, jer su

vrednosti ( ) niyx ii ,...,2,1,, = poznate, a raunske vrednosti niyrac

i ,...,2,1, = su, prema (6.5),funkcije parametara. Problem izraunavanja parametarabj, j = 0,1,...,k se tako svodi na problemodreivanja minimuma funkcije vie promenljivih (6.6). Oni se dobijaju reavanjem sistemajednaina, koji predstavljaju potreban uslov minimuma funkcije (6.6) i kojih ima tano onolikokoliki je broj traenih parametara:

kjb

bbbS

j

k ,...,1,0,0),...,,( 10 ==

(6.7)

Jednaine (6.7) su u literaturi poznate pod nazivom normalne jednaine.

Neka u uzorku, ( ) niyx ii ,...,2,1,, = ima ponovljenih merenja zavisno promenljive Y pri

jednoj vrednosti za x, to znai da meu vrednostima xi, i = 1,2,...,n ima jednakih. Tada, uz uslovda je broj razliitih vrednosti nezavisno promenljivem (tj. broj njenih vrednosti u grupisanomuzorku) vei od broja parametara (k+1) u empirijskoj formuli:

m >k+1

vae sva prethodna razmatranja.


78/101

77

6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule

Neka smo metodom najmanjih kvadrata odredili parametre bj, j = 0,1,...,k u odabranojempirijskoj formuli (6.4):

),...,,,()( 10 kbbbxfxy = Nekada smo meutim suoeni sa problemom da od vie empirijskih jednaina, koje mogu

da sadre razliit broj paramatara, odaberemo najbolju, tj. onu koja najbolje opisuje ili "fituje"(od glagola to fit) date eksperimentalne podatke, odnosno najmanje u odreenom smisluodstupa od njih. Za reavanje tog problema, potrebna nam je neka mera odstupanja empirijskeformule, iji su parametri izraunati metodom najmanjih kvadrata, od eksperimentalnihpodataka. U skladu sa principom najmanjih kvadrata, kao traena mera, koristi se srednjekvadratno odstupanje empirijske formule ili regresione jednaine (6.4), definisano kao:

)1(

)),...,,,((

)1(

)(1

2

10

1

2

2

+

=

+

=

==

kn

bbbxfy

kn

yy

s

n

i

kii

n

i

rac

ii

(6.8)

Kao to vidimo, suma kvadrata odstupanja eksperimentalnih od raunskih vrednosti izdobijene empirijske formule, deli se razlikom ukupnog broja eksperimentalnih taaka iukupnog broja parametara u formuli. Tako se mogu porediti regresione jednaine sa razliitimbrojem parametara, pri emu je pri jednakim sumama kvadrata odstupanja za dve formule, boljaona koja sadri manji broj parametara. Srednje kvadratno odstupanje (6.8) se u regresionojanalizi koristi za:

poreenje kvaliteta vie regresionih jednaina, analizu adekvatnosti neke regresione jednaine

Ako se neka regresiona jednaina oceni kao adekvatna (adekvatno opisuje zavisnost srednje

vrednosti sluajne promenljive Yod kontrolisane promenljive x), onda njeno srednje kvadratnoodstupanjes2:

daje nepristrasnu ocenu disperzije sluajne promenljive Y predstavlja meru jaine stohastike zavisnostiYod x (ukoliko je s2 vee, veza je slabija)

6.3 Koeficijent determinacije

Kao mera jaine linearne stohastike veze izmeu promenljivih slui koeficijent korelacije(Glava 5). Da bi smo definisali optumeru jaine veze (linearne ili nelinearne) izmeu sluajnepromenljive Y i kontrolisane promenljive x, razmotriemo znaenje dve sume kvadrataodstupanja izraunate iz uzorka (xi, yi) i = 1,2,...,n. Suma:

=

=n

i

i yySST1

2)(

predstavlja meru ukupne varijacije u eksperimentalnim vrednostima, yi. Suma,


79/101

78

==

==n

i

k

n

i

rac

i ybbbxfyySSF1

2

10

1

2 )),...,,,(()(

meri varijacije raunskih vrednosti koje daje regresiona jednaina, oko aritmetike sredine y kao odabrane referentne vrednosti. Moe se rei da SSF predstavlja objanjenu (empirijskom

formulom) varijaciju oko y .U sluaju da Yne zavisi od x, odnosno da je:

yxy = /

empirijska jednaina, koja daje ocene srednje vrednosti za Y, e kao procene dati

niyy raci ,...,2,1, =

to kao rezultat ima vrednost SSFblisku nuli, odnosno kolinik dve sumeblizak nuli:

0SST

SSF

Drugi granini sluaj je funkcionalna veza izmeu dve promenjive to znai da ni Y nijesluajna promenljiva. Tada e, pod pretpostavkom da je forma regresione jednaine tana, onatano reprodukovati eksperimentalne take :

niyy irac

i ,...,2,1, ==

pa e kolinik dve sume biti jednak jedinici:

1=SST

SSF

Dakle, kao pogodna mera jaine veze izmeu x i Ynamee se kolinik dve sume:

10,

)(

)(2

1

2

1

2

2

=

=

= R

yy

yy

Rn

i

i

n

i

rac

i

(6.6)

koji se zove koeficijent determinacije. Za koeficijent determinacije vai: 0 R2 1 pa se onmoe interpretirati kao deo ukupne varijacije koji je objanjen empirijskom formulom. Sobzirom na ovu osobinu, koeficijent determinacije je pogodnija mera jaine veze izmeu Y i xnego srednje kvadratno odstupanje s2 (6.8).

6.4 Odreivanje pravolinijske zavisnosti

Pretpostavimo da srednja vrednost sluajne promenljive Y linearno zavisi odkontrolisane promenljivex:

xxy 10 += (6.10)


80/101

79

Drugim reima, zavisno promenljivu Y moemo da prikaemo u obliku zbira njene srednjevrednosti (6.10) i sluajnog odstupanja (greke) E :

0)(1 =++= EE M,xY o (6.11)

Iz uzorka ( ) niyx ii ,...,2,1,, = procenjujemo vrednosti teorijskih regresionih koeficijenata 10 , ,

ili drugim reima, izraunavamo parametre b0, b1 (odseak prave i njen nagib) u empirijskojformuli:

xbby 10 += (6.12)

Metodom najmanjih kvadrata, uzorake regresione koeficijente b0, b1 dobijamo iz uslovaminimuma sume kvadrata odstupanja eksperimentalnih od raunskih vrednosti (6.6), koja usluaju formule (6.12) izgleda:

==

+==n

i

ii

n

i

rac

ii xbbyyybbS1

2

10

1

2

10 )]([)(),(

Primenjujui pravilo da je prvi izvod sume jednak sumi prvih izvoda, za uslove minimumadobijamo:

=

=+= n

i

ii xbbyb

S

1

10

0

0)1)](([2

=

=+= n

i

iii xxbbyb

S

1

10

1

0))](([2

odnosno, nakon deljenja jednaina sa (-2) i sreivanja:

= =

=n

i

n

i

ii xbnby1 1

10 0

= ==

=n

i

n

i

i

n

i

iii xbxbyx1 1

2

1

1

0 0

Konano, nakon prebacivanja poznatih vrednosti na drugu stranu jednaina, dobijamo sistemod dve linearne jednaine po traenim parametrima:

==

=

+

n

i

i

n

i

i ybxnb1

1

1

0 (6.13a)

===

=

+

n

i

ii

n

i

i

n

i

i yxbxbx1

1

1

2

0

1

(6.13b)

koje predstavljaju normalne jednaine (6.7) za sluaj pravolinijske regresije. Reenja dobijenogsistema jednaina se mogu prikazati u obliku identinom formulama (5.7a,b):


81/101

80

2

11

2

1111

))((

=

==

===

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

xxn

yxyxn

b (6.14a)

xbyb 10 = (6.14b)

Tako, pri sledeim pretpostavkama:

vai linearan model (6.11) za merenja Yi, i = 1,2,...,n disperzija sluajnih varijacija zavisno promenljive Y je konstantna:

( ) .2 constD y ==E

merenja Yi, i = 1,2,...,n su nezavisna i imaju normalnu raspodelu

metod najmanjih kvadrata daje saglasne i nepristrasne ocene regresionih koeficijenata:

( ) 1,0, == jBM jj (6.15)identine onima koje daje metod maksimalne verodostojnosti. U Jedn. 6.12, Bj su statistike ije sevrednosti raunaju formulama (6.11a,b). Uz to, pokazuje se da srednjekvadratno odstupanjeraunskih vrednosti (6.8),

( )=

=n

i

ii xbbyn

s1

2

10

2

2

1(6.16)

kao vrednost statistike:

( )=

=n

i

ii xbbYn

S1

2

10

2

2

1(6.17)

predstavlja nepristrasnu ocenu disperzije zavisno promenljive:

( ) 22 ySM =

Formuli (6.16) ekvivalentna je sledea:

)(2

1 221

22

xy sbsn

ns

= (6.18)

gde su 22 i yx ss srednji kvadrati odstupanja:

1

/)(

,1

/)(22

2

22

2

=

= nnyy

sn

nxx

sii

y

ii

x (6.19)

Primer 6.1 Zbog zajednikog jona

Cl rastvorljivost BaCl2, y(%) u vodi, pri konstantnojtemperaturi priblino linearno opada sa porastom koncentracije CaCl2,x(%) u vodi.a) Formulisati empirijsku jednainu za procenjivanje rastvorljivosti BaCl2 pri razliitimsadrajima CaCl2 u vodi, na bazi podataka datih u prve tri kolone tabele


82/101

81

b) Proceniti rastvorljivost BaCl2 pri koncentraciji CaCl2 od 13%.

Tabela uz Primer 6.1

Reenje

a) Nagib i odseak u traenoj empirijskoj pravolinijskoj zavisnosti mogu se dobitipomou funkcija SLOPE i INTERCEPT. Iako funkcije SLOPE i INTERCEPT ne

izraunavaju nagib i odseak po metodi najmanjeg kvadrata, nego se trae parametrikoji daju najbolje slaganje sa eksperimentalnim podacima, rezultat e svakako bitidobar pa njihovo korienje ne predstavlja greku.

pa je empirijska prava:

xy 355.143.31 =

U dijagram su ucrtane eksperimentalne take i dobijena prava.

N0 x y x2 xy

1 0 32 0 10242 5 25 25 6253 8 20 64 4004 10 17 100 2895 15 11 225 1216 20 5 400 25

= 58 110 814 720


83/101

82

y = -1.3553x + 31.434

0

5

10

15

20

25

30

35

0 5 10 15 20 25

x

y

Series1

Linear (Series1)

Slika uz Primer 6.1

Prvo se nacrta dijagram na osnovu eksperimentalnih podataka, a zatim se dodaje prava(trendline). To se radi na sledei nain:

Poto je nacrtan dijagram desnim tasterom klikne se na neku od taaka i odabere opcija AddTrendline.

Nakon toga otvara se novi prozor u kome se bira tip linije, (odabere se Linear), zatim se kliknena karticu Options


84/101

83

Gde se vre ostala podeavanja vezana za pravu, izmeu ostalog moe se na dijagramu prikazatii jednaina ove prave, ukoliko se oznai polje Display equation on chart. Potvruje se sa OK, i

linija je na dijagramu.b) Smenom zadate rastvorljivosti CaCl2, x = 13 u dobijenu empirijsku jednainu,dobijamo procenu odgovarajue rastvorljivosti BaCl2:

%8.1313355.143.31 ==y

Primer 6.2Merene su elektrine otpornosti R metalnog provodnika na razliitim temperaturamat:

t, 0C 30 35 40 45 50 55 60R, 86.67 92.01 93.92 96.60 97.77 99.77 101.82

Potrebno je iz podataka,

a) izraunati temperaturni koeficijent otpornosti metala , koji je definisan jednainomtemperaturne zavisnosti otpora:

( )tRtR += 1)( 0

b) proceniti standardnu greku primenjene metode merenja otpornosti.

Reenje

a) Poto su u datoj pravolinijskoj zavisnosti otpora od temperature:

( ) tbbtRRtRtR 10000 1)( +=+=+=

odseak i nagib jednaki:b0 = R0 b1 = R0

traeni temperaturni koeficijent se dobija iz njih kao:

0

1

0

1

b

b

R

b==

Uz x = t, y = R, rauna se nagib i odseak pomou funkcija INTERCEPT i SLOPE:


85/101

84

i iz njih koeficijent :

0062.00

1 ==b

b

Dijagram rasipanja eksperimentalnih taaka i regresiona prava su dati na slici uz primer.

y = 0.463x + 74.674

84

86

88

90

92

94

96

98

100

102

104

30 40 50 60 70

Series1

Linear (Series1)

Slika uz Primer 6.2

b) Kao ocenu standardne greke merne metode R, moe se uz pretpostavke navedene uprethodnom tekstu, da uzmemo srednje kvadratno odstupanje (6.16):

( )

===

=

n

i iiR

xbbyn

s1

2

10

43.15

125.7

2

1

Koje se takoe moe izraunati kvadriranjem rezultata dobijenog korienjem funkcijeSTEYX. Funkcija se nalazi u statistikim funkcijama, a njen rezultat je standardna grekapredviene vrednosti y za svako x u regresiji.Sintaksa: STEYX(Known_y's, Known_x's)Known_y's niz ili skup zavisnih pojedinanih podataka.Known_x's - niz ili skup nezvavisnih pojedinanih podataka


