3° RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - LKV

2016

RAZONAMIENTOMATEMÁTICO

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3

1Situaciones Lógicas y Recreativas

OBJETIVOS:

pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar”.

Hipatía

Utilizar sus habilidades creativas con sentido lógico al afrontar la resolución de nuevas situaciones proble-máticas.

Descubrir lo ameno que es jugar con las matemáticas.

Los ejercicios tratados en este capítulo muestran situacio-nes, a veces familiares pero relacionadas con el pensamiento creativo, y a medida que los vayas resolviendo, amigo lector, mejorará notoriamente tu capacidad de razonamiento.

Para resolver estos tipos de problemas se deben sacar con-clusiones con solamente un criterio lógico, sin hacer uso de conocimentos profundos de la matemática y la lógica.

Se verán problemas sobre relación de tiempos, ejercicios con cerillos, problemas sobre parentescos, problemas sobre traslados, problemas sobre calendarios, problemas sobre certezas y problemas sobre orden de información.

Siendo jueves el mañana de hoy, ¿qué día será el ante-ayer del mañana de pasado mañana?

a) miércoles b) jueves c) martesd) lunes e) sábado

♦ Jueves < > + 1 + 0 Jueves < > + 1 (Dato)

♦ Piden: -2 +1 + 2 = +1 < > Jueves

Siendo el mañana de pasado mañana martes, ¿qué día será el anteayer del ayer de mañana?

a) sábado b) miércoles c) lunesd) jueves e) domingo

∴ Rpta.: d

♦ Dato : +1 + 2 = +3 < > martes Piden : -2 -1 + 1 = -2

∴ Rpta.: e

-2 -1 0

J V S D L M

(Piden) (Dato)

Nociones Previas

I. PROBLEMAS SOBRE RELACIÓN DE TIEM

POS

Ejemplo 1:

Resolución:

Ejemplo 2:

Resolución:

*

Si el anteayer de dentro de 5 días es domingo, ¿qué día será el pasado mañana de ayer de hace 3 días del pasado mañana de mañana?

a) lunes b) sábado c) martesd) viernes e) jueves

Ejemplo 3:

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4

En un restaurante estaban presentes: 1 padre, 1 madre, 1 tío, 1 tía, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrino, 1 sobrina y 2 primos. Si cada uno consumió un menú de 5 soles, ¿cuánto gastaron en total, como mínimo?

a) 30 soles b) 40 soles c) 20 solesd) 50 soles e) 60 soles

En este tipo de problemas debemos tener en cuenta, en el momento de la resolución, que cada uno de los integrantes de la familia puede desempeñar en un mis-mo problema papeles diferentes. Así por ejemplo, una misma persona puede ser padre e hijo a la vez.Luego haciendo un esquema utilizando la menor can-tidad de personas, se tiene:

∴ Como mínimo estuvieron 4 personas. Luego pagaron 4(S/. 5) = S/. 20

∴ Rpta.: b

Ejemplo 2:

Resolución:

Piden: Ayer del ayer de anteayer

-1 -1 -2

= -1 - 1 - 2 = - 4

Camila ve en la vereda a un hombre y dice: “El único hermano de ese hombre es el padre de la suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el hermano de ese hombre con Camila?

a) padre b) tío c) tío abuelod) abuelo e) suegro

∴ Del grá�co se deduce que el hermano de ese hombre es el abuelo de Camila.

∴ Rpta.: d

Dato: -2 + 5 <> domingo +3 <> domingo ... (I)

Piden: +2 - 1 - 3 + 2 + 1 = 1 ...(II)ahora de (I) y (II):

viernes sábado domingo

Incógnita

Dato

Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer de anteayer?

a) lunes d) sábado b) martese) viernes c) jueves

Dato:

Anteayer del mañana de

pasado mañana <> martes

+1-1

+2

∴ Rpta.: e

⇒ -2 + 1 + 2 <> martes +1 <> martes

abuelo

Resolución:

Ejemplo 4:

Resolución:

jueves

- 4viernes

- 3sábado

- 2domingo

- 4lunes

0martes

+1

retroceder Dato

Incógnita ∴ Rpta.: c

II. PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO

Ejemplo 1:

Resolución:

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5

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3¿Cuántos cerillos debes mover como mínimo

para formar siete cuadrados?

¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo

para obtener una verdadera igualdad?

La hermana del hijo de la hermana del hijo del

hermano de mi padre es mi:

¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la

nuera de la mamá de mi madre?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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6

Rpta:

5

Rpta:

6Rosa ve en el mercado a un hombre y dice: “El

único hermano de ese hombre es el padre de la

suegra de mi esposo”. ¿Qué parentesco tiene el

hermano de ese hombre con Rosa?

Si el mañana del pasado mañana del ayer de

mañana de hace 3 días es miércoles, ¿qué día

será el ayer del pasado mañana del mañana del

pasado mañana?

7.

deben ser invertidas para que la suma de los puntos

de la parte superior sea el triple de la suma de las

partes de la parte inferior?

a) 2 y 5 b) 3 y 4 c) 1 y 3

d) 2 y 4 e) 1 y 2

(1) (2) (3)

(4) (5)

8. Si el ayer del pasado mañana del mañana de an-teayer de mañana es jueves, ¿qué día fue ayer?

a) lunes d) jueves b) martes e) domingo c) miércoles

9. El hermano de Sofía tiene un hermano más que hermana. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Sofía?

a) 3 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

10. Si el presente mes tiene 5 martes, 5 miércoles y 5 jueves, ¿qué día caerá el 20 de dicho mes?

a) sábado d) jueves b) lunes e) viernes c) domingo

Resolución: Resolución:

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7

1. Si hoy es jueves, ¿qué día de la semana fue hace

100 días?

a) lunes d) viernes

b) martes e) domingo

c) sábado

2. ¿Cuántos cerillos se debe mover como mínimo

para obtener 5 cuadrados iguales a los mostrados?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo

de Leonel si la madre de Leonel es la hermana de

mi hermano gemelo?

a) abuelo d) padre

b) hijo e) yerno

c) tío

11. Coloca los números del 1 al 9, uno por círculo, de manera que las sumas de los números de cada lado sea igual a 20. Da como respuesta la suma de los números que van en los vértices.

