1 Wasserwirtschaftliche Planungsmethoden - Übungen Lehrveranstaltungsleiter: Ao.Univ.-Prof. Dipl.Ing. Dr. Hubert Holzmann Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und Konstruktiven Wasserbau Universität für Bodenkultur Wien 3. Übungseinheit Zeitreihenanalyse Behandlung von Zeitreihen Meteorologie: Niederschlag, Lufttemperatur, Luftdruck, Luftfeuchtigkeit, Windrichtung u. - geschwindigkeit, Strahlung, Sonnenscheindauer, ... Hydrologie: Abfluss u. Abflusshöhe, Grundwasserstand; Schneeakkumulation, Infiltration, ... Wasserwirtschaft: Güteparameter (Sauerstoff, BSB, CSB, Ionenkonzentration); Entnahmemengen; Bedarf (Trinkwasser, Energie), ... Weitere: Verkehrsströme und -frequenzen, wirtschaftliche Nachfrage- und Bedarfsreihen, ökonomische Wertkriterien (BIP, Aktienkurse), Umweltparameter (Ozon, Stickoxyde, Pollen), Demographie (Bevölkerungsentwicklung, Einkommen, Gesundheit), ...
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3. Übungseinheit - iwhw.boku.ac.at · 3 Allgemeines zur Zeitreihenanalyse Definition: Eine Zeitreihe ist ein Satz von Beobachtungen einer variablen Größe (z.B. Abfluß, Temperatur
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1
Wasserwirtschaftliche Planungsmethoden -Übungen
Lehrveranstaltungsleiter: Ao.Univ.-Prof. Dipl.Ing. Dr. Hubert Holzmann
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologieund Konstruktiven Wasserbau
Universität für Bodenkultur Wien
3. Übungseinheit
Zeitreihenanalyse
Behandlung von Zeitreihen
Meteorologie:Niederschlag, Lufttemperatur, Luftdruck, Luftfeuchtigkeit, Windrichtung u. -geschwindigkeit, Strahlung, Sonnenscheindauer, ...
Hydrologie:Abfluss u. Abflusshöhe, Grundwasserstand; Schneeakkumulation, Infiltration, ...
Weitere:Verkehrsströme und -frequenzen, wirtschaftliche Nachfrage- und Bedarfsreihen, ökonomische Wertkriterien (BIP, Aktienkurse), Umweltparameter (Ozon, Stickoxyde, Pollen), Demographie (Bevölkerungsentwicklung, Einkommen, Gesundheit), ...
2
Anwendungsmöglichkeiten der Zeitreihenanalyse
Prognose:Abschätzung zukünftiger kurz- und langfristiger Entwicklungen (Trendanalyse).
Simulation:Erzeugung synthetischer Zeitreihen zur Schließung von Messlücken oder Verlängerung kurzer Zeitreihen zur Festlegung von Bemessungskriterien.
Systemanalyse:Extremwert- und Varianzanalyse geben Aufschluss über Häufigkeit und Größe von Extremereignissen.
Bei der Analyse ist auf Homogenität der Zeitreihe Bedacht zu nehmen !!!
Beispiel Pegelschlüssel.Q (m3/s)
H (m ü.Sh.)PS 2 (Durch Auflandung oder Pegelnullpunktverschiebung)
PS 1
Kontinuierliche Zeitreihen
3
Allgemeines zur Zeitreihenanalyse
Definition:Eine Zeitreihe ist ein Satz von Beobachtungen einer variablen Größe (z.B. Abfluß, Temperatur oder Niederschlag) zu verschiedenen Zeitpunkten. Es wird der Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen Zeit t und der abhängigen, hydrologischen Variablen X(t) dargestellt. Enthält X eine zufallsbedingte Komponente, so beschreibt die Zeitreihe einen stochastischen Prozeß.
Analyse:Bei der Analyse einer Zeitreihe geht man zumeist von der Annahme aus, daß alle Komponenten des hydrologischen Prozesses additiv zusammenwirken:
X(t) = XT(t) + Xp(t) + XR(t) (3.1a)
Dabei bedeutet XT(t) ... Trendanteil, Xp(t) ... periodischer Anteil und XR(t) ... Zufallsanteil (Random).
TrendanalyseHydrologische Variable können langfristige zeitliche Änderungen erfahren, die mit Hilfe der Trendanalyse identifiziert werden.
Beispiele dafür sind:- Abflussänderung durch geänderte meteorologische Randbedingungen.- Abflussänderung durch geänderte Landnutzung im Einzugsgebiet- Wasserstandsänderung durch Sohlerosion oder Sedimentablagerung.- Änderung der Jahresniederschlagssumme durch Klimaänderung
Zeitliche Änderungen zeigen sich wie folgt:- Stationärer Trend.- Ansteigender Trend- Absteigender Trend.- Sprunghafter Trend
Neben dem linearen Trend existieren auch nichtlineare Trends
Bei der Analyse kurzer Zeitreihen kann die Sequenz aus einer Periode als Trend fehlinterpretiert werden!!!