86/101

85

Koeficijent determinacije i koeficijent korelacije

Koeficijent determinacije, kao opta mera jaine veze izmeu Y i x, u sluaju pravolinijskezavisnosti dobija oblik:

2

22

1

1

2

1

22

1)14.9(

1

2

1

2

10

1

2

1

2

2

)(

)(

)(

)(

)(

)(

y

x

n

i

i

n

i

ib

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

rac

i

s

sb

yy

xxb

yy

yxbb

yy

yy

R =

=

+=

=

=

=

=

=

=

= (6.20)

gde su 22 , yx ss srednji kvadrati odstupanja (6.19). Ako parametar b1 izrazimo preko koeficijenta

korelacije rxy, pomou Jedn. (8.7a):

x

y

xys

srb =1

dobijamo da je koeficijent determinacije jednak kvadratu koeficijenta korelacije:

xyxy rRRrR ===222 ili

to smo, s obzirom na znaenje tih koeficijenata mogli da oekujemo. U sluaju linearne

zavisnosti Yod x, 2R dakle daje jainu linearne veze, ali poto je uvek pozitivan, ne daje (zarazliku od rxy) informaciju o tome da li Yopada ili raste sa x.


87/101

86

6.5 Intervali poverenja odseka i nagiba

Odreivanje intervala poverenja odseka 0 i nagiba 1 u pravolinijskoj regresionoj funkciji(6.10), zahteva poznavanje raspodela njihovih ocena, tj. statistika Bj, j = 0,1. Sa pretpostavkama

navedenim u prethodnom poglavlju, moe se pokazati da uzora

ki regresioni koeficijentiimaju normalne raspodele:

Bj: N 1,0),,( = jjbj

(6.21)

sa disperzijama:

2

12

2

2

)1(1y

x

y

b csn

=

= (6.21a)

2

0

2

2

1

2

2

)1(0yy

x

n

i

i

b csnn

x

=

=

= (6.21b)

gde je 2xs srednji kvadrat odstupanja (6.16), a c0 i c1 koeficijenti, definisani samim jednainama

(6.21a-b). Formule (6.14a,b) pokazuju da su statistikeBj, j = 0,1 linearne kombinacije sluajnihpromenljivih Yi, i =1,2,..,n, koje prema pretpostavkama imaju raspodele:

Yi: N nix yi ,...,2,1),,( 10 =+

i tako relacije (6.21, 6.21a-b) slede iz osobine linearnosti normalne raspodele, tj. iz jednaina(2.57) i (2.58).

Ocene disperzija uzorakih regresionih koeficijenata 1,0,2 =jsjb

dobijamo kada u Jedn.

(6.21a-b) umesto disperzije2

y zavisno promenljive, zamenimo njenu ocenu s2

:1,0,

22 == jscs jbj (6.22)

koja se rauna formulom (6.16) ili (6.18):

Iz izloenog sledi, da standardizovana sluajna veliina:

1,0,)(

=

=

= j

c

BBMBZ

yj

jj

b

jj

j

(6.23)

gde su koeficijenti cj,j = 0,1 definisani jednainama (6.21a,b) ima raspodelu N (0,1). Kao to smose u Pogl. 6.2 upoznali, to dalje znai da bezdimenziona statistika:

1,0,)(

=

=

= jSc

B

S

BMBT

j

jj

b

jj

j

(6.24)

gde je statistika S definisana jednainom (6.17), ima t- raspodelu sa

d = n - 2


88/101

87

stepeni slobode. Sada imamo sve to je neophodno, da bi mogli da definiemo intervalepoverenja teorijskih regresionih koeficijenata, sa nivoom poverenja = 1-:

1,0,,2,2 =+


89/101

88

b) Izraunaju se srednji kvadrati odstupanja pomou funkcije STDEV :

a onda pomou funkcije RSQ se izraunava koeficijent determinacije:

Rezultat funkcije RSQ je kvadrat Pirsonovog koeficijenta korelacije, odnosno koeficijentdeterminacije

Sintaksa: RSQ(Known_y's, Known_x's)Known_y's niz ili skup zavisnih pojedinanih podataka.Known_x's - niz ili skup nezvavisnih pojedinanih podataka

Koeficijent korelacije, kao mera jaine line

30464800 Excel Praktikum

Documents