12. al 12, de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22. De como respuesta la suma de los números que van en los vértices (x + y + z + w).

x

y

w

z

4. Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué

día será el mañana del mañana del pasado mañana

de ayer?

a) lunes d) viernes

b) miércoles e) sábado

c) jueves

5. Martín se jactaba de tratar muy bien a la suegra de

la mujer de su hermano, ¿por qué?

a) es su mamá

b) es su hermano

c) es su hermana

d) es su tío

e) es su abuela

6. Mi nombre es Mentorcito y mi hermano Miguelito,

además mi abuela tuvo un hijo solamente. ¿Qué

parentesco tiene conmigo la hija de la nuera de la

mamá de mi madre?

a) mi hermana d) prima

b) tía e) abuela

c) madre

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8

7. Si m = 2m,

calcula:

m + m + m + m + m

a) 5m b) m c) 3m

d) 0 e) 1

8. Siendo viernes el mañana de mañana de hace 5

días, ¿qué día será el anteayer del anteayer de den-

tro de 4 días?

a) lunes

b) martes

c) jueves

d) sábado

e) viernes

9. Cuatro profesores de la academia y 2 alumnas

tienen que cruzar un río en una canoa. En cada

viaje puede ir uno de los profesores o las dos alum-

nas, pero no un profesor y una alumna a la vez.

¿Cuál es el mínimo número de veces que la canoa

tiene que cruzar el río en cualquier sentido para

que todos logren cruzar dicho río?

a) 12 b) 16 c) 17

d) 21 e) 9

10. ¿Cuántos palitos se debe mover como mínimo para

dejar la basurita fuera del recogedor?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) ninguno

11. En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados.

¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?

a) 18 b) 19 c) 20

d) 21 e) 22

12. Saúl, Anibal y Marco son médicos. Dos de ellos

son cardiólogos y uno pediatra. Anibal y Marco

pediatra, por lo que podemos deducir que:

a) Anibal y Marco son pediatras.

b) Saúl es pediatra.

c) Anibal y Marco son cardiólogos.

d) Anibal es cardiólogo y pediatra.

e) Saúl es cardiólogo.

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9

En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos de problemas en cuya resolución debemos tener en cuenta lo siguiente: La información que nos da el problema necesita ser

ordenada. Se comienza el ordenamiento utilizando la información

precisa o la más relacionada.

cumpla con las condiciones del problema.

Para su mejor estudio han sido agrupados, según la manera de ordenar la información, en:

a) Ordenamiento lineal.b) Ordenamiento por posición de datos.

d) Ordenamiento circular.

En este caso se procede a ordenar la información, ubi-cando los datos en forma vertical u horizontal, según corresponda.

a) Creciente o decreciente

Pedro y Martín. Además: Sandro es más alto que Martín pero más bajo

que Luis. Pedro es más alto que Sandro.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. El más alto de los 4 es Luis. ( ) El más bajo es Martín. ( ) Es imposible que Pedro sea el más alto. ( )

Se sabe que: Carlos es 3 cm más alto que Diego. Juan es 2 cm más bajo que Diego. Juan es 5 cm más bajo que Carlos. Lucy es 3 cm más baja que Diego.

Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Diego y Juan son de la misma talla. ( ) Lucy es la más baja. ( ) Diego es el más alto. ( )

Genio e Ingenio

un examen un alumno se acercó a Albert Einstein y le comentó sorprendido: “¡Las preguntas del examen de este año son las mismas q u e l a s d e l a ñ o pasado!” “Sí” - le contestó Einstein-, “pero este año las respuestas s o n t o t a l m e n t e diferentes”.

Nociones Previas

Orden de Información I

Orden de Información II

A. ORDENAMIENTO LINEAL

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

2 Orden de Información(Horizontal y Vertical)

OBJETIVOS:

Potenciar la habilidad analítica.

Ejercitar la capacidad recreativa con la matemática.

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Nota

Un postulante a la Católica compra 6 libros y los ubica en un estante de su biblioteca de la siguiente manera: El libro de Aritmética está siempre junto y a la

izquierda del de Álgebra. El libro de Física está siempre junto y a la

izquierda del libro de Química. El libro de Geometría está a la izquierda del de

Álgebra. El libro de Trigonometría está a la derecha del de

Aritmética y a la izquierda del libro de Física.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda. El libro que está a la derecha de los demás es el

libro de Química. ( ) El libro que está a la izquierda de los demás es el

libro de Aritmética. ( ) El cuarto libro contando desde el extremo

derecho es el libro de Álgebra. ( ) El quinto libro contando desde el extremo

izquierdo es el libro de Física. ( )

Existen ejercicios en los que hay más de un ordenamiento;

verdadera debe cumplirse en todos los posibles

ordenamientos.

¡CUIDADO!

En este tipo de ejercicios algunos datos ya tienen una posición determinada y la ubicación de los otros está en función de ellos. Los problemas más comunes son

Cuatro hermanos viven en un

vive en el primer piso, Mario vive abajo de Jorge y Willy vive en el piso inmediatamen-te superior al de Mario, ¿en qué piso vive Willy?

4

3

2

1

y cada uno de ellos es de un color determinado. Se desea saber el color del auto que está en el segundo lugar, sabiendo que: El primero es blanco. El de color habano está entre el negro y el gris. El verde está entre el azul y el rojo. El de color arena está al último. El rojo está entre el verde y el lila. El negro está después del habano. El gris entre el lila y el habano.

Las proposiciones: A no es mayor que B, A pued e

ser menor o igual que B.