Trendermittlung
Der Trend wird in Form einer Trendgeraden dargestellt:XT(t) = a + b . t (3.1b)
dabei wird b als Trend- oder Regressionskoeffizient und aals Achsenabschnitt bezeichnet.
Methode der kleinsten Quadrate:
(3.2.)
(3.3.)
( )a
t X t t t X t
n t t=
⋅ − ⋅ ⋅
⋅ −
∑∑∑∑∑∑
2
2 2
( ) ( )
( )b
n t X t t X t
n t t=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ −
∑∑∑∑∑
( ) ( )2 2
...t
n
=∑∑
1
Hilfsformeln:
(3.4)
(3.5)
3.2.1.1 Bestimmung des mittleren Anstiegs
Einschränkung: Nur anwendbar bei bekannter Periodenlänge !
(3.6)
( )t n nt
n
=∑ =
⋅ +
1
12
( ) ( )t n n n
t nt
n2
1 61 2 1
1 3=∑ = ⋅ + ⋅ +
= ,2, , ...
an
X t b nt
n
= ⋅ − ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=∑1
21
1
( )
bn P
X t P X tPt
n P
=−
⋅+ −
=
−
∑11
( ) ( )
9
Trendtest
Trendtest
Spricht nichts gegen eine Linearität der Regressionsbeziehung zwischen Meßwert und Zeit, so wird der errechnete Regressionskoeffizient (Steigzahl der Trendgerade) auf Signifikanz geprüft. Dazu müssen folgende Größen bestimmt werden:
a.) Varianz der Meßwerte:
Sn
X tn
x tX tt
n
t
n
( ) ( ) ( )2
1 1
21
11
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= =∑ ∑ (3.8)
b.) Varianz der Zeitwerte:
( )Sn
tn
t n nt
t
n
t
n2
1 1
21
11 1
12=
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
+
= =∑ ∑ (3.9)
c.) Quadratsumme aller Abweichungen von der Trendgerade:
( )A X t a b tt
n
= − − ⋅=∑ ( )
1
2
(3.10)
oder( )A n S b SX t t= − ⋅ − ⋅( ) ( )1 2 2 2 (3.11)
d.) Die Testgröße to
( ) ( ) bnnA
St t ⋅−⋅−= 21
2
0 (3.12)
Falls to < tn-2,α,zweiseitig, so kann auf dem gewähltenSignifikanzniveau angenommen werden, daß der errechneteTrend zufälliger Natur ist. Ist jedoch to > tn-2,α,zweiseitig, sounterscheidet sich der gefundene Trend signifikant von Null. Indiesem Fall muß für eine weitere Analyse der Zeitreihe der Trendanteil eliminiert (subtrahiert) werden.
Periodizität einer Zeitreihe
Hydrologische Zeitreihen unterliegen oft saisonalen Schwankungen, die durch den jahresperiodischen Zyklus der meteorologischen Randbedingungen geprägt sind. Zur Identifizierung der Periodizität dienen
• die Autokorrelationsrechnung,
• die Spektralanalyse.
Die Prüfung einer Zeitreihe auf Periodizität erfolgt mit der trendfreien Zeitreihe X‘(t), d.h. ein eventueller Trendanteil ist zuvor abzuziehen:
X‘(t)=X(t) – XT(t)
10
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 0
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 1
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 3
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.09
11
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 6
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.71
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 9
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.12
12
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 12
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.83
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 15
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.06
13
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 18
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.71
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 21
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.07
14
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 24
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.82
1.00
-0.09
0 5 10 15 20 25
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung (Lag)
Kor
rela
tion
r
-0.71
-0.12
0.83
Autokorrelogramm
15
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]xx
[(1 +
lag)
:xl]
Korrelation: r = 1
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.25 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.7
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.5 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.04
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.75 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.73
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1 * Pi
Indexxx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -1
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.25 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.7
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.5 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.04
0 20 40 60 80 100 120
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.75 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.73
0 20 40 60 80 100 120
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 2 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 1
0 5 10 15
-0.5
0.0
0.5
1.0
Lag
ACF
Series : xx
Periodizität einer Zeitreihe
Arbeitsschritte:
• Berechnung des Korrelogramms mit der trendbereinigten Zeitreihe
• Prüfen des Autokorrelationswertes der Periode auf Signifikanz
• Bestimmung der Periodenlänge Lp (Differenz zwischen Maxima)
• Gliederung der Zeitreihe in Teilreihen der Länge Lp
• Mittelung der Komponenten aller Teilreihen: Daraus ergibt sich der mittlere Periodenverlauf.