A no es menor que B, A puede ser mayor o igual que B.

b) Lateral

El procedimiento es similar al seguido en el ordena-miento creciente o decreciente.

izquierda ↔ derechaoeste ↔ esteoccidente ↔ oriente

Cinco amigos van al estadio Monumental a ver el clá-sico “U” vs. Alianza Lima y ocupan 7 asientos seguidos

mismo sexo, y en ese caso se deja un asiento desocupa-do, entonces un jugador desde el campo observa que: Susy está en el extremo derecho. Braulio está entre Leandro y Lucía. Boris está a la izquierda de Leandro que está

sentado junto a Susy.

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. Lucía se sienta en el extremo izquierdo. ( ) Braulio se sienta junto a Lucía. ( ) La quinta posición a partir del extremo derecho

está vacía. ( ) La quinta posición a partir del extremo izquierdo

está vacía. ( )

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ejemplo 2:

Ejemplo 2:

B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

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11

cada familia ocupa un piso , los Aburto viven 2 pisos más arriba que los Calderón y 2 pisos más abajo que los Barrera, los Durán viven en el segundo piso y los Gómez no viven adyacentes con los Aburto. ¿En qué piso viven los Muñoz?

Según el primer dato hay 2 posibilidades:

(1)

Barrera

Aburto

Calderón

6.°

5.°

4.°

3°

2.°

1.°

(2)

Barrera

Aburto

Calderón

Puesto que los Durán viven en el 2.º piso, sólo es posible (1). Los Gómez no viven en el 4.º piso, sino en el 6.º En consecuencia los Muñoz viven en el 4.º piso.

En conclusión

Aburto

Calderón

6°

5°

4°

3°

2°

1°

Gómez

Durán

Barrera

Muñoz

Pedro es menor que Pepe, Pipo es menor que Pino y Pepe es menor que Pipo, ¿cuál es el mayor?

Resolución:

Empecemos representando en segmentos verticales la información inicial con precisión, no debemos suponer lo que el enunciado no indique; veamos:

“Pedro” es menor que “Pepe”Pepe

Pedro

“Pipo” es menor que “Pino”Pino

Pipo

Nótese que es necesario trazar 2 segmentos, debido a que no se presenta ningún vínculo entre las anteriores proposiciones.

* Ahora utilicemos el vínculo que los relaciona: “Pedro” es menor que “Pipo”

Pino

Pipo

Pepe

Pedro

∴ Se aprecia que el mayor es Pino.

En la llegada a la meta de 100 metros planos en Madrid, un periodista hizo las siguientes anotaciones de los siete atletas participantes (Ñol, Pepe, Mario, Cano, Kilito y Makito). Ñol llegó antes que Pepe y después que Mario. Mario llegó después que Cano y éste después que

Kilito. Trilcito llegó antes que Cano.¿Quién llegó en cuarto lugar?

Resolución:Pepe Ñol MarioMario Cano KilitoCano Makito

Pepe

Ñol

Mar

io

Cano

6.° 5.° 4.° 3.° 2.° 1.°

“Makito” y “Kilito”

∴ En cuarto lugar Mario.

Dada la siguiente información:I) Aristóteles es menor que José.II) José es un año menor que Walter.III) Walter es 21 años menor que Renán.Si resto las edades de Renán y José, obtengo:

Resolución:

∴ 22 años.

Renán

Walter

José

Aristóteles

21

1

= 22-

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:Resolución:

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12

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

piso vive una familia. La familia “Mendez” vive

un piso más arriba que la familia “García”. La

familia “Dueñas” vive más arriba que la familia

“Prado” y la familia “Mendez” más abajo que

la familia “Prado”. ¿En qué piso viven los

“Mendez”?

Javier más arriba que Saúl y éste más arriba que

Álex. Si Beatriz y Javier viven en el mismo piso,

verdaderas?

I. Javier vive más arriba que Álex.

II. Javier vive más abajo que Álex.

III. Beatriz vive más arriba que Saúl.

IV. Beatriz adora a Javier.

Cinco amigos están sentados en una banca en

el parque, ubicados uno a continuación de otro.

Zarahí y Pedro se ubican en forma adyacente,

y nauJ ed in aivliS ed odal la átse on ordeP

Zarahí está en un extremo. Si Silvia y Manuel

están peleados (no se sientan juntos), ¿quién se

sienta al lado de Silvia?

Sobre una mesa hay un lapicero, un color y un

plumón. Si sabemos que:

- A la izquierda del color hay un lapicero.

- A la derecha del plumón está el que pinta

azul.

- A la izquierda del que pinta azul está el que

pinta verde.

- A la derecha del que pinta rojo hay un

plumón.

Entonces al extremo derecho, ¿qué objeto está?

Resolución: Resolución:

Resolución:

Resolución:

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13

Rpta:

5

Rpta:

6En una competencia de motocrós participan 6

personas cada una con sus motos numeradas

del 1 al 6. Se sabe que:

- Los tres últimos lugares lo ocupan motos

con numeración de los primeros números

primos.

- La moto 6 llegó inmediatamente después del 1.

- La diferencia entre el quinto y el segundo es 4.

- La moto de cuarto lugar es la semisuma de

los números de las motos de lugares extremos.

¿Qué moto se encuentra a dos lugares de la

moto número 1?

En una carrera participan 4 amigas: Milena,

Rosa, Katy y Úrsula. Si del orden en que lle-

garon se conoce:

- Ni las trampas ayudaron a ganar a Rosa.

- Úrsula y Katy llegaron una detrás de otra

en orden alfabético.

- Milena aventajó a Rosa en 3 puestos.

¿Quién ganó la carrera?

¿Quién llegó tercera?

7. En cierto examen, Sara obtuvo menos puntaje que Nataly, Vanessa menor puntaje que Karina, Irene el mismo puntaje que Susana, Sara más que Silvia, Vanessa el mismo puntaje que Nataly e Irene más que Karina. ¿Quién obtuvo menos puntaje?

8. En una carrera participan 6 personas: A, B, C, D, E y F. Se sabe que A llegó antes que D, pero 2 puestos después que F, y B llegó inmediatamente

que: I. C llegó en segundo lugar. II. D llegó antes que E. III. E llegó en sexto lugar.

9. Zanabria, Miranda, Pérez e Islas cada una en pisos diferentes.- Los Islas viven encima de los Zanabria.- Los Flores viven lo más alejado de los Miranda.- Los Miranda no pueden subir las escaleras.- A los Pérez les hubiera gustado vivir en el último

piso.Son ciertas:I. Los Flores viven en el piso dos.II. Los Pérez viven en el piso tres.III. Los Miranda viven en el piso uno.

10. piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive 3 pisos más abajo que Carlos. Andrés vive 2 pisos más arriba que Carlos y a 4 pisos de Enzo. El tercer piso lo ocupa:

Resolución:

Resolución:

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11. Se colocan en un estante seis libros de razonamiento matemático, aritmética, álgebra, física, historia y geometría. Si:- El libro de aritmética está junto y a la izquierda

del de álgebra.- El libro de física está a la derecha del de

aritmética y a la izquierda del de historia.- El libro de historia está junto y a la izquierda del

de geometría.- El libro de razonamiento matemático está a la

izquierda del de álgebra. De derecha a izquierda, el cuarto libro es de:

12. Seis amigas están escalando una montaña, Carla está más abajo que Juana, quien se encuentra un lugar más abajo que María. Daniela está más arriba que Carla pero un lugar más abajo que Tania, quien está más abajo que Rosa, que se encuentra entre Juana y Tania. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso?

1. Cinco profesores: Medina, Parodi, Fernández,

otro extremo. Cartolín estaba al lado de Parodi y

Medina al lado de Fernández. ¿Quién estaba en el

medio?

a) Medrano

b) Cartolín

c) Fernández

d) López

e) Parodi

2. En una banca en el parque se sientan Juana a la

,anauJ ed adreiuqzi al a anA y aíraM ed ahcered

por lo tanto:

a) Juana está al medio.

b) Juana está a la derecha.

c) Juana está a la izquierda.

d) Ana está al medio.

e) María está al medio.

3. Si María es mayor que Lucía, Irene es menor que

María y Lucía es menor que Irene, ¿quién no es

mayor ni menor?

a) María b) Lucía

c) Irene d) Ninguna

e) F.D.

4.

de 6 pisos, cada uno en un piso diferente. Si se sabe

que:

- El departamento del cuarto piso está desocu-

pado.

- D vive adyacente a A y C.

- E no vive en el último piso.

I. B vive en el sexto piso.

II. A no vive en el tercer piso.

III. C vive más arriba que A.

Son verdaderas:

a) Sólo I

b) II y III

c) I y III

d) Todas

e) I y II

5. Cinco personas rinden un examen. Si se sabe que:

- B obtuvo un punto más que D.

- D obtuvo un punto más que C.

- E obtuvo dos puntos menos que D.

- B obtuvo dos puntos menos que A.

Ordénalos de mayor a menor puntaje.

a) ABCDE b) EDCBA

c) ECDBA d) CBADE

e) ABDCE

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9.

Alberto vive en el primer piso, Martín vive más abajo

que José y Walter vive en el piso inmediatamente

superior a Martín. ¿En qué piso vive Walter?

a) Primero b) Cuarto

c) Segundo d) Tercero

e) F.D.

10. En un examen de Razonamiento Matemático Luis

obtuvo menos puntos que Álex, Ábner menos pun-

tos que Luis y Cristian más puntos que Jessica. Si

Jessica obtuvo más puntos que Álex, ¿quién obtuvo

el mayor puntaje?

a) Luis b) Jessica

c) Álex d) Ábner

e) Cristian

11. Se deben realizar cinco actividades A, B, C, D y

E una por día desde el lunes hasta el viernes. B

se realiza después de D. C se realiza el jueves o el

miércoles. D se realiza el jueves o el viernes. Halla

la secuencia en que se realizan las actividades si A

se realiza antes que E.

a) AECBD b) CEADB

c) AECDB d) EACBD

e) CAEDB

12. De un total de 30 inculpados; habían 8 que El Chino

quería castigar y a los demás dejarlos libres. Puso a

los 30 en círculo y castigó a cada uno que ocupara

el 8.° lugar. Hay 2 castigados que inicialmente

ocuparon lugares consecutivos. ¿Cuáles son esos

lugares?

a) 8.° y 9.° b) 2.° y 3.°

c) 16.° y 17.° d) 20.° y 21.°

e) 24.° y 25.°

6. En un examen de Razonamiento Matemático Rosa

obtuvo menos puntos que María, Laura menos

puntos que Lucía, Noemí el mismo puntaje que

Sara, Rosa más que Sofía, Laura el mismo puntaje

que María; y Noemí más que Lucía. ¿Quién obtuvo

menos puntaje?

a) Laura

b) Sofía

c) María

d) Sara

e) Rosa

7. Se sabe que Pablo es 4 cm más alto que Julio,

Mónica es 3 cm más baja que Julio. Ricardo es

7 cm más bajo que Pablo, Ruth es 4 cm más baja

son ciertas?

I. Ricardo y Mónica son de la misma talla.

II. Julio es más alto.

III. Ruth es la más baja.

a) Todas

b) II y III

c) I y II

d) Sólo una es cierta

e) I y III

8. Carlos, Dante, Toño, Erick, Beto y Flavio se ubican

en 6 asientos contiguos en una hilera de un teatro.

Toño está junto y a la izquierda de Beto, Carlos a

la derecha de Toño entre Flavio y Dante, y Dante

está junto y a la izquierda de Erick. ¿Quién ocupa

el tercer asiento si los contamos de izquierda a

derecha?

a) Carlos

b) Flavio

c) Erick

d) Toño

e) Dante

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RAZONAMIENTOMATEMÁTICO

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3 Orden de Información(Relación de Datos - Cuadro de Decisiones)

C. RELACIÓN DE DATOS

Se debe construir una tabla en la cual se relacionan los datos proporcionados, marcando las relaciones correctas y eliminando las negativas.

Tres amigas: Carmen, Fátima y Milagros comentan sobre el color de polo que llevan puesto.- Carmen dice: “Mi polo no es rojo ni azul como los

de ustedes”.- Milagros dice: “Me gustaría tener un polo verde

como el tuyo”.- Fátima dice: “Me gusta mi polo rojo”.¿Qué color de polo tiene cada una?