16
Bestimmung des Zufallsanteils
XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t) (3.19)
Der Zufallsanteil kann in eine korrelative Komponente (r1 . XR(t-1)) und das reine Zufallsglied R(t)
zerlegt werden:
(3.20)
(3.21)
Dabei bedeutet:
Z(t) die standardisierte Zufallsvariable (zumeist normalverteilt)
s Standardabweichung der Reihe XR(t)
r1 erster Autokorrelationskoeffizient der Reihe XR(t)
)()1()( 1 tRtXrtX RR +−⋅=
211)()( rstZtR −⋅⋅=
Bestimmung des Zufallsanteils
XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t)
21
21
22
2221
21
1
1
1
)1(
)()1()(...
)1()()1()()1()(
rss
rss
ssrsnRnXrnX
tRtXrtXtRtXrtX
R
R
R
RR
RR
RR
−=
−=
+⋅=
+−⋅=
++⋅=++−⋅=
211)()( rstZtR −⋅⋅=
Der Zufallsanteil XR(t) ist charakterisiert durch:
Mittelwert = 0
Varianz = s2
Wobei ( )∑=
−−
=n
iRiR XX
ns
1
2,1
1
17
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=5,STAW=2re
l. H
aeuf
igke
it
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=10,STAW=1
rel.
Hae
ufig
keit
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=10,STAW=5
rel.
Hae
ufig
keit
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Quantile
rel.
Hae
ufig
keit
Dichteverteilung
Häufigkeitsverteilung(Summenhäufigkeit)
Standardisierte NormalverteilungStandardisierung:
σXXY i
i−
=
Wobei: Yi ... Standardisierte VariableXi ... Normalverteilte VariableX ... Mittelwert von Xσ ... Standardabweichung
Literatur zur Nutzen Kosten Analyse• The Analysis of Time Series: An Introduction von C. Chatfield, Chapman and Hall London, 1996 • Time Series, A Biostatistical Introduction von P. Diggle, Clarendon Press Oxford, 1990 • Time Series Techniques for Economists von Terence Mills, Paperback Reprint edition (June 1991), Cambridge Univ Press. • Zeitreihenanalyse von R. Schlittgen und B. Streitberg, 9. Auflage, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 2001.• Time Series forecasting and control von G. Box und G. Jenkins, 1994 • Time Series: Theory and Methods von P.J. Brockwell und R.A. Davis (Brockwell/Davis I), Springer Verlag New York, 1996 • Introduction to Time Series and Forecasting von P.J. Brockwell and R.A. Davis (Brockwell/Davis II), Springer Verlag, 1997 • Spectral Analysis and Time Series, Vol. 1 and 2 von M. Priestley, Academic Press London, 1994 • Time Series Analysis von James D. Hamilton, Princeton University Press, 1994 • Non-Linear Time Series, A dynamical System Approach von H. Tong, Claerndon Press Oxford, 1990 • Modelling Financial Time Series von Stephen J. Taylor, John Wiley, Chichester, 1986 •Box, G. E.P., Jenkins, G. M. (1970): Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco - Düsseldorf: Holden-Day.•Danninger, H. (1973): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Niederschlagsstatistik. Wien : Diplomarbeit Universität für Bodenkultur.•Holzmann, H. (1993): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Wasserwirtschaft unter Bezugnahme auf die Abflußverhältnisse der Donau in Wien. Österr. Wasserwirtschaft, Jg. 45, Heft 1/2, Springer Wien.•Nachtnebel, P. (1975): Zeitreihenanalyse. In: Wiener Mitteilungen: Wasser-Abwasser-Gewässer / Hydrologie-Fortbildungskurs 1975, S.F1-F25, ,Wien.•Naff, R. L., Gutjahr, A. L. (1983): Estimation of Groundwater Recharge Parameters by Time Series Analysis. In: Water ResourcesResearch, S.1531-1546, Washington: American Geophysical Union.•Priestly, M.B. (1988): Non-Linear and Non-Stationary Time Series Analysis. London: Academic Press - Harcourt Brace JovanovichPublishers.•R., D. V., Schaake Jr., J. C. (19972): A disaggregation model for time series analysis and synthesis. Cambridge: School of Engineering.•Sayrs, L. W. (1989): Pooled time series analysis. Quantitative Applications in the Social Sciences Nr.70.•Turner, J. V., Mac Pherson, D. K. (1990): Mechanisms Affecting Streamflow and Stream Water Quality: An Approach via StableIsotope, Hydrogechemical, and Time Series Analysis. Water Resources Research , Jahrg.26, Heft 12, S.3005-3019 (14).•Brockwell, Peter J. : Introduction to time series and forecasting / Peter J. Brockwell ; Richard A. Davis . - [4. print.] . - New•York, NY [u.a.] : Springer , 2000•Developments in time series analysis : in honour of Maurice B. Priestley / ed. by T. Subba Rao . - 1. ed. . - London•[u.a.] : Chapman & Hall , 1993
22
Internet-Adressen zur Nutzen Kosten Analyse•Empfehlung Literatur zur Statistik: http://www.luchsinger-mathematics.ch/sta/litsta.html