Primero construimos un cuadro con todas las posibi-lidades.

Resolución

Azul Rojo Verde

Carmen

Fátima

Milagros

Primer Dato:Como Carmen no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde.

Tercer Dato:Fátima tiene polo rojo.

Por lo tanto: Carmen Verde ; Fátima Rojo

Milagros Azul

Azul Rojo Verde

Carmen X X Fátima X

Milagros X

Ejemplo 1:

Azul Rojo Verde

Carmen

Fátima

Milagros

X X X

X

X

X

Gauss, a la edad de diez años su maestro solicitó a la clase que encontrará la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando Gauss, levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra, el maestro se dio cuenta de que el niño era una promesa en las matemáticas.

Reto

¿Cuántas cerillas hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

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Mily, Pili, Lenín y Ely terminaron sus estudios de Me-dicina, Ingeniería, Matemática y Derecho, se sabe que:- Mily no estudia Medicina.- Pili hubiera estudiado Derecho si Lenín hubiera

estudiado Ingeniería.- Ely quiere empezar a estudiar Matemática.- Lenín estudiaría Medicina si Pili no lo hiciera.- Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a

Matemática, ¿qué estudia Pili?

Resolución

* De los dos primeros enunciados:- Lenín no estudia Medicina.- Pili no estudia Derecho, Lenín no estudia Ingeniería.

- Lenín estudiaria Medicina si Pili no lo hiciera.- Mily estudiaba Derecho pero se trasladó a

Matemática.Se tiene:- Ely no estudia Matemática.- Lenín no estudia Medicina, Pili si estudia Medicina.- Mily estudia Matemática.

Mily

Pili

Medicina Ingeniería Matemática Derecho

Lenín

Ely

No

No

No

Mily

Pili

Medicina Ingeniería

No

Matemática Derecho

Lenín

Ely

Sí

No

No

No

No

No

Sí

Sí

No

No

No

No

No

Sí

No

De tres amigas se sabe que:- Ana y la divorciada visitan siempre a Carmen.- Ana era muy amiga del fallecido esposo de la señora

Cruz.- La viuda y Betty son menores que la señora Quiroz.- La señora Páez es bien alegre.El nombre correcto es:

a) Betty Ruiz b) Betty Páez c) Ana Páezd) Carmen Páez e) Carmen Ruiz

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Resolución

Viuda Ruiz

Quiroz Páez

Ana

Carmen

Betty

No Sí No

Sí No No

No No Sí

∴ Betty Páez

∴ Rpta.: b

Reto

Tres amigos en el bar

Les voy a contar una vieja historia que muy bien

pudiera ser real:

Van tres amigos a tomarse un refresco. Después de

tomarlo, al pedir la cuenta, es donde viene el lío.

- Amigos : Camarero, nos trae la cuenta, por favor.

- Camarero: Son 300 pesetas, caballeros.

Y cada uno de ellos pone 100 pesetas.

Cuando el camarero va a poner el dinero en caja, lo

ve el jefe y le dice:

- Jefe : No, esos son amigos míos. Cóbrales sólo 250

ptas.

El camarero se da cuenta que si devuelve las 50 ptas

puede haber problema para repartirlas y decide lo siguiente:

- Camarero: Ya está. Me quedaré con 20 ptas y les

devuelvo 30, diez para cada uno.

Les devuelve a cada uno 10 ptas.

Ahora es cuando viene el problema. Si cada uno puso

100 ptas y le devuelven 10 ptas, realmente puso cada uno

de ellos 90 ptas.

90 x 3 = 270 ptas. Si añadimos las 20 que se queda el

camarero son 290 ptas.

¿DÓNDE ESTÁN LAS OTRAS 10 PESETAS ?

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18

C. ORDENAMIENTO CIRCULAR

En estos casos se presenta la información indicando que se ubican los datos alrededor de un objeto, formando así una línea cerrada (circunferencia).

Seis amigos se sientan a comer helados alrededor de una mesa.- Julio está al lado de Carlos y al frente de Ana.- David no se sienta nunca al lado de Ana y de Carlos.Entonces es siempre cierto que:A) Ana y Carlos se sientan juntos.B) David está a la derecha de Julio.C) David está a la izquierda de Julio.D) Ana y Carlos están separados por un asiento.

Resolución

Carlos

Ana

Julio

(Primera posibilidad)

Ana

Julio

Carlos

(Segunda posibilidad)

Al analizar las alternativas, observamos que la que cum-ple en ambas posibilidades es la “D” (no es necesario el segundo dato).

Seis amigos juegan dominó alrededor de una mesa re- .aivliS ed in otiuqoC ed odal la átse on divaD .adnod

Piero no está al lado de Liz ni de Silvia. Coquito no está al lado de Piero ni de Liz. Regina está junto y a la izquierda de Coquito. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Coquito?

Resolución

* Empezando por el último dato, tendremos: R

L

S

P

D

C

∴ A la derecha de Coquito esta Silvia.

∴ Rpta.: d

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ana invita a cenar a sus amigos: Betty, Coryna, Daniel, Ely y Felipe; este último por razones de trabajo no pudo asistir.Se sientan alrededor de una mesa redonda con seis asientos distribuidos simétricamente y se sabe que:- Ana se sienta junto a Ely y Daniel.- Frente a Ely se sienta Betty.- Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío.¿Entre quiénes se sienta Ely?

Resolución- Ana se sienta junto a Ely y Daniel.

- Frente a Ely se sienta Betty.

- “Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío”. Entonces, dicho asiento debe de estar entre las dos mujeres, luego:

∴ Ely se sienta entre Ana y Corina.

D E

A

D E

A

B

D E

A

B C

Ejemplo 3:

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19

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes

ocupaciones y se sabe que:

Carlos es amigo del mecánico.

El comerciante es familia de Bruno.

El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico.

Raúl es comerciante.

¿Cuál es la ocupación de Carlos?

Resolución:

Felipe, Marco, Pedro, Daniel y Carlos harán

una encuesta en cinco distritos de Lima: La

Molina, San Isidro, Pueblo Libre, Lince y Mi-

sabe que:

Felipe irá a La Molina, pero Marco la hará

en su propio distrito.

Las suegras de Pedro y Daniel viven en San

Isidro, por lo cual ellos no aceptan ir a ese

distrito.

Marco vive en Lince y es el único que en-

cuesta en su distrito.

Daniel vive en Pueblo Libre.

¿Dónde encuesta Carlos?

Resolución:

Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alre-

dedor de una mesa circular con seis asientos

distribuidos simétricamente.

Además:

D no se sienta junto a B.

A se sienta junto y a la derecha de B y fr-

ente a C.

E no se sienta junto a C.

¿Entre quiénes se sienta F?

Resolución:

En una mesa circular de 7 sillas se sientan a

discutir cuatro obreros A, B, C y D y tres em-

pleados: X, Y, Z, y se sabe que:

Ningún empleado se sienta junto a otro

empleado.

B se sienta junto a D, pero Z no se sienta

junto a ellos.

correctas?

I. Entre D y Z hay por lo menos 2 asientos.

II. X se sienta junto a B.

III. A se sienta junto a Y.

Resolución:

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20

Rpta:

5

Rpta:

6

7. Alicia, Carmen, Francis y Edith tienen diferen-tes profesiones: periodista, médico, kinesiólogo y matemático y viven en las ciudades X, Y, Z y W.Además, se sabe que: Francis no vive en X ni en Y. El médico vive en X. Alicia vive en W. Edith es kinesióloga. El periodista nunca ha emigrado de Z.¿Qué profesión tiene Alicia?

8. Un estudiante, un médico y un abogado comentan que cada uno de ellos ahorra en un banco diferente: “Yo ahorro en Interbank”, dice el médico a Ro-

berto. Tito comenta: “El banco que más interés paga

es el Wiese”. El abogado dice: “¨Mi secretaria lleva mi dine-

ro al Banco de Lima” El tercer personaje se llama José.¿Cómo se llama el estudiante?

9. Están en una sala de conferencia: un ingeniero, un

Cinco amigos A, B, C, D y E se sientan alred-

edor de una mesa circular y se sabe que:

Las 5 sillas se encuentran distribuidas simé-

tricamente.

A se sienta junto a B.

D no se sienta junto a C.

I. D se sienta junto a A.

II. E se sienta junto a C.

III. B se sienta junto a D.

Resolución:

En una mesa circular hay 6 asientos y se sien-

tan 4 amigos: A, B, C y D.

Nadie se ha sentado junto a A.

Si llega un amigo más, podría estar junto a

B.

Frente a D no hay nadie.

¿Quién está frente a C?

Resolución:

contador, un abogado y un médico. Los nombres, aunque no necesariamente en ese orden, de los pro-fesionales son: Pedro, Diego, Juan y Luis. Y si se sabe que:1. Pedro y el contador no se llevan bien. 2. Juan se lleva muy bien con el médico. 3. Diego es pariente del abogado y éste es amigo de

Luis. 4. El ingeniero es muy amigo de Luis y del médico. ¿Quién es el médico?

10. Juana tiene un amigo en cada una de las ciudades siguientes: Lima, Cusco e Iquitos; pero cada uno tiene carácter diferente: tímido, agresivo y liberal. Marcos no está en Lima. Luis no está en el Cusco. El que está en Lima no es tímido. Luis no es liberal, ni tímido.

Se quiere saber en qué ciudad vive Víctor, que es uno de los amigos, y qué carácter tiene. Además se sabe que quien vive en Iquitos es agresivo.

11. Ana, Betty, Carol y Dina son 4 señoritas cuyas

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1. Tres amigos: Ana, Beto y Carlos tienen diferentes

profesiones; profesor, médico y electricista, no nec-

esariamente en ese orden y se sabe que:

Ana es el médico.

Beto no es el electricista.

¿Cuál es la profesión de Carlos?

a) Profesor

b) Contador

c) Médico

d) Mecánico

e) Electricista

2. Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen diferentes pro-

fesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico

pero ninguno en ese orden.

Y se sabe que:

Carlos, el abogado y el médico juegan fútbol.

Raúl, el médico y el abogado juegan ajedrez.

¿Qué profesión tiene Pedro?

a) Ingeniero

b) Médico

c) Abogado

d) Profesor

e) Contador

ocupaciones son: enfermera, profesora, secretaria y actriz (aunque no en ese orden necesariamente). Además se sabe lo siguiente: Ana y Betty son vecinas y se turnan para llevarse

el auto al trabajo. Betty gana más dinero que Carol. Ana le gana siempre a Dina jugando casino. La actriz no vive cerca de la casa de la profesora. La enfermera camina siempre a su trabajo. La única vez que la secretaria vio a la actriz de-

tuvo su auto para pedirle un autógrafo. La actriz gana más dinero que la profesora o la

secretaria, pero no tiene auto.¿Qué ocupación tiene Carol?

12. “A”, “B”, “C” y “D” corresponden a los nombres de Roberto, Gerardo, Manuel y Jesús (no necesari-

amente en ese orden). Roberto, “C” y “D” fueron al teatro juntos. Gerardo, “A” y “B” trabajan en la misma fábrica. “A”, “C” y Manuel concurren a los juegos

mecánicos con regularidad. “D”, “B” y Jesús juegan en el mismo equipo. “C” es moreno, en cambio, Gerardo es de tez

blanca.Determina quién es moreno y quién es “A”.

3. En una mesa circular con seis asientos distribuidos

simétricamente se sientan cinco hermanos: Erica,

Fabiola, Miluska, Guisela y Francisco.

Se sabe que:

Francisco y Miluska no se sientan juntos.

Guisela se sienta junto a Erica y Francisco.

Fabiola se sienta frente a Guisela.

¿Quién se sienta frente al sitio vacío?

a) Erica

b) Guisela

c) Miluska

d) Fabiola

e) Francisco

4. Tres personas X, Y, Z disponen de A, B y C libros

aunque no necesariamente en ese orden.

Además se conoce que:

Y le dice a la que tiene B que la otra tiene A

libros.

Z le dice a la que tiene A que tiene sed.

Se pregunta:

¿Quién tiene A libros?

a) X b) Y c) Z

d) X o Z e) Y o Z

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22

5. A, B y C tienen una mascota cada uno, perro, gato y mono. Si B le dice al que tiene el gato, que la otra tiene un perro, y C le dice a la que tiene el perro, que debería vacunarlo contra la rabia; entonces: a) A tiene el mono b) C tiene el gatoc) B tiene el perrod) A tiene el gatoe) B tiene el gato

6. tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, el otro colérico y el otro triste y se sabe que: Al gordo nunca se le ve reír. El enano para molesto porque siempre lo fasti

dian por su tamaño. Entonces:

a) El gordo para alegreb) c) El enano para tristed) e) El gordo para colérico

7. Rommel, Álex, Luis y Eduardo practican los siguien-tes deportes: fútbol, atletismo, natación y tenis; y vi-ven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja

Y se sabe que: Luis no vive en Los Olivos ni en Breña. El atleta vive en Los Olivos. Eduardo es futbolista. El nadador nunca ha emigrado de San Borja.¿Qué deporte practica Rommel?

a) Natación b) Atletismo c) Fútbold) Tenis e) Básquet

8. Tres hermanos practican natación, atletismo o bás-

rojo o verde, Juan no sabe nadar; el que juega por el verde es atleta; los rojos no juegan básquet y Gus-tavo participa por el verde. ¿Qué deporte le corre-sponde a Alberto y Gustavo, respectivamente?

a) Natación y básquetb) Básquet y atletismoc) Atletismo y nataciónd) Natación y atletismoe) Faltan datos

9. Luis, Judith, Armando y su prima Marilyn orden-aron helados de sus sabores favoritos. Cada uno ordenó un sabor diferente, tomaron helado de chocolate, fresa, vainilla y marrasquino. A Ar-mando y Marilyn no les gusta la fresa. Judith tomó chocolate. Marilyn solía tomar marrasquino pero se cansó de éste. ¿Qué ordenaron Armando y Mari-lyn, respectivamente?

a) Chocolate y fresab) Vainilla y fresac) Marrasquino y chocolated) Marrasquino y vainillae) Fresa y marrasquino

10. Los señores Pérez, Sánchez, García y Lazo son médico, abogado, ingeniero y matemático, aunque no necesariamente en ese orden. Pérez no sabe de medicina ni de leyes, Sánchez no sabe de números ni de planos García sabe los códigos legales y Lazo no sabe medicina ni tampoco de construcción. ¿Qué profesión tiene el Sr. Pérez?

a) Médico d) Matemático b) Abogadoe) Pintor c) Ingeniero

11. Marcos, Janeth, Manuel y Magaly son hinchas de los siguientes equipos (no necesariamente en ese or-den): Boys, Universitario, Cristal y Alianza. Mar-cos no es hincha de Boys y su amigo tampoco. Si sabemos que Magaly es hincha de Universitario y su en amorado es hincha de Cristal y es el único amigo de Marcos, ¿hincha de qué equipo es Marcos?

a) Universitario b) Boys c) Cristald) Boys y Cristal e) Alianza

12. Los cursos de R.M. y R.V., Aritmética y Álgebra son dictados por Andrés, Carlos, Luis y César; y se sabe que: Luis es amigo del profesor de R.M. El profesor de R.M. no conoce a Carlos ni al

que dicta Aritmética. César y el profesor de Aritmética son amigos en

común con el profesor de R.V. El único amigo de Andrés es Carlos. Entonces la relación correcta es:

a) César - R.V. b) Luis - R.M.c) Andrés - Álgebrad) Carlos - Álgebra e) Andrés - R.V.

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2016

RAZONAMIENTOMATEMÁTICO

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23

4 Habilidad Matemática

OBJETIVOS:

Dominar métodos prácticos en las operaciones, para aplicarlos en la multiplicación, adición, potenciación, etc.

CÁLCULO DE NÚMEROS AL CUADRADO

En este capítulo aprenderemos técnicas y formas de solu-ción que nos permitan efectuar operaciones aritméticas con mayor rapidez que lo común, para ello utilizaremos un poco de habilidad matemática, basándonos en las propiedades básicas de las matemáticas.

CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA

EN 5

(N5)2 = ..........25

1. (35)2 = 12 25

x 4

Nociones Previas

Ejemplos

3. (8,5)2 = 72 , 25

x 9

¡Con decimales!

1. (24)2 = ? (24)2 = 22 ...2(2)(4)...42

llevo 1 llevo 1

576

2. (83)2 = ? (83)2 = 82 ...2(8)(3)...32

llevo 4 no llevo

6889

CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

2. (145)2 = 210 25

x 15

(ab)2 = a2 ...2(a)(b)...b2

Desarrollo del Binomio

Ejemplos

x 17

4. (16,5)2 = 272 , 25

CUADRADO DE UN NÚMERO CUALQUIERA

Donde “a” es el C.A. para ser un múltiplo de 10 una unidad inmediata superior o inferior.

1. (108)2=(108 - 8) (108+8)+ 82

=(100) (116) + 64

= 11 664

(N)2 = (N - a) (N + a) + a2

Ejemplos

2. (212)2 =(212 - 12) (212+12) + 122

=(200) (224) + 144

= 44 944

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24

¿Cómo lo hizo?

Una profesora sacó a un alumno a la pizarra para multiplicar: 57 324 x 236 el alumno multiplicó comenzando por la izquierda y sorprendió a todos, ¿cómo lo hizo?

5 7 3 24 x

2 3 6

1 1 4 6 4 8

1 7 1 9 7 2

3 4 3 9 4 4

1 3 5 2 8 4 6 4

CIFRAS TERMINALES

PARA NÚMEROS QUE TERMINEN EN: 0, 1,

5 Y 6

1. (11)2 = 121 (31)2 = 961

2. (20)2 = 400 (40)2 = 1600

3. (15)2 = 225 (65)2 = 4225

4. (26)2 = 676 (16)2 = 256

terminan en “6”

terminan en “5”

terminan en “0”

terminan en “1”

PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 4 Y 9

(...4)impar = ...4(...4)par = ...6

(...9)impar = ...9(...6)par = ...1

(...0)n = ...0(...1)n = ...1

(...5)n = ...5(...6)n = ...6

Ejemplos

1. ¿En qué cifra termina 20042004

(2004)2004 = (...4)par = ...6?

∴ Termina en 6

PARA NÚMEROS QUE TERMINAN EN: 2, 3,

5 Y 8

1. ¿En qué cifra termina el desarrollo de: E = 3256261 ?

Resolución:

En el exponente:

2. ¿En qué cifra termina el desarrollo de RM = (5673)9763?

Resolución:

En el exponente:

63 4 3 15

9763

= 9700 + 63

° °44

+ 3°

4 + 3

2. Si A = 99999 hallar la cifra terminal. A = 99999 par = ...1

∴ Termina en 1

2222555

33

(...7)4 = ...1

(...8)4 = ...6°

°

°

Ejemplos

61 4 1 15

∴ 9763

E = (...2)4 + 1 = (...2)1 = ...2°

∴ RM = (...3)4+3 = (...3)3 = ...7

Soldados en apuros

Una patrulla de soldados, de maniobras por la jungla, se encuentra de pronto con un gran río, profundo e infestado de cocodrilos. En la otra orilla ven a dos muchachos nativos con una canoa. La canoa sólo puede transportar a un soldado con su fusil y su mochila, o a los dos muchachos. ¿Cómo conseguirán los soldados atravesar el río sin “alimentar” a los cocodrilos?

Solución:La clave de la solución depende del hecho de que la canoa pueda transportar a los dos muchachos, pero sólo se necesita a uno de ellos para llevar la canoa de una orilla a la otra. Así pues, uno de los muchachos lleva la canoa hasta la orilla en que se encuentran los soldados. A continuación este muchacho se baja y el primer soldado con todo su equipo cruza el río; allí desembarca y el segundo muchacho regresa con la canoa y recoge de vuelta a su compañero. Ya están los dos muchachos y la canoa como al principio. Basta repetir la maniobra tantas veces como soldados haya, hasta que el último haya cruzado el río.

°(...2)4 = ...6

(...3)4 = ...1

°

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25

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla la cifra terminal de “A”

A = (9971+2345)(9971+2345)

Resolución:

9998

Halla la suma de las cifras de la operación:

J = 24363548 (99999999)

Resolución:

3+35+353+3535+ ...= ...SAN

20 sumandos

Si:

Halla: S + A + N

Resolución:

Halla: L + U + I + S en 99

Resolución:

2 2 8 2 8 2 2 8 2 8

. . . . L U I S

28

sumandos

+

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26

Rpta:

5

Rpta:

6Calcula la suma de cifras del resultado:

Resolución:

P = (2+1)(22+1)(24+1)...(218+1)+164

Calcula:

Resolución:

P = 2x4 x10 x 82x 6562 x(38x38+1)+116

7. Calcula: (F - E)3

F = (87654) (87662) + 16

E = (87654) (976660) + 9

8. Calcula la suma de cifras del resultado:

(111...1113)2 - (111...11)2

50 cifras 50 cifras

E =

A = (88888) +(99999)77777 22222+5

7 4 32

9. ¿En qué cifra termina:

10. ¿Cuál es el resultado de la expresión?

E=(x - a) (x - b) (x - c) ... (x - z)

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27

2. Indica la suma de las cifras del resultado de efec-tuar:

a) 270 b) 300 c) 360 d) 400 e) 630

1. Halla el resultado de efectuar “E”:

E = (107 + 1)2 - (9999999)2

a) 15 x 106 b) 30 x 106

c) 20 x 106

d) 18 x 106 e) 40 x 106

(353535...35) (9999...99)

30 cifras 40 cifras

3. Halla la cifra terminal en el desarrollo total de “A”:

A=999 x 888 x 777 x 666 x 222 a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8

4. Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar:

P = (777778)2 - (222223)2

a) 60 b) 30 c) 35 d) 42 e) 43

6. Calcula:

(20032003)2 - (20032001)2

e indica la suma de cifras del resultado.

a) 27 b) 11 c) 19 d) 17 e) 8

5. Después de efectuar:

E = 10305050301 + 2040604020

calcula la suma de las cifras del resultado:

a) 10 b) 9 c) 12 d) 6 e) 8

A + B + C + DE + F

ABCDEF x 999...99 = ...634528

12. Si:

n ≥ 6 Calcula:

n cifras

( (5

252525161616

+393939...39161616...16

40 cifras

40 cifras

11. Calcula:

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28

7. Si:

Halla: L + I + M + A

a) 10 b) 18 c) 16 d) 15 e) 17

4 + 44 + 444 + ... = ...LIMA

24 sumandos

8. Halla: M + I + N + A si:

a) 17 b) 18 c) 19 d) 16 e) 20

9 9 9

9 9 9 9 9 9 9

. . . 9 9 9 9

. . . . . M I N A

21

sumandos

+

9. Halla el valor de: N = 0,982081 + 0,017838 + 0,000081

a) 1 b) 2 c) 0,81 d) 0,7 e) 0,83

O =(13+1)(23+1)(33+1)(43+1)...(203+1)

10. ¿Cuál es la última cifra del producto?

a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 6

P = (111...1)

15 cifras

Q = (222...2)

30 cifras

M = (333...3)

60 cifras

11. Se sabe que:

Calcula la suma de las cifras del resultado de: (P + Q + M)

a) 225 b) 255 c) 155 d) 125 e) 120

12.

a) 1 b) 2 c) 9 d) 3 e) 4

E = 1111111088888889

123456787654322 - 1

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